遗传算法与函数优化
遗传算法遗传算法
（5）遗传算法在解空间进行高效启发式搜索，而非盲 目地穷举或完全随机搜索；
（6）遗传算法对于待寻优的函数基本无限制，它既不 要求函数连续，也不要求函数可微，既可以是数学解 析式所表示的显函数，又可以是映射矩阵甚至是神经 网络的隐函数，因而应用范围较广；
（7）遗传算法具有并行计算的特点，因而可通过大规 模并行计算来提高计算速度，适合大规模复杂问题的 优化。
26
（4）基本遗传算法的运行参数 有下述4个运行参数需要提前设定：
M：群体大小，即群体中所含个体的数量，一般取为 20~100； G：遗传算法的终止进化代数，一般取为100~500； Pc：交叉概率，一般取为0.4~0.99；
Pm：变异概率，一般取为0.0001~0.1。
27
10.4.2 遗传算法的应用步骤
遗传算法简称GA（Genetic Algorithms）是1962年 由美国Michigan大学的Holland教授提出的模拟自然 界遗传机制和生物进化论而成的一种并行随机搜索最 优化方法。
遗传算法是以达尔文的自然选择学说为基础发展起 来的。自然选择学说包括以下三个方面：
1
（1）遗传：这是生物的普遍特征，亲代把生物信息交 给子代，子代总是和亲代具有相同或相似的性状。生 物有了这个特征，物种才能稳定存在。
18
（3）生产调度问题 在很多情况下，采用建立数学模型的方法难以对生
产调度问题进行精确求解。在现实生产中多采用一些 经验进行调度。遗传算法是解决复杂调度问题的有效 工具，在单件生产车间调度、流水线生产车间调度、 生产规划、任务分配等方面遗传算法都得到了有效的 应用。
19
（4）自动控制。 在自动控制领域中有很多与优化相关的问题需要求
10
MATLAB实验遗传算法与优化设计（可编辑）
MATLAB实验遗传算法与优化设计遗传算法与优化设计一实验目的1 了解遗传算法的基本原理和基本操作选择交叉变异2 学习使用Matlab中的遗传算法工具箱 gatool 来解决优化设计问题二实验原理及遗传算法工具箱介绍1 一个优化设计例子图1所示是用于传输微波信号的微带线电极的横截面结构示意图上下两根黑条分别代表上电极和下电极一般下电极接地上电极接输入信号电极之间是介质如空气陶瓷等微带电极的结构参数如图所示Wt分别是上电极的宽度和厚度D是上下电极间距当微波信号在微带线中传输时由于趋肤效应微带线中的电流集中在电极的表面会产生较大的欧姆损耗根据微带传输线理论高频工作状态下假定信号频率1GHz电极的欧姆损耗可以写成简单起见不考虑电极厚度造成电极宽度的增加图1 微带线横截面结构以及场分布示意图1其中为金属的表面电阻率为电阻率可见电极的结构参数影响着电极损耗通过合理设计这些参数可以使电极的欧姆损耗做到最小这就是所谓的最优化问题或者称为规划设计问题此处设计变量有3个WDt它们组成决策向量[W D t] T待优化函数称为目标函数上述优化设计问题可以抽象为数学描述2其中是决策向量x1xn为n个设计变量这是一个单目标的数学规划问题在一组针对决策变量的约束条件下使目标函数最小化有时也可能是最大化此时在目标函数前添个负号即可满足约束条件的解X 称为可行解所有满足条件的X组成问题的可行解空间2 遗传算法基本原理和基本操作遗传算法 Genetic Algorithm GA 是一种非常实用高效鲁棒性强的优化技术广泛应用于工程技术的各个领域如函数优化机器学习图像处理生产调度等遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化算法按照达尔文的进化论生物在进化过程中物竞天择对自然环境适应度高的物种被保留下来适应度差的物种而被淘汰物种通过遗传将这些好的性状复制给下一代同时也通过种间的交配交叉和变异不断产生新的物种以适应环境的变化从总体水平上看生物在进化过程中子代总要比其父代优良因此生物的进化过程其实就是一个不断产生优良物种的过程这和优化设计问题具有惊人的相似性从而使得生物的遗传和进化能够被用于实际的优化设计问题按照生物学知识遗传信息基因Gene 的载体是染色体Chromosome 染色体中一定数量的基因按照一定的规律排列即编码遗传基因在染色体中的排列位置称为基因座Locus在同一个基因座上所有可能的基因就称为等位基因Allele生物所持有的基因以及基因的构成形式称为生物的基因型Genotype而该生物在环境中所呈现的相应性状称为该生物的表现型Phenotype在遗传过程中染色体上的基因能够直接复制给子代从而使得子代具有亲代的特征此外两条染色体之间也通过交叉 Crossover 而重组即两个染色体在某个相同的位置处被截断其前后两串基因交叉组合而形成两个新的染色体在基因复制时也会产生微小的变异Mutation从而也产生了新的染色体因此交叉和变异是产生新物种的主要途径由于自然选择在子代群体新产生的物种或染色体当中只有那些对环境适应度高的才能生存下来即适应度越高的被选择的概率也越大然后又是通过遗传和变异再自然选择一代一代不断进化因此生物遗传和进化的基本过程就是选择即复制交叉和变异遗传算法就是通过模拟生物进化的这几个基本过程而实现的①编码编码是设计遗传算法首要解决的问题在生物进化中选择交叉变异这些基本过程都是基于遗传信息的编码方式进行的即基于染色体的基因型而非表现型因此要模拟生物进化过程遗传算法必须首先对问题的可行解X决策向量进行某种编码以便借鉴生物学中染色体和基因等概念在遗传算法中将每一个决策向量X用一个染色体V来表示3其中每一个vi代表一个基因染色体的长度m不一定等于设计变量的数