八年级数学 全等三角形截长补短法辅助线专题练习
全等三角形截长补短法辅助线专题练习
1.如图，AD∥BC，点 E 在线段 AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.
2.已知：如图，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.
3.如图所示，△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D.求证：AB=AC+CD.
4. 已知 ABC 中，A=60，BD 、 CE 分别平分 和 .D C 交于
点
O求证：BE + CD = BC
．
5.如图，Δ ABC 是正三角形，∠ADC=120°,求证：BD=AD+CD.
6.如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，连
接 CE，CF，且∠BCD=2∠ECF。
（1）求证：BC=BD； （2）求证：EF=BE+DF
7.五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD 平分∠
CDE
8.如图所示，在Δ ABC 中，AD 平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD于 M,
求证：AB+AC=2AM.
9.如图，已知△ABC 为等边三角形，D 为 BC 延长线上一点，连接 AD，E 为 AD 上一点，且满足
AB=AE，连接 BE，交 AC 于点 F.
求证：AD=AF+CD
10.已知，如图，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°.其中 B、E、
D 共线且
DE 交 AC 于 F. 在 AB 上取一点 G，使 EG∥AD，连接 EG.若 E 为 BF 的中点，求
证：BG+AB=BC.
11.在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点 D 是 CB 上延长线上一点，点 E 是线段 AB 上一点，连
接 DE，BF 平分∠ABC 交 AC 于点 F. AC=DE，BC=BE，点 G 是线段 FB 延长线上一点，连
接 DG，点 H 是线 段 DG 上一点，连接 AH 交 BD 于点 K，连接 KG，当 KB 平分∠AKG 时，
求证：AK=DG+KG.
12. 在 RtABC 中， BCA 90 ，G 为 AB 的中点，过点G 作 DG ⊥ AB 交 AC 于点 D .
过点 D 作 DE ⊥ BD ，连接 AE ，以点 E 为直角顶点， AE 为直角边向外作等腰直角三角形
AEF ，使 得点 F 刚好落在 BD
的延长线上，
求证： BC DE DF .
13.如图,在等边三角形 ABC 中, ABC 和 ACB 的角平分线相交于点 O ,点
E、F
分别在线段
AB、BC 上,连接 EO、FO
,满足 EOF 60 ,连接 EF .
(1)①求证: OB OC ；②求 BOC 的度数；
14.如图，在 ABC 中，ABC 90 , D为BC 上一点，在 ADE 中，E C ，
1 90
求证：（1）
1 2
（2）
ED BC BD
15.如图，△ABC 中，∠ABC=45°，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，过点 B 作 BM⊥AC 于点
M，
BM 交 CD 于点 E，且点 E 为 CD 的中点，连接 MD，过点 D 作 ND⊥MD 于点 D，
DN 交 BM 于点
N．
求证：NE －ME=CM
16．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过 C 作 CD∥AB 交∠ABC 的平分线于点 D，
∠ACB 的平分线
交 BD 于点 E。
（1）求证：BC＝CD；
（2）求证：BC＋CE＝AB
17.如图，在△ABC 中，∠BAC＝900，AB＝AC，点 D 是 AB 的中点，连接 CD，过点 B 作 BE
⊥CD 交 CD 的
延长线于点 E，连接 AE，过点 A 作 AF⊥AE 交 CD 于点 F。
求证：CD＝2BE+DE
18.如图，在△ABC 中，AB=AC，EF 为△ABC 的中位线，点 G 为 EF 的中点，连接 BG，
CG.
（1）求证：BG=CG；
（2）当∠BGC=90°时，过点 B 作 BD⊥AC，交 GC 于 H，连接 HF，求证：BH=FH+CF.
19.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，过 C 作 CD∥AB 交∠ABC 的平分线于点 D，∠
ACB 的平分线交 BD 于点 BD 于点 E.
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：BC+CE=AB.
20.如图，∆ABC 为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 在线段 AB 上，连接 CD，∠
ADC=60°，
AD=2，过 C 作 CE⊥CD，且 CE=CD，连接 DE，交 BC 于 F。
（1）求∆CDE 的面积；
（2）证明：DF+CF=EF。
初二数学 全全等三角形截长补短测试试题附解析
初二数学 全全等三角形截长补短测试试题附解析一、全等三角形截长补短1．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．2．已知：在ABC 中，90BAC ︒∠=，AB AC =．将ABC 按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点(0,)A m 落在y 轴的负半轴上，使得点(,0)B n 落在x 轴的正半轴上，点C 在第二象限，并且,m n 满足2268250m n m n ++-+=．（1）由题意可知OA =_____，OB =_____（直接写答案）；（2）求点C 的坐标；（3）ABC 的斜边BC 交y 轴于D ，直角边AC 交x 轴于E ．在AC 上截取AF CE =，连接DF ．探究线段DF AD BE 、、的数量关系并证明你的结论．3．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，点D 是△ABC 内一点，DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，点E 是BD 延长线上一点，AE ＝AB ．（1）求∠ADB 的度数；（2）线段DE ，AD ，DC 之间有什么数量关系？请说明理由．5．如图，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠<︒，D 是边BC 的中点，以AC 为边作等边三角形ACE ，且ACE △与ABC 在直线AC 的异侧，连接BE 交DA 的延长线于点F ，连接FC 交AE 于点M ．（1）求证：FB FC =；（2）求证：FEA FCA ∠=∠；（3）若8FE =，2AD =，求AF 的长．6．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120∠=︒，BD=DC ，MDN 60∠=︒，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ． （1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．7．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．8．如图，四边形ABCD 为矩形，F 为对角线BD 上一点，过点F 作FE BD ⊥交AD 于点H ，交BA 的延长线于点E ，连接AF ，当FD FE =时，求证：2AH AB AF +=．9．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．10．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =，求AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =，请直接写出MN 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF ，再证明△BFG 为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，∴可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，又△ABE 为等边三角形，∴AE=AB=AC ，∠EAB=60°，∴可设∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC ，证明如下：∵AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠FDC=90°，∵∠CFD ＝60°，则∠DCF=30°，∴CF ＝2DF ，在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，又AE=AC ，∴∠AEG=∠ACF ，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG为等边三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．C ；（3）BE=DF+AD，理由见解析2．（1）3，4；（2）(3,1)【分析】（1）由非负数的性质求出m ，n 即可；（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，只要证明△ACH ≌△BAO 即可解决问题；（3）在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，则△CHD ≌△AOK ，再证明DF=EK ，AD=BK 即可解决问题．【详解】解：（1）∵2268250m n m n ++-+=∴22(3)(4)0m n ++-=,∵2(3)0+≥m ，2(4)0n -≥，∴3,4m n =-=，∴(0,3)A -，(4,0)B∴OA=3，OB=4，故答案为：3，4（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，∵∠CHA=∠AOB=∠CAB=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CAH+∠BAO=90°，∴∠ACH=∠BAO ，∵AC=BC ，∴△ACH ≌△BAO ，∴AH=OB=4，CH=OA=3，∴OH=1，∴(3,1)C -（3）结论为：BE=DF+AD理由：如图，在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，∵CH=OA ，∠CHD=∠AOK=90°，DH=OK ，∴△CHD ≌△AOK （SAS ），∴CD=AK ，∵AD=BK ，AB=AC ，∴△AKB ≌△CDA （SSS ），∴∠KAB=∠ACD=45°，∴∠EAK=45°=∠FCD ，∵CE=AF ，∴CF=AE ，∵CD=AK ，∴△CDF ≌△AKE （SAS ）∴DF=KE ，∵BE=EK+BK ，∴BE=DF+AD【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC−CE＝BC−AC，∴BC−AC＝AD．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 4．（1）120°；（2）DE ＝AD +CD ，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝12（180°﹣30°）＝75°，∵DB＝DC，∠DCB＝30°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，在△ABD和△ACD中，AB AC DB DC AD AD=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝15°，∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；（2）DE＝AD+CD，理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADE＝60°，DM＝AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB＝∠AME＝120°．∵AE＝AB，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEM中，ABD EADB AME AB AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD＝ME，∵BD＝CD，∴CD＝ME．∵DE＝DM+ME，∴DE＝AD+CD．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）4【分析】（1）利用AD 所在直线是BC 的垂直平分线，点F 在直线AD 上即可得出结论． （2）由ACE △是等边三角形，得AC=AE=AB 推得ABF FEA ∠=∠．易证ABF ≌ACF （SSS ），ABF FCA FEA ∠=∠=∠即可，（3）延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．先证直角三角形ADC ≌PDC△（SAS ），推出AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．再证60EFC EAC ∠=∠=︒．求出，FBD 30FCD ∠=∠=︒．用ACD ∠表示30ECF ACD ∠=︒+∠．而30FCP ACD ∠=︒+∠，得ECF FCP ∠=∠．可证ECF △≌PCF （SAS ），可推得AF EF AP =-即可．【详解】（1）证明：∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，又∵点F 在直线AD 上∴FB FC =．（2）证明：∵ACE △是等边三角形，∴60EAC ACE ∠=∠=︒，AC AE =．∵AB AC =，∴AB AE =，∴ABF FEA ∠=∠．由（1）可知，FB FC =，又∵AF AF =，AB AC =，∴ABF ≌ACF （SSS ），∴ABF FCA ∠=∠，∴FEA FCA ∠=∠．（3）解：如图，延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴90ADC PDC ∠=∠=︒．∵ACE △是等边三角形，∴AC CE =，60EAC ∠=︒．∵AD DP =，ADC PDC ∠=∠，CD CD =，∴ADC ≌PDC △（SAS ），∴AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．由（2）可知，FEA FCA ∠=∠，∵AMC FME ∠=∠，∴60EFC EAC ∠=∠=︒．由（1）可知，BF CF =， ∴()18060260BFD CFD ∠=∠=︒-︒÷=︒，∴906030FCD ∠=︒-︒=︒．∵FCA FCD ACD ∠=∠-∠，∴30FCA ACD ∠=︒-∠．∵ECF ECA FCA ∠=∠-∠，∴()303030ECF ECA ACD ECA ACD ACD ∠=∠-︒-∠=∠-︒+∠=︒+∠． ∵FCP FCD PCD ∠=∠+∠，∴30FCP ACD ∠=︒+∠，∴ECF FCP ∠=∠．∵FC FC =，CE CP =，∴ECF △≌PCF （SAS ），∴FE FP =，∴2FE FA AP AF AD =+=+，∴2822=4AF EF AD =-=-⨯．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题．6．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形， ∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ． （2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN 的反向延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．∵∠MBD=∠M 1CD=90°，BD=CD ，∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，∠MBD=∠M 1CD ，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M 1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．与（2）同理可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，∴NC-BM=MN．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．7．（1）见解析；（2）①2BD CD=+，见解析，②c a BD CD ADb b=+【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD、BD、CD之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD上截取BM CD=，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD、BD、CD之间的数量关系，以AD为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法证明：如图①-1，在DB上截取DM AD=，连接AM，AB BC AC==，ABC∴是等边三角形，60ABC ACB BAC∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB∴∠=∠=︒，DM AD=，AMD∴△是等边三角形，60MAD∴∠=︒，AM AD=．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法 证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ， BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=． BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+． 如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=， 又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．