一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
◆【课前热身】
1.方程(2x-1)(3x+1)=x2+2化为一般形式为______,其中a=____,b=____,c=____.
2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零,则m的值等于_____.
3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1,x2=-2,则x2+mx+n分解因式的结果是______.
4.关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为2,则a的值是()
A.1 B D
5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于() A.1 B.2 C.1或2 D.0
【参考答案】
1. 5x2-x-3=0 5 -1 -3
2.-3
3.(x-1)(x+2)
5.D
6.B
◆【考点聚焦】
知识点:
一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理
大纲要求:
1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围;
2.掌握韦达定理及其简单的应用;
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式;
4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.
◆【备考兵法】
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如:关
于x 的方程ax 2
-2x +1=0中,如果a<0,那么根的情况是( ) (A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根 (C )没有实数根 (D )不能确定
2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如:
设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两根,则x 12+x 22
的值是( ) (A )15 (B )12 (C )6 (D )3
3.在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力. 在一元二次方程的应用中,列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同,但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义,凡不满足实际问题的解(虽然是原方程的解)一定要舍去. 易错知识辨析:
(1)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不
为零这个限制条件.
(2)应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意:
① 根的判别式042
≥-ac b ;
② 二次项系数0a ≠,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能应用根与系数的关系.
◆【考点链接】
1.一元二次方程根的判别式
关于x 的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .
(1)ac b 42
->0?一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 有两个 实数根,即
=2,1x .
(2)ac b 42
-=0?一元二次方程有 相等的实数根,即==21x x .
(3)ac b 42
-<0?一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 实数根.
2.一元二次方程根与系数的关系
若关于x 的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ,2x ,那么
=+21x x ,=?21x x .
◆【典例精析】
例1(四川绵阳)已知关于x 的一元二次方程x 2
+ 2(k -1)x + k 2
-1 = 0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k 的取值范围;
(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由. 【分析】这是一道确定待定系数m 的一元二次方程,?又讨论方程解的情况的优秀考题,需要考生具备分类讨论的思维能力.
【答案】(1)△= [ 2(k —1)] 2
-4(k 2
-1)
= 4k 2
-8k + 4-4k 2
+ 4 =-8k + 8. ∵ 原方程有两个不相等的实数根,
∴ -8k + 8>0,解得 k <1,即实数k 的取值范围是 k <1.
(2)假设0是方程的一个根,则代入得 02
+ 2(k -1)· 0 + k 2
-1 = 0, 解得 k =-1 或 k = 1(舍去). 即当 k =-1时,0就为原方程的一个根.
此时,原方程变为 x 2
-4x = 0,解得 x 1 = 0,x 2 = 4,所以它的另一个根是4. 例2(北京)已知下列n (n 为正整数)个关于x 的一元二次方程: x 2
-1=0 (1) x 2+x -2=0 (2) x 2+2x -3=0 (3) ……
x 2+(n -1)x -n=0 (n )
(1)请解上述一元二次方程(1),(2),(3),(n );
(2)请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可. 【分析】由具体到一般进行探究.
【答案】(1)<1>(x+1)(x -1)=0,所以x 1=-1,x 2=1. <2>(x+2)(x -1)=0,所以x 1=-2,x 2=1. <3>(x+3)(x -1)=0,所以x 1=-3,x 2=1.
……
(2)比如:共同特点是:都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数根等.
【点评】本例从教材要求的基本知识出发,探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系,注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查.
例3(江苏南京)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空地,其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是288m2?
【答案】解法一:设矩形温室的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得
(x-2)·(2x-4)=288.
解这个方程,得x1=-10(不合题意,舍去),x2=14.
所以x=14,2x=2×14=28.
答:当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288m2.
解法二:设矩形温室的长为xm,则宽为1
2 xm.
根据题意,得(1
2
x-2)·(x-4)=288.
解这个方程,得x1=-20(不合题意,舍去),x2=28.
所以x=28×1
2
x=
1
2
×28=14.
答:当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288m2.
【解析】在一元二次方程的应用中,列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同,但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义,凡不满足实际问题的解(虽然是原方程的解)一定要舍去.
