高考数学模拟题复习试卷全国大联考高三第三次联考·数学试卷7
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2024年河北省高三数学考前第三次模拟联考卷附答案解析
2024年河北省高三数学考前第三次模拟联考卷本试卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合102x A x x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z，{B x y ==，则()R A B =I ð（）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-2．设复数z 满足()1i 3i z +⋅=-，则1z -=（）A ．1B ．2C ．3D3．已知非零向量a ，b 的夹角为π3，12a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1a b -=r r，则a b += （）A ．1BC D 4．某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队也被选出的概率为（）A ．12B ．27C ．1021D ．1215．已知O 是坐标原点，M 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上任意一点，过点M 作双曲线的切线，与其渐近线交于A ，B 两点，若AOB 的面积为212b ，则双曲线的离心率为（）AB C D ．26．已知函数()()sin cos 0,f x x x x ωωω=->∈R 在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点，则()f x 周期的最小值是（）A ．12πB ．2πC ．12π5D ．4π7．已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，若三棱锥外接球的表面积为28π，则此三棱锥的体积为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知(),,1,a b c ∈+∞，8ln ln10a a =，7ln ln11b b =，6ln ln12cc =，则下列大小关系正确的是（）A ．c b a>>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c a b>>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：月份3456发电量/亿千瓦时242.94230.87240.59259.33月份78910发电量/亿千瓦时258.9269.19246.06244.31关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（）A ．中位数是259.115B ．极差是38.32C ．第85百分位数是259.33D ．第25百分位数是240.5910．已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为3cm ，玻璃杯高为16cm （玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，PQ 表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分ABNM为瓶内水的正视图．设CBQ ∠θ=，则下列结论正确的是（）A ．当30θ=︒B ．当椭圆的离心率最大时，1tan 2θ=C ．当椭圆的焦距为4时，3tan 4θ=D ．当45θ=︒时，椭圆的焦距为611．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若()32f x +为偶函数，()1g x +为奇函数，则下列结论正确的是（）A ．()g x 的图象关于直线1x =对称．B ．()g x 的图象关于点()3,0对称．C ．()202411i f i ==∑D ．()20230g =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知一个基因由若干个碱基对组成，而一个碱基对由A ，T ，C ，G 四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中A 只能与T 配对，C 只能与G 配对．如果n 个碱基对组成一个基因，那么n 个碱基对组成的基因个数为．13．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是ABC 的中线．若2AD =，且()222cos cos b c bc b C c B ++=+，则ABC 面积的最大值为．14．已知()11200,1x a x a a -<>≠对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，(是椭圆的短轴的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程．(2)设圆O ：2222x y a b +=+，过圆O 上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．设两切线的斜率均存在，分别为1k ，2k ，问：12k k 是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值．16．某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有14的学生喜欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等．(1)记X 表示喜欢滑雪运动的人数，求X 的数学期望．(2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过()∈*N n n 次，其中n 小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为Y ，求抽到Y 名学生不喜欢滑雪运动的概率．17．已知函数()cos 2f x x x =+．(1)当(),0x ∈-∞时，证明：()e xf x <．(2)若函数()()()ln 1e xg x x f x =++-，试问：函数()g x 是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由．18．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng ）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，//EF AB ，4AB =，2EF AD ==，P 是线段AD 上一点.(1)若点P 是线段AD 上靠近点A 的三等分点，Q 为线段CF 上一点，且25FQ FC =，证明：//PF 平面BDQ ；(2)若E 到平面ABCD 的距离为32，PF 与平面BCFAP 的长.19．已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.(1)判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）(2)是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；(3)若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.1．A【分析】解不等式化简集合A ，求定义域化简集合B ，然后进行补集和交集的运算即可.【详解】因为{}{}121,0,1A x x =∈-≤<=-Z ，{{}210{|1B x y x x x x ===-≥=≥或1}x ≤-，则{}|11B x x =-<<R ð,所以(){}0A B ⋂=R ð，故选：A.2．B【分析】根据题意，由复数的运算可得12z i =-，再由复数的模长公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为()1i 3i z +⋅=-，则()()()()3i 1i 3i 34i 112i 1i 1i 1i 2z -----====-++-，则12i z -=-，所以12z -=.故选：B3．D【分析】分析可知1a = ，向量a ，a b - 的夹角为π3，根据()2a b a a b +=-- 结合数量积的运算求解.【详解】因为12a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则1a = ，且非零向量a ，b 的夹角为π3，1a b -= ，可知向量a ，a b - 的夹角为π3，则()111122a ab ⋅-=⨯⨯=，所以()2a b a a b +=--== .故选：D.4．A【分析】记甲队被选出为事件A ，乙队被选出为事件B ，利用条件概率公式计算可得.【详解】记甲队被选出为事件A ，乙队被选出为事件B ，则()3647C C P A =，()2547C C P AB =，所以()()()254275336647C C C 1|C C 2C P AB P B A P A ====.故选：A 5．C【详解】不妨设00(,)M x y 是双曲线在第一象限的一点，不妨设21a =，得2221yx b -=，得y=，所以2y '=则在00(,)M x y 的切线斜率220b x y y '=，所以在点00(,)M x y 处的切线方程为20000()b x yy x x y -=-，又由220021y x b -=，可得切线方程为0021y y x x b-=，所以与x 轴交点坐标为01(0)D x 不妨设11(,)A x y 是切线与渐近线在第一象限的交点，22(,)B x y 是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是y bx ±=，联立0021y y x x b y bx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得20000(,)b b A bx y bx y --，联立0021y y x x b y bx⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得20000(,)b b B bx y bx y -++，所以22220222000000002111||222AOBbx b b b S b b x bx y bx y x b x y =⋅⋅+=⋅==-+- ，解得2b =，所以2225c a b =+=，所以ce a ===故选：C.6．C【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出ω的最大值，从而可求周期的最小值．【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()0f x =得ππ4x k ω-=，所以ππ4k x ω+=，Z k ∈，因为()f x 在区间π3π(,)22内没有零点，所以，只需πππ42k ω+≤且5ππ3π42k ω+≥，解得1252236k k ω+≤≤+，令0k =得1526ω≤≤，1k =-得3126ω-≤≤，因为0ω>，所以ω的取值范围1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，所以()f x 周期的最小值是2π12π556=，故选：C ．7．B【分析】利用正弦定理求出ABC 外接圆的半径r ，根据球的表面积求出球的半径R ，再由SA ⊥平面ABC ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出SA ，最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】因为2AB AC ==，120BAC ∠=︒，所以30ABC ACB ∠=∠=︒，11sin 2222ABC S AB AC BAC =∠⨯⨯⨯⋅= ，设ABC 外接圆的半径为r ，则2241sin 2AB r ACB ===∠，即2r =，设三棱锥外接球的半径为R ，24π28πR =，解得R =（负值已舍去）；因为SA ⊥平面ABC ，所以2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2742SA ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得SA =（负值已舍去）；所以11233ABC S ABC V S SA -=⋅== .故选：B8．B【分析】等价变形已知条件，ln 8ln10ln 7ln11ln 6ln12a a b b c c ===，，，构造两个函数()()()ln 18ln f x x x g x x x ==-，，利用求导判断单调性即可求解.