8．见解析过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证2AH AB AF +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒，2AN AF ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中，,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=，2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 9．见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键． 10．（1）42AD =2）见解析；（3）MN 的最小值为3．【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得90ABD ∠=︒，利用平行四边形的性质可得F 为BD 中点，在Rt ABF ∆中，由勾股定理可求得BF ，则可求得AB ，在Rt ABD ∆中，再利用勾股定理可求得AD ；（2）如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，可先证明ABK DBH ∆≅∆，再证明BFK BFH ∆≅∆，可证得结论；（3）连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，得到90AGD ∠=︒，于是得到点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，求得GQ 最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】（1）45AB BD BAD =∠=︒,，45BDA BAD ∴∠=∠=︒90 ABD ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴当点E 与点C 重合时，1122BF BD AB == 在Rt ABF 中，222AF AB BF =+()()222252BF BF ∴=+ 24BF AB ∴==,Rt ABD ∴中，42AD =.（2）证明：如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，23AFD ABF FGD ∠=∠+∠=∠+∠，90ABF FGD ∠=∠=︒，23∴∠=∠，在ABK 和DBH ∆中，23AB BD AK HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABK DBH ∴∆≅∆，BK BH ∴=，61∠=∠，AK DH =，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，41645∴∠=∠=∠=︒，5645ABD ∴∠=∠-∠=︒，51∴∠=∠，在FBK ∆和FBH ∆中，51BF BF BK BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， FBK FBH ∴∆≅∆，KF FH ∴=，AF AK KF =+，AF DH FH ∴=+；()3解：连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，作AK ⊥BC ，交BC 延长线于点K ，作QP ⊥AD ，交AD 延长线于点P ．90AGD ∠=︒，∴点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，根据△ABD 为等腰直角三角形，可得AD 228AB BD +=, ∴AO=142AD =， 根据△ABK 为等腰直角三角形，可得AK =BK =4，可得QE =PE =4，∴PQ =8，∵BK=4,BN =1，∴KN =5，∴KE=AP =10，∴OP =6，10OQ ∴=，4OG =，GQ ∴最小值为6， MN 是AGQ ∆的中位线，MN ∴的最小值为3．【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．。
初二数学 全全等三角形截长补短练习题附解析
初二数学 全全等三角形截长补短练习题附解析一、全等三角形截长补短1．如图1，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，△ADE 为等边三角形．（1）若点E 为BD 的中点，AD ＝4，CD ＝5，求△BCE 的面积；（2）如图2，若BC ＝CD ，点F 为CD 的中点，求证：AB ＝2AF ；（3）如图3，若AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝90°，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ ．当AB ＝62，AD ＝42，tan ∠ABC ＝2时，求CQ ＋1010BQ 的最小值． 2．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．3．如图①，ABC 和BDC 是等腰三角形，且AB AC =，BD CD =，80BAC ∠=︒，100∠=︒BDC ，以D 为顶点作一个50︒角，角的两边分别交边AB ，AC 于点E 、F ，连接EF ．（1）探究BE 、EF 、FC 之间的关系，并说明理由；（2）若点E 、F 分别在AB 、CA 延长线上，其他条件不变，如图②所示，则BE 、EF 、FC 之间存在什么样的关系？并说明理由．4．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠EAF=12∠BAC ，BF ⊥AE 于E 交AF 于点F ，连结 CF ．（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF ＝BE +CF ．（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE 、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF ＝BF +2BE ．5．在菱形ABCD 中，射线BM 从对角线BD 所在的位置开始绕着点B 逆时针旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒，点E 在射线BM 上，DEB DAB ∠=∠．（1）当60DAB ∠=︒时，BM 旋转到图①的位置，线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系是______；（2）在（1）的基础上，当BM 旋转到图②的位置时，探究线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系，并证明；（3）将图②中的60DAB ∠=︒改为90DAB ∠=︒，如图③，其他条件不变，请直接写出线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系．6．如图，在正方形ABCD 中，点F 是CD 的中点，点E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+．7．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 8．如图，在等边△ABC 中，BD ＝CE ，连接AD 、BE 交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）求证：AC•DF ＝BD•BF ；（3）连接FC ，若CF ⊥AD 时，求证：BD ＝12DC ．9．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°． （1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是 ；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长； 拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D 在边AC 上（不与点A ，C 重合）连接BD ，点K 为线段BD 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结CK ，EK ，CE ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）（1）如图1，若α=45°，则△ECK 的形状为______；（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D ，E ，B 三点共线，点K 为线段BD 的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK ；（3）若△ADE 绕点A 旋转至图3位置时，使得D ，E ，B 三点共线，点K 仍为线段BD 的中点，请你直接写出BE ，AE ，CK 三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）3923S BCE =△证明见解析（3）CQ ＋1010BQ 的最小值为5【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 的中点为圆心，半径为2 的圆。
重难点03全等三角形中“截长补短”模型(解析版)-八年级数学
重难点03全等三角形中“截长补短”模型1.识别几何模型。
2.利用“截长补短”模型解决问题定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB=截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法：⑴延长短边。
⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。
例1如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，求证：CD BD AB =+．【解析】解法一：（截长）在CD 上截取DE BD =，连接AE ，∵AD BC ⊥，∴90ADB ADE ∠=∠=︒，∴ABD AED △≌△，∴AE AB =，2AEB B C ∠=∠=∠，∴CAE C ∠=∠，∴CE AE AB ==，∴CD CE DE AB BD =+=+．解法二：（补短）延长CB 到F ，使BF AB =，连接AF ，∴12F BAF ABC C ∠=∠=∠=∠，∵AD BC ⊥，∴90ADB ADE ∠=∠=︒，∴ADF ADC △≌△，∴DF DC =，∵DF BF BD AB BD =+=+，∴CD AB BD =+．【教师备课提示】这道题主要告诉孩子们，截长补短指的是两种方法，通过这道题给孩子们讲解截长补短的做法和证明过程．当出现线段的和差倍分时，要能马上想到截长补短．例2.如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=．【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD=∴ABD AED△≌△∴BD ED =，B AED∠=∠又∵2AED EDC C B C∠=∠+∠=∠=∠∴EDC C ∠=∠，∴ED EC=∴AB BD AC +=．方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ．在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD=∴AED ACD △≌△，∴C E∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE∠=∠+∠=∠=∠∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E∠=∠+∠=∠又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠∴AE AC=EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE=∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC+=+===∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【变式1】如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+C D解析：在AB 上取一点E,使AE=AC,连接DE,∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD∴△ACD ≌△AED∴CD=DE,∠C=∠3∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B=∠4+∠B∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE∵AB=AE+BE∴AB=AC+CD【变式2】如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,∵CE⊥AB∴CF=CB∠CFB=∠B∵∠AFC+∠C FB=180°，∠D+∠B=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD即∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC∴ACD≌△ACF（AAS）∴AD=AF∴AE=AF+EF=AD+BE【变式3】如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.解析：在BC上取点F，使BF=AB∵BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE∵AB∥CD∴∠A+∠D=180°在△ABE和△FBE中AB=FB∠ABE=∠FBEBE=BE∴△ABE≌△FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∴∠BFE+∠D=180°∵∠BFE+∠EFC=180°∴∠EFC=∠D在△EFC和△EDC中，∠EFC=∠D∠BCE=∠DCECE=CE∴△EFC≌△EDC（AAS）∴CF=CD∵BC=BF+CF∴BC=AB+CD【变式4】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC.解析：由题意可得∠AOC=120°∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°在AC上截取AF=AE，连接OF，如图在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAFOA=OA∴△AOE≌△AOF（SAS）∴∠AOE=∠AOF，∴∠AOF=60°∴∠COF=∠AOC-∠AOF=60°又∠COD=60°，∴∠COD=∠COF同理可得：△COD≌△COF（ASA）∴CD=CF又∵AF=AE∴AC=AF+CF=AE+CD即AE+CD=AC【变式5】如图，ABC △是等边三角形，BDC △是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN ，求证：MN BM CN =+．延长AC 到E 点，使CE BM =，连接DE ，由题意可知60ABC ACB ∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，AB AC =，BD CD =，90ABD ACD ∴∠=∠=︒，90ECD ABD ∴∠=∠=︒，BMD CED ∴△≌△，BDM CDE ∴∠=∠，MD ED =，60MDN ∠=︒ ，60BDM CDN ∴∠+∠=︒，60EDN ∴∠=︒，MDN EDN ∴△≌△，MN EN CN CE BM CN ∴==+=+．【变式6】已知四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别在CB 、CD 的延长线上，135EAF ∠=︒．求证：BE DF EF +=．【解析】延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABE ADC ∠=∠=︒，∴ABE ADG △≌△，∴AE AG =，EAB GAD ∠=∠，∴90EAG ∠=︒，∵135EAF ∠=︒，∴135FAG ∠=︒，∴AEF AGF △≌△，∴EF FD DG DF BE =+=+．例3.在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．【解析】在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△，∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE==∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例4．已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．∴ABD AED △≌△．∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC==-=-=∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C∠+∠=∠=∠∴2B C ∠=∠．图1EA B C D 图2E AB CD 方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2，∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =．∴AED ACD △≌△．∴E C ∠=∠．∵2ABD E∠=∠∴2B C ∠=∠．【变式1】如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.解析：延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°∴∠2=∠E∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE∴△ABF≌△AED∠F=∠4，AF=AD∵BC+BF=CD即FC=CD又∵AC=AC∴△ACF≌△ACD∴∠F=∠3∵∠F=∠4∴∠3=∠4∴AD平分∠CDE.