【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：考前回扣7(含答案解析)
高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练1 Word版含解析
“锁定70分”专项练“锁定70分”专项练11．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有________个． 答案 42．(2016·课标全国甲改编)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________．答案 (－3,1)解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.3．已知命题p ：“m ＝1”，命题q ：“直线mx －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 充分不必要4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(－π2＜φ＜0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (π6)＝________.答案 23解析 由图可知，T ＝2(11π12－7π12)＝2π3＝2πω， 所以ω＝3，又f (7π12)＝A cos(7π4＋φ)＝0， 所以7π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π－5π4，k ∈Z ， 又因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π4. 所以f (x )＝A cos(3x －π4)．由f (π2)＝A cos(3×π2－π4)＝－A sin π4＝－23， 所以A ＝223， 所以f (π6)＝223cos(π2－π4)＝223sin π4＝23. 5．甲，乙，丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是________．答案 715解析 所求概率为P ＝23×34×35＋13×34×25＋23×14×25＝715. 6．(2016·课标全国甲改编)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为________．答案 12π解析 由题可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π.7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y ＋1x ＋1的范围是________． 答案 [12，32] 解析 在直角坐标系中作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0.由斜率公式可知z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点M (x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知z max ＝2＋11＋1＝32，z min ＝1＋13＋1＝12.8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与B 1C 所在直线所成角的大小是________． 答案 60°解析 作A 1B ∥D 1C ，连结B 1D 1，易证∠B 1CD 1就是A 1B 与B 1C 所在直线所成的角，由于△B 1CD 1是等边三角形，因此∠B 1CD 1＝60°.9．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则双曲线C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1， C 1的离心率为a 2－b 2a， 双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1， C 2的离心率为a 2＋b 2a， ∵C 1与C 2的离心率之积为32， ∴a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32， ∴(b a )2＝12，b a ＝22， 双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.10．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________．答案 [32e，1) 解析 设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题意知存在唯一的整数x 0使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，∵g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)， ∴当x <－12时，g ′(x )＜0， 当x >－12时，g ′(x )＞0， ∴当x ＝－12时，g (x )取最小值－2e －12， 当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e ＞0，直线y ＝ax －a 恒过定点(1,0)且斜率为a ，故－a ＞g (0)＝－1且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e≤a <1. 11．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．答案 10 000解析 i ＝0，S ＝0⇒i ＝1，S ＝1⇒i ＝2，S ＝4⇒i ＝3，S ＝9…由此可知S ＝i 2，所以当i ＝100时，S ＝10 000.12．已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中，x 4的系数为1，则a ＝________.答案 2解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中，x 4 的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1, 所以a ＝2.13．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 根据题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]． 14．已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________.答案 －16解析 如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°，OA ＝2OD ＝23×32＝33， 由于AD 平分∠A ，∠BOC ，所以，OB →＋OC →＝2OD →＝－OA→，同理，OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →， 所以，(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB →＝|OB →|2cos 120° ＝|OA →|2cos 120°＝(33)2×(－12)＝－16.。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：10.3分类讨论思想(含答案解析)
第3讲 分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．体验高考1．(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫23，＋∞解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.2．(2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，FM ＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c2＝1， 直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )， 两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由FM ＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)． 与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1， 消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2＞2， 解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0，因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 高考必会题型题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. (2)当B A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值范围为a ≤－1或a ＝1.点评 对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B ⊆A ，包括B ＝∅和B ≠∅两种情况．解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素．变式训练1 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，∴S n ＝－12n 2＋212n ， 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n . 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧ －12n 2＋212n ，n ≤11，n ∈N *12n 2－212n ＋110，n ≥12，n ∈N *.题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值．解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)． (3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值． 变式训练2 (2016·云南玉溪一中期中)已知函数f (x )＝2e x －ax －2(x ∈R ，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2e x －x －2，f ′(x )＝2e x －1，f ′(1)＝2e －1，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率k ＝2e －1，又f (1)＝2e －3，所以所求的切线方程是y ＝(2e －1)x －2.(2)易知f ′(x )＝2e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，f (x )在R 上单调递增；若a >0，则当x ∈(－∞，ln a 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(ln a 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 又f (0)＝0，所以若a ≤0，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．若a >0，则当ln a 2≤0，即0<a ≤2时， f (x )≥f (0)＝0在[0，＋∞]上恒成立，符合题意．当ln a 2>0，即a >2， 则当x ∈(0，ln a 2)时，f (x )单调递减， f (x )<f (0)＝0，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是________． 答案 [7,8]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4， 取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)．①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC (含边界)，如图(1)所示，此时，7≤z max<8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图(2)所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]．点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．变式训练3 设点F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值． 解 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，又∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22，∴PF 21＋(6－PF 1)2＝20，又PF 1>PF 2，∴PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2. 综上知，PF 1PF 2的值为72或2. 高考题型精练1．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.3．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________．答案 4解析 当PO ＝PF 时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当OP ＝OF 时，点P 的位置也有两个；对FO ＝FP 的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则FO ＝p ，FP ＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P 一共有4个．4．函数12log ,1,()2,1x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域为________．答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的， 此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．5．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，－1]．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )．(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0， 得a ≤73，故此时a 不存在． (2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0， 得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4，综上得－7≤a ≤2.7．