《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
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数学人教A(2019)必修第二册6.1平面向量的概念(共45张ppt)
点，到达点后又改变方向向西走了10米到达点.
（1）作出向量，，；
探索新知
例 某人从点出发向东走了5米到达点，然后改变方向按东北方向走了10米到达
点，到达点后又改变方向向西走了10米到达点.
（2）求AD的模；
长度
探索新知
3.两个特殊向量
（1）零向量——
1个
长度：长度为0的向量；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
×
依据规定：0与任意向量平行．
×
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
题型突破
反思感悟
1．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各
12
点为起点和终点，可以写出________个向量．
AC
AD
BC
BD
CD
BA
CA
向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；×
由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；√
因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
1．向量与数量
向量
数量
大小
大小
方向
方向
只有______没有______的量．
既有______又有______的量．
思考
海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数
（1）作出向量，，；
探索新知
例 某人从点出发向东走了5米到达点，然后改变方向按东北方向走了10米到达
点，到达点后又改变方向向西走了10米到达点.
（2）求AD的模；
长度
探索新知
3.两个特殊向量
（1）零向量——
1个
长度：长度为0的向量；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
×
依据规定：0与任意向量平行．
×
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
题型突破
反思感悟
1．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各
12
点为起点和终点，可以写出________个向量．
AC
AD
BC
BD
CD
BA
CA
向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；×
由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；√
因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
1．向量与数量
向量
数量
大小
大小
方向
方向
只有______没有______的量．
既有______又有______的量．
思考
海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数
中职数学平面向量的概念ppt课件
中职数学平面向量的概念ppt 课件
目录
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算规则 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积概念及性质 • 平面向量应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
平面向量基本概念
向量定义及表示方法
01
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量 ，通常用有向线段表示。
02
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字 母加箭头表示，如$vec{a}$或 $overset{longrightarrow}{AB
}$。
03
向量的模
向量的大小称为向量的模，记 作$|vec{a}|$，模长是一个非负
实数。
向量模长与方向角
03
向量的模长
方向角
向量的模长等于有向线段的长度，可以通 过勾股定理或三角函数计算。
与零向量的数量积
任何向量与零向量的数 量积都是0。
夹角余弦值计算
夹角余弦公式
两向量的夹角余弦值可以通过它们的 数量积和模长来计算，即 cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
夹角范围
夹角θ的取值范围为[0,π]，当θ=0时 ，两向量同向；当θ=π时，两向量反 向。
垂直条件判断
两向量垂直的充要条件是它们 的数量积为0，即a·b=0。
结合律
三个或三个以上的向量进行加法或乘法运算时，改变它们 的结合方式，结果不变。
分配律
一个实数与两个向量的和相乘等于该实数分别与这两个向 量相乘后再相加；两个实数的和与一个向量相乘等于这两 个实数分别与这个向量相乘后再相加。
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
确定坐标原点O和x、y轴
在平面上选取一点作为坐标原点，并通过该点作两条互相垂直的数轴，分别称为 x轴和y轴。
目录
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算规则 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积概念及性质 • 平面向量应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
平面向量基本概念
向量定义及表示方法
01
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量 ，通常用有向线段表示。
02
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字 母加箭头表示，如$vec{a}$或 $overset{longrightarrow}{AB
}$。
03
向量的模
向量的大小称为向量的模，记 作$|vec{a}|$，模长是一个非负
实数。
向量模长与方向角
03
向量的模长
方向角
向量的模长等于有向线段的长度，可以通 过勾股定理或三角函数计算。
与零向量的数量积
任何向量与零向量的数 量积都是0。
夹角余弦值计算
夹角余弦公式
两向量的夹角余弦值可以通过它们的 数量积和模长来计算，即 cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
夹角范围
夹角θ的取值范围为[0,π]，当θ=0时 ，两向量同向；当θ=π时，两向量反 向。
垂直条件判断
两向量垂直的充要条件是它们 的数量积为0，即a·b=0。
结合律
三个或三个以上的向量进行加法或乘法运算时，改变它们 的结合方式，结果不变。
分配律
一个实数与两个向量的和相乘等于该实数分别与这两个向 量相乘后再相加；两个实数的和与一个向量相乘等于这两 个实数分别与这个向量相乘后再相加。
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
确定坐标原点O和x、y轴
在平面上选取一点作为坐标原点，并通过该点作两条互相垂直的数轴，分别称为 x轴和y轴。
6.1 平面向量的概念 课件(共21张PPT)
规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
【课件】平面向量的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
作用力、反作用力、加速度都是向量，质量、路程、功都是数量。
引导探究
练习一：在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积 这些量中，_____________是数量_______________是向量.