目n取决于染色体上基因的编码方式一般有两种编码方式二进制编码和浮点数编码如果是二进制编码每一个设计变量xi的真实值用一串二进制符号0和1按照一定的编码规则来表示每个二进制符号就代表一个基因因此染色体长度要远大于设计变量的数目这种由二进制编码构成的排列形式V就是染色体也称个体的基因型而基因型经过解码后所对应的决策向量X即可行解就是个体的表现型如果是浮点数编码每个设计变量用其取值范围内的一个浮点数表示构成染色体的一个基因vi因此个体的编码长度m也就等于决策变量的个数n由于这种编码方式使用的是决策变量的真实值所以也称真值编码方法无论哪种编码方式所有可能的染色体个体V构成问题的搜索空间种群遗传算法对最优解的搜索就是在搜索空间中搜索适应度最高的染色体后面叙述适应度的计算因此通过编码将一个问题的可行解从其解空间转换到了遗传算法能够处理的搜索空间经过个体的编码后就可以进行遗传算法的基本操作选择交叉和变异②选择复制操作选择也就是复制是在群体中选择适应度高的个体产生新群体的过程生物的进化是以集团为主体的与此相应遗传算法的运算对象是有M个个体或染色体组成的集合称为种群M也称为种群规模遗传算法在模拟自然选择时以个体的适应度Fitness高低为选择依据即适应度高的个体被遗传到下一代种群的概率较高而适应度低的个体遗传到下一代的概率则相对较低个体适应度由适应度函数计算适应度函数总是和个体表现型 ie X 的目标函数值f X 关联一般是由目标函数经过一定的变换得到一种最简单的方法就是直接使用目标函数f X 作为适应度函数4选定了适应度函数之后个体适应度也随之确定则在选择操作时个体被选中的概率5其中Fi为个体的适应度这种选择方式称为比例选择也称轮盘赌选择除此之外还有多种选择方法如随机竞争选择均匀选择无回放随机选择等不一一介绍③交叉操作所谓交叉就是以一定的概率交叉概率从群体中选择两个个体染色体按照某种方式交换其部分基因从而形成两个新的个体在遗传算法中它是产生新个体同时也是获得新的优良个体的主要方法它决定了遗传算法的全局搜索能力对于不同的编码方式交叉操作的具体方法也不相同对于浮点数编码一般使用算术交叉对于二进制编码有单点交叉和多点交叉等方式不论何种方式在交叉操作时首先应定义交叉概率Pc这个概率表明种群中参与交叉的个体数目的期望值是M 是种群规模通常交叉概率应取较大的值以便产生较多的新个体增加全局搜索力度但是Pc过大时优良个体被破坏的可能性也越大如果Pc 太小则搜索进程变慢影响算法的运行效率一般建议的取值范围是04–099④变异操作遗传算法中的变异操作就是将染色体上某些基因座上的基因以一定的变异概率Pm用其他的等位基因替代从而形成新的个体对于浮点数编码变异操作就是将变异点处的基因用该基因取值范围内的一个随机数替换对于二进制编码则是将变异点处的基因由1变成00变成1变异操作也有多种方法如均匀变异非均匀变异高斯变异等变异操作的概率Pm要比交叉操作的概率Pc小得多变异只是产生新个体的辅助手段但它是遗传算法必不可少的一个环节因为变异操作决定了算法的局部搜索能力它弥补了交叉操作无法对搜索空间的细节进行局部搜索的不足因此交叉和变异操作相互配合共同完成对搜索空间的全局和局部搜索以上简要介绍了遗传算法的基本原理和操作归纳起来基本遗传算法一般可以表示为一个8元组6式中C 个体的编码方法E 个体适应度评价函数P0 初始种群M 种群规模选择操作交叉操作变异操作是进化终止代数进化终止条件其中有4个运行参数需要预先设定M T PcPm 种群规模M一般取为20100 终止代数T一般取100500交叉概率Pc一般取04099 变异概率Pm一般取0000101最后给出遗传算法的基本步骤①选择二进制编码或浮点数编码把问题的解表示成染色体②随机产生一群染色体个体也就是初始种群③计算每一个个体的适应度值按适者生存的原则从中选择出适应度较大的染色体进行复制再通过交叉变异过程产生更适应环境的新一代染色体群即子代④重复第3步经过这样的一代一代地进化最后就会收敛到最适应环境适应度最大的一个染色体即个体上它就是问题的最优解图2给出了基本遗传算法设计流程图其中t代表当前代数T是进化终止代数图2 基本遗传算法设计流程图3 Matlab遗传算法工具箱 gatoolMatlab的遗传算法工具箱有一个精心设计的图形用户界面可以帮助用户直观方便快速地利用遗传算法求解最优化问题在Matlab命令窗口输入命令gatool可以打开遗传算法工具箱的图形用户界面如图3所示GA工具箱的参数设置步骤如下图3 遗传算法工具1 首先使用遗传算法工具箱必须输入下列信息Fitness function 适应度函数这里指的是待优化的函数也即目标函数该工具箱总是试图寻找目标函数的最小值输入适应度函数的格式为fitnessfun其中符号产生函数fitnessfun的句柄fitnessfun代表用户编写的计算适应度函数目标函数的M文件名该M文件的编写方法如下假定我们要计算Rastrigin函数的最小值7M函数文件确定这个函数必须接受一个长度为2的行向量X也即决策向量向量的长度等于变量数目行向量X的每个元素分别和变量x1和x2对应另外M文件要返回一个标量Z其值等于该函数的值下面是计算Rastrigin函数的M文件代码function Z Ras_fun XZ 20X 1 2X 2 2-10 cos 2piX 1 cos 2piX 2M文件编写保存后再在gatool工具箱界面Fitness function栏输入 Ras_funNumber of variable 变量个数目标函数中的变量数目也即适应度函数输入向量的长度在上例中它的值是22 