已知ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)>0， 解得x <1a或x >1. 若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a)(x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a. 综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}． 8．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值． 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32， 故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1， 故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，T n 的取值范围是[－712，0)∪(0，56]． 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a e x，其中a 为常数，a ≤2. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )的极大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)a ＝1，f (x )＝x 2＋x ＋1e x，∴f (0)＝1， ∵f ′(x )＝(2x ＋1)e x －e x (x 2＋x ＋1)e 2x＝－x 2＋x e x ＝－x (x －1)e x， ∴f ′(0)＝0，则曲线在(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝(2x ＋a )e x －e x (x 2＋ax ＋a )e 2x＝－x [x －(2－a )e x]， f ′(x )＝0的根为0,2－a ，∵a ≤2，∴2－a ≥0，当a ＝2时，f ′(x )＝－x 2e x ≤0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)内单调递减，无极值；当a <2时，2－a >0，f (x )在(－∞，0)，(2－a ，＋∞)内单调递减，在(0,2－a )内单调递增；∴f (2－a )＝(4－a )e a－2为f (x )的极大值， 令u (a )＝(4－a )e a －2(a <2)，u ′(a )＝(3－a )e a －2>0，∴u (a )在a ∈(－∞，2)上单调递增，∴u (a )<u (2)＝2，∴不存在实数a ，使f (x )的极大值为2.10．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1(a ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求所有实数a 的值．解 (1)f ′(x )＝a x －1＝a －x x(x >0)， 当a ≤0时，f ′(x )<0，∴f (x )的减区间为(0，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0得0<x <a ，由f ′(x )<0得x >a ，∴f (x )增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，而f (1)＝0，∴f (x )≤0在区间x ∈(0，＋∞)上不可能恒成立；当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(a)＝a ln a－a＋1，令g(a)＝a ln a－a＋1，依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，∴g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：11.1配方法与待定系数法(含答案解析)
第1讲 配方法与待定系数法[题型分析·高考展望] 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简．如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完全配方．配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．体验高考1．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案 2n －1解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.2．(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)， 令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 3．(2015·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1,1]上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值． (1)证明 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a2. 由|a |≥2，得|－a2|≥1，故f (x )在[－1,1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}． 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4， 得max{f (1)，－f (－1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解 由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2， 故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在[－1,1]上的最大值为2. 即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.4．(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.高考必会题型题型一 配方法例1 (1)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，则a 的值是________． (2)函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为________．(3)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是________． 答案 (1)12 (2)32(3)(3,0)解析 (1)由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12[](log a x )2＋3log a x ＋2 ＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32，又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得． 若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1， 则a ＝12，f (x )取得最小值时，x ＝(12)32＝22∈[2,8]，∴a ＝12.(2)y ＝cos2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin 2x －sin x )＋1 ＝－2(sin x －12)2＋2×14＋1＝－2(sin x －12)2＋32.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝12时，y 取最大值，最大值为32.(3)设P 点坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)， BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1， ∴此时点P 坐标为(3,0)．点评 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方．它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题．如：y ＝x 2＋bx ＋c ＝x 2＋2×b 2x ＋(b 2)2－(b 2)2＋c ＝(x ＋b 2)2＋4c －b 24，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x )＋c ＝a [x 2＋2×b 2a x ＋(b2a )2－(b 2a )2]＋c ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24. 变式训练1 (1)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，则a 的值为________．(3)已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α为实数，若a ＝2b ，则λm的取值范围是________． 答案 (1)(－94，－2] (2)－2或103 (3)[－6,1]解析 (1)易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减， 因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝b ，f (b )＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b ＋3) ＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1， 因为a <b ，所以0≤a ＋3＜12，而m ＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1， 所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2 ＝(a ＋3－12)2－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2.(2)令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 所以y ＝－(t －a 2)2＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a2.①当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)． ②当a2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.③当a2<－1，即a <－2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.(3)由题意知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)， 所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α， 于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6， 故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]． 题型二 待定系数法例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.(2)是否存在常数a ，b ，c ，使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切自然数n 都成立？并证明你的结论． 解 假设存在a ，b ，c 使得等式成立， 令n ＝1，得4＝16(a ＋b ＋c )；令n ＝2，得22＝12(4a ＋2b ＋c )；令n ＝3，得70＝9a ＋3b ＋c ， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝24，4a ＋2b ＋c ＝44，9a ＋3b ＋c ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝11，c ＝10.于是n ＝1,2,3，等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)成立．下面用数学归纳法证明，对任意自然数n ，该等式都成立． 假设对n ＝k 时等式成立， 即1·22＋2·32＋…＋k (k ＋1)2 ＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)；当n ＝k ＋1时，1·22＋2·32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝(k ＋1)(k ＋2)12(3k 2＋5k ＋12k ＋24)＝(k ＋1)(k ＋2)12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]，也就是说，等式对n ＝k ＋1也成立． 综上所述，当a ＝3，b ＝11，c ＝10时， 题设的等式对一切自然数n 都成立．点评 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题是含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．高考题型精练1．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k >a k －1且a k >a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k 为数列{a n }的峰值，若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为________． 答案 0解析 因为a n ＝－3(n －52)2＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值， 最大值为a 2＝a 3＝0， 故峰值为0.2．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋3解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.3．已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________． 答案 8解析 原不等式即x 2a ≥1＋x2－1＋x ，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即(t 2－1)2a ≥1＋t 2－12－t＝t 2－2t ＋12＝(t －1)22对t ≥1恒成立，所以(t ＋1)2a ≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数， 所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8， 故a 的最大值是8.4．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝xe 1＋ye 2，x ，y ∈R ，若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________． 