【详解】设()()()()()ln 118ln 10f x x x x g x x x x =>=-≥，，因为8ln ln10a a =，7ln ln11b b =，6ln ln12cc =，所以ln 8ln10ln 7ln11ln 6ln12a ab bc c ===，，即()()()()()()101112f a g f b g f c g ===，，，()()()()1818ln 18ln ln 1g x x x x x x x '''=-+-=-+-，()21180g x x x ''=--<，()g x '在[)10+∞，上单调递减，()()100g x g ''<<，所以()g x 在[)10+∞，上单调递减，所以()()()101112g g g >>，即()()()f a f b f c >>，()ln 1f x x '=+，当1x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以a b c >>,故选：B.9．BC【分析】根据题意，由中位数，极差，百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】将数据从小到大排序可得230.87,240.59,242.94,244.31,246.06,258.9,259.33,269.19，共8个数据，所以中位数是244.31246.06245.1852+=，故A 错误；极差是269.19230.8738.32-=，故B 正确；因为80.85 6.8⨯=，所以第85百分位数是第7个数，即259.33，故C 正确；因为80.252⨯=，所以第25百分位数是240.59242.94241.7652+=，故D 错误；故选:BC 10．AD【分析】根据MNE θ∠=，椭圆长轴为MN ，短轴长为6，求离心率判断A ，由离心率最大知长轴最长可得MN AC =求解判断B ，由离心率求出MN 即可判断C ，由θ求出MN ，再得出焦距判断D.【详解】过M 作ME BN ⊥于E ，如图，由CBQ MNE ∠θ=∠=，当30θ=︒时，在Rt MNE △中，612sin sin 30ME MN θ===︒，所以椭圆中212,26a b ==，2e =，故A 正确；因为椭圆的短轴长为定值6，e =，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大，由图可知，椭圆长轴为AC 时，椭圆的长轴最长，此时63tan tan 168ACB θ=∠==，故B 错误；当椭圆的焦距为4时，a ===MN =，所以4NE ===，所以63tan tan 42ME MNE EN θ=∠===，故C 错误；当45θ=︒时，6tan tan 1ME MNE EN ENθ=∠===，所以6EN =，由勾股定理可得MN ===2a =a =所以3c ===，所以焦距26c =，故D 正确.故选：AD 11．BD【分析】对于A ，直接得到()()110g x g x ++-=即可判断；对于B ，由()32f x +为偶函数，所以()()3232f x f x +=-，求导可得()()32320g x g x ++-=即可判断；对于D ，求出()g x 的周期为4，再根据()30g =即可判断；对于C ，由题意举出反例即可淘汰.【详解】对于A ，因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()110g x g x ++-=，所以()g x 的图象关于()1,0中心对称，故A 错误；对于B ，由()32f x +为偶函数，所以()()3232f x f x +=-，所以()()232232f x f x +=--''，即()()232232g x g x +=--，即()()32320g x g x ++-=，则()()330g x g x ++-=，所以()g x 的图象关于()3,0中心对称，故B 正确；对于D ，由()()11g x g x +=--，()10g =，知()()2g x g x +=--，又()()330g x g x ++-=，()30g =，所以()()6g x g x -=-+，所以()()26g x g x +=+，即()()4g x g x =+，所以()g x 为周期是4的函数，即()()()20235054330g g g =⨯+==，故D 正确.对于C ，由题意及上述分析知()g x 是以4为周期的函数，且()()10,30g g ==，不妨设()()πcos 2f x g x x =='，所以()2πsin π2f x x =，周期均为4且()()()()221,20,3,40ππf f f f ===-=，所以()1202422506000ππi f i =⎛⎫∑=+-+= ⎪⎝⎭，所以C 错误；故选：BD.【点睛】关键点点睛：对于选项C ，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设()()πcos 2f xg x x =='，所以()2πsin π2f x x =，所以周期为4，且()()()()221,20,3,40ππf f f f ===-=，所以()1202422506000ππi f i =⎛⎫∑=+-= ⎪⎝⎭.12．4n【分析】因为一个碱基对是由A ，T ，C ，G 四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中A 只能与T 配对，C 只能与G 配对，依题意解出碱基对个数即可.【详解】因为一个碱基对是由A ，T ，C ，G 四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中A 只能与T 配对，C 只能与G 配对，所以碱基对有A T,T A,C G,G C ----共有222A 4=个，若n 个碱基对组成一个基因，那么n 个碱基对组成的基因个数为4n .故答案为：4n .13．【分析】利用正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式化简，结合余弦定理求出A ，最后根据1122AD AB AC =+，利用数量积的运算律及基本不等式求出bc 的最大值，即可求出面积的最大值.【详解】因为()222cos cos b c bc b C c B ++=+，由正弦定理可得()222sin sin sin sin sin cos sin cos B C B C B C C B ++=+，又()()sin cos sin cos sin sin πsin B C C B B C A A +=+=-=，所以222sin sin sin sin sin B C B C A ++=，由正弦定理可得222b c bc a ++=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =-，又()0,πA ∈，所以2π3A =，因为AD 是ABC 中BC 边上中线，则1122AD AB AC =+，即2AD AB AC =+ ，所以22242AD AB AC AB AC =++⋅ ，所以22162b c bc bc bc =+-≥-，可得16bc ≤，当且仅当4b c ==时等号成立，故1sin 2ABC S bc A ==≤△即ABC 面积的最大值为故答案为：14．12e 0,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将原不等式变形为l ln n 2a x x <，设()ln g x x x =，通过求导求()g x 的最小值，然后解不等式()min 2ln g x a <即可.【详解】因为1120x a x -<，()0,x ∈+∞，所以1l ln 1n 2a x x <，即l ln n 2a x x <，设()ln g x x x =，()ln 1g x x '=+，令()0g x '>，1e x >，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0g x '<，10e x <<，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()min 1111e e ee ln g x g ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，所以12ln ea <-，解得12e 0e a -<<.故答案为：12e 0,e -⎛⎫⎪⎝⎭.15．(1)22132x y +=；(2)是，121k k =-．【分析】（1）根据离心率和()0,2得到方程，求出,b a ，得到椭圆方程；（2）设(),P m n ，先得到23m ≠，225m n +=，设过点(),P m n 与椭圆相切的直线为()y n k x m -=-，联立椭圆方程，由Δ0=得到()2223220m k mnk n --+-=，由两根之积得到2122213n k k m -==--【详解】（1）由题意得32,3c b a ==，又222a b c =+，解得1,3c a ==，故椭圆方程为22132x y +=；（2）是，121k k =-，理由如下：设(),P m n ，当23m =时，此时两切线中的一条切线斜率不存在，舍去，故23m ≠，2222325m n a b +=+=+=，设过点(),P m n 与椭圆相切的直线为()y n k x m -=-，与22132x y +=联立得()()222222236636360k x k m nk x k m nkm n +--+-+-=，由Δ0=得，()()()2222226642336360k m nk k k m nkm n --+-+-=，整理得()2223220m k mnk n --+-=，过点(),P m n 与椭圆相切的两直线斜率分别为1k ，2k ，所以22122223133n m k k m m --===---【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.16．(1)()34E X =．(2)13,0143,4kk nk n k n+⎧≤≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）由题意X 服从二项分布，由二项分布期望公式直接可得解；（2）由题意可知，()Y k k n =<时，前k 次取到是不爱好滑雪的人，第1k +次取到爱好滑雪得的人(1)k n +≤，利用独立事件的乘法公式求解，当k n =时，取到的所以人都不爱好滑雪，活动结束.【详解】（1）由题意，13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，3311()C 1(0,1,2,3)44k kk P X k k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13()344E X np ==⨯=.（2）由题意，Y 的可能取值为0,1,2,3,,n ，1(0)4P Y ==，113(1)14416P Y ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，2119(2)14464P Y ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，334113(3)1444P Y ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，L11113(1)1444n nn P Y n --⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，3()4nP Y n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，综上，13,014()3,4kk n k n P Y k k n+⎧≤≤-⎪⎪==⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩.17．(1)证明见解析(2)存在；极小值为0．【分析】（1）构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得证；（2）对函数求导，并构造新函数，结合零点存在性定理及函数的单调性即可求解.【详解】（1）证明：函数()cos 2f x x x =+定义域为R ,令()e 2cos x F x x x =--，则()e 2sin (e 1)(sin 1)x x F x x x '=-+=-+-，当(,0)x ∈-∞时，0e 1e 10x -<-=，且sin 10x -≤，所以()0F x '<，函数()e 2cos x F x x x =--在(,0)-∞上单调递减，故()(0)0F x F >=，即e 2cos 0x x x -->，故e ()x f x >得证，.（2）由题意()ln(1)e 2cos ,1x g x x x x x =++-->-，则1()e 2sin ,11x g x x x x '=+-+>-+，令1()()e 2sin ,11x h x g x x x x '==+-+>-+，则21()e cos ,1(1)x h x x x x '=-+>-+当π(0,)2x ∈时，()0h x '>，故函数()h x 在π(0,)2单调递增，则()(0)0h x h >=，即()0g x '>，所以()g x 在π(0,2单调递增；当(1,0)x ∈-时，()h x '单调递增，且(0)10h '=>，又1211()e cos()4022h -'-=+--<，故01(,0)2x ∃∈-，使得0()0h x '=，所以当0(,0)x x ∈时，0()0h x '>，即函数()h x 在0(,0)x 上单调递增，即()()(0)0h x g x h '=<=，所以函数()g x 在0(,0)x 上单调递减；当π[,)2x ∈+∞时，π3221e e 2.74,01x x ≥>>>+，即1()e 2sin 01x g x x x '=+-+>+，所以函数()g x 在π[,)2+∞上单调递增.