2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案
2021年湖北省高考数学真题及参考答案
2021年湖北省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据n x x x 21，，由这组数据得到新样本数据n y y y 21，，其中()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（）==C.213OP OP OP OA ⋅=⋅ D.321OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()165522=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，23=PB D.当PBA ∠最大时，23=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（）A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值C.当21=λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当21=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面PAB 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届湖北省武汉市2020-2021学年度部分学校高三起点质量检测数学试卷【含答案】
湖北武汉市2021届高三起点质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A={x| x2-x-2 <0},B ={x|0 < x< 3},则A⋂B =A. (-1,2)B. (0,2)C. (-1 ,3)D. ( 0 ,3 )2.若a+i3-2i为纯虚数，则实数 a的值为A.23 B.-23 C.32 D. -323.已知命题p : 所有的三角函数都是周期函数，则, ⌝p 为A.所有的周期函数都不是三角函数B. 所有的三角函数都不是周期函数C. 有些周期函数不是三角函数D. 有些三角函数不是周期函数4.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,|b| = 2 ,a·b=4,则向量a, b夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.155.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆.学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 18 种6.过抛物线E : y2= 2x焦点的直线交E于 A, B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则 |AB |==A. 2B.52C . 3D. 47. 如图，点 A , B , C , M , N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN // 平面ABC 的是8. 我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书· 洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克 的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中 ，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关 系的概率为 A.35 B.12 C.25 D.13二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求。
2021年高三八省联考数学试卷(含答案)
A． 在 单调递增
B． 有两个零点
C．曲线 在点 处切线的斜率为
D． 是偶函数
10．设 为复数， ．下列命题中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）
A． B． C． D．
12．设函数 ，则（）
A． B． 的最大值为
故渐近线方程为： ，所以 ， ，
又 ， ，
所以
，
因为故 ，
故 .
22.已知函数 ．
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ，求 ．
【详解】(1)分类讨论：
①.当 ， ；
②.当 时， ，
，
则函数 在 上单调增，则 ，
则函数 在 上单调减，则 ；
③.当 时，由函数的解析式可知 ，
当 时，令 ，则 ，
故函数 在区间 上单调递增，从而： ，
故 ，
.
故答案为： ； .
15.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数 ， ，
满足 ，即是奇函数；
根据最小正周期 ，可得 .
故函数可以是 中任一个，可取 .
故答案为： .
16.
【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差 在 的概率不小于0.9545，
则 且 ， ，
所以 .
故答案为：32.
所以 （ ）
18.在四边形 中， ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
， ，
在 中，由余弦定理可得 ， ；
（2）设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
湖北省部分重点中学2021届高三高考冲刺联合押题(一)数学试题及答案
湖北省部分重点中学2021年高考冲刺联合押题（一）数学试卷一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
） 1.（原创，易）已知复数34iz i-=，则复数z 在复平面内对应的点位于（） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限.D 第四象限答案：.C解：因为i ii i i i z 34434322--=-=-=，所以复数i i z 43-=在复平面内对应的点位于第三象限。
故选：.C2.（原创，易）已知平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，则直线a 与直线b 的位置关系不可能是.A 相交.B 垂直 .C 平行.D 异面答案：.A解：画出大致图形或结合教室的天花板和地板不难得到答案.A3.（原创，易）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的。
在他的集合理论中，用()card M 表示有限集合M 中元素的个数，如{}1,2,3,4M=，则有()4card M =。
若对于任意两个有限集合,M N ，有()()()()card M N card M card N card M N =+-。
某校举办秋季运动会，{}()=11card 高三（20）班参加田赛的学生，{}()=10card 高三（20）班参加径赛的学生，{}()=4card 高三（20）班参加田赛与径赛的学生，那么 {}()card 高三（20）班参加运动会的学生（）.A 25人.B 14人.C 15人.D 17人答案：.D解：关键是读懂题意，按照题意定义的要求很快得到答案.D4.（原创，易）某椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点(，则关于该图形判断正确的是.A 焦点在x 轴上的双曲线.B 焦点在y 轴上的双曲线 .C 焦点在x 轴上的椭圆.D 焦点在y 轴上的椭圆答案：.B解：依题意设方程为221,(0)mx ny mn +=≠则有23121m n n +=⎧⎨=⎩可得0,0m n <>，故选：.B5.（原创，易）已知2tan =α，则αααααcos sin cos cos 2sin 3+-的值为.A 37-.B 37.C 15-.D 15答案：.D解：依题意323222sin 2cos cos 2sin cos cos sin cos (sin cos )(sin cos )2tan 11(tan 1)(tan 1)5ααααααααααααααα--=+++-==++6.（原创，中）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递减。