其次设置遗传算法参数即Options设置以下只介绍部分运行参数的设置其他未提及的参数采用默认设置即可①种群参数 PopulationPopulation size 种群规模每一代中的个体数目一般是20-100之间种群规模大算法搜索更彻底可以增加算法搜索全局最优而非局部最优的概率但是耗时也更长Initial range 初始范围其值是两行的矩阵代表初始种群中个体的搜索范围实际上是决策向量X中每个变量xi的初始搜索范围矩阵的列数等于变量个数Number of variable第一行是每个变量的下限第二行是每个变量的上限如果只输入2 1的矩阵则每个变量的初始搜索范围都一样注意初始范围仅限定初始种群中个体或决策向量的范围后续各代中的个体可以不在初始范围之内初始范围不能设置太小否则造成个体之间的差异过小即种群的多样性降低不利于算法搜索到最优解②复制参数 ReproductionCrossover fraction 交叉概率一般取04099默认08③算法终止准则 Stopping Criteria提供了5种算法终止条件Generations最大的进化代数一般取100500默认是100当遗传算法运行到该参数指定的世代计算终止Time limit指明算法终止执行前的最大时间单位是秒缺省是Inf 无穷大Fitness limit 适应度限当最优适应度值小于或等于此参数值时计算终止缺省是-InfStall generation 停滞代数如果每一代的最佳适应度值在该参数指定的代数没有改善则终止计算缺省是50代Stall time 停滞时间如果每一代的最佳适应度值在该参数指定的时间间隔内没有改善则终止计算缺省是20秒3 设置绘图参数即Plots设置绘图参数Plots工作时可以从遗传算法得到图形数据当选择各种绘图参数并执行遗传算法时一个图形窗口在分离轴上显示这些图形下面介绍其中2个参数Best fitness 选择该绘图参数时将绘制每一代的最佳适应度值和进化世代数之间的关系图如图4的上图所示图中蓝色点代表每一代适应度函数的平均值黑色点代表每一代的最佳值Distance 选择此参数时绘制每一代中个体间的平均距离它反映个体之间的差异程度所以可用来衡量种群的多样性图4的下图显示的即是每一代个体间的平均距离图44 执行算法参数设置好了之后点击工具箱界面上的按钮Star 执行求解器在算法运行的同时Current generation当前代数文本框中显示当前的进化代数通过单击Pause按钮可以使计算暂停之后再点击Resume可以恢复计算当计算完成时Status and results窗格中出现如图5所示的情形图5其中包含下列信息算法终止时适应度函数的最终值即目标函数的最优值Fitness function value 0003909079476983379算法终止原因Optimization terminated imum number of generations exceeded 超出最大进化世代数最终点即目标函数的最优解[x1 x2] [-0004 -000193]两个变量的例子三实验内容1 Rastrigin函数的最小值问题函数表达式如 7 式函数图像如下图6所示它有多个局部极小值但是只有一个全局最小值Rastrigin函数的全局最小值的精确解是0出现在[x1 x2] [0 0]处图6 Rastrigin函数图像使用遗传算法工具箱近似求解Rastrigin函数的最小值首先编写计算适应度函数的M文件然后设置运行参数绘图参数Plots勾选Best fitness和Distance两项其它参数可以使用默认值执行求解器Run solver计算Rastrigin函数的最优值观察种群多样性对优化结果的影响决定遗传算法的一个重要性能是种群的多样性个体之间的距离越大则多样性越高反之则多样性越低多样性过高或过低遗传算法都可能运行不好通过实验调整Population 种群的Initial range 初始范围参数可得到种群适当的多样性取Initial range参数值[1 11]观察Rastrigin函数最小值的计算结果取Initial range参数值[1 100]观察Rastrigin函数最小值的计算结果取Initial range参数值[1 2]观察Rastrigin函数最小值的计算结果2 微带电极欧姆损耗的优化微带电极的欧姆损耗公式可由 1 式表示令设计变量[WDt] [x1 x2 x3] X变量的约束条件如下8根据 1 式和 8 式使用遗产算法工具箱优化设计电极的结构参数W 宽度 D 间距 t 厚度使得电极的欧姆损耗最小 1 式中用到的常数提示对约束条件 8 式的处理可以在编写计算适应度函数的M文件中实现方法是在M文件中引入对每个输入变量值范围的判断语句如果任一变量范围超出 8 式的限制则给该个体的适应度施加一个惩罚使得该个体被遗传到下一代的概率减小甚至为0一般可用下式对个体适应度进行调整9其中F x 是原适应度F x 是调整后的适应度P x 是罚函数为简单计本问题中我们可以给个体的适应度 com件的返回值Z 加上一个很大的数即可如正无穷Inf四思考题1 在遗传算法当中个体的变异对结果有何影响如果没有变异结果又将如何试以Rastrigin函数最小值的计算为例说明取变异概率为0即交叉概率Crossover fraction 102 遗传算法工具箱针对的是最小化函数值问题如果要利用该工具箱计算函数的最大值该如何实现。
遗传算法优化模型求解效率评估与改进策略
