2017年河南省郑州市中考数学一模试卷

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河南省郑州市中考一模数学模拟试卷及答案

郑州九年级一模模拟测试数学试题一选择题(每小题3分，共24分,下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确)1.－5的绝对值是（） A. 15-B. 15C. 5-D. 52.下列四个交通标志中，轴对称图形是（）3.不等式组： 2011x x +≥⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示正确的是( )4.某校有21名学生参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（） A ．最高分 B 。

平均分 C.极差 D.中位数5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体摆放的位置是（）6.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（）A. 14B. 12C. 14 或12D.以上都不对7.如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦C D ⊥AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（） A. 160° B. 150° C. 140° D ．120°C主视图左视图俯视图8.如图，在正方形ABCD 中，AB=3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 从A 点出发沿折线AD →DC →CB 以每秒３cm 的速度运动，到达B 时运动同时停止，设△AMN 的面积为y （cm 2），运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（）二、填空题（每小题3分，共21分）9.计算：09(21)+-=______________10.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ，如果∠ADF ＝100°,那么∠BMD 为_____________度11.如图，A 、B 两点在双曲线4y x=上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线，已知S 阴影=1，则12S S +=__________________12.如图，经过点B （－2，0）的直线y kx b =+与直线42y x =+相交于点A （－1，－2），则不等式4x+2<kx+b<0的解集为__________________13.三辆车按1，2，3编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车，则两人同坐3号车的概率是______14.如图，在R t △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E 在BC 上，将△ABC 沿AE 折叠，使点B 落在AC 边上的点B ′处，则BE 的长为___________15.如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE=30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ，若PQ=AE ，则AP 等于___________cm.A C MEB ′A B三、解答题（本题共8个小题，共75分）16.（8分）请你化简22236911211x x xx x x x+++÷+--++，再取恰当x的值代入求值。

河南省开封市2017年中考数学一模试卷(含解析)

2017年河南省开封市中考数学一模试卷一、选择题：每小题3分，共30分．1．下列四个数中，最小的数是（）A．0 B．1 C．﹣ D．﹣12．2017年春节期间，开封市旅游接待总量达230.82万人次，同比增长34.5%，旅游综合收入13.91亿元，同比增长43.2%，取得了2017年全市旅游产业发展开门红，13.91亿元用科学记数法应表示为（）A．1.391×1010B．13.91×108C．1.391×109D．13.91×1093．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列运算正确的是（）A．（a﹣2）2=a2﹣4 B．a2•a4=a8C．a3+a2=2a5D．（﹣ab2）3=﹣a3b65．下列说法不正确的是（）A．在选举中，人们通常最关心的数据是众数B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3C．一组数据1，1，0，2，4的平均数为2D．甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加数学竞赛，选甲比较稳定6．关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B． C．D．7．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是（）A．B．C．D．8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）A．36 B．12 C．6 D．310．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题：每题3分，共15分．11．计算： +（）﹣2+（π﹣1）0= ．12．如图，在△ABC中， =，DE∥AC，则DE：AC= ．13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是．15．在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D 落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为．三、解答题：本题共8小题，共75分．16．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．17．我市某食品厂“端午节”期间，为了解市民对肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将不完整的条形图补充完整．（3）若居民区有6000人，请估计爱吃C粽的人数？18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．填空：①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是时，△ADE是直角三角形．19．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3800米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．20．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，P在第一象限，PA ⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．21．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．22．如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=60°，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）．（1）问题发现：如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系，请证明你的猜想．（2）类比探究：如图2，若AB：AD=1：2，过点C作CH⊥AD于点H，求AE：FH的比值；（3）拓展延伸：如图3，若AB：AD=1：4，请直接写出（AE+4AF）：AC的比值为．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时P的坐标及面积的最大值；（3）若G为抛物线上的一动点，F为x轴上的一动点，点D坐标为（1，4），点E坐标为（1，0），当D、E、F、G构成平行四边形时，请直接写出点G的坐标．2017年河南省开封市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共30分．1．下列四个数中，最小的数是（）A．0 B．1 C．﹣ D．﹣1【考点】18：有理数大小比较．【分析】根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可．【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0＜1，∴四个数中，最小的数是﹣1；故选D．2．2017年春节期间，开封市旅游接待总量达230.82万人次，同比增长34.5%，旅游综合收入13.91亿元，同比增长43.2%，取得了2017年全市旅游产业发展开门红，13.91亿元用科学记数法应表示为（）A．1.391×1010B．13.91×108C．1.391×109D．13.91×109【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将13.91亿用科学记数法表示为：1.391×109．故选：C．3．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．【解答】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选：D．4．下列运算正确的是（）A．（a﹣2）2=a2﹣4 B．a2•a4=a8C．a3+a2=2a5D．（﹣ab2）3=﹣a3b6【考点】4I：整式的混合运算．【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：∵（a﹣2）2=a2﹣4a+4，故选项A错误，∵a2•a4=a6，故选项B错误；∵a3+a2不能合并，故选项C错误，∵（﹣ab2）3=﹣a3b6，故选项D正确，故选D．5．下列说法不正确的是（）A．在选举中，人们通常最关心的数据是众数B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3C．一组数据1，1，0，2，4的平均数为2D．甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加数学竞赛，选甲比较稳定【考点】WA：统计量的选择．【分析】利用众数、中位数、平均数及方差的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、在选举中，人们通常最关心的是众数，正确，不符合题意；B、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，正确，不符合题意；C、一组数据1，1，0，2，4的平均数为1.6，错误，符合题意；D、甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加数学竞赛，选甲比较稳定，正确，不符合题意，故选C．6．关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解不等式组得，再分别表示在数轴上即可得解．【解答】解：由﹣x＜1得x＞﹣1，又x﹣2≤0，得x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．在数轴上表示，故选：B．7．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是（）A．B．C．D．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：所有等可能的情况有12种，其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况有4种，则P==，故选：A．8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．【解答】解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④，故选：B．9．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）A．36 B．12 C．6 D．3【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；KW：等腰直角三角形．【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．故选D．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】点E在运动过程中，AE⊥EF是保持不变的，则可以证出△ABE∽△ECF，通过边的比值计算得出y与x的函数关系式为二次函数，从而确定了选项在C、D中产生，再通过配方法得出顶点坐标就能得到答案．【解答】解：∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FCE=90°∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90° AB=BC=4，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FCE，∴△ABE∽△ECF，∴，∵BE=x，FC=y，∴EC=4﹣x，则有，整理后得 y=x2+x 配方后得到y=﹣（x﹣2）2+1从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1）．故选C．二、填空题：每题3分，共15分．11．计算： +（）﹣2+（π﹣1）0= 8 ．【考点】6E：零指数幂；2C：实数的运算；6F：负整数指数幂．【分析】根据开立方，可得立方根；根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．【解答】解：原式=﹣2+9+1=8．故答案为：8．12．如图，在△ABC中， =，DE∥AC，则DE：AC= 5：8 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】由比例的性质得出=，由平行线得出△BDE∽△BAC，得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵=，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴=，故答案为：5：8．13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜5且k≠1 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＜5且k≠1．故答案为：k＜5且k≠1．14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是8﹣π．【考点】MO：扇形面积的计算；KQ：勾股定理；R2：旋转的性质．【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF 的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，∴AB==，由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，∴DH=OB=2，阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+﹣=8﹣π，故答案为：8﹣π．15．在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为或8 ．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AFE=∠D=90°，设DE=x，则EF=x，CE=6﹣x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可．②当点F落在AB边上时，如答图2所示．此时四边形ADEF为正方形，得出DE=AD=8．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，∴AC===10，当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，F落在AC上，如图1所示．由折叠的性质得：EF=DE，AF=AD=8，设DE=x，则EF=x，CE=6﹣x，∴CE=6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=（6﹣x）2，解得x=，∴DE=；②当点F落在AB边上时，如图2所示．此时ADEF为正方形，∴DE=AD=8．综上所述，BE的长为或8．故答案为：或8．三、解答题：本题共8小题，共75分．16．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x2﹣x﹣1=0，求出x+1=x2，再把x2=x+1的值代入计算即可．【解答】解：原式=×，=×=，∵x2﹣x﹣1=0，∴x2=x+1，将x2=x+1代入化简后的式子得： ==1．17．我市某食品厂“端午节”期间，为了解市民对肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将不完整的条形图补充完整．（3）若居民区有6000人，请估计爱吃C粽的人数？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）根据喜欢B粽的人数是60人，所占的比例是10%，据此即可求得调查的总人数；（2）利用总人数减去其它组的人数即可求得喜欢C种粽子的人数，从而补全直方图；（3）利用总人数6000乘以对应的百分比即可求得．【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民数是60÷10%=600（人）；（2）C组的人数是：600﹣180﹣60﹣240=120（人）．A类型百分比为×100%=30%，C类型百分比为×100%=20%，（3）估计爱吃C粽的人数是：6000×=1200（人）．答：爱吃C粽的人数是1200人．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．填空：①当的长度是π时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接OD，如图，利用斜边上的中线性质得DB=DA=DC，则可判断△ABD为等边三角形得到∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，然后计算出∠ODB=90°，从而根据切线的判定定理可判定BD是⊙O的切线；（2）解：①利用△ABD为等边三角形得到AB=BD=AD=CD=，则可计算出OD=CD=1，当DE∥AB时，DE⊥AC，先证明△ADE为等边三角形，再证明四边形ABDE为菱形，然后利用弧长公式计算此时的长度；②讨论：当∠ADE=90°时，AE为直径，利用弧长公式可计算出此时的长度；当∠DAE=90°时，DE为直径，利用圆周角定理得到∠AOE=2∠ADE=60°，然后利用弧长公式可计算出此时的长度．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC=90°，点D为BC的中点，∴DB=DA=DC，∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=60°+30°=90°，∴OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线；（2）解：①∵△ABD为等边三角形，∴AB=BD=AD=CD=，在Rt△ODC中，OD=CD=1，当DE∥AB时，DE⊥AC，∴AD=AE，∵∠ADE=∠BAD=60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴AB=BD=DE=AE，∴四边形ABDE为菱形，此时的长度==π；②当∠ADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时的长度==π；当∠DAE=90°时，DE为直径，∠AOE=2∠ADE=60°，此时的长度==π，所以当的长度为π或π时，△ADE是直角三角形．故答案为π；π或π．19．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3800米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3800﹣1800=2000（米）．答：这座山的高度是2000米．20．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，P在第一象限，PA ⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由一次函数y=kx+2可知OD=2，由AP∥OB得==，可得AP=6，由S△PBD=4可得BP=2，把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为：y=；（2）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x＞2．【解答】解：（1）由一次函数y=kx+2可知D（0，2），∴OD=2，∵PA⊥x轴于点A，∵AP∥OB，∴=，∵=．∴==，∴PA=6，∴BD=6﹣2=4，∴由S△PBD=BP•BD=4，可得BP=2，∴P（2，6），把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2，反比例函数解析式为：y=；（2）由图可得x＞2．21．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【考点】9A：二元一次方程组的应用；8A：一元一次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B 型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）依题意有：a+（30﹣a）=1400，解得：a=20，∵a≤10，∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．22．如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=60°，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）．（1）问题发现：如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系AE+AF=AC ，请证明你的猜想．（2）类比探究：如图2，若AB：AD=1：2，过点C作CH⊥AD于点H，求AE：FH的比值；（3）拓展延伸：如图3，若AB：AD=1：4，请直接写出（AE+4AF）：AC的比值为．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=AF，由此即可证明．（2）设DH=x，由题意，CD=2x，CH=x，由△ACE∽△HCF，得由此即可证明．（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得出，由AB•CM=AD•CN，AD：AD=1：4，推出CM=4CN，得出=，设CN=a，FN=b，则CM=4a，EM=4b，再求出AC，AE+4AF，即可解决问题．【解答】解；（1）AE+AF=AC，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，∴∠D=∠B=60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，∵∠ECF=60°，∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACF，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）．∴BE=AF，∴AE+AF=AE+BE=AB=AC；故答案为：AE+AF=AC．（2）设DH=x，由题意，CD=2x，CH=x，∴AD=2AB=4x，∴AH=AD﹣DH=3x，∵CH⊥AD，∴AC==2x，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACH=60°，∵∠ECF=60°，∴∠HCF=∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴AE：FH=AC：CH=2：1．（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵∠AFC+∠CFN=180°，∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，∴△CFN∽△CEM，∴，∵AB•CM=AD•CN，AB：AD=1：4，∴CM=4CN，∴=，设CN=a，FN=b，则CM=4a，EM=4b，∵∠MAH=60°，∠M=90°，∴∠AHM=∠CHN=30°，∴HC=2a，HM=2a，HN=a，∴AM=HM=a，AH=2AM=a，∴AC==a，AE+4AF=（EM﹣AM）+4（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+4AH+4HN﹣4FN=4AH+4HN﹣AM=a，∴==；故答案为：．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时P的坐标及面积的最大值；（3）若G为抛物线上的一动点，F为x轴上的一动点，点D坐标为（1，4），点E坐标为（1，0），当D、E、F、G构成平行四边形时，请直接写出点G的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据平行四边形的性质，可得FG=4，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．【解答】解：（1）将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）作PE⊥x轴交AB于E点，如图1，当y=0时，﹣x2+3x+4=0，解得x1=﹣1（不符合题意，舍），x2=4，即B点坐标为（4，0），AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得y=﹣x+4．设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），PE=﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，S△ABP=AB•x B=（﹣m2+4m）×4=﹣2（m﹣2）2+8，当m=2时，S△ABP有最大值，最大值是8，m=2，﹣m2+3m+4=﹣4+6+4=6，即P点坐标为（2，6）；（3）如图2，由四边形DEFG是平行四边形，E，F在x轴上，得GF=DE=4，当y=4时，﹣x2+3x+4=4，解得x1=0，x2=3，即D点坐标为（0，4）或（3，4）．当D、E、F、G构成平行四边形时，点G的坐标（0，4）或（3，4）．。