2021届湖北十一校第二次联考数学试题(含解析)
绝密★启用前2021届湖北十一校第二次联考一、选择题（（每小题5分,共40分））1. 已知,则复数( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由,得,所以.故选C.2. 已知,且,则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】因为,所以,又,, 所以,所以.3. 已知等差数列的第项是展开式中的常数项,则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】的展开式中，,对于,常数项为,∴,,∴.4. 下列命题错误的是( )A. 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于B. 设,且,则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 在残差图中,残差点分布的带状区域的宽带越狭窄,其模型拟合的精度越高【答案】B【解析】该题错误的是B,由,知,概率密度函数的图象关于对称,故,,故B错误; 对于A,根据相关系数的意义知,A正确;对于C,根据线性回归直线性质可知,C正确;对于D,根据残差图的意义,D正确.5. 设,,,是同一个半径为的球的球面上四点,且是边长为的正三角形,则三棱锥体积的最大值为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可画如图所示图,为球心,即,,为的外接圆圆心. 由题可知,要使三棱锥的体积最大,即其高最大时,其体积最大, 即图中的长为高时,最大,, 则,, 则,故选D.6. 已知非空集合,满足以下两个条件: (1),; (2)的元素个数不是中的元素,的元素个数不是中的元素. 则有序集合对的个数为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】若集合中只有个元素,则集合中有个元素,则,,即,,此时有对;同理,若集合只有个元素,则集合中有个元素,有对;若集合中有个元素,则集合中有个元素,,,不满足条件,所以满足条件的有序集合对的个数为,故选B.7. 直线经过椭圆的左焦点,交椭圆于,两点,交轴于点,若,则该椭圆的离心率是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】令,得,为,故;令,得,故,设点为,则,,,得,在椭圆上,代入方程中,,,得,故选A.8. 已知函数,若,且,则的最小值是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】不妨设.当时,,所以,不符合题意. 当时,, 所以由,得所以(时,,不符合题意,故),所以. 构造函数,则. 故当时,,此时函数单调递减; 当时,,此时函数单调递增. 故,故. 当时,, 由,得,所以,不符合题意. 综上所述,的取值范围是,故选C.二、多选题（（每小题5分,共20分））9. 一个口袋中有大小形状完全相同的个红球和个白球,从中取出个球.下面几个命题中正确的是( )A. 如果是不放回地抽取,那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B. 如果是不放回地抽取,那么第次取到红球的概率一定小于第次取到红球的概率 C. 如果是有放回地抽取,那么取出个红球1个白球的概率是 D. 如果是有放回地抽取,那么在至少取出一个红球的条件下,第次取出红球的概率是【答案】C,D【解析】A.不放回,,, ∵,故A错误; B.不放回,,,故B错误;C.有放回,,故C正确;D.有放回,,,故D正确.10. 设函数(,)的最小正周期为,且过点,则下列正确的为( )A. B. 在单调递减 C. 的周期为 D. 把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为【答案】B,C【解析】函数(,), 由于函数的最小正周期为,所以, 由于函数的图象经过点,所以,所以, 所以函数,故A错误;对于B,在时, ,所以函数单调递减,故B正确;对于C,,所以函数的周期为,故C正确;对于D,把函数的图象向左平移个单位长度得到函数,故错误,11. 正方体的棱长为,,,分别为,,的中点,则( )A. 直线与直线垂直B. 直线与平面平行C. 平面截正方体所得的截面面积为D. 点与点到平面的距离相等【答案】B,C【解析】取中点,则为在平面上的射影,∵与不垂直,∴与不垂直,故A错;取中点.连接,,可得平面平面,故B正确;把截面补形为四边形,由等腰梯形计算其面积,故C正确;假设与到平面的距离相等,即平面将平分,则平面必过的中点,连接交于,而不是中点,则假设不成立,故D错.故选BC.12. 数学中的很多符号具有简洁、对称的美感,是形成一些常见的漂亮图案的基石,也是许多艺术家设计作品的主要几何元素,如我们熟悉的符号,我们把形状类似的曲线称为“曲线”.经研究发现,在平面直角坐标系中,到定点,距离之积等于的点的轨迹是“曲线”.若点是轨迹上一点,则下列说法中正确的有( )A. 曲线关于原点中心对称B. 的取值范围是C. 曲线上有且仅有一个点满足 D. 的最大值为【答案】A,C【解析】在曲线任取一点,,则根据题意得,即, ∴有, 整理得:,(*) 在(*)式中,同时将换成,换成,方程不变, 所以曲线关于原点对称,故A正确; 设轴上范围最大为,,,得, ∴范围为,故B错误; ∵,所以点在的垂直平分线上, 令则,所以, 所以曲线上满足的点只有一个,即, 由,得, 通过极坐标与直角坐标互换,即,,所以,故选AC.三、填空题（（每小题5分,共20分））13. 已知单位向量,满足,则与的夹角为__________.【答案】【解析】∵,,∴,解得, ∴,且,∴.14. 从某小区抽取户居民进行月用电量调查,发现用电量都在到度之间,频率分布直方图如图所示,则直方图中的的值为__________.【答案】【解析】由频率分布直方图,得, ∴,故答案为:.15. 写出一个渐近线的倾斜角为且焦点在轴上的双曲线标准方程__________.【答案】(答案不唯一)【解析】由题设双曲线的标准方程为, 因为渐近线的倾斜角为,所以,所以, 故符合条件的双曲线标准方程为(答案不唯一).16. 已知不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】∵时,对任意恒成立, 令,, 则时,,对任意都同号,故: ①、非负:，,令,则,列表如下:故,即, 对于二次函数,因项系数为正, 故只需: ,即,综上有. ②、的零点相同:当时,对称轴与负半轴有交点, 又,故此时两根为负,不可能与零点相同,排除; 当时,设两根为,,则, 设两根为,,则应有:, 因,,即:,即, ∵、都为正,故,即, 当时,令,, ∵时,,故, 故当时,, 故时,,故在上单调递减,即, 故时,故、零点不可能相同,故:.四、解答题（（,共70分））17. 在平面四边形中,,,,. (1)求; (2)若,求.【答案】(1); (2).【解析】(1)在中,由正弦定理得, 由题设知,所以, 由题设知,,所以(2)由题设(1)知,,在中,由余弦定理得:, 所以.18. 如图,在平行四边形中,,,,四边形为矩形,平面平面,,点在线段上运动. (1)当时,求点的位置; (2)在(1)的条件下,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】见解析【解析】(1)∵,,, ∴,,∴,又,平面平面,平面平面,平面,∴平面,以,,为,,轴建立空间直角坐标系,如图, , ,,,,, 设,,则,, ∵,∴,解得,∴, ∴当时,点为的中点. (2)由(1),,, 设平面的一个法向量为,则, 取,则,易知平面的一个法向量为, ∴, ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19. 已知数列,,. (1)求的通项公式; (2)数列满足,为数列的前项和,是否存在正整数,(),使得?若存在,求出,的值;若不存在,请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)将代入得, 由,① 可以得到,② ②①得,所以数列为奇数项、偶数项都是以为公差得等差数列, 当时,; 当时,,∴,. (2)∵, ∴. 