(完整版)数学归纳法典型例题分析
数学归纳法证题步骤与技巧
1.数学归纳法的范围
因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。它能帮助我们判断种种与自然数n有关的猜想的正确性。
2.数学归纳法两个步骤的关系
第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可。
3.第一、二数学归纳法
第一数学归纳法可以概括为以下三步：(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。从而就可断定命题对于从所有正整数都成立
第二数学归纳法的证明步骤是：
1、证明当n=1时命题是正确的；
2、k为任意自然数，假设n＜k时命题都是正确的，如果我们能推出n=时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫做第一归纳法。有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证明。
2.(2012·济南高二检测)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=42nn,2则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )(A)k2+1(B)(k+1)2(C)42k1k12(D)(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
4.若数列{an}的通项公式an=21n1(n∈N*),记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an)，
试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为( )
(A)n2n3 (B)n22n2(C)n22n1 (D)n2n1
5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时，进而需证n=__________时，命题亦真.
6.(易错题)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是______
_____________________________.
7.用数学归纳法证明：21111nn1n2n＞1(n∈N*,n＞1).
8.求证：222nn112n13352n12n122n1,(n∈N*)
9.用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈*N)
答案解析
2.【解析】选D.当n=k时，左端=1+2+3+…+k2，
当n=k+1时，左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
故当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故应选D. 4.【解析】选B.∵f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),
f(1)=1-a1=1-13,44
f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)×(1-19)=3824,4936
f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=12155f2(1).163168
根据其结构特点可得：f(n)=n2.2n1故选B.
5.【解析】因为n为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1，故进而需证n=2k+1时，命题亦真.
答案：2k+1
6.【解题指南】写出f(k)和f(k+1)，采用作差法.
【解析】∵f(k)=12+22+…+(2k)2,
f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，
∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2，
即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.
答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
7.【证明】(1)当n=2时，左边=11113.23412
右边=1，不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时，不等式成立，即
21111kk1k2k＞1.
那么当n=k+1时，
2222222222222111111k1k2kk1k2k111111111()kk1k2kk1k2k2k1k1112k1k2k1k2k1kk1kk111.kk1kk1＞
∵k≥2,∴k2-k-1＞0,1+22kk1kk1＞1.
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
由(1)和(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n都成立.
【变式训练】用数学归纳法证明：2221113n123n2n1(n∈N*).
【证明】①当n=1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立； ②假设n=k时，不等式成立，
即2221113k1.23k2k1
当n=k+1时，2222211113k11,23k2k1k1k1
下面证：23k13k1,2k12k11k1
作差得223k1kk23k10,2k12k11k1k12k12k3＞
得结论成立，
即当n＝k+1时，不等式也成立.
由①和②知，不等式对一切n∈N*都成立.
8.(2012·开封高二检测)在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*),求a2,a3,a4与b2,b3,b4的值，由此猜测{an},{bn}的通项公式，并证明你的结论.
8.【解题指南】采用“归纳——猜想——证明”的思想方法.
【解析】由条件得2bn=an+an+1,2n1a =bnbn+1.
又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,
a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,
猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明.
①当n=1时，a1=2,b1=4,结论成立.
②假设n=k时结论成立，
即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么n=k+1时，
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)
=(k+1)［(k+1)+1］,
bk+1=2k1kab=(k+2)2=［(k+1)+1］2,
∴n=k+1时，结论也成立.
由①和②知，an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.
【挑战能力】
【解题指南】此题是式子的整除问题，与正整数n有关，用数学归纳法解决是较好的选择.
【解析】(1)当n=1时，左边=a2+(a+1)1=a2+a+1，可被a2+a+1整除；
(2)假设n=k(k≥1，k∈N*)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，ak+1+1+(a+1)2(k+1)-1=ak+2+(a+1)2k+1
=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1
=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1
=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1， 由假设可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除.
又(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，所以ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除，即
n=k+1时，命题成立.
由(1)和(2)知，对一切n∈N*命题都成立.
【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题技巧
应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法.也可以说将式子“硬提公因式”，即将n=k时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”，构成n=k时的项，后面的式子相对变形，使之与n=k+1时的项相同，从而达到利用假设的目的.
