2014年高考真题(理科数学)湖南卷 纯Word版解析可编辑
2014·湖南卷(理科数学)1．[2014·湖南卷] 满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( )A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i1．B [解析] 因为z ＋i z ＝i ，则z ＋i ＝z i ，所以z ＝ii －1＝i （－1－i ）（i －1）（－1－i ）＝1－i 2.2．[2014·湖南卷] 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 32．D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为nN.3．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．C [解析] 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.4．[2014·湖南卷] ⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．204．A [解析] 由题意可得通项公式T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫12x 5－r (－2y )r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫125－r(－2)r x 5－r y r ，令r＝3，则C r 5⎝⎛⎭⎫125－r (－2)r ＝C 35×⎝⎛⎭⎫122×(－2)3＝－20. 5．[2014·湖南卷] 已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．C [解析] 依题意可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题．由真值表可知p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(綈q )为真，(綈p )∨q 为假．6．[2014·湖南卷] 执行如图1-1所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4，5]D ．[－3，6]图1-16．D [解析] (特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，所以D 正确． 7．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．47．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得r ＝6＋8－102＝2.8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－18．D [解析] 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1. 9．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且 ∫2π30f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π69．A [解析] 因为∫2π30f(x)d x ＝0，即∫2π30f(x)d x ＝－cos (x －φ)2π30＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－φ＋cos φ＝0，可取φ＝π3，所以x ＝5π6是函数f(x)图像的一条对称轴．10．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎫－e ，1e10．B [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分)11．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．11．ρcos θ－ρsin θ＝1 [解析] 依题意可设直线l ：y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.由|AB |＝2可知圆心(2，1)在直线l ：y ＝x ＋b 上，即l ：y ＝x －1，所以l 的极坐标方程是ρcos θ－ρsin θ－1＝0.12．[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．图1-312.32[解析] 设圆的半径为r ，记AO 与BC 交于点D ，依题可知AD ＝1.由相交弦定理可得1×(2r －1)＝2×2，解得r ＝32.13．[2014·湖南卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________．13．－3 [解析] 依题意可得－3＜ax －2＜3，即－1＜ax ＜5 ，而－53＜x ＜13，即－1＜－3x ＜5，所以a ＝－3.(二)必做题(14～16题)14．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.14．－2 [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.15．[2014·湖南卷] 如图1-4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．图1-415．1＋2 [解析] 依题意可得C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b ，代入抛物线方程得a ＝p ，b 2＝2a ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，化简得b 2－2ab －a 2＝0，即 b a 2－2⎝⎛⎭⎫b a －1＝0，解得ba ＝1＋ 2. 16．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．16．1＋7 [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA ＋OB ＋OD ＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA ＋OB ＋OD |2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin (α＋φ)，所以(|OA →＋OB →＋OD →|2)max ＝8＋27，即|OA →＋OB →＋OD →|max ＝7 ＋1. 17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的分布列为X 0 100 120 220P 215 15 415 25数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.18．、[2014·湖南卷] 如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．18．解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝32114×277－⎝⎛⎭⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．图1-619．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD . 因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，因此CC 1⊥底面ABCD . 由题设知，O 1O ∥C 1C .故O 1O ⊥底面ABCD .(2)方法一： 如图(a)，过O 1作O 1H ⊥OB 1于H ，连接HC 1.由(1)知，O 1O ⊥底面ABCD ，所以O 1O ⊥底面A 1B 1C 1D 1，于是O 1O ⊥A 1C 1.图(a)又因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，因此A 1C 1⊥B 1D 1，从而A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，所以A 1C 1⊥OB 1，于是OB 1⊥平面O 1HC 1. 进而OB 1⊥C 1H .故∠C 1HO 1是二面角C 1OB 1D 的平面角．不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7.在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2＝1＋127＝197.故cos ∠C 1HO 1＝O 1HC 1H ＝237197＝25719.即二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．图(b)如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1OB 1D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈，〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n ＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．图1-721．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1，0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 22．、[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.(1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．22．解：(1)f ′(x )＝a1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去.当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减， 在区间(x 1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－a a ≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2.令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减， 从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x－2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.。