综上所述，函数()g x 在0(,0)x 上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因此，当0x =时，函数()g x 有极小值，极小值为(0)0g =.故存在，极小值为0.18．(1)证明见解析(2)12AP =-，或12AP =+【分析】（1）连接CP 交BD 于点H ，通过比例线段证明//PF HQ ，可得//PF 平面BDQ ；（2）建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点P 的位置即可.【详解】（1）证明：连接CP 交BD 于点H ，连接HQ ，因为//AD BC ，且23PD AD =，所以23PHPDPDHC BC AD ===，因为25FQ FC = ，所以23FQQC =，所以FQ PHQC HC =，所以//PF HQ ，因为HQ ⊂平面BDQ ，PF ⊄平面BDQ ，所以//PF 平面BDQ ；（2）分别取,AD BC 的中点,I J ，连接EI IJ FJ ,,，则//IJ AB ，且IJ AB =，因为四边形ABFE 与四边形CDEF 为全等的等腰梯形，所以EA ED FB FC ===，四边形EIJF 为等腰梯形，且//EF IJ ，1122EF AB IJ ==，EI AD ⊥，FJ BC ⊥，又//AD BC ，所以FJ AD ⊥，因为,EI FJ ⊂平面EIJF ，且EI FJ ,为两条相交直线，所以AD ⊥平面EIJF ，AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面EIJF .平面ABCD ⋂平面EIJF IJ =,过E 在平面EIJF 内作IJ 的垂线，垂足为M ，则EM ⊥平面ABCD ，32EM =，()112IM IJ EF =-=.过M 作//MK AD ，易得MK MJ ME ,,两两垂直，以M 为坐标原点，MK MJ ME ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则30,2,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3,0B ，()1,3,0C -，设(),1,0P a -（11a -≤≤），所以3,3,2PF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，31,1,2FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，31,1,2FC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .设平面BCF 的一个法向量(),,n x y z = ，则302302n FB x y z n FC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，令2z =，解得0x =，3y =，所以()0,3,2n = ，设PF 与平面BCF 所成角的大小为θ，则sin cos ,PF n PF n PF n θ⋅===⋅解得2a =±，且满足题意，所以12AP =-，或12AP =+.19．(1)是(2)不存在，理由见解析(3)3，7，11.【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【详解】（1）数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.（2）不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；（3）0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第三次全国大联考文科数学试卷
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第三次全国大联考文科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分命题人：大联考命题中心第Ⅰ卷(共50分)一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}2,04,0A y y x x B x x x ==≤≤=->，则A B =（ ）A ．(]()12-∞⋃+∞，，B ．()()012-∞⋃，，C ．∅D ．(]12， 2.已知i 是虚数单位，若()32i z i -⋅=，则z =（ ）A ．1255i -B ．2155i -+C ．2155i -- D ．1255i +3.函数cos xy e=()x ππ-≤≤的大致图象为（ ）4.如图所示的程序框图输出的结果是14S =，则判断框内应填的条 件是（ ）A ．7?i ≥B ．15?i >C ．15?i ≥D ．31?i > 5.已知函数()sin cos (,0)f x a x b x a b =-≠，若()()44f x f x ππ-=+， 则直线0ax by c -+=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π6.设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值等于2，则m =（ ）A ．12-B ．12+C ．12-或12+D ．27.若命题p ：“1122,0a b b >≠”的充要条件为“ln ln a b >”；命题q ：在ABC ∆中，角,,A B C 所 对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos ,2B A C b a c =⋅=+，则ABC ∆是等边三角形，则下列结 论正确的是（ ）A ．p ⌝为假命题B ．q ⌝为真命题C ．p q ∨为假命题D ．p q ∧⌝为真命题 8.已知向量a e ≠，||1e =，若对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-成立，则（ ） A ．a e ⊥ B ．()a a e ⊥- C ．()e a e ⊥- D ．()()a e a e +⊥- 9.单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体 的三视图如图所示，则（ ） A ．该几何体体积为56B ．该几何体体积可能为23 C ．该几何体表面积应为9322+ D ．该几何体唯一10.已知函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点)0,1(对称，若任意的x 、R y ∈，不等式0)8()216(22<-++-y y f x x f 恒成立，则当3>x 时，22yx +的取值范围是（ ）A ．(13,49)B ．(13,34)C ．9,49D ．13,49第Ⅱ卷(共100分)二.填空题(每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上)11.用系统抽样的方法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，…，153~160号）．若第16组抽出的号码为126，则第1组中抽取的号码是_______． 12.将函数()sin(8)4f x x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向xy ππ-O x yππ-Ox yππ-O xyππ-OA ．B ．C ．D ．是否结束2S =0i =21i i =+3S S =+开始S输出右 移动8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()h x 与()g x 的图象关于y 轴对称，则()h x的解析式是________．13.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心 率为．14.已知等差数列{}n a 的前三项分别为,,a b a b +，等比数列{}n b 的前三项分别,,a b ab ，若log log 1m m a b ->，则实数m 的取值范围为____________．15.一般地，我们把离心率为512-的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题：①椭圆2211612x y +=是黄金椭圆；②若椭圆22112x y m+=是黄金椭圆，则656m =-； ③在ABC ∆中，(2,0),(2,0)B C -，且点A 在以,B C 为焦点的黄金椭圆上，则ABC ∆的周长 为625+；④过黄金椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的右焦点(,0)F c 作垂直于长轴的垂线，交椭圆于,A B 两点，则||(51)AB a =-；⑤设12,F F 是黄金椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，则椭圆C 上满足1290F PF ∠=的点P 不存在．其中所有正确命题的序号是___________（把你认为正确命题的序号都填上）． 三.解答题 (本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且23,6a b C π==．（1）求tan A 的值；（2）若ABC ∆的面积为23，求c 的值． 17.(本小题满分12分)某校高三文科（1）班学生参加“学易大联考”，其数学成绩（已折合成百分制）的频率 分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，现已知成绩落在[]90,100的有5人．（1）求该校高三文科（1）班参加“学易 大联考”的总人数；（2）根据频率分布直方图，估计该班此次数学 成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均 值）；（3）现要从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一 分数段的概率． 18.(本小题满分12分)如图，平面11ABB A 为圆柱1OO 的轴截面，点C 为底面圆周上异于,A B 的任意一点． （1）求证：BC ⊥平面1A AC ；（2）若D 为AC 的中点，求证：1//A D 平面1O BC ． 19.(本小题满分12分) 已知函数()31xf x x =+，数列{}n a 满足()111,()n n a a f a n N *+==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12231n n n S a a a a a a +=++⋅⋅⋅+，证明:1143n S ≤<． 20.(本小题满分13分)已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点2F 是抛物线24y x =的焦点，过点2F 垂直于x轴的直线被椭圆C 所截得的线段长度为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ．请A1A 1O 1B BCOD问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MP MQ ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21.(本小题满分14分)已知函数，（为常数，是自然对数的底数），()g x '为的导函数，且．（1）求的值；（2）对任意0x >，证明：()()f x g x <； （3）若对所有的≥0，都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围．()(1)ln(1)f x x x =++()xg x kxe =k 2.71828e =⋅⋅⋅()g x '(0)1g =k x高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷
一、单选题二、多选题1. 在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．702. 已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）A．B ．0C ．1D ．23. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是A．B．C．D．4.中，，，，则（ ）A ．2B ．3C．D ．45. 如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B ．1C．D ．46. 某展示柜共有32个不同的手办摆件，起初上层放14个手办摆件，下层放18个手办摆件，现要从下层的18个手办摆件中抽2个调整到上层，若其他手办摆件的相对顺序不变，则不同的调整方法有（ ）A ．18360种B ．24480种C ．36720种D ．73440种7. 若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期函数且，当，，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 若，，则A．B．C．D．9. 已知双曲线C ：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P 在双曲线C 上，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C的方程为B ．点A 到双曲线C的渐近线的距离为C ．若，则D ．若，则的外接圆半径为全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷三、填空题四、解答题10. 已知两个不同的平面和三条不同的直线，则（ ）A ．若，则或B．若，且，则C ．若是异面直线，，且，则与或相交D ．若是内的两两相交的直线，其三个交点到的距离相等，则11.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）A．B．关于对称C ．在区间上有644个零点D ．若在上是增函数，则的最大值为12.年中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关．根据中国统计局官网提供的数据，年年中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（）A ．年国内生产总值年增长率最大B．年国内生产总值年增长率最大C ．这年国内生产总值年增长率不断减小D ．这年国内生产总值逐年增长13. 已知，且，则________.14.已知数列的前项和为，满足，则__________．15.已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则点到轴的距离为______．16.中，角所对的边分别为，已知．（1）求的值；（2）若是上的点，已知，，，求的值．17. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲获得奖金的期望；(2)已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．18. 对于非空集合，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；3.（恒等元）存在，使得对任意，；4.（逆的存在性）对任意，都存在，使得．记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．19. 已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．20. 若数列{an}满足：，且a1=1，则称{a n}为一个X数列．对于一个X数列{a n}，若数列{b n}满足：b1=1，且，，则称{b n}为{a n}的伴随数列．（Ⅰ）若X数列{a n}中a2=1，a3=0，a4=1，写出其伴随数列{b n}中b2，b3，b4的值；（Ⅱ）若{a n}为一个X数列，{b n}为{a n}的伴随数列，证明：“{a n}为常数列”是“{b n}为等比数列”的充要条件.21. 如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别在棱，BC上，平面，点M在棱上，．(1)证明：；(2)若平面PDQ与平面AQD所成的锐二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．。
高考数学模拟题复习试卷全国大联考高三第三次联考·数学试卷7
高考数学模拟题复习试卷全国大联考高三第三次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前2次联考内容＋数列＋不等式.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M＝{x|x2＋x－6＜0},N＝{x|1≤x≤3},则M∩(RN)等于A.(－2,1)B. (－2,3]C.(－3,1)D.(－1,2]2.已知数列{an}为等差数列,若a3＋a7＝20,则数列{an}的前9项和S9等于A.40B.45C.60D.903.若tanθ＝1,则sin2θ的值为A. B.1C. D.4.下面四个条件中,使a＞b成立的充分不必要条件是A.a＞b＋1B.a＞b－1C.a＋1＞b＋1D.a2＞b25.已知在等比数列{an}中,a3＋a6＝6,a6＋a9＝,则a8＋a11等于A. B. C. D.6.已知平面向量a、b,|a|＝3,|b|＝2且a－b与a垂直,则a与b的夹角为A. B. C. D.7.在各项均为正数的等比数列{an}中,≤2,则下列结论中正确的是A.数列{an}是递增数列B.数列{an}是递减数列C.数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列D.数列{an}是常数列8.若函数f(x)＝ax－k－1(a＞0,a≠1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则g(x)＝loga(x＋k)的图象是9.若0＜x＜1,则＋的最小值为A.24B.25C.36D.7210.已知在各项为正的等比数列{an}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3＋a7取最小值时首项a1 等于A.8B.4C.2D.111.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数T,对任意n∈N*满足an＋T＝an,则称{an}是周期数列,T叫做它的周期.已知数列{xn}满足x1＝1,x2＝a(a≤1),xn＋2＝|xn＋1－xn|,若数列{xn}的周期为3,则{xn}的前项的和为A.1344B.1343C.1224D.122312.已知log3(x＋y＋4)＞log3(3x＋y－2),若x－y＜λ恒成立,则λ的取值范围是A.(－∞,10]B.(－∞,10)C.(10,＋∞)D.[10,＋∞)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知a＞0,b＞0,ab＝4,当a＋4b取得最小值时,＝▲.14.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最大值为▲.15.函数y＝ax＋2－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx＋ny＋1＝0上,其中mn＞0,则＋的最小值为▲.16.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S6≥21且S15≤120,则a10的最大值是▲.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2－kx＋k－1.(1)当k为何值时,不等式f(x)≥0恒成立;(2)当k∈R时,解不等式f(x)＞0.18.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且满足sinA＋sinB＝2sinC,a＝2b.(1)求cosA的值;(2)若△ABC的面积S△AB C＝,求△ABC三边的长.19.(本小题满分12分)已知正项等比数列{bn}(n∈N*)中,公比q＞1,且b3＋b5＝40,b3·b5＝256,an＝log2bn ＋2.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)若cn＝,求数列{cn}的前n项和Sn.20.(本小题满分12分)某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元,劳动力5人,可获利润6万元,生产一台乙种型号的机器需资金20万元,劳动力10人,可获利润8万元.若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器,那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax2－1)·ex,a∈R.(1)若函数f(x)在x＝1时取得极值,求a的值;(2)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间.22.(本小题满分12分)各项均为正数的数列{xn}对一切n∈N*均满足xn＋＜2.证明:(1)xn＜xn＋1;(2)1－＜xn＜1.高三第三次联考·数学试卷参考答案1.C由题知集合M＝{x|－3＜x＜2},RN＝{x|x＜1或x＞3},所以M∩(RN)＝{x|－3＜x＜1}.2.DS9＝＝＝＝90.3.Bsin2θ＝＝＝1.4.A根据题意可知,选项A、C都能推出a＞b成立,但是根据a＞b不能推出A选项成立,故答案选A.5.C＝q3＝,q＝,a8＋a11＝(a6＋a9)q2＝×＝.6.A因为 a－b与a垂直,所以(a－b)·a＝0,所以a·a＝b·a,所以cos a,b ＝＝＝＝,所以 a,b ＝.7.D由题意可知,a3＋a11≥2＝2a7,所以有2≤≤2,从而＝2,当且仅当a3＝a11时取得等号.此时数列{an}是常数列.8.A由题意可知f(2)＝0,解得k＝2,所以f(x)＝ax－2－1,又因为是减函数,所以0＜a＜1.此时g(x)＝loga(x＋2)也是单调减的,且过点(－1,0).故选A符合题意.9.B因为0＜x＜1,所以＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝4＋9＋＋≥13＋2＝25,当且仅当＝,即x ＝时取得等号.10.C由题意知a2a8＝82＝,即a5＝8,设公比为q(q＞0),所以4a3＋a7＝＋a5q2＝＋8q2≥2＝32,当且仅当＝8q2,即q2＝2时取等号,此时a1＝＝2.11.B由xn＋2＝|xn＋1－xn|,得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a,x4＝|x3－x2|＝|1－2a|,因为数列{xn}的周期为3,所以x4＝x1,即|1－2a|＝1,解得a＝0或a＝1.当a＝0时,数列为1,0,1,1,0,1…,所以S＝2×671＋1＝1343.当a＝1时,数列为1,1,0,1,1,0,…,所以S＝2×671＋1＝1343.12.D要使不等式成立,则有,即,设z＝x－y,则y＝x－z.作出不等式组对应的可行域如图所示的阴影部分(不包括左右边界):平移直线y＝x－z,由图象可知当直线y＝x－z经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z最大,由,解得,代入z＝x－y得z＝x－y＝3＋7＝10,又因为可行域不包括点B,所以z＜10,所以要使x－y＜λ恒成立,则λ的取值范围是λ≥10,即[10,＋∞).13.4a＋4b≥2＝8,当且仅当a＝4b时取等号,结合a＞0,b＞0,ab＝4,所以a＝4,b＝1,＝4.14.23作出可行域,如图所示:当目标函数z＝2x＋3y经过x－y＋1＝0与2x－y＝3的交点(4,5)时,有最大值2×4＋3×5＝23.15.8函数y＝ax＋2－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A(－2,－1),所以(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1,又mn＞0,所以＋＝(＋)·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝,即m＝,n＝时取等号.16.10法一:S6＝6a1＋15d≥21,S15＝15a1＋105d≤120,∴2a1＋5d≥7,a1＋7d≤8.又a10＝a1＋9d＝－(2a1＋5d)＋(a1＋7d)≤－×7＋×8＝10.法二:设a1＝x,d＝y,,目标函数a10＝z＝x＋9y,画出平面区域知a10＝z＝x＋9y在点(1,1)处取到最大值10.17.解:(1)由f(x)≥0恒成,立即x2－kx＋k－1≥0恒成立,所以Δ＝k2－4(k－1)＝(k－2)2≤0,所以k＝2.5分(2) 当k∈R时,f(x)＞0等价于x2－kx＋k－1＞0⇔(x－1)[x－(k－1)]＞0.由k－1＝1,得k＝2.∴当k＝2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞),当k＜2时,不等式的解集为(－∞,k－1)∪(1,＋∞),当k＞2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(k－1,＋∞).10分18.解:(1)因为sinA＋sinB＝2sinC,由正弦定理得a＋b＝2c.又a＝2b,可得a＝c,b＝c,所以cosA＝＝＝－.6分(2)由(1)cosA＝－,A∈(0,π),所以sinA＝,所以S△ABC＝bcsinA＝×c×c×＝,得c2＝9,即c＝3 ,所以b＝2,a＝4.12分19.解:(1)由知b3,b5是方程x2－40x＋256＝0的两根,注意到bn＋1＞bn,得 b3＝8,b5＝32,因为q2＝＝4,所以q＝2或q＝－2(舍去),所以b1＝＝＝2,所以bn＝b1qn－1＝2n,an＝log2bn＋2＝log22n＋2＝n＋2.因为an＋1－an＝[(n＋1)＋2]－[n＋2]＝1,所以数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.7分(2)因为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2,所以cn＝,所以Sn＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝.12分20.解:设每周生产甲种机器x台,乙种机器y台,周利润z万元,则目标函数为z＝6x＋8y.