◆【迎考精练】
一、选择题
1.(台湾)若a 、b 为方程式x 2
-4(x +1)=1的两根,且a >b ,则
b
a
=______? A .-5 B .-4 C .1 D. 3
2.(2009年湖南株洲)定义:如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知2
0(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是
A .a c =
B .a b =
C .b c =
D . a b c ==
3.(四川成都)若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是
A.1k >-
B.1k >-且0k ≠
C.1k <
D. 1k <且0k ≠ 4.(内蒙古包头)关于x 的一元二次方程2
210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、,
且22127x x +=,则2
12()x x -的值是( )
A .1
B .12
C .13
D .25
5.(湖北荆州)关于x 的方程2
(2)20ax a x -++=只有一解(相同解算一解),则a 的值为( )
A .0a =
B .2a =
C .1a =
D .0a =或2a = 6.(山东烟台)设a b ,是方程220090x x +-=的两个实数根,则2
2a a b ++的值为( )
A .2006
B .2007
C .
D .
7.(湖北宜昌)设方程x 2
-4x -1=0的两个根为x 1与x 2,则x 1x 2的值是( ).
A .-4
B .-1
C .1
D . 0 8.(湖北十堰)下列方程中,有两个不相等实数根的是( ).
A .0122=--x x
B .0322
=+-x x
C .3322
-=x x D .0442
=+-x x
9.(四川眉山)若方程2
310x x --=的两根为1x 、2x ,则
12
11
x x +的值为( ) A .3 B .-3 C .
13
D .13
-
10.(山东东营)若n (0n ≠)是关于x 的方程2
20x mx n ++=的根,则m +n 的值为( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
二、填空题
1.(上海市)如果关于x 的方程2
0x x k -+=(k 为常数)有两个相等的实数根,那么
k = .
2.(山东泰安)关于x 的一元二次方程02)12(2
2
=-+++-k x k x 有实数根,则k 的取值范围是 。
3.(广西崇左)一元二次方程2
30x mx ++=的一个根为1-,则另一个根为 . 4.(广西贺州)已知关于x 的一元二次方程02
=--m x x 有两个不相等的实数根,则实数
m 的取值范围是 .
三、解答题
1.(山东淄博) 已知12x x ,是方程220x x a -+=的两个实数根,且1223x x +=
(1)求12x x ,及a 的值; (2)求32111232x x x x -++的值.
2.(广东中山)已知:关于x 的方程2
210x kx +-= (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是1-,求另一个根及k 值.
3.(重庆江津区)已知a、b、c分别是△ABC 的三边,其中a=1,c=4,且关于x 的方程042
=+-b x x 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状.
4.(湖南怀化)如图,已知二次函数2
2
)(m k m x y -++=的图象与x 轴相交于两个不同的
点1(0)A x ,
、2(0)B x ,,与y 轴的交点为C .设ABC △的外接圆的圆心为点P . (1)求P ⊙与y 轴的另一个交点D 的坐标;
(2)如果AB 恰好为P ⊙的直径,且ABC △的面积等于5,求m 和k 的值.
5.(湖北黄石)已知关于x 的函数2
1y ax x =++(a 为常数) (1)若函数的图象与x 轴恰有一个交点,求a 的值;
(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x 轴上方,求a 的取值范围.
【参考答案】 选择题
2. A
3. B
4. C
【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知:1212
.21x x m
x x m +=??=-?
又∵()2
2212121227x x x x x x +=+-= ∴()22217m m --= 得11m =-,25m = ,而当5m =时,原方程的判别式2549110?=-?=-<,此时方程无解, ∴5m =不合题意舍去. ∴12121.3
x x x x +=-??
=-? ()()()()222
121212414313x x x x x x -=+-=--?-=,故选 C
本题易出错,学生易在求得11m =-或25m =的两个值后,代入1212
.21x x m
x x m +=??=-?,求出
()
()2
2
121212413x x x x x x -=+-=或-11,易漏掉检验方程是否存在实根.
5. D 【解析】本题考查方程的有关知识,关于x 的方程2
(2)20ax a x -++=只有一解,
有两种情况,①该方程是一元一次方程,此时0a =,②该方程是一元二次方程,方程有两个相等等的实数根,()2
2420a a +-=g ,解得2a =,故选D. 6. C 7. B 8. A 9. B 10. D 填空题 1.
4
1
2. 4
9->k 3.﹣3
4.
1
4m >-
1. 解:(1
)由题意,得1212
223x x x x +=???+=-??,
解得1211x x =+=-,
所以12(11a x x =?=+-=-. (2)法一: 由题意,得211210x x --=.
所以32111232x x x x -++=32211111223x x x x x x ---++ =21112211211x x x x -++++-=-=. 法二: 由题意,得21121x x =+,
所以32111232x x x x -++=11112(21)3(21)2x x x x x +-+++ =2111122632x x x x x +--++=1122(21)33x x x +--+ =1121242331211x x x x x +--+=+-=-=. 2. 解:(1)2
210x kx +-=,
2242(1)8k k ?=-??-=+,
无论k 取何值,2
k ≥0,所以2
80k +>,即0?>,
∴方程2210x kx +-=有两个不相等的实数根.
