2017-2018学年上海市南模中学高二数学上开学考试题(含答案)
2023-2024学年上海南模中学高二上学期数学月考试卷及答案(2023.12)
1南模中学2023学年第一学期高二年级数学阶段考2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．在空间四边形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上依次取E 、F 、G 、H 四个中点，当对角线AC BD =时，四边形EFGH 是______形．2．课本必修第三册80页上介绍了“多面体的欧拉定理”：简单多面体的顶点数V 、棱数E 与面数F 之间具有关系：______3．在边长为3的正方体1111ABCD A B C D −中平面1AB C 与平面11A DC 之间的距离为 ． 4．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取______人．（第4题） （第7题）5．正三棱锥的底面边长为2 cm ，高为1 cm ，则此正三棱锥的侧面积为______cm 2． 6．某医院计划从甲、乙、丙3位男医生和A ，B ，C ，D 4位女医生中随机选派2位到某乡镇义诊，则这2位医生包括甲的概率为______．7．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点C ，D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．8．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，A （B 极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠2穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为______m 3．（第8题） （第9题）9．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D −中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的周长是______． 10．已知三棱锥P ABC −的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，PB 与平面PAC 所成的角为30°，则球O 的表面积为______．11．设函数()(1)1xf x ax x x =+>−，a 是从1，2，3三个数中任意取一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则()f x b >恒成立的概率是______．12．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=°，CH xCB = ，()101,01C yCB x y P =<≤≤≤．记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(),f x y③满足(),3f x y =的点P 有无数个；④当(),f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面______．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13．某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下面说法正确的是（）A．调查方式是普查B．样本是200个球根C．这批花只有196个球根发芽D．这批花约有2%的球根不发芽14．已知圆锥的底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的体积为（）AB．3227πC．169πD15．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c（a，b，c∈（0，1）），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（）A．方案一B．方案二C．相等D．无法比较16．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是（）A．54 B．108−C．162−D．81−34三、解答题17．面对某种新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为：15，14，13． （1）求这种疫苗能被研制出的概率；（2）求至多有一个机构研制出这种疫苗的概率．18．如图所示，正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中1O A ′′=． （1）画出原图形并求原图形的面积；（2）将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，说明该几何体是由我们学过的哪些简单几何体构成，并求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC 与正方形O A B C ′′′′的各点分别对应，如OB 对应直观图中的O B ′′）519．如图，已知长方体1111ABCD A B C D −，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 的动点，试确定F 的位置，使得AE ∥平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 的中点，求点A 到平面BDF 的距离．6参考答案一、填空题1.菱;2.2V F E +−=50; 5.278.2530π; 9.92; 10.12π； 11.5612.①②③④ 11．设函数()(1)1xf x ax x x =+>−，a 是从1，2，3三个数中任意取一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则()f x b >恒成立的概率是______． 【答案】56【解析】当1a =时，()111124111x f x x x x x x x =+=++=−++≥−−−， 当且仅当2x =时等号成立，则2,3b =满足题意； 当2a =时，()112212233111x f x x x x x x x =+=++=−++≥+−−−，当且仅当1x=+时等号成立，则2,3,4,5b =满足题意； 当3a =时，()113313344111x f x x x x x x x =+=++=−++≥−−−当且仅当1x =+时等号成立，则2,3,4,5b =满足题意； 由古典概型的概率公式得:105126P ==. 12．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=°，CH xCB = ，()101,01C yCB x y P =<≤≤≤．记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(),f x y③满足(),3f x y =的点P 有无数个；④当(),f x y 取最小时，过点A ，H ，P．其中所有正7确结论的序号是______．【答案】①②③④【解析】 直三棱柱111ABC A B C −中,11,90AB BB BC ABC ==∠= , 1,(01,01)剟?CH xCB CP yCB x y ==< ,1BB ∴⊥平面111A B C ,又11A B ⊂平面111111,A B C BB A B ∴⊥,11190,90ABC A B C ∠=∴∠= , 1111A B B C ∴⊥,1111111,BB B C B BB B C ∩=⊂、平面1111,BB C C A B ∴⊥平面11BB C C , 对于任意点H ,都存在点P ,使得平面AHP ⊥平面11A B P ,故命题①正确;将ABC ∆绕BC 翻折到平面1BB C 内,则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离,又11,AB BB BC ===190,90ABC B BC ∠=∠= ,112,AC CB AB ∴===∴点A 到直线1B C,()f x,y ∴,故②正确;当()f x,y 取最小值时,P 为1B C 的中点,1AB C ∆ 为等边三角形,点B 为线段1AB 的中点, H ∴为1AB C ∆的重心,13BH BC ∴=,在平面11BCC B 中,延长HP 11,,B C M 交于8111112,,,,3PC