遗传算法优化模型求解效率评估与改进策略遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一种基于生物进化思想的启发式优化算法，在解决复杂优化问题上表现出色。
然而，随着问题规模的增大和复杂度的提高，遗传算法的求解效率成为一个关键问题。
本文将对遗传算法求解效率进行评估，并提出改进策略，以提高遗传算法的求解效率。
为了评估遗传算法的求解效率，我们需要考虑两个方面的因素：算法的收敛速度和搜索空间的规模。
首先，算法的收敛速度是衡量算法求解效率的重要指标之一。
收敛速度越快，算法越快达到最优解或近似最优解。
在遗传算法中，收敛速度一般通过收敛曲线来评估。
收敛曲线是指算法迭代过程中目标函数值的变化情况。
通过观察收敛曲线的变化趋势，我们可以判断算法是否收敛以及收敛的速度如何。
其次，搜索空间的规模也是影响遗传算法求解效率的重要因素。
搜索空间的规模越大，遗传算法需要更多的迭代次数来找到最优解。
因此，需要对问题的搜索空间进行合理的定义和划分，以减少搜索空间的规模。
针对遗传算法求解效率的评估，我们可以采用以下方法：1. 收敛速度评估：通过收敛曲线的变化趋势来评估算法的收敛速度。
可以绘制目标函数值随迭代次数的变化曲线，并观察曲线的降低速度和平稳性。
如果曲线下降迅速并趋于平稳，说明算法的收敛速度较快；反之，则需要考虑改进算法以提高收敛速度。
2. 搜索空间规模评估：通过定义和划分问题的搜索空间，并统计搜索空间的规模来评估算法的求解效率。
可以计算搜索空间的维度和具体数目，以及每个维度的取值范围。
如果搜索空间规模过大，可以考虑进行问题的优化或者使用其他的优化算法。
评估完遗传算法的求解效率后，我们可以采取以下改进策略以提高算法的求解效率：1. 适应度函数设计：适应度函数在遗传算法中起着至关重要的作用。
适应度函数的设计应该能够准确衡量个体的优劣，并具有导向性，使得更优秀的个体更有可能被选中。
可以根据具体问题的特点，设计合适的适应度函数，以提高算法的求解效率。
研究生作业_基于遗传算法优化多元多目标函数的MATLAB实现之令狐文艳创作
南京航空航天大学令狐文艳共 8 页第 1 页图1 遗传算法过程图3.遗传算法MATLAB代码实现本题中控制参数如下：（1）适应度函数形式FitnV=ranking(ObjV)为基于排序的适应度分配。
（2）交叉概率取为一般情况下的0.7，变异概率取其默认值.（3）个体数目分别为2000和100以用于比较对结果的影响。
（4）最大遗传代数参考值分别为80和20.（5）因含有5个未知数，故变量维数为5.（6）因取值范围较小，变量的二进制数目为20.（7）代沟设置为0.9.3.1初始化及其他准备工作区域描述器FieldD描述染色体的表示和解释，每个格雷码采用20位二进制。
5个变量的区间和边界定义如上述所示。
3.2计算适应度值计算适应度值是由根据程序FitnV=ranking(ObjV)来实现的，对这个等级评定算法的缺省设置时选择压差为2和使用线性评估，给最适应个体的适应度值为2，最差个体的适应度值为0，适应度值结果由向量FitnV返回。
3.3选择、交叉操作选择层使用高级函数选择调用低级函数随机遍历抽样例程sus，SelCh中的个体使用高级函数recombine进行重组，使个体通过SelCh被选择再生产，并使用单点交叉例程xovsp，使用交叉概率Px=0.7进行执行并交叉。
交叉后的子代被同一个矩阵SelCh返回。
3.4变异操作为了产生子代，使用变异函数mut。
子代再次由矩阵SelCh返回，变异概率缺省值PM=Px/Lind，并使用bs2rv，将个体的二进制编码转换为十进制编码。
3.5遗传算法性能跟踪每次迭代后的最优解和均值存放在trace中，在后续的作图中可选择调用出来。
3.6图形绘制及函数值和自变量输出使用plot函数绘出所建数学模型的最佳解及种群均值随迭代次数的变化曲线，并使用best属性使lengend标注位置处于最优位置。
使用矩阵翻转命令flipud及矩阵元素查找命令输出2个优化解及5个自变量。
4实验分析改变种群数量等参数的实验结果对比。
常用的优化函数
常用的优化函数优化函数是数学中非常重要的一个概念，其主要目的是将给定的问题转化为数学模型，并能够求解该模型的最优解。
随着计算机科学和机器学习的发展，优化函数已经成为许多领域中必不可少的一部分，在工程、科学、运筹学、经济学、统计学等领域都具有重要应用价值。
下面是常用的优化函数：1.最小二乘法最小二乘法是一种常见的优化函数，其主要目的是对于一组实验数据，找到一个函数（线性或非线性）的参数，使得该函数与实验数据之间的误差最小。
例如，在机器学习中的线性回归中，最小二乘法被广泛应用。
2.梯度下降法梯度下降法是一种迭代的优化方法，主要用于求解非线性函数的最小值或最大值。
其思路是从一个初始值开始，计算函数的梯度，在每一步迭代中，沿梯度的反方向更新参数，直到找到函数的极值。
3.牛顿法牛顿法是一种高效的优化方法，主要用于求解多元函数的最小值或最大值。
其基本思想是利用函数的一、二阶导数信息，通过不断逼近函数的极值点来求解最优解。
4.共轭梯度法共轭梯度法是一种有效的线性方程组求解算法，通常用于求解大规模线性方程组，在机器学习中的一些模型训练中也被广泛应用。
5.遗传算法遗传算法是一种基于自然选择和遗传进化原理的优化算法，其主要思路是通过模拟生物进化过程，从种群中筛选出适应度最高的解，并进行交叉和变异操作，从而不断迭代优化。
除了上述常用的优化函数外，还有一些其他的优化函数，如贪心算法、模拟退火算法、爬山算法等等。