若,则,即,得, ∵,∴,∴, ∴,解得,矛盾,∴不存在,满足题意.20. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有层小木块,小球从通道口落下,第一次与第层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过次与小木块碰撞,最后掉入编号为,,…,的球槽内.例如小球要掉入号球槽,则在次碰撞中有次向右次向左滚下. (1)如图1,进行一次高尔顿板试验,求小球落入号球槽的概率; (2)小红、小明同学在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板,付费元可以玩一次游戏,小球掉入号球槽得到的奖金为元,其中.小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少成层,然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时,有的概率向左,的概率向右滚下,最后掉入编号为,,…,的球槽内,改进高尔顿板后只需付费元就可以玩一次游戏,小球掉入号球槽得到的奖金为元,其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明同学谁的盈利多?请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)设这个小球掉入号球槽为事件,掉入号球槽,需要向右次向左次, 所以,所以这个小球掉入号球槽的概率为. (2)小红的收益计算如下:每一次游戏中,可能取值为,,,,,,,,一次游戏付出的奖金, 则小红的收益为. 小明的收益计算如下:每一次游戏中,的可能取值为,,,,,,,.一次游戏付出的奖金,则小明的收益为. ∵,∴小明的盈利多.21. 已知动点在轴及其上方,且点到点的距离比到轴的距离大. (1)求点的轨迹的方程; (2)求点是直线上任意一点,过点作点的轨迹的两切线、,其中、为切点,试证明直线横过一定点,并求出该点的坐标.【答案】见解析【解析】(1)设点,则,即,化简得. ∵,∴,∴点的轨迹方程为. (2)对函数求导数, 设切点,则过该切点的切线的斜率为, ∴切线方程为,即, 设点,由于切线经过点,∴,即. 设,,则,是方程的两个实数根, ∴,, 设为中点,∴,∴,∴点, 又∵, ∴直线的方程为,即,(*) ∴当,时,方程(*)恒成立,∴对任意实数,直线恒过定点.22. 已知函数在时取到极大值. (1)求实数、的值; (2)用表示,中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)∵,∵在时取得极大值,∴即,解得,. (2)设,, 则,, 当时,恒成立; 当时,, 从而, ∴在上恒成立,故在上单调递减, ∵,,所以, 又曲线在上连续不间断,故由函数零点存在定理及其单调性知, 存在唯一的,使得, ∴当时,,当时,, ∴, ∴,故, 由于函数为增函数,且曲线在上连续不间断, ∴在和上恒成立, ①当时,在上恒成立,即在上恒成立,记,,则,,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,故,解得. ②当时,,当时,在上恒成立. 综合①、②知,当时,为增函数,故的取值范围是.。
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高三(上)起点质检数学试卷(9月份)(附答案详解)
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高三（上）起点质检数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若复数z 的共轭复数z −满足(1+i)z −=i ，则z =( )A.−1+i 2B.−1−i 2C.1+i 2D.1−i 22. 若tanα=2，则cos2α1−sin2α=( )A. −13B. 13C. −3D. 33. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x −4y +c 1=0和3x −4y +c 2=0，则|c 1−c 2|=( )A. 2√3B. 2√5C. 2D. 44. 某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比值为( )A. 2B. 43C. 32D. 545. 在一次试验中，随机事件A ，B 满足P(A)=P(B)=23，则( )A. 事件A ，B 一定互斥B. 事件A ，B 一定不互斥C. 事件A ，B 一定互相独立D. 事件A ，B 一定不互相独立6. 要得到函数y =sin(2x +π6)的图象，可以将函数y =cos(2x −π6)的图象( )A. 向右平移π12个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移π6个单位长度D. 向左平移π6个单位长度7. 在用计算机处理灰度图像(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()A. B.C. D.8.设双曲线E：x2−y23=1的左、右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA//MF2，则|MF2|=()A. 74B. 52C. 83D. 114二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列关于空集的说法中，正确的有()A. ⌀∈⌀B. ⌀⊆⌀C. ⌀∈{⌀}D. ⌀⊆{⌀}10.某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有( )A. 调整后房地产业的利润有所下降B. 调整后医疗器械的利润增长量最大C. 调整后生物制药的利润增长率最高D. 调整后金融产业的利润占比最低11. 数列{a n }依次为：1，13，13，13，15，15，15，15，15，17，17，17，17，17，17，17，19，19，…，其中第一项为11，接下来三项均为13，再接下来五项均为15，依此类推．记{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. a 100=119B. 存在正整数k ，使得a k >2√k−1C. S n ≤√nD. 数列{Snn}是递减数列 12. 已知函数f(x)=e x +1e 2x +k，则( )A. 当k =0时，f(x)是R 上的减函数B. 当k =1时，f(x)的最大值为1+√22C. f(x)可能有两个极值点D. 若存在实数a ，b ，使得g(x)=f(x +a)+b 为奇函数，则k =−1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 抛物线y 2=2x 上两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形，则该三角形的边长为______．14. (x +2y)(x −y)5的展开式中x 2y 4的系数为______．15. 平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，点P 满足PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 空间四面体ABCD 中，AB =CD =2，AD =BC =2√3，AC =4，直线BD 与AC 所成的角为45°，则该四面体的体积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =1−na n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{(−1)n a n}的前n 项和为T n ，求T 2n 的表达式．18.在如图所示的六面体ABCDEF中，矩形ADEF⊥平面ABCD，AB=AD=AF=1，CD=2，CD⊥AD，AB//CD．(1)设H为CF中点，证明：BH//平面ADEF；(2)求二面角B−CF−E大小的正弦值．19.在平面凸四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠ABC=135°，AD=6，BD=5，BC=3√2．(1)求cos∠DBA．(2)求CD长．20.