【变式2】已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC解析：如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠BAD+∠BCD=180°∵∠BCD+∠BCK=180°∴∠BAD=∠BCK在△BAP和△BKC中AP=CK∠BAP=∠BCKAB=BC∴△BPA≌△BKC（SAS）∴∠ABP=∠CBK,BP=BK∵PQ=AP+CQ∴PQ=QK∵在△BPQ和△BKQ中BP=BKBQ=BQPQ=KQ∴△BPQ≌△BKQ(SSS)∴∠PBQ=∠KBQ∴∠PBQ=∠ABC∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠ABC=180°-∠ADC∴∠ABC=90°-∠ADC∴∠PBQ=90°-∠ADC例5.正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上∠EDF=60°，DB=DC，∠BDC=120°，请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？【解析】数量关系为：EF=BE+FC，理由如下延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG由△ABC是正三角形得：∠ABC=∠ACB=60°又∵DB=DC，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠DBE=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°，∠ACD=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°∴∠GCD=180°-∠ACD=90°∴∠DBE=∠DCG=90°又∵DB=DC，BE=CG，∴△DBE≌△DCG（SAS）∴∠EDB=∠GDC，DE=DG又∵∠DBC=120°=∠EDB+∠EDC=∠GDC+∠EDC=∠EDG∴∠GDF=∠EDG-∠EDF=120-60°=60°∴∠GDF=∠EDF=60°又∵DG=DE，DF=DF∴△GDF≌△EDF（SAS）∴EF=GF=CG+FC=BE+FC【变式1】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？【解析】数量关系为：EF=BF-DE．理由如下：在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG由四边形ABCD是正方形得∠ADE=∠ABG=90°，AD=AB又DE=BG∴△ADE≌△ABG（SAS）∴∠EAD=∠GAB，AE=AG由四边形ABCD是正方形得∠DAB=90°=∠DAG+∠GAB=∠DAG+∠EAD=∠GAE∴∠GAF=∠GAE-∠EAF=90°-45°=45°∴∠GAF=∠EAF=45°又∵AG=AE，AF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=GF=BF-BG=BF-DE【变式2】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？【解析】数量关系为：EF=DE-BF.理由如下：在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴∠GAD=∠FAB，AG=AF由四边形ABCD是正方形得∠DAB=90°=∠DAG+∠GAB=∠BAF+∠GAB=∠GAF∴∠GAE =∠GAF -∠EAF =90°-45°=45°∴∠GAE =∠FAE =45°又∵AG =AF ，AE =AE∴△EAG ≌△EAF （SAS ）∴EF =EG =ED -GD =DE -BF一、单选题1．（2022秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC 中，∠B =2∠A ，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【分析】如图，在CA 上截取,CN CB =连接,DN 证明,CBD CND ≌利用全等三角形的性质证明,BD ND =求解9,7,CN AN ==再证明,DN AN =从而可得答案．【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB =连接,DN CD 平分,ACB ∠,BCD NCD ∴∠=∠,CD CD = (),CBD CND SAS ∴ ≌,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=9,16,BC AC == 9,7,CN AN AC CN ∴==-=,CND NDA A ∠=∠+∠ ,B NDA A ∴∠=∠+∠2,B A ∠=∠ ,A NDA ∴∠=∠,ND NA ∴=7.BD AN ∴==故选：.B 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题2．（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数是________．【答案】120°【分析】延长AB ，使得AB=BE ，延长AD ，使得AD=DF ，连接EF ，与BC ，DC 相较于M ，N ，要使得△AMN 的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN 的内角和是180°即可列出方程求解．【详解】解：延长AB ，使得AB=BE ，延长AD ，使得AD=DF ，连接EF ，与BC ，DC 相较于M ，N如图所示，此时△AMN 的周长最小∵∠ABM=90°∴∠EBM=90°在△AMB 和△EMB 中AB BE ABM EBM MB MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMB ≌△EMB∴∠BEM=∠BAM∴∠AMN=2∠BAM同理可得：△AND ≌△FDN∴∠NAD=∠NFD∴∠ANM=2∠NAD设∠BAM=x ，∠MAN=z ，∠NAD=y∵∠BAD=120°∴12022180x y z x y z ++=︒⎧⎨++=︒⎩解得：60x y +=︒即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．3．（2020秋·江苏无锡·八年级统考期中）如图，ABC 与ADC △有一条公共边AC ，且AB=AD ，∠ACB=∠ACD=x ，则∠BAD=________．（用含有x 的代数式表示）【答案】180°-2x【分析】在CD 上截取CE=CB ，证明△ABC ≌△AEC 得AE=AB ，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．【详解】解：在CD 上截取CE=CB ，如图所示，在△ABC 和△AEC 中，CE CB ACE ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AEC(SAS)∴AE=AB ，∠B=∠AEC,∵AB=AD ，5．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）在ABC 中，2ACB B ∠∠＝，如图①，当90C ∠︒＝，AD 为BAC ∠的平分线时，在AB 上截取AE AC ＝，连接DE ，易证AB AC CD +＝．(1)如图②，当90C ∠≠︒，AD 为ABC 的角平分线时，线段AB ，AC ，CD 之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当90ACB ∠≠︒，AD 为ABC 的外角平分线时，线段AB ，AC ，CD 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.【答案】(1)AB CD AC +＝；(2)AB CDAC ＝﹣，证明见解析【分析】（1）首先在AB 上截取AE AC ＝，连接DE ，易证ADE ADC SAS ≌（），则可得AED C ∠∠＝，ED CD ＝，又由AED ACB ∠∠＝，2ACB B ∠∠＝，所以2AED B ∠∠＝，即B BDE ∠∠＝，易证DE CD ＝进而求解；（2）首先在BA 的延长线上截取AE AC ＝，连接ED ，易证EAD CAD △≌△，可得ED CD ＝，AED ACD ∠∠＝，又由2ACB B ∠∠＝，易证DE EB ＝，则可求解．【详解】（1）解：AB CD AC +＝．理由为：在AB 上截取AG AC ＝，连接DG ，如图②所示，∵AD 为BAC ∠的平分线，∴GAD CAD ∠∠＝，在ADG △和ADC △中，===AG AC GAD CAD AD AD ⎧⎪∠⎨⎪⎩，∴ADG ADC SAS ≌（），∴DG CD ＝，AGD ACB ∠∠＝．∵2ACB B ∠∠＝，∴2AGD B ∠∠＝．又∵AGD B GDB ∠∠+∠＝，∴B GDB ∠∠＝，∴BG DG DC ＝＝，则AB BG AG CD AC ++＝＝；（2）解：AB CD AC ＝-．理由为：在AF 上截取AG AC ＝，连接DG ，如图③所示，∵AD 为FAC ∠的平分线，∴GAD CAD ∠∠＝，在ADG △和ACD △中，===AG AC GAD CAD AD AD ⎧⎪∠⎨⎪⎩，∴ADG ACD SAS ≌（），∴CD GD ＝，AGD ACD ∠∠＝，∴ACB FGD ∠∠＝．∵2ACB B ∠∠＝，∴2FGD B ∠∠＝．又∵FGD B GDB ∠∠+∠＝，∴B GDB ∠∠＝，∴BG DG DC ＝＝，则AB BG AG CD AC ＝-＝-．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）已知：如图，在ABC 中，=60B ∠︒，D 、E 分别为AB 、BC 上的点，且AE 、CD 交于点F ．若AE 、CD 为ABC 的角平分线．(1)求AFC ∠的度数；(2)若6AD =，4CE =，求AC 的长．【答案】(1)120︒（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．证明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性质得出结论．【详解】（1）解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且AB BD AC +=，求证：2ABC ACB ∠=∠，小明的方法是：如图2，在AC 上截取AE ，使AE AB =，连接DE ，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB 构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB 至F ，使BF =______，连接DF 请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D 在ABC 的内部，AD BD CD ，，分别平分BAC ABC ACB ∠∠∠，，，且AB BD AC =+．求证：2ABC ACB ∠∠＝．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，点D 在边BC 上，AB BD AC +=，那么AD 平分BAC ∠小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．【分析】（1）延长AB 至F ，使=BF BD ，连接DF ，根据三角形的外角性质得到2ABC F ∠=∠，则可利用SAS 证明ADF ADC ≅ ，根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在AC 上截取AE ，使AE AB =，连接DE ，则可利用SAS 证明ADB ADE ≅△△，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长AB 至G ，使BG BD =，连接DG ，则可利用SSS 证明ADG ADC ≅ ，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．【详解】（1）证明：（1）如图1，延长AB 至F ，使=BF BD ，连接DF ，则BDF F ∠=∠，∴2ABC BDF F F ∠=∠∠=∠+，∵AD 平分BAC∠∴BAD CAD ∠=∠，∵AB BD AC BF BD ==+，，∴AF AC =，在ADF △和ADC △中，AF AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ADF ADC ≌（） ，∴ACB F ∠=∠，∴2ABC ACB ∠=∠．故答案为：BD ．（2）证明：如图3，在AC 上截取AE ，使AE AB =，连接DE∵AD BD CD ，，分别平分BAC ABC ACB ∠∠∠，，，∴DAB DAE DBA DBC DCA DCB ∠=∠∠=∠∠=∠，，，∵AB BD AC AE AB +==，，∴DB CE =，在ADB 和ADE V 中，AB AE DAB DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ADB ADE ≅（） ，∴BD DE ABD AED =∠=∠，，∴DE CE =，∴EDC ECD ∠=∠，∴2AED ECD ∠=∠，∴2ABD ECD ∠=∠，∴2ABC ACB ∠=∠．（3）证明：如图4：延长AB 至G ，使BG BD =，连接DG ，则BDG AGD ∠=∠，∴2ABC BDG AGD AGD ∠=∠∠=∠+，∵2ABC ACB ∠=∠，∴AGD ACB ∠=∠，∵AB BD AC BG BD ==+，，∴AG AC =，∴AGC ACG ∠=∠，∴DGC DCG ∠=∠，∴DG DC =，在ADG △和ADC △中，AG AC DG DC AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴SSS ADG ADC≌（）， ∴DAG DAC ∠=∠，即AD 平分BAC ∠．【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．一、选择题1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，5AB =，6CD =，则AC 的长为（）A ．3B ．9C ．11D ．15【答案】C 【分析】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，得到∠B=∠AED ，AB=AE ，再证明CD=CE ，进而代入数值解答即可．【详解】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC ，在△ABD 和△AED 中，BAD DA AE AB AD AD C =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B=∠AED ，∠ADB =∠ADE ，AB=AE ，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB ，∠BDE=2∠ADB ，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB ，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB ，∴∠DEC =∠EDC ，∴CD=CE ，∵5AB =，6CD =，∴AC =AE+CE=AB+CD =5+6=11．A ．2B ．【答案】B 【分析】延长CB 到点E ，使是等腰直角三角形，再根据结论．【详解】解：如图，延长CB ∵∠DAB ＝∠BCD ＝90°，∴∠D +∠ABC ＝180°，∵∠ABE +∠ABC ＝180°，∴∠D ＝∠ABE ，在△ADC 和△ABE 中，AD AB D ABE DC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE 和△BFE 中，CBE=FBE BE=BE 3=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△BCE ≌△BFE （ASA ），所以BC ＝BF ，所以AB ＝AF+BF ＝AD+BC ；故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.二、填空题4．（2022秋·八年级课时练习）如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，20C ∠=︒，AB BD AC +=，则B ∠的度数为_______．【答案】40︒【分析】如图（见解析），在线段AC 上取点E ，使得AE AB =，先根据角平分线的定义得出BAD EAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质得出BD ED =，B AED ∠=∠，然后根据线段的和差、等量代换得出ED CE =，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．【详解】如图，在线段AC 上取点E ，使得AE AB=AD 平分BAC∠BAD EAD\Ð=Ð在ABD △和AED △中，AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD AED SAS ∴≅ BD ED ∴=，B AED∠=∠又AB BD AC AE CE+==+ BD CE∴=ED CE∴=20CDE C ∴∠=∠=︒40AED CDE C ∴∠=∠+∠=︒40B AED ∴∠=∠=︒故答案为：40︒．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．（2020春·四川宜宾·八年级统考阶段练习）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、BC 上的点，且10DE =cm ，45EAF ∠=︒，△EFC 的周长为80cm ，则EF =_________cm ．【答案】34【分析】延长CB 到H ，使BH=DE ，连接AH ，可证△ADE ≌△ABH ，可得AE=AH ，由∠EAF=45º可证得∠HAF=45º，进而可证得△HAF ≌△EAF ，可得EF=HF ，由△EFC 的周长可求得正方形的边长，设EF=x ，在Rt △ECF 中，利用勾股定理列方程即可求得EF 的长．【详解】如图延长CB 到H ，使BH=DE=10cm ，连接AH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠ABH=∠DAB=90º，AB=AD=BC=CD ，∴△ADE ≌△ABH （SAS)，∴AE=AH,∠DAE=∠BAH ，∵∠EAF=45º，∴∠DAE+∠BAF=45º，∴∠BAH+∠BAF=45º即∠HAF=45º，∴∠HAF=∠EAF 又AH=AE,AF=AF ，∴△HAF ≌△EAF(SAS)，∴HF=EF ，∵△EFC 的周长为80cm ，∴CE+CF+EF=CE+CF+HF=CE+DE+CF+BF=BC+CD=2BC=80,∴BC=40cm,设EF=x ，则CF=40+10-x=50-x ，在Rt △ECF 中，CE=40-10=30cm ，由勾股定理得：222(50)30x x =-+，解得：x=34，即EF=34cm ，故答案为：34．