这些算法在不同的应用场景中，都具有其独特的优势和适用性。
因此，我们在实际应用中需要根据具体问题，选择合适的优化函数进行求解。
关于函数优化遗传算法的研究
ｔ＝ ０
些新 的模拟 进 化算 法也 逐 渐 出现 并 日益 完善 ， 为这 类 复杂 优
化 问题 提供 了一定 的 解决 方 案 。遗传 算 法是 目前 研究 最 多 、 应用 最 广 的模 拟进 化算 法 ， 在众 多 领域 得 到 了广泛 应 用 。本 文 就遗 传算 法 在 函数 优 化 问题 中的 编码 方 式 及 遗 传 操 作 作
许多 实 际 问题都 可 以归 结 为优 化 问题 ， 统 的优 化技 术 传 往往 都对 目标 函数 有 一定 要 求 ， 连 续 可 微 性 、 性 等 。而 如 凸 在 实 际应用 中 ， 目标 函数 往 往 是 非 凸 的 ， 有许 多 局 部 最 优 具 点， 有效 地求解 非 凸函数 的全局 最 优解 是 一个 非 常 困难 的 问 题 。特 别是 对 于 大规 模 问 题 ， 由于 局部 最 优 点 的增 多 ， 得 使 寻求 全局最 优 点 的难 度增 大 ， 因而 研究 有 效 的全局 优 化方 法 具有 重要 的现 实 意义 。近 年 来 ， 随着 计算 技 术 的发 展 ， 些 一 新 的智 能算 法 （ 遗 传 算 法 、 拟 退 火 算 法 、 忌 搜 索 算 法 ） 如 模 禁 得到 了迅 速 发 展 和 广 泛 应 用 。特 别 是模 拟 进 化 算 法 （ Ａ、 Ｇ Ｇ 、ｓ ， Ｐ Ｅ ） 无论 是 理论 研 究还 是应 用 研 究都 空 前活跃 ， 时 ， 同 一
关 于 函 数 优 化 遗 传 算 法 的 研 究
张 焱
（ 阳大 学师 范学 院数 学 与计算 机 系 ，辽 宁 沈 阳 １０ １ ） 沈 １０ ６ 摘 要 ：遗 传算 法 是一 种 有 效的模 拟进 化 算 法 ，针 对 不 同 问题 ，编码 方 式 多种 多样 。本 文 就 函数 优 化 问题 ，
函数优化的遗传算法代码实现
２ ． １ 个 体编 码及初 始种 群设定
映 射 即 编 码 工 作 。 由 于仿 照 基 因编 码 的工 作 很 复 杂 ， 我 们
往 往 进 行 简化 ， 如二 进 制 编 码 ， 初代种群产生之后 ， 按 照 适 者生存和优胜劣汰的原 理 ， 逐代 （ Ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ） 演化 产生 出
ｃ ｏ ｄ ｉ ｎ ｇ ） ， 可 以 作 为 问题 近 似最 优解 。
遗 传 算法 的基 本 运 算 过 程 如 下 ： （ １ ） 初始化 ： 设置进化代数计数器 ｔ ｚ０ ， 设 置 最 大进 化
代 数 丁， 随机 生 成 Ｍ 个 个 体 作 为 初 始群 体 Ｐ（ Ｏ ） 。
进化规律 （ 适者生存 、 优胜劣汰遗传机制） 演 化 而 来 的 随 机
函数 优 化 的遗 传 算 法 源程 序 ， 该 源 程 序 可 以 直接 运 行 。
关键词 ： 遗传算法 ； Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ ； 函数 优 化
中 图分 类 号 ： ＴＰ ３ １ ２
文 献标 识码 ： Ａ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ７ ８ ０ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ０ ２ — ０ ０ ４ ０ — ０ ３
规 则 。遗 传算 法 的这 些 性 质 已 被 人 们 广 泛 地 应 用 于 组 合
（ ２ ） 个体评价 ： 计算群体 Ｐ （ ） 中各 个 体 的 适 应 度 。
（ ３ ） 选 择 运算 ： 将 选 择 算 子 作 用 于 群 体 。选 择 的 目的 是 把 优 化 的 个 体 直 接 遗 传 到 下 一 代 或 通 过 配 对 交 叉 产 生 新 的个 体 再 遗 传 到 下 一 代 。选 择 操 作 是 建 立 在 群 体 中 个 体 的适 应 度 评 估 基 础 之 上 的 。 （ ４ ） 交叉运算 ： 将 交 叉 算 子 作 用 于 群 体 。所 谓 交 又 是 指 把 两 个 父 代 个 体 的 部 分 结 构 加 以替 换 重 组 而 生 成 新 个 体 的操 作 。遗 传 算 法 中起 核 心 作 用 的 就 是 交 叉 算 子 。 （ ５ ） 变异运算 ： 将 变 异 算 子 作 用 于 群 体 。 即 是 对 群 体
遗传算法学习--多目标优化中的遗传算法
遗传算法学习--多⽬标优化中的遗传算法在⼯程运⽤中，经常是多准则和对⽬标的进⾏择优设计。
解决含多⽬标和多约束的优化问题称为：多⽬标优化问题。
经常，这些⽬标之间都是相互冲突的。
如投资中的本⾦最少，收益最好，风险最⼩~~多⽬标优化问题的⼀般数学模型可描述为：Pareto最优解（Pareto Optimal Solution）使⽤遗传算法进⾏求解Pareto最优解：权重系数变换法：并列选择法：基本思想：将种群全体按⼦⽬标函数的数⽬等分为⼦群体，对每⼀个⼦群体分配⼀个⽬标函数，进⾏择优选择，各⾃选择出适应度⾼的个体组成⼀个新的⼦群体，然后将所有这些⼦群体合并成⼀个完整的群体，在这个群体⾥进⾏交叉变异操作，⽣成下⼀代完整群体，如此循环，最终⽣成Pareto最优解。