在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”，“党”，“百”，“年”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果．(1)求最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率；(2)用X表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求EX．21.已知函数f(x)=2(x−2)lnx+ax2−1．(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点A(0,−1)是椭圆E短轴的一个四等分点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设过点A且斜率为k1的动直线与椭圆E交于M，N两点，且点B(0,2)，直线BM，BN分别交⊙C：x2+(y−1)2=1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，求实数λ，使得k2=λk1恒成立．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z的共轭复数z−满足(1+i)z−=i，∴z−=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i21−i2=12+12i，则z=1−i2．故选：D．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵tanα=2，∴cos2α1−sin2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α−2sinαcosα=1−tan2α1+tan2α−2tanα=1−41+4−4=−3．故选：C．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，所以√12+22=12√32+42，解得|c1−c2|=2√5．故选：B．利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可．本题考查了菱形性质的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设球半径为R，则由题可知圆柱底面半径也为R，高为2R，所以圆柱体表面积S=2×πR²+2πR×2R=6πR²，球的表面积S′=4πR²，故该圆柱体表面积与球体表面积的比值为6πR24πR2=32，故选：C．根据条件分别表示出圆柱和球的表面积，即可求得答案．本题考查球的表面积公式，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由题意，若事件A与事件B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)=43>1，与0≤P(A+B)≤1矛盾，∴P(A+B)≠P(A)+P(B)，∴事件A与B一定不互斥，故B正确，A错误；没有条件判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，故不能判断AB是否互相独立，故CD错误．故选：B．根据互斥事件和独立事件的概率的定义即可判断．本题考查了互斥事件和独立事件的概率，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵y=cos(2x−π6)=sin[(2x−π6)+π2]=sin(2x+π3)=sin[2(x+π12)+π6]，∴要得到函数y=sin(2x+π6)的图象，可以将函数y=cos(2x−π6)的图象向右平移π12个单位长度，故选：A．利用诱导公式可得：y=cos(2x−π6)=sin(2x+π3)，再由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查转化思想与运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y=x上方．故选：A．相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y=x上方．本题以灰度值为背景考查函数的图象特征，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意知，a=1，b=√3，c=2，∴A(−1,0)，F1(−2,0)，F2(2,0)，设|NA|=x，∵NA//MF2，∴|NA||MF2|=|NF1||MF1|=|F1A||F1F2|=14，∴|MF2|=4|NA|=4x，由双曲线的定义知，|MF1|−|MF2|=2a=2，|NF2|−|NF1|=2a=2，∴|MF1|=4x+2，|NF1|=14|MF1|=x+12，|NF2|=x+52，在△ANF1中，由余弦定理知，cos∠AF1N=|AF1|2+|NF1|2−|NA|22|AF1|⋅|NF1|=1+(x+12)2−x22×1×(x+12)，在△NF1F2中，由余弦定理知，cos∠AF1N=|NF1|2+|F1F2|2−|NF2|22|NF1|⋅|F1F2|=(x+12)2+16−(x+52)22(x+12)⋅4，∴1+(x+12)2−x22×1×(x+12)=(x+12)2+16−(x+52)22(x+12)⋅4，解得x=58，∴|MF2|=4x=4×58=52．设|NA|=x，结合平行线的性质和双曲线的定义，求得|MF1|=4x+2，|NF2|=x+5，2再在△ANF1和△NF1F2中，均利用余弦定理表示出cos∠AF1N，从而建立关于x的方程，解之即可．本题主要考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：⌀⊆⌀或⌀=⌀，故选项A错误，选项B正确；⌀是集合{⌀}的元素，⌀也是任何集合的子集，即⌀∈{⌀}，⌀⊆{⌀}，故选项C、D正确；故选：BCD．根据集合与空集的定义依次对四个选项判断即可．本题考查了元素与集合、集合与集合的关系的判断与应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错误；对于B，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B正确；对于C，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C正确；对于D，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D正确．利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了扇形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：由题意知， 当0<n ≤1时，a n =1， 当1<n ≤4时，a n =13， 当4<n ≤9时，a n =15，……，当k 2<n ≤(k +1)2时，a n =12 k+1，(k ∈N) ∵100=102，∴a 100=12×9+1=119，故A 正确；对任意正整数k ，不妨设m 2<k ≤(m +1)2，则a k =12m+1， ∵a k 为定值，2√ k−1随着k 变大而变小， ∴(2√ k−1)min=2√(m+1)2−1=12m+1，故a k ≤2√ k−1恒成立，故B 错误； C ：若k 2≤n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则S n =S k 2+m =k +m2k+1,0≤m <2k +1， 而k +m2k+1−√n ， 若n =k 2，则m =0，故k +m 2k+1−√n =k −√n =0， 若k 2<n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则0<m <2k +1，故(k +m2k+1)2−(√k 2+m)2=k 2+(m2k+1)2+2km2k+1−k 2−m =m[m−(2k+1)](2k+1)2<0，即(k +m 2k+1)2<(√k 2+m)2， 因为k +m 2k+1>0,√k 2+m >0， 故k +m 2k+1<√k 2+m ，即S n −√n <0， 即S n <√n ，综上，S n ≤√n ，故C 正确；D ：因为k 2≤n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则S n =S k 2+m =k +m2k+1,0≤m <2k +1， 所以S n n=S k 2+m k 2+m=k+m 2k+1k 2+m=2k 2+k+m(2k+1)(k 2+m)，则S n n−Sn+1n+1=2k 2+k+m (2k+1)(k 2+m)−2k 2+k+m+1(2k+1)(k 2+m+1)=(2k 2+k+m)[(k 2+m)+1]−[(2k 2+k+m)+1](k 2+m)(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)=(2k 2+k+m)(k 2+m)+(2k 2+k+m)−(2k 2+k+m)(k 2+m)−(k 2+m)(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)=k 2+k(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)>0，所以Snn>S n+1n+1，故数列{Snn}是递减数列，故D 正确； 故选：ACD ．