2014年湖南高考理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.满足(z ii i z +=为虚数单位)的复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--【解】选B.由(1)1111(1)(1)222z i i i i i iz i z i i i +---=====-----,即选B.2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p 则( ) A ．123p p p =< B ．231p p p =< C ．132p p p =< D ．123p p p ==【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D.3.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g +=( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解】选C.由函数奇偶性,联想转化:32(1)(1)(1)(1)(1)(1)11f g f g +=---=-+-+=.4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20【解】选A.二项式51(2)2x y -的通项为()5151()2,,2rr r r T C x y r r N -+=-≤5∈,令3r =时,()33223451()2202T C x y x y =-=-,故选A.5.已知命题:p 若x y >,则x y -<-,命题:q 若x y >,则22x y >.在命题:①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中,真命题是( ) A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【解】选C.显然p 真q 假,所以可知复合命题①、③正确,选C.6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于A. [6,2]-- B ．[5,1]--C ．[4,5]-D ．[3,6]-【解】选D. 由程序框图可知①当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-; ②当[]0,2t ∈时,则[]33,1S t =-∈--; 综上①②可知,(][][]2,63,13,6S ∈---=-故选D.7.一块石材表示的几何体的三视图如图右所示,将该石材切削、 打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(倒置:长为12、 宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱 柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其 三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角三角形内切圆的半径r ,则681022r +-==,故选B. 8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两 年生产总值的年平均增长率为( )A ．2p q+ B ．(1)(1)12p q ++- CD ．1【解】选D.设两年的年平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒,故选D.9.已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0f x dx π=⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A ．56x π=B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π=【解】选A.由230()0f x dx π=⎰得,23cos()00x πϕ--=,即2cos cos()03πϕϕ--=,可化为3cos 02ϕϕ=,即tan ϕ=,可得,3k k Z πϕπ=+∈,也所以()sin()sin()3f x x x πϕ=-=±-,经检验可知A 选项符合.10.已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是()A ．(-∞B ．(-∞C．(D．(【解】选 B.依题意在曲线()g x 取一点(,())(0)x g x x >,则在曲线()f x 上存在一点(,())x f x --与之对应(关于y 轴对称),所以()()f x g x -=在0x >上有解,即221ln()2x x e x x a -+-=++,也即1ln()2x x a e -+=-在0x >上 有解,由于121ln(),2x y x a y e -=+=-分别为(0,)+∞上增函数、 减函数,于是结合图象易知,方程1ln()2xx a e -+=-在0x >上有解的充要条件为01ln 2a e -<-,即a <选B.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.y(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos ,:(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数)交于 A B 、两点,且||2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .【解】填(cos sin )1ρθθ-=.依题意曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=, 设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =, 所以圆心在直线l 上,故1y x =-sin cos 1(cos sin )1ρθρθρθθ=-⇔-=. 12.如图右,已知,AB BC 是O 的两条弦,,AO BC AB BC ⊥=则O 的半径等于 . 【解】填32.设AO BC D =,易知BD DC ==ABD ∆中由勾股定理可得1AD =,连接OB ,则有 2222232(1)2OB BD OD r r r =+⇔=+-⇒=.13.若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<,则a = .【解】填 -3 .由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-.(二)必做题(14-16题)14.若变量,x y 满足约束条件,4,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,且2z x y =+的最小值为－则k = . 【解】填 -2 .如右图所示,2k <,且可行域为三角形, 故当目标函数2y x z =-+过点(,)A k k 时,z 有最小值,即63k -=,即2k =-.15.如图右,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <, 原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =>经过,C F 两点,则ba= . 由条件可知(,),(,)22a a C a Fb b +在抛物线22y px =上,代入C 点易得p a =,又代入F 点得,22()2a b a b =+,即22b ab a -- 可化为2()210b b a a --=,得1b a =,又因为1b >,所以1ba=,即求.16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0),(3,0)A B C -,动点D 满足||1CD =,则 ||OA OB OD ++的最大值是 .A B DCOABCO【解】填17+.由||1CD =知,动点(,)D x y 在22:(3)1C x y -+=上,设(1,OA OB OD x y =++=-+m ,则222||(1)(x y =-+m , 其几何意义为C 上动点(,)D x y 与定点(1,E 间距离的平方,如右图所示,由平面几何知,max ||||1EC r =+=m .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;(Ⅱ)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解】(Ⅰ)记E ={甲组研发新产品成功},F ={乙组研发新产品成功}.由题设知,E F 相互独立,且23(),()35P E P F ==,又记事件 “至少有一种新产品研发成功”为M ,则2313()1()1()1()()13(1)(1)3515P M P M P EF P E P F =-=-=-=---=……………6分(Ⅱ)记该企业可获利润为ξ(万元),则ξ的可能取值有0,100,120,220.且易知122133(0),(100)35153515P P ξξ==⨯===⨯=;224236(120),(220)35153515P P ξξ==⨯===⨯=; 故所求的分布列为(如右表所示):且2346()010012022014015151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………………12分18.(本小题满分12分)如图右,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===(Ⅰ)求cos CAD ∠的值; (Ⅱ)若cos BAD CBA ∠=∠=BC 的长. 【解】(Ⅰ)如图右,在ADC ∆中,由余弦定理,得2227c o s 2AC AD CD CAD AC AD +-∠===⋅分(Ⅱ)设BAC α∠=,则BAD CAD α=∠-∠,因为cos CAD BAD ∠∠=, 且,(0,)CAD BAD π∠∠∈,所以sin CAD ∠==,同理sin BAD ∠,于是sin sin()sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠,A CDB AC DB(=-=,………………………………………10分 所以在ABC ∆中,由正弦定理有sin 3sin AC BC CBA α===∠,即求.………………12分 19.(本小题满分12分)如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等, 11111,,AC BD O AC B D O ==四边形11ACC A 和四边形 11BDD B 均为矩形.(Ⅰ)证明:1O O ⊥底面ABCD ; (Ⅱ)若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值. 【解】(Ⅰ)证明:如图右,因为四边形11ACC A 为矩形,所以 1C C A C ⊥,同理1DD BD ⊥, 因为11//CC DD ,所以1CC BD ⊥,而AC BD O =,因此1CC ⊥底面ABCD .由题设知11//OO CC ,故1O O ⊥底面ABCD ;………………6分 (Ⅱ)解法1 如图右,由(Ⅰ)知1O O ⊥底面ABCD , 所以1O O ⊥底面1111A B C D ,于是1O O ⊥11AC . 又由题设知四边形1111A B C D 是菱形,所以1111AC B D ⊥,而1111B D OO O =,故11AC ⊥平面11BDD B ,于是过点1O 作11O H B O ⊥于H ,连结1HC 则11HC B O ⊥(三垂线定理),故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.不妨设2AB =,因为60CBA ∠=,所以11,OB OC OB ===在11Rt OO B ∆中,11111OO O B O H OB ⋅==,而111O C =,于是1C H =,故11Rt HO C ∆中,有1111cos O H C HO C H ∠===, 即二面角11C OB D --解法2 由题设知四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥, 又(Ⅰ)已证1O O ⊥底面ABCD ,从而1,,OB OC OO 两 两垂直,如图右,以O 为原点,1,,OB OC OO 所在直线分别分x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -. 不妨设2AB =,因为60CBA ∠=,所以1OB OC ==, 于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ,易知1(0,1,0)=n 是平面11BDD B 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 一个法向量,则21210,0,OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即20,20.z y z +=+=⎪⎩ ,令z =则2,x y ==,故2=n ,设二面角11C OB D --的大小为θ,由图可知θ为锐角,于是A B CD OACD BOABHCDOACDB O121212||cos |cos ,|||||θ⋅=<>===⨯n n n n n n ,故二面角11C OB D --的余弦值为19分 20.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈ (Ⅰ)若{}n a 是递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求p 的值;(Ⅱ)若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式. 