答案 2解析 ∵|b |2＝(xe 1＋ye 2)2＝x 2＋y 2＋2xye 1·e 2 ＝x 2＋y 2＋3xy .∴|x ||b |＝|x |x 2＋y 2＋3xy ， 当x ＝0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|x ||b |＝1(y x )2＋3y x＋1＝1(y x ＋32)2＋14≤2.5．(2015·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(xe 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R)，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________. 答案 1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(xe 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R)，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(xe 1＋ye 2)|取得最小值1.|b －(xe 1＋ye 2)|2＝|b |2＋(xe 1＋ye 2)2－2b ·(xe 1＋ye 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎨⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫52，32，t .∵b －(xe 1＋ye 2)＝⎝⎛⎭⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(xe 1＋ye 2)|2＝⎝⎛⎭⎫52－x 2－y 2＋⎝⎛⎭⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＋t 2＝2 2. 6．(2016·大庆模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立， 则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2， f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1 ＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2， 则f (x )在区间[－1,1]上单调递增， 当x ∈[－1,1]时，要使f (x )>0恒成立， 只需f (－1)>0，即b 2－b －2>0， 则b <－1或b >2.7．(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.8．(2015·北京改编)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则该双曲线的方程为________________． 答案 3x 2－y 2＝1解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±1ax ，3x ＋y ＝0⇒y ＝－3x ， ∵a >0，则－1a ＝－3，a ＝33，则该双曲线的方程为3x 2－y 2＝1.9．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数，若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a－2x－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0， ∴k －1＝0，即k ＝1. ∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， ∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)， 则t ′(x )＝2x ln2＋2－x ln2＞0， ∴t (x )在[1，＋∞)上为增函数，即t (x )≥t (1)＝32， ∴原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，∴当t ＝2时，w (t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.10．(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求椭圆E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求椭圆E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋y b＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b . 设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72， 则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74. 又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ 54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1. 11．(2015·浙江)如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称． (1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0，① 将AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62， 则AB ＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S(t )，所以S (t )＝12AB ·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列{a n ＋23(－1)n }为等比数列，并求出{a n }的通项公式． 解 (1)在S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)中分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2a 1－1，a 1＋a 2＝2a 2＋1，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)由S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)得， S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1(n ≥2)，两式相减得 a n ＝2a n －1－2(－1)n (n ≥2)，a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n ＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n (n ≥2)， ∴a n ＋23(－1)n ＝2[a n －1＋23(－1)n －1](n ≥2)． 故数列{a n ＋23(－1)n }是以a 1－23＝13为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1， a n ＝13×2n －1－23×(－1)n ＝2n －13－23(－1)n .。
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练6 Word版含解析
“锁定70分”专项练61．已知集合A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}，B ＝{－3，－1,1,3,5}，则A ∩B ＝________. 答案 {－1,1,3}2．复数53＋4i的共轭复数是________． 答案 35＋45i 3．命题“∀x ∈R ，都有log 2x >0成立”的否定为________．答案 ∃x 0∈R ，使log 2x 0≤0成立4．已知p ：x >1，y >1，q ：x ＋y >2，xy >1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 充分不必要5．将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的最小值为________．答案 π8解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，可得函数f (x )＝sin[2(x ＋φ)＋π4]＝sin(2x ＋2φ＋π4)的图象．再根据得到的函数图象关于y 轴对称，可得2φ＋π4的最小正值为π2，∴φ＝π8. 6．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．答案 18解析 设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.7．已知向量b 为单位向量，向量a ＝(1,1)，且|a －2b |＝6，则向量a ，b 的夹角为________． 答案 2π3解析 因为b 为单位向量，向量a ＝(1,1)，所以|a |＝2，|b |＝1，因为|a －2b |＝6⇒a 2－22a·b ＋2b 2＝6，即2－22a·b ＋2＝6⇒a·b ＝－22，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3. 8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 由PF 1→⊥PF 2→知∠F 1PF 2＝90°，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1＋PF 2＝2a ，12PF 1·PF 2＝9，PF 21＋PF 22＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，所以b ＝3.9．在平面直角坐标系中，半径为r ，以点(x 0，y 0)为圆心的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2；则类似地，在空间直角坐标系中，半径为R ，以(x 0，y 0，z 0)为球心的球的标准方程为________________________．答案 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＋(z －z 0)2＝R 2解析 在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，一般为：由平面几何中圆的性质，类比推理空间几何中球的性质．故由“以半径为r ，以点(x 0，y 0)为圆心的圆的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2”，类比到空间可得的结论是：以点(x 0，y 0，z 0)为球心，R 为半径的球的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＋(z －z 0)2＝R 2.10．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.11．在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．答案 14解析 设x 、y 表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用0<x <1,0<y <1，0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14. 12．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，根据这一发现，则函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为________． 答案 (12，1) 解析 依题意，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0.∴x ＝12，又f (12)＝1，∴函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)． 13．若x ＞0，y ＞0，则x x ＋2y ＋y x的最小值为________． 答案 2－12解析 设y x ＝t ＞0，则x x ＋2y ＋y x ＝11＋2t ＋t ＝11＋2t ＋12(2t ＋1)－12≥2 11＋2t ×1＋2t 2－12＝2－12，当且仅当t ＝2－12＝y x时取等号． 14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6≤0，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，直线(1＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋3λ－12＝0 (λ∈R )过定点A (x 0，y 0)，则z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为________． 答案 [17，5] 解析 由直线(1＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋3λ－12＝0可得x ＋y －12＝(－x ＋2y －3)λ，可知⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2y －3＝0，x ＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即定点A (7,5)，故z ＝y －5x －7，由不等式组作出可行域如图，目标函数可视为点A 与可行域中的点连线的斜率，则由图可知分别取点P ，Q 时，z 取得最小，最大值，又P (0,4)，Q (6,0)，故z min ＝17，z max ＝5， 故z 的取值范围为[17，5]．。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.4函数零点与方程的根(含答案解析)
