刚体绕定轴的转动(一)PPT

五、刚体绕定轴的转动（一）前言前两章质点力学讨论的是物体平动的情况，力学中，在一般情况下，一个物体的运动包含平动、转动、振动等是很复杂的，一物体在平动时，若把物体看成是一刚体（无形变）物体上每一点的运动情况都是一样的，无需考虑物体的形状，大小如何。

故物体可抽象为一质点，其运动情况如前两章质点力学所述。

但在转动中，情况就不一样了。

例如飞轮高速旋转时，其上的各点运动情况各不相同，因而不能简化为质点。

这一章与前两章相比，发生了两点变化：一是主要研究对象变了，由质点变为刚体。

即从物体来说，必须考虑它的形状，大小。

但忽略形变；二是主要研究的问题也变了，由平动变为转动。

即从运动来说突出了转动，暂时忽略振动或其他运动。

若将刚体分成许多细微部分，并把每一细微部分看成一个质点，那么刚体可以看成是有无数质点构成的质点组，这个质点组与平动所讨论的质点组是有区别的，其特征是：构成刚体的任意二质点间的距离，在运动中恒定不变，这种看法使我们有可能在上一章质点动力学的基础上来研究刚体情况。

讲授本章内容时，我们采取类比法，把物体的平动与刚体的定轴转动进行类比，其目的就是使同学们能更好地理解刚体定轴转动中一些物理量的物理含义。

一、刚体绕定轴转动的运动特征：什么是刚体绕定轴的转动呢？刚体中某一直线上的点保持不动（对固定参考系而言），其它各点都以该直线上的相应点为圆心，在垂直于该点的平面内作大小不同的圆周运动。

这种运动称刚体绕定轴的转动。

相对于参照系不动的直线称为转轴，刚体绕定轴的转动有三个特点：(在下面的讨论中要用到这些知识。

)1）刚体上各质点都在各自的平面内作半径不同的圆周运动。

而圆周运动是用角量来描述的，因此，质点运动学中讨论的角位移θ∆，角速度ω，角加速度β等概念都适用刚体定轴转动。

2）各质点作圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上。

3）尽管各质点绕轴运动的线速度不同，但角速度是相同的，这就意味着角速度的时间变化率也是相同的，即各质元的角加速度β相同。

研究刚体定轴转动时，我们把刚体看成是许多垂直于定轴的转动平面组成，通常取其中任一转动平面来研究。

这就是一个转动平面（PPT ），由转动平面的任意性知，其上任一点可代表刚体的所有点的运动情况。

现引入定轴转动刚体中的一个重要的物理量——转动惯量。

二、 转动惯量平动物体在运动时具有保持原来运动状态的特性，叫平动惯性。

转动的物体有没有这种惯性呢？转动的砂轮在关闭电动机后还会继续转动，最终停下来是由于轴与轮之间的摩擦力。

可以想象，如果轮和轴之间丝毫摩擦也没有，那么，砂轮会永远转下去，这就是转动物体保持原有转动状态的特性，叫做转动惯性。

在质点力学中，物体平动惯性的大小是用质量来量度的，质量能否描述转动惯性的大小呢？例：两种同质量但质量分布不一样的刚体（见下图）绕通过质心且垂直于平面的o 轴转动时，（a ）图中的刚体比（b ）图中的细杆转动惯性要大。

这表明描述刚体转动惯性大小仅考虑物体质量是不够的，必需引入一个新的物理量——转动惯量。

用它来量度转动刚体转动惯性的大小。

转动惯量是如何定义的呢？1、转动惯量的定义 当刚体绕定轴转动时，若把刚体看成是许多质量元i m ∆所组成，每一质元视为一质点，则刚体的转动动能转k E 就是组成刚体的各质m m(a) o ∙ m (b) ⋅量元作圆周运动的动能之和。

对任意质量元i m ∆，其作圆周运动的动能：221v m E i k ∆=∆=2221i i r m ω∆，整个刚体的转动动能： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆=∑∑==n i i i ni i i k r m r m E 1221222121ωω转令括弧内的物理内容为一个新的物理量，用J 表示，J r m i ni i =∆∑=21 (1) 并称为转动惯量。

刚体绕定轴转动的转动动能写成 221ωJ E k ＝转 (2) （2）式表明，刚体定轴转动动能不仅与刚体转动的角速度有关，且与转动惯量J 有关。

J 是由（1）式定义的。

在国际单位中，J 的单位为2m kg ∙。

对（1）式的说明：1）对定转轴的刚体来说，各质量元到转轴的距离i r 是一定的，所以J 对转轴固定的刚体来说是个定值。

2）对于质量离散的转动系统，可直接用定义式来计算转动惯i r v ω=量；对质量连续分布的刚体，（1）式中的求和号应以定积分来代替：⇒∆=∑=21i n i i r m J dm r J ⎰=2 )'1(dm 为质量元， r 为质量元到转轴的垂直距离。

这个积分应遍及整个刚体。

在具体计算时，根据刚体质量分布的不同，可引入相应的质量密度，从而建立质元dm 的具体表达式，进行积分运算。

如质量为线分布：dl dm λ=，λ为质量线密度，dldm =λ； 如质量为面分布：ds dm σ=，σ为质量面密度，dsdm =σ； 如质量为体分布：dv dm ρ=，ρ为质量体密度，dvdm =ρ。

现看一个刚体质量分布为线分布的例子：求质量为m ，长为L 的匀质细杆绕垂直于杆且通过端点o 轴的转动惯量。

解：刚体质量为线分布，取杆长方向为x 轴，转轴为坐标原点。

匀质杆可看成许多质元组成：dx Lm dx dm ==λ，任一质元对o 轴的转动惯量：dx x Lm dmx dJ 22==，考虑组成杆的所有质元对o 轴的转动惯量：22031mL dx x L m dJ J L===⎰⎰x若转轴垂直于杆且通过质心，可算得2121ml J =（上式计算中，只是积分上、下限的变化）。