【解】(Ⅰ)因为{}n a 是递增数列,所以11||n n n n n a a a a p ++-=-=,而11a =,因为2231,1a p a p p =+=++,又123,2,3a a a 成等差数列, 所以21343a a a =+,因而230p p -=,解得1,3p =或0p =,当0p =时,1n n a a +=,这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =;………………………………6分 (Ⅱ)由于21{}n a -是递增数列,因而21210n n a a +-->,于是212221()()0n n n n a a a a +--+->,……①而22121222111||()||()22n n n n n n a a a a -+--=<-=,……②由①②知,2210n n a a -->,即212211()2n n n a a ---=,……③因为2{}n a 是递减数列,同理可得2120n n a a +-<,故22121()2n n n a a +-=-……④由③④即知,11*111(1)()(),2,22n n n n n a a n n N ----=-=--≥∈,所以112211()()()(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥121111[()()()]1222n n --=--+-++-+1111()141121()()1233212n n ----=--=--+, 又当1n =时,11a =也适合上式,故1*411(),332n n a n N -=--∈.………………………13分21.(本小题满分13分)如图右,O 为坐标原点,椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线22222:x y C a - 1=的左、右焦点分别为34,F F ,离心率为2e .已知12e e =且24|| 1.F F =(Ⅰ)求12,CC 的方程;(Ⅱ)过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦,AB M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.【解】(Ⅰ)因为12e e =所以222212223(1)(1)4b b e e a a =-+=,得222a b =,从而24(,0),,0)F b F ,24||1b F F -==,即21,2b a ==,故12,C C 的方程分别为22221,122x x y y +=-=.………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)易知1(1,0)F -,依题意设:1AB x my =-,1122(,),(,)A x y B x y ,由221,22x my x y =-⎧⎨+=⎩,得22(2)210m y my +--=,显然0>恒成立, 所以12122221,21m y y y y m m -+==++, 故121224()22x x m y y m -+=+-=+,于是AB 的中点222(,)22mM m m -++,故直线PQ 的斜率为2m k -=,即直线:2mPQ y x =-,即20mx y +=,由22,222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得22(2)4m x -=,即2224(2)2x m m =<-,由双曲线的对称性易PQ ==== 由M 为AB 的中点,显然,A B 到直线PQ 的距离相等,即d =,所以2d , 又因为,A B 在直线20mx y +=的两侧,故1122(2)(2)0mx y mx y +⋅+<,于是22d ===,又因为12||y y -=,即2d =, 故四边形APBQ的面积为21||22)2S PQ d m =⋅==≤<, 由2022m <-≤,故当0m =时,S 有最小值2,综上所述,四边形APBQ 面积的最小值为2.……………………………………………13分 22.(本小题满分13分)已知常数0a >,函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+(Ⅰ)讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性;(Ⅱ)若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的取值范围.【解】(Ⅰ)由2222(2)24(1)'()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++,(0x >) ①当1a ≥时,'()0f x >;②当01a <<时,由()0f x '=得,12x x ==-舍去), 且由于二次函数24(1)y ax a =+-的图象是开口向上的抛物线,故易知: 当10x x <<时,'()0f x <,当1x x >时,'()0f x >, 综上所述,当1a ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增;当01a <<时,()f x在区间a 上递减,在区间)a+∞上递增.……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知224(1)'()(1)(2)ax a f x ax x +-=++,所以①当1a ≥时,()0f x '≥,此时()f x 不存在极值点.②当01a <<时,'()0f x =的两根为12x x ==- 依题意12,x x 是()f x 定义域上的两个极值点,故必有221,2x x a=--≠-,解得12a ≠,结合二次函数24(1)y ax a =+-的图象可知,当101,2a a <<≠时,12,x x 分别是()f x 的极小值、极大值点.且12124(1)0,a x x x x a -+==.而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++, 212121212121244()ln[1()]2()4x x x x a x x a x x x x x x ++=+++-+++224(1)2ln(21)ln(21)2,2121a a a a a -=--=-+---令21(1,0)(0,1)t a =-∈-,则2122()()()ln 2,(11,0)f x f x g t t t t t+==+--<<≠,于是22(1)'()0t g t t -=<,即()g t 在(1,0),(0,1)t ∈-上递减,所以①当10t -<<时,()(1)40g t g <-=-<,与12()()()0f x f x g t +=>的题意矛盾,舍去; ②当01t <<时,()(1)0g t g >=,符合题意.综上可知,要使12()()0,f x f x +>则必须有21(0,1)t a =-∈,即1(,1)2a ∈为所求.……13分。
2014年高考理科数学湖南卷(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则 (1)(1)f g +=( )A .3-B .1-C .1D .3 4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,ABBC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= .16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图418.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC = （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=sin 6CBA ∠=, 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =,且241F F =-. （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图72014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意可知i i z z +=，所以i ()1z z =+，令z a bi =+，经化简可知1a ba b =-⎧⎨=+⎩，所以12a =，12b =-，即11i 22z =-，故选B.【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【考点】随机抽样的概率 3.【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，即()()()()f x f x g x g x =-⎧⎨-=-⎩，联立3232()()1()()1f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩，得出2()1f x x =+，3()g x x =-，所以(1)(1)211f g +=-=，故选C.【提示】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，联立方程得出()f x 和()g x 的解析式，再令1x =即可. 【考点】对数奇偶性 4.【答案】A【解析】根据()()555122rr rr r C x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为23351(2)202C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选A.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论. 【考点】循环结构流程图 7.【答案】B【解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则628r r r -+=-，故选B.【提示】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r .【考点】几何体的体积 8.【答案】D【解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由2(1)(1)(1)p q x ++=+，1x +=所以1x =，故选D.【提示】根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论. 【考点】增长率 9.【答案】A 【解析】由2π30⎰()0f x dx =，可以得出2πcos cos()3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π3ϕ=，所以()s i n 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此一条对称轴为πππ32x k -=+（k ∈Z ）所以5π6x =，故选A. 【提示】由2π3⎰()0f x dx =，可以得到ϕ的值，可以知道对称轴x 从而求得x 的值.【考点】积分，对称轴，三角函数 10.【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图象上存在020001,e (0)2x P x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的点02001,e 2x Q x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭在函数2()l n ()g x x x a =++的图象上，从而0220001e ()ln()2x x x x a +-=-+-+，即001e ln()02x x a --+-=，问题等价于函数001()e ln()2xh x x a =--+-在(,0)x ∈-∞存在零点.即(a ∈-∞【提示】由题意可得001e ln()02xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围. 【考点】对称性 二、填空题11.【答案】(cos sin )1p θθ-=【解析】设直线方程y x b =+，联立22(2)(1)1x y y x b ⎧-+-=⎨=+⎩得出2222(3)420x x b b b --++-=，由韦达定理212422b b x x +-=，123x x b +=-，又有||2AB ===所以最后得出1b =-，故直线方程1x y -=，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=【提示】由题意可得直线l 的方程为y x b =+，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2,1)在直线l 上，由此求得b 的值，可得直线的方程. 【考点】直线与参数方程的位置关系，极坐标12.【答案】32【解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC =，由ABD △的勾股定理可得1AD =，由双隔线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直线332AE r =⇒=，故填32.