浙江省杭州市三墩中学九年级数学《方程(组)及其应用》教案 人教新课标版

教学目标：

1． 掌握本部分的知识结构图．基本概念的掌握要到位，不仅要理解更要会运用，复习时应要求学生先观察后动手，并保证较高的正确率。

2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． 情感目标：

通过对实际问题的教学，让学生初步认识体会数学和社会，生活的联系，同时渗透环境保护为背景的问题，激发学生热爱生活，热爱社会环境保护事业，决心为实现和谐社会而学好数学的思想；同时，通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生热心环境保护和节约资源思想观点。 通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．

教学重点与难点

重点：重视情景（信息）问题的分析，增强学生的情景分析或信息提取能力，增强学生用数学知识解决情景问题能力即建模能力．

难点：提高方程（组），不等式，函数，直角三角形，相似三角形等知识的综合运用能力，力争做到相互联系，融会贯通．

教学过程：

【知识回顾】 1、 知识脉络

2、基础知识

方程的有关概念

含有未知数的等式叫做方程．能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做根．求方程的解的过程叫做解方程．

一元一次方程 ①只含有一个未知数，且未知项的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，它的标准形式是()00≠=+a b ax ．

②一元一次方程的解法．

二元一次方程（组） 方程（组）的应用

二元二次方程组 实际

问题 方 程 一元一次方程

二元一次方程 三元一次方程 一元二次方程 二元二次方程 分 式 方 程

二元一次方程组 三元一次方程组

①含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．

②由几个方程所组成的一组方程叫做方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．求方程组的解的过程叫做解方程组．

③含有两个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组． ④二元一次方程组的解法．其基本思想是消元．其基本方法是代入消元法和加减消元法．

三元一次方程（组）

①含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程．

②含有三个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组．

③三元一次方程组的解法．其基本思想仍是消元．其基本方法仍是代入法和加减法． 一元二次方程

①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一

般形式为02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )，其中bx ax ,2

分别叫做二次项，一次项；c b a ,,分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项．

②一元二次方程的解法.其基本思想是降次．其常用方法:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法．

③一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )的根的判别式（ac b 42-=?）：

(ⅰ)当0>?时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

(ⅱ)当0=?时，一元二次方程有两个相等的实数根；

(ⅲ)当0

以上结论，反之亦成立．

④一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )的两根为1x 、2x ，则a c x x a b x x =?-=+2121,． 二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）

①含有两个未知数，且未知项的最高次数为2，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组．

②二元二次方程组的解法．其基本思想是消元、降次．其方法主要是代入消元法． 分式方程

①分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

②分式方程的解法．其基本思想是将分式方程转化为整式方程．其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根．

列方程（组）解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直（间）接未知数；④列出方程（组）；⑤解方程（组）；⑥验方程（组）的根；⑦答出完整的语句．

3、能力要求

例1 解二元一次方程组和三元一次方程组：

（1）???=+=+;134,1632y x y x

（2）??

???=-+=++=++.1232,72,1323z y x z y x z y x 【分析】(1)因为方程②中的x 的系数为1，所以应把方程②变形为y x 413-=，然后把它代入方程①求出y 后再求x 即可．

（2）三个未知数的系数中最简单的系数是z 的系数，故考虑先消去z ，而消去z 的方法有①+③；②+③×2；①×2－②，我们选择①+③和②+③×2，消去同一个未知数z ，就可以得到关于x 与y 的二元一次方程组，然后解此二元一次方程组．

【解】(1) 由②，得 .413y x -= ③

将③代入①,得 (),1634132=+-y y

即 .105-=-y

.2=∴y ④

将④代入③,得 .5=x

所以原方程组的解是???==.

2,5y x

（2）①+③，得 ,2555=+y x

即 .5=+y x ④

②+③×2，得 .3175=+y x ⑤

④与⑤组成方程组，?

??=+=+.3175,5y x y x 解这个方程组得 ???==.

3,2y x

把2=x ，3=y 代入①，得 .133223=+?+?z

.1=∴z ① ②

① ②

③

所以原方程组的解是??

???===.1,3,2z y x

【说明】本题主要考查学生的计算能力．教师在复习时要加强计算能力的培养，为解决综合题中的计算打好基础．该题体现了化归思想方法．请学生尝试用其它消元方法解这两个方程组，并进行比较．

例2 解一元二次方程和二元二次方程组：

（1）;0132

=-+x x

（2）()();02≠-=-a b ax b ax （3）???=--=-+-.012,011622y x y y x 【分析】（1）解一元二次方程应考虑因式分解法，十字相乘法，公式法，配方法等方法．本题通过尝试，选用公式法较为适宜．

（2）该题的等式两边有相同的式子，应移项后提公因式；而不能直接在等号两边除以ax b -，否则，方程将失根．

（3）题中方程②是二元一次方程，把它变形为21x y =+，并把它代入方程①，可得到关于y 的一元二次方程．

【解】(1) ∵原方程中,1=a ,3=b ,1-=c

(),013114942>=-??-=-=?ac b

,2

133242±-=-±-=a ac b b x 1313x -+∴= .2

1332--=x （2）移项，提取公因式，得 ()().01=---b ax b ax 0=-∴b ax 或.01=--b ax

,0≠a

,1a b x =∴.12a

b x += (3) 由②，得 .12+=y x ③

把③代入①，得 (),01161222

=-+-+y y y 即 .09102

=+-y y

① ②

解之得 ,91=y .12=y

当91=y 时，;191=x

当12=y 时，.32=x

所以原方程组的解是???==,9,1911y x ???==.1,32

2y x 【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计算能力；该题不但考查了数学的转化（消元、降次）思想，而且还沟通了二次函数中的问题，如：求抛物线与x 轴的交点坐标、直线与抛物线的交点坐标等问题．

