九年级数学旋转几何综合单元综合测试(Word版 含答案)

九年级数学旋转几何综合单元综合测试（Word 版 含答案）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=?，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC

上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；

（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，

CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出

PMN 面积的最大值．

【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492

【解析】 【分析】

（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；

（2）由旋转可推出BAD CAE ??≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；

（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】

（1）PM PN =，PM PN ⊥；

已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得

12PM EC =

，1

2

PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=? 即得PM PN =，PM PN ⊥

故答案为：PM PN =；PM PN ⊥． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得BAD CAE ∠=∠， 又AB AC =，AD AE = ∴BAD CAE ??≌

∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点 ∴PM 是DCE ?的中位线 ∴1

2

PM CE =

，且//PM CE ， 同理可证1

2

PN BD =

，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠， ∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，

DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，

∴

90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=?，

即PMN ?为等腰直角三角形．

（3）把ADE ?绕点A 旋转的如图的位置，

此时1()72PN AD AB =

+=，1

()72

PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ?面积最大值为149

7722

??=． 【点睛】

本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．

2．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与

OAB ?的边分别交于M ，N 两点，将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '?． 设点P 的纵坐标为m ．

①当A MN '?在OAB ?内部时，求m 的取值范围；

②是否存在点P ，使'

5

6

A MN OA

B S S ?'?=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理

由．

【答案】()2

1y x 22x =-++；（2）①433

m <<；②存在，满足m 的值为619-或

639

3-． 【解析】 【分析】

（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；

②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】

解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，

∴∠ADO=∠BEO=90°，

∵将OA 绕点O 逆时针旋转90?后得到OB ， ∴OA=OB ，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°， ∴∠AOD=∠BOE ， ∴△AOD ≌△BOE ， ∴AD=BE ，OD=OE ， ∵顶点A 为（1，3）， ∴AD=BE=1，OD=OE=3， ∴点B 的坐标为（3，1-）， 设抛物线的解析式为2

(1)3=-+y a x ， 把点B 代入，得

2(31)31a -+=-，

∴1a =-，

∴抛物线的解析式为2

(1)3y x =--+， 即222y x x =-++；

（2）①∵P 是线段AC 上一动点， ∴3m <，

∵当A MN '?在OAB ?内部时， 当点'A 恰好与点C 重合时，如图：

∵点B 为（3，1-）， ∴直线OB 的解析式为1

3

y x =-， 令1x =，则13

y =-

， ∴点C 的坐标为（1，13

-）， ∴AC=1103()33

--=

， ∵P 为AC 的中点， ∴AP=

1105233

?=， ∴54333

m =-

=， ∴m 的取值范围是

4

33

m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：

∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），

∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3）， ∴'3A P m =-，18'(23)233

A C m m =-+

=-， 设直接OA 为y ax =，直线AB 为y kx b =+， 分别把点A ，点B 代入计算，得

直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+， 令y m =， 则点M 的横坐标为3m

，点N 的横坐标为52

m --， ∴555

2326

m m MN m -=

-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224

A MN S MN A P m m m m ?=

?=?-?-=-+；

'138

'3(2)34223

OA B S A C m m ?=

??=?-=-； 又∵'5

6A MN OA B

S S ?'?=， ∴

255155

(34)12246

m m m -+=?-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）； 当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：