PB PB M PCH B PM HPC PB M PCH B M CH =∠=∠∠=∠∴∆≅∆∴== 取1B M 的中点为,Q N 为11A C 的中点,则MN 1A Q ,11//,,BH B Q BH B Q =∴ 四边形1BB QH 是平行四边形,11//,,HQ BB HQ BB ∴=11111/,,//,//,,,AA BB AA BB A Q AH MN AH A H P =∴∴∴ 过点的三棱柱的截面//,MN AH ∴∴过点,,A H P 的三棱柱的截面为梯形AHMN,AH112MN A Q ==MH =AN ==,过点M 作MG AH ⊥,设,HG x AG y ==,222MH HG AG =+ ,()222AN AG MN NG =−+,22243x y MH ∴+==,222x y =++,x y ∴=,∴四边形AHNM 的面积2MN AH S +=,AG ==∴过点,,A H P,故④正确;当HB 时,32…AH ,则12剟AH HP AH HB AH ++,过H 作HR BC ⊥,垂足为R , 则…AH HP AH HR ++,2,23…AH HR AH HC AH +<+<∴又对于任意的点H ,当HB 时,都存在对应的点P ,满足3AH HP +=,故满足()3f x,y =的点P 有无数个,故③正确. 故答案为:①②③④ 二、选择题13. D 14.A 15. A 16.C15．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c （a ，b ，c ∈（0，1）），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（ ） A ．方案一B ．方案二C ．相等D ．无法比较9【答案】A【解析】设三门考试课程考试通过的事件为A B C 、、,相应的概率为a b c 、、, 则考试三门课程,至少有两门及格的事件为,ABC ABC ABC ABC +++ 其概率()()()11112P ab c a b c a bc abc ab ac bc abc =−+−+−+=++− 设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为2P ,则2131313P ab ac bc =++, 结合121112333P P ab ac bc abc ab ac bc −=++−−++()()()()2222233333211103ab ac bc abc ab ac bc abc ab c ac b bc a =++−=++− =−+−+−>可得12P P >,即用方案一的概率大于用方案二的概率. 故选:A.16．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是（ ） A ．54B．108−C．162−D．81−【答案】C【解析】根据题意,如图,把魔方的中间一层转动了45 ,俯视图如图,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,由图形的对称性可知，A CD ∆′为等腰直角三角形, 设直角边为A C x ′=,则斜边为CD =,故(23AB x =+=,可得3x =−.10由几何关系得:2127324A CDS ′∆ =×−=−故所求面积27633161624S =××+×−′−故选C 三．解答题17.（1）35（2）5618．如图所示，正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中1O A ′′=． （1）画出原图形并求原图形的面积；（2）将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，说明该几何体是由我们学过的哪些简单几何体构成，并求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC 与正方形O A B C ′′′′的各点分别对应，如OB 对应直观图中的O B ′′）【答案】（1）1S =×（2）(218.V =π××=π【解析】(1)由正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图,其中1O A ′′=, 得到平面图形OABC ,四边形OABC 是平行四边形,1,OA OB ==如图, ∴原图形的面积1S =×(2)得到的几何体是一个组合体,其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥,另一侧又多出一个相同的圆锥,∴该几何体的表面积为:212S =π×+π×该几何体的体积为:(218.V =π××=π19．如图，已知长方体1111ABCD A B C D −，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所11成角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 的动点，试确定F 的位置，使得AE ∥平面1BC F ，并说明理由；（2）若F 为棱11A B 的中点，求点A 到平面BDF 的距离．【答案】（1）当11113B F B A =时,//AE 平面1AC F （2【解析】(1)当11113B F B A =时,//AE 平面1AC F ,证明如下: 延长AE 交CD 于点M ,因为AD ⊥平面11ABB A所以DBA ∠就是直线BD 与平面11ABB A 所成的角,即30DBA ∠= ,所以30AD ABtan == 由AE BD ⊥,所以30DAE ∠= ,2303DM ADtan ==, 在11C D 上取点N ,使得123D N =,连结MN ,1A N , 因为11113B F B A =,则11124,33B F A FC N ===,又11//A F C N ,所以11A FC N 是平行四边形, 则1111//,,//A N FCD N DM D N DM =,则1D NMD 是平行四边形, 所以1111////,MN DD AA MN DD AA ==所以1A AMN 是平行四边形,所以1//AM A N , 所以1//AM C F ,又AM ⊄平面11,BC F C F ⊂平面1BC F ,所以//AM 平面1BC F , 即//AE 平面1BC F;12 (2)因为122ABD S ==,所以113F ABD V −=×=,由长方体的性质可得，BF BD DF =,所以222BF FD BD +=, 所以BF DF ⊥,所以12BDF S ∆=设点A 到平面BDF 的距离为h ,则由A BDF F ABD V V −−=可得,13×所以h =,故点A 到平面BDF;。
2017-2018年上海南模中学高三下数学三模
二. 选择题 13. 下列四个命题中真命题是（ ）
A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行 B. 底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱 C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个
14. 已知光线沿向量 a md pn（ mp 0 ，m R， p R）照射，遇到直线 l 后反射，其
1（ a 1， a b 0 ），曲线 C2
:|
y || x | 1， P 是平
面上一点，若存在过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点，则称 P 为“ C1 C2 型点”.
（1）若 a 2 ， b 1 时，判断 C1 的左焦点 F1 是否为“ C1 C2 型点”，并说明理由；
（2）设直线 y kx 与 C2 有公共点，求证| k | 1 ，进而证明原点不是“ C1 C2 型点”；
4x 1
2
x y 5 0
5.
已知实数 x 、
y
满足条件
x
y
0
， z x yi （ i 为虚数单位），则| z 7 3i | 的
x 3
最小值是
6. 已知等差数列{an} 的各项均为正整数，且 a8 2018 ，则 a1 的最小值是
7. 已知点 P(t, 5) （ t 0 ）是角 其终边上一点，若 cos 2 t ，则 sin 4
B. ( e, 1 ) e
C. ( 1 , e) e
D. (, e)
三. 解答题
17. 已知 ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 对边，且 sin AcosC cos Asin C
若b
7
， ABC 的面积 SABC
3 4Leabharlann 3.（1）求 ABC 的外接圆半径 R 的值；（2）求 a c 的值.