第9练 顾全局——函数零点与方程的根[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以填空题的形式考查，难度为中档．其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围．体验高考1．(2015·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为________． 答案 2解析 当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.2．(2016·上海改编)设a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数x 都有sin(3x －π3)＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为________． 答案 2解析 ∵对于任意实数x 都有sin(3x －π3)＝sin(ax ＋b )，则函数的周期相同，若a ＝3，此时sin(3x －π3)＝sin(3x ＋b )，则b ＝－π3＋2π＝5π3；若a ＝－3，则方程等价为sin(3x －π3)＝sin(－3x ＋b )＝－sin(3x －b )＝sin(3x －b ＋π)， 则－π3＝－b ＋π，∴b ＝4π3.综上，满足条件的有序实数对(a ，b )为⎝⎛⎭⎫3，5π3，⎝⎛⎭⎫－3，4π3，共有2对． 3．(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________． 答案 4解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.高考必会题型题型一 零点个数与零点区间问题例1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为________．(2)(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){－2－7，1,3} (2)①－1 ②⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)令x <0，则－x >0， 所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x . 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x . 当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3，令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3； 当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有3个零点，其集合为{－2－7，1,3}．(2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2) ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，无零点． 因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有1个零点时，0<a <2. f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有1个零点， 此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.点评 确定函数零点的常用方法 (1)当方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解． 变式训练1 (2016·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R)，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________． 答案 2解析 函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数可转化为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，作出函数f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…x ＋1，－1≤x <0，x ，0≤x <1，x －1，1≤x <2，…与函数g (x )＝log 4(x －1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.题型二 由函数零点求参数范围问题例2 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 方法一 (换元法)设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根， 则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－2 2 ]． 方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在性定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．变式训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1，x ≤0，lg x ，x ＞0，若关于x 的方程f [f (x )]＝0有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－1,0)∪(0，＋∞)解析 依题意，得a ≠0，令f (x )＝0，得lg x ＝0，即x ＝1.由f [f (x )]＝0，得f (x )＝1.当x ＞0时，函数y ＝lg x 的图象与直线y ＝1有且只有一个交点，则当x ≤0时，函数y ＝ax －1的图象与直线y ＝1没有交点．若a ＞0，结论成立；若a ＜0，则函数y ＝ax －1的图象与y 轴交点的纵坐标－a ＜1，得－1＜a ＜0，则实数a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．高考题型精练1．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x在[0，103]上的根的个数是________．答案 3解析 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]， 所以f (－x )＝x 2，因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝f ((x ＋1)－1)＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数．据此在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝⎛⎭⎫110x 在[0，103]上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点， 故方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在[0，103]上有3个根．2．函数f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为________． 答案 5解析 ∵2sinπx －x ＋1＝0，∴2sinπx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sinπx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为5.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x ＞0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1； 当x ＞0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2.即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．4．定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上恰有三个零点，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫55，33解析 因为f (x ＋2)＝f (x )－f (1)， 所以f (1)＝f (－1)－f (1)，又因为f (x )是偶函数，所以f (1)＝0， 所以函数f (x )是以2为周期的偶函数．函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上恰有三个零点可化为函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上有三个不同的交点．作函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象如下图．结合函数图象知，⎩⎪⎨⎪⎧log a (2＋1)＞－2，log a (4＋1)＜－2，解得55＜a ＜33. 5．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出函数f (x )的图象如图所示．观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是________． 答案 [－1,0)解析 当x ＞0时，f (x )＝2x －1.令f (x )＝0，解得x ＝12；当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ，此时函数f (x )＝e x ＋a 在(－∞，0]上有且仅有一个零点，等价转化为方程e x ＝－a 在(－∞，0]上有且仅有一个实根，而函数y ＝e x 在(－∞，0]上的值域为(0,1]，所以0＜－a ≤1，解得－1≤a ＜0.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图，由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m ∈(0,1)．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫34，1解析 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈⎝⎛⎭⎫34，1.9．(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．10．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32解析 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ，当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ，当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ，….f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，通过数形结合可知a ∈⎝⎛⎦⎤34，45.当x ＜0时，同理可得a ∈⎣⎡⎭⎫43，32. 综上，a ∈⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32. 11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解 (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝错误! 故f (x )在(0,1)上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ， 且1a －1＝1－1b ， ∴1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0＜m ＜1时， 方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．12．已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2,1]上的最大值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋a ， 由函数f (x )在x ＝0处取得极值， 则f ′(0)＝1＋a ＝0，解得a ＝－1， 即有f (x )＝e x －x ＋1，f ′(x )＝e x －1. 当x ＜0时，有f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ＞0时，有f ′(x )＞0，f (x )单调递增．则在x ＝0处f (x )取得极小值，也为最小值，值为2. 又f (－2)＝e －2＋3，f (1)＝e ，f (－2)＞f (1)，即有最大值e－2＋3.(2)函数f(x)不存在零点，即为e x＋ax－a＝0无实数解．当x＝1时，e＋0＝0显然不成立，即有a∈R且a≠0.若x≠1，即有－a＝e xx－1.令g(x)＝e xx－1，则g′(x)＝e x(x－2) (x－1)2，当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＜1或1＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．即在x＝2处g(x)取得极小值e2，当x＜1时，g(x)＜0，则有0＜－a＜e2，解得－e2＜a＜0，则实数a的取值范围为(－e2,0)．。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：考前回扣5(含答案解析)
回扣5 不等式与线性规划1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4．基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)当且仅当a ＝b 时取等号． ②a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立)． ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． 5．可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域． 6．线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．1．下列命题中正确的是________．①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .答案 ①③解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc 错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >b c 不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立．2．设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.3．若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是________．答案 (－3,0]解析 由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3,0]．4．(2016·四川改编)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1,1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界)．实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立．则p 是q 的必要不充分条件．5．不等式1x －1≥－1的解集为________________．答案 (－∞，0]∪(1，＋∞)解析 由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)．6．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为________．