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答的关键是认真分析，找到相关信息的关联点，结合图形，进行推理、计算．6．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，连接BD 、CE ，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE 的长为__．【答案】6【分析】在AD 上截取AF=AE ，连接BF ，易得△ABF ≌△ACE ，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E ，CE=BF ，则有∠D=∠DFB ，然后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：在AD 上截取AF=AE ，连接BF ，如图所示：AB=AC ，∠FAB=∠EAC ，∴ABF ACE ≌△△，∴BF=EC ，∠BFA=∠E ，∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，∴∠DFB=∠D ，∴BF=BD ，BD=6，∴CE=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．7．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．【答案】40°【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，∴∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∴∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD，∴△ABD≌△FBD，DE=DA，∴DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC，∴△DEC≌△DFC，∴1006040∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；DCB DCE DFC FDC故答案为40°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，2A C Ð=Ð，BD 平分ABC ∠，10BC =，6AB =，则AD =_____．【答案】4【分析】在BC 上截取BE ＝AB ，利用“边角边”证明△ABD ≌△EBD ，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝AD ，由全等三角形对应角相等可得∠BED ＝∠A ，然后求出∠C ＝∠CDE ，根据等角对等边可得CE ＝DE ，等量代换得到EC ＝AD ，则BC ＝BE +EC ＝AB +AD 即可求出AD 长．【详解】解：（1）在BC 上截取BE ＝BA ，如图，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD ，在△ABD 和△BED 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），∴DE ＝AD ，∠BED ＝∠A ，又∵∠A ＝2∠C ，∴∠BED ＝∠C +∠EDC ＝2∠C ，∴∠EDC ＝∠C ，∴ED ＝EC ，∴EC ＝AD ，∴BC ＝BE +EC ＝AB +AD ，∵BC ＝10，AB ＝6，∴AD ＝10﹣6＝4；故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．9．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知ABC ∆中，60A ∠=︒，D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+∠=∠，则DCB ∠的度数是_________．【答案】20°【分析】延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ，证明AEC △是等边三角形，设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ，再证明()△△ADC EBC SAS ≅，即可得到结果．【详解】解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∴2=++=+AE AD DB BE AD BD ，∵2=+AC AD BD ，∴AE AC =．∵60A ∠=︒，∴AEC △是等边三角形，∴60∠=∠=︒E ACE ，∵4∠=∠ABC ACD ，∴设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC △与EBC 中，∵AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ADC EBC SAS ≅，∴∠=∠=ACD ECB x ．∵∠=∠+∠ABC E BCE ，∴460=︒+x x ，∴20x =︒，∴60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD ．故答案是20︒．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．三、解答题10．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC 的平分线，求证：AE+BE=BC．【答案】见解析【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，(1)若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，MDN ∠两边分别交AC 、BC 于点M 、N ，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将M 、N 改在CA 、BC 的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM 、MN 、BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【答案】(1)AM BN MN +=，证明见解析；(2)AM BN MN +=，证明见解析；(3)作图见解析，BN AM MN -=．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE AM =，证DAM DBE ≌，推出∠=∠BDE MDA ，DM DE =，证MDN EDN △≌△，推出MN NE =即可；（2）延长CB 到E ，使BE AM =，证DAM DBE ≌，推出∠=∠BDE MDA ，DM DE =，证MDN EDN △≌△，推出MN NE =即可；（3）在CB 截取BE AM =，连接DE ，证DAM DBE ≌，推出∠=∠BDE MDA ，DM DE =，证MDN EDN △≌△，推出MN NE =即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒ ，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠ ，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+ ，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒ ，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒ ，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+ ，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE AM =，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒ ，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒ ，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠ ，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=- ，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
初二数学全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案
初二数学全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案一、全等三角形截长补短1．如图1，在ABC 中，AB AC =，AC 平分BCD ∠，连接BD ，2ABD CBD ∠=∠，BDC ABD ACD ∠=∠+∠．（1）求A ∠的度数：（2）如图2，连接AD ，AE AD ⊥交BC 于E ，连接DE ，求证：DEC BAE ∠=∠； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 为CE 的中点，连接AG 交BD 于点F ，若32ABC S =△，求线段AF 的长．2．如图1，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，△ADE 为等边三角形．（1）若点E 为BD 的中点，AD ＝4，CD ＝5，求△BCE 的面积；（2）如图2，若BC ＝CD ，点F 为CD 的中点，求证：AB ＝2AF ；（3）如图3，若AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝90°，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ ．当AB ＝2，AD ＝2，tan ∠ABC ＝2时，求CQ ＋10BQ 的最小值．3．如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902BDC ABD ∠=+∠．（1）求证：DB AB =；（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若16BC =，ABF 的周长等于30，求AF 的长．4．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，∠FDG 12=∠BDE ． （1）如图1，若∠BDE =120°，DF ⊥BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ； （2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：_____________．5．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠EAF=12∠BAC ，BF ⊥AE 于E 交AF 于点F ，连结 CF ．（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF ＝BE +CF ．（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE 、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF ＝BF +2BE ．6．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．7．已知等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在直线AB 上， DE ∥BC ，交直线AC 与点E ，且BD=BC ，CH ⊥AB ，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证DH=BH+DE ；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，如图2，当点D 在线段AB 延长线上时，如图3，直接写出DH ，BH ，DE 之间的数量关系，不需要证明．8．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 9．在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ．点O 是DE 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F ，在CF 上取点G ，连接AG ．（1）若4tan 3B =，5AB =，6BC =，求ABE △的周长． （2）若60B EAG ∠=∠=︒，求证：AF CG =．10．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）90A ∠=︒；（2）见解析；（3）4【分析】（1）设.DBC x ∠=推出2ABC x ∠=，3ABC ACB ACD x ∠=∠=∠=，5D x ∠=，利用三角形内角和定理构建方程求出x 即可；（2）先依据ASA 证明BEA CDA △≌△，再依据全等三角形的性质得到AE AD =，结合AE AD ⊥，依据三角形内角和求出45AED ∠=︒,再依据三角形外角的性质及等式的基本性质即可求证；（3）根据直角三角形的面积公式求出AB ，延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK ，先依据SAS 证明AEG KCG △≌△，结合等量代换得到AE KC AD ==，ACK BAD ∠=∠，再依据SAS 证明AKC BDA △≌△，依据全等的性质求得CAG ABD ∠=∠215=⨯︒30=︒，从而得到60BAF ∠=︒，继而得到90AFB ∠=︒，最后依据直角三角形30度角的性质解决问题．【详解】()1解：如图1中，设DBC x ∠=．2ABD DBC ∠=∠，AB AC =，2ABD x ∴∠=，3ABD ACB x ∠=∠=， AC 平分BCD ∠，3ACD ACB x ∴∠=∠=，26DCB ACB x ∠=∠=,5D ABD ACD x ∠=+∠=，又∵在BCD ∆中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒，56180x x x ∴++=︒，15x ∴=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，30ABD ∠=︒，180454590A ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）AE AD ⊥,90EAD ∴∠=︒,90BAC EAD ∠=∠=︒,BAC EAC EAD EAC ∴∠-∠=∠-∠,BAE CAD ∴∠=∠,=345ABE x ACD ∠=︒=∠，AB AC =()BEA CDA ASA ∴△≌△AE AD ∴=，又∵90EAD ∠=︒,∴45AED ADE ∠=∠=︒又AEC ABE BAE AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，DEC BAE ∴∠=∠；（3）延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK点G 为CE 的中点，EG CG ∴=，AGE KGC ∠=∠，()AEG KCG SAS ∴△≌△，AE KC ∴=，AEG KCG ∠=∠，AE KC AD ∴==，45ACK ACB KCG AEC ∠=∠+∠=︒+∠4590ABE BAE BAE BAD =︒+∠+∠=︒+∠=∠AB AC =()AKC BDA SAS ∴△≌△21530CAG ABD ∠=∠=⨯︒=︒60BAF ∴∠=︒90AFB ∴∠=︒32ABC S =211=3222AB AC AB ∴⨯= 8AB ∴=142AF AB ∴==． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，第（1）问的关键在于设未知数，列方程；第（2）问的关键得到了等腰直角三角形和利用三角形的外角性质建立起了两个待证量之间的等式；第（3）问的关键在于作辅助线证明了30CAG ∠=︒.2．（1）3923S BCE =△证明见解析（3）CQ ＋1010BQ 的最小值为5【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 的中点为圆心，半径为2 的圆。
三角形全等之辅助线——截长补短经典习题
三角形全等之截长补短之老阳三干创作
创作时间：二零二一年六月三十日
一、知识点睛
截长补短：
题目中呈现线段间的和差倍分时,考虑截长补短；截长补短的目的是把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．
二、精讲精练（可以检验考试用多种方法）
1.已知：如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C．求证：
AC=AB+BD．
2.已知：如图,在正方形ABCD中,AD=AB,
∠D=∠ABC=∠BAD=90°,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠
EAF=45°,连接EF．求证：EF=BF+DE．
3.已知：如图,在△ABC中,∠ABC=60º,△ABC的角平分线AD,CE
交于点O．求证：AC=AE+CD．
4.已知：如图,在△ABC中,∠A=90º,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥
1BD．
BD交BD的延长线于点E．求证：CE=
2
5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE⊥AB于E,△BDC为等腰直角
三角形,∠BDC=90°,BD CD,CE与BD交于F,连接AF．求
证：CF=AB+AF．
6.如图,△ABC中,AM是BC边上的中线,求证：
创作时间：二零二一年六月三十日。
初二数学 全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案