2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高三(上)10月月考数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高三（上）10月月考数学试卷一、填空题1．若α是第四象限角，则所在是象限是第象限．2．已知集合A={x|k，k∈Z}，B={x|4﹣x2≥0}，则A∩B=．3．函数y=的值域为．4．已知tanα=2，则sinαcos2α=．5．函数f （x）=的单调递增区间为．6．f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．7．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=，B=45°，，求角A：“经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件补充完整．8．函数f（x）=，f（x）max=M，f（x）min=m，则M+m=．9．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，若f（x）≥log2t对x∈R恒成立，则t 的取值范围为．10．设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．11．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．12．关于x的方程=|sin|在[﹣2016，2016]上解的个数为．二、选择题13．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）14．把y=（cos2x﹣sin2x）的图象平移后得到y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位15．函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx （﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．816．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|三、解答题17．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．18．设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小周期；（2）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x）．求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．19．如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）20．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的外面种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用a，θ表示S1和S2；（2）当a固定，θ变化时，求取最小值时的角．21．已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2﹣（4）x+1，（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．（2）当f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）时，g（x）在A上是单调递增函数，求θ的取值范围．（3）当f（x）=a1sin（ωx+φ1）+a2sin（ωx+φ2）+…+a n sin（ωx+φn）时，（其中a i∈R，i=1，2，3…n，ω＞0），若f2（0）+f2（）≠0，且函数f（x）的图象关于点（，0）对称，在x=π处取得最小值，试探讨ω应该满足的条件．2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．若α是第四象限角，则所在是象限是第一或三象限．【分析】用不等式表示第四象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．解：∵α是第四象限角，∴+2kπ＜α＜2π+2kπ，k∈Z，∴+kπ＜＜π+kπ，k∈Z，∴+kπ＜﹣＜+kπ，k∈Z，当k为偶数时，属于第一象限，当k为奇数时，属于第三象限，故答案为：一或三【点评】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限．2．已知集合A={x|k，k∈Z}，B={x|4﹣x2≥0}，则A∩B={x|﹣2≤x＜﹣或≤x＜} ．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A={x|k，k∈Z}，B={x|4﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={x|﹣2≤x＜﹣或≤x＜}．故答案为：{x|﹣2≤x＜﹣或≤x＜}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．函数y=的值域为[，2] ．【分析】把已知函数解析式变形，分离常数，可得y=，由cosx的范围得答案．解：y==．∵﹣1≤cosx≤1，∴2≤cosx+3≤4，∴[]，则∈[，2]．故答案为：[，2]．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用分离参数法求解函数值域，是中档题．4．已知tanα=2，则sinαcos2α=±．【分析】根据同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，分类讨论求得要求式子的值．解：∵tanα==2，∴α为第一象限角或α为第三象限角，再根据sin2α+cos2α=1，若α为第一象限角，则sinα=，cosα=，则sinαcos2α=•=．若α为第三象限角，则sinα=﹣，cosα=﹣，则sinαcos2α=﹣•=﹣，故答案为：±．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．5．函数 f （x）=的单调递增区间为，k∈Z．【分析】利用复合函数的单调性的规律：同增异减将原函数的单调性转化为t的单调性，利用三角函数的单调性的处理方法：整体数学求出单调区间．解：∵y=log0.5t为减函数，所以函数f （x）=的单调递增区间为即为单调减区间且令解得故答案为（k∈Z）【点评】本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法．6．f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．【分析】由题意可得可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω的最大值．解：∵f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查求正弦函数的单调性，属于基础题．7．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=，B=45°，c=，求角A：“经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件补充完整．【分析】先把A=60°当做已知条件根据正弦定理计算出b，c，然后把b，c当做已知条件利用正弦定理解出A进行验证．解：∵A=60°，B=45°，∴C=75°．由正弦定理得，即，解得b=，c=．若条件为b=，则由正弦定理得，解得sinA=，∴A=60°或A=120°，答案不唯一，不符合题意．故答案为：c=．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，属于中档题．8．函数f（x）=，f（x）max=M，f（x）min=m，则M+m=2．【分析】利用分离法化简f（x），构造函数g（x），讨论g（x）的奇偶性，求解最值，即可求解M+m的值．解：函数f（x）==1+，令函数g（x）=的最大值为N，最小值为n，那么f（x）max=1+N=M，f（x）min=1+n=m，∵g（﹣x）=﹣=﹣g（x），则函数g（x）是奇函数，∴n+N=0．则M+m=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据分离后构造新函数，求解最值是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，若f（x）≥log2t对x∈R恒成立，则t 的取值范围为（0，1] ．【分析】先化简函数解析式，f（x）≥log2t恒成立，只需求出f（x）的最小值大于log2t，求出t的范围即可．解：f（x）=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，函数f（x）=sin（2x﹣）+1的最小值为：0，若f（x）≥log2t恒成立，只需0≥log2t恒成立，所以t∈（0，1]．所以t的取值范围：（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质，三角函数的化简，恒成立问题的应用，考查计算能力，逻辑推理能力，属于常考题型、基本知识的考查．10．设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．11．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．12．关于x的方程=|sin|在[﹣2016，2016]上解的个数为4031．【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．解：y==，作函数y=与y=|sinπx|在[﹣2016，2016]上的图象如下，由图象知函数y=|sin|的周期是2，两个函数都关于x=1对称，当x≤0时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在[﹣2016，0]内有1008×2=2016个交点，在[0，2]内两个函数只有一个交点，当x≥2时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在[2，2016]内有1007×2=2014个交点，则在[﹣2016，2016]上解的个数为2016+1+2014=4031，故答案为：4031【点评】本题主要考查方程根式的个数的求解，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、选择题13．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．14．把y=（cos2x﹣sin2x）的图象平移后得到y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【分析】化函数y为正弦型函数，再根据函数图象平移法则得出答案．解：函数y=（cos2x﹣sin2x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+）=sin2（x+），把函数y=（cos2x﹣sin2x）的图象向右平移个单位后得到y=sin2x的图象．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的图象平移问题，也考查了三角恒等变换问题，是中档题．15．函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx （﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx 的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．16．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．三、解答题17．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18．设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小周期；（2）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x）．求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．（2）当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x）．