函数连续性习题讲解
江苏大数学分析-第四章 函数的连续性习题课
1．函数 f 在点 x0 有极限与函数 f 在点 x0 连续有什么区别与联系？
答：1）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定 f 在U 0 (x0 ) 内有定义（ f 在点 x0 可
以没有定义）．而 f 在点 x0 连续则要求 f 在某U (x0 ) 内有定义（包括 x0 ）．
2）在极限中，要求 0 <| x - x0 |< d ，而当“ f 在点 x0 连续”时，由 于 x = x0 时，
lim
x®x0
f (x) ¹
f (x0 )
Û $e 0
> 0, "d
> 0, $x¢ÎU °(x0 ;d ) ，使得
f (x¢) - f ( x0 ) ³ e0 ．
例如狄利克雷函数
D(
x)
=
ì1,当x为有理数, íî0,当x为无理数,
"x0
Î
R,
lim
x®x0
D(x)
不存在．
因为："x0
，取 e 0
第四章 函数的连续性习题课
一 概念叙述
1．叙述 f 在在点 x0 连续的定义． f 在点 x0 连续 Û "e > 0, $d > 0 ，当| x - x0 |< d 时，有| f (x) - f (x0 ) |< e ．
2． 叙述 f 在 I 上一致连续的定义．
f 在 I 上一致连续 Û "e > 0, $d (e ) > 0 ， "x¢, x¢¢Î I ，只要 x¢ - x¢¢ < d ，就有
x0 = 0 点不连续．
2）设在点 x0 处， f ( x) 不连续， g ( x) 不连续 ， f ( x) + g ( x) ， f ( x).g ( x ) 在 x0 点
第二章极限习题及答案：函数的连续性
函数的连续性分段函数的极限和连续性例 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f（1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间．分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim )(lim 11==--→→x x f x x11lim )(lim 11==++→→x x x f∴1)(lim 1=→x f x函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1x f f x →≠=函数）x f (在点1=x 处不连续．（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在．函数的图象及连续性例 已知函数24)(2+-=x x x f ，（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；（2）求）x f (的不连续点0x ；（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(00x f x f x x →=即可．解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22,当2≠x 时，.224)(2-=+-=x x x x f其图象如下图．（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 22-=-=-→-→x x f x x因此，将）x f (的表达式改写为⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523=+-x x 是否存在实数根．分析：要判定方程0)(=x f 是否有实根，即判定对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可． 解：设152)(3+-=x x x f ，则）x f (是R 上的连续函数．又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在[]0,3-内必存在一点0x ，使0)(0=x f ，所以0x 是方程01523=+-x x 的一个实根．所以方程01523=+-x x 有实数根．说明：作出函数)(x f y =的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)(=x f 是否有实数根的常用方法，由于函数152)(3+-=x x x f 是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性例 函数24)(2--=x x x f 在区间（0，2）内是否连续，在区间[]2,0上呢？分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．解：224)(2+=--=x x x x f （R ∈x 且2≠x ）任取200<<x ，则)(2)2(lim )(lim 0000x f x x x f x x x x =+=+=→→∴ )(x f 在（0，2）内连续．但)(x f 在2=x 处无定义，∴ )(x f 在2=x 处不连续． 从而)(x f 在[]2,0上不连线说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性例 讨论函数)0()11lim()(+∞<≤⋅+-=∞→x x xx x f nnn 在1=x 与21=x 点处的连续性分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x 以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得)(x f 的表达式，使解答搁浅．讨论)(x f 在1=x 与21=x 点处的连续性，若作出)(x f 的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于)(x f 的表达式并非显式，所以须先求出)(x f 的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含n x ，故须分类讨论．解：（1）求)(x f 的表达式：①当1<x 时，x x x xxx f nn nn =⋅+-=⋅+-=∞→∞→0101lim 1lim 1)(②当1>x 时，x x x xx x f n nx -=⋅+-=⋅+-=∞→10101)1(1)1(lim )(③当1=x 时，01111lim)(=⋅+-=∞→x x f nn x∴⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-=<≤=x x x x x f 1,1,010,0)(（2）讨论)(x f 在1=x 点处的连续性：1)(lim )(lim ,1lim )(lim 1111-=-===++→→-→-→x x f x x f x x x x∴)(lim 1x f x +→不存在，)(x f 在1=x 点处不连续（3）讨论)(x f 在21=x 点处的连续性：21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x∴)21(21)(lim 21f x f x ==→，)(x f 在21=x 点处连续．根据函数的连续性确定参数的值例 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,0,)1()(3x a x x x f x 在0=x 处连续，试确定a 的值解：x x x x x f 3)1(lim )(lim +=→→,)0(,)1(lim 3310a f e x x x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→ 欲)(x f 在0=x 处连续，必须使)0()(lim 0f x f x =→，故3e a =说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．。
1.3函数的连续性
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1.3.1 连续性的概念（P23）
二、连续性的定义2
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
例如利用连续性计算函数������ = ������������������������的极限：
y
y cos x
π
π
Oπ
������(������) ������ ������(������������) ∆������
∆������
lim y
x 0
lim
x x0
f
(
x
)
f ( x0 )
0
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f ( x0 )
f ( x0 )
O ������������ ������������������+ ∆������ ������
f (0 ) 2, f (0 ) 0
x
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1.3.2 函数的间断点
由连续的定义式： lim x x0
f (x)
f ( x0 )
������(������)在点������������处连续必须同时满足以下三个条件：
(1) 函数������(������)在������������处有定义，即������(������������)存在 ;
数的间断点.