初二数学 全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案一、全等三角形截长补短1．在ABC 中，60ABC ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE =，AED C ∠=∠．（1）求CDE ∠的度数；（2）求证：AD DE BD +=．2．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．3．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．4．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．5．如图，在正方形ABCD 中，点E 迕射线BC 上，连接AE ，作EF AE ⊥，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由． 6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积． 解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 7．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°． （1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是 ；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长； 拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．8．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．9．在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ．点O 是DE 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F ，在CF 上取点G ，连接AG ．（1）若4tan 3B =，5AB =，6BC =，求ABE △的周长． （2）若60B EAG ∠=∠=︒，求证：AF CG =．10．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）60︒；（2）见解析【分析】（1）由AB BE =，60ABC ∠=︒，可得ABE △为等边三角形，由AEB EAC C ∠=∠+∠，CDE EAC AED ∠=∠+∠，AED C ∠=∠，可证60CDE AEB ∠=∠=︒（2）延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ， 由60BED AED ∠=︒+∠，60BAF C ∠=︒+∠，且C AED ∠=∠，可证()FBA DBE SAS ≌ 由=DB FB ，可证FBD 为等边三角形，可得BD FD =， 可推出结论，【详解】解：（1）∵AB BE =，60ABC ∠=︒，∴ABE △为等边三角形，∴60BAE AEB ∠=∠=︒，∵AEB EAC C ∠=∠+∠，CDE EAC AED ∠=∠+∠，∵AED C ∠=∠，∴60CDE AEB ∠=∠=︒（2）如图，延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ，由（1）得ABE △为等边三角形，∴60AEB ABE ∠=∠=︒，∵60BED AEB AED AED ∠=∠+∠=︒+∠，又∵60BAF ABE C C ∠=∠+∠=︒+∠，且C AED ∠=∠，∴BED BAF ∠=∠，在FBA 与DBE 中，AB BE BAF BED AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()FBA DBE SAS ≌ ∴=DB FB ，DBE FBA ∠=∠ ∴DBE ABD FBA ABD ∠+∠=∠+∠，∴60ABE FBD ∠=∠=︒又∵=DB FB ，∴FBD 为等边三角形 ∴BD FD =， 又∵FD AF AD =+，且AF DE =，∴FD DE AD BD =+=，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．2．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．3．（1）BC=AC+AD ；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB 上截取CE=CA ，则由题意可得AD=DE ，∠CED=∠A ，再结合∠A=2∠B 可得DE=BE ，从而得到BC=AD+AC ；（2）在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，由题意可得EC=BC ，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据EC 、EF 的长度求得CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答 ．【详解】解：（1）如图，在CB 上截取CE=CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD=DE ，∠CED=∠A ，∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B ，又∠CED=∠B+∠EDB ，∴∠B+∠EDB=2∠B ，∴∠EDB=∠B ，∴DE=BE ，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如图，在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==， ∴22221068CF EC EF =--=， ∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．4．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠， 12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠， 在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．5．（1）=；（2）AE EF =，见解析；（3）AE EF =，见解析【分析】（1）作辅助线，AH=EC ，∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=180°-45°=135°，则△AHE ≌△ECF ； （2）作辅助线，仍然证明△AME ≌△ECF 得出结论；（3）做辅助线，仍然证明ANE ECF △≌△得出结论．【详解】解：（1）证明：取AB 的中点H ，连接EH ；∵ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE ，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE ，∴△AHE ≌△ECF ，∴AE=EF ；（2）在AB 上取一点M ，使得AM EC =，连接ME∴BM BE =∴45BME ∠=︒∴135AME ∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45DCF ∠=︒∴135ECF ∠=︒∴AME ECF ∠=∠∵90AEB BAE ∠+∠=︒，90AEB CEF ∠+∠=︒∴BAE CEF ∠=∠∴AME ECF △≌△∴AE EF =（3）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE∴BN NE =∴45N NEC ∠=∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45FEC ∠=︒∴N FEC ∠=∠∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD BE∴DAE BEA ∠=∠ 即9090DAE BEA ∴NAE CEF ∠=∠∴ANE ECF △≌△∴AE EF =【点睛】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、全等三角形的性质和判定，解决此类题的思路为：构造两个三角形全等；熟练掌握正方形的性质是本题的关键．6．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解． 【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形， 故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK≌，∴FH=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，∴FMK FMH≌，∴MK=FN=2cm，∴12=242FGH HFM MFN FMKFGHMNS S S S S MK FN=++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．7．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE31．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝3CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝3x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AFGAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，∴DG＝x，∴DG﹣FG＝DF，即x﹣x＝4，∴x1，∴CE ＝3﹣1．【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键． 8．见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键． 9．（1）256+；（2）见解析【分析】 （1）构建直角三角形，得出AH 、BH ，然后利用角平分线的性质以及平行四边形的性质，进行等量互换，即可得解；（2）首先在AB 上截取BQ BE =，然后判定DOF EOC ≌△△和AEQ GAF ≌△△，进行等量转换，即可得证.【详解】（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图所示：4tan 3B ∠=，5AB =， 4AH ∴=，3BH =DE 平分ADC ∠，12∠∠∴=，AD BC ∵∥，13∠∠∴=23∴∠=∠，5DC EC ∴==，1BE ∴=，2EH ∴=，25AE ∴=256ABE C ∴=△；（2）在AB 上截取BQ BE =，连接EQ ，如图所示：CD CE =，CO DE ⊥，OD DE ∴=①AD BC ∵∥，DFO ECO ∴∠=∠，ADE CED ∠=∠②③由①②③得：DOF EOC ≌△△，DF CE ∴=，又AD BC =，AD DF BC CE ∴-=-，即AF BE =60EAG ∠=︒，60BAE FAG ∴∠+∠=︒，60DFC ∠=︒，60FGA FAG ∴∠+∠=︒，CD=CFBAE FGA ∴∠=∠④又120FAG AQE ∠=∠=︒，EQ AF =⑤⑥由④⑤⑥得：AEQ GAF ≌△△，AQ FG ∴=，又AB CF =，AB AQ CF FG ∴-=-，即BQ CG =，AF CG ∴=．【点睛】此题主要考查利用三角函数值构建直角三角形以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.10．（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =∠=∠，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC ∠=∠，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC ∠=∠，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG ∠，从而有12EFC AFG ∠=∠，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC ∠=∠=︒，ECF BCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD ∠的平分线BAF DAE ∴∠=∠//AD BCDAE F ∴∠=∠BAF F ∴∠=∠AB BF FC BC ∴==+E 是边CD 的中点DE CE ∴=在ADE 和FCE △中，DAE F AED FEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FCE AAS ∴≅AD FC ∴=AB FC BC AD BC ∴=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD ∠的平分线DAE GAE ∴∠=∠在ADE 和AGE 中，AD AG DAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AGE SAS ∴≅,DE GE D AGE ∴=∠=∠E 是边CD 的中点DE CE ∴=CE GE ∴=ECG EGC ∴∠=∠//AD BC180D BCD ︒∴∠+∠=，即180D ECG BCG ∠+∠+∠=︒180AGE EGC BCG ∴∠+∠+∠=︒，即180AGC BCG ∠+∠=︒又180AGC BGC ∠+∠=︒BCG BGC ∴∠=∠BG BC ∴=AB AG BG AD BC ∴=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE ==AFG ∴是等腰三角形EF ∴平分AFG ∠ 12EFC AFG ∴∠=∠ //CG AD ，60BAD ∠=︒60,180120BFC BAD AFG BAD ∴∠=∠=︒∠=︒-∠=︒60EFC ∴∠=︒//CG AD180D ECF ∴∠+∠=︒11802D BCD ︒∠+∠=，即1()1802D ECF BCF ∠+∠+∠=︒ 1()2ECF ECF BCF ∴∠=∠+∠ ECF BCF ∴∠=∠在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CF ECF BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECF BCF ASA ∴≅CB CE ∴=．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．。
初二数学 全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案
初二数学 全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案一、全等三角形截长补短1．已知：在ABC 中，90BAC ︒∠=，AB AC =．将ABC 按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点(0,)A m 落在y 轴的负半轴上，使得点(,0)B n 落在x 轴的正半轴上，点C 在第二象限，并且,m n 满足2268250m n m n ++-+=．（1）由题意可知OA =_____，OB =_____（直接写答案）；（2）求点C 的坐标；（3）ABC 的斜边BC 交y 轴于D ，直角边AC 交x 轴于E ．在AC 上截取AF CE =，连接DF ．探究线段DF AD BE 、、的数量关系并证明你的结论．2．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．3．如图1，在四边形ABCD 中，,,AB AD BC CD AB BC ⊥⊥=，2ABC EBF ∠=∠，它的两边分别交AD DC 、点,E F ．且AE CF ≠．()1求证：.EF AE CF =+()2如图2，当MBN ∠的两边分别交,AD DC 的延长线于点,E F ，其余条件均不变时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．4．如图，ABC ∆中，BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，CD 相交于点F ，60A ∠=︒．（1）求BFD ∠的度数；（2）判断BC ，BD ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．5．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．6．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．7．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．8．如图，在正方形ABCD 中，点F 是CD 的中点，点E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+．9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ．点E 是线段DO 上一点，连接CE ．点F 是∠OCE 的平分线上一点，且BF ⊥CF 与CO 相交于点M ，点G 是线段CE 上一点，且CO=CG ．（1）若OF=4，求FG 的长；（2）求证：BF=OG+CF ．10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）3，4；（2）(3,1)C -；（3）BE=DF+AD ，理由见解析【分析】（1）由非负数的性质求出m ，n 即可；（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，只要证明△ACH ≌△BAO 即可解决问题；（3）在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，则△CHD ≌△AOK ，再证明DF=EK ，AD=BK 即可解决问题．