在讨论x∈[，0]时，g（x）的解析式，在函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+sin2x化简可得：f（x）=（cos2xcos﹣sin2xsin+sin2x）=cos2x﹣sin2x cos2x=﹣sin2x∴函数f（x）的最小周期T=；（2）当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x）．即g（x）=（sin2x）=sin2x．当x∈[﹣，0]时，由于g（x+）=g（x），则（x+）∈[0，]那么：g（x）=sin2（x+）=sin2x．当x∈[﹣π，﹣]时，则（x+π）∈[0，]可得：g（x）=sin2（x+π）=sin2x．∴函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式为f（x）=【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，以及分段函数的解析式的求法．利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．19．如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）【分析】（1）利用正弦定理，即可求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，由余弦定理求无人机到丙船的距离．解：（1）在△APB中，由正弦定理，得，，在△BPC中，由正弦定理，得，又，sin∠ABP=sin∠CBP，故．即无人机到甲、丙两船的距离之比为．（2）由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，由（1），可设AP=2x，则CP=3x，在△APC中，由余弦定理，得160000=（2x）2+（3x）2﹣2（2x）（3x）cos120°，解得，即无人机到丙船的距离为≈275米．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．20．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的外面种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用a，θ表示S1和S2；（2）当a固定，θ变化时，求取最小值时的角．【分析】（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；（2）由比值称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，设正方形的边长为x则，由BP+AP=AB，得，故所以（2），令t=sin2θ，因为，所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]所以，，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此当t=1时g（t）有最小值，此时所以当时，“规划合理度”最小，最小值为．【点评】考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．21．已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2﹣（4）x+1，（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．（2）当f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）时，g（x）在A上是单调递增函数，求θ的取值范围．（3）当f（x）=a1sin（ωx+φ1）+a2sin（ωx+φ2）+…+a n sin（ωx+φn）时，（其中a i∈R，i=1，2，3…n，ω＞0），若f2（0）+f2（）≠0，且函数f（x）的图象关于点（，0）对称，在x=π处取得最小值，试探讨ω应该满足的条件．【分析】（1）根据函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，可得sin（x+φ）=sin（﹣x+φ），化简为cosφ=0，可得φ的值．（2）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+α）∈[﹣，]，可得A，再根据g（x）的解析式结合题意可得tanθ≤﹣，由此可得θ的取值范围．（3）由于f（x）的解析式以及f2（0）+f2（）≠0，可得f（x）=msinωx+ncosωx=sin（ωx+φ），且m2+n2≠0．由函数f（x）的图象关于点（，0）对称，可得ω+φ=kπ，k∈z ①．又函数f（x）在x=π处取得最小值，可得ωπ+φ=2k′π+，k′∈z ②．由①②可得ω 满足的条件．解：（1）因为函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，所以，sin（x+φ）=sin（﹣x+φ），化简为2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+，k∈z．（2）∵函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）=sin2x+2cos2x=sin（2x+α）∈[﹣，]，其中，sinα=，cosα=，所以A=[﹣，]．g（x）=x2﹣（4tanθ）x+1=+1﹣28tan2θ，由题意可知：2tanθ≤﹣，tanθ≤﹣，∴kπ﹣≤θ≤kπ﹣arctan，k∈z，即θ的取值范围是[kπ﹣，kπ﹣arctan]，k∈z．（3）由于f（x）=a1sin（ωx+φ1）+a2sin（ωx+φ2）+…+a n sin（ωx+φn）=a1（sinωxcosφ1 +cosωxsinφ1）+a2（sinωxcosφ2 +cosωxsinφ2）+…+a n（sinωxcosφn+cosωxsinφn）=sinωx （a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+a n•cosφn）+cosωx（a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+a n•sinφn）．∵f2（0）+f2（）≠0，∴a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+a n•cosφn =0与a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+a n•sinφn =0 不能同时成立．不妨设a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+a n•cosφn =m，a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+a n•sinφn =n，则f（x）=msinωx+ncosωx==sin（ωx+φ），且m2+n2≠0．由函数f（x）的图象关于点（，0）对称，可得sin（ω+φ）=0，故ω+φ=kπ，k∈z ①．又函数f（x）在x=π处取得最小值，∴sin（ωπ+φ）=﹣1，∴ωπ+φ=2k′π+，k′∈z ②．由①②可得，ω=（4k′﹣2k）+3．由于k和k′都是整数，故4k′﹣2k为偶数，∴ω=2h+1，h∈N．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换和化简求值，复合三角函数的单调性和对称性，属于中档题．。
上海市南模中学2019-2020学年高二数学上学期9月考试卷附答案解析
y f (x)
7
y 2sin 2x
__________.
k
,
2
k
,k
z
,
,
, 2sin 2x 0 , sin 2x 0 ,
y sin x 0 x 2k , 2k k z ,
x f 1( y)
x, y
.
5
2k 2x 2k k z , k x k ,k z
2
y 2sin 2x
ABC
A
B
C
D
B
AB BC AC
AB AC 0
.
AB
BC
AB
2
AB
AB BC
AB
AC
0
AB
AC
ABC
B
A 90
4
1
.
ABCDEF A d1, d2, d3, d4, d5 . m, M
a1,a2, a3, a4,a5
D
(ai a j ak ) (dr ds dt )
Sn
Sn OA1 An An1
an
2
OAn1
.
OA1An1 n N *
S OA1An1
3
cn
bn an
2
n
cn
.
OA1 i j
.
bn
bn
21
[0, )
f x
y f x (ax b)
[0, )
;
p
(0, p]
g x ax b
f x “
”.
1
g
x
1 2100
x
f x 0.5 x 2 “
,
q
1 8
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2017-2018年上海市杨浦区中考三模数学试卷及答案
上海市杨浦区2017-2018年中考三模数学试卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）5.8 考生注意：1．本试卷含三个大题，共 25 题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】1．点A 是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）（A ）点A 表示的数一定是整数； （B ）点A 表示的数一定是分数； （C ）点A 表示的数一定是有理数； （D ）点A 表示的数可能是无理数． 2．下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ）（A ）21011xx x++=--； （B 1x -； （C ）210x x --=； （D ）210x x -+=．3．某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取 30 名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（如图），学生仰卧起坐次数在 25～30 之间的频率为（ ） （A ）0.1；（B ）0.4；（C ）0.33； （D ）0.17．4．将抛物线22y x =-平移到抛物线222y x x =+-的位置，以下描述正确的是（ ）（A ）向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位； （B ）向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位； （C ）向左平移 1 个单位，向下平移 1 个单位； （D ）向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位． 5．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ） （A ）菱形；（B ）梯形；（C ）正三角形；（D ）正五边形． 6．下列条件一定能推得△ABC 与△DEF 全等的是（ ） （A ）在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠B ，∠D =∠E ，AB =DE ； （B ）在△ABC 和△DEF 中，AB =AC ，∠A =∠F ， FD =FE ；（C ）在△ABC 和△DEF 中，1AB DEBC EF ==，∠B =∠E ； （D ）在△ABC 和△DEF 中，1AB BCDE EF==，∠B =∠E ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7= ．8．方程x =的解是 ． 9．如果反比例函数1ky x-=的图像在第二、四象限，那么k 的取值范围是 ．10．函数y kx b =+的大致图像如图所示，则当 x < 0 时，y 的取值范围是 ．11．黄老师在数学课上给出了6道习题，要求每位同学独立完成．则这些同学平均答对 道题．12．从分别标有 1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是 ．13．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 为AB 边上中，如果AB a = ，CD b =，那么CA =（用,a b表示）．14．如果人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，那么该斜坡的坡度是 ．15．如图，△ABC 中，∠A =80，∠B =40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，联结DC ．