一、选择题(每题4分，共16分)
1.(2011·马鞍山高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=n3n42 (n∈N*)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是( )(A)1 (B)1+2 (C)1+2+3
(D)1+2+3+4
2.设Sk=1111k1k2k32k，则Sk+1为( )
(A)Sk+12k2 (B)Sk+12k1+12k2 (C)Sk+12k1-12k2 (D)Sk+12k2-12k1
3.某个命题与正整数n有关，如果当n=k(k∈N*)时，命题成立，那么n=k+1时，命题也成立，即已知当n=4时该命题不成立，那么可推得( )
(A)当n=5时命题不成立(B)当n=5时命题成立(C)当n=3时命题不成立(D)当n=3时命题成立
4.某同学回答“用数学归纳法证明2*nnn1(nN)＜”的过程如下：
证明：(1)当n=1时，显然命题是正确的；(2)假设n=k时，kk1k1＜,则当n=k+1时，22k1k1k3k22k4k4k11＜所以当n=k+1时命题是正确的，由(1)(2)可知对于(n∈N*)命题都是正确的.以上证法是错误的，错误在于( )
(A)从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设(B)归纳假设的写法不正确
(C)从k到k+1的推理不严密(D)当n=1时，验证过程不具体
二、填空题(每题4分，共8分)
5.用数学归纳法证明“n3+5n”能被6整除的过程中，当n=k+1时，式子(k+1)3+5(k+1)应变形为__________________________.
6.在数列{an}中，a1=2,an+1nna3a1(n∈N*)，依次计算出a2,a3,a4后，归纳猜想得出an的表达式为_______________________.
三、解答题(每题8分，共16分)
7.求证：222nn112n13352n12n122n1,(n∈N*)
8.平面上有n(n≥2)条直线，其中无两条直线平行，也无三线共点，求证：这n条直线互相分割成n2条线段或射线.
数学归纳法经典例题及答案(K12教育文档)
数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)
1 数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
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数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)
2 数学归纳法（2016.4.21）
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1)证明当n 取第一个值0n （如01n或2等）时结论正确；
（2）假设当0(N,)nkkkn 时结论正确，证明1nk时结论也正确．
综合(1）、(2)，……
注意:数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论。
二、题型归纳:
题型1。证明代数恒等式
例1．用数学归纳法证明:
1212121751531311nnnn
证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
1212121751531311kkkk．
当n=k+1时．
3212112121751531311kkkk
3212112kkkk
321211232121322kkkkkkkk 数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)
3 1121321kkkk
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。
例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。
解答：
首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。
当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
将左边等式的前k项代入归纳假设得到：
(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。
所以，当n=k+1时，等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。 例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。
解答：
首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。
当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k >
k。
接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) >
k+1。
我们可以将左边等式进行展开得到：
2^(k+1) = 2^k * 2。
由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。
我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。
(2021年整理)数学归纳法典型例题
数学归纳法典型例题
数学归纳法典型例题
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数学归纳法典型例题
数学归纳法典型例题
【知识梳理】
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途,因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此,初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；
（2)（归纳递推)假设n = k(）时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
【要点解析】
1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立,n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了,命题并没有得到证明。
数学归纳法证明例题
数学归纳法例题讲解
例1．用数学归纳法证明：
1212121751531311nnnn．
请读者分析下面的证法：
证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
1212121751531311kkkk．
那么当n=k+1时，有：
3212112121751531311kkkk
3211211211217151513131121kkkk
322221321121kkk
1121321kkkk
这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．
由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n=k+1时．
3212112121751531311kkkk
3212112kkkk 321211232121322kkkkkkkk
1121321kkkk
这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)
都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．
解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．
60322426321211aaaaaa，
数学归纳法经典例题及答案 2
。
-可编辑修改- 数学归纳法（2016.4.21）
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当n 取第一个值0n （如01n或2等）时结论正确；
（2）假设当0(N,)nkkkn 时结论正确，证明1nk时结论也正确．
综合（1）、（2），……
注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：
题型1.证明代数恒等式
例1．用数学归纳法证明：
1212121751531311nnnn
证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
1212121751531311kkkk．
当n=k+1时．
3212112121751531311kkkk
3212112kkkk
321211232121322kkkkkkkk
1121321kkkk
这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
。
-可编辑修改- 题型2.证明不等式
例2．证明不等式nn2131211 (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边
