人教版(一上数学)复习资料
高一年级数学上册(人教版)《教材全解全析》
第一章高一数学（上）第一章集合与简易逻辑 本章内容概述【考纲要求】（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相关关系；掌握充要条件的意义. （3）掌握二次不等式、简单的绝对值不等式的解法. 【考点剖析】“集合与简易逻辑”是高中数学的起始单元，也是整个中学数学的基础.它的基础性体现在两个方面：首先，集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都被广泛地使用；其次，数学离不开变换（等价的或不等价的）和推理，而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等逻辑概念，因为它们是全面理解概念、正确推理运算、准确表述判断的重要工具.集合与逻辑不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的柱石之一.高等数学的许多分支如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都建立在集合与逻辑的理论基础之上.本单元的知识点在集合与逻辑的理论中都是最基本的，但其中蕴含的数学思想都很丰富，如集合的思想、函数的思想、转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等.总之，集合与简易逻辑是高考中考查基础、考查能力与考查进一步学习的潜力的很好的命题材料. 【知识结构图】§1.1集合 预备知识 初中数学基础知识实数分类课本知识导学运用课本知识诠解 重要提示１.集合的相关概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.２.元素与集合的关系集合的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合常用大写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合Ａ，记作a ∈Ａ；如果a 不是集合Ａ的元素，就说a 不属于集合Ａ，记作aＡ（或aＡ）.可见，集合中的元素与集合间是从属关系.给出一个集合A 和一个元素a ，a 要么是Ａ的元素，要么不是A 的元素，二者必居其一.３.集合的分类按集合元素的个数，集合可分为有限集、无限集和空集.有理数 无理数分数 无理数含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集；不含任何元素的集合叫空集，空集用符号表示.４.集合的表示方法集合的表示方法，常用的有列举法和描述法.重要提示1.集合是现代数学中不加定义的基本概念，它的基本思想已渗透到现代数学的所有领域．集合中的元素可以是人、物、数点、式子、图形等．2.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.列举法常用来表示有限集或有特殊规律的无限集.其中表示有特殊规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才能用删节号.3.｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝有时也可写成｛x∈Ａ：Ｐ（x）｝或｛x∈Ａ；Ｐ（x）｝.4.图示法的使用对象具(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这样的表示方法叫列举法.其特点是：①元素一般是有限个；②元素不重复，不遗漏，不计顺序地列举出来；③元素间用“，”隔开.(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.一般格式为｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝，其中，x是集合的代表元素，Ａ是x的取值范围，Ｐ（x）是确定x应满足的条件.｛x∈A|Ｐ（x）｝即表示使命题Ｐ（x）为真的A中诸元素之集.例如，｛x∈R|x≤5｝，若从前后关系来看，集合Ａ已很明确，则可使用｛x|Ｐ（x）｝来表示，例如｛x|x≤5｝.为了形象地表示集合，常常画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合，这种方法叫图示法(也称韦恩图法).5.常用的数集及其记法全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+.全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q；全体实数的集合通常简称实数集,记作R.基础例题点拨【例题1】下列各题中,分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后指出它是有限集还是无限集：(1)组成中国国旗图案的颜色；(2)世界上最高的山峰；(3)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)组成的一切自然数；(4)平面内到一个定点O的距离等于定长l(l＞0)的所有的点P.【解析】(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；有一定的局限性,但在处理有关抽象集合问题时,却有着独特作用.（1）自然数集与非负整数集是相同的,即自然数集包括数0；（2）Q、Z、R中排除0的集分别可表示为Q*、Z*、R*.随笔：一拖二拖1用适当方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集.(1)不超过10的非负偶数的集合.答案:｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)大于10的所有自然数组成的集合.答案:｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)方程x２-4=0的解集.答案:｛-2,2｝,有限集;(4)方程(x-1)２(x-2)=0的解集.答案:｛1,2｝,有限集.(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213,231，312，321｝，有限集；(4)｛p|PO=l｝（Ｏ是定点,l是定长），无限集.(2)｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集.【思路点拨】对于有限集并且集合中的元素比较少时，一般采用列举法表示，并且不必考虑元素之间的顺序；对于有限集中元素比较多，以及无限集，通常采用描述法表示.【例题2】把下列集合用另一种方法表示出来： (1)｛1，5｝；(2)｛x|x 2+x-1=0｝；(3)｛2，4，6，8｝；(4)｛x ∈N|3＜x ＜7｝. 【解析】(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---251,251；(3)｛x|x 是大于1，且小于9的偶数｝； (4)｛4，5，6｝【思路点拨】描述法表示集合的格式是｛x ∈A|Ｐ（x ）｝.因而(2)、(4)是描述法，(1)、(3)是列举法.列举法和描述法是表示集合的两种不同方式，它们可以互相“转化”.重难点突破重点·难点·易混点·易错点·方法技巧 重难点1.重点：集合的基本概念与表示方法，以及集合元素的三个性质的重要应用.正确表示集合是为了更好地学习后面的知识，解题过程中一定要注意满足集合的互异性.2.难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法和描述法，正确表示一些简单的集合.集合的元素类型多是以数、点、图形或集合等形式出现.对于已知的集合，必须知道集合元素的形式.如集合｛y|y=x2+1｝表示函数的所有函数值即｛y|y ≥1｝；集合｛x|y=x2+1｝表示函数 拖2把下列集合用另一种方法表示出来. (1)｛-1,0,1,2｝；答案:｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2) ｛x ∈Z|16-x ∈N ｝； 答案: 由于16-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3)｛x|(x+1)x-32(x2-2)(x2+1)=0,x ∈Q ｝答案: {-1, 32}.拖3指出下列集合的异同点． Ａ=｛x|y=x2-1｝ B=｛y|y=x2-1｝ C=｛(x,y)|y=x2-1｝答案: A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合.的所有自变量的取值即｛x|x ∈R ｝，它们都是数集；集合｛(x ，y)|y=x 2+1｝表示抛物线y=x 2+1上的所有点，是点集.