如果AD =2，BD =6，那么△ADC 的周长为 ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠B =30°，BC =10，以A 为圆心画圆，如果⊙A 与直线 BC 相切，那么⊙A 的半径长为 ．17．如果将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“反称点”，那么点（a ，b ）也是点（-b ，-a ）的“反称点”，此时，称点（a ，b ）和点（-b ，-a ）是互为“反称点”．容易发现，互为“反称点”的两点有时是重合的，例如（0，0）的“反称点”还是（0，0）．请再写出一个这样的点： ． 18．如图，在菱形 ABCD 中，AB =a ，∠ABC =α．将菱形 ABCD 绕点B 顺时针旋转（旋转角小于90°），点 A 、C 、D 分别落在 A ’、C ’、D ’处，当 A ’C ’⊥BC 时 A ’D = （用含a 和α的代数式表示）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：2223231,11211x x x x x x x x ---÷+=-+++．20．（本题满分10分）解不等式组：2(3)3,52,32x xx x-+≤⎧⎪+⎨<+⎪⎩且写出使不等式组成立的所有整数．21．（本题满分10分）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示，根据图像所提供的信息解答问题：（1）他们在进行米的长跑训练，在0＜x＜15的时段内，速度较快的人是；（2）求甲距终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式；（3）当x=15时，两人相距多少米？（4）在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．22．（本题满分10分）如图，已知：⊙O是△ABC的外接圆，半径长为5，点D、E分别是边AB和边AC的中点，AB=AC，BC=6．求∠OED的正切值．23．（本题满分12分，其中第（1）小题7分，第（2）小题小题5分）梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，CE⊥AB于点E，点F在边CD上，且⋅=⋅．BE CE BC CF（1）求证：AE CF BE DF⋅=⋅；（2）若点E为AB中点，求证：22⋅=-．AD BC EC BC224．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）直线6=-过点A（1，－4），与x轴交于点B，与y轴交于点D，以点y kxA为顶点的抛物线经过点B，且交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P在x轴上，且△ACD与△PBC相似，求点P的坐标；（3）如果直线l与直线6y kx=-关于直线BC对称，求直线l的表达式．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=2，sin B=3．过点在∠BCD的内5部作射线交射线BA于点E，使得∠DCE＝∠B．（1）如图1，当ABCD为等腰梯形时，求AB的长；（2）当点E与点A重合时（如图 2），求AB的长；（3）当△BCE为直角三角形时，求AB的长．2017-2018 年杨浦区初三模拟测试数学试卷答案与评分标准 5.8 一、选择题1、D ；2、C ；3、B ；4、C ；5、A ；6、D ； 二、填空题7、 ；8、x =2；9、k >1 ；10、y <1；11、4.5；12、23；13、12b a - ；14、15、14；1617、（3，-3）；18、2cos 2a a α-；19、解:原式=23(1)1(1)(1)(3)(1)1x x x x x x x -+⋅++--++-------------------------------------（6 分） =112=111x x x +-+------------------------------------------------------------（2 分）当1x =时，原式（2 分） 20、解：263,210312,x x x x -+≤⎧⎨+<+⎩---------------------------------------------------------------------（2 分）39,2,x x ≤⎧⎨-<⎩-----------------------------------------------------------------------------------（2 分）得3,2,x x ≤⎧⎨>⎩---------------------------------------------------------------------------------（2 分） ∴不等式组的解集是－2＜x ≤3．-----------------------------------------------------（2 分） 使不等式组成立的所有整数是-1、0、1、2、3．----------------------------------（2 分） 21、解：（1）5000-------------------------------------------------------------------------------------（1 分）甲-------------------------------------------------------------------------------------（1 分） （2）设所求直线的解析式为：y =kx +5000，-----------------------------------------（1 分）由图象可知：当 x =20 时，y =0， ∴0=20k +5000，解得 k = -250.--------------------------------------------------（1 分）即 y = -250x +5000------------------------------------------------------------------（1 分）（3）当 x =15 时，y = -250x +5000= -250×15+5000=5000-3750=1250.------------（2 分）两人相距： 2000-1250=750（米）.----------------------------------------------（1 分） （4）两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分） ---------------------------------（2 分）22、解：联结 AO 并延长交 BC 于点 H ，联结 OC ，∵AB=AC ，∴ AB AC =，∵O 为圆心，∴AH ⊥BC ，BH=HC ，---------------------------------------------------------------(2 分)∴HC=3，∵半径 OC=5，∴OH=4，AH=9，------------------------------------------（2 分） ∴在 Rt △AHC 中，tan ∠HAC=3193HC AH ==，即 tan ∠OAE=13---------------（2 分）∵D 、E 分别是边AB 和边AC 的中点，∴DE//BC ，∴AH ⊥DE ，∴∠OAE+∠AED=90°，∵E 是边AC 的中点，O 为圆心，∴OE ⊥AC ，∴∠AED+∠OED=90°， ∴∠OAE=∠OED ，--------------------------------------------------------------------------（2 分） ∴tan ∠OED= tan ∠OAE=13----------------------------------------------------------------（2 分）23、证明：（1）∵CE ⊥AB ，∴∠B+∠BCE=90°，∵DC ⊥BC ，∴∠DCE+∠BCE=90°，∴∠B=∠DCE ，-----------（2 分）∵ BE CE BC CF ⋅=⋅ ，∴BF CFBC CE=，∴△BCE ∽△CEF ，------(2 分)∴∠BCE=∠CEF ，------------------------------------------------------------(1 分)∴EF//BC ，----------------------------------------------------------------------(1 分)∴AE DFBE CF=，即AE CF BE DF ⋅=⋅ 。
(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。
从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。
若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A） （B） （C） （D） 14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
2017-2018年上海市南模中学高三下3月月考数学试卷及答案
2018年南模中学高三下3月月考试卷一、填空题（第1到6题，每题4分，第7到12题，每题5分） 1、若复数iia 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数=a 2、若直线⎩⎨⎧+=-=ty tx 3221（t 为参数）的方向向量与直线14=+ky x 的法向量平行，则常数=k3、一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为4、若存在非负整数x 使122<xm xx成立，则实数m 的取值范围是 5、在8张奖券中有一、二、三等奖券各一张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人两张，不同的分配奖券情况有 种6、设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+403012235y x y x y x ，目标函数y x z 56+=的最大值等于7、长方体1111D C B A ABCD -内接于球O ，且2==BC AB ，221=AA ，则B A ,两点之间的球面距离为8、已知x 是1、2、x 、4、5五个数据的中位数，又知1-、5、x1-、y 这四个数据的平均数为3，则y x +的最小值为 9、函数()13sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 在区间[)b a ,内恰有30个零点，则a b -的取值范围是 10、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项和按如下规律排列：1121231234121,,,,,,,,,,....,,,...,,...2334445555n n n n- 有如下运算和结论：①8324=a ； ②数列,...,,,10987654321a a a a a a a a a a ++++++是等比数列；③数列,...,,,10987654321a a a a a a a a a a ++++++的前n 项和42nn T n +=；④若存在正整数k ，使10<k S ，101≥+k S ，则75=k a 其中正确的结论有 （写出所有正确结论的编号）11、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=1,21,32x x x x x x x f ，设R a ∈，若关于x 的不等式()a x x f +≥2在R 上恒成立，则a 的取值范围是12、已知两个不相等的非零向量→→b a ,，两组向量→→→→→54321,,,,x x x x x 和→→→→→54321,,,,y y y y y 均由2个→a 和3个→b 排列而成，记→→→→→→→→→→⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=5544332211y x y x y x y x y x S ，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）①S 有5个不同的值；②若→→⊥b a ，则min S 与→a 无关；③若→→b a //，则min S 与→b 无关；④若→→>a b 4，则0min >S ；⑤若→→=a b 2，2min 8→=a S ，则→a 与→b 的夹角为4π。
2017-2018学年高二上(实验班)9月月考数学试题含解析
环，
, ，第三次进入循环，
, ，第二次进入循 , ，第四次进入
循环，
, 退出循环，输出
,故选 B.