如下图：排列选择法：基于Pareto最优个体的前提上，对群体中的各个个体进⾏排序，依据排序进⾏选择，从⽽使拍在前⾯的Pareto最优个体将有更⼤的可能性进⼊下⼀代群体中。
共享函数法：利⽤⼩⽣境遗传算法的技术。
算法对相同个体或类似个体是数⽬加⼀限制，以便能够产⽣出种类较多的不同的最优解。
对于⼀个个体X,在它的附近还存在有多少种、多⼤程度相似的个体，是可以度量的，这种度量值称为⼩⽣境数。
计算⽅法：s(d)为共享函数，它是个体之间距离d的单调递减函数。
d(X,Y)为个体X,Y之间的海明距离。
在计算出⼩⽣境数后，可以是⼩⽣境数较⼩的个体能够有更多的机会被选中，遗传到下⼀代群体中，即相似程度较⼩的个体能够有更多的机会被遗传到下⼀代群体中。
解决了多⽬标最优化问题中，使解能够尽可能的分散在整个Pareto最优解集合内，⽽不是集中在其Pareto最优解集合内的某⼀个较⼩的区域上的问题。
混合法：1. 并列选择过程：按所求多⽬标优化问题的⼦⽬标函数的个数，将整个群体均分为⼀些⼦群体，各个⼦⽬标函数在相应的⼦群体中产⽣其下⼀代⼦群体。
2. 保留Pareto最优个体过程：对于⼦群体中的Pareto最优个体，不让其参与个体的交叉和变异运算，⽽是直接保留到下⼀代⼦群体中。
遗传算法公式
遗传算法公式遗传算法是一种优化算法，它模拟了生物进化中的遗传过程，通过不断迭代和优化，寻找最佳的解决方案。
遗传算法的核心是基因编码和遗传操作。
在遗传算法中，每个解决方案都被看作是一个个体，而每个个体都具有一组基因，这些基因决定了个体的特征和性能。
为了优化问题，遗传算法会对这些基因进行遗传操作，包括选择、交叉和变异，以产生更好的后代。
在本文中，我们将介绍遗传算法的公式和应用。
基因编码在遗传算法中，每个个体都被编码为一个染色体，而染色体则由一组基因组成。
基因编码可以采用不同的方式，包括二进制编码、实数编码和排列编码等。
其中，二进制编码是最常用的一种方式，它将个体的每个基因都表示为一个二进制位，0表示基因不存在，1表示基因存在。
例如，假设我们要优化一个问题，其中每个解决方案都由4个变量组成，分别是x1、x2、x3和x4，而这些变量的取值范围都在[0,1]之间。
则我们可以将每个变量都用10位二进制数来表示，例如，x1=0.1011010110，x2=0.0010100011，x3=0.1100111010，x4=0.0111100101。
这样，每个个体就可以用一个40位的二进制串来表示。
选择操作选择操作是遗传算法中的基本操作之一，它的目的是从当前种群中选出一部分个体，作为下一代种群的父代。
选择操作通常根据个体的适应度值来进行，适应度值越高的个体被选中的概率就越大。
在遗传算法中，适应度值通常由目标函数来计算，目标函数的值越小，个体的适应度值就越高。
选择操作可以采用多种方式，包括轮盘赌选择、竞标选择和锦标赛选择等。
其中，轮盘赌选择是最常用的一种方式，它的原理是根据个体的适应度值来分配一个相对概率，然后随机选择一个个体作为父代。
具体来说，假设当前种群中有N个个体，每个个体的适应度值为f(i)，则个体i被选中的概率可以用下面的公式来计算：P(i)=f(i)/Σf(j)其中，Σf(j)表示当前种群中所有个体的适应度值之和。
[MATLAB]利用遗传算法函数求目标函数的最优解
[MATLAB]利⽤遗传算法函数求⽬标函数的最优解最近接触到了遗传算法以及利⽤遗传算法求最优解，所以就把这些相关的内容整理记录⼀下。
⼀、遗传算法简介（摘⾃维基百科）遗传算法（英语：genetic algorithm (GA)）是计算数学中⽤于解决最佳化的搜索算法，是进化算法的⼀种。
进化算法最初是借鉴了进化⽣物学中的⼀些现象⽽发展起来的，这些现象包括遗传、突变、⾃然选择以及杂交等。
算法选择初始⽣命种群循环评价种群中的个体适应度以⽐例原则（分数⾼的挑中概率也较⾼）选择产⽣下⼀个种群。
改变该种群（交叉和变异）直到停⽌循环的条件满⾜适⽤问题遗传算法擅长解决的问题是全局最优化问题。
跟传统的爬⼭算法相⽐，遗传算法能够跳出局部最优⽽找到全局最优点。
⽽且遗传算法允许使⽤⾮常复杂的适应度函数（或者叫做⽬标函数），并对变量的变化范围可以加以限制。
⼆、MATLAB中的GA函数1. X = ga(FITNESSFCN, NVARS)这是GA函数最简单的调⽤⽅法，其中FITNESSFCN是⽬标函数，其参数应为⼀向量，NVARS则是参数向量的维度。
X是⽬标函数值为最⼩时的参数向量。
2. X = ga(FITNESSFCN, NVARS, A, b, Aeq, beq, lb, ub, NONLCON, options)这些参数⽤于约束X：A X <= B, Aeq X = Beq (线性约束)LB <= X <= UBNONLCON：定义C(X) <= 0, Ceq(X) = 0（⾮线性约束）options：设置GA的相关参数3. [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = ga(FITNESSFCN, ...)FVAL是在⽬标函数的参数为X时的值EXITFLAG是结束遗传算法计算的标志-0 Maximum number of generations exceeded.-1 Optimization terminated by the output or plot function.-2 No feasible point found.-4 Stall time limit exceeded.-5 Time limit exceeded.OUTPUT结构体包含了遗传代数、输出种群等信息4. optionsoptions = gaoptimset();options.Generations=5000; %迭代次数options.PopulationSize=30; %种群数⽬还⼜其他很多选项可以设置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章遗传算法与函数优化4.1 研究函数优化的必要性：首先，对很多实际问题进行数学建模后，可将其抽象为一个数值函数的优化问题。