根据数列的规律即可求出a 100，即可判断A 选项； 求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B 选项； 求出数列的前n 项和公式，做差法即可说明C 选项；根据数列单调性的概念，比较S nn,Sn+1n+1，即可判断D 选项． 本题考查了归纳推理，数列的函数特性，属于难题．12.【答案】ABD【解析】解；A.当k =0时，f(x)=e x +1e 2x，f′(x)=−e x −2e 2x<0，∴f(x)在R 上单调递减，因此正确． B .当k =1时，f(x)=e x +1e 2x +1，f′(x)=−e x (e x +1+√2)(e x +1−√2)(e 2x +1)2，可得：e x =√2−1时，函数f(x)取得极大值为：√2−1+1(√2−1)2+1=1+√22，因此正确．C .f(x)=e x +1e 2x +k，f′(x)=−e x (e 2x +2e x −k)(e 2x +k)2，k =0，1时，由AB 可知，函数f(x)不可能有两个极值点．k <0时，函数f(x)在(−∞,12ln(−k))上单调递减，在(12ln(−k),+∞)上单调递减； k >0时，f′(x)=−e x (e x +1+√1+k)(e x +1−√1+k)(e 2x +k)2，此时函数f(x)也只有一个极值点，综上可得函数f(x)最多只有一个极值点，因此不正确．D .k =−1时，f(x)=e x +1e 2x −1=1e x −1，取a =0，b =12，则g(x)=1e x −1+12为奇函数；k ≠−1时，结合C 中的f(x)的图象及其单调性即可判断出： 不存在实数a ，b ，使得g(x)=f(x +a)+b 为奇函数．因此正确．可以理解成函数g(x)有对称中心就可以平移变成奇函数，因此只要g(x)+g(m −x)=c 恒成立就行， 得到k =−1． 故选：ABD ． A .当k =0时，f(x)=e x +1e 2x，求导即可判断出单调性． B .当k =1时，f(x)=e x +1e 2x +1，求导即可判断出单调性与极值．C .f(x)=e x +1e 2x +k，f′(x)=−e x (e 2x +2e x −k)(e 2x +k)2，利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．D .k =−1时，f(x)=e x +1e 2x −1=1e x −1，取a =0，b =12，可得g(x)=1e x −1+12为奇函数；k ≠−1时，结合C 中的f(x)的图象及其单调性即可判断出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】4√3【解析】解：由抛物线的对称性可得A ，B 关于x 轴对称， 设A(n 22,n)，则B(n 22,−n)，可得|AB|=2n ，因为两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形 所以可得O 到直线AB 的距离为√32⋅2n ，则√32⋅2n =n 22，解得：n =2√3，所以三角形的边长为2n =4√3， 故答案为：4√3．由题意设A 的坐标，由题意可得B 的坐标，求出|AB|的值，即三角形的边长，再求O 到直线AB 的距离，由等边三角形可得它们的关系，求出A 的坐标，进而可得等边三角形的边长．本题考查抛物线的对称性，及等边三角形的性质，属于基础题．14.【答案】−15【解析】解：根据二项展开式的应用：T r+1=C 5r x 5−r(−y)r ， 所以当r =4时，x 2y 4的系数为C 54=5． 当r =3时，x 2y 4的系数为−2C 53=−20，所以展开式中x 2y 4的系数为5−20=−15． 故答案为：−15．直接利用二项式的展开式的应用和配对问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：二项式展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】3【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8−5=3． 故答案为：3．先利用平面向量的线性运算得到PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用数量积运算即可求解．本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．16.【答案】4√23【解析】解：如图，在△ABC中，由AB=2，BC=2√3，AC=4，可得AB2+BC2=AC2，则△ABC是以AC为斜边的直角三角形，同理△ADC是以AC为斜边的直角三角形．过B作BE⊥AC，垂足为E，求得BE=√3，AE=1，过D作DF⊥AC，垂足为F，可得DF=√3，CF=1，在平面ABC中，过B作BG//EF且BG=EF，连接DG、FG，则四边形BEFG为平行四边形，得FG⊥AC，即BG⊥FG，又DF⊥AC，AC//BG，∴BG⊥DF，而DF∩FG=F，∴BG⊥平面DFG．∴BG⊥DG，在Rt△DGB中，BG=EF=2，∠DBG为直线BD与AC所成的角为45°，可得DG=2，∵BG⊥平面DFG，BG⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面DFG，在平面DFG中，过D作DH⊥FG，垂足为H，则DH⊥平面ABC．∵DF=FG=√3，DG=2，∴cos∠DFG=2×√3×√3=13，则sin∠DFG=2√23，∴DH=DF⋅sin∠DFG=√3×2√23=2√63．∴四面体ABCD的体积为V=13×12×2×2√3×2√63=4√23．故答案为：4√23．由题意画出图形，由已知求D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证及运算求解能力，属难题．17.【答案】解：(1)∵S n=1−na n(n∈N∗)，∴n≥2时，S n−1=1−(n−1)a n−1，相减可得：a n=(n−1)a n−1−na n，∴a na n−1=n−1n+1，n=1时，a1=1−a1，解得a1=12．∴a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1⋅ (2)4⋅13×12=1n(n+1)．(2)∵(−1)2n−1a2n−1+(−1)2na2n=−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4n，∴数列{(−1)na n}的前2n项和T2n=−1×2+2×3−3×4+4×5+⋯−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4×(1+2+⋯+n)=4×n(n+1)2=2n2+2n．【解析】(1)由S n=1−na n(n∈N∗)，n≥2时，S n−1=1−(n−1)a n−1，相减可得a na n−1=n−1n+1，利用累乘求积即得出．(2)利用(−1)2n−1a2n−1+(−1)2na2n=−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4n，即可得出数列{(−1)na n}的前2n项和T2n．