作出不等式组表示的平面区域,且作直线l:6x＋8y＝0,即3x＋4y＝0,如图:6分把直线l向右上方平移至l3的位置时,直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大,即z取最大值,解方程组(x≥0,y≥0,x,y∈Z)得,所以点M坐标为(4,9),将x＝4,y＝9代入目标函数z＝6x＋8y得最大值z＝6×4＋8×9＝96(万元).所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时,公司可获得最大周利润为96万元.12分21.解:(1)f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex,x∈R.2分依题意得f'(1)＝(3a－1)·e＝0,解得a＝.经检验符合题意.4分(2)f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex,设g(x)＝ax2＋2ax－1.①当a＝0时,f(x)＝－ex,f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.5分②当a＜0时,方程g(x)＝ax2＋2ax－1＝0的判别式为Δ＝4a2＋4a,令Δ＝0, 解得a＝0(舍去)或a＝－1.1°当a＝－1时,g(x)＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2≤0,即f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex≤0,且f'(x)在x＝－1两侧同号,仅在x＝－1时等于0,则f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.2°当－1＜a＜0时,Δ＜0,则g(x)＝ax2＋2ax－1＜0恒成立,即f'(x)＜0恒成立,则f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.3°a＜－1时,Δ＝4a2＋4a＞0,令g(x)＝0,得x1＝－1＋,x2＝－1－,且x2＞x1.所以当x＜－1＋时,g(x)＜0,f'(x)＜0,f(x)在(－∞,－1＋)上为单调减函数;当－1＋＜x＜－1－时,g(x)＞0,f'(x)＞0,f(x)在(－1＋,－1－)上为单调增函数;当x＞－1－时,g(x)＜0,f'(x)＜0,f(x)在(－1－,＋∞)上为单调减函数.综上所述,当－1≤a≤0时,函数f(x)的单调减区间为(－∞,＋∞);当a＜－1时,函数f(x)的单调减区间为(－∞,－1＋),(－1－,＋∞),函数f(x)的单调增区间为(－1＋,－1－).12分22.证明:(1)因为xn＞0,xn＋＜2,所以0＜＜2－xn,所以xn＋1＞,且2－xn＞0.因为－xn＝＝≥0.所以≥xn,所以xn≤＜xn＋1,即xn＜xn＋1.5分(2)下面用数学归纳法证明:xn＞1－.①当n＝1时,由题设x1＞0可知结论成立;②假设n＝k时,xk＞1－,当n＝k＋1时,由(1)得xk＋1＞≥＝1－.由①,②可得xn＞1－.8分下面先证明xn≤1.假设存在自然数k,使得xk＞1,则一定存在自然数m,使得xk＞1＋.因为xk＋＜2,xk＋1＞≥,xk＋2＞≥,…,xk＋m－1≥2,与题设xk＋＜2矛盾,所以xn≤1.若xk＝1,则xk＋1＞xk＝1,根据上述证明可知存在矛盾.所以xn＜1成立.12分高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。
百校大联考全国名校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
百校大联考全国名校2025届高考仿真模拟数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．512．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．123．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 4．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 5．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-26．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．524+ D ．98．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．409．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．2311．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．2-C ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学第三次联考试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f(x)的对称中心为（）。
A. (0, 1)B. (1, 0)C. (-1, 0)D. (0, -1)2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）。
A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/53. 已知数列{an}是等比数列，且a1 = 2，a3 = 8，则公比q为（）。
A. 2B. 4C. 8D. 164. 下列各式中，正确的是（）。
A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 0C. tan(π/2) = 0D. cot(π/2) = 15. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(-1)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 不存在6. 若直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，则直线l的斜率为（）。
A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/27. 在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，则△ABC的面积S为（）。
A. 14√3/2B. 28√3/2C. 35√3/2D. 42√3/28. 下列各式中，等式成立的是（）。
A. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + 2xz + 2yzB. (x+y)^2 = x^2 + 2xy +y^2 - 2xz - 2yzC. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + 2xz + 2yzD. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 2xz + 2yz9. 已知函数f(x) = e^x + 1，则f'(x)的值为（）。
A. e^xB. e^x + 1C. e^x - 1D. e^x + 210. 下列各式中，正确的是（）。
A. sin(π/3) > sin(π/4)B. cos(π/3) > cos(π/4)C. tan(π/3) > tan(π/4)D. cot(π/3) > cot(π/4)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。
全国大联考2020届高三第三次联考数学试卷-(海南新高考卷)及解析word版
全国大联考2020届高三第三次联考·数学试卷考生注意：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上.3.本试卷主要考试内容：前两次联考内容（30%），数列（35%），不等式（35%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{|60},{|27}M x x N x x =-<=-<<，则M N ⋂=（ ） A.{|76}x x -<< B.{|72}x x -<< C.{|26}x x -<< D.{|27}x x -<<2.在等差数列{}na 中，28310,7aa a +==，则数列{}n a 的公差为（ ）A.1-B.2-C.1D.23.设0.40.831.2, 1.2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.b a c >>C.c b a >>D.a b c >>4.数列{}n a 满足12019a =，且对任意的*n N ∈，有32n n n a a +-=，则7a =（ ）A.2021B.2035C.2037D.20415.若0,0a b d c >><<，则一定有（ ）A.ac bcB.11a b b>- C.a c b d ->- D.ad bc <6.已知数列{}n a 为等比数列，21416,64a a a ==，数列的前n 项和为nS ，则6S 等于（ ）A.634B.6316C.638D.63327.若3log (2)1a b +=+，则42a b +的最小值为（ ）A.6B.83 C.163D.1738.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即()*(1)(2)1,()(1)(2)3,F F F n F n F n n n N ===-+-∈，此数列在物理、化学等领域都有广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A.1347B.1348C.1349D.13469.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF 在向量BC 方向上的投影为（ ）A.2B.32C.1D.311.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*125n n S S n n n N++=-+∈，则1213aa +等于（ ）A.2-B.0C.2D.412.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为123,,,M M M ，则114M M =（ ）A.193πB.376πC.7πD.316π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.不等式40x x-≥的解集为________. 14.曲线(1ln )y x x =⋅+在点(1,1)处的切线方程为________.15.若下实数,,a b c ，满足1a b c ++=，则411a b c+++的最小值为_________. 16.已知数列{}n a 满足()()*115,(1)n n n a n a a a n n n N +=--=++∈，若对于任意的*n N ∈，不等式2217n a t -恒成立，则实数t 的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知关于x 的不等式()2(3)40ax x a --<的解集为M . （1）当1a =时，求集合； （2）当1N ∈且12M ∉时，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2533,413nnn n n na S ab n +=⨯-=-. （1）证明：数列{}23n n a -⨯为常数列. （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 2sin cos()0A B C π+-=. （1）判断ABC ∆的形状；（2若7cos 9A =，ABC ∆的周长为16，求ABC ∆外接圆的面积. 20.（本小题满分12分） 已知,,a b c 都是正数，求证：（1）222a b c a b c b c a++++；（2）111111222a b c a c c a a b+++++++. 21.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*111,21n n a S S n N +=-=∈. （1）令1n n c S =+，求数列{}n c 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11111,2n n n b b b a ++==+. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数n ，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分12分） 已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-. （1）若1a >，讨论函数()f x 的单调性；（2）()()(1)ln g x f x a x x =+--，是否存在实数a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由.2020届高三第三次联考·数学试卷参考答案1.C 本题考查集合的交集运算.由题知，{|6},{|27}M x x N x x =<=-<<，所以{|26}M N x x ⋂=-<<.2.A 本题考查等差数列的公差.