概率论复习资料-大题(1)

例1.20
20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假
设男人和女人各占人数的一半）.
【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()()()()()()()()PAPBA
PAB

PABPBPAPBAPAPBA



0.50.05200.50.050.50.002521




26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A
的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概
率是多少？
【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}C={收到信息是A}，则={收到信息是B}
由贝叶斯公式，得
()()()()()()()PAPCA
PACPAPCAPAPCA



2/30.980.994922/30.981/30.01




28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次
品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得

()()()()()()()()()PAPBA
PAB

PABPBPAPBAPAPBA



0.960.980.9980.960.980.040.05




34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机
被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，
求：飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得

3
0()(|)()iiiPAPABPB


=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×

0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.458
例2.9；2.10
24.设随机变量X分布函数为

F（x）=e,0,(0),00.xtABx,x
（1） 求常数A，B；
（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；
（3） 求分布密度f（x）.

【解】（1）由00lim()1lim()lim()xxxFxFxFx得11AB

（2） 2(2)(2)1ePXF 33(3)1(3)1(1e)ePXF
（3） e,0()()0,0xxfxFxx
25.设随机变量X的概率密度为f（x）=.,0,21,2,10,其他xxxx求X的分布函数F（x），画出f（x）及F（x）.
【解】当x<0时F（x）=0
当0≤x<1时00()()d()d()dxxFxfttfttftt 20d2xxtt
当1≤x<2时()()dxFxftt
010110122()d()d()dd(2)d132222212x
x
fttfttfttttttxxxx








当x≥2时()()d1xFxftt
故 220,0,012()21,1221,2xxxFxxxxx
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=4.8(2),01,0,0,.yxxyx其他 求边缘概率密度.

【解】()(,)dXfxfxyy x204.8(2)d2.4(2),01,=0,.0,yxyxxx其他
()(,)dYfyfxyx

1
2

y
4.8(2)d2.4(34),01,=0,.0,yxxyyyy















其他
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.其他,0,0,eyxy 求边缘概率密度.

【解】()(,)dXfxfxyy ede,0,=0,.0,yxxyx其他
()(,)dYfyfxyx

0

ede,0,=0,.0,yyxx
yy












其他

13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
2 5 8

0.4 0.8 0.15 0.30 0.35
0.05 0.12 0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1）X和Y的边缘分布如下表
2 5 8 P{Y=yi}

0.4 0.15 0.30 0.35 0.8
0.8 0.05 0.12 0.03 0.2

{}iPXx
0.2 0.42 0.38

(2) 因{2}{0.4}0.20.8PXPY0.160.15(2,0.4),PXY
故X与Y不独立.
1.设随机变量X的分布律为

X
1 0 1 2

P 1/8 1/2 1/8 1/4
求E（X），E（X2），E（2X+3）.

【解】(1) 11111()(1)012;82842EX

(2) 2222211115()(1)012;82844EX
(3) 1(23)2()32342EXEX
5.设随机变量X的概率密度为

f（x）=.,0,21,2,10,其他xxxx 求E（X），D（X）.

X
Y

X
Y
【解】12201()()dd(2)dEXxfxxxxxxx 213320111.33xxx
122232017()()dd(2)d6EXxfxxxxxxx




故 221()()[()].6DXEXEX
2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于
90%，问这批产品至少要生产多少件？

【解】令1,,0,iiX若第个产品是合格品其他情形.
而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.
现要求n,使得

1{0.760.84}0.9.niiXPn




即
10.80.760.80.840.8{}0.90.80.20.80.20.80.2niiXnnnnnPnnn








由中心极限定理得
0.840.80.760.80.9,0.160.16nnnnnn







整理得0.95,10n查表1.64,10n
n≥268.96, 故取n=269.
5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少
有30根短于3m的概率是多少？
【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）从而
301000.2{30}1{30}11000.20.8PXPX








1(2.5)10.99380.0062.

例7.12
8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单
位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间.

【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05, 0.25214.95,1.96,axuu,

μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.11.96)(14.754,15.146)xun.