把y m =代入1

3

y x =-，则3x m ，

∴5553222m MN m m -=

+=+-，18

'(23)233A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424

A MN S MN A P m m m m ?=

?=?+?-=-++， '138

'3(2)43223OA B S A C m m ?=

??=?-=-， ∵'5

6A MN OA B

S S ?'?=， ∴255155

(43)4246

m m m -

++=?-， 解得：639m -=

或639

m +=（舍去）； 综合上述，m 的值为：619m =-639

3

m -=． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．

3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．

（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．

（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；

（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．

【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．

【解析】

【分析】

（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；

（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AD，

∴AD＝2BC＝12，

∴△ABD的面积＝1

2

AD?BC＝

1

2

12×6＝36，

故答案为：36；

（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，

∴∠H＝∠C＝90°，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，

∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，

∴∠PQH＝∠BPC，

∴△PQH≌△BPC（AAS），

∴PH＝BC，QH＝CP，

∵AC＝BC，

∴PH＝AC，

∴CP＝AH，

∴QH＝AH，

∴∠HAQ＝45°，

∵∠BAC＝45°，

∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∴AB⊥AQ；

（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，

∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，

∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，

∴∠EAC＝30°，

则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，

∵点C和点D关于AF对称，

∴AD＝AC＝6，

∵∠AND＝90°，

∴DN＝1

2

AD＝

1

2

6＝3，

∴CM+NM最小值为3．

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

4．如图，在矩形ABCD中，6

AB cm

=，8

AD cm

=，连接BD，将ABD

△绕B点作顺时针方向旋转得到A B D

'''

△（B′与B重合），且点D'刚好落在BC的延长上，A D''与CD相交于点E．

（1）求矩形ABCD与A B D

'''

△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE

''）的面积；（2）将A B D

'''

△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D

'''

△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''

△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）2

45

2

cm；（2）

2

2

3316

24(0)

225

88020016

(4)

3335

x x x

y

x x x

?

--+≤<

??

=?

?-+≤≤

??

；（3）存在，使得AA B''

△成为等腰三角形的x的值有：0秒、

3

2

669

-

．

【解析】

【分析】

（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出10

B D BD cm

''==，

2

CD B D BC cm

'=''-=，利用B D A

∠'''的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；

（2）分类讨论，当

16

5

x

≤<时和当

16

4

5

x

≤≤时，分别列出函数表达式；

（3）分类讨论，当AB A B

'=''时；当AA A B

'=''时；当AB AA

'='时，根据勾股定理列方程即可．

【详解】

解：（1）6

AB cm

=，8

AD cm

=，

10

BD cm

∴=，

根据旋转的性质可知10

B D BD cm

''==，2

CD B D BC cm

'=''-=，

tan A B CE

B D A A D CD '''''∠=='''

， 682

CE ∴=， 3

2CE cm ∴=，

()286345

22222

A B CE A B D CED S S S cm ''''''?∴==

-?÷=-； （2）①当1605x ≤<

时，22CD x '=+，3

2

CE x =， 233

+22

CD E S x x '∴=

△， 221333

68242222

y x x x ∴=??-=--+；

②当

1645x ≤≤时，102BC x =-，()4

1023

CE x =- ()2

21488020010223333

y x x x ∴=?-=-+．

（3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；

②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+

，24

5

A M N

B '==， 2236AN A N +'=，

22

2418623655x ?

???∴-++= ? ??

???，

解得：95x =

秒，（9

5

x -=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+

，24

5

A M N

B '==， 2222AB BB AN A N +'=+'

22

2

24183646255x x ?

???∴+=-++ ? ??

???

解得：3

2

x =

秒．

综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、

32秒、95

．

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

5．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，请问

△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：

(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．

猜想论证：

(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．

【答案】(1)①1

2

；②4

(2) AD=1

2

BC，理由见解析

(3)存在，13

【解析】

【分析】

(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可

求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=1

2

AB′=

1

2

BC

②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得

△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.

（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：

因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，

AD=1

2 BC；

(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O

假设P点存在，再证明理由.

根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM3DM3

在；

∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=1

2

BM3

DE=EM﹣DM3﹣33

由已知DA3AE=DE

且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD

因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=1

2

BC3，利用线段长度可求得∠CDF=60°

利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，

得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.

【详解】

(1)①∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°

∵DB′=DC′

∴AD⊥B′C′

∵∠BAB′+∠CAC′=180°

∴∠BAC+∠B′AC′=180°

∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°∴∠B′=∠C′=30°

∴AD=1

2

AB′=

1

2

BC

故答案：1 2

②∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∵∠BAC=90°

∴∠B′AC′=∠BAC=90°

在△BAC和△B′AC′中，

'

'"90

"

AB AB

BAC B AC

AC AC

=

?