易混易错点 1. 易混点(1)数集与点集的区别用描述法表示数的集合时，其一般格式为｛x|Ｐ（x ）｝，即竖线“|”的前面是一个字母；而用描述法表示点集的一般格式为｛(x ，y)|Ｐ(x ，y)｝，即“竖线|”的前面是一对有序实数.(2)元素与集合的区别对于任一个字母a ，没有将其写在大括号内或写在封闭的曲线内，则a 表示元素,而｛a ｝表示含有一个元素a 的集合.(3)｛a ，b ｝与｛(a ，b)｝的区别｛a ，b ｝表示双元素集，即含有两个元素a 和b ，而｛（a ，b ）｝表示单元素集，即点集. (4)0与｛0｝、0与、与｛｝的区别0表示一个元素0，｛｝表示含有一个元素0的单元素集,表示空集(不含任何元素的集合)，{}表示含有一个元素的单元素集.2.易错点(1)忽视集合元素的确定性集合元素有三大特征：（1）确定性：对于一个给定的集合，元素或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者只能选其一.同时，一个给定的集合，它的元素所表示的意义是明确的，不能模棱两可.如“漂亮的花”就不能构成一个集合，因为“漂亮的花”没有明确的客观标准，也就难以判断某些对象是否属于这个范畴；（2）互异性：一个集合里的任何两个元素是不相同的，相同的元素在集合中只能算一个元素，如｛x|x 2-2x+1=0｝用列举法只能表示为｛1｝，而不能写成｛1，1｝；（3）无序性：用列举法表示集合时，其元素的排列是不讲次序的，如集合｛1，2，3｝与｛2，1，3｝及｛3，1，2｝均表示同一个集合.随笔： 拖4下列集合表示空集的有( )个 (1)｛y|y 2+1=0｝ (2)｛(x,y)|x 2+y 2=1｝ (3)｛x|ax 2+x+1=0｝ (4)｛x ∈Q|(x 2-3)(x4-16)=0｝ A.1B.2C.3D.4答案: A,只有(1)是空集.【例题3】下列所给对象不能构成集合的是( ) A .平面内的所有点B .平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上的所有点C .平方小于1的实数D .高一年级个子高的同学【错解】本题容易错选A.因为不知道是指哪个平面.【易错分析】判断所给对象是否构成集合，其理论依据是集合元素所具有的三大特性：确定性、互异性、无序性.本题选项D.中的对象含糊不清，所谓“个子高”没有明确的客观标准. 【正解】根据集合元素的确定性知选D.(2)忽视集合元素的互异性【例题4】若-3∈｛x-3，2x-1，x2-4｝，求实数x 的值.【错解】依题意有-3=x-3，-3=2x-1或-3=x 2-4,解得x=0，x=-1或x=±1，∴x 的取值为0，-1，1. 【易错分析】利用确定性解出所有的可能值，再要进行检验看是否满足互异性.【正解】依题意有-3=x-3或-3=2x-1或-3=x ２-4,解得x=0，-1，1，经检验当x=-1时，2x-1=-3=x 2-4,不符合集合元素的互异性，故舍去，∴x=0或1.(3)不能正确表示集合,两种表示方法混淆使用【例题5】可以表示方程组 的解集的是( )A.｛x=1，y=2｝B.｛1，2｝C.｛(1，2)｝D.｛(x ，y)|x=1，y=2｝E.｛(x ，y)|x=1且y=2｝ 拖5给出下列５种说法： (1)著名科学家组成一个集合; (2)1,32, 46,|21 |,0.5这些数组成的集合有5个元素; 答案: 中集合只有3个元素,((3)｛0｝是空集;答案: 是含有一个元素0的集合.(4)数轴上离原点很近的点可组成一个集合;(5)集合｛x|x=2k-1,k ∈Z ｝与集合｛y|y=2s+1,s ∈Z ｝表示的是同一集合,其中正确的说法的序号是. 拖6求实数集｛１，a,a 2-a ｝中a 的数值．x+y=3x-y=-1答案: 依集合元素的互异性,有⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠a -a?a 1a -a?1a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠±≠≠20251a aa a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.拖7如图1-1-1(1)和(2)分别给出了集合A 、B,试用除图示法以外的方法给出集合A 、B.答案:图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝.图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. F.(x ，y)|⎭⎬⎫⎩⎨⎧==21y x G.｛(x ，y)|(x-1)2+(y-2)2=0｝ 【错解】答案出现A 、B 或D. 【易错分析】方程组的解⎩⎨⎧==21y x 是一个点，因而解集是一个点集，应注意选项的等价性.【正解】应选C 、E 、F 、G.【思路点拨】C 表示的是列举法，F 表示的是描述法，而E 、G 与F 等价.对于D 中的元素有无数个点，表示常函数x=1及常函数y=2两条直线上的所有点.方法技巧1.正确选用集合的表示法集合有三种不同的表示方法，在使用中各有利弊.列举法使人对集合中的元素及其属性一目了然，但有时较繁，对无限集无法使用，有局限性；描述法虽然简捷明了应用范围广，但对其中元素属性的认识还得借助自己的理解，往往容易出错；图示法形象直观，也具有一定的局限性.【例题6】试用适当方法表示下列集合： (1)数轴上与原点的距离小于1的所有点；(2)平面直角坐标系中第二象限角平分线上的所有点； (3)所有非零偶数；(4)所有被3除余数是２的数.【解析】(1)｛x||x|＜1＝；(2)｛(x ，y)|y=-x ，x ＜0＝； (3)｛x|x=2k ，k ∈Z ，k ≠0｝或{x|2x∈Z ，且x ≠0}； (4)｛x|x=3k+2,k ∈Z ｝或｛x|x=3k-1,k ∈Z ｝.【思路点拨】数轴上的点表示的也是数，因而是数集．描述法表示集合有三种语言形式：文字语言、符号语言和图形语言．因而（３）也可表示为｛所有非零偶数｝，这是描述法的文字语言．当用符号不易表示集合元素的公共属性时，可用文字语言描述集合．图1-1-1随笔：拖8已知集合Ａ＝｛小于６的正整数｝，Ｂ＝｛小于１０的质数｝，Ｃ＝｛２４和３６的正公约数｝，用列举法表示集合： （１）Ｍ＝｛x|x ∈A 且x ∈C ｝答案: A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且xC ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.（２）N=｛x|x ∈B 且x C ｝随笔：２．根据“元素在集合中”解题【例题7】已知集合Ａ＝｛－１，２，３，a 2+2a-3,|a+1|｝,其中a ∈Ｒ，（１）若５是Ａ中的一个元素，求a 的值；（２）是否存在实数a ，使得Ａ中的最大元素是１２？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．【解析】（１）若a 2+2a-3＝５，则a 2+2a-８＝０，∴a=2或a=-4；但此时都有|a+1|=3,与集合中元素的互异性相矛盾，∴a ≠2且a ≠-４； 若|a+1|=5,则a=-6或a=4，此时a 2+2a-3=21,符合题意，故所求a 的值为－６或４．（２）若存在这样的实数a,则a 2+2a-3=１２，且|a+1|＜１２或|a+1|＝１２，且a 2+2a-3＜１２，由于|a+1|＝１２时，a 2+2a-3＝（a+1）2-4=140，∴后一种情况不存在，由第一种情况解得a=3或a=-5，即这样的a 值存在，且a=3或a=-5．【思路点拨】利用“元素在集合中”这一概念来确定某些待定系数时，一要进行相应的分类讨论，二要对所求结果进行必要的检验．这是由集合中元素的“三性”所决定的，若一旦忽视，将出现错误．名题活题创新探究 例题分析解答【例题8】已知集合Ａ＝｛x|ax 2+2x+1=0,x ∈R ｝，其中a ∈R. （１）若１是Ａ中的一个元素，用列举法表示Ａ； （２）若Ａ中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合Ｂ； （３）若Ａ中至多有一个元素，试求a 的取值范围．【分析】集合Ａ表示的是方程ax 2+2x+1=0在实数范围内的解集，问题由此转化为方程的有解，求解讨论问题． 拖9已知集合Ａ＝{x|x2+px+q=x},集合Ｂ＝{x|（x －１）2+p （x-1）+q=x+3}，当Ａ＝｛２｝时，求集合Ｂ．答案: ∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4.∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝.随笔：拖10已知集合Ａ＝｛x|ax+b=1｝,B=｛x|ax-b ＞４｝，其中a ≠0,若Ａ中的元素必为Ｂ中的元素，求实数b 的取值范围．