2017年河南省许昌市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在数﹣3，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（） A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．3【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣1＜0＜2，3＞2， ∴大小在﹣1和2之间的数是0．故选：C ．2．（3分）某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②【解答】解：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确．故选：B ．3．（3分）微信更具移动ID 所带来的数据，发布了“微信用户春节迁徙数据报告”，该报告显示，2016年1月24日春运至2月4日期间，人口流入最多的省份是河南，作为劳务输出大省，河南约有313万微信用户在春节期间返乡，313万用科学记数法表示为（） A ．3.13×105B ．3.13×106C ．3.13×102D ．313×104【解答】解：313万＝3130000＝3.13×106，故选：B ．4．（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ：EA ＝3：4，EF ＝3，则CD 的长为（）A ．4B ．7C ．3D ．12【解答】解：∵DE ：EA ＝3：4， ∴DE ：DA ＝3：7 ∵EF ∥AB ， ∴DE DA=EF AB，∵EF ＝3， ∴37=3AB，解得：AB ＝7，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ＝7．故选：B ．5．（3分）已知，如图一次函数y 1＝ax +b 与反比例函数y 2=kx 的图象如图示，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（）A ．x ＜2B ．x ＞5C ．2＜x ＜5D ．0＜x ＜2或x ＞5【解答】解：根据题意得：当y 1＜y 2时，x 的取值范围是0＜x ＜2或x ＞5．故选：D ．6．（3分）已知边长为m 的正方形面积为12，则下列关于m 的说法中，错误的是（） ①m 是无理数；②m 是方程m 2﹣12＝0的解； ③m 满足不等式组{m −4＞0m −5＜0；④m 是12的算术平方根． A ．①②B ．①③C ．③D ．①②④【解答】解：∵边长为m 的正方形面积为12， ∴m 2＝12， ∴m ＝2√3， ∵√3是一个无理数， ∴m 是无理数，∴结论①正确； ∵m 2＝12，∴m 是方程m 2﹣12＝0的解， ∴结论②正确； ∵不等式组{m −4＞0m −5＜0的解集是4＜m ＜5，m ＝2√3＜2×2＝4，∴m 不满足不等式组{m −4＞0m −5＜0，∴结论③不正确； ∵m 2＝12，而且m ＞0， ∴m 是12的算术平方根， ∴结论④正确．综上，可得关于m 的说法中，错误的是③．故选：C ．7．（3分）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F （kg ）与时间t （s ）的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当铁块上面的面还在水中时，弹簧秤的读数不变；当铁块上面的面浮出水面，下面的面还在水下时，随着铁块上浮，弹簧秤的读数逐渐变大；当铁块下面的面浮出水面时，弹簧秤的读数不变．故选：C ．8．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ．若AC ＝3，AB ＝5，则DE 等于（）A ．2B ．103C ．158D ．152【解答】解：在Rt △ACB 中，由勾股定理得：BC =√52−32=4，连接AE ，从作法可知：DE 是AB 的垂直平分线，根据性质得出AE ＝BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AC 2+CE 2＝AE 2，即32+（4﹣AE ）2＝AE 2，解得：AE =258，在Rt △ADE 中，AD =12AB =52，由勾股定理得：DE 2+（52）2＝（258）2，解得：DE =158．故选：C ．9．（3分）如图6×6的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方向的边长都是1，正方形ABCD 的顶点都在格点上，若直线y ＝kx （k ≠0）与正方形ABCD 有公共点，则k 不可能是（）A ．1B ．12C ．3D ．2【解答】解：观察图形可知，点A （1，2），点C （2，1），当直线y ＝kx 过点A 时，有2＝k ；当直线y ＝kx 过点C 时，有1＝2k ，解得：k =12．∴若直线y ＝kx （k ≠0）与正方形ABCD 有公共点，12≤k ≤2．故选：C ．10．（3分）在平面内直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2017B 2017C 2017D 2017的边长是（）A ．（√33）2016B ．（√33）2017C ．（12）2016D ．（12）2017【解答】解：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴D 1E 1＝B 2E 2，D 2E 3＝B 3E 4，∠D 1C 1E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°， ∴D 1E 1＝C 1D 1sin30°=12，则B 2C 2=B 2E 2cos30°=√33=（√33）1，同理可得：B 3C 3=13=（√33）2，故正方形A n B n ∁n D n 的边长是：（√33）n ﹣1，则正方形A 2017B 2017C 2017D 2017的边长为：（√33）2016，故选：A ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）|﹣2|﹣（π﹣3）0＝ 1 ．【解答】解：|﹣2|﹣（π﹣3）0＝2﹣1＝1，故答案为：1．12．（3分）用等腰直角三角板画∠AOB ＝45°，将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线M 处后绕点M 逆时针旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 22 度．【解答】解：由平移的性质知，AO ∥SM ，故∠WMS ＝∠OWM ＝22°；故答案为：22．13．（3分）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是13．【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是26=13．故答案为13．14．（3分）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为π4−12．【解答】解：连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ． ∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴DC =12AB ＝1，四边形DMCN 是正方形，DM =√22．则扇形FDE 的面积是：90π×12360=π4．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴CD 平分∠BCA ，又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ， ∴DM ＝DN ，∵∠GDH ＝∠MDN ＝90°， ∴∠GDM ＝∠HDN ，在△DMG 和△DNH 中， {∠DMG =∠DNH DM =DN ∠GDM =∠HDN， ∴△DMG ≌△DNH （ASA ），∴S 四边形DGCH ＝S 四边形DMCN =12．则阴影部分的面积是：π4−12．故答案为π4−12．15．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为32或34．【解答】解：如图1所示；点E 与点F 重合时．在Rt △ABC 中，BC =√AB 2−AC 2=√52−32=4．由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ．则EB ＝2．设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4﹣x ．在Rt △DBE 中，DE 2+BE 2＝DB 2，即x 2+22＝（4﹣x ）2．解得：x =32． ∴DE =32．如图2所示：∠EDB ＝90时．由翻折的性质可知：AC ＝AE ，∠C ＝∠AED ＝90°． ∵∠C ＝∠AED ＝∠CDE ＝90°， ∴四边形ACDE 为矩形．又∵AC ＝AE ，∴四边形ACE ′为正方形．∴CD ＝AC ＝3．∴DB ＝BC ﹣DC ＝4﹣3＝1． ∵DF ∥AC ， ∴△BDF ∽△BCA ． ∴DF AC=DB CB=14，即DF 3=14．解得：DF =34．点D 在CB 上运动，假设∠DBE ＝90°，则点A 到BE 的距离为BC 的长，而AE ＝AC ＜BC ，故∠DBE 不可能为直角．故答案为：32或34．三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（8分）先化简，再求值：m−33m −6m÷(m +2−5m−2)，其中m 是方程x 2+2x ﹣3＝0的根．【解答】解：m−33m −6m÷(m +2−5m−2)=m−33m(m−2)÷(m+3)(m−3)m−2=13m(m+3)∵x 2+2x ﹣3＝0， ∴（x +3）（x ﹣1）＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1，∵m是方程x2+2x﹣3＝0的根，∴m1＝﹣3，m2＝1，∵m+3≠0，∴m≠﹣3，∴m＝1，所以原式=13m(m+3)=13×1×(1+3)=11217．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜60100.0560≤x＜70200.1070≤x＜8030b80≤x＜90a0.3090≤x≤100800.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝60，b＝0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？【解答】解：（1）样本容量是：10÷0.05＝200，a＝200×0.30＝60，b＝30÷200＝0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）3000×0.40＝1200（人）．即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．18．