由于问题种类的繁多，影响因素的复杂，这些数学函数会呈现出不同的数学特征。
除了在函数是连续、可求导、低阶的简单情况下可解析地求出其最优解外，大部分情况下需要通过数值计算的方法来进行近似优化计算。
其次，如何评价一个遗传算法的性能优劣程度一直是一个比较难的问题。
这主要是因为现实问题种类繁多，影响因素复杂，若对各种情况都加以考虑进行试算，其计算工作量势必太大。
由于纯数值函数优化问题不包含有某一具体应用领域中的专门知识，它们便于不同应用领域中的研究人员能够进行相互理解和相互交流，并且能够较好地反映算法本身所具有的本质特征和实际应用能力。
所以人们专门设计了一些具有复杂数学特征的纯数学函数，通过遗传算法对这些函数的优化计算情况来测试各种遗传算法的性能。
4.2 评价遗传算法性能的常用测试函数在设计用于评价遗传算法性能的测试函数时，必须考虑实际应用问题的数学模型中所可能呈现出的各种数学特性，以及可能遇到的各种情况和影响因素。
这里所说的数学特性主要包括：●连续函数或离散函数；●凹函数或凸函数；●二次函数或非二次函数；●低维函数或高维函数；●确定性函数或随机性函数；●单峰值函数或多峰值函数，等等。
下面是一些在评价遗传算法性能时经常用到的测试函数：(1)De Jong函数F1：这是一个简单的平方和函数，只有一个极小点f1(0, 0, 0)＝0。
(2)De Jong 函数F2：这是一个二维函数，它具有一个全局极小点f 2(1，1) = 0。
该函数虽然是单峰值的函数，但它却是病态的，难以进行全局极小化。
(3)De Jong 函数F3：这是一个不连续函数，对于]0.5,12.5[--∈i x 区域内的每一个点，它都取全局极小值30),,,,(543213-=x x x x x f 。
(4)De Jong函数F4：这是一个含有高斯噪声的4次函数，当不考虑噪声的影响时，它具有一个全局极小值f4(0，0，…，0)＝0。
(5)De Jong函数F5：这是一个多峰值函数，它总共有25个局部极小点，其中有一个是全局极小点，全局极小值为f5(-32，-32)＝0.998。
(6)Shaffer函数F6：该函数在其定义域内只具有一个全局极小点f6(0，0)＝0。
(7)Shaffer函数F7：该函数在其定义域内只具有一个全局极小点f7(0，0)＝0。
(8)Goldstein-Price函数：该函数在其定义域内只具有一个全局极小点f(0，-1)＝3。
(9)Shubert函数：这是一个多峰值函数，在其定义域内它总共有760个局部最小点，其中的18个点是全局最小点，全局最小值为f＝-186.731。
(10)六峰值驼背函数（Six-hump Camel Back Function）：该函数共有六个局部极小点，其中(-0.0898，0.7126)和(0.0898，-0.7126)为全局最小点，最小值为f(-0.0898，0.7126) ＝f(0.0898，-0.7126) ＝ -1.031628。
(11)带有复杂约束条件的函数(之一)：该函数的全局最小点为：f(1，1，1，1，1，1，1，1，3，3，3，1) = -15。
(12)带有复杂约束条件的函数(之二)：该函数的全局最大点为：f(1，0，0) = 2.471428。
4.3 De Jong的研究结论De Jong用来进行函数优化问题研究的研究对象是前面所介绍的De Jong测试函数F1~F5。
他采用了下面的一些研究方法：1．编码方法用二进制编码符号串来表示个体。
2．算法的影响参数●群体大小M；●交叉概率p c；●变异概率p m；●代沟G。
3．算法种类(子代群体复制策赂)●R1：基本遗传算法(比例选择、单点交叉、基本位变异)；●R2：保留最佳个体模型；●R3：期望值模型；●R4：保留最佳期望值模型；●R5：排挤因子模型；●R6：广义交叉模型。
群体规模对等位基因损失的影响（优化策略为R1，测试函数为F1）群体规模对离线性能的影响（优化策略为R1，测试函数为F1）群体规模对在线性能的影响（优化策略为R1，测试函数为F1）变异概率对等位基因损失的影响（优化策略为R1，测试函数为F1）变异概率对离线性能的影响（优化策略为R1，测试函数为F1）变异概率对在线性能的影响（优化策略为R1，测试函数为F1）优化策略R1，R2，R3在基因损失方面的性能比较（测试函数为F1）优化策略R1，R2，R3的离线性能比较（测试函数为F1）经过仔细分析和计算，De Jong 得到了下述几条重要的结论： 结论1群体的规模越大，遗传算法的离线性能越好，越容易收敛。
结论2规模较大的群体，遗传算法的初始在线性能较差；而规模较小的群体，遗传算法的初始在线性能较好。
结论3虽然变异概率的增大也会增加群体的多样性，但它却降低了遗传算法的离线性能相在线性能，并且随着变异概率的增大，遗传算法的性能越来越接近于随机搜索算法的性能。
结论4使用保留最佳个体模型或期望值模型的遗传算法比基本遗传算法的性能有明显的改进。