有关质量是面分布的例子（匀质圆盘绕垂直于盘面且通过盘心的转动惯量）教材中有相应的例题。

2、 转动惯量的物理意义现通过类比来体会一下转动惯量的物理意义：将（2）式221ωJ E k ＝转与平动动能 221mv E k =的比较知：ω与v 相当，它们分别表示刚体转动与质点平动的快慢；J 与m 相当，于是在刚体转动中，J 起着平动中质量的作用，m 描述平动物体的平动惯性的大小，而J 则描述转动刚体的转动惯性的大小。

3、 决定转动惯量大小的三个因素转动惯量与哪些因素有关呢？1） 由J 的定义知，J 与刚体的总质量有关，M 越大，J 越大。

教材中有一例题是求质量相同、半径也相同的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量。

圆环的J 可直接用（1）式求得，圆盘要用（1）’式的积分求得。

这表明2221mR J mR J =>=盘环 2）总质量相同，但质量分布不同，J 不同。

质量分布越远离转轴，J 越大。

在总质量一定且质量分布一定的情况下，J 还与哪些因素有关呢？前面例题中，我们求出两个质量同为m 长度均为L 的匀质细杆，杆绕垂直于杆且通过端点o （或中心o ’）的转动惯量分别为 2212131ml J ml J =>=3）在总质量一定且质量分布也一定的情况下，转动惯量与所给定轴的位置有关。

最后讨论转动惯量的可加性：（4） 转动惯量的可加性转动惯量具有可加性。

一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。

这一点称为转动惯量的可加性。

下面通过一个例题来作进一步理解：这是一个质量分别为2m 和m 的小球与一个质量为3m 长为l 2的匀质细杆组成的刚体，当它绕垂直于杆中心的o 轴转动时，转动惯量为例题、如图所示，长为L 质量为m 的匀质细杆，可绕通过杆22224)2(31212ml l m l m l m J =⨯⨯+⨯+⨯=的端点o 并与杆垂直的水平固定轴在铅直平面内转动，杆的另一端连接一质量为m 的小球。

杆从水平位置由静止开始自由下摆，忽略轴处的摩擦，当杆转至与竖直方向成θ角时，小球与杆的角速度是多少？解：取杆、小球和地球为系统，下摆过程中，系统只受重力（内力 ）的作用，机械能守恒。

现将杆和小球视为一个新的刚体A ，它绕O 轴的转动惯量2223431ml ml ml J A =+=，刚体A 在下落过程中重力势能转换成绕定轴转动的动能，根据机械能守恒定律221cos 2cos ωθθA J l mg mgl =+， 解得l g θωcos 23=。

也可将杆与小球分开讨论：22221cos 2cos l m J l mg mgl ωωθθ+=+，式中的231ml J =。

其结果是一样的。

现在讨论刚体定轴转动的动力学方程。

三、刚体定轴转动的转动定律维持刚体转动状态靠的是转动惯性，那么如何改变转动状态呢？上一章讲到力可以改变平动物体的运动状态，力的作用能改变刚体的转动状态吗？例如 ：门是以门轴为定轴转动的，力作用在门轴上或力的方向平行于门轴都是不行的，关键在于力的作用必须有垂直于轴的分量，且力的作用线与轴有一定的距离，满足上述条件的力，对门轴而言，就是力对门轴的力矩。

即力矩才能改变定轴转动刚体的转动状态。

1、力矩→F 是作用在刚体上的力，它有垂直于转轴o 的分量且力的作用线到转轴的距离为d ，d 称为力臂。

定义力→F 对转轴o 的力矩：F r M ⨯=是力的作用点相对于转轴的位矢。

力矩是矢量，其方向可由右手螺旋法则确定（转动时，应从经小于180度的角转到→F 的方向）。

力矩的大小： Fd Fr M ==θsin (3)’θsin r d =为力的作用线到o 的垂直距离，→→F r 与为θ夹角。

说明（1）在刚体定轴转动中，刚体不是逆时针转动就是顺时针转动，因此力矩可用正、负号表示。

（2）定轴转动的刚体，如同时受到几个外力的共同作用，刚体受到的合外力矩的量值等于这几个力各自力矩的代数和。

平行于转轴的力或通过转轴（即力臂为0）的力，其力矩为零。

2、 转动定律现在来探讨定轴转动刚体所遵循的规律。

动力学的基本方程是牛顿第二定律，刚体动力学也包括其中。

若将牛二写成→→=a m F 形式，用于解决质点平动问题非常有效，但不适用于刚体的定轴转动，因为描述刚体绕定轴转动通常是以角量来描述的，如果把牛二中的各物理量用描述刚体转动中相应的物理量表示出来，就得到了刚体定轴转动的动力学规律——转动定律。

下面我们作一类比：平动： a m F = F 可改变质点的平动状态，m 描述质点平动惯性大小，a 描述平动物体速度的时间变化率。

转动： M 则可改变定轴转动刚体的转动状态，描述刚体转动惯量大小的物理量为转动惯量J 。

刚体绕定轴转动是用角量来描述的，与a 相当的物理量是角加速度β。

类比后得到：βJ M =. （4）（4）式即为刚体定轴转动的转动定律，由于转动定律是通过与牛顿第二定律类比得到的，因此，它在刚体定轴转动中的地位相当于牛二在质点力学中的地位。

转动定律在教材中有详细推导。

同学们课后看一下，加深对（4）式的理解。

转动定律可表述为：定轴转动刚体的角加速度和它所受的合外力矩成正比，和转动惯量成反比。