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．（1）求证：BF⊥AF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E＝∠CAB，∠EF A＝∠F AB，∵∠E＝∠EF A，∴∠F AB＝∠CAB，在△ABC和△ABF中，{AF=AC∠FAB=∠CABAB=AB，∴△ABC≌△ABF（SAS），∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴BF⊥AF；（2）解：当∠CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形．理由如下：∵∠CAB＝60°，∴∠F AB＝∠CAB＝60°，∴∠EAF＝60°，∵AE＝AF＝AD，∴△AEF，△ADF都是等边三角形，∴EF＝AE＝AD＝AE，∴四边形ADFE是菱形．19．（9分）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为4米，落在斜坡上的影长CD 为3米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【解答】解：如图作CM ∥AB 交AD 于M ，MN ⊥AB 于N ．由题意CM CD=PQ QR，即CM 3=12，CM =32，在Rt △AMN 中，∵∠ANM ＝90°，MN ＝BC ＝4，∠AMN ＝72°， ∴tan72°=ANNM ， ∴AN ≈12.3，∵MN ∥BC ，AB ∥CM ， ∴四边形MNBC 是平行四边形， ∴BN ＝CM =32， ∴AB ＝AN +BN ＝13.8米．20．（9分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克，且10≤x ≤18）之间的函数关系如图所示；（1）求y （千克）与销售价x 的函数关系式；（2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx +b ，把（10，40），（18，24）代入得 {10k +b =4018k +b =24，解得{k =−2b =60．故y 与x 之间的函数关系式y ＝﹣2x +60（10≤x ≤18）；（2）（x ﹣10）（﹣2x +60）＝150， ﹣2x 2+80x ﹣600＝150，解得x 1＝15，x 2＝25（不合题意，舍去）．答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．21．（10分）有这样一个问题：探究函数y =xx+1的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数y =xx+1的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成：（1）函数y =xx+1的自变量x 的取值范围是 x ≠﹣1 ；（2）列出y 与x 的几组对应值．请直接写出m 的值，m ＝ 3 ；（3）请在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出函数y =xx+1的一条性质． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2−32 −12 0 12m45… y…54433223 ﹣11223344556…【解答】解：（1）∵x+1≠0，∴x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．（2）当y=xx+1=34时，x＝3．故答案为：3．（3）描点、连线画出图象如图所示．（4）观察函数图象，发现：函数y=xx+1在x＜﹣1和x＞﹣1上均单调递增．22．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2√2时，a＝2√5，b＝2√5．如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝2√13，b＝2√7．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2√5，AB＝3，求AF的长．【解答】解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE＝45°，∴AP＝BP=√22AB＝2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=12AB=√2，∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF=2+22=√5，∴AC＝BC＝2√5，∴a＝b＝2√5，如图2，连接EF，同理可得：EF=12×4＝2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴PFAP =PEPB=EFAB=12，在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°，∴AP ＝2，PB ＝2√3， ∴PF ＝1，PE =√3，在Rt △APE 和Rt △BPF 中，根据勾股定理得：AE =√7，BF =√13， ∴a ＝2√13，b ＝2√7，故答案为：2√5，2√5，2√13，2√7；（2）猜想：a 2+b 2＝5c 2，如图3，连接EF ，设∠ABP ＝α，∴AP ＝c sin α，PB ＝c cos α，由（1）同理可得，PF =12P A =csinα2，PE =12PB =ccosα2， AE 2＝AP 2+PE 2＝c 2sin 2α+c 2cos 2α4，BF 2＝PB 2+PF 2=c 2sin 2α4+c 2cos 2α，∴(b 2)2=c 2sin 2α+c 2cos 2α4，(a 2)2=c 2sin 2α4+c 2cos 2α， ∴a 24+b 24=c 2sin 2α4+c 2cos 2α+c 2sin 2α+c 2cos 2α4，∴a 2+b 2＝5c 2；（3）如图4，连接AC ，EF 交于H ，AC 与BE 交于点Q ，设BE 与AF 的交点为P ， ∵点E 、G 分别是AD ，CD 的中点， ∴EG ∥AC ， ∵BE ⊥EG ， ∴BE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2√5， ∴∠EAH ＝∠FCH ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE =12AD ，BF =12BC ， ∴AE ＝BF ＝CF =12AD =√5，∵AE ∥BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形， ∴EF ＝AB ＝3，AP ＝PF ，在△AEH 和△CFH 中， {∠EAH =∠FCH ∠AHE =∠FHC AE =CF， ∴△AEH ≌△CFH （AAS ）， ∴EH ＝FH ，∴EP ，AH 分别是△AFE 的中线，由（2）的结论得：AF 2+EF 2＝5AE 2， ∴AF 2＝5(√5)2−EF 2＝16， ∴AF ＝4．或连接F 与AB 的中点M ，证MF 垂直BP ，构造出“中垂三角形”，因为AB ＝3，BF =12AD ＝根号5，根据上一问的结论，直接可求AF ．23．（11分）如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与y 轴交于点C （0，﹣4），与x 轴交于点A 、B ，且B 点的坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是AB 上的一个动点，过点P 作PE ∥AC 交BC 于点E ，连接CP ，求△PCE 面积最大时P 点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D 为OA 的中点，点M 是线段AC 上一点，当△OMD 为等腰三角形时，连接MP 、ME ，把△MPE 沿着PE 翻折，点M 的对应点为点N ，直接写出点N 的坐标．【解答】解：（1）根据题意得： {c =−42+2b +c =0，解得：{b =1c =−4，所以该抛物线的解析式为：y =12x 2+x ﹣4；（2）令y ＝0，即12x 2+x ﹣4＝0，解得x 1＝﹣4，x 2＝2，∴A （﹣4，0），S △ABC =12AB •OC ＝12 设P 点坐标为（x ，0），则PB ＝2﹣x ． ∵PE ∥BC ，∴∠BPE ＝∠BAC ，∠BEP ＝∠BCA ， ∴△PBE ∽△BAC ， ∴S △PBE S △ABC=（PB AB）2，即S △PBE 12=（2−x 6）2，化简得：S △PBE =13（2﹣x ）2．S △PCE ＝S △PCB ﹣S △PBE =12PB •OC ﹣S △PBE =12×（2﹣x ）×4−13（2﹣x ）2=−13x 2−23x +83=−13（x +1）2+3 ∴当x ＝﹣1时，S △PCE 的最大值为3．（3）由（2）已知A （﹣4，0）， ∵点D 为0A 中点， ∴D （﹣2，0），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣4，0）、C （0，﹣4）分别代入得： {−4m +n =0n =−4，解得{m =−1n =−4，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣4．∵PE ∥AC ，所以可设直线PE 的解析式为y ＝﹣x +a ，将P （﹣1，0）代入y ＝﹣x ﹣a 得a ＝﹣1，所以直线PE 的解析式为y ＝﹣x ﹣1．设直线BC 的解析式为y ＝kx +a ′，将B （2，0）、C （0，﹣4）代入y ＝kx +a ′得{2k +a′=0a′=−4，解得k ＝2，a ′＝﹣4．所以直线BC 的解析式为y ＝2x ﹣4．由2x ﹣4＝﹣x ﹣1得x ＝1，将x ＝1代入y ＝2x ﹣4得y ＝﹣2， ∴E 点坐标为（1，﹣2）． ①当MD ＝OD 时，如图1：∵AD ＝MD ＝AD ，OA ＝OC ，∠DAM ＝∠OAC ， ∴△ADM ∽△AOC ，∴∠ADM ＝∠AOC ＝90°，即DM ⊥x 轴，∴M 的横坐标为﹣2，将x ＝﹣2代入y ＝﹣x ﹣4，得y ＝﹣2．所以此时M 的坐标为（﹣2，﹣2）； ∵M 和E 点纵坐标相等， ∴ME ∥x 轴，∴∠PEM＝45°．由翻折得∠ENM＝2∠PEM＝90°，即NE∥y轴，∴EN＝ME＝3，∵E（1，﹣2），∴N（1，1）．②当DM＝OM时，过点M作MG⊥x轴交于点，如图2：易知DG＝OG＝1，即G点与P点重合，M的横坐标为﹣1，将x＝﹣1代入y＝﹣x﹣4，得y＝﹣3．∴M（﹣1，﹣3）．∵ME=√(−1−1)2+(−3+2)2=√5，EB=√(1−2)2+22=√5，∴ME＝EB，∵PB＝3，PM＝3，即PB＝PM，又∵PE＝PE，∴△BPE≌△MPE，∴∠BEP＝∠MEP，∴点N与点B重合，∴N（2，0）；③当OD＝OM时，设点O到AC的最短距离为h，则OA•OC＝h•AC∵AC=√OA2+OC2=√42+42=4√2，=2√2，∴h=42∵h＞OD，∴OD≠OM．此时等腰△OMD不存在．综上所述，N点的坐标分别为（1，1）或（2，0）．。