【提示】设垂足为D ，O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算R 即可. 【考点】勾股定理，双割线定理 13.【答案】3-【解析】由题可得523231233aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：3- 【提示】由题可得52321233aa ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得a 的值.【考点】绝对值不等式 14.【答案】2-【解析】作出不等式组4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域，可以得出三条直线的交点(),k k ，(4),k k -，(2)2,，且y x ≤，4x y +≤的可行域，所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当(4),k k -为最优解时，2(4)614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-，故填2-.【提示】做出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定k 的值即可. 【考点】线性规划 15.1【解析】由,2a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22122a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1. 【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求ba 的值.【考点】抛物线16.【答案】1]【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3cos ,sin )θθ+([0,2π))θ∈，则||OA OB OD ++==，因为2c o s 3s i nθθ的取值范围为[[=，827(11+=+1=，所以||OA OB OD ++的取值范围为1]+.【提示】由题意设点D 的坐标为(3c o s θθ+，求得||8OA OB OD ++=+.根据2cos sin θθ的取值范围，可得||OA OB OD ++的最大值.【考点】平面向量的基本运算 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）1315（Ⅱ）140【解析】（Ⅰ）记{}E =甲组研发新产品成功，{}F =乙组研发新产品成功.由题设知2()3P E =，1()3P E =，3()5P F =，2()5P F =，故所求的概率为13()()()()()()15P P F P E P E P F P E P F =++=. （Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=，133(100)()3515P X P EF ===⨯=，224(120)()3515P X P EF ===⨯=，236(220)()3515P X P EF ===⨯=，数学期望为30048013202100()0100120220140151515151515E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可.【考点】分布列和数学期望，概率 18.【答案】（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=故由题设知，cos CAD ∠==（Ⅱ）sin 14BAD ∠== 于是sin sin()BAC BAD CAD ∠=∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠27721⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ . 在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，故37sin 3sin AC BACBC CBA∠===∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等， 所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面， 所以111AC OB ⊥，于是111OB O HC ⊥平面， 进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角. 不妨设2AB =.因为60CBA ∠=︒，所以OB =1OC =，1OB =. 在11Rt OO B △中，易知11111OO O B O H OB ==而111O C =，于是1C H故1111cos O H C HO C H∠==. 即二面角11C OB D --【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，ACBD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB ⊥，11OB C H ⊥，所以11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D --的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角20.【答案】（Ⅰ）13p =（Ⅱ）141(1)332nn n a --=+ 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 是递增数列，所以11||nn n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又1a ，22a ，33a 成等差数列， 所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得13p =，0p =，当0p =时，1n n a a +=， 这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.（Ⅱ）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->①，但2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②， 由①②知，2210n n a a -->，因此21221221(1)122n nn nn a a ---⎛⎫⎪⎝⎭--==③， 因为{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n n na a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n na a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a ----=++++2111(1)1222nn --=+-++112121()1121n ---=++ 141(1)332nn --=+. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||nn n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来. 【考点】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式21.【答案】（Ⅰ）1C 的方程为2212x y +=2C的方程为2212xy -=（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）因为12e e =，22a b +=44434a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b，4,0)F ， 24||1b F F -==， 所以1b =，22a =.故1C ，2C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.（Ⅱ）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-.由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my +--=，易知此方程的判别式大于0. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 故直线PQ 的斜率为2m-，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22(2)4m x -=， 所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m=-，从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =. 因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧， 所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而22d =，又因为21221||m y y +-=，所以2212m d +=.故四边形APBQ 的面积22212213||2221222mS PQ d mm+===-+--. 而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值.【考点】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值22.【答案】（Ⅰ）当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增 （Ⅱ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++， 当1a ≥时，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '<得1x =2x =-舍去）. 当1(0,)x x ∈时()0f x '<；当11(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递增，在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述：当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）式知.当1a ≥，()0f x '>，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<. 又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a -.2≠-，解得12a ≠. 此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1221222()()ln(1)ln(1)22x xf x f x ax ax x x +=+-++-++ 21212ln[1()]a x x a x x =+++-1212121244()2()4x x x x x x x x +++++24(1)ln(21)21a a a -=--- 22ln(21)221a a =-+--， 令21a x -=，由01a <<且12a ≠知：当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<. 记22()ln 2g x x x=+-.（ⅰ）当10x -<<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以222222()0x g x x x x -'=-=<. 因此，()g x 在区间(10)-,上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<， 故当102a <<时，12()()0f x f x +<.（ⅱ）当10x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222()0g x x x '=-<，因此.()g x 在区间(0)1,上单调递减，从而()(1)0g x g >=. 故当112a <<时，12()()0f x f x +>，综上所述.满足条件的a的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。
2014年全国高考理科数学试题(湖南卷)