答案: ∵A 中的元素是x=1-ab-1,依题意知ab -1∈B ，∴a ·ab -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-23. 随笔：【解析】（１）∵１是Ａ的元素，∴1是方程ax 2+2x+1=0的一个根，∴a ·12+2·1+1=0，即a=-3，故方程为－３x 2+2x+1=0，∴x １=1，x ２=-31，此时集合Ａ＝｛-31，１｝； （２）若a=0，方程化为2x+1=0，此时有且仅有一个根x=-21; 若a ≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝４－４a=0，即a=1时，方程有两个相等的实根x １=x ２=-1，此时集合Ａ有且仅有一个元素，由可知Ｂ＝｛０，１｝.（３）集合Ａ中至多有一个元素包括两种情况： Ａ中有且只有一个元素，由(2)知a=0或a=1； Ａ中一个元素也没有，即Ａ＝，此时a ≠0且Δ＝４－４a ＜0,∴a ＞1,由此可知a 的取值范围是：｛a|a ≥1或a=0｝.知识链接集合论起源于康托尔，是从最简单的概念出发，利用纯粹的推理而建立起来的重要数学分支.具有某种属性的事物的全体称为“集合”，组成集合的每个事物称为该集合的元素，研究集合的运算及其性质的数学分支称为“集合论”.康托尔：(1845～1918)德国数学家，集合论创始人，函数三角级数表示惟一性的研究引发他对无穷点集的探索，于1872年提出以柯西序列定义无理数的实数理论，1874年提出集合概念，证明有理数集可列而实数集不可列；1878年建立势(基数)概念，提出连续统假设，指明无穷集自身与真子集间有一一对应.能力达标检测1.下列条件所指的对象能构成集合的是( )Ａ.与2接近的数Ｂ.著名的足球运动员C.大于２而小于３的有理数Ｄ.旦夕祸福与不测风云答案: C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.２.对于关系①３2｛x|x ≤17｝,②3∈Ｑ，③0∈Ｎ，④0∈，⑤｛π｝与｛3.1415926｝表示同一集合,其中正确的个数是( )个.随笔： A.4B.3C.2D.1答案: C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.3.集合A=｛x ∈R|x 2+x+1=0｝,B=｛x ∈N|x(x 2+6x+10)=0｝,C=｛绝对值小于2的质数｝,D=｛(x,y)|y 2=-x ２,x ∈R,y ∈R ｝其中是空集的有( )个.A.1B.2C.3D.4答案: B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.4.下列表示同一个集合的是( ).A.M=｛(1，2)｝，N=｛(2，1)｝B.M=｛1，2｝，N=｛2，1｝C.M=｛y|y=x-1,x ∈R ｝,N=｛y|y=x-1,x ∈N ｝D.M=(x ，y)21--x y =1，N=｛(x ，y)|y-1=x-2｝ 答案: B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)M,但(2,1)∈N.5.设三角形三边长分别为a ，b ，c ，若它们能构成集合A=｛a ，b ，c ｝，则此三角形一定不是( ). A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案: D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．6.由实数x ，-x ，|x|，2x ，33x -所组成的集合中，最多含有( )个元素.A.2B.3C.4D.5答案: A 提示：2x =|x|=()()00<-≥x x x x ,33x-=-x 当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．7.集合A=｛一条边为1,一个角为40°的等腰三角形｝中的元素个数为( ). A.2B.3C.4D.无数个答案: C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C.8.已知集合Ｍ＝｛(x,y)|x+y=2｝,N=｛(x,y)|x-y=4｝,那么，集合｛x|x ∈M 且x ∈N ｝为( ). A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.｛3,-1｝D.｛(3,-1)｝答案: D 提示：方程组的解集是点集.９.设a,b,c 为非零实数,则A=||||||||abc abc c c b b a a +++的所有值组成的集合为( ). A.｛4｝B.｛-4｝C.｛0｝D.｛0,-4,4｝答案: D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论.10.集合｛3,49,37,25 ,…｝可表示为( ). A.｛x|x=nn 212+,n ∈N*｝B.｛x|x=n n 32+,n ∈N*｝C.｛x|x=n n 12-,n ∈N*｝D.｛x|x=nn 12+,n ∈N*｝答案: D 提示：取n=1,2,3进行排除.11.集合A=｛(x,y)|y=-1+x-2x2,x ∈R,x ≠0｝，若点P 的坐标(x,y)∈A,则( ). A.P 在第一象限或第二象限B.P 在第三象限或第四象限 C.P 在第一象限或第四象限D.P 在第二象限或第三象限答案: B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-x 21+161)-87=-2(x-41)2-87≤-87,其图像落在第三、四象限.12.集合Ａ＝｛x|x=2k,k ∈Z ｝，Ｂ＝｛x|x=2k+1,k ∈Z ｝,C=｛x|x=4k+1,k ∈Z ｝,又a ∈A,b ∈B,则有( ). Ａ.a+b ∈AB.a+b ∈B C.a+b ∈CD.a+bA 、B 、C 中任何一个答案: B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数.13.集合｛2x,-x+x 2｝中x 的取值范围为.答案: x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x2.14.设M=｛x ∈Z|x-512∈N ｝,用列举法表示集合M=. 答案: ｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x-512∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12.15.定义A-B=｛x|x ∈A 且xB ｝,若M=｛1,2,3,4,5｝,N=｛2,3,6｝,则N-M=.答案: ｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.16.n 是正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数与合数的个数相等,这样的n 称为“怪异数”,则“怪异数”的集合是.答案: ｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13. １７.已知｛x|x2+ax+b=0｝=｛3｝,求a ２+b ２+ab 的值.答案: ∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2+ab=36+81-54=63.１８.设A=｛(x,y)|21x y - =1｝,B=｛(x,y)|y=1-x ２｝,若集合C=｛(x,y)|(x,y)∈B 且（x,y ）A ｝，用列举法表示C.答案: 依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝.19.已知集合A=｛x|mx ２-3x+2=0,m ∈R ｝,(1)若A=,求m 的取值范围;(2)若A 中至多有一个元素,求m 的范围.答案: (1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞89. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=32,当m ≠0时,方程mx 2-3x+2=0有两相等实根,∴Δ＝0m=89综合可知m ≥89或m ＝0. 20.已知A=｛a-3,2a-1,a ２+1｝,其中a ∈R,(1)若-3∈A,求实数a 的值;(2)当a 为何值时,集合A 的表示不正确?答案: (1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2+1或2a-1=a 2+1或2a-1=a 2+1=a-3,分别解得a=-2或a 2-a+4=0或a 2-2a+2=0,而a 2-a+4=0和a 2-2a+2=0均无解,故a=-2.21.