2017年河南省安阳市中考数学一模试卷

2017年河南省安阳市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D ．﹣2．（3分）如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列计算正确的是（）A．x2•x3=x6B．（x2）3=x5C．x2+x3=x5D．x6÷x3=x34．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣3x+3=0有两个不等实根，则a的取值范围是（）A．a ＜且a≠0 B．a ＞﹣且a≠0 C．a ＞﹣D．a ＜5．（3分）3月1日，河南省统计局、国家统计局河南调查总队联合公布《2016年河南省国民经济和社会发展统计公报》，《公报》显示，到2016年年末，河南省总人口为10788万人，常住人口9532万人，数据“9532万”用科学记数法可表示为（）A．95.32×106B．9.532×107C．9532×104D．0.9532×1086．（3分）为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（）A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．极差是27．（3分）多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（）A．m﹣1 B．m+1 C．m2﹣1 D．（m﹣1）28．（3分）如图所示的是A、B、C、D三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B 两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H 两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC=66°，则∠BPC等于（）A．100°B．120°C．132° D．140°9．（3分）若二次函数y=﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y310．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），点B在直线OA上，且OA=2OB，则点B的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣4，8）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）二、填空题11．（3分）计算：=．12．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球共5个球，这些球除颜色不同外，其余均相同，从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，点E为AC上一点，若∠CBE=20°，则∠AED=°．14．（3分）如图所示，格点△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，图中每个小正方形的边长是1，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ最小值为．三、解答题16．（8分）先化简：（x﹣1﹣），然后从满足﹣2＜x≤2的整数值中选择一个你喜欢的数代入求值．17．（9分）某中学为了搞好对“传统文化学习”的宣传活动，对本校部分学生（随机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为A、B、C、D、E 五个组，x表示测试成绩）．通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）参加调查测试的学生为人；（2）将条形统计图补充完整；（3）本次调查测试成绩中的中位数落在组内；（4）若测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，该中学共有学生2600人，请你根据样本数据估计全校学生测试成绩为优秀的总人数．18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE相交于点F．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）填空：当∠CAB的度数为时，四边形ACFD是菱形．19．（9分）某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，与反比例函数y2=的图象交于C、D两点，已知点C的坐标为（﹣4，﹣1），点D的横坐标为2．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出当x为何值时，y1＞y2？（3）点P是反比例函数在第一象限的图象上的点，且点P的横坐标大于2，过点P做x轴的垂线，垂足为点E，当△APE的面积为3时，求点P的坐标．21．（10分）某市决定购买A、B两种树苗对某段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗9棵，B种树苗4棵，需要700元；购买A种树苗3棵，B种树苗5棵，则需要380元．（1）求购买A、B两种树苗每颗各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5260元．若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？22．（10分）已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN 于点B，连接CB．（1）问题发现如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为．（2）拓展探究当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2时，CB=．23．（11分）如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行于x轴交直线BC于点F，求△DEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q 为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．2017年河南省安阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．﹣【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣3|=3．故选B．2．（3分）如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从左到右有三列，左边一列有2个正方体，中间一列三个，右边有一个正方体，故选D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．x2•x3=x6B．（x2）3=x5C．x2+x3=x5D．x6÷x3=x3【解答】解：A、x2•x3=x5，故本选项错误；B、（x2）3=x6，故本选项错误；C、x2和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、x6÷x3=x3，故本选项正确；故选D．4．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣3x+3=0有两个不等实根，则a的取值范围是（）A．a ＜且a≠0 B．a ＞﹣且a≠0 C．a ＞﹣D．a ＜【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x+3=0有两个不等实根，∴，解得：a ＜且a≠0．故选A．5．（3分）3月1日，河南省统计局、国家统计局河南调查总队联合公布《2016年河南省国民经济和社会发展统计公报》，《公报》显示，到2016年年末，河南省总人口为10788万人，常住人口9532万人，数据“9532万”用科学记数法可表示为（）A．95.32×106B．9.532×107C．9532×104D．0.9532×108【解答】解：9532万=95320000=9.532×107，故选B．6．（3分）为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（）A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．极差是2【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，中位数为2；平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15=2；众数为2；极差为4﹣0=4；所以A、B、C正确，D错误．故选D．7．（3分）多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（）A．m﹣1 B．m+1 C．m2﹣1 D．（m﹣1）2【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1），2m2﹣4m+2=2（m﹣1）（m﹣1），m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（m﹣1），故选：A．8．（3分）如图所示的是A、B、C、D三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B 两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H 两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC=66°，则∠BPC等于（）A．100°B．120°C．132° D．140°【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，所以点P为△ABC的外心，所以∠BPC=2∠BAC=2×66°=132°．故选C．9．（3分）若二次函数y=﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3【解答】解：∵y=﹣x2+4x+c=﹣x2+4x﹣4+4+c，=﹣（x﹣2）2+4+c，∴二次函数对称轴为直线x=2，∵2﹣1=1，2﹣（﹣1）=3，2+﹣2=，∴1＜＜3，∴y2＜y3＜y1．故选C．10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），点B在直线OA上，且OA=2OB，则点B的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣4，8）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【解答】解：设直线OA解析式为：y=kx，把点A（﹣2，4）代入y=kx，可得：4=﹣2k，解得：k=﹣2，∵点B在直线OA上，且OA=2OB，所以点B的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2），故选D二、填空题11．（3分）计算：=2．【解答】解：原式===2．故答案为：2．12．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球共5个球，这些球除颜色不同外，其余均相同，从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为．【解答】解：∵不透明的袋子中装有3个红球和2个白球共5个球，∴任意摸出一个球，这个球是白球的概率为；故答案为：．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，点E为AC上一点，若∠CBE=20°，则∠AED=70°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCD=∠BAD=100°，∠ACD=∠BCD=50°，由菱形的对称性质得：∠CDE=∠CBE=20°，∴∠AED=∠ACD+∠CDE=70°，故答案为：70．14．（3分）如图所示，格点△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，图中每个小正方形的边长是1，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：∵由图可知∠ABC=45°，∴∠ABE=90°．∵AB==，∴S阴影=S扇形ABE+S△ABC﹣S△BDE﹣S扇形DBC=S扇形ABE﹣S扇形DBC=﹣=2π﹣=．故答案为：．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ最小值为．【解答】解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=AE2+BE2，即32=（x）2+x2，解得x=，∴AE=，DE=，BE=，∴AD=3，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=3=AD=A′D∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+P Q=A′Q=DE=，故答案是：．三、解答题16．（8分）先化简：（x﹣1﹣），然后从满足﹣2＜x≤2的整数值中选择一个你喜欢的数代入求值．【解答】解：原式=×=•=∵﹣2＜x≤2且x为整数，∴若分式有意义，x只能取0，1，当x=0时，∴原式=﹣1（或当x=1时，原式=﹣3）17．（9分）某中学为了搞好对“传统文化学习”的宣传活动，对本校部分学生（随机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为A、B、C、D、E 五个组，x表示测试成绩）．通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）参加调查测试的学生为400人；（2）将条形统计图补充完整；（3）本次调查测试成绩中的中位数落在C组内；（4）若测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，该中学共有学生2600人，请你根据样本数据估计全校学生测试成绩为优秀的总人数．【解答】解：（1）参加调查测试的学生为：40÷10%=400人，故答案为：400；（2）B组人数为：400×35%=140人，E组人数为：400﹣40﹣140﹣120﹣80=20人，条形统计图补充完整如图：（3）40+140=180，∴本次调查测试成绩中的中位数落在C组内，故答案为：C；（4）2600×（10%+35%）=1170人．18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE相交于点F．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）填空：当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=∠BOC，∴OC∥BD，∵CE⊥BD，∴OC⊥CE，∴CF为⊙O的切线；（2）当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形，理由：∵∠A=30°，∴∠COF=60°，∴∠F=30°，∴∠A=∠F，∴AC=CF，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴AD∥CF，∴∠DAF=∠F=30°，在△ACB与△ADB中，，∴△ACB≌△ADB，∴AD=AC，∴AD=CF，∵AD∥CF，∴四边形ACFD是菱形．故答案为：30°．19．（9分）某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）【解答】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，=i=1：，∴设BF=k，则CF=，BC=2k．又∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=．∵DF=DC+CF，∴DF=40+6．∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，∴AH=tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH=BF﹣FH，∴BH=6﹣1.5=4.5．∵AB=AH﹣HB，∴AB=37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，与反比例函数y2=的图象交于C、D两点，已知点C的坐标为（﹣4，﹣1），点D的横坐标为2．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出当x为何值时，y1＞y2？（3）点P是反比例函数在第一象限的图象上的点，且点P的横坐标大于2，过点P做x轴的垂线，垂足为点E，当△APE的面积为3时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把，C（﹣4，﹣1）代入y2=，得n=4，∴y2=；∵点D的横坐标为2，∴点D的坐标为（2，2），把C（﹣4，﹣1）和D（2，2）代入y1=kx+b得，解得：，∴一次函数解析式为y1=x+1．（2）根据图象得：﹣4＜x＜0或x＞2；（3）当y1=0时，x+1=0，解得：x=﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，0），如图，设点P的坐标为（m，），∵△APE的面积为3，∴（m+2）•=3，解得：m=4，∴=1，∴点P的坐标为（4，1）．21．（10分）某市决定购买A、B两种树苗对某段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗9棵，B种树苗4棵，需要700元；购买A种树苗3棵，B种树苗5棵，则需要380元．（1）求购买A、B两种树苗每颗各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5260元．若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？【解答】解：（1）设购买A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，，得，答：购买A种树苗每棵60元，B种树苗每棵40元；（2）设购买A种树苗a棵，，解得，60≤a≤63，∴有四种购买方案，方案一：购买A种树苗60棵，B种树苗40棵，方案二：购买A种树苗61棵，B种树苗39棵，方案三：购买A种树苗62棵，B种树苗38棵，方案四：购买A种树苗63棵，B种树苗37棵，∵A种树苗比B种树苗贵，∴方案一最省钱．22．（10分）已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN 于点B，连接CB．（1）问题发现如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为BD=AE，BD、AB、CB之间的数量关系为BD+AB=CB．（2）拓展探究当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2时，CB=．【解答】解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°﹣∠ACB，∠BCD=90°﹣∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，∴∠BAC+∠D=180°，∵∠CE+∠BAC=180°，∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=CB，∴BE=AE+AB=DB+AB，∴BD+AB=CB；故答案为：BD=AE，BD+AB=CB；（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=CB，∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB，∴BD﹣AB=CB；（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠CFD，∵∠AFB=∠BFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=CB，∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB，∴AB﹣DB=CB；∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC=∠CBE=45°，∵∠ABD=90°，∴∠DBH=45°过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD=BH=2，∴BH=DH=，在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH=，∴CH=DH=×=，∴BC=CH﹣BH=﹣；故答案为：﹣．23．（11分）如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行于x轴交直线BC于点F，求△DEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q 为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）则有S△PBC2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，=+．∴C△PEF最大值（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y 轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．。

2017年河南省洛阳市中考数学一模试卷(解析版)

2017年河南省洛阳市中考数学一模试卷(解析版)2017年河南省洛阳市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．的相反数是（）A．B． C．﹣5 D．52．大树的价值很多，可以吸收有毒气体，防止大气污染，增加土壤肥力，涵养水源，为鸟类及其他动物提供繁衍场所等价值，累计计算，一棵50年树龄的大树总计创造价值超过160万元，其中160万元用科学记数法表示为（）A．1.6×105B．1.6×106C．1.6×107D．1.6×1083．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和俯视图4．下列各式计算正确的是（）A．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2B．2a3+a3=3a6C．a3•a=a4D．（﹣a2b）3=a6b35．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=（）A．70°B．100°C．110°D．120°6．已知点P（a+1，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．洛阳某中学“研究学习小组”的同学们进行了社会实践活动，其中一个小组的同学调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：用水量（吨）1520253041户数36795则这30户家庭用水量的众数和中位数分别是（）A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，258．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.59．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C 为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：0﹣（﹣3）﹣2= ．12．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x 轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）求本次被抽查的居民有多少人？（2）将图1和图2补充完整；（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；（4）估计该小区4000名居民中对“早市”的看法表示赞同（包括A层次）．19．如图2，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．（1）求∠CBO的度数；（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）20．甲、乙两家樱桃采摘园的品质相同，销售价格也相同，“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元；（2）求y1、y2与x的函数表达式；（3）在图中画出y1与x的函数图象，若某人想在“五一期间”采摘樱桃25千克，那么甲、乙哪个采摘园较为优惠？请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF =4S△DFO，求点D的坐标．22．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN（1）线段MN和GD的数量关系是，位置关系是；（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017年河南省洛阳市中考数学一模试卷一、选择题1．B．2．B．3．B．4．C5．C．6．C．7．D．8．A．9．B．10．C．二、填空题11．．12．﹣32．13．．14．9﹣﹣．15．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，∵EF⊥AA′，∴∠EPA=∠FPA=90°，∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，∴∠AEP=∠AFP，∴AE=AF，∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE=EA′，AF=FA′，∴AE=EA′=A′F=FA，∴四边形AEA′F是菱形，∴AP=PA′①当CD=CA′时，∵AA′=AC﹣CA′=3，∴AP=AA′=．②当A′C=A′D时，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴=，∴A′C=，∴AA=8﹣=，∴AP=AA′=．故答案为或．三、16．，a=1，当a=1时，原式=．17．（2）填空：①．②30°18．解：（1）抽查的总人数是90÷30%=300（人）；（2）C层次的人数是300×20%=60（人），则B层次的人数是300﹣90﹣60﹣30=120（人），所占的百分比是=40%，D层次所占的百分比是=10%．（3）“C”层次所在扇形的圆心角的度数是360°×=72°；（4）对“早市”的看法表示赞同（包括A层次）的大约4000×=2800（人）．19．∠OBC=∠AOB+∠BEO=37°+90°=127°．（2）x=37.5厘米．∴小桌板桌面的宽度BC的长度为37.5厘米．20．（1）30 元；（2）y1=30×0.6x+50=18x+50；当0≤x≤10时，y2=30x；当x＞10时，y2=300+（x﹣10）=15x+150．∴y1=18x+50，y2=．（3）画出y1与x的函数图象，如图所示．当x=25时，y1=18x+50=500，y2=15x+150=525，∵500＜525，∴选择甲采摘园较为优惠．21．y=﹣．点D的坐标为（，﹣4）．22．（1）MN=DG ，位置关系是MN⊥DG ；故答案为MN=DG，MN⊥DG；（2）（1）的结论仍然成立．∴MN⊥DG，MN=DG．（3）延长GM到点P，使得PM=GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，在△AMP和△FMG中，，∴△AMP≌△FMG，∴AP=FG，∠APM=∠FGM，∴AP∥GF，∴∠PAQ=∠Q，∵∠DOG=∠ODQ+∠Q=∠OGC+∠GCO，∠ODQ=∠OGC=90°，∴∠Q=∠GCO，∴∠PAQ=∠GCO．∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，∴DA=DC，GF=GC，∴AP=CG．在△APD和△CGD中，，∴△APD≌△CGD，∴PD=DG．∵PM=GM，∴DM⊥PG．∵DN=GN，∴MN=DG．∵GC=CE=3，∴点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，∵DC=BC=7，∴DG的最大值为7+3=10，最小值为7﹣3=4，∴MN的最大值为5，最小值为2．23．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）如图1，由（1）知y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=OB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m=或m=﹣（舍），∴M（0，），∴MD=﹣，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t=﹣；（3）存在点P，使∠PBF被BA平分，如图2，∴∠PBO=∠EBO，∵E（0，﹣1），∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上，联立①②得，解得或（舍去），∴P（，）。

2017年河南省许昌市中考一模数学试卷(解析版)

2017年河南省许昌市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在数﹣3，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．32．（3分）某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．②3．（3分）微信更具移动ID所带来的数据，发布了“微信用户春节迁徙数据报告”，该报告显示，2016年1月24日春运至2月4日期间，人口流入最多的省份是河南，作为劳务输出大省，河南约有313万微信用户在春节期间返乡，313万用科学记数法表示为（）A．3.13×105B．3.13×106C．3.13×102D．313×104 4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为（）A．4B．7C．3D．125．（3分）已知，如图一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜2B．x＞5C．2＜x＜5D．0＜x＜2或x＞56．（3分）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（）①m是无理数；②m是方程m2﹣12＝0的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根．A．①②B．①③C．③D．①②④7．（3分）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB 于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）A．2B．C．D．9．（3分）如图2×2的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方向的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k不可能是（）A．1B．C．3D．210．（3分）在平面内直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）|﹣2|﹣（π﹣3）0＝．12．（3分）用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线M处后绕点M逆时针旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为度．13．（3分）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．14．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB 的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC 上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x﹣3＝0的根．17．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？18．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A 交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．（1）求证：BF⊥AF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．19．（9分）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）20．（9分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示；（1）求y（千克）与销售价x的函数关系式；（2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？21．（10分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x的取值范围是；（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m＝；（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出函数的一条性质．22．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC 这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝，b＝．如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝，b＝．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长．23．（11分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE面积最大时P点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当△OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标．2017年河南省许昌市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在数﹣3，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．3【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣1＜0＜2，3＞2，∴大小在﹣1和2之间的数是0．故选：C．2．（3分）某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．②【解答】解：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确．故选：B．3．（3分）微信更具移动ID所带来的数据，发布了“微信用户春节迁徙数据报告”，该报告显示，2016年1月24日春运至2月4日期间，人口流入最多的省份是河南，作为劳务输出大省，河南约有313万微信用户在春节期间返乡，313万用科学记数法表示为（）A．3.13×105B．3.13×106C．3.13×102D．313×104【解答】解：313万＝3130000＝3.13×106，故选：B．4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为（）A．4B．7C．3D．12【解答】解：∵DE：EA＝3：4，∴DE：DA＝3：7∵EF∥AB，∴，∵EF＝3，∴，解得：AB＝7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝7．故选：B．5．（3分）已知，如图一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜2B．x＞5C．2＜x＜5D．0＜x＜2或x＞5【解答】解：根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．故选：D．6．（3分）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（）①m是无理数；②m是方程m2﹣12＝0的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根．A．①②B．①③C．③D．①②④【解答】解：∵边长为m的正方形面积为12，∴m2＝12，∴m＝2，∵是一个无理数，∴m是无理数，∴结论①正确；∵m2＝12，∴m是方程m2﹣12＝0的解，∴结论②正确；∵不等式组的解集是4＜m＜5，m＝2＜2×2＝4，∴m不满足不等式组，∴结论③不正确；∵m2＝12，而且m＞0，∴m是12的算术平方根，∴结论④正确．综上，可得关于m的说法中，错误的是③．故选：C．7．（3分）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当铁块上面的面还在水中时，弹簧秤的读数不变；当铁块上面的面浮出水面，下面的面还在水下时，随着铁块上浮，弹簧秤的读数逐渐变大；当铁块下面的面浮出水面时，弹簧秤的读数不变．故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB 于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）A．2B．C．D．【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4，连接AE，从作法可知：DE是AB的垂直平分线，根据性质得出AE＝BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣AE）2＝AE2，解得：AE＝，在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，解得：DE＝．故选：C．9．（3分）如图2×2的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方向的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k不可能是（）A．1B．C．3D．2【解答】解：观察图形可知，点A（1，2），点C（2，1），当直线y＝kx过点A时，有2＝k；当直线y＝kx过点C时，有1＝2k，解得：k＝．∴若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，≤k≤2．故选：C．10．（3分）在平面内直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形A n B n∁n D n的边长是：（）n﹣1，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为：（）2016，故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）|﹣2|﹣（π﹣3）0＝1．【解答】解：|﹣2|﹣（π﹣3）0＝2﹣1＝1，故答案为：1．12．（3分）用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线M处后绕点M逆时针旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为22度．【解答】解：由平移的性质知，AO∥SM，故∠WMS＝∠OWM＝22°；故答案为：22．13．（3分）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是＝．故答案为．14．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB 的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝．则扇形FDE的面积是：＝．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴CD 平分∠BCA ，又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，∴DM ＝DN ，∵∠GDH ＝∠MDN ＝90°，∴∠GDM ＝∠HDN ，在△DMG 和△DNH 中，，∴△DMG ≌△DNH （AAS ），∴S 四边形DGCH ＝S 四边形DMCN ＝．则阴影部分的面积是：﹣．故答案为﹣．15．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，点D 是BC上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为或．【解答】解：如图1所示；点E 与点F 重合时．在Rt △ABC 中，BC ＝＝＝4．由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ．则EB ＝2．设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．解得：x＝．∴DE＝．如图2所示：∠EDB＝90时．由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°．∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，∴四边形ACDE为矩形．又∵AC＝AE，∴四边形ACE′为正方形．∴CD＝AC＝3．∴DB＝BC﹣DC＝4﹣3＝1．∵DF∥AC，∴△BDF∽△BCA．∴＝，即．解得：DF＝．点D在CB上运动，假设∠DBE＝90°，则点A到BE的距离为BC的长，而AE＝AC＜BC，故∠DBE不可能为直角．故答案为：或．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x﹣3＝0的根．【解答】解：÷＝＝∵x2+2x﹣3＝0，∴（x+3）（x﹣1）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵m是方程x2+2x﹣3＝0的根，∴m1＝﹣3，m2＝1，∵m+3≠0，∴m≠﹣3，∴m＝1，所以原式＝＝＝17．（9分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝60，b＝0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？【解答】解：（1）样本容量是：10÷0.05＝200，a＝200×0.30＝60，b＝30÷200＝0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）3000×0.40＝1200（人）．即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．18．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A 交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．（1）求证：BF⊥AF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E＝∠CAB，∠EF A＝∠F AB，∵∠E＝∠EF A，∴∠F AB＝∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF（SAS），∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴BF⊥AF；（2）解：当∠CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形．理由如下：∵∠CAB＝60°，∴∠F AB＝∠CAB＝∠CAB＝60°，∴EF＝AD＝AE，∴四边形ADFE是菱形．19．（9分）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意＝，即＝，CM＝，在RT△AMN中，∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4，∠AMN＝72°，∴tan72°＝，∴AN≈12.3，∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN＝CM＝，∴AB＝AN+BN＝13.8米．20．（9分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示；（1）求y（千克）与销售价x的函数关系式；（2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得．故y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，﹣2x2+80x﹣600＝150，解得x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）．答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．21．（10分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x的取值范围是x≠﹣1；（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m＝3；（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出函数的一条性质．【解答】解：（1）∵x+1≠0，∴x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．（2）当y＝＝时，x＝3．故答案为：3．（3）描点、连线画出图象如图所示．（4）观察函数图象，发现：函数在x＜﹣1和x＞﹣1上均单调递增．22．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC 这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝2，b＝2．如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝2，b＝2．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长．【解答】解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE＝45°，∴AP＝BP＝AB＝2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF＝AB＝，∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF＝＝，∴AC＝BC＝2，∴a＝b＝2，如图2，连接EF，同理可得：EF＝×4＝2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°，∴AP＝2，PB＝2，∴PF＝1，PE＝，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE＝，BF＝，∴a＝2，b＝2，故答案为：2，2，2，2；（2）猜想：a2+b2＝5c2，如图3，连接EF，设∠ABP＝α，∴AP＝c sinα，PB＝c cosα，由（1）同理可得，PF＝P A＝，PE＝＝，AE2＝AP2+PE2＝c2sin2α+，BF2＝PB2+PF2＝+c2cos2α，∴＝c2sin2α+，＝+c2cos2α，∴+＝+c2cos2α+c2sin2α+，∴a2+b2＝5c2；（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，∴∠EAH＝∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝AD，BF＝BC，∴AE＝BF＝CF＝AD＝，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝3，AP＝PF，在△AEH和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH，∴EP，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2＝5AE2，∴AF2＝5﹣EF2＝16，∴AF＝4．或连接F与AB的中点M，证MF垂直BP，构造出“中垂三角形”，因为AB＝3，BC＝1/2AD＝根号5，根据上一问的结论，直接可求AF．23．（11分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE面积最大时P点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当△OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣4；（2）令y＝0，即x2+x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），S＝AB•OC＝12△ABC设P点坐标为（x，0），则PB＝2﹣x．∵PE∥BC，∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA，∴△PBE∽△BAC，∴＝（）2，即＝（）2，化简得：S＝（2﹣x）2．△PBES△PCE＝S△PCB﹣S△PBE＝PB•OC﹣S△PBE＝×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+3∴当x＝﹣1时，S的最大值为3．△PCE（3）由（2）已知A（﹣4，0），∵点D为0A中点，∴D（﹣2，0），设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（﹣4，0）、C（0，﹣4）分别代入得：，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣4．∵PE∥AC，所以可设直线PE的解析式为y＝﹣x+a，将P（﹣1，0）代入y＝﹣x﹣a得a＝﹣1，所以直线PE的解析式为y＝﹣x﹣1．设直线BC的解析式为y＝kx+a′，将B（2，0）、C（0，﹣4）代入y＝kx+a′得，解得k＝2，a′＝﹣4．所以直线BC的解析式为y＝2x﹣4．由2x﹣4＝﹣x﹣1得x＝1，将x＝1代入y＝2x﹣4得y＝﹣2，∴E点坐标为（1，﹣2）．①当MD＝OD时，如图1：∵AD＝MD＝AD，OA＝OC，∠DAM＝∠OAC，∴△ADM∽△AOC，∴∠ADM＝∠AOC＝90°，即DM⊥x轴，∴M的横坐标为﹣2，将x＝﹣2代入y＝﹣x﹣4，得y＝﹣2．所以此时M的坐标为（﹣2，﹣2）；∵M和E点纵坐标相等，∴ME∥x轴，∴∠PEM＝45°．由翻折得∠ENM＝2∠PEM＝90°，即NE∥y轴，∴EN＝ME＝3，∵E（1，﹣2），∴N（1，1）．②当DM＝OM时，过点M作MG⊥x轴交于点，如图2：易知DG＝OG＝1，即G点与P点重合，M的横坐标为﹣1，将x＝﹣1代入y＝﹣x﹣4，得y＝﹣3．∴M（﹣1，﹣3）．∵ME＝＝，EB＝＝，∴ME＝EB，∵PB＝3，PM＝3，即PB＝PM，又∵PE＝PE，∴△BPE≌△MPE，∴∠BEP＝∠MEP，∴点N与点B重合，∴N（2，0）；③当OD＝OM时，设点O到AC的最短距离为h，则OA•OC＝h•AC∵AC＝＝＝4，∴h＝＝2，∵h＞OD，∴OD≠OM．此时等腰△OMD不存在．综上所述，N点的坐标分别为（1，1）或（2，0）．第31页（共31页）。

2017年度河南地区洛阳市中考数学一模试卷(解析版)

2017年河南省洛阳市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．的相反数是（）A．B．C．﹣5 D．52．大树的价值很多，可以吸收有毒气体，防止大气污染，增加土壤肥力，涵养水源，为鸟类及其他动物提供繁衍场所等价值，累计计算，一棵50年树龄的大树总计创造价值超过160万元，其中160万元用科学记数法表示为（）A．1.6×105B．1.6×106C．1.6×107D．1.6×1083．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和俯视图4．下列各式计算正确的是（）A．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2B．2a3+a3=3a6C．a3•a=a4D．（﹣a2b）3=a6b35．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=（）A．70°B．100°C．110° D．120°6．已知点P（a+1，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．7．洛阳某中学“研究学习小组”的同学们进行了社会实践活动，其中一个小组的同学调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：用水量（吨）1520253041户数36795则这30户家庭用水量的众数和中位数分别是（）A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，258．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.59．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C 为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB 平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：0﹣（﹣3）﹣2=．12．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x 轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为．13．有三辆车按A，B，C编号，甲、乙两人可任意选坐一辆车，则两人同坐C 号车的概率为．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=3，以BC为直径的半圆交AB于点D，则阴影部分的面积为．15．在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD时等腰三角形时，AP的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，且a为非负整数．17．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．（1）求证：GC是⊙F的切线；（2）填空：①若∠BAD=45°，AB=2，则△CDG的面积为．②当∠GCD的度数为时，四边形EFCD是菱形．18．某居民区道路上的“早市”引起了大家关注，小明想了解本小区居民对“早市”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“早市”的看法分为四个层次：A、非常赞同B、赞同但要有一定的限制；C、无所谓D、不赞同，并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）求本次被抽查的居民有多少人？（2）将图1和图2补充完整；（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；（4）估计该小区4000名居民中对“早市”的看法表示赞同（包括A层次）．19．如图2，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．（1）求∠CBO的度数；（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）20．甲、乙两家樱桃采摘园的品质相同，销售价格也相同，“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x （千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元；（2）求y1、y2与x的函数表达式；（3）在图中画出y1与x的函数图象，若某人想在“五一期间”采摘樱桃25千克，那么甲、乙哪个采摘园较为优惠？请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF =4S△DFO，求点D的坐标．22．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN（1）线段MN和GD的数量关系是，位置关系是；（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A （1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017年河南省洛阳市中考数学一模试卷一、选择题1．B．2．B．3．B．4．C5．C．6．C．7．D．8．A．9．B．10．C．二、填空题11．．12．﹣32．13．．14．9﹣﹣．15．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，∵EF⊥AA′，∴∠EPA=∠FPA=90°，∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，∴∠AEP=∠AFP，∴AE=AF，∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE=EA′，AF=FA′，∴AE=EA′=A′F=FA，∴四边形AEA′F是菱形，∴AP=PA′①当CD=CA′时，∵AA′=AC﹣CA′=3，∴AP=AA′=．②当A′C=A′D时，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴=，∴A′C=，∴AA=8﹣=，∴AP=AA′=．故答案为或．三、16．，a=1，当a=1时，原式=．17．（2）填空：①．②30°18．解：（1）抽查的总人数是90÷30%=300（人）；（2）C层次的人数是300×20%=60（人），则B层次的人数是300﹣90﹣60﹣30=120（人），所占的百分比是=40%，D层次所占的百分比是=10%．（3）“C”层次所在扇形的圆心角的度数是360°×=72°；（4）对“早市”的看法表示赞同（包括A层次）的大约4000×=2800（人）．19．∠OBC=∠AOB+∠BEO=37°+90°=127°．（2）x=37.5厘米．∴小桌板桌面的宽度BC的长度为37.5厘米．20．（1）30元；（2）y1=30×0.6x+50=18x+50；当0≤x≤10时，y2=30x；当x＞10时，y2=300+（x﹣10）=15x+150．∴y1=18x+50，y2=．（3）画出y1与x的函数图象，如图所示．当x=25时，y1=18x+50=500，y2=15x+150=525，∵500＜525，∴选择甲采摘园较为优惠．21．y=﹣．点D的坐标为（，﹣4）．22．（1）MN=DG，位置关系是MN⊥DG；故答案为MN=DG，MN⊥DG；（2）（1）的结论仍然成立．∴MN⊥DG，MN=DG．（3）延长GM到点P，使得PM=GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，在△AMP和△FMG中，，∴△AMP≌△FMG，∴AP=FG，∠APM=∠FGM，∴AP∥GF，∴∠PAQ=∠Q，∵∠DOG=∠ODQ+∠Q=∠OGC+∠GCO，∠ODQ=∠OGC=90°，∴∠Q=∠GCO，∴∠PAQ=∠GCO．∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，∴DA=DC，GF=GC，∴AP=CG．在△APD和△CGD中，，∴△APD≌△CGD，∴PD=DG．∵PM=GM，∴DM⊥PG．∵DN=GN，∴MN=DG．∵GC=CE=3，∴点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，∵DC=BC=7，∴DG的最大值为7+3=10，最小值为7﹣3=4，∴MN的最大值为5，最小值为2．23．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）如图1，由（1）知y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，∵∠OMB=90°，^.∴OM2+BM2=OB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m=或m=﹣（舍），∴M（0，），∴MD=﹣，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t=﹣；（3）存在点P，使∠PBF被BA平分，如图2，∴∠PBO=∠EBO，∵E（0，﹣1），∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上，联立①②得，解得或（舍去），∴P（，）。

河南省郑州市新郑一中分校2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

河南省郑州市新郑一中分校2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=( )A．（0，2）B．[0，2]C．|0，2| D．{0，1，2}2．已知=b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．下列错误的是( )A．对于p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假，则p，q均为假D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．已知函数，则的值为( )A．1 B．C．D．25．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1007 B．1008 C．2013 D．20146．若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是( )A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．D．8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个，其中真是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b9．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为( )A．B．C．D．10．已知点O为△ABC的外心，且则=( )A．2 B．4 C．D．611．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l 与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为__________．14．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014=__________．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________（用数字作答）．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：PA⊥BD（3）若二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，求PB的长．19．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．21．已知x＞，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g （x）的“边界”．已知函数g（x）=﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．选修4-5：坐标系与参数方程．23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．河南省郑州市新郑一中分校2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=( )A．（0，2）B．[0，2]C．|0，2| D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求解答：解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选D点评：本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．已知=b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后由复数相等的条件求得a，b，则ab 可求．解答：解：由=，又=b+i，∴2﹣ai=b+i，则a=﹣1，b=2．∴ab=﹣2．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．下列错误的是( )A．对于p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假，则p，q均为假D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：复合的真假．专题：阅读型．分析：根据：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称，其否定为全称，即：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对；根据逆否的写法进行判断B即可；P∧q为假⇒P、q不均为真．故C错误；利用充分不必要条件的判定方法即可进行D的判定．解答：解：∵：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称∴否定为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对B“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故②正确；C：若P∧q为假，则P、q不均为真．故③错误；D“x＞2”⇒“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选C．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称的否定是全称，“存在”对应“任意”．本题考查的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答．4．已知函数，则的值为( )A．1 B．C．D．2考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：先通过诱导公式找到规律，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos+cos）+（cos+cos）=﹣（cos+cos）+（cos+cos）=0，然后再利用诱导公式及周期性求解．解答：解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos+cos）+（cos+cos）=﹣（cos+cos）+（cos+cos）=0，f（5）=cosπ=﹣1；f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）=﹣（cos+cos+cos+cos）=﹣[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，f（10）=cos2π=1；∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）=0函数的周期T==10，因此从f（1）起，每连续10项的和等于0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f=f+f+f=f（1）+f（2）+f（3）=cos+cos+cos=cosf（11）+f（22）+f（33）=f（1）+f（2）+f（3）=cos+cos+cos=cos∴原式=1故选A．点评：本题主要考查函数的规律的探索，学习三角函数关键是熟练应用相关公式，将问题进行转化．5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1007 B．1008 C．2013 D．2014考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，当n=2014时，不满足条件n＜2014，程序运行终止，此时k=2014，∴输出的S=1﹣2+3﹣4+…（﹣1）2012•2013=1+1006=1007．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键．6．若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是( )A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先换元，对任意角θ，都有，可转化成直线与单位圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径建立不等关系即可．解答：解：设x=cosθ，y=sinθ则对任意角θ，都有，可看成直线与单位圆有交点，化简得，故选D．点评：本题主要考查了基本不等式，转化成直线和圆恒有交点，属于中档题．7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．解答：解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B点评：本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个，其中真是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；数形结合；综合法．分析：A选项用空间中直线的位置关系讨论；B选项用面面平行的条件进行讨论；C选项用面面垂直的判定定理进行判断；D选项用线线的位置关系进行讨论，解答：解：A选项不正确，a∥α，b∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面B选项不正确，两个平面平行于同一条直线，两平面的位置关系可能是平行或者相交．C选项正确，由b⊥β，a⊥b可得出β∥a或β⊃a，又a⊥α故有α⊥βD选项不正确，本用图形说明，如图三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直．故选C点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了面面垂直的判定面面平行的判定，考查了空间想像能力．9．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：分别求出不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB的面积及区域N的为图中的阴影部分面积为，代入几何概率的计算公式可求．解答：解：不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB，A（）B（4，4）设y=2x﹣4与x轴的交点为M（2，0）S△AOB=S OBM+S△OAM=区域N的为图中的阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得P=故选C点评：本题主要考查了几何概率的求解，还考查了线性规划的知识，属于简单综合．10．已知点O为△ABC的外心，且则=( )A．2 B．4 C．D．6考点：平面向量数量积的运算；三角形五心．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算，直接表示中根据向量的数量积运算可求得最后结果．解答：解：因为点O为△ABC的外心，取P为AC的中点．且，∴•====（）（）=（||2﹣||2）=16﹣4）=6．故选D．点评：本题主要考查向量的线性运算和数量积运算．2015届高考对向量的考查一般以基础题为主，平时要注意基础题的练习．11．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l 与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答：解：由△BAF2为等边三角形，设A为右支上一点，且AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF2﹣AF1=2a，BF1﹣BF2=2a，BF1=AB+AF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）考点：函数最值的应用．专题：作图题；新定义．分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，画出函数图象，根据高调函数的定义可知4≥3a2﹣（﹣a2），解之即可求出a的取值范围．解答：解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2=，根据解析式和函数是奇函数进行画图，图象如右图，∵f（x）为R上的4高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+4）≥f（x），4大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），∴4≥3a2﹣（﹣a2），∴﹣1≤a≤1，即实数a的取值范围是[﹣1，1]．故选A．点评：本题主要考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为21．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式系数和为2m，列出方程求出m；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出展开式中含的系数．解答：解：∵展开式中二项式系数之和为2m∴2m=128解得m=7∴=展开式的通项为令解得r=6故展开式中的系数为3C76=21故答案为21点评：本题考查二项式系数的性质：二项式系数和为2n、考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3• (2014)﹣6．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由递推关系式，分析得到数列{a n}的规律．即数列是以4为循环的数列，再求解．解答：解：由递推关系式，得a n+2=﹣，a n+4=a n．∴{a n}是以4为循环的一个数列．由计算，得a1=2，a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…∴a1a2a3a4=1，∴a1•a2…a2010•a2014=1×a2013•a2014=a1•a2=﹣6．故答案为：﹣6．点评：递推关系式是数列内部之间关系的一个式子．当遇到如题中的连续多项计算，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合．分析：由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．解答：解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤1点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．解答：解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的关系式，则的值可得．（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a 和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：PA⊥BD（3）若二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，求PB的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：计算题；证明题．（1）由已知中，PB=PC，O是BC的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质，可得PO⊥BC，分析：结合侧面PBC⊥底面ABCD，由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABCD；（2）以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设OP=t，分别求出直线PA与BD 的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可得到PA⊥BD（3）分别求出平面DPA与平面PAO的法向量，根据二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，代入向量夹角公式，构造关于t的方程，解方法即可得到PB的长．解答：解：（1）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，所以PO⊥平面ABCD．…（2）证明：以点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设OP=t（t＞0），则P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），=（1，2，﹣t），=（﹣2，1，0），因为•=0，所以⊥，即PA⊥BD．…（3）设平面PAD和平面PAO的法向量分别为=（a，b，c），=（x，y，z），注意到=（﹣1，1，﹣t），=（1，2，0），=（0，0，t），由，令a=1得，=（1，﹣2，），由令y=﹣1得，=（2，﹣1，0），所以cos60°===，解之得t=，所以PB==2为所求．…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，向量语言表述线线的垂直、平行关系，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2），（3）的关键是建立空间坐标系，将空间中直线与平面之间的关系及夹角转化为向量的夹角．19．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值，设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，由此能求出中位数的估计值．（2）从图中可知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及其均值．解答：解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为：77.5．设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆），∴ξ=0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为ξ0 1 2P均值E（ξ）==．点评：本题考查车速的众数和中位数的估计值的求法，考查离散型随机变量的分布列的均值的求法，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．20．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a求得b，则椭圆的方程可得．（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零设直线l1和l2的方程，分别于椭圆方程联立消去y，根据判别式求得k的范围，最后综合可得答案．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），根据韦达定理求得x0和y0的表达式，进而表示M和N的坐标，最后表示出根据k的范围确定答案．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，由∴椭圆方程为；（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零∵，∴．由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4=0根据题意，△=（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得．同理得，∴；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）那么，∴，∴同理得，即∴∵，∴∴即的取值范围是．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．21．已知x＞，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g （x）的“边界”．已知函数g（x）=﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；新定义．分析：（I）把两个函数相减构造新函数，求函数的导数，使得导数大于0，得到函数的函数的单调区间，求出函数的最小值，最小值等于0，得到两个函数之间的大小关系．（II）构造新函数v（x）=h（x）﹣g（x）=2elnx+4x2﹣px﹣q，v（x）≥0恒成立”与“函数f （x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，利用导数求出新函数的单调区间和最值，求出两个函数同时成立时p，q的值．解答：解：（I）证明：记u（x）=f（x）﹣h（x）=x2﹣2elnx，则，令u'（x）＞0，注意到，可得，所以函数u（x）在上单调递减，在上单调递增．，即u（x）≥0，∴f（x）≥h（x）．（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对恒成立，当且仅当时等号成立，记v（x）=h（x）﹣g（x）=2elnx+4x2﹣px﹣q，则“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即v（x）≥0对恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数v（x）在时取极小值，注意到，由，解得，此时，由知，函数v（x）在上单调递减，在上单调递增，即=0，q=﹣5e，综上，两个条件能同时成立，此时．点评：本题考查函数的导数在最值中的应用，解题的关键是构造新函数，利用函数恒成立的思想解决问题，注意本题的运算也比较多，不要在这种运算上出错．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题．分析：（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．解答：证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB由以上条件得PA•PD=PE•PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE点评：本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-5：坐标系与参数方程．23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．解答：解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．。