考点：循环结构 6. 当 x＝5，y＝－20时，下面程序运行后输出的结果为( )
A. 22，－22 B. 22,22 C. 12，－12 D. －12,12
【答案】所以两个圆的位置关系
值．若
则由
，得， 或 1；若
由
，得， ；若 ，则
由 ，得，
，不合 题意．综上知，这样的 值有 3 个，故选 C．
考点：程序框图
10. 在平面直角坐标系 xOy中，M 为不等式组：2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0，所表
示的区域上一动点，则直线 OM斜率的最小值为( )
【答案】C
【解析】因为
，
，
，所以两个圆的位置关系
是外切，应选答案 A。
A.2
B.1 C.
D.
11. 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如上图所示，从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此，选 C 【考点定位】本小题知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可 以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的，因此对数学的理解很大程度上限制 了考生的分数。当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发。由于目的是使平均 产量最高，就需要随着 n 地增大， 变化超过平均值的加入，随着 n 增大， 变化不足平 均值的舍去。 12. 计算机中常用的十六进制是逢 16进 1 的计数制，采用数字 0～9 和字母 A～F 共 16个 计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表： 十六 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2017-2018学年上海市南模中学高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年上海市南模中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．（3分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=．3．（3分）设α：x≥2或x≤﹣5，β：x≥﹣2m+1或x≤2m﹣3，m∈R，α是β的充分非必要条件，则m的取值范围为．4．（3分）函数y=的定义域是．5．（3分）函数，，f（x）•g（x）=．6．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=20，则xy的最大值是．7．（3分）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为．8．（3分）已知关于x的不等式≤0解集为∅，则实数k的取值范围是．9．（3分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为．10．（3分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=．11．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=．12．（3分）已知命题P：方程x2+4x+m﹣1=0有两个不等的负根；命题q：方程4x2+4x+m﹣2=0无实根．若P、q两命题中一真一假，则m的取值范围是．二、选择题：13．（3分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件14．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．15．（3分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数16．（3分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16三、解答题：17．已知关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|＜1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=P，求正数a的取值范围．18．已知函数f（x）=x2+（a+1）x+|a+2|（a∈R）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）若h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20．已知函数（1）当a=0，b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞k（k∈R）（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．21．已知函数f（x）=（a、b是非零实常数）满足f（1）=，且关于x的方程f（x）=x的解集中恰有一个元素．（1）求a、b的值；（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值；（3）当时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市南模中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（3分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．【分析】由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．3．（3分）设α：x≥2或x≤﹣5，β：x≥﹣2m+1或x≤2m﹣3，m∈R，α是β的充分非必要条件，则m的取值范围为[﹣0.5，+∞）．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．【解答】解：若α是β的充分非必要条件，则，即，即，即m≥﹣0.5，即实数m的取值范围是[﹣0.5，+∞），故答案为：[﹣0.5，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系进行转化是解决本题的关键．4．（3分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．5．（3分）函数，，f（x）•g（x）=x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．【分析】求出f（x）和g（x）的定义域即可得出f（x）g（x）的定义域，从而得出结论．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴f（x）g（x）的定义域为{x|x≠﹣3且x≠0}．∴f（x）g（x）==x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．故答案为：x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．【点评】本题考查了函数的定义域，属于基础题．6．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=20，则xy的最大值是50．【分析】由基本不等式可得x+2y≥2，解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y=20，由x+2y≥2，可得20≥2，则xy≤50，当且仅当x=2y=10时，取得等号，即xy的最大值为50．故答案为：50．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．7．（3分）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为4．【分析】不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．【解答】解：∵不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，∴16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．则f（x）=a+4+≥a+4+=a+4+4．当且仅当取等号．∴，解得a=4．因此正实数a的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．8．（3分）已知关于x的不等式≤0解集为∅，则实数k的取值范围是0≤k＜4．【分析】问题转化为kx2﹣kx+1≤0解集为∅，分类讨论结合二次函数的性质可得．【解答】解：∵x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，∴不等式≤0等价于kx2﹣kx+1≤0，当k=0时，kx2﹣kx+1≤0可化为1≤0，解集为∅，当k≠0时，可得，解得0＜k＜4，综合可得k的取值范围为0≤k＜4故答案为：0≤k＜4．【点评】本题考查分式不等式的解集，涉及恒成立问题，属基础题．9．（3分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为[﹣1，1] ．