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1.3.2 函数的间断点
03.函数的连续性
x → s x = cos x0
x→x0
所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.
一、函数的连续点与间断点
x, 当x ≥ 0时, 在x = 0处连续. 例1. 证明f ( x) =| x |= − x, 当x < 0时,
0
x→ x0
间断点有2类： 跳跃间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)存在但不相等； 第一类间断点： 可去间断点： f ( x)存在但 lim f ( x) ≠ f ( x ).或f ( x )无定义 lim 0 0 x → x0 x → x0 第二类间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)中至少有一不存在.
第 二 类 间 断 点
0
x0
y
y
x
0
x 振荡型
无穷型
一、函数的连续点与间断点
lim f ( x) ≠ f ( x0 )或f ( x0 )无定义
+ 0 − 0
间 断 点
可去间断点
x → x0
跳跃间断点 xlim f ( x ) ≠ xlim f ( x ) →x →x 无穷间断点
f ( x ) 在 x 0点 左 右 极 限 至 少 有 一 个 为 无 穷 大
x →0
故, f (x)在x=0间断. 图形为
y 1 o –1
y=f (x)
x
一、函数的连续点与间断点
若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在 开区间(a, b)内连续.
若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续.
函数的连续性及极限的应用
函数的连续性1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且limx x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。
②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。
4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。
第六节 函数的连续性
如果函数 f ( x )在开区间 (a , b)内连续 , 且在 左端点x a处右连续 , 在右端点 x b处左连续 , 则称函数f ( x )在闭区间 [a, b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
6
例3 证明函数y sinx在区间 (,)内连续 .
证 x (,),
x 0 x 0
f ( x ) lim f ( x ) f ( x ).
故 f ( x)在（ ， ）上连续 .
12
例5 设f ( x )在（ 0， ）上连续，且满足x (0, ), f ( x ) f ( x ). 证明 f ( x )在 (0, ) 上为常数.
1 当 x 0 时， lim f ( x ) 2, l i m f ( x ) f (0). x 0 x 0 a 1 所以当 a 时 ，f ( x )在 （ ， ） 内 是 连 续 的 ; 2 1 当a 时 ，f ( x )在 （ ， 0） （0， ） 内 连 续 2 23 且x 0 是 第 一 类 跳 跃 型 间 断.点
y sin 1 x
1 解 因 为 f ( x )在x 0 处 没 定 义 , 且limsin 不 存 在 ， x 0 x 所以 x 0 为第二类间断点 .
这种情形称为振荡型间断点.
19
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f [ ( x0 )] f ( u0 ).
2—第二讲 极限 函数的连续性
= 1；
lim 不存在， （2） x→ x f ( x) 不存在， (
0
存在， （3）xlim f ( x) 存在， ≠ f ( x0 ) →x
0
称
x0 为 f ( x) 间断点
间断点分类: 间断点分类:
第一类间断点: 第一类间断点 及 若 若
3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1
= f (x0 + ∆x) − f (x0 ).
