凸函数的性质的讨论【开题报告】

毕业论文开题报告

数学与应用数学

凸函数的性质的讨论

一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 凸函数是凸分析的重要研究对象，包括凸函数的基本性质、运算、连续性等。凸函数的研究结果已在许多领域得到了广泛应用，例如在不等式、泛函分析、最优理论、运筹学、控制论及数理经济等中。可以说，凸函数是一类非常重要的函数，在不等式中的研究尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。 凸性是一种几何性质，也是一种代数性质，函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上的整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图像，而且有助于对函数的定性分析。常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧度总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧度总在这两点连线下方的函数。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

下面我们先给出凸函数的一些定义：

定义1

[3] 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点12,x x 和实数(0,1)λ∈，

总有 1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- （1） 则称f 为I 上的凸函数。反之，则称为凹函数。

如上式中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数。 注1：容易证明，若f -为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，故只须讨论凸函数的性质即可。

下面给出凸函数的两个等价定义。

定义2[2] 设()f x 在区间[,]a b 上有定义，123,,[,]x x x a b ?∈，且123x x x <<，有

31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--3232

()()f x f x x x -≤- 成立，则称()f x 为凸函数。

定义3[2] 设()f x 在区间[,]a b 上有定义，123,,[,]x x x a b ?∈，且123x x x <<，有

1

12

23

31()1()01()

x f x x f x x f x ≥ 成立，则()f x 为[,]a b 上的凸函数。 为了从较高的起点来给出凸函数的定义，清晰地看出凸函数与凸性的联系，先给出凸集的两个定义。

定义4[4] 某集合称为凸集，是指连接该集合中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合中。

定义5[4] 设X 是一个线性空间，12,x x X ∈为任意两点，称

1212[,]{|(1),[0,1]}x x x X x x x λλλλλ=∈=+-∈

为连接12,x x 的闭线段。

定义6

[4] 设X 是一个线性空间，子集A X ?称为凸集，是指对12,x x A ?∈及[0,1]

λ∈有 12(1)x x A λλ+-∈或1212,,[,]x x A x x A ?∈?

定义7[4] 设:(,)f a b R →为定义在R 中的开区间(,):{|}a b x R a x b =∈<<上的实值函数，这里,a b 满足a b ∞≤<≤+∞-。则下列集合

2{(,)|(,),()}epif x R x a b f x αα=∈∈≤

称为函数的上图()epigraph 。

定义8[4] 如果函数:(,)f a b R →的上图epif 是凸集，则f 称为(,)a b 上的凸函数。 有了凸函数的定义，下面我们再给出它的一些性质：

性质1[1] 若()f x 为凹函数且()0f x >，n x R ?∈，则1()

f x 为凸函数；反之不成立，即若()0f x >为凸函数，1()

f x 不一定为凹函数。 证 根据假设，要证明

1()

f x 为凸函数，只要证明,n x y R ?∈，(0,1)λ∈，有 11((1))()()f x y f x f y λλλλ-≤++- （2） 事实上，因()0f x >为凹函数，故有

((1))()(1)()f x y f x f y λλλλ+-≤+- （3）

所以 11((1))()(1)()

f x y f x f y λλλλ≤+-+- 从而，要证明（2）只要证明

11()(1)()()()

f x f y f x f y λλλλ-≤++- （4） 即可，注意到22()()2()()f x f y f x f y +≥，可得（4）式显然成立，从而（2）式成立。这说明1()

f x 为凸函数。 另一方面，当()0f x >为凸函数时，

1()f x 不一定为凹函数，例如11():f x R R →，()x f x e -=0>为凸函数，但

1()f x x e =仍为凸函数。 性质2[1] 设()f x 为n R 上的凸函数，则()()(()|()|)g x f x f x f x =+亦为凸函数。

证 若n x R ?∈，()0f x >或()0f x <，则()g x 显然为凸函数。下面用凸函数的定义

证明本定理。

只要证明：,n

x y R ?∈，(0,1)λ∈，有 ((1))()(1)()g x y g x g y λλλλ+-≤+- （5）

分三种情况讨论：

（i ）当()0,()0f x f y ≤≤时，因()f x 为凸函数，故

((1))()(1)()0f x y f x f y λλλλ+-≤+-≤

此时，因()0,()0g x g y ==，则((1))0g x y λλ+-=，故（5）式成立。

（ii ）当()0,()0f x f y >>时，若((1))0f x y λλ+-≤，则（5）式显然成立。若((1))0f x y λλ+->，则有

2((1))2((1))g x y f x y λλλλ+-=+-

22(()(1)())f x f y λλ≤+-

222(()(1)())f x f y λλ≤+-

()(1)()g x g y λλ=+-，

从而（5）式成立。

（iii ）当()0,()0f x f y ≤>时，令()((1))f x y φλλλ=+-，从而有(0)0,(1)0φφ>≤。由凸函数的性质5、性质6及介值定理得，存在*

[0,1]λ∈使 ()0φλ≤，?*[,1]λλ∈； （6）

而 ()0φλ>，?*

[0,]λλ∈ （7）

当*[,1]λλ∈时，（5）式显然成立，当*[0,]λλ∈时， 0()((1))f x y φλλλ<=+- ()(1)()(1)()f x f y f y λλλ≤+-≤-

所以

22((1))2((1))2(1)()g x y f x y f y λλλλλ+-=+-≤-

22(1)()()(1)()f y g x g y λλλ≤-=+-

此时（5）式显然成立，这样无论哪种情况（5）式都成立，从而()g x 为凸函数。

性质3[8] 若()f x 在区间I ，对0k ?≠，则：

①0k >时，()kf x 在区间I 上为凸函数；

②0k <时，()kf x 在区间I 上为凹函数。

性质4[8] 若(),()f x g x 在区间I 上为凸函数，对12,k k R ?∈,则：

① 120,0k k >>时，12()()k f x k g x +为I 上的凸函数；

② 120,0k k <<时，12()()k f x k g x +为I 上的凹函数。

注2：性质4中有一个不为零时，即为性质3。

性质5[7] 设(),()f x g x 为(,)a b 上的凸函数，则()max{(),()}h x f x g x =也是凸函数。 证 利用凸函数的定义，设12,0λλ>，121λλ+=，则12,(,)x x a b ∈，有

11221122()()()f x x f x f x λλλλ+≤+1122()()h x h x λλ≤+

11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+1122()()h x h x λλ≤+

从而

1122112211221122()max{(),()}()()h x x f x x g x x h x h x λλλλλλλλ+=++≤+

即()h x 是凸函数。

性质6[2] 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数。

证 对?12,(,)x x a b ∈且?(0,1)λ∈，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增。故 1221[()()][()()]0f x f x g x g x --≤

即 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ （8） 又因()f x 与()g x 为[,]a b 上的凸函数，故

2121[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，

2121[(1)]()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+-

而()0f x ≥, ()0g x ≥,将上面两个不等式相乘,可得

2121[(1)][(1)]f x x g x x λλλλ+-+-