常微分方程主要内容复习

∫ (u ) u ∫
x
求齐次方程的通解
一阶线性微分方程
形如
dy + P(x)y = Q(x) dx
(1)
的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连 dy 续函数，且方程关于y及 dx 是一次的，Q(x)是自由项. 如果 (x) ≡ 0，则称 Q
dy dy + P( x) y = Q( x) dx
化简后，方程(2)的通解为
∫ y =Ce
P(x)dx
，
(3)
其中C为任意常数.
2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解： ∫ P( x)dx ， (4) 设 y = C(x)e 是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数, 将(4)式求其对x的导数，得
∫ P( x)dx ∫ P( x)dx dy = C' (x)e P(x)C(x)e ， dx 代入方程(1)中，得
f (x) = P (x)eλx cosωx m
欧拉方程
形如 xn y(n) + p1xn1y(n1) +Lpn1xy′ + pn y = f (x) 的方程称为欧拉方程，其中 p1 , p 2 , L p n 为常数。 欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的 阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 解法：作变量替换 x = et或t = ln x, 将自变量x换成t， 则有 dy dy dt 1 dy d 2 y 1 d 2 y dy
可分离变量的微分方程
1．定义 形如
dy = f ( x) g ( y) dx (1)
的方程称为可分离变量的方程. 特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积， 其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数 2．解法:
分离变量得 1 dy = f ( x ) dx g ( y)
( g ( y ) ≠ 0)
微分方程的基本概念
含未知函数的导数(或微分 的方程称为微分方程； 含未知函数的导数 或微分)的方程称为微分方程； 或微分 的方程称为微分方程 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程; 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程 常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程； 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程； 偏微分方程 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分 微分方程中未知函数的导数的最高阶数， 方程的阶 方程的阶.
当 或 f ( x) = Pm ( x)eλx sin ω x 时， 由欧拉公式知道， 和 λx Pm ( x)eλ x sin ω x P (x)e cosωx m 分别是 的实部 和虚部。m(x)e(λ+iω)x = P (x)eλx (cosωx+isinωx) P m 而方程 具有形如 y′ + py′ +qy = P (x)e(λ+iω)x(9) m 的特解，其中 是与 Pm ( x Q ) y* = xk Qm ( x)e(λ +iω ) x 同次（m次）的多项式，而k按 m ( x是不是特征) 方程的根、是特征方程的单根依次取0或1。 λ 方程 和 λx y′ + py′+qy =P (x)eλx sinωx m y′ + py′ +qy = P (x)e cosωx m 的特解分别是（9）式的特解的实部和虚部。
r ,2 = α ± iβ(β > 0) 1
二阶常系数非齐次线形微分方程
二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为：
y ′′ + py ′ + qy = f ( x )
当 f ( x) = pm ( x)eλ x 时，二阶常系数非齐次线形 微分方程具有形如 y * = x k Q m ( x ) e λ x 的特解，其中 Q m ( x ) 是与 P m ( x ) 同次（m 次）的多项式，而k按 λ 是不是特征方程的根、 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、 1或2。
(5)
∫ y =e
P( x)dx
∫ P( x)dxdx + C). (∫ Q( x)e
(6)
通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意 常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程 的通解，这种方法称为常数变易法.
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程 二、 常系数线性齐次微分方程解的结构 三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法
C' (x)e
∫ P( x)dx
P(x)C(x)e
∫ P( x)dx
+ P(x)C(x)e
∫ P( x)dx
= Q(x)，
化简后，得 ∫ P( x)dx， C' (x) = Q(x)e 将上式积分，得
∫ P( x)dxdx + C， C(x) = ∫ Q(x)e
其中C为任意常数. 把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为
y'' +p +qy=0 y'
(3 )
为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程 y'' + py' +qy = f (x) ( f (x) ≠ 0) / (4) 为二阶常系数线性非齐次微分方程.
一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构
定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程 (3)的两个解，则 y = C1 y1(x) + C2 y2 (x)也是方程(3)的 解，其中C1, C2是任意常数.
(1) 的方程，称为二阶线性微分方程.当 f (x) ≡ 0 时，
方程(1)成为
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 (2)
形如 y'' + P(x)y' +Q(x)y = f (x)
称为二阶线性齐次微分方程，当 f (x) ≡ 0 时，方程(1) / 称为二阶线性非齐次微分方程. 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程
特征方程: r 2 + pr + q = 0 的两个根r1,r2 两个不相等的实根 两个相等的实根 r = r2 1 一对共轭复根
微分方程: 的通解
y'' + py' + qy = 0
r1 x
r ≠ r2 1
y = C1e
+ C2e
r2 x
y = (C1 + C2 x)e
r1 x
y = eαx (C1 cos β x + C2 sin β x)
dy = f ( x, y ) dx
dy y = dx x
y 由 u = x ，得 y = ux
两端求导，得
dy du =u+x dx dx
u+ x du = (u ) dx
代入方程中，得
这是变量可分离的微分方程．分离变量并积分， du dx 得 =
y （3）求出积分后，再以 u = 代回，便得到所 x
dt dx x dt dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy 同理，有 3 = 3 ( 3 3 2 + 2 )， L dx x dt dt dt
dx
=
=
,
2
=
2
(
2
)，
如果采用记号D表示对自变量t的求导运算 则上述结果可以写为 ′ 2 ′′
xy = Dy, x y = Dy,
d dt
两端积分得通解:
∫ g ( y ) dy = ∫ f ( x ) dx
1
齐次方程
如果一阶微分方程 可以化成 的形式，则称此方程为齐次微分方程 齐次微分方程． 齐次微分方程 这类方程的求解分三步进行： dy y = 的形式． （1）将原方程化为方程 d x x dx y （2）作变量代换 u = x u 以 u 为新的未知函数（注意， 仍是 x 的函数）， 就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方 程来求解．
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y =Cy1(x) +C2 y2(x) (C ,C2为 意 数 任 常 ) 1 1
就是方程(3)的通解.
求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤： 1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根； 2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出 微分方程的通解.可使用下表:
x 3 y′′′ = D ( D 1 ( D 2）y, ） L x k y ( k ) = D ( D 1 L ( D k + 1 y。 ） ）
பைடு நூலகம்
将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的 常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为 ln x ，即得欧拉方程的解。
微分方程的解、 微分方程的解、通解与特解 能使微分方程成为恒等式的函数， 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程 的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的 即 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即 不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分 不可合并而使个数减少的) 方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解 通解. 方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解. 不包含任意常数的解为微分方程特解. 特解
为一阶线性非齐次方程，
如果 (x) ≡ 0 Q ，即
为一阶线性齐次方程.
dy + P(x) y = 0 dx
(2)
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下: dy + P(x) y = 0 (2) 的通解： 1.先求 dx dy = P(x)dx 分离变量后得 y
任意常数写成ln C的形式，得 ln y = ∫ P(x)dx + ln C，