2014年全国高考理科数学试题-湖南卷1.满足z ii z +=（i 为虚数单位）的复数z = ( ) A. 1122i + B. 1122i - C. 1122i -+ D. 1122i --答案：B 分析：由z ii z +=得(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i ---====-----．2．对一个容量为 N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p 则（ ） A. 123p p p =<B. 231p p p =<C. 132p p p =<D. 123p p p ==答案：D分析： 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等即123p p p ==，故选D ．3.已知()(),f x g x 分别是定义R 在 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++ ,则()()11f g +=（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 3 答案：C分析：由函数奇偶性联想转化：32(1)(1)(1)(1)(1)(1)11f g f g +=---=-+-+=．4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）A. 20-B. 5-C. 5D. 20 答案：A分析：二项式51(2)2x y - 的通项为5151()(2),5,2r r rr T C x y r r N -+=-≤∈ ，令3r =时32323451()(2)202T C x y x y =-=-，故选A ．5.已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 答案：C分析：显然p 真q 假，所以可知复合命题②、③正确，选.C6.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈- ,则输出的S 属于（ ）A. []6,2--B. []5,1--C. []4,5-D. []3,6-答案：D分析：由程序框图可知①当[)2,0t ∈- 时，运行程序如下，(]2211,9t t =+∈，(]32,6S t =-∈-；②当[]0,2t ∈时，则[]33,1S t =-∈--；综上①②可知(][][]2,63,13,6S ∈-⋃--=-．7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 答案：B分析：由三视图可得该几何体为三棱柱（倒置：长为12、宽为6的矩形侧面与地面接触）．易知不存在球与该三棱柱的上、下底面及三个侧面同时相切，故最大的球是与其三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上（下）底面直角三角形内切圆的半径r ，则681022r +-==．8.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）A.2p q+ B. ()()1112p q ++-C.D.1答案：D分析：设两年的年平均增长率为x ，则有()()()21111x p q x +=++⇒=．9.已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2300f x dx π=⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A. 56x π=B. 712x π=C. 3x π=D. 6x π=答案：A 分析：由()2300f x dx π=⎰得，230cos()|0x πϕ--=，即2cos cos()03πϕϕ--=，可化为3cos 022ϕϕ-= ，即tan ϕ=,3k k Z πϕπ=+∈，所以()sin()sin()3f x x x πϕ=-=±-，令,32x k k Z πππ-=+∈，求得5,6x k k Z ππ=+∈，则函数()f x 的图象的一条对称轴为56x π=，故选A ．10.已知函数()()2102f x x ex x =+-< 与()()2ln g x x x a =++ 的图象上存在关于y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A. (-∞ B. (-∞ C. (D. ( 答案：B分析：依题意在曲线()g x 取一点()()(),0x g x x >，则在曲线()f x 上存在一点 ()(),x f x --与之对应（关于 y 轴对称），所以()()f x g x -= 在 0x >上有解， 即 221ln()2x x e x x a -+-=++， 也即()1ln 2xx a e-+=- 在0x > 上有解，由于()1ln y x a =+ ，212xy e -=-分别为()0,+∞ 上增函数、减函数， 于是结合图象易知，方程 ()1ln 2x x a e -+=-在 0x >上有解的充要条件为01ln 2a e -<-，即a <11.在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线 C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于 A 、B 两点，且2AB = ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_______． 答案：()cos sin 1ρθθ-=分析：依题意曲线C 的普通方程为 ()()22211x y -+-=，设直线l 的方程为y x b =+ ，因为弦长2AB = ，所以圆心()2,1 到直线l 的距离0d = ，所以圆心在直线 l 上，故1y x =-，()sin cos 1cos sin 1ρθρθρθθ=-⇔-=．12.已知,AB BC 是 O 的两条弦，,AO BC AB BC ⊥= O 的半径等于_______．答案：32分析：设AO BC D ⋂=，易知BD DC ==ABD ∆中由勾股定理可得1AD =，连接 OB ，则有()222223212OB BD OD r r r =+⇔=+-⇒=．13.若关于 x 的不等式23ax -< 的解集为51{|}33x x -<< ，则a =_____．答案：3-分析：由题可得523331233a a a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填3-．14.若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+ 的最小值为6-，则k =_____．答案：2-分析：如图所示， 2k <，且可行域为三角形， 故当目标函数2y x z =-+ 过点(),A k k 时，z 有最小值， 即63k -= ，即2k =-．15.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b < ，原点O 为AD 的中点，抛物线()220y px p => 经过C 、F 两点，则ba=______．答案：1+分析：由条件可知(,),(,)22a a C a Fb b +在抛物线22y px =上，代入C 点易得 p a =， 又代入F 点得，22()2a b a b =+，即2220b ab a --=， 可化为2()210b b a a --=，得1ba=±又因为1b a>，所以1ba =+16.在平面直角坐标系中，O 为原点，()()1,0,3,0A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是_____．1分析：由 ||1CD = 知(),D x y ，动点 在()22:31C x y -+= 上，设 (1,m OA OB OD x y =++=-，则 22(1)(m x y =-+，其几何意义为 C 上动点(),D x y 与定点 (1,E 间距离的平方，如图所示，由平面几何知，max 1m EC r =+=．。
14年高考真题理科数学湖南卷
13．若关于 x 的不等式| ax 2 | 3 的解集为
x | 5 3 x 1 3，则 a
（二）必做题（14-16 题）
yx 14．若变量 x, y 满足约束条件 x y 4 ，且 z 2x y 的
y k 最小值为 6 ，则 k _____。
（B） 1
②
（D）4
）
（C） p1 p3 p2
（D）20
（C）1
（D） 1 1 i 22
湖南
（D）
（D）3
2014 年高考真题理科数学（解析版） 卷
8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q ，
则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
pq
（A）
现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B 。设甲、
乙两组的研发相互独立。⑴求至少有一种新产品研发
成功的概率；⑵若新产品 A 研发成功，预计企业可获
利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获
利润 100 万元。求该企业可获利润的分布列和数学期
望。
18．（本小题满分 12 分）如图 5，在平面四边形
ABCD 中， AD 1 ， CD 2 ， AC 7 。⑴求
cos CAD 的值；⑵若 cos BAD
19．（本小题满分 12 分）如图 6，四棱柱
ABCD A1B1C1D1 的所有棱长都相等，
AC BD O ， A1C1 B1D1 O1 ，四边形
ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形。⑴证明：
足| CD | 1 ，则| OA OB OD | 的最大值是__________。
14年高考真题——理科数学(湖南卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足z i i z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ） （A ）1122i + （B ）1122i - （C ）1122i -+ （D ）1122i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p ，则（ ）（A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p ==3．()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）34．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ） （A ）20- （B ）5-0 （C ）5 （D ）205．已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >。
在命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④（C ）②③ （D ）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1--（C ）[]4,5- （D ）[]3,6-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q + （B ）()()1112p q ++- （C（D1 9．已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2300f x dx π⎰=，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） （A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π= 10．已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞（B ）(-∞（C）(-（D）( 二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________________。