设集合A=｛x|x=m 2+n 2,m,n ∈Z ｝,若a,b ∈A,证明:①ab ∈A ②ba＝p 2+q 2,其中b ≠0,p 、q ∈Q. 答案: ①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴ab=(m 21+n 21)(m 22+n 22)=(m 1m 2)2+(n 1n 2)2+(m 1n 2)2+(m 2n 1)2=(m 1m 2+n 1n 2)2+(m 1n 2-m 2n 1)2∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2+n 2,m 、n ∈Z∴222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,∴b n b m ⋅∈Q 令p=bm ,q=b n ,∴p,q ∈Q,∴ba=p 2+q 2,b ≠0,p,q ∈Q.22.集合A=｛x|x=3n+1,n ∈Z ｝,B=｛x|x=3n+2,n ∈Z ｝,C=｛x|x=6n+3,n ∈Z ｝,(1)若c ∈C,求证：必有a ∈A,b ∈B 使c=a+b;(2)对任意的a ∈A,b ∈B,是否一定有a+b ∈C ？证明你的结论.答案: (1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.参考答案【一拖二】1.(1)｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集. 2.(1)｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2)由于16-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3){-1, 32}. 3.A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合. 4.A,只有(1)是空集.5.(5).其中(1)中“著名”和(4)中“很近”均是模糊概念,没有明确标准,(2)中集合只有3个元素,(3)是含有一个元素0的集合.6.依集合元素的互异性,有⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠a -a a 1a -a 1a 2解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠±≠≠20251a aa a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.7.图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝. 图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. 8.A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝ ∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且xC ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.9.∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4. ∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝. 10.∵A 中的元素是x=1-ab-1,依题意知ab -1∈B ，∴a ·ab -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-23. 【能力达标检测】1.C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.2.C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.3.B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.4.B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)M,但(2,1)∈N.5.D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．6.A 提示：2x =|x|=()()00<-≥x x x x ,33x-=-x ,当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．7.C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C. 8.D 提示：方程组的解集是点集. 9.D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论. 10.D 提示：取n=1,2,3进行排除. 11.B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-x 21+161)-87=-2(x-41)2-87≤-87,其图像落在第三、四象限.12.B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数. 13.x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x 2. 14.｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x-512∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12. 15.｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.16.｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13.17.∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2+ab=36+81-54=63. 18.依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝. 19.(1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞89. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=32,当m ≠0时,方程mx 2-3x+2=0有两相等实根,∴Δ＝0m=89综合可知m ≥89或m ＝0. 20.(1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2+1或2a-1=a 2+1或2a-1=a 2+1=a-3,分别解得a=-2或a 2-a+4=0或a 2-2a+2=0,而a 2-a+4=0和a 2-2a+2=0均无解,故a=-2.21.①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴ab=(m 21+n 21)(m 22+n 22)=(m 1m 2)2+(n 1n 2)2+(m 1n 2)2+(m 2n 1)2=(m 1m 2+n 1n 2)2+(m 1n 2-m 2n 1)2∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2+n 2,m 、n ∈Z∴222222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,∴b n b m ⋅∈Q 令p=bm ,q=bn,∴p,q ∈Q,∴a 〖〗b=p 2+q 2,b ≠0,p,q ∈Q. 22.(1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.【课本习题】 练习P5 (略)1∈N ，0∈N ，-3N ，0.5N ，2N ； 1∈Z ，0∈Z ；-3∈Z ；0.5Q ，2Z ； 1∈Q ，0∈Q ，-3∈Q ，0.5∈Q ，2Q ；1∈R ，0∈R ，-3∈R ；0.5∈R ，2∈R.练习P6页(1)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(2)｛1，2，3，6｝，有限集； (3)｛-2，2｝，有限集；(4)｛2，3，5，7｝，有限集.(1)｛x|x 是4与6的公倍数｝，无限集；(2)｛x|x=2n ，n ∈N*｝，无限集； (3)｛x|x2-2=0｝，有限集；(4)x|x ＜11〖〗4，无限集. 