【详解】解：（1）∵2268250m n m n ++-+=∴22(3)(4)0m n ++-=,∵2(3)0+≥m ，2(4)0n -≥，∴3,4m n =-=，∴(0,3)A -，(4,0)B∴OA=3，OB=4，故答案为：3，4（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，∵∠CHA=∠AOB=∠CAB=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CAH+∠BAO=90°，∴∠ACH=∠BAO ，∵AC=BC ，∴△ACH ≌△BAO ，∴AH=OB=4，CH=OA=3，∴OH=1，∴(3,1)C -（3）结论为：BE=DF+AD理由：如图，在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，∵CH=OA ，∠CHD=∠AOK=90°，DH=OK ，∴△CHD ≌△AOK （SAS ），∴CD=AK ，∵AD=BK ，AB=AC ，∴△AKB ≌△CDA （SSS ），∴∠KAB=∠ACD=45°，∴∠EAK=45°=∠FCD ，∵CE=AF ，∴CF=AE ，∵CD=AK ，∴△CDF ≌△AKE （SAS ）∴DF=KE ，∵BE=EK+BK ，∴BE=DF+AD【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（1）见解析；（2）EFAE BF =+；（3）222MN EN FM =+，见解析 【分析】（1）连接AB ,通过90POQ ∠=，OA OB =得到AOB 为等腰直角三角形，进而得到45OAB OBA ∠=∠=，根据过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ，可推出45CBA ∠=，45BAC ∠=，最后通过证明AOB ≌ACB △，可以得出结论；（2）在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合45ECF ∠=，90ACB ∠=推导证明ECD ≌ECF △，得到ED EF =，最后等量代换线段即可求解；（3）延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合135ECF ∠=，推导证明ECD ≌ECF △，得到D CFM ∠=∠，根据D CFB ∠=∠，等量代换可知CFM CFB ∠=∠，又因为//AC OQ ，推出MCF CFB ∠=∠，进而得到MC MF =，同理可证CN EN =，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）证明：连接AB ．90POQ ∠=，OA OB =，∴AOB 为等腰直角三角形，∴45OAB OBA ∠=∠=，又//BC OP ，且90POQ ∠=，∴BC OQ ⊥，∴90CBF ∠=，∴45CBA ∠=，同理，45BAC ∠=，在AOB 与ACB △中OAB CAB AB ABOBA CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AOB ≌ACB △()ASA ，∴90AOB ACB ∠=∠=，OA OB AC BC ===；（2）如图1，在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ．在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，45ECF ∠=，90ACB ∠=，∴45ACE BCF ∠+∠=，∴45ACE ACD ECD ∠+∠=∠=，∴ECD ECF ∠=∠，在ECD 与ECF △中CD CF ECD ECF CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴ED EF =，又ED AD AE BF AE =+=+，∴EF AE BF =+． （3）222MN EN FM =+．证明如下：如图2，延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ．∴90CAD CBF ∠=∠=，在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，90ACD DCB ∠+∠=，∴90BCF DCB DCF ∠+∠==∠，∴90FCD BCA∠=∠=，135ECF∠=，∴36090135135ECD∠=--=，∴ECF ECD∠=∠，在ECD与ECF△中EC ECECD ECFCD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ECD≌ECF△()SAS，∴D CFM∠=∠，CAD≌CBF，∴D CFB∠=∠，∴CFM CFB∠=∠，//AC OQ，∴MCF CFB∠=∠，∴CFM MCF∠=∠，∴MC MF=，同理可证：CN EN=，∴在Rt MCN△中，由勾股定理得：22222MN CN CM EN FM=+=+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．3．（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF，理由见详解【分析】（1）延长FC到H，使CH AE=，连接BH，由题意易证BCH BAE∆∆≌，则有HBF EBF∠=∠，进而可证HBF EBF∆∆≌，然后根据线段的等量关系可求解；（2）在AE上截取AH=CF，连接BH，然后根据题意易证△ABH≌△CBF，则有BH=BF，∠ABH=∠CBF，进而可得△EBF≌△EBH，最后根据线段的等量关系可求解．【详解】()1证明：延长FC到H，使CH AE=，连接BH，如图所示：,AB AD BC CD ⊥⊥，90A BCH ∴∠=∠=︒，在BCH ∆和BAE ∆中BC BA BCH A CH AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCH BAE SAS ∴∆∆≌，,BH BE CBH ABE ∴=∠=∠，2ABC EBF =∠∠，ABE CBF EBF ∴∠+∠=∠，HBC CBF EBF ∴∠+∠=∠，HBF EBF ∴∠=∠在HBF ∆和EBF ∆中BH BE HBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBF EBF SAS ∴∆∆≌HF EF ∴=，HF HC CF AE CF =+=+EF AE CF ∴=+；（2）不成立，AE=CF+EF ，理由如下：在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，如图所示：,AB AD BC CD ⊥⊥，90A BCF ∴∠=∠=︒，∵AB=CB ，∴△ABH ≌△CBF （SAS ），∴BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，∵2ABC EBF ∠=∠，∠EBF=∠CBF+∠CBE ，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH ， ∴∠EBF=∠EBH ，∵EB=EB ，∴△EBF ≌△EBH （SAS ），∴CF=AH ，EF=EH ，∵AE=AH+HE ，∴AE=CF+EF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．4．（1）∠BFD ＝60°；（2）BC ＝BD ＋CE ；证明见解析【分析】（1）根据角平分线和外角性质求解即可；（2）在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，证明△BDF ≌△BGF ，△CGF ≌△CEF ，即可得到结果；【详解】（1）∵BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，∴ABE CBE ∠=∠，ACD BCD ∠=∠，∵60A ∠=︒，∴120ABC ACB ∠+∠=︒，∴60FBC FCB ∠+∠=︒，∴60DFB ∠=︒． （2）BC ＝BD ＋CE ；证明方法：在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，在△BDF 和△BGF 中，BD BG DBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BDF BGFSAS ≅， ∴60DFB BFG ∠=∠=︒，又∵GCF ECF ∠=∠，∴△CGF ≌△CEF （ASA ）,∴CE ＝CG ，∴BC ＝BD ＋CE ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键．5．（1）等腰直角三角形；（2）723）图见解析，135°或45°【分析】（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可；（2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；（3）分情况讨论：①当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；②当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题．【详解】解：（1）222BD CE DE +=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形， 2DE BD =，设BD a =，则2DE a =，2222a EC a ∴+=，EC a ∴=，BD EC ∴=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．故答案：等腰直角三角形．（2）如图①，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒，ABE ADC ∴∠=∠，在ABE △和ADC 中，,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADC SAS ∴△≌△，AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，212ACE S AC ∴=△， 四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形， 21322AC ∴=， 8AC ∴=（负值已舍），282EC AC ∴==，82272BC EC BE ∴=-=-=．图①（3）①画图如图②，③．当点D 在ABC 内时，如图②，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==， 242DE AD ==，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；②当点D 在ABC 外时，如图③，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==，242DE AD ==，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，45ADC ∴∠=︒．综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．图② 图③【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM ≌△CDN ，进而得出△DMN 是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12MN ，即可解决问题； （2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，30DBC DCB ∴∠=∠=︒，90DBM DCN ∴∠=∠=︒，在BDM 和CDN △中， ,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDN SAS ∴△≌△，DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，∵60MDN ∠=︒，∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒，1122NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，90ABD ACD ∠∴∠==︒，90DCE ∴∠=︒，在BDM 和CDE △中，,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDE SAS ∴△≌△，MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，∵60MDN ∠=︒，60NDE ∴∠=︒，在MDN △和EDN △中，,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴△≌△．MN NE ∴=，又∵NE NC CE NC BM =+=+，BM NC MN ∴+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．7．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．8．见解析【分析】过F 作FH ⊥AE 于H ，得出FH=FD ，然后证明△FHE ≌△FCE ，再通过等价转换可证得AE=EC+CD ．【详解】证明：过F 作FH ⊥AE 于H ，如图，∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ，∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ，又∵DF=FC=FH ，FE 为公共边，∴△FHE ≌△FCE （HL ）．∴HE=CE ．∵AE=AH+HE ，AH=AD=CD ，HE=CE ，∴AE=EC+CD ．【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．9．（1）4；（2）见解析【分析】（1）根据条件证明△OCF ≌△GCF ，由全等的性质就可以得出OF=GF 而得出结论； （2）在BF 上截取BH=CF ，连接OH ，通过条件可以得出△OBH ≌△OCF ，可以得出OH=OF ，从而得出OG ∥FH ，OH ∥FG ，进而可以得出四边形OHFG 是平行四边形，就可以得出结论．【详解】解：（1）∵CF 平分∠OCE ，∴∠OCF=∠ECF ．∵OC=CG ，CF=CF ，∵在△OCF 和△GCF 中，OC GC OCF ECF CF CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OCF ≌△GCF （SAS ），∴FG=OF=4即FG 的长为4．（2）证明：在BF 上截取BH=CF ，连接OH ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∠DBC=45°，∴∠BOC=90°，∴∠OCB=180°-∠BOC-∠DBC=45°．∴∠OCB=∠DBC ．∴OB=OC ．∵BF ⊥CF ，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=180°-∠BOC-∠OMB=90°-∠OMB ，∠OCF=180°-∠BFC-∠FMC=90°-∠FMC ，且∠OMB=∠FMC ，∴∠OBH=∠OCF ．∵在△OBH 和△OCF 中OB OC OBH OCF BH CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OBH ≌△OCF （SAS ）．∴OH=OF ，∠BOH=∠COF ．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°． ∴1180452OHF OFH HOF ∠=∠=︒-∠=︒（） ∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF ≌△GCF ，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°． ∴1180452FGO FOG OFG ∠=∠=︒-∠=︒（） ， ∴∠GOF=∠OFH ，∠HOF=∠OFG ．∴OG ∥FH ，OH ∥FG ，∴四边形OHFG 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴OG=FH ．∵BF=FH+BH ，∴BF=OG+CF【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键．10．见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．。
初二数学全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案(1)