②假设n=k时，不等式成立，即kk2131211．
那么当n=k+1时，
11131211kk
1112112kkkkk
12112111kkkkkk
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
1211131211kkk，当代入归纳假设后，就是要证明：
第二数学归纳法典型例题
第二数学归纳法典型例题
问题：证明每个正整数都可以表示成1加上若干个自然数的和。
答：假设P(n)：正整数n可以表示成1加上若干个自然数的和。
(1)基本情形：当n=1时，P(n)成立，即1=1+0，即1加上若干个自然数的和，故P(1)成立。
(2)归纳情形：设P(k)成立，即对某正整数k，有k=1+a0+a1+…+an
(a0,a1,…,an为自然数)；
设n=k+1，有
n=(1+a0+a1+…+an)+1
=1+(a0+1)+(a1+1)+…+(an+1)
=1+b0+b1+…+bn (b0=a0+1,b1=a1+1,…,bn=an+1)
即，正整数n可以表示成1加上若干个自然数bn的和，即P(n)成立。
综上所述，P(n)成立，即每个正整数都可以表示成1加上若干个自然数的和，故证毕。
高考数学复习点拨：例析数学归纳法
学必求其心得，业必贵于专精
例析数学归纳法
山东 孙道斌
在利用数学归纳法证明问题的过程中,由n=k到n=k+1的过渡是难点,也容易出错.现举例说明如下：
例1 用数学归纳法证明:111111111234212122nnnnn／
误：(1)当1n时，左边11122右边，命题成立．
（2）假设nk时命题成立．
即111111111234212122kkkkk，
那么111111111112342122112221kkkkkkk．
这说明1nk时命题也成立．
析：没有弄清由nk过渡到1nk时等式的两边会增加多少项,增加的项是什么，因而出现了错误．
正:（1)同上．
（2)假设nk时，命题成立，即111111111234212122kkkkk，
那么111111112342122122kkkk
111111222122kkkkk
11111123221122kkkkkk
111112322122kkkkk．
这说明当1nk时命题也成立．
由（1）（2)可知命题对一切正整数都成立．
例2 用数学归纳法证明：35nn能被6整除()nN．
误：（1）当1n时，356nn，6能被6整除，命题成立．
（2）假设nk时命题成立，即35kk能被6整除． 学必求其心得，业必贵于专精
那么33(1)5(1)[(1)(1)]6(1)kkkkk
2(1)[(1)1]6(1)kkk
(1)(2)6(1)kkkk．
由于12kkk，，是三个连续整数，其中必有一个是3的倍数，也有一个是2的倍数，所以(1)(2)6(1)kkkk能被6整除．
数学归纳法经典例题及参考答案
精心整理
数学归纳法（
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当n取第一个值0n（如01n或2等）时结论正确；
（2）假设当0(N,)nkkkn时结论正确，证明1nk时结论也正确．
综合（1）、（2），……
注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。
二、题型归纳：
题型1.证明代数恒等式
例1．用数学归纳法证明：
证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
1212121751531311kkkk．
当n=k+1时．
这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
题型2.证明不等式
例2．证明不等式nn2131211(n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边
②假设n=k时，不等式成立，即kk2131211．
那么当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
1211131211kkk，当代入归纳假设后，就是要证明： 精心整理
12112kkk．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型3.证明数列问题
例3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．
(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．
(2)设bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝.
解： (1)当n＝5时，
原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5
数学归纳法经典例题及答案 3
。
-可编辑修改- 数学归纳法（2016.4.21）
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当n 取第一个值0n （如01n或2等）时结论正确；
（2）假设当0(N,)nkkkn 时结论正确，证明1nk时结论也正确．
综合（1）、（2），……
注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：
题型1.证明代数恒等式
例1．用数学归纳法证明：
1212121751531311nnnn
证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即：
1212121751531311kkkk．
当n=k+1时．
3212112121751531311kkkk
3212112kkkk
321211232121322kkkkkkkk
1121321kkkk
这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
。
-可编辑修改- 题型2.证明不等式
例2．证明不等式nn2131211 (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边
②假设n=k时，不等式成立，即kk2131211．
那么当n=k+1时，
11131211kk
1112112kkkkk
12112111kkkkkk
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
1211131211kkk，当代入归纳假设后，就是要证明：
人教版高中数学选修22第二章第3节《数学归纳法典型例题》专题
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【典范例题】
例1. 用数学概括法证明：时，。
剖析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。
②假设时等式成立，即有，则当时，
所以当时，等式也成立。
由①，②可知，对一切等式都成立。
点评：（1）用数学概括法证明与自然数有关的一些等式，命题要害在于“先看项”，弄清等式双方的组成纪律，等式的双方各有几多项，项的几多与n的取值是否有关，由到时等式的双方会增加几多项，增加怎样的项。
（2）在本例证明历程中，（I）思虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真看待，一般环境是把第一个值代入通项，查看命题的真假，（II）步骤②在由到的递推历程中，必须用概括假设，不用概括假设的证明就不是数学概括法。
本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即
，则这不是概括假设，这是套用数学概括法的一种伪证。
（3）在步骤②的证明历程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，要害是明确时证明的目标，充分思虑由到时，命题形式之间的区别和关联。
例2. 。 第 2 页 剖析：（1）当时，左边，右边，命题成立。
（2）假设当时命题成立，即
那么当时，
左边
上式表明当时命题也成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。
例3. 用数学概括法证明：对一切大于1的自然数n，不等式
成立。
剖析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。
②假设时，不等式成立，即
那么当时，
∴时，不等式也成立。
由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。
点评：（1）本题证明命题成立刻，利用概括假设，并比较目标式举行了适当的缩小来实现，也可以用上概括假设后，证明不等式成立。
（2）应用数学概括法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即成立，则成立，成立，……，从而断定数题对所有的自然数均成立）。另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据标题要求，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立的历程中，要作适当的变形，设法用上概括假设。 第 3 页 例4. 若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。