北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图象与性质(第4课时)
九年级数学二次函数北师大版
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初三数学二次函数北师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
二次函数
［知识体系］
1. 二次函数的概念：一般地，如果两个变量x，y满足y＝ax2＋bx＋c的形式，那么称y是x的二次函数。在二次函数的定义中要注意的问题是：（1）y＝ax2＋bx＋c中a是不为0的常数。（2）最高次项的次数是2。
2. 函数的图象：是一条抛物线。
3. 二次函数图象的性质：分五种情况。
（1）表达式为y＝ax2的函数：
①顶点坐标（0，0）；②对称轴y轴；③当a＞0时图象开口向上，顶点是最低点，x＝0时y有最小值为0，x＞0时y随x的增大而增大，x＜0时y随x的增大而减小；④当a＜0时图象开口向下，顶点是最高点，x＝0时y有最大值为0，x＜0时y随x的增大而增大，x＞0时y随x的增大而减小。
（2）表达式为y＝ax2＋c的函数：
①顶点坐标（0，c）；②对称轴y轴；③当a＞0时图象开口向上，顶点是最低点，x＝0时y有最小值为c，x＞0时y随x的增大而增大，x＜0时y随x的增大而减小；④当a＜0时图象开口向下，顶点是最高点，x＝0时y有最大值为c，x＜0时y随x的增大而增大，x＞0时y随x的增大而减小。
（3）表达式为y＝a（x－h）2的函数：
①顶点坐标（h，0）；②对称轴x＝h；③当a＞0时图象开口向上，顶点是最低点，x＝h时y有最小值为0，x＞0时y随x的增大而增大，x＜0时y随x的增大而减小；④当a＜0时图象开口向下，顶点是最高点，x＝h时y有最大值为0，x＜0时y随x的增大而增大，x＞0时y随x的增大而减小。
（4）表达式为y＝a（x－h）2＋k的函数：
①顶点坐标（h，k）；②对称轴x＝h；③当a＞0时图象开口向上，顶点是最低点，x＝h时y有最小值为k，x＞0时y随x的增大而增大，x＜0时y随x的增大而减小；④当a＜0时图象开口向下，顶点是最高点，x＝h时y有最大值为k，x＜0时y随x的增大而增大，x＞0时y随x的增大而减小。
初中数学北师大九年级下册(2023年新编) 二次函数二次函数回顾与思考
二次函数图象和性质
一．知识回顾1二次函数的定义：一般地,形如__________(a 、 b 、 c是常数,a___ 0)的函数叫做x的二次函数.
2形如y = a (x-h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数图像和性质
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y = a（x-h) 2+k
a>0
a<0
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
(1)、平移关系
(2)、顶点变化
3二次函数解析式的三种表示方式
(1)、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
(2)、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________
(3)、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
二．双基自测
（1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；
（2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。
（3）已知抛物线y = ax 2+k的图象过点A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y
= 。
三．实践探究
例 二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求a、b、c。
例 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，①求抛物线解析式。②在抛物线上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形与ABC面积相等，若存在，求出点P的坐标，不存在，请说明理由。
四．能力训练
1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、b 、 c应满足的条件是（ ）
2.2 二次函数的图象与性质(1)北师大版数学九年级下册教案
2.2二次函数的图象与性质（1） 课题 二次函数的图象与性质单元第二单元学科数学年级九年级
学习目标1.会用描点法画出y=ax2的图象；2. 结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念，并从图象上认识二次函数y=ax2的性质.重点会用描点法画二次函数y=ax2的图象.掌握它的性质.难点正确说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图
导入新课课件出示:【引入】 在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?
【学生分析】 运行路线先高后低,有一定的弧度,整体是弧形.【引入】 这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉流经过的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等.
问题这和我们以前所学的函数图象一样吗?生：直线和双
曲线
生：列表 – 描
点 – 连线
（描点法）
生：观察图象
总结性质
生：一般地，
形如y = ax2 +
bx + c（ a，
b， c 是常数，
a≠ 0） 的函
数叫做 x 的
二次函数. 复习旧知引出
新知
讲授新课师：小组合作，画二次函数y=x2的图象
（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计
算相应的y值，完成下表：
（2）在直角坐标系中描点.
（3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图
象.生：小组合作
完成二次函数
y=x2的图象
问题由浅入深，
层层递进，把学
习的主动权交给
学生，增强学生
的信心，体验成
师：小组讨论，对于二次函数
y=x2的图象，
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交
流.
（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐
标是什么？
（3）当x˂0时，随着x值的增大，y值如何变
化？当x˃0时呢？
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是
什么？你是如何知道的？
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对
称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行
交流.
师：二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想
一想，然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图
九年级数学下册 第二章 二次函数教案 (新版)北师大版 教案
第二章 二次函数
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y=ax2和y=ax2+c的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2acbxaxy的图象和性质。它和学生前面几节课学习的2axy、caxy2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。具体的，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法
1．经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。 教学重点：y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质
三、教学过程分析
本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
第4课时_二次函数y=a(x-h)2的图象与性质_导学案
1 5.6 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质（1）
学习目标：
1．会画二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；
学习重点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质
学习难点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质
教学过程：
一． 自主探究
探究点一：二次函数y=ax2+k的图象与性质
自主探究：在同一直角坐标系画出二次函数y＝－12 x2,y＝－12 x2＋1，y=-12 x2－1的图象，并通过观察图象探究以下问题：（1）它们的开口方向与开口大小相同吗？（2）它们的顶点坐标和对称轴分别是什么？（3）它们之间能通过平移得到吗？有什么平移规律吗？
（1） 列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝－12 x2 …
…
y＝－12 x2+1
y＝—12 x2-1 …
…
根据它们的图象，填写下表：
2 抛物线 开口
方向 顶点 对称轴 最值 增减性
y =-221x
y =-221x+1
y＝－12 x2－1
小结：（1）抛物线y=ax2+k与y=ax2有什么位置关系？与同学交流。
（2） 二次函数y=ax2+k有哪些性质？
函数
图象
开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性
y=ax2+k
a﹥0
a﹤0
探究点二：二次函数y＝a（x-h）2的图象性质
自主探究：请你在同一直角坐标系中画出函数y＝x2， y＝ (x＋1)2 ，y＝ (x－1)2，通过图象探究以下问题：
（1） 三个函数图象的开口方向与大小相同吗？
（2） 三个函数图象的顶点坐标，对称轴分别是什么？
（3） 函数y＝ (x＋1)2 与y＝ (x－1)2的图象能否通过y＝x2的图象平移得到？如果能，该怎样平移？你能总结出从函数y＝x2的图象到函数y＝ (x-h)2的图象的平移规律吗？
九年级(下)第六章 二次函数：第4课时 二次函数的图象和性质(三)
第4课时 二次函数的图象和性质（三）（附答案）
1．(1)函数y＝x2＋2的图象是一条_______，它的开口_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______；
(2)已知函数y＝－3x2－6，当x_______时，y随x的增大而减小；当x＝_______时，y有最_______值，为_______．
2．(1)函数y＝(x＋2)2的图象是一条_______，它的开口_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______；
(2)已知函数y＝－3(x－1)2，当x_______时，y随x的增大而增大；当x＝_______时，y有最_______值，为_______．
3．（2010．成都）若将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，则所得抛物线对应的函数关系式为 ( )
A．y＝x2＋1 B．y＝(x＋1)2
C．y＝x2－1 D．y＝(x－1)2
4．（2011．湘潭）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是 ( )
5．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝－2x2＋1与y＝－2(x＋1)2的图象，并说出这两个图象之间具有怎样的位置关系．
6．抛物线y＝2x2＋5可以看做是由抛物线y＝_______沿y轴向_______平移_______个
单位长度得到的．
7．若点A(2，－3)在函数y＝－a(x＋2)2的图象上，则点A关于这个函数的对称轴对称的点B的坐标为_______．
8．在同一直角坐标系中．下列函数：①y＝2(x＋1)2；②y＝2x2＋3；③y＝－2x2－1；④y＝12x2－1．其中，图象不可能是由函数y＝2x2＋1的图象通过平移、轴对称变换得到的是_______（填序号）．
9．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度，则所得图象的函数关系式为 ( )
2020春北师大版九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图像与性质练习
1 2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质
1.填空：
（1）y＝x2的图像是
；开口向
；对称轴是
；顶点坐标是
；
（2）y＝-x2的图像是 ；开口向 ；对称轴是 ；顶点坐标是 ；
（3）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而 ；而在对称轴的右侧是y随着x的增大而 ；此时函数y＝x2当x＝ 时的值最 是
.