?

∠=∠=??

?=

?

∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′

∵B′D=DC′

∴AD=1

2

B′C′=

1

2

BC=4

故答案：4

(2)AD与BC的数量关系：AD=1

2

BC；理由如下：

延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四边形AC′MB′是平行四边形，

∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，

∵∠BAB′+∠CAC′=180°，

∴∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠BAC=∠AB′M，

在△BAC和△AB′M中，

'

'

'

AC B M

BAC AB M

AB AB

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BAC≌△AB′M(SAS)，∴BC=AM，

∴AD=1

2 BC；

(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：

延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作

△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：

∵∠A+∠B=120°，

∴∠ADC=150°，

∴∠MDC=30°，

在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，

∴CM3DM3，∠M=90°﹣∠MDC=60°，

在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM333，∠MBE=90°﹣∠M=30°，

∴EM=1

2

BM3

∴DE=EM﹣DM333∵DA3

∴AE=DE，

∵BE⊥AD，

∴PA=PD，

∵PF是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，PF∥CD，

在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=1

2

BC3

∴tan∠CDF=CF

CD

63

3，

∴∠CDF=60°，

∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，∴∠ADF=90°=∠AEB，

∴∠CBE=∠CFD，

∵∠CBE=∠PCF，

∴∠CFD=∠PCF=30°，

∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∴∠CPF=∠CDF=60°，

在△FCP 和△CFD 中，CPF CDF PCF CFD CF CF ∠=∠??

∠=∠??=?

，

∴△FCP ≌△CFD (AAS )， ∴CD =PF ， ∵CD ∥PF ，

∴四边形CDPF 是矩形， ∴∠CDP =90°，

∴∠ADP =∠ADC ﹣∠CDP =60°， ∴△ADP 是等边三角形， ∴∠APD =60°，

∵∠BPF =∠CPF =90°﹣30°=60°， ∴∠BPC =120°， ∴∠APD +∠BPC =180°，

∴△PDC 与△PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系； 在Rt △PDQ 中，∵∠PDQ =90°，PD =DA =63，DN =1

2

CD =3， ∴PQ =22DQ DP +=223(63)+=313．

【点睛】

本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性.

6．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG.

（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG ； （2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数； （3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=

，求点G 到BE 的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出

∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.

（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.

（3）根据和求解即可.

试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.

∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.

∴∠BAE=∠DAG..

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴BE=DG..

（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.

（3）如图3，连接GB、GE.

由已知α=45°，可知∠BAE=45°.

又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.

∵，∴GE =8.

∴.

过点B作BH⊥AE于点H.

∵AB=2，∴. ∴..

设点G到BE的距离为h.

∴.

∴.

∴点G到BE的距离为.

考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．

7．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.

（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；

（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.

（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.

∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.

（2）∵MN∥AC，∴,.

∴.∴.

又∵，∴.

又∵,∴.

∴.∴.

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为.

(3)不变化，证明如下：

如图，延长BA交DE轴于H点，则

，，

∴.

又∵.∴．

∴．

又∵, ,∴．

∴.∴.

∴.

∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.

考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.

8．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，

EG分别过点B，C，∠F＝30°.

（1）求证：BE＝CE

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62 4

.

【解析】

【分析】

（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；

（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；

②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.

【详解】

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

（2）①解：如图2中，

由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EBM=∠ECN=45°，

∵∠MEN=∠BEC=90°，

∴∠BEM=∠CEN，

∵EB=EC，

∴△BEM≌△CEN；

②∵△BEM≌△CEN，

∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，

∴S△BMN=1

2

?x（4-x）=-

1

2

（x-2）2+2，

∵-1

2

＜0，

∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．

③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．

∴3（3m，

∵S△BEG=1

2

?EG?BN=

1

2

?BG?EH，

∴EH=3?(13)

2

m m

m

=

3

2

m，