练习二： 1.身高是一个向量（ ） 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( )
引导探究
（三）：向量的模和两类特殊向量
思考： AB 有什么含义？
A
B
表示以A为起点，B为终点的向量。线段的 长度就是向量的大小，即为向量的模。
向量的模：向量 AB 的大小称为向量的长度（或称为模），记 作|AB |. 两类特殊向量： 长度为0的向量称为零向量， 记作 0
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
共线向量：平行向量又称为共线向量.
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
引导探究
思考：AB, BA 是相同的向量吗？
A
BB
A
AB, BA 是大小相等但方向相反的两个向 量。这样的两个向量叫做相反向量。
a a 与 长度相等,方向相反的向量叫 的相反向量.记为 a
同理可得，大小相等且方向相同的两个向量叫做 相等向量。
（二）：向量的表示二:字母表示法 思考：你能用表示线段的方法表示向量吗？向量的大小和方向 怎样表示？
字母表示法：
1、用小写字母表示：如 a 、b、c
2、用大写字母表示：如 AB （A为起点、B为终点）
注：用小写字母 a 表示向量时，印刷用粗体 a，书写
a 用 。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
箭头表示向量的方向，线段的长度表示大小。
注：向量是否相等（或相反）只与大小和 方向有关，与起点、终点的位置无关.
引导探究
练习一：在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积 这些量中，_____________是数量_______________是向量.
练习二： 1.身高是一个向量（ ） 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( )
引导探究
（三）：向量的模和两类特殊向量
思考： AB 有什么含义？
A
B
表示以A为起点，B为终点的向量。线段的 长度就是向量的大小，即为向量的模。
向量的模：向量 AB 的大小称为向量的长度（或称为模），记 作|AB |. 两类特殊向量： 长度为0的向量称为零向量， 记作 0
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
共线向量：平行向量又称为共线向量.
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
引导探究
思考：AB, BA 是相同的向量吗？
A
BB
A
AB, BA 是大小相等但方向相反的两个向 量。这样的两个向量叫做相反向量。
a a 与 长度相等,方向相反的向量叫 的相反向量.记为 a
同理可得，大小相等且方向相同的两个向量叫做 相等向量。
（二）：向量的表示二:字母表示法 思考：你能用表示线段的方法表示向量吗？向量的大小和方向 怎样表示？
字母表示法：
1、用小写字母表示：如 a 、b、c
2、用大写字母表示：如 AB （A为起点、B为终点）
注：用小写字母 a 表示向量时，印刷用粗体 a，书写
a 用 。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
箭头表示向量的方向，线段的长度表示大小。
注：向量是否相等（或相反）只与大小和 方向有关，与起点、终点的位置无关.
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
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数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
共线向量：平行向量也叫做共线向量
小结练习
课本第5页
习题6.1，练习题1、2
力有大小，
也有方向
情境四：物体在液体中受到的浮力是
竖直向上的，物体浸在液体中的体积
越大，它受到的浮力越大。
位移有大小，
也有方向
概念介绍
➢ 向量：把有大小又有方向的量统称为向量
➢ 数量：只有大小、没有方向的量称为数量
注：数量可以比较大小。
向量不可比较大小。
练习一：下列量不是向量的是（ ① ⑥ ⑦ ⑧ ）
平面向量的概念
人教A版高中数学必修二第六章第一节
回顾旧知
情景一：小船由A地航行15 km到达B地。
试问小船能到达B地吗？
情境二：小船由A地向东南方向航行15
km到达B地。试问小船能到达B地吗？
位移有大小，
也有方向
位移有大小，
也有方向
回顾旧知
情境三：物体受到的重力是竖直向下的，
物体的质量越大，它受到的重力越大。
概念介绍
➢ 共线向量：平行向量也叫做共线向量，这是因为
任一组平行向量都可移到同一直线上
a
b
c
➢ 注：平行向量可以在同一直线上
要区别于两平行线的位置关系ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与 、 相等的向量；
巩固拓展
线段。这种说法对吗？
向量与起点无关，数学中
的向量也叫做自由向量
概念介绍
➢ 向量的模：向量 AB的大小称为向量
记为| AB |
➢ 零 向 量： 长度为零的向量，记作 0
AB 的长度（或称模）
方向任意
➢ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量。方向确定，有无数个
小结练习
课本第5页
习题6.1，练习题1、2
力有大小，
也有方向
情境四：物体在液体中受到的浮力是
竖直向上的，物体浸在液体中的体积
越大，它受到的浮力越大。
位移有大小，
也有方向
概念介绍
➢ 向量：把有大小又有方向的量统称为向量
➢ 数量：只有大小、没有方向的量称为数量
注：数量可以比较大小。
向量不可比较大小。
练习一：下列量不是向量的是（ ① ⑥ ⑦ ⑧ ）
平面向量的概念
人教A版高中数学必修二第六章第一节
回顾旧知
情景一：小船由A地航行15 km到达B地。
试问小船能到达B地吗？
情境二：小船由A地向东南方向航行15
km到达B地。试问小船能到达B地吗？
位移有大小，
也有方向
位移有大小，
也有方向
回顾旧知
情境三：物体受到的重力是竖直向下的，
物体的质量越大，它受到的重力越大。
概念介绍
➢ 共线向量：平行向量也叫做共线向量，这是因为
任一组平行向量都可移到同一直线上
a
b
c
➢ 注：平行向量可以在同一直线上
要区别于两平行线的位置关系ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与 、 相等的向量；
巩固拓展
线段。这种说法对吗？
向量与起点无关，数学中
的向量也叫做自由向量
概念介绍
➢ 向量的模：向量 AB的大小称为向量
记为| AB |