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法、累乘求积方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：如图所示，连接DF，取线段DF的中点G，分别连接AG，GH，因为G，H分别为线段DF，CF的中点，则GH是△CDF的中位线，所以GH//DC，GH=12DC，由已知可得，AB//CD且AB=12CD，所以GH//AB且GH=AB，故四边形ABHG为平行四边形，所以AG//BH，又AG⊂平面ADEF，BH⊄平面ADEF，所以BH//平面ADEF；(2)解：因为四边形ADEF是矩形，则ED⊥AD，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，ED ⊂平面ADEF ， 则ED ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以ED ⊥CD ，又CD ⊥AD ， 所以ED ，CD ，AD 两两垂直，则以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，F(1,0,1)，C(0,2,0)，E(0,0,1)， 设平面BCF 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 因为BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 所以{BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−y +z =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−x +y =0，令x =1，则y =1，z =1， 故n⃗ =(1,1,1)， 设平面CFE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 所以{m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b −c =0，令b =1，则a =0，c =2， 故m⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 则|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+1+1×√1+4=√155， 故二面角B −CF −E 大小的正弦值为√1−(√155)2=√105．【解析】(1)连接DF ，取线段DF 的中点G ，分别连接AG ，GH ，利用中位线定理证明四边形ABHG 为平行四边形，得到AG//BH ，根据线面平行的判定定理证明即可； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF 和平面CEF 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．本题考查了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)在平面凸四边形ABCD 中，∠BAD =30°，∠ABC =135°，AD =6，BD =5，BC =3√2． 如图所示：在△ABD 中，利用正弦定理：BD sin∠A =ADsin∠ABD ， 故：512=6sin∠DBA ，整理得：sin∠DBA =35，所以：cos∠DBA =±√1−sin 2∠DBA =±45． 当cos∠DBA =45时，AD >BD ，满足条件，当cos∠DBA =−45时，∠ABD 接近135°，故根据，∠ABC =135°，AD =6，BD =5，与三角形内角和定理矛盾，故舍去； 故：cos∠DBA =45(2)根据(1)的结论，cos∠DBA =45，故：cos∠DBC =cos(135°−∠DBA)=(−√22)×45+√22×35=−√210．利用余弦定理：CD 2=BC 2+BD 2−2⋅BC ⋅BD ⋅cos∠DBC =18+25+2×3√2×5×√210=49，解得：CD =7．【解析】(1)直接利用正弦定理和同角三角函数关系式的变换求出结果； (2)利用(1)的结论和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为是有放回的抽取，所以每位同学都有四种选择，故共有4×4×4×4=256种，其中最后的结果中没有“建”“党”两字，共有2×2×2×2=16种，只有“建”或者只有“党”字，共有2×(C 41×2×2×2+C 42×2×2+C 43×2+1)=130种，所以最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率为256−16−130256=55128；(2)由题意，X的可能取值为4，3，2，1，所以P(X=4)=4256=164，P(X=3)=C43C41C31256=316，P(X=2)=C42C42+C41C42A32256=4564，P(X=1)=A44256=332，所以E(X)=4×164+3×316+2×4564+1×332=178．【解析】(1)利用两个计数原理以及古典概型的概率公式分析求解，即可得到答案；(2)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了两个计数原理以及古典概型的概率公式的应用，排列组合知识的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=2(x−2)lnx−1的导数为f′(x)=2(lnx+x−2x)，可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为−2，由f(1)=−1，可得切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为y=1−2x；(2)由2(x−2)lnx+ax2−1≥0可得a≥1−2(x−2)lnxx2，设g(x)=1−2(x−2)lnxx2，可得g′(x)=2(xlnx−x+1−4lnx)x3，设ℎ(x)=xlnx−x+1−4lnx，ℎ′(x)=lnx−4x，ℎ′(x)在(0,+∞)递增，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0,1)递减，即有ℎ(x)>ℎ(1)=0，此时g(x)递增；当x>1时，ℎ′(x)>ln1−4=−4，由lnx−4x<0，可设1<x<x0，若−4<ℎ′(x)<0，可得ℎ(x)在(1,x0)递减，可得ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)在(1,x0)递减，即g(x)<g(1)=1，当x>x0，且3<x0<4，1−2(x−2)lnx<0，g(x)<0，所以g(x)的最大值为1，所以a ≥1，即a 的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率、切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；(2)由参数分离和构造函数，求得导数和单调性、极值和最值，可得所求范围． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)由题意可得e =c a =√22，−b2=−1，又a 2=b 2+c 2，解得：a 2=8，b 2=4， 所以椭圆E 的标准方程为：x 28+y 24=1；(2)方法一：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x Q ,y Q )，直线MN 方程为y =k 1x −1， 则直线BM 方程为y =y 1−2x 1x +2，与x 2+(y −1)2=1联立，得(x 12+(y 1−2)2)x 2+2x 1(y 1−2)x =0，由x P ≠0，解得x P =−2x 1(y 1−2)x 12+(y 1−2)2，又x 128+y 124=1，即x 12=8−2y 12，代入上式，得x P =−2x 1(y 1−2)2(4−y 12)+(y 1−2)2=2x1y 1+6， 所以y P =y 1−2x 1x P +2=4−16y 1+6，即P(2x 1y1+6,4−16y 1+6)，同理Q(2x 2y 2+6,4−16y 2+6)，所以k 2=y P −y QxP −x Q=(4−16y 1+16)−(4−16y 2+16)2x 1y 1+6−2x2y 2+6=8(y 1−y 2)x1y 2−x 2y 1+6(x 1−x 2)，将y 1=k 1x 1−1，y 2=k 1x 2−1，代入上式， 则k 2=8k(x 1−x 2)x1(k 1x 2−1)−x 2(kx 1−1)+6(x 1−x 2)=8k 1(x 1−x 2)5(x 1−x 2)=85k 1，所以k 2=85k 1，即λ=85，所以，实数λ=85，使得k 2=85k 1恒成立．