结论5对于广义交叉算子，随着交叉点数的增加会降低遗传算法的在线性能和离线性能。
这些结论在遗传算法的开发研究和实际应用中具有重要的指导意义。
4.4 多目标优化多目标优化问题一般可描述为下面的数学模型： 优化策略R1，R2，R3的在线性能比较（测试函数为F1）排挤因子对离线性能的影响（优化策略为R5，测试函数为5）式中，V-min 表示向量极小化，即向量目标中的各个子目标函数都尽可能地极小化的意思。
多目标优化问题的难点在于，在很多情况下，各个子目标有可能是相互冲突的，一个子目标的改善有可能会引起另一个子目标性能的降低，也就是说，要同时使这多个子目标都一起达到最优值是不可能的，而只能是在它们中间进行协调和折衷处理，使各个子目标函数都尽可能地达到最优。
多目标优化问题的最优解与单目标优化问题的最优解有着本质上的不同，所以为了正确地求解多目标优化问题，必须对其最优解的概念进行定义。
定义：设m R X ⊆是多目标优化模型的约束集，p R x f ∈)(是多目标优化时的向量目标函数，X x X x ∈∈21, 。
)()(21x f x f k k ≤),2,1(p k =∀并且)()(21x f x f k k <),2,1(p k =∃则称解x 1比解x 2优越。
定义：设m R X ⊆是多目标优化模型的约束集，p R x f ∈)(是向量目标函数，若X x ∈*，并且x *比X 中的所有其他点都优越，则称x *是多目标极小化模型的最优解。
由该定义可知，多目标优化问题的最优解x *就是使向量目标函数f (x )的每一个子目标函数都同时到达最优点的解，如图所示。
显然，在大多数情况下*多目标优化问题的最优解是不存在的。
定义：设m R X ⊆是多目标优化模型的约束集，p R x f ∈)(是向量目标函数，若X x ∈~，并且不存在比x ~更优越的x ，则称x ~为多目标极小化模型的Pareto 最优解，或称为非劣解。
由该定义可知，多目标优化问题的Pareto 最优解仅仅只是它的一个可以接受的“不坏”的解，并且通常的多目标优化问题大多都具有很多个Pareto 最优解，如图所示。
由上述三个定义可知，着一个多目标优化问题存在最优解的话、则这个最优解必定是Pareto 最优解，并且Pareto 最优解也只由这些最优解所组成，再不包含有其他解。
所以可以这么说，Pareto 最优解是多目标优化问题的合理的解集合。
求解多目标优化问题的遗传算法对于如何求多目标优化问题的Pareto 最优解，目前已经提出了多种基于遗传算法的求解方法。
下面介绍其中几种主要的方法。
1．权重系数变化法对于一个多目标优化问题，若给其各个子目标函数f i (x )，(i ＝1，2，…，p )，赋予不同的权重w i (i ＝1，2，…，p )，其中各w i 的大小代表相应子目标f i (x )在多目标优化问题中的重要程度。
则各个子目标函数的线性加权和可表示为：若以这个线性加权和作为多目标优化问题的评价函数，则多目标优化问题就可转化为单目标优化问题。
权重系数变化法就是在这个评价函数的基础上，对每个个体取不同的权重系数，就可以利用通常的遗传算法来求出多目标优化问题的多个Pareto 最优解。
2．并列选择法并列选择法的基本思想是：先将群体中的全部个体按子目标函数的数目均等地划分为一些子群体，对每个子群体分配一个子目标函数．各个子目标函数在其相应的子群体中独立地进行选择运算，各自选锋出一些适应度较高的个体组成一个新的子群体，然后再将所有这些新生成的子群体合并为一个完整的群体，在这个完整的群体中进行交叉运算和变异运算，从而生成下一代的完整群体，如此这样不断地进行“分割——并列选择——合并。
过程，最终可求出多目标优化问题的Pareto 最优解。
这种方法很容易产生个别子目标函数的极端最优解，而要找到所有目标函数在某种程度上较好的协调最优解却比较困难。
3．排序选择法排序选择法的基本思想是：基于“Pareto最优个体”的概念来对群体中的各个个体进行排序，依据这个排列次序来进行进比过程中的选择运算．从而使得排在前面的Pareto最优个体将有更多的机会遗传到下一代群体中。
如此这样经过一定代数的循环之后，最终就可求出多目标优化问题的Pareto最优解。
这里所谓的Pareto最优个体，是指群体中的这样一个或一些个体，群体中的其他个体都不比它或它们更优越。
需要说明的是，在群体进化过程个所产生的Pareto最优个体并不一定就对应于多目标优化问题的Pareto最优解。
当然，当遗传算法运行结束时，我们需要取排在前面的几个Pareto最优个体，以它们所对应的解来作为多目标优化问题的Pareto最优解。
对群体中的所有个体进行Pareto最优个体排序的算法是：算法ParetoIndividual①设置初始序号r = 1。
②求出群体中的Pareto最优个体，定义这些个体的序号为r③从群体中去掉Pareto最优个体．并更改序号r = r+1。
④转到第②步，直到处理完群体中的所有个体。
由上述Pareto最优个体排序算法可知，排序选择法仅仅度量了各个个体之间的优越次序，而未度量各个个体的分散程度，所以它易于生很多个相似的Pareto最优解，而难于生成分布较广的Pareto最优解。
4．共享函数法求解多目标优化问题时，一般希望所得到的解能够尽可能地分散在整个Pareto最优解集合内，而不是集中在其Pareto最优解集合内的某一个较小的区域上。
为达到这个要求，可以利用小生境遗传算法的技术来求解多目标优化问题。