答案 94解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8,10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40,4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94.7．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．答案 5解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2,3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．9．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为________． 答案 38解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38.10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．答案 8解析 由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m＋n )＝n m ＋4mn＋4≥2n m ·4mn＋4＝8.当且仅当n ＝2m 时取等号．11．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．答案 4＋423解析 因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1 ＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2＝23(14a －1＋24－4a )[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a ，即a ＝32－24时，取等号)． 12．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝________.答案 1解析 由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2,2)，所以m ＝1. 13．(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________．答案 －2解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大．即过点(0,1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________． 答案 [－1，92]解析 作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5,6)连线斜率，k P A ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配练习：4.5关于平面向量数量积运算的三类经典题型(含答案解析)
第20练关于平面向量数量积运算的三类经典题型[题型分析·高考展望]平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查．体验高考1．(2015·山东改编)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于________．答案32a 2解析如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°. BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×－12＝3a 2，∴BD ＝3a.∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos30°＝3a 2×32＝32a 2. 2．(2015·重庆改编)若非零向量a ，b 满足|a|＝223|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为________．答案π4解析由(a －b)⊥(3a ＋2b)得(a －b)·(3a ＋2b)＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·c os θ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 3．(2015·陕西改编)对任意向量a ，b ，①|a ·b|≤｜a||b|；②|a －b|≤||a|－|b||；③(a ＋b)2＝|a ＋b|2；④(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 2.以上关系式中不恒成立的是______．答案②解析对于①，由|a ·b|＝||a||b|cos a ，b |≤｜a||b|恒成立；对于②，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于③、④容易判断恒成立．。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：考前回扣6(含答案解析)
回扣6 立体几何1．概念理解四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．柱、锥、台、球体的表面积和体积3.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(3)两个结论 ①⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b②⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 4．用向量求空间角(1)直线l 1，l 2夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量)． (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量)．(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α—l —β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量)．1．混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α. 2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件．4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系． 5．几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90° 直线与平面所成的角0°≤α≤90° 二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90° 直线的倾斜角0°≤α<180° 两个向量的夹角0°≤α≤180° 锐角0°<α<90°6．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．1．已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ②若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ④若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则n ∥m ； ⑤若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β.其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号) 答案 ②③⑤解析 命题①，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故不正确；命题②，若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ，由线面垂直的性质定理易知正确；命题③，由线面垂直的性质定理易知正确；命题④，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则n ∥m 或m 、n 异面，所以不正确；命题⑤是面面垂直的性质定理，所以是正确命题．故答案为②③⑤.2．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x ，4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则实数x 的值为________． 答案 2解析 由题意得AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)， AB →·AC →＝(6，－2，－3)·(x －4,3，－6) ＝6(x －4)－6＋18＝0， 解得x ＝2.3．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为________．答案 60°解析 由中点M ，N 可知MN ∥AD 1，由△D 1AC 是正三角形可知∠D 1AC ＝60°，所以异面直线AC 和MN 所成的角为60°.4．在三棱锥S －ABC 中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥SC ，SB ⊥SC ，SA ＝SB ＝2，则该三棱锥的体积为________． 答案354解析 如图，∵SA ⊥SC ，SB ⊥SC ，且SA ∩SB ＝S ， ∴SC ⊥平面SAB ，在Rt △BSC 中，由SB ＝2，BC ＝3，得SC ＝ 5.在△SAB 中，取AB 中点D ，连结SD ，则SD ⊥AB ，且BD ＝32，∴SD ＝22－(32)2＝72，∴V ＝13×12×3×72×5＝354.5．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是________．①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ④若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α. 答案 ②6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝1，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________． 答案52π3解析 由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h ，则h ·34·12＝3⇒h ＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R 2＝22＋(33)2＝133，因此球的表面积等于4πR 2＝4π·133＝523π. 7．已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，E ，F ，G ，H 分别是棱AD ，BB ′，B ′C ′，DD ′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB ′D ′平行的有________条．答案 6解析 如图，连结EG ，EH ，FG ，∵EH 綊FG ，∴EFGH 四点共面，由EG ∥AB ′，EH ∥AD ′，EG ∩EH ＝E ，AB ′∩AD ′＝A ，可得平面EFGH 与平面AB ′D ′平行，∴符合条件的共有6条．8．(2016·兰州高三实战模拟)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．答案①③解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.9．如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°. 错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上)答案④解析①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1；②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD；③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误．10.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M ，则AA 1→·AM →≥1的概率p ＝________. 答案 34解析 可解得|AM →|cos θ≥12，也即AM →在AA 1→上的投影大于或等于12.由几何概型的求法知，p ＝⎝⎛⎭⎫2－12×2×22×2×2＝34.11．如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S ＝________. 答案 10π解析 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋r ＋2r ＝(5＋2)×2，2πr l ＝π2，解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π.12．在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A ＝AB ＝4，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝ 2.(1)求证：BD ⊥PC ； (2)求证：MN ∥平面PDC ； (3)求二面角A —PC —B 的余弦值．(1)证明 因为△ABC 是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ，又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明 在正三角形ABC 中，BM ＝23， 在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD ＝CD ，又∠CDA ＝120°，所以DM ＝233，所以BM ∶MD ＝3∶1，在等腰直角三角形P AB 中， P A ＝AB ＝4，PB ＝42，所以BN ∶NP ＝3∶1， BN ∶NP ＝BM ∶MD ，所以MN ∥PD ， 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以MN ∥平面PDC .(3)解 因为∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝90°，所以AB ⊥AD ，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B (4,0,0)，C (2，23，0)，D (0，433，0)，P (0,0,4)．由(1)可知，DB →＝(4，－433，0)为平面P AC 的一个法向量，PC →＝(2,23，－4)，PB →＝(4,0，－4)， 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋23y －4z ＝0，4x －4z ＝0.令z ＝3，则平面PBC 的一个法向量为n ＝(3，3，3)， 设二面角A —PC —B 的大小为θ， 则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝77.所以二面角A —PC —B 的余弦值为77.。