例3 解分式方程：

（1）;32121---=-x

x x （2）.113162=---x x 【分析】在确定最简公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知数x 降幂排列，（1）的最简公分母是()2x -，（2）的最简公分母是()()11x x +-．分式方程可转化为一元一次方程或一元二次方程．

【解】（1）原方程变形为.32

121---=-x x x 方程两边同乘以最简公分母()2x -，约去分母，得 ().2311---=x x

解这个方程得 .2=x

检验：把2=x 代入最简公分母，得 .02=-x

∴2=x 是原方程的增根．

所以原方程无解．

（2）原方程变形为()().11

3116=---+x x x 方程两边同乘以最简公分母()()11-+x x ，约去分母，得 ()()().11136-+=+-x x x 整理得 .0432

=-+x x

解这个方程得 ,41-=x .12=x

经检验，41-=x 是原方程的根；12=x 是原方程的增根．

所以原方程的根是4-=x ．

【说明】解分式方程的关键在于确定正确的最简公分母和检验．值得注意的是在去分母时不要遗漏没有分母的项．该题考查了化归思想，教学时应将这种数学思想渗透给学生．

例4已知：x x 12，是关于x 的方程()4356022x m x m ---=的两个实数根，且x x 1232=，求m 的值．

【分析】题中有条件：x x 12，是方程的两根；对此条件的联想：根的定义，根的判别式，根与系数的关系等；题中要求m 的值，应列出关于m 的关系式．

【解】因x x 12，是关于x 的方程()4356022

x m x m ---=的两个实数根， 故.2

34532

2121m x x m x x -=?-=+， ,02

3,232

2121≤-=?=m x x x x .2321-=∴x x 设，，k x k x 2321=-=所以 ()???

????-=?--=+-.2323,453232m k k m k k 整理得 ??

???=-=.4,43522m k m k 解之得 m m 1215==

当51

21==m m ，时，△分别都大于.0 ∴m 的值1或5

例5 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人），?准备统一购买服装参加演出，下面是购买服装的套数

1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元

如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．

（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？

（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？

（3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．

【分析】（1）由于甲、乙两校联合起来购买92套服装，因此每套服装的价格为40元．

（2）由于甲、乙两校共92人，甲校人数多于乙校人数，因此甲校人数多于46人；又由于甲校人数不够90人，因此甲校应按每套50元购买，乙校应按每套60元购买．

（3）利用（2）的结果分别讨论各自购买和联合购买的服装款；由于91×40＜90×50，即按每套40元购买时的服装款有可能比按每套50元购买时的服装款少，因此，还需与按每套40元购买时的服装款比较．

【解】（1）由题意得5000－92×40=5000－3680=1320（元）

即两校联合起来购买服装比各自购买服装共可省1320元．

（2）设甲、乙两所学校分别有x 名，y 名学生准备参加演出

由题意得：???=+=+5000605092y x y x 解得：???==40

52y x

答：甲、乙两所学校分别有52名，40名学生准备参加演出．

（3）因为甲校有10人不能参加演出，

所以甲校有52－10=42人参加演出

若两校各自购买服装，则需要42×60+40×60=4920（元）；

若两校联合起来购买服装，则需要50×（42+40）=4100（元），

此时比各自购买服装可以节约4920－4100=820（元）；

但如果两校联合购买91套服装只需40×91=3640（元），

此时又比联合购买每套50元的服装可节约4100—3640=460（元）

所以最省钱的买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购买9套）．

例6 已知：如图，矩形A BCD 中，AD=a ，DC=b ．在AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE= x ．问：这样的点E 是否存在?若存在，这样的点E 有几个?请说明理由． 【分析】要使Rt △ADE, Rt △BEC, △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC=90°,为此，可设在AB 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽ Rt △BEC 即可解决．

【解】依题意，要使分成的三个三角形相似，

则∠AED+∠BEC=90°，而∠BEC+∠ECB=90°，

即∠AED=∠ECB ，则△ADE ∽△BEC ∴,BE AD BC AE =∴x b a a x -= 整理得：,022=+-a bx x

()()a b a b ac b 2242-+=-=?

而,02>+a b

当02<-a b 即a b 2<时，,0

当02=-a b 即a b 2=时，,0=?方程有两个相等的实数解，即点E 存在，且只有一个，是AB 的中点．

当02>-a b 即a b 2>时，,0>?方程有两个不相等的实数解，24222,1a b b x -±=都符合题意，即存在两个点满足条件．

【说明】本题是数形结合型题目．在解决很多几何题目时，常常用到一元二次方程的有关知识来做．解决此类型题目的关键在于把“形”的条件转化为“数”的条件，通过解决“数”的问题来达到解决“形”的问题的目的；同时，还要注意分类讨论思想的运用．本题也可用与圆有关的知识解答．

D C A

E B