➢ 零 向 量： 长度为零的向量，记作 0
AB 的长度（或称模）
方向任意
➢ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量。方向确定，有无数个
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/ke j ia n/dili/
历史课件：/ke j ia n/lishi/
)
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ×
)
(3)向量的模是一个正实数．(× )
手抄报：/shouchaobao/
P P T课件：/ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．向量的有关概念
P P T模板：/m oba n/
PPT素材：/sucai/
P P T背景：/be ij ing/
PPT图表：/tubiao/
PPT下载：/xiazai/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：/ziliao/
个人简历：/j ia nli/
PPT图表：/tubiao/
PPT下载：/xiazai/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：/ziliao/
个人简历：/j ia nli/
试卷下载：/shiti/
教案下载：/j ia oa n/
手抄报：/shouchaobao/
P P T课件：/ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
《平面向量的概念》平面向量及其应用 PPT教学课件
必修第二册·人教数学A版
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知识梳理
名称 大小 方向
零向量 0
任意的
单位向量 1 规定了方向
必修第二册·人教数学A版
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知识点五 向量的关系 预习教材，思考问题 (1)向量由其模和方向所确定．对于两个向量 a，b，就其模等与不等，方向同与不同 而言，有哪几种可能情形？
必修第二册·人教数学A版
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探究三 相等向量与共线向量 [例 3] 如图，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交 点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行且长度为 2 2的向量个数有________ 个．
必修第二册·人教数学A版
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[解析] 如图所示，满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A， E→C，C→E，G→H，H→G，→IJ，→JI共 8 个．
[答案] 8
必修第二册·人教数学A版
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相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是 同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向 与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终 点的向量． 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
[自主检测] )
B．拉力 D．压强
解析：拉力既有大小又有方向，是向量，其余均是数量．
答案：B
必修第二册·人教数学A版
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2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为 1 的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
平面向量的概念 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
系.
(3)不正确.依据规定：与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不定.
(5)正确.向量完全由它的模和方向确定，与起点无关.
练习
变1.下列说法正确的是( ).
A.若与平行，与平行，则与一定平行
B.一定在同一直线上
C.若|| < ||，则 <
解：(1)如图所示，作出 ， ， ： 解：(2)由题意知//， = ，
所以四边形是平行四边形.
所以 = = 400，所以|| =
400.
Байду номын сангаас
练习
变3.在四边形中， = ，且|| = ||，则这个四边形是（ ）.
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
答案：D.
解：由 = 可知//，且|| = ||，
所以四边形为平行四边形.
练习
方法技巧：
平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用
向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用
有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，
记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
(向量的字母表示)向量也可以用字母, , , …表示.
印刷用黑体，书写用.
Ԧ
新知探索
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
新知探索
通常在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点，为终点，我们就
(3)不正确.依据规定：与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不定.
(5)正确.向量完全由它的模和方向确定，与起点无关.
练习
变1.下列说法正确的是( ).
A.若与平行，与平行，则与一定平行
B.一定在同一直线上
C.若|| < ||，则 <
解：(1)如图所示，作出 ， ， ： 解：(2)由题意知//， = ，
所以四边形是平行四边形.