《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)小题精练1.doc
小题精练小题精练11.下列各组集合中表示同一集合的是____________ •(填序号)①M={(3,2)}, N={(2,3)}；②A/={2,3}, N={3,2}；③M={(x, y)\x+y= 1}, N= {y\x+y= 1}；④M={2,3}, N={(2,3)}.2.已知i为虚数单位，集合P={ — 1,1}, Q={i, i2},若PG0={zi},则复数z= ________________ .3.在一次跳伞训练屮，甲、乙两位学员各跳一次，设命题〃是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为_______ .(填序号)①(続p)V (続妙②pV(縹q);③(続刃/\(締q);4. ___________________________________________________________ 已知函数5.函数,/(x)=2|log2x|的图象大致是/(x)=2 + log2x, xW[l,2],则函数y=j{x)+J{x)的值域为_________________________ .6.若平面a的一个法向量为(1,2,0),平面0的一个法向量为(2, -1,0),则平面u和平面0的位置关系是________________ •7. __________________________________________________________________ 已知函数f{x) = sin(yx+cos€ox(co>0)在侄 "上单调递减，则3的取值范围是 _______________8. ______________________________________________________________ 已知函数g（x）=2\且有g⑷g（b） = 2,若a>0且b>0,则ab的最大值为 ___________________ .2 1 1 29•已知数列仏｝满足小=1,兀2=亍且--- + —=丁（〃22）,则心= _____________ •> X”-1 心+1 X”10.已知数列匕“｝的首项为©=*,其前n项和则数列｛a“｝的通项公式为■11 .函数y=ln（l +£）+yj 1 -x2的定义域为 ____ .12.如图所示，刊丄<30所在的平面，力E是<90的直径，C是<30上的一点，E, F分别是点、4在PB, PC上的射影，给出下列结论：①4F丄PB；②EF丄PB；③AF丄BC；④ME丄平面PBC.其中正确结论的序号是________ .13._________________________________________ 下列关于函数/«=（2x-xV的判断正确的是____________________________________________ .①/⑴>0的解集是｛x|0<x<2｝；②/（-迈）是极小值，祁）是极大值；③/（X）既没有最小值，也没有最人值.14.若炸（0,号）,且si『a+cos2a=£贝lj tana的值等于 __________答案精析高考题型集训答案精析小题精练小题精练11.②解析①中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合.②中的集合M表示由直线x+y=l上的所有点组成的集合, 集合N 表示由直线x+y= 1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N= {y\x+y=l} = R,故集合M与N不是同一个集合.④中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合.对于②，由集合元素的无序性，可知M, N表示同一个集合.2.i解析因为Q={i, i2},所以0={i, -1}.又"={—1,1},所以PQ0={—1},所以zi= —1,所以z=i.3.①解析“至少有一位学员没有落在指定范围”=“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围” =(^p)V(^ q).4卜土解析y=f(x) +/(x2)=2 + log2x+2 + log2x2=4+3log2x,注意到为使得y=/(x)+/(/)有意义, 必有1W/W2,得1 WxWd从而4WyW#.5.③X9解析VAx)=2|log2x|=5 1一，0<x< 1.6 •垂直解析由(1,2,0)X(2, —1，O)=1X2 + 2X(—1) + OXO = O,知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直.解析./(兀)=sinex+cosex=V^sin@x +另,7E 71 3 71令2加+㊁Wex+才W2M+迈■伙GZ), 解得绝+严0W 绝+尹（5co 4co co 4co v 7由题意，函数./w 在位，»上单调递减， 故（申，兀）为函数单调递减区间的一个子区间,解析 ・・・2"2〃=2“灯=2,・・・d + b=l, “w (字)2=£解析 由关系式易知为首项为占=1, 的等差数列，右=呼 I 耳丿兀1 厶 Xn Z 10^=^+T ）解析由5=*, S n =n 2a n9①.:S“_ 】=(〃 一1 )2Q “ -1 .②①一②，得 a…=S tl —S n -\= n 2a,t ~(n —\ )2a n - \,即 a n =n 2a n —(n —l)2a fl -i ，亦即才：=缶+ S$2). • g a% 给-1 。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.6以函数为背景的创新题型(含答案解析)
第11练 研创新——以函数为背景的创新题型[题型分析·高考展望] 在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现．主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题．这种题难度一般为中档，多出现在填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高．通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患．体验高考1．(2015·四川)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R)．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))． 对于①，从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故①正确； 对于②，直线CD 的斜率可为负，即存在n ＜0的情形，故②不正确； 对于③，由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则h ′(x )＝2x ·ln2－2x －a .由h ′(x )＝0，得2x ·ln2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故③不正确； 对于④，由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)， 即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2x ln2＋2x ＋a . 由F ′(x )＝0，得2x ln2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点， ∴存在x 1，x 2，使F (x 1)＝F (x 2)，使m ＝－n ，故④正确．故①④正确．2．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4x 5x 6x 7＝0，x 2x 3x 6x 7＝0，x 1x 3x 5x 7＝0，00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________． 答案 5 解析 (1)x4x5x6x 7＝111＝1，(2)x2x3x6x 7＝11＝0；(3)x1x 3x 5x 7＝1011＝1.由(1)(3)知x 5，x 7有一个错误，(2)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.3．(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析 ①设A 的坐标为(x ，y )， 则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′的“伴随点”横坐标为－x x 2＋y 2⎝⎛⎭⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得纵坐标为－y ，故A ″(－x ，－y )，①错误；②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则P 的“伴随点”的坐标为P ′(sin θ，－cos θ)，则有sin 2θ＋(－cos θ)2＝1，所以P ′也在单位圆上，即单位圆的“伴随曲线”是它自身，②正确；③设曲线C 上点A 的坐标为(x ，y )，其关于x 轴的对称点A 1(x ，－y )也在曲线C 上，所以点A 的“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”为A 1′⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与A 1′关于y 轴对称，③正确；④反例：例如y ＝1这条直线，则A (0,1)，B (1,1)，C (2,1)，这三个点的“伴随点”分别是A ′(1,0)，B ′⎝⎛⎭⎫12，－12，C ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而这三个点不在同一直线上．下面给出严格证明： 设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的“伴随点”为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yx 2＋y 2，y 0＝－xx 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y0x 2＋y 20，y ＝xx 20＋y 20.代入直线方程可知，A－y 0x 20＋y 20＋B x 0x 20＋y 20＋C ＝0， 化简得－Ay 0＋Bx 0＋C (x 20＋y 20)＝0.当C ＝0时，C (x 20＋y 20)是一个常数，点P ′的轨迹是一条直线； 当C ≠0时，C (x 20＋y 20)不是一个常数，点P ′的轨迹不是一条直线．所以一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，④错误． 综上，真命题是②③.高考必会题型题型一 与新定义有关的创新题型例1 已知函数y ＝f (x )(x ∈R)．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________． 答案 (210，＋∞)解析 由已知得h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立，显然b ＞0.在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞)． 点评 解答这类题目的关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法．变式训练1 若函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．例如y ＝|x |是[－2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．若函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1,1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 因为函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1,1]上的“平均值函数”，所以关于x 的方程x 2－mx －1＝f (1)－f (－1)2在区间(－1,1)内有实数根，即x 2－mx －1＝－m 在区间(－1,1)内有实数根，即x 2－mx ＋m －1＝0，解得x ＝m －1或x ＝1.又1不属于(－1,1)，所以x ＝m －1必为均值点，即－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2，所以实数m 的取值范围是(0,2)． 题型二 综合型函数创新题例2 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R)有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①③④解析 因为f (x )∈A ，所以函数f (x )的值域是R ，所以满足∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，同时若∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，则说明函数f (x )的值域是R ，则f (x )∈A ，所以①正确； 令f (x )＝1x ，x ∈(1,2]，取M ＝1，则f (x )⊆[－1,1]， 但是f (x )没有最大值，所以②错误；因为f (x )∈A ，g (x )∈B 且它们的定义域相同(设为[m ，n ])，所以存在区间[a ，b ]⊆[m ，n ]，使得f (x )在区间[a ，b ]上的值域与g (x )的值域相同，所以存在x 0∉[a ，b ]，使得f (x 0)的值接近无穷，所以f (x )＋g (x )∉B ，所以③正确；因为当x >－2时，函数y ＝ln(x ＋2)的值域是R ，所以函数f (x )若有最大值，则a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1. 因为对∀x ∈R ，x 2＋1≥2|x |，所以－12≤x x 2＋1≤12.即－12≤f (x )≤12，故f (x )∈B ，所以④正确．点评 此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法．解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等．变式训练2 如果y ＝f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x ＋a )＝f (－x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”．给出下列命题： ①函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”；②若奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，且f (1)＝1，则f (2015)＝1；③若函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，图象关于点(1,0)成中心对称，且在(－1,0)上单调递减，则y ＝f (x )在(－2，－1)上单调递减，在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数y ＝f (x )同时具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，则函数y ＝f (x )是周期函数． 