由题知，因为2810a a +=，所以5210a =，即55a =，所以数列{}n a 的公差为57153-=--. 3.B 本题考查比较数的大小.由 1.2xy =在区间(0,)+∞是单调增函数可知，0.80.401.2 1.2 1.21>>=，又因为33log 2log 31c =<=，所以b a c >>.4.C 本题考查数列指定项.∵32n n n a a +-=，∴4774411122a a a a a a a =-+-+=++，∵12019a =，∴72037a =.5.D 本题考查不等关系.由不等式的性质知，A 选项错误；令5,1,1,8a b c d ===-=-，有11,a c b d a b b<-<--，所以B ，C 选项错误；因为0,0a b d c >><<，所以,ad bd bd bc <<，所以ad bc <.6.A 本题考查等比数列的性质.设数列{}n a 的公比为q ，由题知，3164q =，解得2111,42a q a q =====，所以数列是以8为首项，12为公比的等比数列，所以661812631412S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 7.C 本题考查基本不等式.因为3log (2)1a b +=+23a b ab +=，且0a >，0b >，所以222(2)232a b a b ab +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为20a b +>，所以823a b +，当且仅当2a b =，即24,33a b ==时取等号，故42a b +的最小值为163. 8.A 本题考查数列的周期性.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前三项和为1102++=，又因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=.9.C 本题考查等差数列及充分必要条件.必要性显然成立，若()12n n n a a S +=，所以当2n 时，()111(1)2n n n a a S ---+=，所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-，①，所以当3n 时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-，②，由①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，故“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 10.A 本题考查向量的综合应用.因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=，所以向量AF 在向量BC 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=.11.C 本题考查数列的最值.因为()2*125n n S S n n n N ++=-+∈，所以当2n 时，21(1)25(1)n n S S n n -+=--+-，两式相减得1262(2)n n a a n n ++=-，∴12132a a +=.12.B 本题考查三角函数的性质.由题意可知，()2sin cos sin 266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，所以sin 22x =，解得1237,,636M M M πππ⎛⎛⎛ ⎝⎝⎝，…，由此可知114113131437666M M M M M M πππ=+=+=.13.{|04}x x x <≥或 本题考查分式不等式.40x x -等价于(4)00x x x -⎧⎨≠⎩，解得0x <或4x ≥，所以不等式的解集为{|04}x x x <或.14.210x y --= 本题考查导数的几何意义.1(1ln )y x x x'=++⋅，∴1|2x y ='=，∴所求的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.15.92本题考查基本不等式的应用.由题知(1)2a b c +++=，∴4114114()119[1)()]41(54)1212122b c a ca b c a b c a b c a b c ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++++= ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 16.[2,2]- 本题考查数列的综合应用.因为()()*1(1)n n n n a a a n n n N +-=++∈，整理得111n na a n n+-=+，因为15a =-，所以6n a n n=-，所以2(6)(3)99n a n n n =-=---，所以29217t --，解得22t -，故实数t 的取值范围[2,2]-.17.解：本题考查解不等式.（1）当1a =时，()2(3)40(3)(2)(2)0x x x x x --<⇔-+-<，所以{|223}M x x x =<-<<或.（2）因为1M ∈，所以(3)(14)0a a --<，所以14a <或3a >，又因为12M ∉，所以1134024a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭不成立，即1134024a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1616a ，综上可得，实数a 的取值范围11,(3,6]164⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 18.解：本题考查数列的通项公式及裂项求和.（1）当1n =时，11153312a a +=⨯-=，所以16a =.当2n 时，111533n n n S a ---+=⨯-，所以112103n n n a a ---=⨯.所以()11123232nn n n a a ---⨯=-⨯，因为16a =，所以11230a -⨯=，所以230n n a -⨯=，故数列{}23n na-⨯为常数列.（2）由（1）知，23nn a =⨯，所以()2223211412121413n n nb n n n n ⨯===---+-，所以12311111111335572121n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =-=++.19.解：本题考查解三角形.（1）因为sin 2sin cos()0A B C π+-=，所以sin()2sin cos 0B C B C +-=，所以sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，所以cos sin sin cos 0B C B C -=，即sin()0C B -=，又因为,B C 为ABC ∆的内角，所以B C =，所以ABC ∆为等腰三角形.（2）由（1）知，22222227,cos 229b c a b a b c A bc b +--====，解得32a b =，又因为16a b c ++=，解得4,6a b c ===，因为7cos ,(0,)9A A π=∈，所以sin 9A = 设ABC ∆外接圆的半径为R，所以29R =R =，故ABC ∆外接圆的面积为818π. 20.解：本题考查基本不等式的应用.（1）∵0,0,0a b c >>>，∴2222a a b b a b b+⋅=，当且仅当a b =时等号成立，同理可得222,2b c c b a c c a++， ∴222222a b c b c a a b c b c a +++++++，即222a b c a b c b c a++++.（2）因为0,0,0a b c >>>，所以11112222a b a bab⎛⎫+⎪+⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，同理可得1111222b c b c ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，1111222c a c a⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， ∴111111111111222222222a b b c c a a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111111222a b c b c c a a b+++++++. 21.解：本题考查数列的综合应用.（1）因为121n n S S +-=，所以()1121n n S S ++=+，即12n n c c +=，又因为11a =，所以11S =，即12c =，所以数列{}n c 是以2为公比和首项的等比数列，所以2n n c =.（2）①由（1）知，21n n S =-，当2n 时，112n n n n a S S --=-=，又因为11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为12n -，因为1112n n n b b a ++=+，所以1122n n n b b +=+，所以11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=，因为11b =，所以数列{}12n n b -是以1为首项和公差的等差数列，所以12n n b n -=，故12n n nb -=. ②设123n n T b b b b =+++⋯+，则01211232222n n nT -=+++⋯+， 所以123112322222n n nT =+++⋯+，两式相减得， 0121111111122212222222212n n n n n n n n n T --+=+++⋯+-=-=--， 所以12424422n n n n n T -++=-=-，∵()1123252n n b b b b n -++++⋅=+，∴12(2)52n n n +-+=+，即：2270n n --=.令()227(1)x f x x x =--，()2ln 212ln 210x f x '=⋅-->，∴()227xf x x =--在[1,)+∞上单调递增，且(5)0f =，所以存在唯一正整数5n =，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立.22.解：本题考查函数与导数的综合应用.（1）211(1)[(1)]()(1)x ax a x x a f x x a a x x x -+----'=-+-==，①若11a -=，则2(1)2,()0,()x a f x f x x-'==>在(0,)+∞上单调递增； ②若11a -<，则2a <，而1a >，∴12a <<，当(1,1)x a ∈-时()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)+∞时()0f x '<，所以()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)a -及(1,)+∞上单调递增；③若11a ->，则2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)及(1,)a -+∞上单调递增.（2）21()(2)ln 2g x x x a x =-+-， 假设存在a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，不妨设120x x <<，只要()()12120g x g x a x x -+>-，即()()2211g x ax g x ax +>+，令()()h x g x ax =+，只要()h x 在(0,)+∞上为增函数，21()(1)(2)ln 2h x x a x a x =+-+-， 22(1)2(1)(2)()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-+-+-++-'=+-+==，只要()0h x '在(0,)+∞恒成立，只要20,2x a a +-，故存在[2,)a ∈+∞时，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立.。
2024年沈阳市高三数学第三次模拟联考试卷附答案解析