习题1.1 1.(1)；(2)；(3)∈；(4).2.(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321｝，有限集； (4)｛P|PO=l ｝(O 是定点，l 是定长)，无限集. 3.(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)-1-5〖〗2，-1+5〖〗2； (3)｛x|x 是大于1且小于9的偶数｝；(4)｛4，5，6｝.§1.2子集、全集、补集预备知识1.集合的概念：某些指定的对象集在一起组成一个集合.2.集合的表示法：列举法和描述法.课本知识导学运用 课本知识诠解 重要提示１.子集的概念一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A B（或B A）.当集合Ａ不包含于集合Ｂ，或集合Ｂ不包含集合Ａ时，记作A B(或B A).２.集合相等一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B.３.真子集对于两个集合Ａ与Ｂ，如果A B，并且A≠B，我们说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）.用图形语言可表示为:图1-2-11.子集的概念用数学符号表示为“ＡB若a∈A,则a∈B”.也可用,也可以用；也可用,也可用.2.用数学符号表示集合相等的概念为“A=B若a∈A，则a∈B；且若a∈B，则a∈A”A B且B A.Ａ是Ｂ的真子集用符号语言表示为“ＡＢk若a∈A，则a∈B，且至少存在一个元素b∈B，但b A”．4.当Ａ＝时，Ａ的表示是错误的．5.A在Ｓ中的补集ＣＳＡ可用图表示为：４.子集与真子集的相关结论(1)任何集合是它本身的子集.故有，A，A A成立;(2)空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.(3)集合与集合间的包含关系与相等关系满足传递性,即:若A B,B C,则A C;若A B,B C,则A C;若A＝B,B＝C,则A＝C.5.全集与补集的概念(1)全集:如果一个集合中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.全集通常用U来表示.(2)补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即A S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作CSA,即CSA=｛x|x∈S,且x A｝.(3)补集的特殊性质：CSS=，CS=S，CS（CSA）=A.基础例题点拨【例题1】写出集合｛a,b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.【解析】集合｛a,b｝的所有子集是，｛a｝,｛b｝,｛a,b｝,其中，｛a｝,｛b｝是｛a,b｝的真子集.【思路点拨】若集合A有n个元素,则它的子集有2n个,真子集个数有2n-1个(即去掉与集合A本身相等的那一个).写出子集时,可通过含有0个元素(即空集),1个元素,2个元素,…n个元素的子集依次写出.【例题2】填空:(1)如果全集U=Z,那么N的补集C U N=;图1-2-2随笔：随笔：拖1写出符合条件{1}A{1，2，3，4}的所有集合A。
人教版小学一年级数学上册第八单元《解决问题(例6)》优质课教案公开课教案
解决问题（例5）一、学习目标（一）学习内容《义务教育教科书数学》（人教版）一年级上册第97页情境图及第99页练习二十三的第1、3、5、6题。
《解决问题》是“数的运算”这一部分的课程内容。
《课程标准》要求：能运用数及数的运算解决生活中的简单问题。
本节课是人教版数学一年级上册第八单元的第四课时，是在学习了关于前面解决问题的基础上，来学习20以内的解决问题。
从情境图中了解到以图文结合的形式来提供较多的信息，并且在同一情境图中呈现了不同的解决方法，体现了数学与生活的广泛联系。
（二）核心能力“解决问题”这节课，通过经历发现问题和提出问题，运用所学知识解决简单的实际问题的过程，培养学生的应用意识，提高实践能力。
（三）学习目标1.借助情境图，学生能找出解决问题需要的信息，体会两个相关信息和一个问题构成一个数学问题。
2.经历解决问题的过程中，学生能运用不同的方法解决同一个实际问题。
（四）学习重点会看图找到有用的信息解决问题。
（五）教学难点根据信息和问题之间的关系，选择合适的信息并列式计算。
（六）配套资源实施资源：《解决问题》名师课件二、学习设计（一）课前设计预习任务（1）预习课本第97页，说一说图中有什么信息，哪些信息是有关的？（2）要求一共有多少人？用（）法计算。
练习：（1）左边盘子里有5个苹果，右边盘子里有8个，一共有（）个苹果。
（2）小明折了6颗星星，小丽折了7颗，一共折了（）颗星星。
（二）课堂设计1.复习导入师：说一说图中告诉我们什么？要解决的问题是什么？并解答。
2.问题探究师：马上要到元旦了，小朋友们要开联欢会了，一一班的小朋友在排练节目呢，你们看！（课件出示主题图。
表演的同学一会儿按前后分两排分开，一会儿按男生、女生分开）仔细观察这幅图，你看到了什么数学信息？同桌相互说一说。
【设计意图：通过播放课件小朋友们联欢会的景象，学生兴趣大增，提高学生的学习兴趣。
】（1）发现问题师：根据这些信息，你能提出什么数学问题？师：有哪些信息跟这个问题有关系连起来说一说。
人教版一年级数学上册试卷全集附答案(22套)
人教版一年级数学上册试卷全集附答案(22套)试卷一：数的认识一、选择题1. 1.2.3.4.5. 这几个数中，哪个数最大？A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5二、填空题2. 3个______ 相加等于6。
三、解答题3. 有5个苹果，小明吃了2个，请问还剩几个苹果？答案1. A2. 23. 3---试卷二：数的运算一、选择题1. 2 + 3 = ?A. 4B. 5C. 6D. 7E. 8二、填空题2. 4 + ___ = 7三、解答题3. 小明有3个橘子，小红给了小明2个橘子，请问小明现在有几个橘子？答案1. B2. 33. 5---试卷三：几何图形一、选择题1. 下图中，哪个图形是圆形？A. 图1B. 图2C. 图3D. 图4E. 图5二、填空题2. 一个正方形有____个角。
三、解答题3. 请画出一个三角形。
答案1. C2. 43.---试卷四：位置与方向一、选择题1. 小明面向南，他的左边是______，右边是______。
A. 东方B. 西方C. 北方D. 南方二、填空题2. 上北下南，左西右东，那么______表示北方。
三、解答题3. 小明从家出发，向东走了5米，然后向南走了3米，请问小明现在在哪里？答案1. C2. 上3.---试卷五：量的比较一、选择题1. 3个苹果和2个橙子哪个多？A. 苹果B. 橙子C. 一样多二、填空题2. 5个______比3个______多。
三、解答题3. 小明有4个篮球，小红有3个篮球，请问篮球的数量谁多谁少？多几个？答案1. A2. 苹果橙子3. 小明多1个篮球---试卷六：时间与货币一、选择题1. 1小时等于______分钟。
A. 60B. 30C. 120D. 90E. 180二、填空题2. 1元钱可以买______个糖果。
三、解答题3. 小明买了一支铅笔花了5角，请问小明还剩多少钱？答案1. A2. 103. 小明还剩5角。
新人教版数学一年级上册导学案(全册)
第一单元
一、 容：准备课
二、教学目标：
1通过数数活动，初步了解学生的数数情况，使学生初步学会数数的方法。
2、使学生通过操作，初步知道“同样多”“多”“少”的含义，会用一一对应的方法比较物体的多少。
3、帮助学生了解学校生活，激发学生学习数学的兴趣，渗透思想品德教育。
三、教材分析：P2-3页展现在学生面前的是“美丽的校园”，以小学为背景，使学生知道自己已经是一名小学生了，同时校园内外的事物数量都用到10以内各数，且每种数量不止一种，给数数提供了尽可能多的信息资源。P4-5页集合图中的具体事物与10以内各数对应，让学生认一认、读一读，了解学生认数、读数的情况。这里还不是正式教学生认读。在本单元中只是初步了解学生数数、读数的情况，还不是正式的教学没有安排专门的练习内容。教材通过引人入胜的“小猪帮小兔盖房子”的童话故事情境，引出学习内容，引导学生自主探究，进行各种不同的比较，小兔和萝卜，小猪和石登，小兔和小鱼等比较，充分感知“同样多”“多”“少”。充分利用教材的资源。 数主题图中的事物：充分地数同一数量的事物。 数周围的事物：有意识地把数学活动引向身边、校园、校园外。让数数活动，从书本走向生活。在数数活动中，初步体会数的含义，不断感受到生活中处处要用到数，数就在我们身边。由此，对数学产生亲切感，产生学好数学的愿望，初步学会数数的方法。