方法二：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x Q ,y Q )，直线MN 方程为y =k 1x −1， 将直线y =k 1x −1与x 28+y 24=1联立得，(2k 12+1)x 2−4k 1x −6=0， 则x 1+x 2=4k12k 12+1，x 1x 2=−62k 12+1，所以k BM +k BN =y 1−2x 1+y 2−2x 2=k 1x 1−3x 1+k 1x 2−3x 2=2k 1−3(x 1+x 2)x 1x 2=4k 1， 所以k BM ⋅k BN =y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=(k 1x 1−3)(k 1x 2−3)x 1x 2=k 12x 1x 2−3k 1(x 1+x 2)+9x 1x 2=−6k 12−12k 12+9(2k 12+1)−6=−32所以直线PQ 方程y =k 2x +t ，与x 2+(y −1)2=1联立得(k 22+1)x 2+2k 2(t −1)x +t(t −2)=0， 则x P +x Q =−2k 2(t−1)k 22+1，x P ⋅x Q =t(t−2)k 22+1， 所以k BP +k BQ =y P −2x P+y Q −2x Q=k 2x P +t−2x P+k 2x Q +t−2x Q=2k 2+(t−2)(x P +x Q )x P ⋅x Q=2k 2−2k 2(t−2)(t−1)t(t−2)=2k 2t则k BP ⋅k BQ =y P −2x P⋅y Q −2x Q=k 22x P x Q +k 2(t−2)(x P +x Q)+(t−2)2x P ⋅x Q=k 22t(t−2)−2k 22(t−2)(t−1)+(k 22+1)(t−2)2t(t−2)=k 22t−2k 22(t−1)+(k 22+1)(t−2)t=t−2t，由k BM +k BN =k BP +k BQ 及k BM ⋅k BN =k BP ⋅k BQ ， 即{4k 1=2k2t−32=t−2t，解得{t =45k 2=85k 1，所以λ=85， 所以，实数λ=85，使得k 2=85k 1恒成立．方法三：BM 与BN 两直线地位对等，P ，Q 两点地位对等， 设直线BM 的方程为：y =k 3x +2，BN 的方程为y =k 4x +2， 联立{y =k 3x +2x 2+(y −1)2=1，{x =−2k31+k 32y =21+k 32，同理Q(−2k 41+k 42,21+k 42)， 所以k 2=y Q −y PxQ −x P=21+k 42−21+k 42−2k 41+k 42−−2k 31+k 32=k 3+k 41−k3k 4，将B 点向下平移两个单位，椭圆方程变为x 28+(y+2)24=1，即x 2+2y 2+8y =0，①平移后，MN 方程：y =k 1x −3，即13(k 1x −y)=1，② 将①式中8y 是一次式通过乘以②式中的13(k 1x −y)，可将①式化为全是二次x 2+2y 2+83y(k 1x −y)=0，即2y 2−8k 1xy −3x 2=0同除以x 2，所以2(y x )2−8k 1yx −3=0，由于平移，即BM ，BN 的斜率(平移不改变斜率)，2k 2−8k 1k −3=0， 由韦达定理可知，k 3+k 4=4k 1，k 3⋅k 4=−32，所以k 2=k 3+k 41−k 3k 4=4k 11−(−32)=85k 1，所以λ=85，所以，实数λ=85，使得k2=85k1恒成立．【解析】(1)根据椭圆的离心率公式及−b2=−1，即可求得a和b值，求得椭圆E的方程；(2)方法一：联立直线方程与圆的方程和椭圆的方程，即可求得P和Q点坐标，因此可以求得k2，化简即可求得λ的值；方法二：分别联立直线与椭圆方程和圆的方程，分别表示出k BM+k BN，k BM⋅k BN及k BP+ k BQ，k BP⋅k BQ，根据其关系，即可求得λ的值；方法三：由题意，设直线BM和BN的方程，联立分别求得P和Q的方程，即可表示出k2，平移坐标系，然后齐次式化简，利用韦达定理，联立即可求得λ的值；本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆及圆的位置关系，考查韦达定理，平移与齐次式化简，考查计算能力，尤其是方法三，虽然不常用，但是可以简化计算，也是应该要掌握的，属于难题．。
高三数学第一次联考江南十校一模,理试题
卜人入州八九几市潮王学校江南十校2021届高三数学第一次联考〔2021江南十校一模，扫描〕理2021年“江南十校〞高三联考数学(理科)参考答案及评分H Y一.选择题 (1)B 【解析】i a a i a i )21()2())(21(-++=+-,由复数的定义有:⎩⎨⎧≠-=+02102a a ,∴2-=a . (2)A 【解析】由集合M 得,2122<-<-x 所以有2321<<-x ,由集合N 得1>x 故N M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<231x x . (3)C 【解析】由412=+a ,那么3=a ,∴33232===a c e . (4)B 【解析】23232343516C A C A ⋅-=⋅. (5)Ｂ【解析】由题设,,12)(2≤-=x x f 那么当1-≤x 或者1≥x 时,22)(x x f M -=; 当11<<-x 时,1)(=x f M .∴1)0(=M f .(6)D 【解析】假设q p ∧q p ,(7)B 【解析】由三视图可知.(8)C 【解析】考察函数)(x f 的特征图象可得:)()()(a f b f c f >>正确.(9)D 【解析】设两个根依次为)(,βαβα<.而函数)(x f y =的零点为23,2ππ,那么由图象可得:2322,232πππβαπβαπ+==+<<<.∴可求2365cos ,65-==∴=ππαm . (10)C 【解析】符合题意的直线在如图中的阴影区域内，可求得320≤<k 或者2-<k ． 二．填空题(11)34【解析】将直线与圆化成普通方程为:16,02222=+=-+y x y x ,进而可求得.(12)75【解析】由频率分布直方图得:75500)10005.01001.0(=⨯⨯+⨯.(13)4【解析】当1=n 时,S T S T ≤==,9,1;当2=n 时,S T S T ≤==,10,3;当3=n 时,S T S T ≤==,13,9;当4=n 时,,22,27==S T 不满足S T ≤,∴输出4=n .(14)2【解析】法一:取AD 的中点M ,连接OM .那么.法二:设θ=∠BAx ,那么)20(),cos sin ,(cos ),sin ,cos (sin πθθθθθθθ≤≤++C B , (15)①④⑤三．解答题(16)解：(Ⅰ)由题意又函数)(x f 的最大值为2,且0>m ,那么2,222=∴=+m m ……………………………………………………….2分 ∴)4sin(2cos 2sin 2)(π+=+=x x x x f 由Z k k x k ∈+≤+≤+,232422πππππ………………………………………….4分 ∴Z k k x k ∈+≤≤+,45242ππππ 故函数)(x f 的单调递减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,452,42ππππ…………………6分 (Ⅱ)212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a B ， 当且仅当c a =时取等号．30,21cos 1π≤<∴≥>∴B B ……………………………….……………9分 12,3)4sin(2)(ππ=∴=+=B B B f ……………………..………...……12分 (17)解：(Ⅰ)由题163=a ,又823=-a a ,那么2,82=∴=q a ∴12+=n n a …………………………………………………………….