2024年沈阳市高三数学第三次模拟联考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟2024.05第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U =R ，集合{|03},{|14}A x x B x x =≤<=<<，则()U A B ⋂=ð（）A ．[)0,1B ．[]0,1C ．(),1-∞D ．(],1-∞2．已知复数21i (1iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．1D ．1-3．已知tan 22α=，则2sin sin 2αα+的值是（）A ．25B ．45C ．65D ．854．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面说法正确的是（）A ．若,a b b α⊥∥，则a α⊥B ．若,a b α⊥ α，则a b⊥rrC ．若,a ααβ⊥⊥，则a β⊂D ．若,a b b β⊥⊥，则a β5．已知函数()21ln 12f x x x ax =+-+，则“2a <”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知二项式722a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是280，则实数a 的值等于（）A ．1B ．2C ．1±D ．2±7．甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为13和14，在目标被击中的情况下，甲､乙同时击中目标的概率为（）A ．112B ．712C ．16D ．128．已知()f x 是定义在R 上的函数，且()21f x -为偶函数，()2f x -是奇函数，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()7f 等于（）A ．1-B ．12-C ．12D ．1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．设椭圆22:12516x y C +=的左､右焦点分别为12,,F F P 是C 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．1PF 的最大值为8B ．椭圆C 的离心率45e =C ．12PF F △面积的最大值等于12D ．以线段12F F 为直径的圆与圆22(4)(3)4x y -+-=相切10．下列说法正确的是（）A ．连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量X 表示停止时抛掷的次数，则3(3)8P X ==B ．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量Y 表示所选取的学生中男同学的人数，则()43E Y =C ．若随机变量1(9,3B ξ~，则()2D ξ=D ．若随机变量()2,N ημσ ，则当μ减小，σ增大时，()P ημσ-<保持不变11．已知函数()2()cos cos f x nx nx nx n +=+∈N ，则下列说法正确的有（）A ．若1n =，则()f x 在π[0,]2上的最小值为0B ．若2n =，则点5π(,0)24是函数()f x 的图象的一个对称中心C ．若函数()f x 在ππ[,43上单调递减，则满足条件的n 值有3个D ．若对任意实数0x ，方程3()4f x =在区间00π(,6x x +内的解的个数恒大于4且小于10，则满足条件的n 值有7个第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量,a b满足2= a ，()44a b b +⋅= ，则2a b +=.13．在ABC 中，已知内角A B C ､､的对边分别为,a b c ABC ､､点D 是线段BC 上靠近点B 的一个三等分点，1AD =，若π3ADC ∠=，则c =.14．已知,p q ∈R ，且2024p q +=，若22log p y q ==，且1(,)1010n n y +∈，则正整数n 的值为.四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 为正项数列，且212n n a b +=，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S，求证：n S <.16．某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲､乙､丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为p .(1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若12p =，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；(2)已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若13p =，试比较乙､丙两同学得分的数学期望的大小.17．已知函数()1e xf x a -=-（其中a ∈R ），()lng x x =.(1)当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0x >时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.18．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1,,6ABCD AA AB BC AB AD ==+=，在底面四边形ABCD 中，//AD ,BC AB AD ⊥，点E 是BC 的中点.(1)若平面1ACD ⊥平面1CD D ，求三棱锥1D ACD -的体积；(2)设AB t =且1t >，若直线BD 与平面1AB E 所成角等于60 ，求t 的值.19．设抛物线2:2(0)C x py p =>，过点()0,4M 的直线与C 交于,A B 两点，且OA OB ⊥.若抛物线C 的焦点为F ，记,AOB AOF 的面积分别为,AOB AOF S S .(1)求2AOB AOF S S + 的最小值.(2)设点()1,4D -，直线AD 与抛物线C 的另一交点为E ，求证：直线BE 过定点.(3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当AOB 为等腰直角三角形时，记线段AB 与抛物线围成的封闭图形为,ωω绕y 轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为Ω.试用祖桓原理的数学思想求出Ω的体积.1．B【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.【详解】由{|14}B x x =<<，得{|1U B x x =≤ð或4}x ≥，而03{|}A x x =≤<，所以[],1(0)U A B = ð.故选：B 2．D【分析】根据给定条件，利用复数的除法及乘方运算计算得解.【详解】依题意，1i (1i)(1i)2i i 1i (1i)(1i)2----===-++-，所以22(11i ()i)1iz =-=+=--.故选：D 3．D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan=22α，则22222222sin 2sincostan 2tan222822222sinsin 2215sin cos tan +1222αααααααααα+++⨯+====++故选：D 4．B【分析】根据直线和平面平行和垂直的性质即可判断出它们的位置关系，逐项得出结论即可.【详解】对于A ，若,a b b α⊥∥，则可能,a α平行或相交，可得A 错误；对于B ，若,a b α⊥ α，则a b ⊥r r，即B 正确；对于C ，若,a ααβ⊥⊥，则a β∥或a β⊂，可知C 错误；对于D ，若,a b b β⊥⊥，则a β或a β⊂，可知D 错误；故选：B 5．A【分析】若()f x 在()0,∞+上单调递增，则()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，参变分离得到1a x x+≤在()0,∞+上恒成立，利用基本不等式求出1x x+的最小值，即可求出参数a 的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】函数()21ln 12f x x x ax =+-+定义域为()0,∞+，则()1f x x a x'=+-，若()f x 在()0,∞+上单调递增，则()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即1a x x+≤在()0,∞+上恒成立，又12x x+≥，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以2a ≤，因为(),2-∞(],2-∞，所以“2a <”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A 6．C【分析】根据题意，求得展开式的通项，确定r 的值，列出方程，即可求解.【详解】由二项式722a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为277143177C (2)(2()C r r r r r r rr a T x a x x ---+=-=⋅-⋅，令1432r -=，解得4r =，所以34472()C 280a ⋅-⋅=，解得1a =±.故选：C.7．C【分析】根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，再由条件概率公式计算可得.【详解】据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，甲､乙同时击中目标为事件D ，则()13P A =，()14P B =，所以()()()1111111342P C P A P B ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()1113412P D P AB P A P P B DC ==⨯===，则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为()()()1112|162P DC P D C P C ===.故选：C.8．A【分析】根据偶函数的性质得到()()2f x f x =--，再由奇函数的性质得到()()2f x f x =--，从而推导出()()4f x f x +=，再由所给解析式及周期性计算可得.【详解】因为()21f x -为偶函数，所以()()2121f x f x --=-，即()()11f x f x -=--，所以()()2f x f x =--，又()2f x -是奇函数，所以()()22f x f x --=--，即()()2f x f x =--，所以()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以4为周期的周期函数，又当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，所以()11211f =-=，则()()111f f -=-=-，所以()()()7111f f f =-=-=-.故选：A【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求出函数值.9．ACD【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.【详解】椭圆22:12516x y C +=的长半轴长5a =，短半轴长4b =，则半焦距3c ==，对于A ，1PF 的最大值为8a c +=，A 正确；对于B ，椭圆C 的离心率35c e a ==，B 错误；对于C ，设点00(,)P x y ，则0max ||4y =，而12||26F F c ==，因此12PF F △面积的最大值等于164122⨯⨯=，C 正确；对于D ，以线段12F F 为直径的圆为229x y +=的圆心(0,0)O ，半径13r =，圆22(4)(3)4x y -+-=的圆心(4,3)C ，半径22r =，12||5OC r r ==+，则圆O 与圆C 外切，D 正确.故选：ACD 10．BCD【分析】求出(3)P X =判断A ；利用超几何分布的期望公式计算判断B ；利用二项分布的方差公式计算判断C ，利用正态分布的特定区间的概率判断D.【详解】对于A ，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为12，则2111(3)(228P X ==⨯=，A 错误；对于B ，显然随机变量Y 服从超几何分布，则264()93E Y ⨯==，B 正确；对于C ，由随机变量1(9,)3B ξ~，得12()9233D ξ=⨯⨯=，C 正确；对于D ，由正态分布的意义知，(||)()P P ημσμσημσ-<=-<<+为定值，D 正确.故选：BCD 11．AC【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合正弦函数的图象性质判断ABC ；把方程等价转化成π1sin(2)64nx +=，作出函数π()sin(26g x nx =+的图象和直线14y =，结合图象分析判断D.【详解】211π1()cos cos sin2cos2sin(2)2262f x nx nx nx nx nx nx=+++=++，对于A，当π[0,2x∈时，minππ7ππ12[,)[,1],()066662x x f x+∈+∈-=，A正确；对于B，函数()f x图象的对称中心的纵坐标应为12，B错误；对于C，πππ2ππ2[,62636n nnx+∈++，由πππ2π2262ππ3π2π362nkn k⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，Zk∈，解得214[,2][,5]33n∈ ，因此1,2,5n=，C正确；对于D，方程3()4f x=等价于π1sin(2)64nx+=，函数π()sin(26g x nx=+的图象和直线14y=的交点，如图，函数()g x的最小正周期13||T A A=，设1223,A A dT A A DT==，（其中1D d=-)，显然1π0sin46<<，由下图可知112,26364323d D d D<<<<<<<<，因为在区间00π(,)6x x+内的解的个数[5,9]m∈，所以区间长度π6应满足：π(2)(4)6D T d T+<≤+，由πTn=，则πππ(2)(4)6D dn n+<≤+，化简得126246D n d+<≤+，所以[16,26]n∈，正整数的n值有11个，D错误.