2014年高考理科数学湖南卷答案及解析(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-==,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a-+->ln a a ⇒<<故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离d =,所以圆心在直线l上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,1. 【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s ,s i n 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++==因为cos sin θθ的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为=,故填【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:则数学期望0120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值;(2)若cos 14BAD ∠=-,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) cos CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠==7=,所以cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得s i n BAD ∠=14=且sin 7CAD ∠==,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠⎛= ⎝⎭=714+7=再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠BC ⇒=⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2) 【解析】(1)证明:四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,ACBD O AC B D O ==∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又AC BD O =且,AC BD ⊆底面ABCD1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D又11O C ⊆面1111A B C D111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形1111O C O B ∴⊥又111OC OO ⊥且1111OO O C O =,111,O O O B ⊆面1OB D11O C ∴⊥面1OB D又1B O ⊆面1OB D111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥且1111O C O E O =,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠=060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形11O C a ∴=,11,BO=112,OO a B O ===, 则111111111221sin 37OO O E B OO B O B Oa a B O a=∠=== 再由11O EC ∆的勾股定理可得1EC===, 则1111cos O E O EC EC ∠===,所以二面角11C OB D --. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11nnn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a+-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+--22141332m m a -⇒=+. 当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222111111112242243321144m m m---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知122e e =,且241F F =. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得12e e ==,且12F F =,因为12e e =,且24F F =,所以22212b a+=且1a ⇒=且1,b a ==所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22mny n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222M AB e x n =+=++)2212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为,⎛ ⎝,则点,P Q 到直线AB 的距离为221224n n n d n +-=,222224n nn d n --=,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()2221222224n n nn dd n ++-+==+,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= =因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,()'0f x x =⇒=则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪∞⎪⎝⎭单调递增的.(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()'0f x x =⇒=,则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2)函数()f x的定义域为1,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭,由(1)可得当01a<<时,()'0f x x=⇒=,则1a>-⇒12a≠,则()f x的两个极值点,()()12ln1ln1f x f x⎡⎡+=++-+⎣⎣()ln141a a=--+⎡⎤⎣⎦,因为112a<<或12a<<,则12<,则设t=12t⎛⎫<<⎪⎝⎭,则()()()212ln144f x f x t t+=-+,设函数()()2ln144g x x x=-+12t⎛⎫<<⎪⎝⎭, 后续有待更新!!!【考点定位】导数含参二次不等式对数。
2014年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)_共7页
2x
（9）【2014 年湖南，理 9，5 分】已知函数发 f x sin x ，且 03 f (x)dx 0 ，则函数 f x 的图象的一条
对称轴是（ ）
（A） x 5 6
（B） x 7 12
（C） x 3
（D） x 6
【答案】A
【解析】解法一：
x
1和
x
1 可得
f
1
g
1
3
且
f
1
g
1
1 ，则
f f
1 1
g g
1 3 1 1
f g
1 1
2 1
f 1 g 1 1，故选 C．
（4）【2014 年湖南，理 4，5 分】 (1 x 2 y)5 的展开式中 x 2 y 3 的系数是（ ） 2
和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1, p2 , p3 ，则（ ）
（A） p1 p2 p3
（B） p2 p3 p1
（C） p1 p3 p2
（D） p1 p2 p3
【答案】D
【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，
y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）
（A） ( , 1 ) e
（B） ( , e )
（C） ( 1 , e) e
（D） (- e，1 ) e
【答案】B
【解析】由题可得函数
即 p1 p2 p3 ，故选 D．
（3）【2014 年湖南，理 3，5 分】已知 f x ， g x分别是定义 R 在上的偶函数和奇函数，且
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖南,理1)满足z+iz=i(i为虚数单位)的复数z=().A.12+12i B.12−12iC.-12+12i D.-12−12i答案:B解析:由已知,得z+i=z i,则z(1-i)=-i,即z=-i1-i =-i(1+i)(1-i)(1+i)=1-i2=12−i2.故选B.2.(2014湖南,理2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则().A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案:D解析:由随机抽样的要求,知p1=p2=p3,故选D.3.(2014湖南,理3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=().A.-3B.-1C.1D.3答案:C解析:由f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,知f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1).又由f(x)-g(x)=x3+x2+1,令x=-1,得f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1,即f(1)+g(1)=1.故选C.4.(2014湖南,理4)(12x-2y)5的展开式中x2y3的系数是().A.-20B.-5C.5D.20 答案:A解析:由已知,得T r+1=C5r(12x)5-r(-2y)r=C5r(12)5-r(-2)r x5-r y r(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=C53(12)2(-2)3x2y3=-20x2y3.故选A.5.(2014湖南,理5)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧( q);④( p)∨q中,真命题是().A.①③B.①④C.②③D.②④答案:C解析:由题易知命题p为真,命题q为假,则 p为假, q为真.故p∧q为假,p∨q为真,p∧( q)为真,( p)∨q为假.故选C.6.(2014湖南,理6)执行如图所示的程序框图.如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于().A.[-6,-2]B.[-5,-1]C.[-4,5]D.[-3,6]解析:由题意知,当-2≤t<0时,y=2t 2+1,得y ∈(1,9].故当t ∈[0,2]∪(1,9]=[0,9]时,S=t-3,S ∈[-3,6].故选D .7.(2014湖南,理7)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ).A .1B .2C .3D .4答案:B 解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA ,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆的半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B .8.(2014湖南,理8)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ). A .p+q2B .(p+1)(q+1)-12C .√pqD .√(p +1)(q +1)-1答案:D解析:设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x ,则(1+x )2=(p+1)(q+1),解得x=√(p +1)(q +1)-1,故选D .9.(2014湖南,理9)已知函数f (x )=sin(x-φ),且∫ 2π30f (x )d x=0,则函数f (x )的图象的一条对称轴是( ). A .x=5π6 B .x=7π12C .x=π3D .x=π6答案:A解析:由已知,得∫ 2π30sin(x-φ)d x=[-cos(x-φ)]|02π3=-cos (2π3-φ)+cos(-φ)=0,即φ=2π3-φ+2n π,n ∈Z ,或φ=-(2π3-φ)+2n π,n ∈Z ,解得φ=n π+π3,n ∈Z ,或0=-2π3+2n π,n ∈Z (舍去),故f (x )=sin (x -nπ-π3),n ∈Z .令x-n π-π3=k π+π2,k ∈Z ,得x=m π+5π6,m ∈Z .令m=0,得x=5π6,故选A .10.(2014湖南,理10)已知函数f (x )=x 2+e x -12(x<0)与g (x )=x 2+ln(x+a )的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ).A .