【分析】分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x﹣2）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以原不等式的解集为[﹣1，0]；当x＞0时，f（x）=﹣x+2，代入不等式得：﹣x+2≥x2，即（x+2）（x﹣1）≤0，解得﹣2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上，原不等式的解集为[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]【点评】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题．10．（3分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=﹣7．【分析】根据f（x）为定义在R上的奇函数则f（0）=0求出b的值，然后根据奇函数得到f（﹣2）=﹣f（2）代入解析式可求出所求．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），f（0）=1+b=0，b=﹣1．∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣22﹣4﹣（﹣1）=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数求值，属于基础题．11．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=x2﹣2|x| ．【分析】由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x，结合函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）可求x＞0时的函数的表达式，进而可求函数g（x）【解答】解：由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x由函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）当x＞0时，则﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，则g（x）=x2﹣2x∴g（x）=x2﹣2|x|故答案为：x2﹣2|x|【点评】本题以新定义为切入点，主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于函数知识的综合应用12．（3分）已知命题P：方程x2+4x+m﹣1=0有两个不等的负根；命题q：方程4x2+4x+m﹣2=0无实根．若P、q两命题中一真一假，则m的取值范围是（1，3]∪[5，+∞）．【分析】根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．【解答】解：若方程2+4x+m﹣1=0有两不等的负根，则，即解得m＜1；即命题p：m＜1，…（4分）若方程4x2+4x+m﹣2=0无实根，则△=16﹣16（m﹣2）=48﹣16m＜0，解得：m＞3．即命题q：m＞3…（8分）由题意知，命题p、q一真一假，即命题p为真，命题q为假时，，得m＜1，若命题p为假，命题q为真．则，得m＞3，综上：m＞3或m＜1．…（14分）【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．答题：maths老师二、选择题：13．（3分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M当N⊆M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．14．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D．【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．15．（3分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键．16．（3分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜A对应的表达式，将方程组联解，可以求出C、A 的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16从而c=15=60故选：D．【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．三、解答题：17．已知关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|＜1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=P，求正数a的取值范围．【分析】（1）根据题意，当a=3时，不等式可以变形为（x﹣3）（x+1）≤0且x+1≠0，解可得其解集，即可得P；（2）根据题意，解|x﹣1|＜1可得集合Q，解可得集合P，又由P∪Q=P，分析可得Q⊆P，由集合间的包含关系，分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若a=3，则有≥0⇒（x﹣3）（x+1）≤0且x+1≠0，解可得﹣1＜x≤3，即不等式的解集为（﹣1，3]，即P=（﹣1，3]；（2）|x﹣1|＜1⇒﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2，则Q=（0，2）；⇒（x﹣a）（x+1）≤0且x+1≠0，又由a＞0，⇒﹣1＜x≤a，即P=（﹣1，a]；若P∪Q=P，则Q⊆P，必有a≥2，即a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查其他不等式的解法，涉及集合间包含关系的判定，属于基础题．18．已知函数f（x）=x2+（a+1）x+|a+2|（a∈R）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）若h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1），由题意可得f（x）=g（x）+h（x）=x2+（a+1）x+|a+2|，①，f（﹣x）=g（x）+h（x）=x2﹣（a+1）x+|a+2|，②，由①②解得即可，（2）需要分类讨论，根据△≤0，即可求出a的范围【解答】解：（1）f（x）=g（x）+h（x）=x2+（a+1）x+|a+2|，①，f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x）=﹣g（x）+h（x）=x2﹣（a+1）x+|a+2|，②，由①+②可得h（x）=x2+|a+2|，由①﹣②可得g（x）=（a+1）x，（2）∵h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，∴x2+|a+2|≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，当a≥﹣2时，则x2+a+2≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，即x2﹣（a+1）x+a+2≥0对于任意的x∈R 恒成立，∴△=（a+1）2﹣4（a+2）≤0解得1﹣2≤a≤1+2，当a＜﹣2时，则x2﹣a﹣2≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，即x2﹣（a+1）x﹣a﹣2≥0对于任意的x∈R 恒成立，∴△=（a+1）2+4（a+2）≤0解得a=﹣3，综上所述a的取值范围为．【点评】本题考查函数解析式的求解，不等式恒成立的问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20．已知函数（1）当a=0，b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞k（k∈R）（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）讨论k＞0，k=0，k＜0，解不等式即可得到所求解集；（2）讨论当a=0，b≠0时，当a≠0，b=0时，当a=0，b=0时，当a≠0且b≠0时，判断函数的奇偶性即可得到．【解答】解：（1）当a=0，b=1时，f（x）=，当k＞0时，即＞k，解得；当k=0时，x∈（0，+∞）；当k＜0时，；（2）当a=0，b≠0时，f（x）=为奇函数；当a≠0，b=0时，f（x）=ax2为偶函数；当a=0且b=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数；当a≠0且b≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．【点评】本题考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a、b是非零实常数）满足f（1）=，且关于x的方程f（x）=x的解集中恰有一个元素．（1）求a、b的值；（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值；（3）当时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）依题意，a+b=2，由x（）=0有且仅有一个实数解x=0可求得b=1，a=1；（2）由（1）知，P（x，），从而可得|AP|2=（+1）2+[（x+1）﹣1]2，通过换元，令t=，得|AP|2═（t﹣）2+2（t﹣）+4，再令r=t﹣，通过配方即可求得|AP|的最小值；（3）依题意，x∈（，]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立⇔（1+m）x＞m2﹣1恒成立，通过对m+1＞0与m+1＜0的讨论，结合函数恒成立问题即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，且f（1）=，∴=，即a+b=2；又f（x）=x有且仅有一个实数解，∴x（）=0有且仅有一个实数解，为0．∴b=1，a=1．∴f（x）=．（2）由（1）知，P（x，），|AP|2=（﹣2）2+x2=（）2+x2=（+1）2+[（x+1）﹣1]2，令t=，则|AP|2=t2+2t+1+（）2﹣+1=（t﹣）2+2（t﹣）+4，令r=t﹣，则|AP|2=r2+2r+4=（r+1）2+3，∴当r=﹣1，即t﹣=﹣1，t=时，|AP|的最小值为．（3）∵x∈（，]，∴x+1＞＞0，∴（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立⇔x＞m（m﹣x）﹣1恒成立⇔（1+m）x＞m2﹣1，当m+1＞0，即m＞﹣1时，有m﹣1＜x恒成立⇔m＜x+1⇔m＜（x+1）min，∴﹣1＜m≤；当m+1＜0，即m＜﹣1时，同理可得m＞（x+1）max=，∴此时m不存在．综上得﹣1＜m≤．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查方程思想、分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查换元法与配方法，考查推理与运算能力，属于难题．。
