北京航空航天大学大一高数复习总结

高数总结一，定理与限制条件1，单调有界数列必定收敛（这一般是隐含条件） 2，证明一元函数f(x)极限不存在的常用方法有：00(1),(0)(0)f X f X +≠-若遇到arctanx 或者arctanx 要分别求x →±∞.（2）00,.lim ()n n n x x x x x f x →∞∃→≠不存在，或000().,n n n x x x x y x ∃→≠→使lim ()lim ()n n n n f x f y →∞→∞≠3，利用极限运算法则求极限，前提是(),()f x g x 的极限都存在，当lim ()x a f x →或lim ()x a g x →都不存在时，()()f x g x ±，()()f x g x ⋅，()()f x g x 的极限均不确定成立。

4，用等价无穷小求极限的注意事项：（1）在乘除法中可以用等价无穷小替换，加减法中不可以随便用等价无穷小替换。

（2）最常用于解题的等价 无穷小替换：(1)1ln(1)x x x βαβαβα+-→→+（主要用于加减法变换）0x → ln(1)x x +→（用于加减法变换）0x →5，使用洛必达法则的前提是00型，∞∞型否则不可以使用。

6，用递归数列求极限：对任意数列{}n x ，若满足1n n x A k a A --≤-，其中0＜k ＜1,则一定有lim n n a A→∞=7，连续性：若0lim ()()x x f x f x →= 称()f x 在0x 连续。

（某一邻域）设()f x 在0x 的空心邻域或者单侧空心邻域内有定义，0x x =不是()f x 的连续点，则称0x 是()f x 的间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，可去间断点的特征是0()f x +与0()f x -均存在，且00()()f x f x +-=但是000()()()f x f x f x +-≠≠，跳跃间断点的特征是0()f x +与0()f x -均存在，但00()()f x f x +-≠。

第二类间断点：无穷间断点的特征是：0()f x +与0()f x -至少有一个为∞。

8，有界闭区间上的连续函数的有界性：如果()f x 在[a, b]上连续，则()f x 在[a,b]上有界，则0M ∃，使得()f x M≤9，可导、可微、连续的关系 可导⇔可微⇒连续≠可微10，参数方程：()x t ϕ=()y t ψ=则2''23()'()'()''()'()d y t t t t dx t ψϕψϕϕ-=如果()()()x x y f t dtϕψ=⎰则''()[()'()(()]y x f x x f x ϕϕψψ=-12341(1)(1)n n n n n x x x x x x x ----+=+-+--+11，如何判断原函数的存在性：当函数()f x 在区间I 上连续时，则()f x 在区间I 上存在原函数 若()f x 在区间上存在第一类间断点，则()f x 在该区间上不存在原函数12，定积分：定积分要求积分区间有限，被积函数有界 可积的充分条件：〈1〉()f x 在[a, b]上连续〈2〉()f x 在[a, b]上有界且有有限个间断点 〈3〉()f x 在[a, b]上单调可积的必要条件：()f x 在[a, b]上可积，则有()f x 在[a, b]上有界 13，应用牛顿—莱布尼茨公式的前提是：原函数()F x 在积分区间连续 14，反常积分：00()()()lim()lim ()baa b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx+∞+∞-∞-∞→-∞→∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰15，应用题进行微元分割法的步骤; 分割 → 近似 → 求和 → 取极限16，极坐标的面积公式：22211[()()]2S r r d βαθθθ=-⎰直角坐标与极坐标的变换公式：21()2221()1[()()]2r r DDS dxdy rdrd d rdr r r d βθβαθαθθθθθ====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17，平面曲线弧长公式：1〈〉参数公式; ()x x t =()y y t =ds =2〈〉显示方式：()y f x =ds ⇒= 3〈〉极坐标方式：()r r ds θθ=⇒=18，曲率：d k ds α=1〈〉参数方程： ()x x t = ()y y t =则''3222()'()'()''()'()'()y t x t y t x t k x t y t -=⎡⎤+⎣⎦2〈〉显示方程：()322''()1'y d y y x k dsy α=⇒==+显示推导;()223222'''''''tan ''sec 1tan 1'y dx y d y d y y d dx k dx ds y ααααααα=⇒=⇒=⇒===++19，旋转体的体积：体积=周长×高×水平微分厚度2()bx a v f x dxπ=⎰2()by av xf x dxπ=⎰20，旋转面的面积：当绕X 轴旋转且是弧线时2()2(bbaaF y t ds y t ππ==⎰⎰当弧线为极坐标方程时：()r r θ=2()sin F r βαπθθ=⎰21，常见积分变换当遇到11sin cos sin cos a x b xdx a x b x ++⎰时，进行如下变换11sin cos (sin cos )(sin cos )'(sin cos )(cos sin )a xb x A a x b x B a x b x A a x b x B a x b x +=+++=++-1122aa bb A a b +=+ 1122ab ba B a b -=+令tan 2x t = 则22sin 1tx t =+ 221cos 1t x t -=+*220(1)sin cos nn n ii xdx xdx I nii ππ-==⎰⎰ *1I =当n 为奇数时，当n 为偶数时*2I π=22，极值第一充分条件判别定理：设()f x 在00(,)x x σσ-+连续，在000(,)\{}x x x σσ-+可导，若00(,)x x x σ∍-时'()0f x ，00(,)x x x σ∍+时'()0f x ，则()f x 在0x x =取极大值，且0x x =可以是()f x 的不可导点。