(2)设2
210x kx +-=的另一个根为x ,则12k x -=-
,1
(1)2
x -=-g , 解得:1
2
x =
,1k =, ∴2210x kx +-=的另一个根为
1
2
,k 的值为1. 3. 解:∵方程2
40x x b -+=有两个相等的实数根 ∴△=2
(4)40b --= ∴b=4.
∵c=4. ∴b=c=4.
∴△ABC 为等腰三角形.
届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题测试含答案
精心整理北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习 一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题 1.设α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根,则αβ的值是( ) A.2B.1C.-2D.-1 2 3 4.p,q 5.) 6.2的值为( A.-1B.9C.23D.27 7.已知一元二次方程的两根之和是3,两根之积是-2,则这个方程是( ) A.x2+3x-2=0B.x2+3x+2=0 C.x2-3x-2=0D.x2-3x+2=0 8.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-
6,则a的值为( ) A.-10B.4C.-4D.10 9.菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO,BO的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根,则m的值为( ) A.-3B.5C.5或-3D.-5或3 10.2 x1x2 11. 12.+n= 13. 14. 15. 16. 17. (1)求m的取值范围; (2)当x12+x22=6x1x2时,求m的值. 18.关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在,求出k的值;若
不存在,说明理由. 19.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)x2+2x+1=0; (2)3x2-2x-1=0; (3)2x2+3=7x2+x; 2 20. (1) (2) 21. (1) (2) 10. 11. 13.10 14.10-400 15.m>1/2 16.x2-10x+9=0 17.解:(1)∵原方程有两个实数根,∴Δ=(-2)2-4(m-1)≥0,整理得:4-4m+4
中考专题_一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【重点、难点、考点】 重点:①判定一元二次方程根的情况,会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。 ②掌握根与系数的关系及应用 难点:由判别式,根与系数的关系求字母的取值范围,或与根有关的代数式的值。 考点:中考命题的重点和热点,既可单独成题,又可与二次函数综合运用,是初中代数的重要内容之一。 【经典范例引路】 例1 若关于x 的一元二次方程(m -2)2x 2+(2m +1)x +1=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( ) A.m<43 B.m ≤43 C.m>43 且m ≠2 D.m ≥43 且 m ≠2 (2001年山西省中考试题) 【解题技巧点拨】 解 C ①解答此题时,学生虽然能运用判别式定理,但往往忽略“方程ax 2+bx +c =0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形 解题原理:对方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0) 方程有两实根Δ方程有两相等实根 Δ方程有两不等实根Δ?≥? ?? ?=?>000 Δ<0?方程没有实根 注意:学生在运用时,可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型:①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解,②证明一元二次方程有无实根,③求待定系数的值或取值范围,④根与系数的关系综合运用。 例2 先阅读下列第(1)题的解答过程
(1)已知αβ是方程x2+2x-7=0的两个实数根。求α2+3β2+4β的值。 解法1 ∵α、β是方程x2+2x-7=0的两实数根 ∴α2+2α-7=0 β2+2β-7=0 且α+β=-2 ∴α2=7-2αβ2=7-2β ∴α2+3β2+4β=7-2α+3(7-2β)+4β=28-2(α+β)=28-2 ×(-2)=32 解法2 由求根公式得α=-1+22β=-1-22 ∴α2+3β2+4β=(-1+22)2+3(-1-22)2+4(-1-22) =9-42+3(9+42-4-82)=32 解法3 由已知得:α+β=-2 αβ=-7 ∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=18 令α2+3β2+4β=A β2+3α2 +4α=B ∴A+B=4(α2+β2)+4(α+β)=4×18+4×(-2)=64 ① A-B=2(β2-α2)+4(β-α)=2(β+α) (β-α)+4(β-α)=0 ② ①+②得:2A=64 ∴A=32 请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题 (2)已知x1、x2是方程x2-x-9=0的两个实数根,求代数式。x13+7x22 +3x2-66的值。 解∵x1、x2是方程x2-x-9=0的两根 ∴x1+x2=1 且x12-x1-9=0 x22-x2-9=0 即 x12=x1+9 x22=x2+9 ∴x13+7x22+3x2-66=x1(x1+9)+7(x2+9)+3x2-66 =x12+9x1+10x2-3=x1+9+9x1+10x2-3=10(x1+x2)+ 6=16 【同步达纲练习】 一、填空题