(-∞√e) B .(-∞,√e ) C .(√e√e) D .(-√e ,√e)解析:由已知得函数f (x )的图象关于y 轴对称的函数为h (x )=x 2+e -x -12(x>0).令h (x )=g (x ),得ln(x+a )=e -x -12,作函数M (x )=e -x -12的图象,显然当a ≤0时,函数y=ln(x+a )的图象与M (x )的图象一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a )的图象与M (x )的图象有交点,则ln a<12,则0<a<√e .综上a<√e .故选B . 二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.(2014湖南,理11)在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C :{x =2+cosα,y =1+sinα(α为参数)交于A ,B 两点,且|AB|=2.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 . 答案:ρ(cos θ-sin θ)=1解析:由题意得曲线C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,故直线l 过曲线C 的圆心(2,1),则直线方程为y-1=x-2, 即x-y-1=0,故直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ-sin θ)=1. 12.(2014湖南,理12)如图,已知AB ,BC 是☉O 的两条弦,AO ⊥BC ,AB=√3,BC=2√2,则☉O 的半径等于 . 答案:32解析:如右图,由已知AO ⊥BC ,可得E 是BC 的中点,即BE=√2,故AE=√AB 2-BE 2=1.在Rt △BOE 中,OB 2=BE 2+OE 2,即r 2=(√2)2+(r-1)2,解得r=32.13.(2014湖南,理13)若关于x 的不等式|ax-2|<3的解集为{x |-53<x <13},则a= . 答案:-3解析:由|ax-2|<3,得-1<ax<5.若a ≥0,显然不符合题意,当a<0时,解得5a<x<-1a,故-1a=13,5a=-53,解得a=-3. (二)必做题(14~16题)14.(2014湖南,理14)若变量x ,y 满足约束条件{y ≤x ,x +y ≤4,y ≥k ,且z=2x+y 的最小值为-6,则k= .答案:-2解析:画出可行域如图所示:画直线l 0:y=-2x ,平移直线l 0,当过A (k ,k )时,使得z 最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2.15.(2014湖南,理15)如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ,b (a<b ),原点O 为AD 的中点,抛物线y 2=2px (p>0)经过C ,F 两点,则b a=.答案:1+√2解析:由题意,知C (a 2,-a),F (b +a 2,b).又C ,F 在抛物线y 2=2px (p>0)上, 所以{a 2=2p ×a2, ①b 2=2p (b +a 2),② 由②÷①,得b 2a 2=2b+aa,即b 2-2ba-a 2=0,解得b a=1±√2(负值舍去). 故b a =1+√2.16.(2014湖南,理16)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,√3),C (3,0),动点D 满足|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是 . 答案:1+√7解析:设动点D (x ,y ),则由|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,得(x-3)2+y 2=1,D 点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆. 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y+√3), 所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x -1)2+(y +√3)2, 故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为点(3,0)与(1,-√3)之间的距离与1的和,即√(3-1)2+(0+√3)2+1=1+√7. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014湖南,理17)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.分析:在第(1)问中,考虑到欲求概率的事件包含的互斥事件较多,因此可先求其对立事件的概率,再根据互为对立事件的概率之和为1,求得原事件的概率.在第(2)问中,先列出该企业所获利润的所有可能的取值,然后用相互独立事件的概率公式求出各个概率值,列出表格即得分布列,最后利用数学期望的定义求得期望值. 解:记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.由题设知P (E )=23,P (E )=13,P (F )=35,P (F )=25,且事件E 与F ,E 与F,E 与F ,E 与F 都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则H =E F ,于是P (H )=P (E )P (F )=13×25=215, 故所求的概率为P (H )=1-P (H )=1-215=1315. (2)设企业可获利润为X (万元),则X 的可能取值为0,100,120,220. 因P (X=0)=P (E F )=13×25=215,P (X=100)=P (E F )=13×35=315, P (X=120)=P (E F )=23×25=415,P (X=220)=P (EF )=23×35=615, 故所求的分布列为数学期望为E (X )=0×215+100×315+120×415+220×15=15=10015=140. 18.(本小题满分12分)(2014湖南,理18)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=√7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-√714,sin∠CBA=√216,求BC的长.分析:对于第(1)问,由已知△ACD中三边求角,很容易想到利用余弦定理进行求解.对于第(2)问,目标为求BC的长度,而BC是△ABC中的边.又AC已知,AC所对的角∠CBA的正弦已知,所以联想到利用正弦定理来求,但需要∠BAC的正弦值.而已知中有cos∠BAD的值,发现∠BAC=∠BAD-∠CAD,因此用两角差的正弦公式求得sin∠BAC,从而问题得解.解:(1)如题图,在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC 2+AD2-CD22AC·AD.故由题设知,cos∠CAD=2√7=2√77.(2)如题图,设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=2√77,cos∠BAD=-√714,所以sin∠CAD=√1-cos2∠CAD=√1-(2√77)2=√217,sin∠BAD=√1-cos2∠BAD=√1-(-√714)2=3√2114.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BAD cos∠CAD-cos∠BAD sin∠CAD=3√2114×2√77−(-√714)×√217=√32.在△ABC中,由正弦定理,BCsinα=ACsin∠CBA.故BC=AC·sinαsin∠CBA =√7×√32√216=3.19.(本小题满分12分)(2014湖南,理19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.分析:在第(1)问中,从“四边形ACC1A1,BDD1B1均为矩形”出发可证得四棱柱的一条侧棱与底面ABCD的两条对角线垂直,则该侧棱与底面ABCD垂直.而OO1与任一侧棱平行,因此可证得OO1⊥底面ABCD.在第(2)问中可利用两种方法求解,第1种方法为几何法,首先由点O1向二面角的棱B1O作垂线,再将垂足H与C1连接,然后通过线面垂直的性质等证明∠C1HO1即为所求二面角的平面角,最后再在直角三角形中,通过三角函数求得二面角的余弦值;第2种方法为空间向量法,先根据条件证得OB,OC,OO1两两垂直,从而以O为原点建立空间直角坐标系,然后分别求出二面角的两个面的法向量,利用向量的夹角公式即可求得二面角的余弦值.图(a)(1)证明:如图(a),因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD.由题设知,O 1O ∥C 1C.故O 1O ⊥底面ABCD. (2)解法1:如图(a),过O 1作O 1H ⊥OB 1于H ,连接HC 1.由(1)知,O 1O ⊥底面ABCD ,所以O 1O ⊥底面A 1B 1C 1D 1,于是O 1O ⊥A 1C 1.又因为四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等,所以四边形A 1B 1C 1D 1是菱形,因此A 1C 1⊥B 1D 1,从而A 1C 1⊥平面BDD 1B 1,所以A 1C 1⊥OB 1,于是OB 1⊥平面O 1HC 1,进而OB 1⊥C 1H.故∠C 1HO 1是二面角C 1-OB 1-D 的平面角. 不妨设AB=2.因为∠CBA=60°, 所以OB=√3,OC=1,OB 1=√7. 在Rt △OO 1B 1中,易知O 1H=OO 1·O 1B 1OB 1=2√37. 而O 1C 1=1,于是C 1H=√O 1C 12+O 1H 2=√1+127=√197.故cos ∠C 1HO 1=O 1HC 1H=2√37√197=2√5719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为2√5719.图(b)解法2:因为四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD 是菱形,因此AC ⊥BD.又O 1O ⊥底面ABCD ,从而OB ,OC ,OO 1两两垂直.如图(b),以O 为坐标原点,OB ,OC ,OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系O-xyz.不妨设AB=2.因为∠CBA=60°,所以OB=√3,OC=1,于是相关各点的坐标为:O (0,0,0),B 1(√3,0,2),C 1(0,1,2).易知,n 1=(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量.设n 2=(x ,y ,z )是平面OB 1C 1的一个法向量,则{n 2·OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√3x +2z =0,y +2z =0.取z=-√3,则x=2,y=2√3,所以n 2=(2,2√3,-√3).设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ,易知θ是锐角,于是 cos θ=|cos <n 1,n 2>|=|n 1·n 2|n 1||n 2||=√3√19=2√5719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为2√5719.20.(本小题满分13分)(2014湖南,理20)已知数列{a n }满足a 1=1,|a n+1-a n |=p n ,n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求p 的值;(2)若p=12,且{a 2n-1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }的通项公式.分析:对于第(1)问,根据{a n }是递增数列,可将已知|a n+1-a n |=p n 的绝对值符号去掉.再根据a 1=1,用p 表示出a 2,a 3来,然后由条件a 1,2a 2,3a 3成等差数列,建立关于p 的方程求出p 的值.对于第(2)问,可先由已知条件{a 2n-1}是递增数列与{a 2n }是递减数列建立不等关系,再依据已知条件|a n+1-a n |=p n 得出a 2n -a 2n-1与a 2n+1-a 2n 的表达式.最后利用累加法,求出a n . 