其中正确的是________．(写出所有正确命题的编号) 答案 ①③④解析 ①因为sin (x ＋π)＝－sin x ＝sin (－x )， 所以函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”， 所以①正确；②因为奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”， 所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝f (x )，周期为4，因为f (1)＝1，所以f (2015)＝f (3)＝－f (1)＝－1. 所以②不正确；③因为函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”， 所以f (x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 即f (2－x )＝f (2＋x )．因为图象关于点(1,0)成中心对称，所以f (2－x )＝－f (x )，即f (2＋x )＝－f (－x )， 所以得出f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数．因为f (x )的图象关于点(1,0)成中心对称，且在(－1,0)上单调递减， 所以f (x )的图象也关于点(－1,0)成中心对称，且在(－2，－1)上单调递减， 根据偶函数的对称性得出f (x )在(1,2)上单调递增，故③正确； ④因为具有“P (0)性质”和“P (3)性质”， 所以f (x )＝f (－x )，f (x ＋3)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，且周期为3，故④正确．高考题型精练1．若集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝________. 答案 7解析 由对应法则知1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1，又a ∈N *，∴a 4≠10，∴a 2＋3a ＝10，解得a ＝2(舍去a ＝－5)，所以a 4＝16，于是3k ＋1＝16，∴k ＝5.∴a ＋k ＝7.2．设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称f (x )为“倍缩函数”．若函数f (x )＝ln(e x ＋t )为“倍缩函数”，则t 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为“倍缩函数”，所以存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是⎣⎡⎦⎤a 2，b 2.因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为增函数，所以⎩⎨⎧ln(e a ＋t )＝a2，ln(e b＋t )＝b2，即⎩⎨⎧e a ＋t ＝e a2，e b＋t ＝e b2，∴a ，b 是方程2e e 0xxt －＋＝的两个根， 令2e xk ＝，则k 2－k ＋t ＝0，即方程k 2－k ＋t ＝0有两个不等的正根．即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2－4t ＞0，t ＞0，解得t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. 3．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D 且x 1＋x 2＝2a ，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究并利用函数f (x )＝x 3－3x 2－sinπx 的对称中心，可得f (12016)＋f (22016)＋…＋f (40302016)＋f (40312016)等于________．答案 －8062解析 如果x 1＋x 2＝2，则f (x 1)＋f (x 2)＝x 31－3x 21－sinπx 1＋x 32－3x 22－sinπx 2＝x 31－3x 21－sinπx 1＋(2－x 1)3－3(2－x 1)2－sinπ(2－x 1)＝－4.令S ＝f (12016)＋f (22016)＋…＋f (40302016)＋f (40312016)，又S ＝f (40312016)＋f (40302016)＋…＋f (12016)，两式相加得2S ＝－4×4031，所以S ＝－8062.4．函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1， 3 ]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是________． 答案 ③④解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1<x <3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1,3]，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1,3]上的图象不连续，故①不正确； 令f (x )＝－x ，则f (x )在[1,3]上具有性质P ， 但f (x 2)＝－x 2在[1， 3 ]上不具有性质P ， 因为－⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确； 对于③，假设存在x 0∈[1,3]，使得f (x 0)≠1， 因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1,3]，所以f (x 0)<1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3， 由f (x )在[1,3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]，由于f (x 0)<1，f (4－x 0)≤1，与上式矛盾． 即对∀x ∈[1,3]，有f (x )＝1，故③正确． 对于④，对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]， f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422≤12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋f ⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42≤12⎩⎨⎧⎭⎬⎫12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)] ＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，故④正确． 综上，真命题的序号是③④.5．已知函数f (x )＝1－|2x －1|，x ∈[0,1]．定义：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f [f 1(x )]，…，f n (x )＝f [f n －1(x )]，n ＝2,3,4，…，满足f n (x )＝x 的点x ∈[0,1]称为f (x )的n 阶不动点．则f (x )的n 阶不动点的个数是________． 答案 2n解析 函数f (x )＝1－|2x －1|＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤12，2－2x ，12＜x ≤1，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f 1(x )＝2x ＝x ⇒x ＝0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x )＝2－2x ＝x ⇒x ＝23， ∴f 1(x )的1阶不动点的个数为2.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝4x ＝x ⇒x ＝0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤14，12时，f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2－4x ＝x ⇒x ＝25， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，34时，f 1(x )＝2－2x ，f 2(x )＝4x －2＝x ⇒x ＝23， 当x ∈⎝⎛⎦⎤34，1时，f 1(x )＝2－2x ，f 2(x )＝4－4x ＝x ⇒x ＝45. ∴f 2(x )的2阶不动点的个数为22，以此类推，f (x )的n 阶不动点的个数是2n . 6．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有下列四种说法： ①[－x ]＝－[x ]； ②[2x ]＝2[x ]； ③[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]； ④[x －y ]≤[x ]－[y ]． 其中正确的是________． 答案 ④解析 特殊值法．令x ＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故①错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故②错；令x ＝1.5，y ＝0.5，[x ＋y ]＝2，[x ]＋[y ]＝1＋0＝1，故③错．故正确的是④. 7．如果定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝x 2；②y ＝e x＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 答案 ②③解析 由已知x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，所以函数f (x )在R 上是增函数．对于①，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，其不是“H 函数”；对于②，y ＝e x ＋1在R 上为增函数，所以其为“H 函数”；对于③，由于y ′＝2－cos x ＞0恒成立，所以y ＝2x －sin x 是增函数，所以其为“H 函数”；对于④，由于其为偶函数，所以其不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上知，是“H 函数”的序号为②③.8．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析 由新定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3， 易知x 2>0， 且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34.∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.9．已知二次函数f (x )的两个零点分别为b 1－a ，b1＋a(0<b <a ＋1)，f (0)＝b 2.定义card(A )：集合A 中的元素个数．若“⎩⎪⎨⎪⎧x ∈A ，card(A ∩Z )＝4”是“f (x )>0”的充要条件，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1,2)解析 由条件可得f (x )＝(1－a 2)(x －b 1－a )(x －b1＋a )，结合⎩⎪⎨⎪⎧x ∈A ，card(A ∩Z )＝4知a >1，所以f (x )开口向下，所以f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫b 1－a ，b 1＋a ，且0<b 1＋a <1.结合数轴分析，知－4≤b1－a <－3，即3a －3<b ≤4a －4，又0<b <a ＋1，所以3a －3<b <a ＋1，得1<a <2.10．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )＞0，对任意a ＞0，b ＞0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x ＞0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数； (2)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b .(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 答案 (1)x (2)x解析 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c,0)，则三点共线． (1)依题意，c ＝ab ，则求得f (a )a ＝f (b )b ，故可以选择f (x )＝x (x ＞0)．(2)依题意，c ＝2ab a ＋b ，求得f (a )a ＝f (b )b ，故可以选择f (x )＝x (x ＞0)．11．对于函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ](其中a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”．给出下列4个函数： ①f (x )＝(x －1)2；②f (x )＝|2x －1|； ③f (x )＝cos π2x ；④f (x )＝e x .其中存在“稳定区间”的函数是________．(填出所有满足条件的函数序号) 答案 ①②③解析 据已知定义，所谓的“稳定区间”即函数在区间[a ，b ]内的定义域与值域相等． 问题可转化为已知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”．数形结合依次判断，①②③均符合条件，而④不符合条件．综上可知，①②③均为存在“稳定区间”的函数．12．若函数f (x )在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且F (x )＝f (x )x 在I 上是减函数，则称y ＝f (x )在I 上是“非完美增函数”．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝2x ＋2x＋a ln x (a ∈R)．(1)判断f (x )在(0,1]上是否为“非完美增函数”；(2)若g (x )在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，求实数a 的取值范围．解 (1)易知f ′(x )＝1x ＞0在(0,1]上恒成立，所以f (x )＝ln x 在(0,1]上是增函数．F (x )＝f (x )x ＝ln x x，求导得F ′(x )＝1－ln x x 2，因为x ∈(0,1]，所以ln x ≤0，即F ′(x )＞0在(0,1]上恒成立，所以F (x )＝ln x x在(0,1]上是增函数．由题意知，f (x )在(0,1]上不是“非完美增函数”． (2)若g (x )＝2x ＋2x ＋a ln x (a ∈R)在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，则g (x )＝2x ＋2x＋a ln x 在[1，＋∞)上单调递增，G (x )＝g (x )x ＝2＋2x 2＋a ln x x在[1，＋∞)上单调递减． ①若g (x )在[1，＋∞)上单调递增，则g ′(x )＝2－2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 在[1，＋∞)上恒成立．令h (x )＝2x －2x ，x ∈[1，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x 2－2＜0恒成立，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (1)＝0，所以a ≥0.②若G (x )在[1，＋∞)上单调递减，则G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－4＋ax －ax ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立．令t (x )＝－4＋ax －ax ln x ，x ∈[1，＋∞)，因为t ′(x )＝－a ln x ，由①知a ≥0，所以t ′(x )≤0恒成立，所以t (x )＝－4＋ax －ax ln x 在[1，＋∞)上单调递减，则t (x )max ＝t (1)＝a －4.要使t (x )＝－4＋ax －ax ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立，则a －4≤0，即a ≤4，此时G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立． 综合①②知，实数a 的取值范围为[0,4]．13．给出定义：若a ，b 为常数，g (x )满足g (a ＋x )＋g (a －x )＝2b ，则称函数y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称．已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x，定义域为A . (1)判断y ＝f (x )的图象是否关于点(a ，－1)成中心对称；(2)当x ∈[a －2，a －1]时，求证：f (x )∈[－12，0]； (3)对于给定的x i ∈A ，设计构造过程：x 2＝f (x 1)，x 3＝f (x 2)，…，x n ＋1＝f (x n )．如果x i ∈A (i ＝2,3,4，…)，构造过程将继续下去；如果x i ∉A ，构造过程将停止．若对任意x i ∈A ，构造过程可以无限进行下去，求a 的值．解 (1)因为f (x )＝x ＋1－a a －x ＝－1＋1a －x， 所以f (a ＋x )＋f (a －x )＝(－1＋1－x)＋(－1＋1x )＝－2. 由定义可知y ＝f (x )的图象关于点(a ，－1)成中心对称．(2)设x 1＜x 2＜a ，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －x 1－1a －x 2＝x 1－x 2(a －x 1)(a －x 2)＜0， 所以f (x )在(－∞，a )上是增函数．可知f (x )在[a －2，a －1]上是增函数，当x ∈[a －2，a －1]时，f (x )∈[f (a －2)，f (a －1)]，即f (x )∈[－12，0]． (3)因为构造过程可以无限进行下去，所以f (x )＝x ＋1－a a －x≠a 对任意x ∈A 恒成立． 则方程x ＋1－a a －x＝a 无解， 即方程(a ＋1)x ＝a 2＋a －1无解或有唯一解x ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝0，a 2＋a －1≠0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≠0，a 2＋a －1a ＋1＝a ，由此解得a ＝－1.14．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x .(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )＜x －m x有解，求实数m 的取值范围； (3)定义：对于函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的任意实数x 0，称|f (x 0)－g (x 0)|的值为两函数在x 0处的差值．证明：当a ＝0时，函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的所有差值都大于2.(1)解 f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x ＞0)． ①当a ＝0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a， 则当x ∈(0，－1a)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )单调递增， 当x ∈(－1a，＋∞)时，f ′(x )＜0，∴f (x )单调递减．综上，当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )在(0，－1a)上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减． (2)解 由题意：e x ＜x －m x有解，即e x x ＜x －m 有解，因此只需m ＜x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可．设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e x x －e x 2x ＝1－e x (x ＋12x)． ∵x ＋12x ≥212＝2＞1， 且x ∈(0，＋∞)时e x ＞1， ∴1－e x (x ＋12x)＜0，即h ′(x )＜0， 故h (x )在(0，＋∞)上单调递减．∴h (x )＜h (0)＝0，故m ＜0.(3)证明 当a ＝0时，f (x )＝ln x ，f (x )与g (x )的公共定义域为(0，＋∞)，|f (x )－g (x )|＝|ln x －e x |＝e x －ln x＝e x －x －(ln x －x )．设m (x )＝e x －x ＞0，则m ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)，m (x )在(0，＋∞)上单调递增，m (x )＞m (0)＝1.又设n (x )＝ln x －x ，x ∈(0，＋∞)，n ′(x )＝1x－1， 当x ∈(0,1)时，n ′(x )＞0，n (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，n ′(x )＜0，n (x )单调递减，所以x ＝1为n (x )的极大值点，即n (x )≤n (1)＝－1，故|f (x )－g (x )|＝m (x )－n (x )＞1－(－1)＝2.即公共定义域内任一点差值都大于2.。
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回扣7 解析几何 1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)． (4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． 2．直线的两种位置关系 当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3．三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： AB＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
(2)点到直线的距离：d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离：d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)． 提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法． 6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2) |PF1－PF2|＝2a(2a
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
图形
几何 性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (±c,0) (p2，0) 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝ca＝1－b2a2
(0e＝ca＝1＋b2a2(e>1) e＝1
准线 x＝－p2 渐近线 y＝±bax
7.直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|. 8．范围、最值问题的常用解法 (1)几何法 ①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度． ②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为PC＋R，最小值为PC－R(R为圆C的半径)． ③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P的直径垂直的弦． ④圆锥曲线上本身存在最值问题，如a.椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；b.双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；d.在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近． (2)代数法 把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解． 9．定点、定值问题的思路 求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值． 10．解决存在性问题的解题步骤 第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； 第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在； 第三步：得出结论．
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错． 2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽
视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等． 3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0. 4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．
5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解． 6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件． 7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解． 8．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支． 9．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误． 10．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解． 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”的条件下进行．
1．直线2mx－(m2＋1)y－m＝0倾斜角的取值范围为________． 答案 [0，π4]
解析 由已知可得m≥0.直线的斜率k＝2mm2＋1.当m＝0时，k＝0，当m>0时，k＝2mm2＋1＝2m＋1m
≤22 m·1m
＝1，又因为m>0，所以0
则0≤tanθ≤1，因为0≤θ2．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a等于________． 答案 －1 解析 由题意a(a－1)＝2，得a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1方程为2x＋2y＋6＝0，即x＋y＋3＝0，l2方程为x＋y＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a＝－1时，直线l1，l2
的方程分别为－x＋2y＋6＝0，x－2y＝0，符合题意．所以a＝－1.
3．直线x＋y＝3a与圆x2＋y2＝a2＋(a－1)2相交于点A，B，点O是坐标原点，若△AOB是正三角形，则实数a等于________．
答案 12 解析 由题意得，圆的圆心坐标为O(0,0)，设圆心到直线的距离为d， 所以弦长为2r2－d2＝r，得4d2＝3r2. 所以6a2＝3a2＋3(a－1)2，解得a＝12. 4．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于________． 答案 23 解析 由于圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，而圆心O(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|－5|32＋42＝1，∴AB＝2r2－d2＝24－1＝23. 5．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是________． 答案 3 解析 圆O1(－2,2)，r1＝1，圆O2(2,5)，r2＝4， ∴O1O2＝5＝r1＋r2，∴圆O1和圆O2相外切， ∴与圆O1和圆O2相切的直线有3条． 6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2
是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线
中椭圆的离心率是________． 答案 2－3
解析 由题意设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，
双曲线方程为x2a21－y2b21＝1，且c＝c1. 由题意ca·ca1＝1，(*) 由∠F1PF2＝30°，由余弦定理得：椭圆中4c2＝4a2－(2＋3)PF1·PF2， 双曲线中：4c2＝4a21＋(2－3)PF1·PF2， 可得b21＝(7－43)b2，代入(*)式， c4＝a21a2＝(c2－b21)a2＝(8－43)c2a2－(7－43)a4， 即e4－(8－43)e2＋(7－43)＝0， 得e2＝7－43，即e＝2－3.
7．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为________． 答案 255
解析 ∵c＋b2c－b2＝53，a2－b2＝c2，c＝2b， ∴5c2＝4a2，∴e＝ca＝25＝255. 8．如图，已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，F1F2＝4，点A在