所以 = = 400，所以|| =
400.
Байду номын сангаас
练习
变3.在四边形中， = ，且|| = ||，则这个四边形是（ ）.
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
答案：D.
解：由 = 可知//，且|| = ||，
所以四边形为平行四边形.
练习
方法技巧：
平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用
向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用
有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，
记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
(向量的字母表示)向量也可以用字母, , , …表示.
印刷用黑体，书写用.
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新知探索
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
新知探索
通常在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点，为终点，我们就
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A.DA和BC B.DC和AB C.DC和BC D.DC和DA
【解析】选B.结合题干图可知 与 大小相等，
方向相同，所以
AB DC
AB DC.
类型一 向量的概念、零向量与单位向量
【典例】1.(2019·临沂高一检测)以下选项中，都是
向量的是 ( )
A.正弦线、海拔
B.质量、摩擦力
C.三角形的边长、体积
AB
(2)找与 共线的向量，就是找与 方向相同或相
反的向量.
AB
AB
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE
是矩形知，DC,E与D 的A长B 度相等且方向相同，所
以与 AB相等的向量为 DC., ED
④单位向量都是同方向；
⑤向量 与向量 的长度相பைடு நூலகம்.
A.①②③AB C.①②⑤
B.B①A ③⑤ D.①⑤
【解析】选D.由定义知①正确，②由于两个零向量是 平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具 体方向，故不正确.长度相等的向量其模不一定为1， ③不正确，单位向量的方向不一定相同，④不正确， ⑤正确.
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量 ？ 提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确 定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.
2.特殊向量 (1)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记做0. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单 位向量.
(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量.向量a与b相等，记作a=b. (4)平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量，也叫做共线向量.向量a平行于b，记作 a∥b.规定零向量平行于任意向量.
第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念
1.向量的定义与表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示方法：
①几何表示法：用以A为始点，B为终点的有向线段___
表示.
AB
②字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b， c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字 母 a，b，c ….
【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
(2)若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？ 提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同. (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？ 提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行 包括所在直线重合的情况，故也称向量共线.
(4)×.若 则A，B，C，D也可能落在同一条直
线上.
AB＝CD，
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；
⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中不是向量的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量 ；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量.
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示 的向量是 ( )
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点 相同.( ) (2)任意两个单位向量都相等. ( )
(3)平行向量的方向相同或相反. ( )
(4)若
则A，B，C，D四点是平行四边形的四
个顶点.AB＝C(D， )
提示：(1)×.两个有共同起点，且长度相等的向量，方 向不一定相同，其终点也不一定相同. (2)×.任意两个单位向量只是长度相等，方向不一定相 同，故不一定相等. (3)√.由平行向量的定义可知.
2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由 零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正 确. 答案：②③④
【内化·悟】 1.零向量的大小与方向是怎样的？ 提示：零向量的长度为0，方向任意. 2.所有的单位向量有何共同特征？ 提示：所有的单位向量的长度相等，都是1.
【类题·通】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素： (1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
【加练·固】 (2019·衡阳高一检测)下列说法正确的是 A.有向线段 AB 与 BA 表示同一向量 B.两个有公共终点的向量是平行向量 C.零向量与单位向a量是平行向量 D.对任意向量a， a 是一个单位向量
()
【解析】选C.向量 与 方向相反，不是同一向
量，A错误；
AB BA
有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，B错误；
2.理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等. (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向. 提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不 一定相等.
【习练·破】 在下列判断中，正确的是 ( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③长度相等的向量都是单位向量；
(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如 a，AB 的模分别记做|a|,| AB |.
【思考】 (1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪 方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？
提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
当a=0时， 无意义，D错误；
零向量与任何向量都是平行向量，C正确.
a
a
类型二 相等向量与共线向量 【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形 ABDE是矩形. 世纪金榜导学号
(1)找出与 相等的向量. (2)找出与 AB 共线的向量.
AB
【思维·引】(1)找与 相等的向量，就是找与
长度相等且方向相同的A向B量.
D.余弦线、速度
2.给出下列说法： ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的方向是任意的； ④单位向量的模都相等， 其中正确的是________(填序号).
【思维·引】1.紧扣向量的定义解答. 2.紧扣零向量、单位向量的定义解答.
【解析】1.选D.三角函数线、摩擦力、速度既有大小 又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体 积只有大小没有方向，不是向量.