极值第二充分判别定理：设()f x 在0x x =点二阶可导且'()0f x =，当''()0f x 时0()f x 为极大值当''()0f x 时，0()f x 为极小值，当''()0f x =待定 23，设()f x 在0x 的某领域连续，函数()f x 在0x 的左右两侧的凹凸性正好相反，则00(,())x f x 是曲线()f x 的拐点。

拐点的必要条件：''()0f x =或''()f x 不存在渐近线：x →+∞和x →-∞可以有不同的渐近线 24，()(()())'xxf t dt x t f t dt =-⎰⎰()()(())'x xxf x f t dt x f t dt +=⎰⎰可以用上式在适当的条件下证明'()()()()f x p x f x Q x +-在某区间(,)a b 上存在零点有一阶线性方程的积分因子知：()()()('()()()())[().()]'p x dxp x dxp x dxe f x p x f x Q x e f x e Q x dx ⎰⎰⎰+-=-⎰同理''()()'()()f x p x f x Q x +-在某区间(,)a b 上存在零点⇔()()[().()]'p x dxp x dxe f x e Q x dx ⎰⎰-⎰的零点存在性。

11sin tan sin n n x x x tdt t dt<<⇒<⎰⎰25，泰勒公式：20102000()()()()(())n n n f x A A x x A x x A x x o x x =+-+-++-+-其中。

()0()!n n f x A n =唯一性：2341ln(1)(1)234kk x x x x x x k -+=-+-++-2312!3!!k x x x x e x k =+++++35211sin (1)3!5!(21)!k k x x x x x k --=-+++--2462cos 1(1)2!4!6!(2)!kkx x x x x k =-+-++-2(1)(1)(1)(1)12!!k x k x x x k ααααααα---++=++++26，二元函数(,)z f x y =极限不存在的判定问题：方法：1<>当(,)x y 沿不同的路径趋于00(,)x y 时，(,)f x y 趋于不同的值2<>当(,)x y 沿某路径趋于00(,)x y 时，(,)f x y 趋于∞或者不存在27，偏导数连续性，函数可微性，可偏导性和函数连续性的关系,f f x y ∂∂∂∂在000(,)M x y 连续(,)z f x y ⇒= 在0M 可微0(,)z f x y zaiM ⇒=连续，⇓(,)z f x y =在0M 可偏导且00(,)f x y A x ∂=∂和00(,)f x y B y ∂=∂28,复合函数求导(,,)f u v x 是作为,,u v x 的三元函数求fx ∂∂与作为 ((,),(),)f x y y x ϕψ作为,x y 的二元函数求((,),(),)f x y y x x ϕψ∂∂的含义是不同的。

偏导数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。

29，多元函数极值的充分条件：设(,)Z f x y =在点00,x y 的某邻域有连续的二阶偏导数，又有00(,)0x f x y =和00(,)0y f x y =，令00''(,)xx f x y A =，00''(,)xy f x y B =，00''(,)yy f x y C=210AC B <>->时，(,)f x y 在00(,)x y 取极值，且当0A >时取极小值，0A <时取极大值。