解:(1)因为{a n }是递增数列,所以a n+1-a n =|a n+1-a n |=p n .而a 1=1,因此a 2=p+1,a 3=p 2+p+1. 又a 1,2a 2,3a 3成等差数列,所以4a 2=a 1+3a 3, 因而3p 2-p=0,解得p=13,p=0.当p=0时,a n+1=a n ,这与{a n }是递增数列矛盾. 故p=13.(2)由于{a 2n-1}是递增数列,因而a 2n+1-a 2n-1>0,于是(a 2n+1-a 2n )+(a 2n -a 2n-1)>0.① 但122n<122n -1,所以|a 2n+1-a 2n |<|a 2n -a 2n-1|.②由①,②知,a 2n -a 2n-1>0,因此a 2n -a 2n-1=(12)2n -1=(-1)2n22n -1.③因为{a 2n }是递减数列,同理可得,a 2n+1-a 2n <0,故a 2n+1-a 2n =-(12)2n=(-1)2n+122n.④由③,④即知,a n+1-a n =(-1)n+12n.于是a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+12−122+…+(-1)n2n -1=1+12·1-(-12)n -11+12=43+13·(-1)n2n -1. 故数列{a n }的通项公式为a n =43+13·(-1)n2n -1.21.(本小题满分13分)(2014湖南,理21)如图,O 为坐标原点,椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1;双曲线C 2:x 2a2−y 2b2=1的左、右焦点分别为F 3,F 4,离心率为e 2.已知e 1e 2=√32,且|F 2F 4|=√3-1.(1)求C 1,C 2的方程;(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与C 2交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.分析:对于第(1)问,利用条件,结合平方关系将e 1e 2=√32,|F 2F 4|=√3-1表示成关于a ,b 的方程组,求解a ,b 的值,写出C 1,C 2的方程.对于第(2)问,求四边形APBQ 面积的最小值可建立函数求最值.设直线AB 的方程为x=my-1,与C 1的方程联立,运用根与系数的关系求出中点M 的坐标.通过M 的坐标,写出PQ 的直线方程,将其与C 2联立,并用m 表示出|PQ|.再利用点到直线的距离公式求出点A ,B 到直线PQ 的距离,结合条件和根与系数的关系把距离用m 表示出来,从而可将面积S 表示为m 的函数,最后利用分离常数法求最值. 解:(1)因为e 1e 2=√32,所以√a 2-b 2a·√a 2+b 2a=√32,即a 4-b 4=34a 4,因此a 2=2b 2,从而F 2(b ,0),F 4(√3b ,0),于是√3b-b=|F 2F 4|=√3-1,所以b=1,a 2=2.故C 1,C 2的方程分别为x 22+y 2=1,x 22-y 2=1.(2)因AB 不垂直于y 轴,且过点F 1(-1,0),故可设直线AB 的方程为x=my-1.由{x =my -1,x 22+y 2=1得(m 2+2)y 2-2my-1=0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是上述方程的两个实根,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-1m 2+2. 因此x 1+x 2=m (y 1+y 2)-2=-4m 2+2, 于是AB 的中点为M (-2m 2+2,mm 2+2), 故直线PQ 的斜率为-m 2,PQ 的方程为y=-m2x ,即mx+2y=0.由{y =-m 2x ,x 22-y 2=1得(2-m 2)x 2=4,所以2-m 2>0,且x 2=42-m 2,y 2=m 22-m 2, 从而|PQ|=2√x 2+y 2=2√m 2+42-m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ,则点B 到直线PQ 的距离也为d , 所以2d=11222.因为点A ,B 在直线mx+2y=0的异侧, 所以(mx 1+2y 1)(mx 2+2y 2)<0, 于是|mx 1+2y 1|+|mx 2+2y 2| =|mx 1+2y 1-mx 2-2y 2|, 从而2d=2122.又因为|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=2√2·√1+m 2m 2+2,所以2d=2√2·√1+m 22.故四边形APBQ 的面积S=12|PQ|·2d=√2·√1+m 2=2√2·√-1+32-m 2. 而0<2-m 2≤2,故当m=0时,S 取得最小值2. 综上所述,四边形APBQ 面积的最小值为2.22.(本小题满分13分)(2014湖南,理22)已知常数a>0,函数f (x )=ln(1+ax )-2xx+2. (1)讨论f (x )在区间(0,+∞)上的单调性;(2)若f (x )存在两个极值点x 1,x 2,且f (x 1)+f (x 2)>0,求a 的取值范围.分析:对于第(1)问,先计算f'(x ),再观察f'(x )=0是否有解,对a 进行讨论.若无解,则直接判断f'(x )符号,得到单调性.若有解,求出(0,+∞)上的解,然后分析f (x )的单调性.对于第(2)问,结合第(1)问求出f (x )的极大值点和极小值点,从而把f (x 1)+f (x 2)用a 表示出,再用换元法构造函数g (x ),通过分析g (x )最小值的情况来求a 的取值范围.在求解时,要注意对g (x )的定义域分段讨论. 解:(1)f'(x )=a 1+ax −2(x+2)-2x(x+2)2=ax 2+4(a -1)(1+ax )(x+2)2.(*)当a ≥1时,f'(x )>0.此时,f (x )在区间(0,+∞)上单调递增. 当0<a<1时,由f'(x )=0,得 x 1=2√1-aa(x 2=-2√1-aa舍去). 当x ∈(0,x 1)时,f'(x )<0;当x ∈(x 1,+∞)时,f'(x )>0.故f (x )在区间(0,x 1)上单调递减,在区间(x 1,+∞)上单调递增. 综上所述,当a ≥1时,f (x )在区间(0,+∞)上单调递增; 当0<a<1时,f (x )在区间(0,2√1-a a )上单调递减,在区间(2√1-aa,+∞)上单调递增. (2)由(*)式知,当a ≥1时,f'(x )≥0,此时f (x )不存在极值点.因而要使得f (x )有两个极值点,必有0<a<1. 又f (x )的极值点只可能是x 1=2√1-a a和x 2=-2√1-aa,且由f (x )的定义可知,x>-1a,且x ≠-2,所以-2√1-a a >-1a ,-2√1-aa≠-2,解得a ≠12.此时,由(*)式易知,x 1,x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点.而f (x 1)+f (x 2)=ln(1+ax 1)-2x 1x 1+2+ln(1+ax 2)-2x 2x 2+2=ln[1+a (x 1+x 2)+a 2x 1x 2]-4x 1x 2+4(x 1+x 2)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=ln(2a-1)2-4(a -1)2a -1=ln(2a-1)2+22a -1-2. 令2a-1=x ,由0<a<1,且a ≠12知当0<a<12时,-1<x<0;当12<a<1时,0<x<1.记g (x )=ln x 2+2x-2. ①当-1<x<0时,g (x )=2ln(-x )+2x-2,所以g'(x )=2x −2x 2=2x -2x2<0,因此,g (x )在区间(-1,0)上单调递减,从而g (x )<g (-1)=-4<0. 故当0<a<12时,f (x 1)+f (x 2)<0. ②当0<x<1时,g (x )=2ln x+2x-2, 所以g'(x )=2x−2x 2=2x -2x 2<0, 因此,g (x )在区间(0,1)上单调递减, 从而g (x )>g (1)=0.故当12<a<1时,f (x 1)+f (x 2)>0.,1).综上所述,满足条件的a的取值范围为(12。
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足1z i z+=（i 的虚数单位）的复数z= A 、1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p ==3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 321x x ++，则(1)(1)f g +=A 、3-B 、1-C 、1D 、34、51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A 、-20B 、-5C 、5D 、20 5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨ 中，真命题是A 、①③B 、①④C 、②③D 、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A 、[-6,-2]B 、[-5,-1]C 、[-4，5]D 、[-3,6]7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为 A 、2p q + B 、(1)(1)12p q ++- C 、pq D 、(1)(1)1p q ++-9、已知函数发()sin(x )f x ϕ=-，且230()0xf x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是A 、5x=6π B 、x=712π C 、x=3π D 、x=6π 10、已知函数21()-(0)2xf x x e x =+<与2()ln()g x x x a =++的图象在存在关于y 轴对称点，则a的取值范围是A 、-e ∞（，）B 、-e ∞（，）C 、-e e （，） D 、-e e（，） 二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分（一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线 l 与曲线 2cos :1sin x a C y a=+⎧⎨=+⎩（a 为参数）交于A ，B 两点，且 2AB =.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________。
2014年高考理科数学湖南卷答案及解析(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题.1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D.【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C. 【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022n n nC x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C.【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++, 因为()2302sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 则56x π=是其中一条对称轴,故选A. 【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以ln a a <⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题. 11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =,所以圆心在直线l 上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32. 【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3- 【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a pa a b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,故填1.【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++=cos θθ的最大值为2,++的最大值为=,故填所以OA OB OD【考点定位】参数方程圆三角函数。