上海市西南模范中学2018-2019学年高二数学理上学期期末试题含解析
上海市西南模范中学2018-2019学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数满足（是虚数单位)，则的共轭复数为（）A．B． C． D．参考答案：C2. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为4，则圆的半径为A．2 B． C．3D．参考答案：B略3. 命题：“”，则A．是假命题；：B．是真命题；：C．是真命题；：D．是假命题；：参考答案：D4. 已知a n+1 －a n －3=0，那么数列{a n}是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列参考答案：A5. 设，且，则下列结论中正确的是（）A. B. C.D.参考答案：A6. 一元二次方程x2-mx+4=0有实数解的条件是（）A.-4＜m＜4B.-4≤m≤4C.m＜-4或m＞4D.m≤-4或m≥4参考答案：D略7. 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A. 108cm3B. 100cm3C. 92cm3D. 84cm3参考答案：B试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．考点：由三视图求面积、体积．8. 已知函数，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件的事件为A，则事件A发生的概率为( )A. B. C. D.参考答案：C略9. 阅读下图中的算法，其功能是( )．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值 D．输出a，b，c中的最小值参考答案：D10. 设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f′（x）＞g′（x），则当a＜x＜b时有（）A．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）B．f（x）＜g（x）C．f（x）＞g（x）D．f （x）+g（b）＞g（x）+f（b）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），研究F（x）在给定的区间[a，b]上的单调性，F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数从而F（x）＞F （a），整理后得到答案．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），∵在[a，b]上f'（x）＞g'（x），F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＞0，∴F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数．∴当x＞a时，F（x）＞F（a），即f（x）﹣g（x）＞f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知两直线的方向向量分别为，，若两直线平行，则m=________．参考答案：±2【分析】根据题意可得出，从而得出m2﹣4＝0，解出m即可．【详解】∵；∴m2﹣4＝0；∴m＝±2．故答案为：±2．【点睛】考查直线的方向向量的概念，以及平行向量的坐标关系．12. 已知函数，函数(a>0)，若存在，使得成立，则实数的取值范围是。
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南模中学高二开学考
2017.9
一. 填空题
1. 平面向量(1,2)a，(2,)bm，且a∥b，则23ab
2. 计算：1134lim34nnnnn
3. 若()123(1)(1)21fnnnn*()nN，则(1)()fkfk
4. 等比数列{}na中，已知24a，512a，则通项公式为
5. 化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2
6. 函数3sin(25)yx的图像关于y轴对称的充要条件是
7. 等比数列{}na中，各项的和1212naaa，则1a的取值范围是
8. 函数321yx(0)x的反函数是
9. 函数20.5()log(3)fxxaxa的值域为R，则实数a的取值范围是
10. 已知数列{}na是首项1aa，公差为2的等差数列，数列{}nb满足2(1)nnbna，若
对任意n*N都有5nbb成立，则实数a的取值范围是
二. 选择题
11. 等比数列{}na中，1||1a，528aa，52aa，则na（ ）
A. 1(2)n B. 1(2)n C. (2)n D. (2)n
12. 已知||3a，||5b，且12ab，则向量a在向量b上的投影为（ ）
A. 125 B. 3 C. 4 D. 5
13. 要得到sin2yx的图像，只需将sin(2)3yx的图像（ ）个单位
A. 向右平移3 B. 向左平移3 C. 向右平移6 D. 向左平移6
14. △ABC中，若ABa，ACb，3BDDC，则向量AD可用a、b表示为（ ）
A. 1344ab B. 34ab C. 1144ab D. 3144ab
15. 已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A. (0,1) B. 1(0,)3 C. 11[,)73 D. 1[,1)7
16. O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：
()OPOAABAC
，0，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
17. 若函数()fx的值域是1[,4]4，则函数1()()()Fxfxfx的值域是（ ）
A. 1[,4]4 B. 17[4,]4 C. 17[0,]4 D. 17[2,]4
18. 定义函数sin,sincos()cos,sincosxxxfxxxx，给出下列四个命题，正确的是（ ）
A. 函数的值域为[1,1]
B. 当且仅当22xk()kZ时，函数取得最大值
C. 函数是以为最小正周期的周期函数
D. 当且仅当3222kxk()kZ时，()0fx
三. 解答题
19. 定义在R的增函数，对任意的,xyR，()()()fxyfxfy，(3)1f.
（1）求(9)f；（2）若()(1)2fafa，求a的取值范围.
20. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则83ABCABACS.
（1）求2sincos22BCA；（2）若2b，△ABC的面积3ABCS，求a.
21. 已知函数231()sin2cos22fxxx，xR.
（1）求函数()fx的最小正周期和单调减区间；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且3c，()0fC，若
sin2sinBA
，求a、b的值.
22. 已知数列{}na的前n项和为nS，且585nnSna，n*N.
（1）证明：{1}na是等比数列；
（2）求出n为何值时，nS取得最小值，并说明理由.
23. 已知函数1()log1amxfxx(1,1)am是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）判断函数()fx在(1,)上的单调性，并证明；
（3）当(,2)xna时，函数()fx的值域是(1,)，求实数a与n的值.
参考答案
一. 填空题
1. (4,8) 2. 4 3. 21k 4. 4(1)2nn
5. sin 6. 510k()kZ 7. 11(0,)(,1)22
8. 13()(1)fxx(1)x 9. (,0][12,) 10. [22,18]
二. 选择题
11. A 12. A 13. D 14. A
15. C 16. C 17. D 18. D
三. 解答题
19.（1）2；（2）9(1,)8.
20.（1）5950；（2）13.
21.（1）()sin(2)16fxx，T，5[,]36kk，kZ；
（2）1a，2b.
22.（1）56q；（2）15n.
23.（1）1m；（2）当1a，单调递减，当01a，单调递增；
（3）23a，1n.