故选：AC【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.12．【分析】根据数量积的运算律得到244a b b ⋅+= ，再由2a b += 计算可得.【详解】因为()44a b b +⋅= ，所以244a b b ⋅+=，又2=a ，所以2a b +====.故答案为：13【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出BD ，再利用余弦定理求解即得.【详解】依题意，12π1πsin sin 2323ABC ABD ACD S S S BD AD CD AD =+=⋅+⋅ ，而2,1,ABC CD BD AD S === 244BD BD +=43BD =，在ABD △中，由余弦定理得2222π372cos 39AB BD AD BD AD =+-⋅=，所以c =.14．109【分析】利用指数式与对数式互化关系，结合已知可得2log 22024y y +=，构造函数2()log 2x f x x =+，借助函数2x y =在(10,11)上的图象、以点点(10,1024),(11,2048)A B 为端点的线段，进行“割线放缩”求出n 值.【详解】依题意，22log ,2,log 22024y y p y q y ==+=，设2()log 2x f x x =+，显然()f x 是增函数，从而y 是方程()2024f x =的唯一解，由101121024,22048==，且当[10,11]x ∈时，2log (3,4)x ∈，得101122(10)log 102(1027,1028),(11)log 112(2051,2052)f f =+∈=+∈，从而y 应略小于11，需要判断y 与10.9的大小关系，先估算10.92的近似值.考虑函数2x y =图象上两个点(10,1024),(11,2048)A B 之间的线段，然后进行“割线放缩”，10.9122048102410F G y y =<=-⨯1204810002048100194810<-⨯=-=，10.92(10.9)log 10.92419482024f =+<+<，所以109n =.故答案为：109【点睛】关键点点睛：考虑函数2x y =图象上两个点(10,1024),(11,2048)A B 之间的线段，然后进行“割线放缩”是解决问题的关键.15．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d ，即可求出通项公式；（2）由（1）得2n b n =，即n b =11n n b b +=+，再利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，2a Q ，5a ，14a 成等比数列，则22145a a a =，即2111()(13)(4)a d a d a d ++=+，将11a =代入上式，解得2d =或0d =（舍去）．21n a n ∴=-；（2）由（1）得212n n a b n +==，又0n b >，所以n b =所以11n n b b +=+，则1n S --…1=<16．(1)712(2)乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望【分析】（1）记事件A 为该题的正确答案是2个选项，则A 为该题的正确答案是3个选项，设事件B 为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，利用全概率公式计算可得；（2）设X 表示乙同学答题得分，则X 的可能取值为0，2，3，设Y 表示乙同学答题得分，则Y 的可能取值为0，4，6，求出所对应的概率，即可求出数学期望，从而判断.【详解】（1）记事件A 为该题的正确答案是2个选项，则A 为该题的正确答案是3个选项，即()P A p =，()1P A p =-，由12p =得，1()2P A =，1()2P A =，设事件B 为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，则()112224C C 2|C 3P B A ==，()113124C C 1|C 2P B A ==，则21117()(|)()(|)()322212P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.（2）由13p =得，1()3P A =，2()3P A =，设X 表示乙同学答题得分，则X 的可能取值为0，2，3，所以11211144C C 11121(0)()()C C 23433P X P A P A ==⨯+⨯=⨯+⨯=，1314C 321(2)()C 432P X P A ==⨯=⨯=，1214C 111(3)()C 236P X P A ==⨯=⨯=，所以1113()0233262E X =⨯+⨯+⨯=，设Y 表示乙同学答题得分，则Y 的可能取值为0，4，6，所以11211312222244C C C C C 511211(0)()()C C 632318P Y P A P A +==⨯+⨯=⨯+⨯=，2324C 121(4)(C 233P Y P A ==⨯=⨯=，2224C 111(6)()C 6318P Y P A ==⨯=⨯=，所以11115()046183183E Y =⨯+⨯+⨯=，即()()E X E Y <，故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望．17．(1)e 01y x --=(2)(],1-∞【分析】（1）求出()0f ，求导，得到()10e f '=，利用导数几何意义求出切线方程；（2）转化为1e ln x x a --≥，令()1e ln x t x x -=-，二次求导得到单调性和最小值，求出1a ≤，得到答案.【详解】（1）0a =时，()1e x f x -=，()110e e f -==，()1e x f x -'=，故()110e ef -='=，故函数()f x 在点()()0,0f 的切线方程为1e 1e y x -=，即e 01y x --=（2）0x >时，1e ln x a x --≥恒成立，故1e ln x x a --≥，令()1e ln x t x x -=-，定义域为()0,∞+，则()11e x t x x -='-，令()()11e x w x t x x-=-'=，则()121e 0x w x x-'=+>在()0,∞+恒成立，故()()11e x w x t x x-=-'=在()0,∞+上单调递增，又()111e 10t --'==，故当()0,1x ∈时，()0t x '<，当()1,x ∞∈+时，()0t x '>，故()1e ln x t x x -=-在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()11min e ln11t x -=-=，所以1a ≤，a 的取值范围是(],1-∞.18．(1)83(2)3【分析】（1）过D 作1DH CD ⊥于点H ，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得AC CD ⊥，再在底面四边形中进行相关计算即可得解.（2）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1AB E 的法向量，利用线面角的向量求法列式求解即得.【详解】（1）过D 作1DH CD ⊥于点H ，由平面1ACD ⊥平面1CD D ，平面1ACD⋂平面11CDD CD =，DH ⊂平面1CD D ，则DH ⊥平面1ACD ，又AC ⊂平面1ACD ，则DH AC ⊥，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，即1DD ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，于是1DD AC ⊥，又11,,DH DD D DH DD ⊂= 平面1CD D ，则AC ⊥平面1CD D ，又CD ⊂平面1CD D ，则AC CD ⊥，在底面四边形ABCD 中，//,AD BC BA AD ⊥，即90ABC ︒∠=，又AB BC =，则45BAC BCA ︒∠=∠=，即45CAD ︒∠=，且AC =，又有AC CD ⊥，则在等腰直角ACD 中，AD =，即2=AD AB ，又6AB AD +=，则2AB =，4,4ACD AD S == ，又112DD AA AB ===，所以1111842333D ACD ACD V S DD -=⋅=⨯⨯= .（2）由四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面,ABCD BA AD ⊥，以点A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(16)AB t t =<<，则1,6BC AA t AD t ===-，(0,0,0),(,0,0),(,,0)A B t C t t ，11(0,6,0),(0,0,),(0,6,),(,,0),(,6,0)2t D t A t D t t E t BD t t --=--，在平面1AB E 中，1(,0,),(,,0)2tAB t t AE t ==，设平面1AB E 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1002n AB tx tz t n AE tx y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得(1,2,1)n =-- ，则sin 60|cos ,|2BD n ︒=〈〉= ，12|t -=241590t t -+=，而1t >解得3t =，所以3t =.【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦．19．(1)(2)证明见解析；(3)32π.【分析】（1）设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示求出p ，再列出面积表达式，利用基本不等式求解即得.（2）设()33,E x y ，求出直线AE 方程()114411y y x x ++=--，与抛物线方程联立，结合（1）的信息可得()232316160x x x x ++-=，再设出直线BE 方程，与抛物线方程联立结合韦达定理推理即得.（3）根据给定条件，利用祖暅原理分析计算即可得结果.【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:4l y kx =+，由242y kx x py =+⎧⎨=⎩消去y 整理得2280x pkx p --=，221212128,1622x x x x p y y p p =-=⋅=，由OA OB ⊥，得12120,1680x x y y p +=-=，解得2p =，即12816x x p =-=-，121112||2||22AOB AOF S S OM x x OF x +=⨯⨯-+⨯⨯⨯12113232328x x x x =+=+≥当且仅当21323x =时等号成立，所以2AOB AOF S S +最小值为（2）设()33,E x y ，则直线AE 的斜率1141AE y k x +=-，方程为()114411y y x x ++=--，由（1）知抛物线2:4C x y =，由()21144411x y y y x x ⎧=⎪+⎨+=-⎪-⎩消去y 得()21144141y x x x ++=--，整理得2221111161616011x x x x x x +++---+=，显然22113131111616,1611x x x x x x x x ++==+-+-，于是131316x x x x ++=，又1216x x =-，联立消去1x ，得()232316160x x x x ++-=，设直线2:BE y k x m =+，与抛物线联立224x y y k x m⎧=⎨=+⎩，整理得:22440x k x m --=，232324,4x x m x x k =-+=，因此22464160,164m k m k -+-==-，直线22164y k x k =+-恒过定点(16,4)--.（3）作底面半径为4、高为4的圆柱，并将内部切割去掉Ω之后，上下翻转得到几何体Φ，现做一平面，使其平行于Ω和Φ的底面，且被两几何体分别截得如图中阴影所示截面，在图1的几何体Ω中，设()00,B x y ，即000,,4AB x AC y AD y ===-，且2004x y =，则图2的几何体Φ中，有04EJ y =-，由抛物线方程得()2210004416416r y y x =-=-=-，则图2中截面圆环面积()2222104πS r x π=-=，而图1中截面圆面积210πS x =，由祖暅原理可得，Ω和Φ的体积相等，均为圆柱体积的一半，即2211ππ4432π22V R h Ω==⨯⨯=.【点睛】关键点点睛：利用祖暅原理求几何体的体积，找到一个等高的可求体积的几何体，并将它们放置于两个平行平面间，再探求出被平行于两个平行平面的任意一平面所截，截面面积相等是解题的关键.。