（4）在抛物线y＝-x2的对称轴左侧y随x的减小而 ；而在对称轴的右侧是y随着x的增大而 ；此时函数y＝x2当x＝ 时的值最 是
.
2.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是 _________ ．
3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
4.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.
(1)求S与c之间函数关系式；
2 (2)画出图象；
(3)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的边长；
(4)根据图象，求出c取何值时，S≥4cm2.
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
1.抛物线y=-3x2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.
2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_____.
3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.
4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的.
5.抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.
6.抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.
初三下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质(4课时)
初三下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质（4课时）
一元复始，万象更新。查字典数学网初中频道小编预备了九年级下册数学教学打算：第6章第2节二次函数的图象和性质(4课时)的相关内容，期望能够对大伙儿有关心。
教学目标
【知识与技能】
使学生明白得并把握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探究过程,明白得并把握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观看、分析、推测、归纳并解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习适应.
重点难点
【重点】
确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,明白得函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,明白得函数y=a(x-h)2+k的性质.
【难点】
正确明白得函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.
教学过程
一、问题引入
1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系?
(函数y=x2+1的图象能够看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)
2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系? (函数y=-(x+1)2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)
3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+1)2-1有哪些性质?
(函数y=-(x+1)2-1的图象能够看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)
二、新课教授
问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗?
二次函数的图象与性质 ( y=x2与y=-x2) 北师大版九年级下册数学教案
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质
一、教学目标
1．能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2．猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．
3．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
二、教学重难点
重点：理解和掌握函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质．
难点：比较y＝x2和y＝－x2的图象与性质的异同．
三、教学过程
（一）复习导入
1．二次函数的定义是什么？
2．一次函数的图象是什么？性质是什么？
3．反比例函数的图象是什么？性质是什么？
4．画函数的图象有哪些步骤？
教师提出上述问题，学生讨论后回答问题．
（二）探究新知
1．画二次函数y＝x2的图象
引导学生利用画函数的图象的步骤画出y＝x2的图象：
(1)观察y＝x2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：
x
y
(2)在直角坐标系中描点．
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．
2．二次函数y＝x2的图象的性质
问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
问题2：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
问题5：你能描述图象的形状吗？
处理方式：第一步出示问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主回答．在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0，0)，它叫做顶点．
第二步出示问题4，学生自己考虑，并举手回答．在学生回答完毕后教师点拨：二次函数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x ＝ 0.所以我们以后在列表时可以对称着列出各个点的数据．
九年级下册数学二次函数的图象与性质(4)导学案及练习
九年级下册数学二次函数的图象与性质（4）导学案及练习
[本课知识重点]
1．掌握把抛物线2axy平移至2)(hxay+k的规律；
2．会画出2)(hxay+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[创新思维]
由前面的知识，我们知道，函数22xy的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222xy的图象；函数22xy的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2xy的图象，那么函数22xy的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22xy的图象呢？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
221xy，2)1(21xy，2)1(212xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
221xy … 29 2 21 0 21 2 29 …
2)1(21xy … 8 29 2 21 0 21 2 …
2)1(212xy … 6 25 0 23 -2 23 0 …
它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(hxay+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数2)(hxay+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．
2)(hxay+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
0a