初二数学全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案(1)一、全等三角形截长补短1．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．2．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．3．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，∠FDG 12=∠BDE ． （1）如图1，若∠BDE =120°，DF ⊥BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ； （2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：_____________．4．如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=12∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结CF．（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．5．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．6．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．7．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．8．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．9．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的角平分线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．10．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =MN 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①260α-︒，120.α︒-①∵AB 、AC 关于直线l 对称，∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，∵∠BAD=α，∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．∵AB=AC ，AC=AE ，∴AB=AE ，∴∠ABE=12（180°-∠BAE ）=120°-α． 故答案为：2α-60°，120°-α②数量关系是FA =FC +FE ，证明如下：在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG 为等边三角形，∴EG=FE=FG ，∠GEF=60°，∵△AEC 是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE ，∴∠AEC=∠GEF=60°，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC ，即∠AEG=∠CEF ，在△AEG 和△CEF 中，EG EF AEG CEF AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC∴FA=AG+FG=FC+FE，（3）AF=FC-EF．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E在直线l右侧，在FA上截取FG=EF，连接EG，∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG，在△AEF和△CEG中，EF EGAEF CEG AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△CEG，∴AF=CG，∴AF=FC-EF．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．2．（1）BC=AC+AD；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB上截取CE=CA，则由题意可得AD=DE，∠CED=∠A，再结合∠A=2∠B可得DE=BE，从而得到BC=AD+AC；（2）在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，由题意可得EC=BC，从而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答 ．【详解】解：（1）如图，在CB 上截取CE=CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD=DE ，∠CED=∠A ，∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B ，又∠CED=∠B+∠EDB ，∴∠B+∠EDB=2∠B ，∴∠EDB=∠B ，∴DE=BE ，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如图，在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==， ∴22221068CF EC EF =--=， ∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．3．（1）4；（2）FG=BF+EG ，见解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分别求出DF ，CF 即可解决问题．（2）如图2中，结论：FG=BF+EG ．在EA 上截取EH ，使得EH=BF ．利用两次全等，证明FG=GH 即可解决问题．（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．利用两次全等，证明FG=GH 即可解决问题．【详解】（1）∵DE ∥BC ，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF ⊥BF ，∴∠BFD=90°，∴DF=BF•tan60°133=⨯=， ∵∠CDF 12=∠BDE=60°，∠DFC=90°， ∴CF=DF•tan 60°333=⨯=， ∴BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG ． 理由：在EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∵∠FDG 12=∠BDE ， ∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH 12=∠BDE ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=EG+HE=EG+BF ，∴FG=BF+EG ；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∴∠BDE=∠FDH ，∵∠FDG 12=∠BDE 12=∠FDH ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=HE-GE=BF-EG ，∴FG=BF=-EG ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）在EF 上截取EH BE =，由“SAS ”可证ACF AHF ∆≅∆，可得CF HF =，可得结论；（2）在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，由“SAS ”可证ACF ANF ∆≅∆，可得CF NF =，可得结论．【详解】解：证明：（1）如图，在EF 上截取EH BE =，连接AH ，EB EH =，AE BF ⊥，AB AH ∴=，AB AH =，AE BH ⊥，BAE EAH ∴∠=∠，AB AC =，AC AH ∴=，12EAF BAC ∠==∠ BAE CAF EAF ∴∠+∠=∠，BAE CAF EAH FAH ∴∠+∠=∠+∠，CAF HAF ∴∠=∠，在ACF ∆和AHF ∆中，AC AH CAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF AHF SAS ∴∆≅∆，CF HF ∴=，EF EH HF BE CF ∴=+=+；（2）如图，在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，AE BF ⊥，BE EN =，AB AC =，AN AB AC ∴==，AN AB =，AE BN ⊥，BAE NAE ∴∠=∠，12EAF BAC ∠==∠ 1(2)2EAF NAE BAC NAE ∴∠+∠=∠+∠ 12FAN CAN ∴∠=∠， FAN CAF ∴∠=∠，在ACF ∆和ANF ∆中，AC AN CAF NAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ANF SAS ∴∆≅∆，CF NF ∴=，2CF BF BE ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解． 【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形， 故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用． 6．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．（1）183；（2）见解析【分析】（1）过点B 作BH ⊥AD 于H ，由直角三角形的性质可求BH 的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE 至M ，使ME ＝BE ，连接MB ，由题意可证△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，△BEM 是等边三角形，可得∠CBD ＝∠ABD ＝60°＝∠MBE ，AB ＝BD ＝BC ，BM ＝BE ，由“SAS”可证∴△MBD ≌△EBC ，可得MD ＝EC ，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B 作BH ⊥AD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝6，∵∠A ＝60°，BH ⊥AD ，∴∠ABH ＝30°，∴AH＝12AB＝3，BH＝3AH＝33，∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×33＝183；（2）如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，∵∠BED＝2∠A＝120°，∴∠BEM＝60°，又∵BE＝ME，∴△BEM是等边三角形，∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，∴∠MBD＝∠EBC，∴△MBD≌△EBC（SAS），∴MD＝EC，∴CE＝BE+DE．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．8．（1）见解析；（2）①2BD CD=+，见解析，②c a BD CD ADb b=+【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD、BD、CD之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD上截取BM CD=，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD、BD、CD之间的数量关系，以AD为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法证明：如图①-1，在DB上截取DM AD=，连接AM，AB BC AC==，ABC∴是等边三角形，60ABC ACB BAC∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB∴∠=∠=︒，DM AD=，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法 证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ， BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=． BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+． 如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=， 又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．9．（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.【分析】（1）在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ，根据已知条件利用ASA 判定AME ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =． （2）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ，根据已知利用ASA 判定ANE ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =． 【详解】 解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=，45BME ∴∠=°，135AME ， CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=︒，135ECF ∴∠=°，AME ECF ，90AEB BAE ，90AEB CEF ∠+∠=︒， BAE CEF ∴∠=∠， ()AME ECF ASA ，AE EF ∴=．（2）正确．证明：如图示，在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=，45N NEC ， CF 平分DCG ∠，45FCE ，N ECF ，四边形ABCD 是正方形，//AD BE ∴，DAE BEA ，即9090DAE BEA ，NAE CEF ， ()ANE ECF ASA ，AE EF ∴=．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．10．（1）42AD =2）见解析；（3）MN 的最小值为3．【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得90ABD ∠=︒，利用平行四边形的性质可得F 为BD 中点，在Rt ABF ∆中，由勾股定理可求得BF ，则可求得AB ，在Rt ABD ∆中，再利用勾股定理可求得AD ；（2）如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，可先证明ABK DBH ∆≅∆，再证明BFK BFH ∆≅∆，可证得结论；（3）连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，得到90AGD ∠=︒，于是得到点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，求得GQ 最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】（1）45AB BD BAD =∠=︒,，45BDA BAD ∴∠=∠=︒90 ABD ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴当点E 与点C 重合时，1122BF BD AB == 在Rt ABF 中，222AF AB BF =+()()222252BF BF ∴=+ 24BF AB ∴==,Rt ABD ∴中，42AD =.（2）证明：如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，23AFD ABF FGD ∠=∠+∠=∠+∠，90ABF FGD ∠=∠=︒，23∴∠=∠，在ABK 和DBH ∆中，23AB BD AK HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABK DBH ∴∆≅∆，BK BH ∴=，61∠=∠，AK DH =，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，41645∴∠=∠=∠=︒，5645ABD ∴∠=∠-∠=︒，51∴∠=∠，在FBK ∆和FBH ∆中，51BF BF BK BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， FBK FBH ∴∆≅∆，KF FH ∴=，AF AK KF =+，AF DH FH ∴=+；()3解：连接AN并延长到Q，使NQ AN=，连接GQ，取AD的中点O，连接OG，作AK⊥BC，交BC延长线于点K，作QP⊥AD，交AD延长线于点P．∠=︒，90AGD∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且4OG=，根据△ABD为等腰直角三角形，可得AD=228+=,AB BD∴AO=14AD=，2根据△ABK为等腰直角三角形，可得AK=BK=4，可得QE=PE=4，∴PQ=8，∵BK=4,BN=1，∴KN=5，∴KE=AP=10，∴OP=6，∴=，410OQOG=，∴最小值为6，GQ∆的中位线，MN是AGQ∴的最小值为3．MN【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．。
初二数学全全等三角形截长补短知识点及练习题及答案(1)