2017年河南省平顶山市中考数学一模试卷(解析版) (1)

2017年河南省平顶山市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个实数中，无理数是（）A．3.14 B．﹣πC．0 D．2．经统计，2016年除夕夜观看春晚直播的观众约达10.3亿人，用科学记数法表示10.3亿正确的是（）A．1.03×109B．1.03×1010C．10.3×109D．103×1083．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列调查中，适合普查的事件是（）A．调查华为手机的使用寿命B．调查市九年级学生的心理健康情况C．调查你班学生打网络游戏的情况D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率5．下列计算正确的是（）A．=2 B．3+=3C． += D． +=36．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2C．由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b7．如图，已知直线a∥b，∠1=46°．∠2=66°，则∠3等于（）A．112°B．100°C．130° D．120°8．不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，那么所得的正确结果为（）A．B．C．D．9．如图，一张长方形纸片的长AD=4，宽AB=1．点E在边AD上，点F在BC边上，将四边形ABFE沿直线EF翻折后，点B落在边AD的中点G处，则EG等于（）A．B．2 C．D．10．如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1=90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，则旋转第2016次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2017的坐标为（）A．（4030，1）B．（4029，﹣1）C．（4033，1）D．（4031，﹣1）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（﹣2）﹣2=．12．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．13．袋子里放着小颖刚买的花、白两种色彩的手套各1双（除颜色外其余都相同），小颖在看不见的情况下随机摸出两只手套，它们恰好同色的概率是．14．如图，将半径为6的圆形纸片，分别沿AB、BC折叠，若弧AB和弧BC折后都经过圆心O，则阴影部分的面积是（结果保留π）15．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．先化简，再求值：（x+y）2﹣2y（x+y），其中x=﹣1，y=．17．某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的人数为多少人？A等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图．（2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？18．如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）连接MN，求证四边形MNCD是菱形．19．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．20．如图，一艘海警船在A处发现北偏东30°方向相距12海里的B处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？21．某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回，设此人离开起点的路程s（千米）与走步时间t（小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供信息，解答下列问题．（1）求图中的a值．（2）若在距离起点5千米处有一个地点C，此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1.75小时．①求AB所在直线的函数解析式；②请你直接回答，此人走完全程所用的时间．22．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）CF=5，cos∠A=，求AE的长．23．如图，抛物线y=ax2+bx+1与直线y=﹣ax+c相交于坐标轴上点A（﹣3，0），C（0，1）两点．（1）直线的表达式为；抛物线的表达式为．（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标．2017年河南省平顶山市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个实数中，无理数是（）A．3.14 B．﹣πC．0 D．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、3.14是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；B、﹣π是无理数，选项符合题意；C、0是整数，是有理数，选项不符合题意；D、=3，是整数，是有理数，选项不符合题意．故选B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（2017•平顶山一模）经统计，2016年除夕夜观看春晚直播的观众约达10.3亿人，用科学记数法表示10.3亿正确的是（）A．1.03×109B．1.03×1010C．10.3×109D．103×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：10.3亿=1.03×109，故选A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形；简单几何体的三视图．【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选：D．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．下列调查中，适合普查的事件是（）A．调查华为手机的使用寿命B．调查市九年级学生的心理健康情况C．调查你班学生打网络游戏的情况D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率【考点】全面调查与抽样调查．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断．【解答】解：A、调查华为手机的使用寿命适合抽样调查；B、调查市九年级学生的心理健康情况适合抽样调查；C、调查你班学生打网络游戏的情况适合普查；D、调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率适合抽样调查，故选：C．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．下列计算正确的是（）A．=2 B．3+=3C． += D． +=3【考点】二次根式的加减法．【分析】根据二次根式的加减法进行计算即可．【解答】解：A、=2，故A错误；B、3+不能合并，故B错误；C、+不能合并，故C错误；D、+=3+，故D正确，故选D．【点评】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减法的法则是解题的关键．6．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2C．由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b【考点】不等式的性质．【分析】分别利用不等式的基本性质判断得出即可．【解答】解：A、由a＞b，得ac＞bc（c＞0），故此选项错误；B、由a＞b，得a﹣2＞b﹣2，故此选项错误；C、由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a（a＞0），故此选项错误；D、由a＞b，得c﹣a＜c﹣b，此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，正确掌握不等式基本性质是解题关键．7．如图，已知直线a∥b，∠1=46°．∠2=66°，则∠3等于（）A．112°B．100°C．130° D．120°【考点】平行线的性质．【分析】首先过点C作CD∥a，由a∥b，即可得CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数．【解答】解：过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD=∠1=46°，∠BCD=∠2=66°，∴∠3=∠ACD+∠BCD=112°．故选A．【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．8．不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，那么所得的正确结果为（）A．B．C．D．【考点】分式的基本性质．【专题】压轴题．【分析】只要将分子分母要同时扩大10倍，分式各项的系数就可都化为整数．【解答】解：不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，则分子分母要同时扩大10倍，即分式=，故选B．【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变．9．如图，一张长方形纸片的长AD=4，宽AB=1．点E在边AD上，点F在BC边上，将四边形ABFE沿直线EF翻折后，点B落在边AD的中点G处，则EG等于（）A．B．2 C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】作GM⊥BC于M，则GM=AB=1，DG=CM，由矩形的性质得出BC=AD=4，AD∥BC，由平行线的性质得出∠GEF=∠BFE，由折叠的性质得：GF=BF，∠GFE=∠BFE，得出∠GEF=∠GFE，证出EG=FG=BF，设EG=FG=BF=x，求出CM=DG=AD=2，得出FM=BC﹣BF﹣CM=2﹣x，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：作GM⊥BC于M，如图所示：则GM=AB=1，DG=CM，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=4，AD∥BC，∴∠GEF=∠BFE，由折叠的性质得：GF=BF，∠GFE=∠BFE，∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG=BF，设EG=FG=BF=x，∵G是AD的中点，∴CM=DG=AD=2，∴FM=BC﹣BF﹣CM=2﹣x，在Rt△GFM中，由勾股定理得：FG2=FM2+GM2，即x2=（2﹣x）2+12，解得：x=，即EG=；故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．10．如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1=90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，则旋转第2016次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2017的坐标为（）A．（4030，1）B．（4029，﹣1）C．（4033，1）D．（4031，﹣1）【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．【专题】规律型．【分析】作P1⊥x轴于H，利用等腰直角三角形的性质得P1H=AB=1，AH=BH=1，则P1的纵坐标为1，再利用旋转的性质易得P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，于是可判断P1017的纵坐标为1，而横坐标为2017×2﹣1=4033，所以P1017（4033，1）．【解答】解：作P1⊥x轴于H，∵A（0，0），B（2，0），∴AB=2，∵△AP1B是等腰直角三角形，∴P1H=AB=1，AH=BH=1，∴P1的纵坐标为1，∵△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，∴P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，∴P1017的纵坐标为1，横坐标为2017×2﹣1=4033，即P1017（4033，1）．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（﹣2）﹣2=．【考点】负整数指数幂．【分析】运用负整数指数幂的法则求解即可．【解答】解：（﹣2）﹣2=．故答案为：．【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题关键是熟记法则．12．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为m．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=m∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，解得m＜，故答案为：m．【点评】本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．袋子里放着小颖刚买的花、白两种色彩的手套各1双（除颜色外其余都相同），小颖在看不见的情况下随机摸出两只手套，它们恰好同色的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，它们恰好同色的有4种情况，∴它们恰好同色的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，将半径为6的圆形纸片，分别沿AB、BC折叠，若弧AB和弧BC折后都经过圆心O，则阴影部分的面积是12π（结果保留π）【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，得出阴影部分的面积是⊙O面积进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC的，即可得出结果．【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：∵OD=AO∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，=×⊙O面积=×π×62=12π；∴阴影部分的面积=S扇形BOC故答案为：12π．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120°．15．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是2或10．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．【解答】解：①如图：因为CD==，点D是斜边AB的中点，所以AB=2CD=2，②如图：因为CE==5，点E是斜边AB的中点，所以AB=2CE=10，综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是2或10，故答案是：2或10．【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．先化简，再求值：（x+y）2﹣2y（x+y），其中x=﹣1，y=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；【解答】解：（x+y）2﹣2y（x+y）=x2+2xy+y2﹣2xy﹣2y2=x2﹣y2，当x=﹣1，y=时，原式=（﹣1）2﹣（）2=2+1﹣2﹣3=﹣2．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．17．某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的人数为多少人？A等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图．（2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？【考点】条形统计图；扇形统计图．【专题】计算题；数据的收集与整理．【分析】（1）由B等级的人数除以占的百分比得出调查总人数，进而求出A等级人数，补全条形统计图即可；（2）求出A等级占的百分比确定出a，由D的百分比乘以360即可得到D等级占的圆心角度数．【解答】解：（1）根据题意得：46÷23%=200（人），A等级的人数为200﹣（46+70+64）=20（人），补全条形统计图，如图所示：（2）由题意得：a%=，即a=10；D等级占的圆心角度数为32%×360°=115.2°．【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．18．如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）连接MN，求证四边形MNCD是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM；（2）利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法证明即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN=DM，∵在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）证明：∵M是AD的中点，∠AND=90°，∴NM=AM=MD，∵BN=NC=AM=DM，∴NC=MN=DM，∵NC DM，∴四边形CDMN是平行四边形，又∵MN=DM，∴四边形CDMN是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确应用直角三角形的性质是解题关键．19．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设A品牌服装每套进价x元，根据利润=标价﹣进价列出一元一次方程，求出进价进而作出判断．【解答】解：该老板给顾客优惠了．设A品牌服装每套进价x元，由题意得：（2x+50）×0.8﹣x=x，解得x=600，原来售价2×600=1200（元），提价后八折价格（2×600+50）×0.8=1000（元），该老板给顾客优惠了．【点评】本题考查了一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据利润=标价﹣进价建立方程求出进价是关键．20．如图，一艘海警船在A处发现北偏东30°方向相距12海里的B处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】如图，设t小时追上了货船，则BC=10t，AC=14t，在Rt△ACF中，根据勾股定理可得（6）2+（6+10t）2=（14t）2，解方程即可解决问题．【解答】解：如图，设t小时追上了货船，则BC=10t，AC=14t，由题意，∠BAF=30°，∠CAF=60°，AB=12∴∠FBA=60°，FB=6，AF=6，在Rt△ACF中，（6）2+（6+10t）2=（14t）2，解得t=2或﹣（舍弃），答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间2小时．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型．21．某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回，设此人离开起点的路程s（千米）与走步时间t（小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供信息，解答下列问题．（1）求图中的a值．（2）若在距离起点5千米处有一个地点C，此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1.75小时．①求AB所在直线的函数解析式；②请你直接回答，此人走完全程所用的时间．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据路程=速度×时间即可求出a值；（2）①根据速度=路程÷时间求出此人返回时的速度，再根据路程=8﹣返回时的速度×时间即可得出AB所在直线的函数解析式；②令①中的函数关系式中s=0，求出t值即可．【解答】解：（1）a=4×2=8．（2）①此人返回的速度为（8﹣5）÷（1.75﹣）=3（千米/小时），AB所在直线的函数解析式为s=8﹣3（t﹣2）=﹣3t+14．②当s=﹣3t+14=0时，t=．答：此人走完全程所用的时间为小时．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据路程=速度×时间求出a值；（2）①根据路程=8﹣返回时的速度×时间列出s与t之间的函数解析式；②令s=0求出t值．22．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）CF=5，cos∠A=，求AE的长．【考点】切线的判定；解直角三角形．【分析】（1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；（2）根据平行线的性质得到∠COD=∠A．由cos∠A=cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，于是得到=，解得R=，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连结OD．∵CD=DB，CO=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB=2OD，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AB，∴∠COD=∠A．在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，∴cos∠A=cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，则=，解得R=，∴AB=2OD=．在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∴cos∠A===，∴AE=．【点评】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．如图，抛物线y=ax2+bx+1与直线y=﹣ax+c相交于坐标轴上点A（﹣3，0），C（0，1）两点．（1）直线的表达式为y=x+1；抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+1．（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A、C坐标代入抛物线和直线解析式，可求得答案；（2）可设出D点坐标，则可表示出F点坐标，从而可表示出DF的长，利用二次函数的性质可求得DF的最大值及D点的坐标；（3）可设出P点坐标，则可表示出PN和ON的长，分△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP 两种情况，根据相似三角形的性质可求得P点坐标．【解答】解：（1）把A、C两点坐标代入直线y=﹣ax+c可得，解得，∴直线的表达式为y=x+1，把A点坐标和a=﹣代入抛物线解析式可得9×（﹣）﹣3b+1=0，解得b=﹣，∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+1，故答案为：y=x+1；y=﹣x2﹣x+1；（2）∵点D在抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D（t，﹣t2﹣t+1），则F（t，t+1），∴DF=﹣t2﹣t+1﹣（t+1）=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴当t=﹣时，DF有最大值，最大值为，此时D点坐标为（﹣，）；（3）设P（m，﹣m2﹣m+1），如图2，∵P在第四象限，∴m＞0，﹣m2﹣m+1＜0，∴AN=m+3，PN=m2+m﹣1，∵∠AOC=∠ANP=90°，∴当以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似时有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP，①当△AOC∽△PNA时，则有=，即=，解得m=﹣3或m=10，经检验当m=﹣3时，m+3=0，∴m=10，此时P点坐标为（10，﹣39）；②当△AOC∽△ANP时，则有=，即=，解得m=2或m=﹣3，经检验当m=﹣3时，m+3=0，∴m=2，此时P点坐标为（3，﹣）；综上可知P点坐标为（10，﹣39）或（3，﹣）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用D点坐标表示出DF的长是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PN和AN的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。