2. 函数连续性的定义
f (x0 + ∆x)
∆x
y
∆y
f (x0 ) 定义1: 定义1: 设函数 y = f (x)在点 x0 及其附近有定义， 及其附近有定义，如果∆x →0， O 也 ∆x
x
lim ∆y = lim [ f (x0 + ∆x) − f (x0 )]
即 而 即
lim f (x) = 0.
x→0
f (0) = 0,
lim f (x) = f (0).
x→0
处是连续的。 所以 f (x)在x = 0 处是连续的。
3. 函数的间断点
f ( x) 的以下三种情况为在 x0 处不连续
（1）f ( x)
x2 −1 无定义； 在 x0 无定义；如 f ( x) = 在x x −1
x
x
第二类间断点: 第二类间断点 及 中至少一个不存在 , 若其中有一个为 ∞, 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
1 f (x) = sin x
若其中有一个为振荡 , 称
x 10
5
12
1
高数高等数学1.8函数的连续性与间断点
2
cos
2
x x y 2 sin cos( x ) 2 2
x 0, sin x x
x
x 0
0
即函数 y sin x在(, )内连续 .
同理可证 y cos x在(, )内连续 .
x 2 , x 0, 例3 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
下列情形之一，y f ( x)在 x0不连续：
(1) f ( x)在 x0无定义；
(2) f ( x )在 x0有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
(3) f ( x )在 x0有定义，且 lim f ( x )存在，但是
x x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x0 x ) f ( x0 )
yy f ( x) Nhomakorabealim y 0
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x
x
0 , 0, 当 x x0 x 时，有
f ( x ) f ( x0 ) y .
x U ( x0 ),
y f ( x) f ( x0 ) ---函数的增量
y
y f ( x)
y
y
x
0
x
0
x0
x 0 x x
x0
x 0 x
x
2. 函数连续的定义 定义 设函数y f ( x )在 x0的某邻域内有定义，如果
函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目,大致有3大类。
第一类就是计算或证明连续性;第二类就是对间断点(或区间)的判断,包括间断点的类型;第三类就是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质,零点存在性质),进行理论分析。
下面就这三大类问题,提供若干例题与习题。
还就是那句老话:瞧到题目不要瞧解答,而就是先思考先试着做！这就是与瞧文学小说的最大区别。
要提醒的就是,例题里有不少就是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题,您事先独立做了不？如果没有做,就是不会做好就是根本不想做,还就是没有时间？一.函数的连续例1、1(例1、20(一),这个序号值的就是《函数连续性(一)中的例题号,请对照)设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,且()f x 在0x =连续。
证明:()f x 在任意点x 处连续。
分析:证明题就是我们很多同学的软肋,不知道从何下手。
其实,如果您的基本概念比较清晰,证明题要比计算题号做,因为它有明确的方向,不像计算题,不知道正确的答案就是什么在本题里,要证的就是“()f x 在任意点x 处连续”,那么我们就先固定一个点x ,用函数连续的定义来证明在x 处连续。
您可能要问:函数连续的定义有好几个,用哪一个? 这要瞧已知条件,哪个容易用,就用那一个。
在本题中,提供了条件()()()f x y f x f y +=+,也就就是()()()f x y f x f y +-=,您的脑海里就要想到,如果设y x =∆,那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆;这个时候,您应该立即“闪过”,要用题目给的第二个条件了:()f x 在0x =连续！它意味着:0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明:因为 ()()()f x y f x f y +=+,取0y =,则有 ()()(0)f x f x f =+,所以(0)0f =。
根据高中数学函数知识点梳理,写出一个关于“连续性”的题目。
根据高中数学函数知识点梳理，写出一个关于“连续性”的题目。
根据高中数学函数知识点梳理，写出一个关于“连续性”的题目
题目描述
在平面直角坐标系内，给定函数 f(x) = x^2 - 2x - 3。
请回答下列问题：
1. 函数 f(x) 在哪些点是连续的？
2. 函数 f(x) 在哪些点不连续？
3. 函数 f(x) 在不连续的点处，是否存在间断点？若存在，请解释间断点的类型。
解答
1. 函数 f(x) 是一个二次函数，在实数域内是连续的。
根据连续函数的定义，f(x) 在整个实数域内都满足连续性。
2. 函数 f(x) 在无穷点处以及 x = 1 的点不连续。
在无穷点处，
即 x 趋于正无穷或负无穷时，函数 f(x) 的极限不存在。
在 x = 1 处，函数 f(x) 的极限值为 -4，而 f(1) = -4，并不相等，因此不连续。
3. 在函数 f(x) 的不连续点处，存在间断点。
在 x = 1 的点处，
函数 f(x) 存在第一类间断点，也称为可去间断点。
因为虽然f(1) ≠ -4，但通过修正函数 f(x) 的定义，将 f(1) 的值设定为 -4，并不改变
f(x) 在其他点处的函数值或连续性。
因此，在 x = 1 处的间断是可
通过修改定义来消除的。
总结：函数 f(x) 在整个实数域内是连续的，只存在一个可去间
断点 x = 1 处。