….....4分(Ⅱ)1411(3)log 2,.........................................624n nn n n n n b S b b +++==∴=+⋅⋅⋅+=分所以正整数k 可取最小值3…………………………………………..…….………...12分(18)解：(Ⅰ)依题意，ξ的可能取值为20，0，—10，…………………………1分ξ的分布列为 ξ 20 0 —10 p 35 15 15……………………………………………………………………………..………4分1051)10(5105320=⨯-+⨯+⨯=ξE 〔万元〕…………………………….…6分 (Ⅱ)设η表示100万元HYHY “低碳型〞经济工程的收益，那么η的分布列为η30 -20 p a b20502030-=-=a b a E η……………………………………………….……10分依题意要求102050≥-a ，∴153≤≤a ……………………………………….…12分 注：只写出53≥a ，扣1分. (19)解:(Ⅰ)证明：方法一，如图，分别取AD 、CD 的中点P 、Q ，连接FP ，EQ.∵△ADF 和△CDE 是为2的正三角形，∴FP ⊥AD,EQ ⊥CD,且FP=EQ=3. 又∵平面ADF 、平面CDE 都与平面ABCD 垂直，∴FP ⊥平面ABCD ,EQ ⊥平面ABCD ,∴FP ∥QE 且FP=EQ ， ∴四边形EQPF 是平行四边形，∴EF ∥PQ.……………………….……..４分∵PQ 是ACD ∆的中位线，∴PQ ∥AC,方法二，以A 点作为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，过点A 垂直于xOy 平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下列图．根据题意可得，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,3)， F(0,1,3)，G(1,0,3).…………………………………………..………………..４分 ∴AC =〔2，2，0〕，FE =(1，1，0)，那么AC =FE 2， ∴AC ∥FE ，即有AC ∥FE ……………………………………………..……..6分(Ⅱ)33833232=+=+=--ADEG F CDE ABG ABCDEFG V V V 四棱锥三棱柱多面体..........12分 (20)解：(Ⅰ)令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数, 所以，方程0)(=x h ，即0)(=-x x f 至多有一解，又由题设①知方程0)(=-x x f 有实数根， 所以，方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根…………………………………..4分(Ⅱ)易知，)1,0()21,0(2121)('⊆∈-=x x g ，满足条件②； 令)1(32ln 2)()(>+--=-=x x x x x g x F ， 那么012)(,0252)(22<+-=>+-=e e F e e F ，…………………………………..7分 又)(x F 在区间[]2,e e 上连续，所以)(x F 在[]2,e e 上存在零点0x ，即方程0)(=-x x g 有实数根[]20,e e x ∈，故)(x g 满足条件①，综上可知，M x g ∈)(……….……………………………...……….….…………9分 (Ⅲ)不妨设βα<，∵0)('>x f ,∴)(x f 单调递增， ∴)()(βαf f <,即0)()(>-αβf f ，令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数， ∴ααββ-<-)()(f f ,即αβαβ-<-)()(f f ，∴αβαβ-<-<)()(0f f ， 那么有220122012)()(<-+-≤-<-βαβαβαf f ….……………..….14分(21)解:〔Ⅰ〕设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ,那么由题意知1=c , 又∵,1=•FB AF 即.2,1))((222=∴-==-+a c a c a c a ∴1222=-=c a b ,故椭圆的方程为:1222=+y x ……………………………………….…………….2分 (Ⅱ)设),(),,(),,(),,(Q Q P P N N MM y x Q y x P y x N y x M . 那么由题意+=+,即22222222)()()()()()()()(Q M Q M P N P N Q N Q N P M P M y y x x y y x x y y x x y y x x -+-+-+-=-+-+-+- 整理得,0=--++--+Q N P M Q M P N Q N P M Q M PN y y y y y y y y x x x x x x x x 即0))(())((=--+--Q P M N Q P M Ny y y y x x x x 所以21l l ⊥…………………………………………………………………..….…..6分(注:证明21l l ⊥①假设直线21,l l 中有一条斜率不存在,不妨设2l 的斜率不存在,那么可得x l ⊥2轴, ∴2,22==PQ MN ,故四边形MPNQ 的面积22222121=⨯⨯==MN PQ S …….…….…….7分 ②假设直线21,l l 的斜率存在,设直线1l 的方程:)0)(1(≠-=k x k y ,那么 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(1222x k y y x 得,0224)12(2222=-+-+k x k x k设),(),,(2211y x N y x M ,那么1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x …………………………………………………………………………………….9分 同理可求得，222)1(22kk PQ ++=………………………….………….……….10分 故四边形MPNQ 的面积:1916211242)1(2212)1(222121222222±=⇔≥+++=++⨯++⨯==k kk k k k k MN PQ S 取“=〞, 综上，四边形MPNQ 的面积S 的最小值为916…………….………………….……13分。
2021年高三上学期10月联考数学理试题 含答案
2021年高三上学期10月联考数学理试题 含答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．若（为虚数单位），则的值可能是（ ） A ． B. C. D. 2．已知集合，则（ ） A ． B ． C ． D ．3．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）A. xxB. 4030C.4032D.xx 5．中，分别是角A ，B ，C (1,3),(cos ,sin ),//p q B B p q=-=且=（ ）A ．B ．C ．D ．6．甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，那么最终甲胜乙的概率为（ ）A ．0.36B ．0.216C ．0.432D ．0.648 7．若x,y 满足约束条件且目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.8．阅读如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ） A ． B ． C ． D ．第9题图9．已知函数的图像的一部分如图所示，其中，为了得到函数的图像，只要将函数的图像上所有的点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍．C．把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；D．把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；10．若函数在区间上为单调函数，则实数不可能取到的值为A． B．C．D．11．设二次函数（）的值域为，则的最大值为（）A． B．C． D.12．已知定义域为R的函数以4为周期,且函数，若满足函数恰有5个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。