3、动动手：教师在黑板上贴3个○（学生跟着在台下摆），要求对着○摆□，□要和○同样多。指名一人在黑板上摆，其余同学在下面摆，摆完后说说摆的方法。
4、同桌左边的同学摆任意个□,右边的同学摆△，使得□和△同样多。说说摆的方法。
5、找一找：在p6、p7的图中找出同样多的东西。
（二）多些、少些：
1、教师贴出4个三角形，学生说是几个，再贴出3个正方形，学生说有几个。问：三角形和正方形同样多吗？你怎么看出来的？（教师伺机连线）教师引导学生：三角形有剩余，正方形没有剩余，我们就说正方形少些，三角形多些，也就是说三角形比正方形多。（板书：多些、少些）
一年级数学上册全册导学案
１．课本第9页，红色铅笔（），绿色铅笔（）。
２．比较物体的长短和高矮要注意什么？
3．完成课本第10页的“做一做”。
三、过关检测：
2．哪根绳子最长？请画上√。
————（）
——————————（）
————————（）
2．给高的画“△”，给矮的画“○”。
（）（）
3．比一比。
⑴拿出两支铅笔比一比，说一说哪支长哪支短。
4 4 4
1 3 2 2 3 1
3、读4的组成
(1)读：4可以分成1和3，1和3组成4。4可以分成2和2，2和2组成4。
4可以分成3和1，3和1组成4。
(2)自由地读，小组同学间对口令
5的组成：
1、拿出5根小棒，摆一摆，可以摆成一个什么图形？（小组合作、动手、交流）
2、能把这5根小棒分成两堆吗？还有不同的分法吗？(根据小组同学回答情况，小组形成以下资料)
学习重点：认识“＜”“＞”“=”这三种符号及其含义，同时知道这三种符号的读法和作用。
学习难点：认识“＜”“＞”“=”这三种符号及其含义，建立符号感。
学案
导学案
学习过程：
一、复习旧知(一)认读1～5各数
(二)排序
1、教师报数字请学生拿：2、5、3、1、4。
2、4、2、5、1、3，请学生把以上几个数字按从小到大的顺序排列。
六、小结：你学到了什么本领？
总结、评价：今天的学习，我学会了：。
我在方面的表现很好，在方面表现不够，以后要注意的是：。
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）
教师报数。
教师引导学生
理解题意。
指导学生操作学具，用一一对应的方法竖排出来，说出谁多谁少。教师出示相应图片及数字。
(完整版)人教版初中数学总复习资料doc
(完整版)人教版初中数学总复习资料doc①已知三边作三角形②已知两边及其夹角作三角形③已知两角及其夹边作三角形④已知底边及底边上的高作等腰三角形⑹过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆⒏视图与投影⑴直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图⑵轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆⑶中心对称图形：矩形、圆、⑷图形的平移和旋转⑸图形的相似：(三)概率与统计⒈统计⑴重要概念①总体：考察对象的全体。
②个体：总体中每一个考察对象。
③样本：从总体中抽出的一部分个体。
④样本容量：样本中个体的数目。
⑤众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
⑥中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）。
⑵扇形统计图、条形统计图、折线统计图⑶计算方法①平均数：某1(某1某2某n)n某②加权平均数：kfk某某1f1某2f2f1f2fnkn)③样本方差：⑴s1[(某1某)2(某2某)2(某n某)2]n④样本标准差：ss2⑤极差：最大的数减去最小的数⒉概率①列表法、画树状图法93同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合1042定理1关于条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）某180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a某b）÷267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过其中一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形1177角相等的梯形是等腰梯形78平行等分段定理如果一平行在一条直上截得的段相等，那么在其他直上截得的段也相等79推1梯形一腰的中点与底平行的直，必平分另一腰80推2三角形一的中点与另一平行的直，必平分第三81三角形中位定理三角形的中位平行于第三，并且等于它的一半82梯形中位定理梯形的中位平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L某h83 (1) 比例的基本性如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2) 合比性如果 a／ b=c／ d,那么(a ±b)／b=(c ±d)／d85(3)等比性如果a／b=c／d=?=m／n(b+d+?+n≠0),那么(a+c+?+m)／(b+d+?+n)=a／b86平行分段成比例定理三条平行截两条直，所得的段成比例87推平行于三角形一的直截其他两（或两的延），所得的段成比例88定理如果一条直截三角形的两（或两的延）所得的段成比例，那么条直平行于三角形的第三89平行于三角形的一，并且和其他两相交的直，所截得的三角形的三与原三角形三成比例90定理平行于三角形一的直和其他两（或两的延）相交，所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角相等，两三角形相似（ASA）92直角三角形被斜上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2两成比例且角相等，两三角形相似（SAS）94判定定理3三成比例，两三角形相似（SSS）95定理如果一个直角三角形的斜和一条直角与另一个直角三角形的斜和一条直角成比例，那么两个直角三角形相似96性定理1相似三角形高的比，中的比与角平分的比都等于相似比97性定理2相似三角形周的比等于相似比98性定理3相似三角形面的比等于相似比的平方99任意角的正弦等于它的余角的余弦，任意角的余弦等于它的余角的正弦100任意角的正切等于它的余角的余切，任意角的余切等于它的余角的正切101是定点的距离等于定的点的集合102的内部可以看作是心的距离小于半径的点的集合12103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
新版人教版小学数学一年级上册课程纲要
人教版小学数学一年级上册课程纲要课程类型：基础型课程教学材料：人民教育出版社2012年出版的《一年级上册数学》授课时间：60课时左右授课教师：任晓洁适用年级：小学一年级学校：水磨小学课程内容：这一册教材包括下面一些内容：准备课，位置，1—5的认识和加减法，认识图形（一），6—10的认识和加减法，11—20各数的认识，数学乐园，认识钟表，20以内数的进位加法，总复习。
单元序号单元专题学习重点教学内容课时安排1 准备课认识1—10数字，会进行比多少的简单描述数一数，比多少 42 位置会用“上、下”、“前、后”、“左、右”描述物体的相对位置。
上、下；前、后；左、右；位置。
63 1—5的认识和加减法体会加减法的含义，简单的计算。
1—5的认识，认识＜，＝，＞，第几，分与合，加减法的含义和计算。
124 认识图形（一）通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。
认识长方体、正方体、圆柱和球，简单的拼组。
4课程目标：1、熟练地数出数量在20以内的物体的个数，会区分几个和第几个，掌握数的顺序和大小，掌握10以内各数的组成，会读写0—20各数。
2、认识符号＜，＝，＞的含义，能够用符号和词语来描述20以内数的大小。
3、初步认识加减法的含义和加减法算式中各部分名称，初步知道加法和减法的关系，比较熟练地计算一位数的加法和10以内的减法。
56—10的认识和加减法会运用数的分解和组合进行计算，会解决大括号题。
数的分解和组合，6—10的加减法，大括号题型 17611—20各数的认识，会数11—20各数及组成11—20各数的认识，读数写数，47认识钟表会认、读、写整时。
整时，快几时了，几时刚过4820以内数的进位加法，会熟练计算20以内的进位加法20以内的进位加法，解决问题11 9总复习巩固知识，提高能力 10以内的加减法和20以内的进位加法； 11--20以内数的读写法、组成；立体图形的认识，认识钟表；位置，数学乐园； 综合课54、初步学会根据加减法的含义和算法解决一些简单的实际问题。
人教版1-6年级数学上册易错题集锦(附答案)
人教版一年级数学上册易错题集锦一、我会填。
1、把下列各数按从小到大的顺序排列。
10 6 3 20 15（）<（）<（）<（）<（）2、写一写，填一填。
（）个十和（）个一是（）（）个十和（）个一是（）（）个十是（）（）个十和（）个一是（）3、（1）10里面有（）个一；20里面有（）个一。
（2）20里面有（）个十，减少1个十是（）。
（3）10里面有（）个十，添上1个十是（）。
（4）1个十和8个一合起来是（），添上下1个一是（）。
（5）13里面有（）个一；13里面有（）个十和（）个一。
4、（1）一共有（）只小兔，再添上（）只就是10只。
（2）从右数起，把第4只小兔涂黑。
（3）把左边的4只小兔圈起来。
5、用下列的数，写出不同的算式。
13 8 7 9 4 6 12 106、看图写出四个算式。
7、说图意，写算式。
8、看图填空。
王力在李明的（后）面，刘强在李明的（）面。
张永的后面是（），李明的前面是（）。
刘强的前面有（）人，后面有（）人。
9、看图填空。
10、过1小时后是几时？11、看图填空：（１）一共有（）个图形。
（２）从右数起，把第３个图形涂黑。
（３）把左边的４个图形圈起来。
12、（1）13里面有（）个一和（）个十，添上1个一是（）；（）个十和（）个一组成18，减少1个十是（）。
（2）10个一就是一个（），10里面有（）个十，10添上1个十是（），20里面有（）个十。
（3）15中的1表示（）个（），5表示（）个（）。
（4）十位上的数是1，个位上的数是6，这个数是（）。
个位上是8，十位上是1，这个数是（）。
（5）1个十和6个一合起来是（）；1个一和6个十合起来是（）。
2个十合起来是（）。
（6）19前面一个数是（），后面一个数是（）。
（7）与12相邻的两个数是（）和（）。
13、看图数一数，填一填。
二、看图列式。
（3）三、用数学（1）（2）（3）（4）美美和丽丽之间有（）人。
（5）一共有多少人？（6）一共有多少头象？（7）（8）（9）（10）（11）现在有几只？（12）现在有几只？（13）（14）爸爸买了一些作业本，我用了3本，还剩下10本。
2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一期末复习题目
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|－1<x≤5}，U＝R.(1)求A∩B，A∪B；(2)求(∁R A)∩B.19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A＝{x∈Z|－2≤x≤5}，求A的非空真子集的个数；(2)若A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax ＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．21．(本小题满分12分)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．22．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若－1∈B，求a的值；(2)若B⊆A，求a的值．16.已知集合A={x|1<x<3},B={x|-1<x<m+2},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是m≥1.解析:因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A⫋B,所以m+2≥3,所以m≥1.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(2)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则>;(3)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(4)∃x∈R,使得x2+1=0.解:(1)存在量词命题.因为99既能被11整除,又能被9整除,所以是真命题.(2)全称量词命题.存在x1=-1,x2=1,x1<x2,但<,所以是假命题.(3)全称量词命题.因为存在x=0使x2+x+1=0不成立,故是假命题.(4)存在量词命题.因为对任意x∈R,x2+1>0,所以是假命题.18.(12分)已知命题p:3a<m<4a(a>0),命题q:1<m<,且q是p 的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:因为q是p的必要不充分条件,所以p⇒q,q⇒/p,从而有或解得≤a≤.所以实数a的取值范围是≤a≤.19.(12分)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=,试判断集合A与B的关系;(2)若B⊆A,求实数a的值.解:(1)A={3,5},当a=时,由已知可得B={5},所以B是A的真子集.(2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时a=0;当B≠⌀时,集合B=,又因为B⊆A,所以=3或=5,解得a=或a=.综上,a的值为0或或.20.(12分)已知集合A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若C⊆B,求实数a的取值范围.解:(1)因为A={x|1<x<6},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|1<x<10},∁R A={x|x≤1,或x≥6},所以(∁R A)∩B={x|6≤x<10}.(2)因为C⊆B,①当C=⌀时,满足题意,此时有5-a≥a,所以a≤;②当C≠⌀时,则有解得<a≤3.所以a的取值范围是a≤3.21.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.解:(1)若A是空集,则方程ax2-3x+2=0无解,此时Δ=9-8a<0,即a>.(2)若A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根,当a=0时方程为一元一次方程,满足条件.当a≠0,此时Δ=9-8a=0,解得:a=.所以a=0或a=.若a=0,则有A=,若a=,则有A=.(3)若A中至多只有一个元素,则A为空集,或有且只有一个元素.由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是a=0或a≥.22.(12分)设全集是实数集R,集合A=x≤x≤2,B={x|x-a<0}.(1)当a=1时,分别求A∩B与A∪B;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围;(3)若(∁R A)∩B=B,求实数a的最大值.解:(1)当a=1时,B={x|x<1},所以A∩B=,A∪B={x|x≤2}.(2)因为A⊆B,所以a>2,所以实数a的取值范围为a>2.(3)因为(∁R A)∩B=B,所以B⊆∁R A.又因为∁R A=,所以a≤,所以实数a的最大值为.2020-2021学年高中数学新教材人教版必修一 第一章集合与常用逻辑用语 单元测试1．解析：A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |0≤x <2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选C.答案：C2．解析：由题意得，B ＝{1,4,7,10}，所以A ∩B ＝{1,4}． 答案：D 3．解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得命题“∃x 0∈(0，＋∞)，x 20＋1≤2x 0”的否定为“∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>2x ”，故选A.答案：A4．解析：联立A 与B 中方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x ＋4，消去y 得：3x －2＝x ＋4，解得：x ＝3， 把x ＝3代入得：y ＝9－2＝7，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝7，∵A ＝{(x ，y )|y ＝3x －2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋4}， ∴A ∩B ＝{(3,7)}，故选B. 答案：B5．解析：全集U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{0,2}，则A ＝{1,3}，故集合A 的真子集共有22－1＝3个．故选A.答案：A6．解析：∵x >1，∴x 3>1.又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.答案：C7．解析：由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，即a ∈P ，因为集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1.答案：C8．解析：∵b a 为分式，∴a ≠0，∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴b a ＝0，即b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a时，a ＝－1或a ＝1，当a ＝1时，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，当a ＝－1时，即得集合{－1,0,1}，满足．当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1a 2＝a时，a ＝1，即得集合{1,0,1}，不符合元素的互异性，故舍去，综上，a ＝－1, b ＝0.∴a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1，故选C. 答案：C9．解析：10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A 正确；由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}表示同一集合，故B 正确；方程x 2－2x ＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C 错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误．故选CD.答案：CD10．解析：∵A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2,0,1,8}，C ＝{1,9,3,8}， ∴B ∩C ＝{1,8}∴A ⊆(B ∩C )⇒A ⊆(1,8)，故选AC. 答案：AC 11．解析：根据venn 图，可直接得出结果．由venn 图可知，ABCD 都是充要条件．故选ABCD. 答案：ABCD 12．解析：A 中，－1∈B,1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”，故A 说法不正确；B 中，有理数集满足“完美集”的定义，故B 说法正确；C 中，0∈A ，x 、y ∈A ，∴0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ，故C 说法正确；D 中，对任意一个“完美集”A ，任取x 、y ∈A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x 、y 均不为0、1，而1xy ＝12xy ＋12xy ＝1(x ＋y )2－x 2－y 2＋1(x ＋y )2－x 2－y 2，x 、x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x (x －1)∈A ，∴x (x －1)∈A ， 进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .同理，y 2∈A ，则x 2＋y 2∈A ，(x ＋y )2∈A ，∴2xy ＝(x ＋y )2－(x 2＋y 2)∈A .∴1(x ＋y )2－x 2－y 2∈A ，结合前面的算式，知xy ∈A ，故D 说法正确；故选：BCD. 答案：BCD13．解析：因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >0}，所以A ∩B ＝{x |0<x <2}，(∁R B )∪A ＝{x |x <2}．答案：{x |0<x <2} {x |x <2} 14．答案：必要不充分15．解析：因为集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，且3∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2＝3，2m 2＋m ≠3，或⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m ＝3，m ＋2≠3.解得m ＝－32. 答案：－3216．解析：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，当N ＝∅时，2t ＋1≤2－t ，即t ≤13，此时M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由下图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.综上可知，实数t 的取值范围是{t |t ≤2}． 答案：{t |t ≤2}17．解析：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”；(2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．18．解析：(1)由题意，集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以A ∩B ＝{x |－1<x <4}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤5}．(2)由题意，可得∁R A ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，所以(∁R A )∩B ＝{x |4≤x ≤5}．19．解析：(1)∵A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集有28－2＝254(个)．(2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，∴m <2；当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.综上可知，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．20．解析：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12.综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 21．解析：x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0得x <－p 4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．22．解析：(1)由题意，因为－1∈B ，即x ＝－1是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的根，可得1－2(a ＋1)＋a 2－1＝0，即a 2－2a －2＝0，解得a ＝1±3；(2)由题意，集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因为B ⊆A ，可得①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1；②当B ＝{0}或{－4}时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{x |x 2＝0}＝{0}满足题意；③当B ＝{0，－4}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝－4a 2－1＝0，解得a ＝1， 综上可得，a ＝1或a ≤－1.。
一年级上册数学全册备课
一年级上册数学全册备课（自己备）一、课程目标通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。
具体阐述如下：（一）知识与技能经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
（二）数学思考经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
（三）解决问题初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
初步形成评价与反思的意识。
（四）情感与态度能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。