2017年河南省信阳市中考一模数学试卷(解析版)

2017年河南省信阳市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的字母填入题后的括号内1．（3分）﹣2的倒数是（）A．B．2C．﹣D．﹣22．（3分）太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（）A．696×103B．69.6×104C．6.96×105D．0.696×106 3．（3分）一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（3分）学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年一班学生捐款情况如下表：则学生捐款金额的中位数是（）A．13人B．12人C．10元D．20元6．（3分）若关于x的方程x2+2x+a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥17．（3分）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（）A．60°B．45°C．35°D．30°8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣x2﹣x﹣B．y＝﹣x2+x﹣C．y＝﹣x2+x﹣D．y＝﹣x2﹣x﹣9．（3分）共甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），将线段OA绕原点O逆时针旋转30°，得到线段OB，则点B的坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（1，﹣）D．（﹣1，）二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算tan45°＝．12．（3分）若a＝2b≠0，则的值为．13．（3分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．14．（3分）如图，点B、C把分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段，已知∠E＝45°，半径OD＝1，则图中阴影部分的面积是．15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB＝6，BC＝9，则AM的长为．三、解答题（本题有8个小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣15＝0．17．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．18．（9分）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类（12≤m≤15），B类（9≤m≤11），C类（6≤m≤8），D类（m≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽取样本容量为，扇形统计图中A类所对的圆心角是度；（2）请补全统计图；（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名？19．（9分）如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC 的对称点，反比例函数y＝的图象经过D点．（1）证明四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y＝的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN 是平行四边形，求M点的坐标．20．（9分）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）21．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？22．（10分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为，此时AE与BF的数量关系是；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．23．（11分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．2017年河南省信阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的字母填入题后的括号内1．（3分）﹣2的倒数是（）A．B．2C．﹣D．﹣2【解答】解：﹣2的倒数是，故选：C．2．（3分）太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（）A．696×103B．69.6×104C．6.96×105D．0.696×106【解答】解：将696000用科学记数法表示为：6.96×105．故选：C．3．（3分）一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形，所以它的俯视图是选项C中的图形．故选：C．4．（3分）如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵a∥b，∠3＝40°，∴∠1+∠2＝180°﹣40°＝140°，∠2＝∠4．∵∠1＝∠2，∴∠2＝×140°＝70°，∴∠4＝∠2＝70°．故选：D．5．（3分）学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年一班学生捐款情况如下表：则学生捐款金额的中位数是（）A．13人B．12人C．10元D．20元【解答】解：∵10+13+12+15＝50，按照从小到大顺序排列的第25个和第26个数据都是20（元），∴它们的平均数即为中位数，＝20（元），∴学生捐款金额的中位数是20元；故选：D．6．（3分）若关于x的方程x2+2x+a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥1【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a＝0不存在实数根，∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故选：B．7．（3分）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（）A．60°B．45°C．35°D．30°【解答】解：连结OC，如图，∵＝，∴∠BDC＝∠BOC＝∠AOB＝×60°＝30°．故选：D．8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣x2﹣x﹣B．y＝﹣x2+x﹣C．y＝﹣x2+x﹣D．y＝﹣x2﹣x﹣【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣x2﹣1，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣（x+1）2﹣1＝﹣x2﹣x﹣．故选：A．9．（3分）共甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝．故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），将线段OA绕原点O逆时针旋转30°，得到线段OB，则点B的坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（1，﹣）D．（﹣1，）【解答】解：作AC⊥x轴于点C，∵点A的坐标为（1，），∴OC＝1，AC＝，则OA＝＝2，tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，∴将线段OA绕原点O逆时针旋转30°，得到线段OB，则点B的坐标是（0，2），故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算tan45°＝1．【解答】解：tan45°＝1．12．（3分）若a＝2b≠0，则的值为．【解答】解：∵a＝2b，∴原式＝＝，故答案为：13．（3分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．【解答】解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．14．（3分）如图，点B、C把分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段，已知∠E＝45°，半径OD＝1，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：∵点B、C把分成三等分，ED是⊙O的切线，∠E＝45°，∴∠ODE＝90°，∠DOC＝45°，∴∠BOA＝∠BOC＝∠COD＝45°，∵OD＝1，∴阴影部分的面积是：+＝，故答案为：．15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB＝6，BC＝9，则AM的长为．【解答】解：根据折叠的性质可知，FC＝FC′，∠C＝∠FC′M＝90°，设BF＝x，则FC＝FC′＝9﹣x，∵BF2+BC′2＝FC′2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∵∠FC′M＝90°，∴∠AC′M+∠BC′F＝90°，又∵∠BFC′+BC′F＝90°，∴∠AC′M＝∠BFC′∵∠A＝∠B＝90°∴△AMC′∽△BC′F∴∵BC′＝AC′＝3，∴AM＝．故答案为：．三、解答题（本题有8个小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣15＝0．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，∵x2+2x﹣15＝0，∴x2+2x＝15，∴原式＝．17．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．【解答】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝∠CAE＝100°，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°．∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°，∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°，∴∠BAE＝∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．18．（9分）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类（12≤m≤15），B类（9≤m≤11），C类（6≤m≤8），D类（m≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽取样本容量为50，扇形统计图中A类所对的圆心角是72度；（2）请补全统计图；（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名？【解答】解：（1）由题意可得，抽取的学生数为：10÷20%＝50，扇形统计图中A类所对的圆心角是：360°×20%＝72°，故答案为：50，72；（2）C类学生数为：50﹣10﹣22﹣3＝15，C类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%＝30%，D类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%＝6%，补全的统计图如右图所示，（3）300×30%＝90（名）即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有90名．19．（9分）如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC 的对称点，反比例函数y＝的图象经过D点．（1）证明四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y＝的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN 是平行四边形，求M点的坐标．【解答】解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴OA＝4，OB＝3，OC＝2，∴AB＝＝5，BC＝5，∴AB＝BC，∵D为B点关于AC的对称点，∴AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝AD＝CD＝CB，∴四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y＝的图象经过D点，∴4＝，∴k＝20，∴反比例函数的解析式为：y＝；（3）∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，AN＝BM，∴AN是BM经过平移得到的，∴首先BM向右平移了3个单位长度，∴N点的横坐标为3，代入y＝，得y＝，∴M点的纵坐标为：﹣4＝，∴M点的坐标为：（0，）．20．（9分）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在直角△ADF中，∵AF＝80m﹣10m＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m．在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．21．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5 x2+40 x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．22．（10分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．【解答】解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．在Rt△ADE与Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）∴AE＝CF．设AE＝CF＝x，则BE＝BF＝4﹣x∴△BEF为等腰直角三角形．∴EF＝BF＝（4﹣x）．∴DE＝DF＝EF＝（4﹣x）．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2＝DE2，即：x2+42＝[（4﹣x）]2，解得：x1＝8﹣4，x2＝8+4（舍去）∴EF＝（4﹣x）＝4﹣4．DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．由旋转性质可知，EF ＝FG ＝GH ＝HE ， ∴四边形EFGH 是菱形，由△EGM ≌△FHN ，可知EG ＝FH ， ∴四边形EFGH 的形状为正方形． ∴∠HEF ＝90°∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3．∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝∠4．在△AEH 与△BFE 中，∴△AEH ≌△BFE （ASA ） ∴AE ＝BF ．②利用①中结论，易证△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 均为全等三角形， ∴BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝x ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ＝4﹣x ．∴y ＝S 正方形ABCD ﹣4S △AEH ＝4×4﹣4×x （4﹣x ）＝2x 2﹣8x +16． ∴y ＝2x 2﹣8x +16（0＜x ＜4） ∵y ＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，∴当x ＝2时，y 取得最小值8；当x ＝0时，y ＝16， ∴y 的取值范围为：8≤y ＜16．23．（11分）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得0＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣1或x＝3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，且OC＝3，＝AB•OC＝×4×3＝6，∴S△ABC∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，∴S△PBC＝PM•OH+PM•HB＝PM•（OH+HB）＝PM•OB＝PM，∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，PM max＝，则S△PBC＝×＝，此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC ＝S△ABC+S△PBC＝6+＝，即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）①当点Q在x轴下方时，如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGB＝∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB＝∠CGB，又∠AGB+∠CGB＝180°，∴∠AGB＝∠CGB＝90°，∴∠ACO＝∠OBN，在Rt△AOC和Rt△NOB中∴Rt△AOC≌Rt△NOB（ASA），∴ON＝OA＝1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y＝kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y＝x﹣1；②当点Q在x轴上方时，此时直线m与①中的直线m关于x轴对称，∴解析式为y＝﹣x+1；综上可知存在满足条件的直线m，其解析式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．。

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