初二数学全全等三角形截长补短知识点及练习题及答案(1)一、全等三角形截长补短1．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ； （2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠<︒，D 是边BC 的中点，以AC 为边作等边三角形ACE ，且ACE △与ABC 在直线AC 的异侧，连接BE 交DA 的延长线于点F ，连接FC 交AE 于点M ．（1）求证：FB FC =；（2）求证：FEA FCA ∠=∠；（3）若8FE =，2AD =，求AF 的长．3．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．4．如图所示，//AB DC AB AD BE ⊥，，平分ABC CE ∠，平分BCD ∠； （1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．（2）若把AB AD ⊥条件去掉，则（1）中AB CD 、与BC 的数里关系还成立吗?并说明你的理由．5．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．6．如图，四边形ABCD 为矩形，F 为对角线BD 上一点，过点F 作FE BD ⊥交AD 于点H ，交BA 的延长线于点E ，连接AF ，当FD FE =时，求证：2AH AB AF +=．7．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．8．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的角平分线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．9．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D在边AC上（不与点A，C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE 绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）（1）如图1，若α=45°，则△ECK的形状为______；（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K 为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK；（3）若△ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM 是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ACE ≌△CBM （AAS ），∴CE=BM=BD ，由（2）可证△HGF ≌△FEA （AAS ），∴GH=FE ，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD ．故答案为：HG=CF+BD ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．2．（1）见解析；（2）见解析；（3）4【分析】（1）利用AD 所在直线是BC 的垂直平分线，点F 在直线AD 上即可得出结论． （2）由ACE △是等边三角形，得AC=AE=AB 推得ABF FEA ∠=∠．易证ABF ≌ACF （SSS ），ABF FCA FEA ∠=∠=∠即可，（3）延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．先证直角三角形ADC ≌PDC△（SAS ），推出AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．再证60EFC EAC ∠=∠=︒．求出，FBD 30FCD ∠=∠=︒．用ACD ∠表示30ECF ACD ∠=︒+∠．而30FCP ACD ∠=︒+∠，得ECF FCP ∠=∠．可证ECF △≌PCF （SAS ），可推得AF EF AP =-即可．【详解】（1）证明：∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，又∵点F 在直线AD 上∴FB FC =．（2）证明：∵ACE △是等边三角形，∴60EAC ACE ∠=∠=︒，AC AE =．∵AB AC =，∴AB AE =，∴ABF FEA ∠=∠．由（1）可知，FB FC =，又∵AF AF =，AB AC =，∴ABF ≌ACF （SSS ），∴ABF FCA ∠=∠，∴FEA FCA ∠=∠． （3）解：如图，延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴90ADC PDC ∠=∠=︒．∵ACE △是等边三角形，∴AC CE =，60EAC ∠=︒．∵AD DP =，ADC PDC ∠=∠，CD CD =，∴ADC ≌PDC △（SAS ），∴AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．由（2）可知，FEA FCA ∠=∠，∵AMC FME ∠=∠，∴60EFC EAC ∠=∠=︒．由（1）可知，BF CF =， ∴()18060260BFD CFD ∠=∠=︒-︒÷=︒，∴906030FCD ∠=︒-︒=︒．∵FCA FCD ACD ∠=∠-∠，∴30FCA ACD ∠=︒-∠．∵ECF ECA FCA ∠=∠-∠，∴()303030ECF ECA ACD ECA ACD ACD ∠=∠-︒-∠=∠-︒+∠=︒+∠． ∵FCP FCD PCD ∠=∠+∠，∴30FCP ACD ∠=︒+∠，∴ECF FCP ∠=∠．∵FC FC =，CE CP =，∴ECF △≌PCF （SAS ），∴FE FP =，∴2FE FA AP AF AD =+=+，∴2822=4AF EF AD =-=-⨯．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题．3．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ） EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =， 在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠， 12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠， 在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ） EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．4．（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ⊥于F ，然后证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得结论了．（2）成立, 在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得到结论．【详解】()1AB CD BC +=理由是：过E 作EF BC ⊥于FCE 为角平分线DCE FCE ∴∠=∠//AB DC AB AD ⊥，90D ∴∠=EF BC ⊥D CFE ∴∠=∠CE CE =()CDE CFE AAS ∆≅∆CD CF ∴=同理可证()ABE FBE AAS ∆≅∆AB BF ∴=CF BF AB +=AB CD BC ∴+=()2成立理由：在BC 上截取CF CD =CE 为角平分线DCE FCE ∴∠=∠CE CE =()CDE CFE SAS ∆≅∆CD CF ∴= D CFE ∠=∠//AB DC180D A ∴∠+∠=又180CFE EFB ∠+=A EFB ∴∠=∠ 又BE 是角平分线 ABE FBE ∴∠=∠BE BE =()BAE BFE AAS ∆≅∆AB FB ∴=∴ CF BF AB +=AB CD BC ∴+=5．（1）183；（2）见解析【分析】（1）过点B 作BH ⊥AD 于H ，由直角三角形的性质可求BH 的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE 至M ，使ME ＝BE ，连接MB ，由题意可证△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，△BEM 是等边三角形，可得∠CBD ＝∠ABD ＝60°＝∠MBE ，AB ＝BD ＝BC ，BM ＝BE ，由“SAS”可证∴△MBD ≌△EBC ，可得MD ＝EC ，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B 作BH ⊥AD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝6，∵∠A ＝60°，BH ⊥AD ，∴∠ABH ＝30°，∴AH ＝12AB ＝3，BH ＝3AH ＝33， ∴菱形ABCD 的面积＝AD×BH ＝6×33＝183；（2）如图，延长DE 至M ，ME ＝BE ，连接MB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ，∠A ＝60°＝∠BCD ，∴△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，∴∠CBD ＝∠ABD ＝60°，AB ＝BD ＝BC ，∵∠BED ＝2∠A ＝120°，∴∠BEM ＝60°，又∵BE ＝ME ，∴△BEM 是等边三角形，∴BM ＝BE ，∠MBE ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠EBC ，∴△MBD ≌△EBC （SAS ），∴MD ＝EC ，∴CE ＝BE+DE ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．6．见解析【分析】过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证2AH AB +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒， 2AN AF ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中，,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=，2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 7．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．8．（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.【分析】（1）在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ，根据已知条件利用ASA 判定AME ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =． （2）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ，根据已知利用ASA 判定ANE ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．【详解】解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=，45BME ∴∠=°，135AME ， CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=︒，135ECF ∴∠=°，AME ECF ，90AEB BAE ，90AEB CEF ∠+∠=︒， BAE CEF ∴∠=∠， ()AME ECF ASA ，AE EF ∴=．（2）正确．证明：如图示，在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=，45N NEC ， CF 平分DCG ∠，45FCE ，N ECF ，四边形ABCD 是正方形，//AD BE ∴，DAE BEA ， 即9090DAE BEA ， NAE CEF ， ()ANE ECF ASA ，AE EF ∴=．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．9．（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =∠=∠，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC ∠=∠，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC ∠=∠，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG ∠，从而有12EFC AFG ∠=∠，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC ∠=∠=︒，ECF BCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD ∠的平分线BAF DAE ∴∠=∠//AD BCDAE F ∴∠=∠BAF F ∴∠=∠AB BF FC BC ∴==+E 是边CD 的中点DE CE ∴=在ADE 和FCE △中，DAE F AED FEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FCE AAS ∴≅AD FC ∴=AB FC BC AD BC ∴=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD ∠的平分线DAE GAE ∴∠=∠在ADE 和AGE 中，AD AG DAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AGE SAS ∴≅,DE GE D AGE ∴=∠=∠E 是边CD 的中点DE CE ∴=CE GE ∴=ECG EGC ∴∠=∠//AD BC180D BCD ︒∴∠+∠=，即180D ECG BCG ∠+∠+∠=︒180AGE EGC BCG ∴∠+∠+∠=︒，即180AGC BCG ∠+∠=︒又180AGC BGC ∠+∠=︒BCG BGC ∴∠=∠BG BC ∴=AB AG BG AD BC ∴=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE ==AFG ∴是等腰三角形EF ∴平分AFG ∠12EFC AFG ∴∠=∠ //CG AD ，60BAD ∠=︒60,180120BFC BAD AFG BAD ∴∠=∠=︒∠=︒-∠=︒60EFC ∴∠=︒//CG AD180D ECF ∴∠+∠=︒ 11802D BCD ︒∠+∠=，即1()1802D ECF BCF ∠+∠+∠=︒ 1()2ECF ECF BCF ∴∠=∠+∠ ECF BCF ∴∠=∠在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CF ECF BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECF BCF ASA ∴≅CB CE ∴=．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 10．（1）△ECK 是等腰直角三角形；（2）见解析； （3）BE-AE•tanα=2CK ．理由见解析．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC ，∠EKC =90°即可；（2）在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BF 于Q ，结合等腰直角三角形的性质利用SAS 可证△AEC ≌△BGC ，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG 是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG ，等量代换可得结论.（3）在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BE 于Q ，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG ，由tanα的表示可得BC AC =BG AE，易证△CAE ∽△CBG ，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【详解】（1）解：结论：△ECK 是等腰直角三角形．理由：如图1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB ，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK=1BD，2∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD=1BD，2∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK是等腰直角三角形．（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．∵∠α=45°，DE⊥AE，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG，∠5=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴CK=EK=KG，∴BE-AE= BE-BG=EG=EK+KG =2CK．（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK．理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．DE AE ⊥，∠ACB=90°，90,90CAE EQA CBG CQB ︒︒∴∠+∠=∠+∠=EQA CQB ∠=∠∴∠CAE=∠CBG ，在Rt △ACB 中，tanα=BC AC ， 在Rt △ADE 中，tanα=DE AE =BG AE ， ∴BC AC =BG AE ，tan DE AE α=∴△CAE ∽△CBG ，∴∠ACE=∠BCG ，∴∠ECG=∠ACB=90°，∵KD=KB ，DE=BG ，∴KE=KG ，∴EG=2CK ，∵BE-BG=EG=2CK ，∴BE-DE=2CK ，∴BE-AE•tanα=2CK ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.。
人教版初中数学 小专题 截长补短、倍长中线法构造全等三角形(等腰)
1、已知：如图，在ABC 中，AB AC ，D、E在BC上，
且DE=EC，过D作
交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分
7．已知：如图，AD，AE 分别是△ ABC 和△ ABD 的中线，且 BA＝BD.求证：AE＝12AC.
证明：延长 AE 至 F，使 EF＝AE，连接 DF. ∵AE 是△ABD 的中线，∴BE＝DE. ∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝ DF. ∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF. ∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF ＝∠ADC. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD. ∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即 AE＝12AC.
如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为 BC的中点，求证：DE＝2AM. 解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN， ∵点M为BC的中点，∴BM＝CM. 又∵∠BMN＝∠CMA， ∴△AMC≌△NMB(SAS)． ∴AC ＝ BN ， ∠ C ＝ ∠NBM ， ∠ ABN ＝ ∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. 又 ∵BN ＝ AC ＝ AD ， AB ＝ EA ， ∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA. 又AM＝MN，∴DE＝2AM.
小专题 截长补短、倍长中线法构造全等三角形
方法 利用“截长补短法”构造全等三角形 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是 把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段 ，补短就是在一条边上延长，使其等于一条已知边。 例1 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE