江西省师大附中2017届高三10月月考数学(文)试卷(含答案)
湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。
2024-2025学年福建省福州市福建师大附中高三(上)第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年福建师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x| x <1}，B ={x|log 2x <−2}，则A ∩B =( )A. (0,14)B. [0,14)C. (−∞,14)D. ( 22,1)2.已知复数z =4−2i (1+i )2+ai(a ∈R)是实数，则a =( )A. 2B. − 2C. −2D. 23.已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)(σ>0)，则“m =1”是“P(X ≥m 2)+P(X >m +2)=1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知一个底面内口直径为2 6cm 的圆柱体玻璃杯中盛有高为2cm 的水，向该杯中放入一个半径为rcm(r ≥12)的实心冰球和一个半径为(r +1)cm 的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中(实心钢球与杯中水面、杯底均相切)，若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为( )A. 10πcm 2B. 12πcm 2C. 14πcm 2D. 16πcm 25.已知点A(x 1,y 1),B(x 1+π3,y 2)都是f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)图象上的点，点A ，B 到x 轴的距离均为1，把f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，点A ，B 分别平移到点A′，B′，且点A′，B′关于原点对称，则ω的值不可能是( )A. 3B. 5C. 10D. 116.已知A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)是圆x 2+y 2=9上的两个动点，且x 1x 2+y 1y 2=−92，若点M 满足AM =2MB ，点P在直线x + 3y−4 3=0上，则|MP|的最小值为( )A. 4 3B. 3 3C. 2 3D. 37.某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P 使得BP = 64a ，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足∠PBE =2∠PBC =2θ，其中0<θ≤θ0<π2,cosθ0= 64，则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为( )A. π12B. π6C. π4D. π38.已知函数f(x)=e x ，g(x)=lnx ，正实数a ，b ，c 满足f(a)=g′(a)，f(b)g(b)=g(a)，g(c)+f(g(a c ))=0，则( )A. b <a <cB. c <a <bC. a <c <bD. c <b <a二、多选题：本题共3小题，共18分。
江西师范大学附属中学2017届高三12月月考数学(理)试题 含答案
江西师大附中高三年级数学(理）月考试卷命题人：曾 敏 审题人：李清荣2016. 12一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．定义集合(){}(){}221,log 22x x A xf x B y y ==-==+,则RAB =( ）A ．()1,+∞B ．[]0,1C ．[)0,1D ．[)0,22．若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数(i 为虚数单位）,则tan ()4πθ-的值为( ）A ．7-B ．17-C ．7D ．7-或17-3．下列说法正确的是（ ）A ．R a ∈，“11<a"是“1>a ”的必要不充分条件B ．“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题"的必要不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得0322<++x x"的否定是:“R x ∈∀，0322>++x x ”D ．命题p :“R x ∈∀，2cos sin ≤+x x "，则p ⌝是真命题4．已知向量,a b 满足()2,3a a b a =⋅-=-，则b 在a 方向上的投影为（ )A ．23-B ．23C ．12-D ．125．为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点（ )A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位6．已知等差数列{}na 满足357217,26,(),1n n aa ab n N a *=+==∈-数列{}nb 的前n 项和为,nS 则100S 的值为（ )A ．10125B ．3536C ．25101D ．3107．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法"是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （,,,*a b c d N ∈)，则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅,若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值,即3116105π<<,若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法"后可得π的近似分数为A ．227B ．6320C ．7825D ．109358．两圆222240x y ax a +++-=和2224140xy by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R∈∈且0ab ≠,则2211a b +的最小值为（ ）．A ．1B ．3C ．19D ．499．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩所确定的平面区域内的动点，Q是直线20x y +=上任意一点，O 为坐标原点，则||OP OQ -的最小值为（ ）A ．55B ．23C ．22D ．1 10．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1（底面是正三角形，侧棱垂直底面)的各条棱长均相等,D 为AA 1的中点．M ,N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点（含端点），且满足BM =C 1N ．当M ,N 运动时,下列结论中不正确．．．的是( ）A ．平面DMN ⊥平面BCC 1B 1B ．三棱锥A 1−DMN 的体积为定值C ．△DMN 可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π11.已知关于x 的方程2||2x k k x -=在区间[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A 。
2017届江西省师大附中、临川一中高三1月联考数学（文）试卷
2017届江西省师大附中、临川一中高三1月联考数学（文）试卷学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 若复数，为的共轭复数，则（）A．B．C．D．2. 已知全集，集合，,那么集合（）A．B．C．D．3. 设a=2，b=，c=（）0.3，则（）A．B．C．D．4. “微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．B．C．D．5. 以下四个命题中，正确的个数是（）①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“存在”的否定是“对于任意”；③在中，“”是“”成立的充要条件；④命题或，命题，则是的必要不充分条件；A．B．C．D．6. 已知为奇函数，函数与的图像关于直线对称，若，则（）A．2 B．C．D．47. .如图，网格纸上小正方形边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体表面积为（）A．B．C．D．8. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是( )A．B．C．D．9. 已知数列、满足，其中是等差数列，且，则（）A．2017 B．4034 C．D．10. 在直角中,,P为AB边上的点,若,则的最大值是( )A．B．C．D．11. 抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最小值是( )A．B．C．D．二、填空题12. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.13. 已知变量满足约束条件，则的取值范围是______________ ．14. 已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为______________.15. 已知点为的重心，设的内角的对边分别为且满足，若,则实数=________三、解答题16. 已知向量，函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．17. 为了解大学生观看浙江卫视综艺节目“奔跑吧兄弟”是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的喜欢看“奔跑吧兄弟”不喜欢看“奔跑吧兄弟”合计女生 5男生10合计50若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看“奔跑吧兄弟”的有6人．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有的把握认为喜欢看“奔跑吧兄弟”节目与性别有关？说明你的理由；(3)已知喜欢看“奔跑吧兄弟”的10位男生中，还喜欢看新闻，还喜欢看动画片，还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率．P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：)18. 如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于，设.（1）证明：；（2）当时，在图中作出点C在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四棱锥表面积19. 已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.20. 已知函数，在x=1处的切线与直线垂直，函数．(1)求实数的值；(2)设是函数的两个极值点，记，若，①的取值范围；②求的最小值．21. （选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．22. 选修4－5：不等式选讲（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足，求的最小值.。
【学期】江西师大附中2020学年高一上学期10月月考数学试卷版含答案
【关键字】学期江西师大附中高一年级数学月考试卷命题人：吴小平审题人：黄润华2017.10一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1.设则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.2. 已知集合，则=（）A. B. C. D.3. 已知全集则集合A的真子集共有（）个A. 3B.C. 8D. 74. 下列四个函数：（1），（2），（3），（4），其中定义域与值域相同的是（）A. （1）（2）B. （1）（2）（3）C. （1）（4）D. （1）（3）（4）5.若（）A. B. C. 3 D.36. 已知A,B是非空集合，定义，（）A. B. C. D.7. 已知函数上为增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.8. 设函数的值为（）A. aB. bC. a,b中较小的数D.a,b中较大的数9. 下列四个函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.10. 设集合，则下列关系中成立的是（）A. B. C. D.11. 定义在[1,1]上的函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.12.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的都有则称和在上是“和谐函数”，区间为“和谐区间”，设在区间上是“和谐函数”，则它的“和谐区间”可以是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合若，则实数a的取值范围为.14. 函数的值域为.15. 已知集合A,B均为全集的子集，且=16. 已知函数恒成立，则实数m的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 设全集，集合，集合.求18. 已知全集（1）若，求实数q的取值范围；（2）若中有四个元素，求和q的值.19. 已知函数（1）若，试判断并用定义证明的单调性； （2）若，求的值域. 20. 已知函数（1）解不等式；（2）求在上的最大值. 21. 已知集合（1）若时，求实数a 的取值范围； （2）若时，求实数a 的取值范围. 22. 设二次函数满足下列条件：①对恒成立； ②对恒成立.（1）求的值； （2）求的解析式；（3）求最大的实数(1)m m >，使得存在实数t ，当[1,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立.高一数学10月考试答案13. [1,)-+∞ 14. 1[,)2+∞15. {}3 16. (3,)+∞17. 解：|1|221213x x x -<⇒-<-<⇒-<<,(1,3),(0,4)A B ∴=-=18.解：（1）A =∅，41329|,,1,,51525q q R q q q q ⎧⎫∈≠≠≠≠⎨⎬⎩⎭且；（2）45q =或1315q =或2925q =.19. 解：（1）当1a =时，9()|1|1[1,6]f x x x x =--+∈9911x x x x=--+=-递增证：任取12,[1,6]x x ∈且12x x < 则1221212121129()99()()()x x f x f x x x x x x x x x --=--+=--=21129()[1]0x x x x -+> 21()()()f x f x f x ∴>∴在[1,6]上单调递增.（2）当8a =时，999()|8|88816()f x x x x x x x=--+=--+=-+令9t x x=+[1,6]x ∈[6,10]t ∴∈()16[6,10]f x y t ∴==-∈ 所以()f x 的值域为[6,10].20. 解：（1）2()()|2||4|(2)4x f x g x x x x x x x ≥⎧>⇒->+⇔⎨->+⎩或42(2)4x x x x -≤<⎧⎨->+⎩或4(2)4x x x x <-⎧⎨---⎩22340x x x ≥⎧⇒⎨-->⎩或24240x x x -≤<⎧⎨-+<⎩或24340x x x <-⎧⎨--<⎩ 214x x x ≥⎧⇒⎨<->⎩或或42x x φ-≤<⎧⎨∈⎩或414x x <-⎧⎨-<<⎩4x ⇒>（2）222(2)()|2|2(2)x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩①当01a <<时，2()()2f x f a a a ==-+大②当11a ≤≤()(1)1f x f ==大③当1a >2()()2f x f a a a ==-大21.解：{}0(,2)(1,2),|()(2)00(2,)0a B a a A B x x a x a a B a a a B φ>=⎧⎪==--<⇒<=⎨⎪==⎩当时当时当时（1）01122a A B a a a >⎧⎪⊆⇒≤⇒=⎨⎪≥⎩由已知得（2）当A B =∅时若0a A B ≤=∅时，1022122a A B a a a a >=∅≥≤⇒≥≤时，使，则或或 综上：122a a ≥≤或22.解：（1）当x=1时，1(1)1(1)1f f ≤≤⇒=（2）由已知可得()1,122b f x x b a a=-∴-=-⇒=的轴……①由(1)11f a b c =⇒++=……②由()f x x ≥恒成立2(21)130ax a x a ⇒+-+-≥对R 恒成立则201(21)4(13)04a a a a a >⎧⎪⎨∆=---≤⇒=⎪⎩由22211()1)2131)22f x x ax ax a x ≤+⇒++-≤+（恒成立（对x R ∈恒成立2(21)4160a x ax a ⇒-++-≤恒成立则2221012164(21)(16)01(41)04a a a a a a a -<⎧⎪⎧⎪<⎪⎨⎪∆=---≤⇒⎨⎪⎪⎪-≤⇒=⎪⎩⎩131,1244b c ∴==-=,221111()(1)4244f x x x x ∴=++=+ （3）21()(1),()[1,]4f x t x t f x t x m ∴+=+++≤使在恒成立，则使()y f x t =+的图像在y x =的下方，且m 最大，则1，m 为()f x t x +=的两个根 由21(1)1(2)1044f t t t t +=⇒+=⇒==-或此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
【江西省师大附中】2017届高考三模(理科)数学年试题答案
江西省师大附中2017届高考三模（理科）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已1213i 3i z z =-=+，，其中i 是虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A ．1-B ．45C ．i -D ．4i 52．已知集合1{|}222A x x =＜≤，1ln({|)2}0B x x =-≤，则()A B R =（ ） A ．∅B ．(]11,2-C ．1[,21)D ．(]1,1-3．给出下列两个命题：命题p ：若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，则||1MA ≤的概率为π4． 命题q ：设,a b 是两个非零向量，则“ | |a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件，那么，下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p ￢C ．()p q ∧￢D ．()()p q ∨￢4．若函数sin()y k kx ϕ=+π(||)2k ϕ＞0,＜与函数26y kx k =-+的部分图象如图所示，则函数()sin()cos()f x kx kx ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为（ ）A ．π24x =-B ．13π24x =C ．7π24x =D ．13π24x =-5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()n modm =N ，例如11=2（3mod ）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．246．某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为（ ） A ．316B ．49C ．38D ．897．已知D E 、是ABC △边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC ==，则xy 的取值范围是（ ） A ．1[,949]B ．1[,914]C ．2[,912]D ．2[,914]8．若数列{}n a2n a n n +=+，则212na a a n+++等于（ ） A ．222n n + B ．22n n + C ．22n n + D ．22(2)n n +9．已知实数x y ，满足261y x x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则1()2log (22||||)z x y =-+的最大值是（ ）A ．1()2log7 B ．1()2log5 C ．2- D ．210．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A．BC D ．311．已知点2F P ，分别为双曲线22221x y a b -=(00)a b ＞，＞的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若21()2OM OP OF =+，2222OF F M =且22222 OF F M a b =+，则该双曲线的离心率为（ ）A ． B．32 CD ．12．已知函数()e 1()ln f x x ax g x x ax a =--=-+,,若存在0(1,2)x ∈，使得00()()0f x g x ＜，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2e 1(ln2,)2-B ．(ln2,e 1)-C ．[1,e 1)-D ．2e 1[1,)2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知a =π20(cos )x dx ⎰-，则91()2ax ax+展开式中，3x 项的系数为_______． 14．已知函数32 01732 017log 3,0()log (),0m x x x f x x nx x ⎧+⎪=⎨-+⎪⎩＞＜为偶函数，则m n -=_______． 15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C，此时四面体ABCD 外接球表面积为_______．16．数列{}n a 的前项和为n S ，且1122,33n n a a S +=-=，用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.1]1,[1.6]1-=-=，设[]n n b a =，则数列{}n b 的前2n 项和1234b b b b +++x 21n b -+=_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程．17．设向量(sin ,cos ))a x x x =-，(cos ,sin cos )b x x x =+，x ∈R ，记函数() f x a b =． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC △中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．若1(),2f A a ==ABC △面积的最大值． 18．某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[7580),，第二组[8085),，第三组[8590),，第四组[9095),，第五组[95]100,，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q 大学本次面试中有B C D 、、三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为111235,,，求甲同学面试成功的概率； ②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组中有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，在以A B C D E F ，，，，，为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，°60FAC ∠=，3AB DE BC EF AB BC ==∥，∥，，AF =BF =（1）求证：平面ABC ACDF ⊥平面；（2）求平面AEF ACE 与平面所成的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆1C ：22216x y b +=(0)b ＞的左、右焦点分别为122F F F ,,点也为抛物线2C ：28y x =的焦点，过点22F l C A B 的直线交抛物线于，两点．（Ⅰ）若点(8,0)P 满足||||PA PB =，求直线l 的方程；（Ⅱ）T 为直线3x =-上任意一点，过点11F TF 作的垂线交椭圆1C M N 于、两点，求1||||TF MN 的最小值． 21．已知函数()ln(2)0f x x a ax a =+-,＞． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记()f x 的最大值为()M a ，若210a a ＞＞且12()()M a M a =，求证：1214a a ＜；（Ⅲ）02()0{|}a x f x x =若＞，记集合中的最小元素为，设函数()()||g x f x x =+，求证：0()x g x 是的极小值点．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当(0,π)ϕ∈时，l C P Q 与相交于，两点，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|(|)1f x x a a =-，其中＞（1）当2()|4|4a f x x =--时，求不等式≥的解集；（2）已知关于(2)2()2|1{|2|}x f x a f x x x a +-的不等式的≤≤解集，求≤的值．。
江西师范大学附属中学高三数学10月月考试题 文(含解析
江西师大附中2015届高三年级数学（文）月考试卷【试卷综析】本次试卷考查的范围是必修一的全部内容以及必修四第一章三角函数.高考试卷形式相同。
试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【题文】1．若全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,1,4U M N ===，则{}5,6等于（ ）A ．M N UB ．M N IC ．()()U U C M C N UD ．()()U U C M C NI【知识点】交集及其运算. A1【答案解析】D 解析：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}， ∴M ∪N={1，2，3，4}，则（∁UM ）∩（∁UN ）=∁U （M ∪N ）={5，6}．故选：D ． 【思路点拨】根据M ，N ，以及全集U ，确定出所求集合即可． 【题文】2．命题:P 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件：命题:q 函数12y x =--的定义域是(][),13,-∞-+∞U ，则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．“p 且q ”为真 【知识点】复合命题的真假．A3【答案解析】B 解析：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p 为假． 又由函数y=的定义域为|x ﹣1|﹣2≥0，即|x ﹣1|≥2，即x ﹣1≥2或x ﹣1≤﹣2．故有x ∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．∴q 为真命题．故选B ．【思路点拨】若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p 为假．又由函数y=的定义域为x ∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），q 为真命题．【题文】3．下列函数中，既是偶函数又在0，+∞）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． B3 B4【答案解析】B 解析：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数， 所以选项A 错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C 、D 错误，只有选项B 正确．故选B ．【思路点拨】首先由函数的奇偶性排除选项A ，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．【题文】4．已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ） A ．[22,22]-+B ．(22,22)-+C ．[1,3]D ．(1,3)【知识点】函数的零点与方程根的关系． B9【答案解析】B 解析：∵f （a ）=g （b ），∴ea ﹣1=﹣b2+4b ﹣3，∴﹣b2+4b ﹣2=ea ＞0 即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b ＜2+，故选B【思路点拨】利用f （a ）=g （b ），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可． 【题文】5．若0.53,ln 2,log sin 12a b c ππ===，则（ ） A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【知识点】数值大小的比较． E1【答案解析】B 解析：∵a=30.5＞30=1，0＜ln1＜b=ln2＜lne=1，c=logπsin ＜logπ1=0，∴a ＞b ＞c ．故选：B ．【思路点拨】利用对数函数和指数函数的单调性比较大小．【题文】6．若0,0a b >>，函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 【知识点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式． B12 E6【答案解析】D 解析：∵f′（x ）=12x2﹣2ax ﹣2b ，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6∵a ＞0，b ＞0∴，当且仅当a=b=3时取等号所以ab 的最大值等于9，故选D.【思路点拨】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件；利用基本不等式求出ab 的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等． 【题文】7．若,a b r r 为两个单位向量，且•（+）=，记,a b r r 的夹角为θ，则函数y=sin（θ•x+）的最小正周期为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．F3 C4 【答案解析】B 解析：∵，为两个单位向量，且•（+）=， ∴==1+cosθ，∴cosθ=．∴．∴函数y=sin （θ•x+）=的最小正周期T==6．故选：B ．【思路点拨】利用数量积运算性质、三角函数的周期性即可得出． 【题文】8．已知O 为坐标原点，(1,2)A ,点(,P x y ）满足约束条件，则•的最大值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】D 解析：由于点P （x ，y ）满足约束条件，画出可行域．设P （x ，y ）．则Z=•=x+2y ，化为y=﹣x+，当此直线经过点M （0，1）时，Z 取得最大值=0+1×2=2． ∴Z=•的最大值为2．故选：D ．【思路点拨】由于点P （x ，y ）满足约束条件，画出可行域．设P （x ，y ）．可得Z=•=x+2y ，化为y=﹣x+，当此直线经过点M （0，1）时，Z 取得最大值．【题文】9．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）图象如图所示，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4 【答案解析】D 解析：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）∵|φ|，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）=sin（+2x﹣）=cos（2x﹣）∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y故选D．【思路点拨】先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求ω的值，再将特殊点代入求出φ值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可．【题文】10．设定义在R上的函数若关于x的方程2()()0++=有5个不同的实数根，则a的取值范围为（）f x af x bA．(0,1)B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）【知识点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断． B9【答案解析】D 解析：∵题中原方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．故关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0中，有：1+a+b=0，b=﹣1﹣a，且当f（x）=k，k＞0且k≠1时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，∴k2+ak﹣1﹣a=0，a=﹣1﹣k，∵k＞0且k≠1，∴a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）故选D．【思路点拨】题中原方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，即要求对应于f （x）=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f （x）=1时，它有三个根．且当f（x）=k，k＞0且k≠1时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上）【题文】11．已知函数32()'(1)f x x f x x=+-，则函数()f x的图象在点(1,(1))f处的切线方程是【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．B11 B12【答案解析】2x+y=0 解析：∵函数f（x）=x3+f′（1）x2﹣x∴f′（x）=3x2+2f′（1）x﹣1，∴f′（1）=3+2f′（1）﹣1，∴f′（1）=﹣2．∴f（x）=x3﹣2x2﹣x，∴f（1）=1﹣2﹣1=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣（﹣2）=﹣2（x﹣1）故答案为：2x+y=0．【思路点拨】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程．【题文】12．若sin（π﹣a）=，a∈（0，），则sin2a﹣cos2的值等于= 【知识点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．C6【答案解析】解析：∵，∴sina=．又∵，∴cosa==（舍负）因此，sin2a﹣cos2=2sinacosa﹣（1+cosa）=2××﹣（1+）=﹣= .故答案为： .【思路点拨】由正弦的诱导公式，得sina=，再根据同角三角函数的关系算出cosa==（舍负）．化简sin2a﹣cos2得到关于sina、cosa的式子，将前面算出的数据代入即可得到所求的值．【题文】13．已知偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当x∈（0，1）时，()2xf x =，则5()2f -=【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案解析】 解析：∵偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），∴f （﹣）==．∵当x∈（0，1）时，f （x ）=2x ，∴==．∴=．故答案为：．【思路点拨】利用函数的奇偶性与周期性即可得出． 【题文】14．正项等比数列{}n a 满足24331,13,log n n a a S b a ===，则数列{}n b 的前10项和为【知识点】等比数列的前n 项和．D3【答案解析】-25 解析：∵正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an ， ∴a32=a2a4 =1，解得 a3=1．由a1+a2+a3=13，可得 a1+a2=12．设公比为q ，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q=，a1=9．故 an =9×（ ）n ﹣1=33﹣n ．故bn=log3an=3﹣n ，则数列{bn}是等差数列，它的前10项和是 =﹣25，故答案为：﹣25． 【思路点拨】由题意可得a32=a2a4 =1，解得 a3=1，由S3=13 可得 a1+a2=12，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q 和a1的值，由此得到an 的解析式，从而得到bn 的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和． 【题文】15．设()sin 2cos2,f x a x b x =+其中a ，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R 恒成立，则: ①；②；③()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④f（x ）的单调递增区间是；⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交.以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号） 【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．C5 C3 【答案解析】①③ 解析：∵f （x ）=asin2x+bcos2x=sin （2x+θ） 且，∴2×+θ=kπ+，∴θ=kπ+ ∴f（x ）═sin （2x+kπ+）=±sin （2x+）对于①=±sin （2×+）=0，故①对； 对于②，=sin （3π），|f （）|=sin （1330π），∴7125f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②不正确； 对于③，f （x ）不是奇函数也不是偶函数，故③对；对于④，由于f （x ）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对；对于⑤∵要使经过点（a ，b ）的直线与函数f （x ）的图象不相交，则此直线须与横轴平行， 且|b|＞，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，∴不存在经过点（a ，b ）的直线于函数f （x ）的图象不相交故⑤错. 故答案为：①③．【思路点拨】先化简f （x ）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到x=是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【题文】16．（本小题12分） 已知函数f （x ）=sinx （2cos2﹣1）+cosx•sinθ（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）若f （2x ﹣）=，且x∈（π，π），求sin2x 的值． 【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦．C6 C7【答案解析】(1) ；（2）解析：（1）Q f （x ）=sinxcosθ+cosx•sinθ=sin（x+θ）在x π=处取最小值， ∴，∴（2）Q ∴由∴∴===【思路点拨】（1）化简得f （x ）=sin （x+θ）从而可求θ的值； （2）若f （2x ﹣）=，且x∈（π，π），可先求，从而可求sin2x 的值．【题文】17．（本小题12分） 在数列{}n a 中，111,n n a a a c +==+（c 为常数，n∈N*），且125,,a a a 成公比不等于1的等比数列（1）求c 的值；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案解析】（1）2；（2）21nn . 解析： （1）∵an+1=an+c ，∴an+1﹣an=c∴数列{an}是以a1=1为首项，以c 为公差的等差数列， ∴a2=1+c，a5=1+4c又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列， ∴（1+c ）2=1+4c解得c=2或c=0（舍）. （2）由（1）知，an=2n ﹣1∴∴=【思路点拨】（1）利用递推关系判断出数列{an}为等差数列，将a1，a2，a5用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c ．（2）写出bn ，据其特点，利用裂项的方法求出数列{bn}的前n 项和Sn ．【题文】18．（本小题12分） 如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 、11B C 的中点(1)求证:11//A D 平面1AB D ；(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥1B ABC -的体积. 【知识点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．G4 G1 【答案解析】（1）证明：略；（2）8. 解析：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∵D、D1分别是BC 和B1C1的中点．∴B1D1∥BD，且B1D1=BD∴四边形B1BDD1为平行四边形 ∴BB1∥DD1，且BB1=DD1 又因AA1∥BB1，AA1=BB1 所以AA1∥DD1，AA1=DD1所以四边形AA1D1D 为平行四边形，所以A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D ，AD ⊂平面AB1D 故A1D1∥平面AB1D ；（2）在△ABC 中，棱长均为4，则AB=AC ，D 为BC 的中点，所以AD⊥BC 因为平面ABC⊥平面B1C1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC 所以AD⊥平面B1C1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B1BC 的高 在△ABC 中，AB=AC=BC=4得AD=2在△B1BC 中，B1B=BC=4，∠B1BC=60° 所以△B1BC 的面积为4∴三棱锥B1﹣ABC 的体积即为三棱锥A ﹣B1BC 的体积V=××=8 【思路点拨】（1）欲证A1D1∥平面AB1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D 内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD ，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D 为平行四边形，则A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D ，AD ⊂平面AB1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B1BC 的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC 的体积． 【题文】19．（本小题12分） 在ABC D 中，A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ， 且满足(2)cos cos a c B b C -=（1）求B的大小；（2）设(sin,cos2),(4,1)(1)m A A n k k==>u r r，且m n⋅u r r的最大值是5，求k的值.【知识点】正弦定理的应用；平面向量的坐标运算．C8 F2【答案解析】（1）；（2）解析：（1）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A＜π，∴sinA≠0．∴cosB=∵0＜B＜π，∴B=．（2）=4ksinA+cos2A=﹣2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）设sinA=t，则t∈（0，1]．则=﹣2t2+4kt+1=﹣2（t﹣k）2+1+2k2，t∈（0，1]∵k＞1，∴t=1时，取最大值．依题意得，﹣2+4k+1=5，∴k=．【思路点拨】（1）先根据正弦定理将边的关系转化为正弦值的关系，再由两角和与差的正弦公式和诱导公式求出cosB的值，最后确定角B的值．（2）先根据向量数量积的运算表示出，再运用余弦函数的二倍角公式将2A化为A的关系，最后令t=sinA，转化为一个一元二次函数求最值的问题．【题文】20. （本小题13分）数列{}n a的前n项和为n S,点(,)n nP s a在直线(3)230m x my m-+--=（m∈N+，m≠3）上（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n a的公比()q f m=，数列{}nb满足13b=，13()2n nb f b-=（n∈N+，n≥2），求证：1{}nb为等差数列，并求通项nb；（3）若1,nnnam Cb==,n T为数列{}n C的前n项和，求n T的最小值 .【知识点】数列与解析几何的综合． D5【答案解析】(1)()123nmn Nm-+⎛⎫∈⎪+⎝⎭；（2）证明：略；3nbn=；（3）13.解析：（1）∴{an}等比且令n=1得（3﹣m）S1+2ma1﹣m﹣3=0，∴（3+m）a1=m+3⇒a1=1∴（2）由∴等差且（3）当m=1时，∴∴令由差错位相减法可得∴由Tn+1﹣Tn＞0⇒{Tn}递增∴．【思路点拨】（1）由题设，（3﹣m）Sn+2man﹣m﹣3=0，所以（3﹣m）a1+2ma1﹣m﹣3=0⇒a1==1，故（3﹣m）Sn﹣1+2man﹣1﹣m﹣3=0，由此能求出an．（2）由q=，b1=3，a1=1，由，得，由此能得到{}为等差数列，并能求出bn．（3），利用错位相减法求和即可得出Tn的最小值．【题文】21. （本小题14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+（k∈R），（备注：1[ln(1)]')1x x -=-（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围.（3）证明：ln 2ln3(1)(3414lnn n n N N n +-+++<∈+L 且2)n ≥【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】(1) 当k≤0时，函数f （x ）在（1，+∞）为增函数，当k ＞0时，函数f （x ）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．； (2) k≥1；（3）证明：略.解析：(1)∵f（x ）=ln （x ﹣1）﹣k （x ﹣1）+1，（x ＞1）∴f′（x ）=﹣k ，当k≤0时，f′（x ）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数， 当k ＞0时，令f′（x ）=0，得x=当f′（x ）＜0，即1＜x ＜时，函数为减函数，当f′（x ）＞0，即x ＞时，函数为增函数，综上所述，当k≤0时，函数f （x ）在（1，+∞）为增函数，当k ＞0时，函数f （x ）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．（2）由（Ⅰ）知，当k≤0时，f′（x ）＞0函数f （x ）在定义域内单调递增，f （x ）≤0不恒成立，当k ＞0时，函数f （x ）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．当x=时，f （x ）取最大值，f （）=ln ≤0 ∴k≥1，即实数k 的取值范围为[1，+∞）（3）由（Ⅱ）知k=1时，f （x ）≤0恒成立，即ln （x ﹣1）＜x ﹣2∴＜1﹣，取x=3，4，5…n，n+1累加得，∵==＜=∴+…+＜+++…+ = ，（n∈N，n＞1）．【思路点拨】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可得出函数的单调区间．（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范围；（Ⅲ）由（1）可知，若k=1，当x∈（1，+∞）时有f（x）≤0，由此得到lnx＜x﹣2（x ＞1），依次取x的值为2，3，…，n，累加后利用放缩法可证不等式成立．。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(四)数学试题(含答案)
湖南师大附中2025届高三月考试卷（四）数学时量：120分钟满分：150分得分：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足（为虚数单位），则的模（）A. 1B.C.D.2. 已知命题；命题是质数，则（）A. 均是真命题B. 均是真命题C. 均是真命题D. 均是真命题3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.4. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据分位数等于他们的平均数，则为（）A 10 B. 12 C. 14 D. 165. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（）A. 椭圆的长轴长等于2B. 椭圆的离心率为C. 椭圆的标准方程可以是D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为A. B.C D.7. 已知三棱锥内接于直径为的球，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.8. 关于的方程恰有两个根为，且分别满足和，则的值为（）A. B. C. 57 D. 77二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数与，下列说法正确是（）A. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的，并向左平移个单位可以得到的图象B. 与的图象存在相同的对称中心C. 与在区间上单调性相同D. 当时，与的图象有且仅有个交点10. 已知三次函数，则（）A. 当时，函数为单调递增函数B. 当时，函数的图象关于对称C. 存在，使得函数图象关于直线对称D. 函数有三个零点的一个充分条件是11. 已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为分别交轴于两点，设，则下列结论一定正确的是（）C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，且，则____________.13. 若数列的前项和是首项为，公比为的等比数列，则的前项积为__________.14. 现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记锐角三角形的内角的对边分别为，的面积为，已知.（1）求角；（2）若，求的取值范围.16. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数和有相同的最大值，求的值.17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，点分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.18. 湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.（1）抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止.抽到卡片送精美校园明信片一张，抽到卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有卡片的概率.（2）领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设，记乙同学摘到最大的福袋概率为.①若，求；②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）19. 已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.（1）求点，的坐标；（2）记，证明：数列为等比数列；（3）为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值.湖南师大附中2025届高三月考试卷（四）数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】ACD10.【答案】BD11.【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】14.【答案】##四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）（2）16.【答案】（1）（2）.17.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）利用随机事件的关系结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式求解即可；（2）①由题意可知，要摘到最适合他的福袋，有两种情况，最适合他的福袋是第3个和最适合他的福袋是最后1个，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；②记事件表示最适合的福袋被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再用导数求出最值即可．【小问1详解】8张完全相同的卡片，3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，由抽取规则可知，甲同学取到写有卡片的概率为【小问2详解】①这4个福袋的位置从第1个到第4个排序，有种情况，要摘到最大的福袋，有以下两种情况：最大的福袋是第3个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况，最大的福袋是最后1个，第二大的福袋是第1个或第2个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况，故所求概率为；②记事件表示最大的福袋被摘到，事件表示最大的福袋在福袋中排在第个，因为最大的福袋出现在各个位置上的概率相等，所以，以给定所在位置的序号作为条件，，当时，最大的福袋在前个福袋之中，不会被摘到，此时，当时，最大福袋被摘到，当且仅当前个福袋中的最大的一个在前个福袋中时，所以，由全概率公式知，令函数，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时，取得最大值，最大值为，此时，即的最大值为，此时的值为.19. 已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.（1）求点，的坐标；（2）记，证明：数列为等比数列；（3）为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，再借助的方程后联立双曲线可得，即可得；（2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证；（3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算，即可得.【小问1详解】由题知，所以双曲线，又过点斜率为的直线方程为，由双曲线与直线的对称性可知，所以，又过，且斜率为的直线方程为，即，由，解得或，当时，，所以，所以；【小问2详解】设，则过，且斜率为的直线方程为，联立，消得到，由题有，得到，由题知点在直线上，即有，所以，因为，则，由（1）知，所以数列是以3为首项，为公比的等比数列；【小问3详解】由（2）知，由，即，即，则，，故，，，，从而，，即，则，则，，从而.【点睛】关键点点睛：本题最后一问的关键点在于得到后，结合，从而可得1与，再利用面积公式计算即可得.第11页。
2024-2025学年江西师大附中高三(上)第三次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西师大附中高三（上）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足|z−i|=2,z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. (x−1)2+y 2=4B. (x−1)2+y 2=2C. x 2+(y−1)2=4D. x 2+(y−1)2=22.如图，在△ABC 中，点D 在BC 的延长线上，|BD|=3|DC|，如果AD =x AB +y AC ，那么( )A. x =12,y =32B. x =−12,y =32C. x =−12,y =−32D. x =12,y =−323.纯洁的冰雪，激情的约会，2030年冬奥会预计在印度孟买举行.按常理，该次冬奥会共有7个大项，如冰球、冰壶、滑冰、滑雪、雪车等；一个大项又包含多个小项，如滑冰又分为花样滑冰、短道速滑、速度滑冰三个小项.若集合U 代表所有项目的集合，一个大项看作是几个小项组成的集合，其中集合A 为滑冰三个小项构成的集合，下列说法不正确的是( )A. “短道速滑”不属于集合A 相对于全集U 的补集B. “雪车”与“滑雪”交集为空集C. “速度滑冰”与“冰壶”交集不为空集D. 集合U 包含“滑冰”4.已知直线l ：x +y−3=0上的两点A ，B ，且|AB|=1，点P 为圆D ：x 2+y 2+2x−3=0上任一点，则△PAB 的面积的最大值为( )A.2+1B. 22+2C.2−1D. 22−25.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=xcosπx B. f(x)=(x−1)sinπx C. f(x)=xcos[π(x +1)]D. f(x)=(x−1)cosπx6.已知正数a ，b ，c 满足2022a =2023，2023b =2022，c =ln2，下列说法正确的是( )A. log a c >log b cB. log c a >log c bC. a c <b cD. c a <c b7.已知抛物线C 1：y =x 2+2x 和C 2：y =−x 2+a ，若C 1和C 2有且仅有两条公切线l 1和l 2，l 1和C 1、C 2分别相切于M ，N 点，l 2与C 1、C 2分别相切于P ，Q 两点，则线段PQ 与MN ( )A. 总是互相垂直 B. 总是互相平分C. 总是互相垂直且平分D. 上述说法均不正确8.在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，且AB =AC ，AD = 2CD =22，则BD 的最大值为( )A. 27B. 6C. 25 D. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年湖南省师大附中高三上学期月考(二)数学试题及答案
湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是（ ）A. 1B.12C. 12−D. 1−2. 已知a是单位向量，向量b 满足3a b −=，则b 的最大值为（ ） A. 2B. 4C. 3D. 13. 已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（ ）A. 23−B. 13−C. 23D.134. 已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x −>−，则实数a 的取值范围为（ ）A 34a ≤B. 34a ≥C. 1a ≤D. 1a ≥5. 如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD −的体积为83，则圆柱的表面积为（）.A. 10πB.9π2C. 4πD. 8π6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（ ）A.52+B. 5+C. 10+D. 117. 设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线114y x =−的交点个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−，且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−，则下列说法正确的是（ ）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=，则()()202420242f g += 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一个样本的方差()()()22221220133320sx x x =−+−++−，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 标准差为8，则数据1221,21,x x −− ，1021x −的标准差为16 C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10. 已知函数()32f x ax bx =−+，则（ ）A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2的C. 当30b a −>时，()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时，()f x 有两个极值点11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（ ）A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈−三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切，则a =__________. 13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.14. 设函数()()44xf x ax x x =+>−，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +−=−. （1）求B ；（2）若ABC ，且2AD DC = ，求BD 的最小值.16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点. （1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.17. 如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b =−=，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由； （2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .19 已知函数()24e 2x f x x x−=−，()2233g x x ax a a =−+−−（a ∈R 且2a <）. （1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；的.（2）若()()f x g x ≥对任意()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.的湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是（ ）A. 1B.12C. 12−D. 1−【答案】C 【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i1i1i 1i 222z−−====−++−，所以其虚部为12−，故C 正确. 故选：C.2. 已知a是单位向量，向量b 满足3a b −=，则b 的最大值为（ ） A. 2 B. 4C. 3D. 1【答案】B 【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b −=，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b −=， 即3OA OB BA −==，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即b 的最大值为4.故选：B.3. 已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（ ）A. 23−B. 13−C. 23D.13【答案】D 【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=. 所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++. 故选：D.4. 已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x −>−，则实数a 的取值范围为（ ）A. 34a ≤B. 34a ≥C. 1a ≤D. 1a ≥【答案】D 【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可. 【详解】()()()12120f x f x f x x x −>⇒−在RR 上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x +−<= +≥ ， 当0x <时，()e 33xf x a =+−单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增， 只需1330a a +−≤+，解得1a ≥. 故选：D.5. 如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD −的体积为83，则圆柱的表面积为（ ）A. 10πB.9π2C. 4πD. 8π【答案】A 【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB −=⋅△，可求解底面半径，即可求解. 【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===， 取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ， 所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r −=⋅=××××= ， 解得rr =1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +×=.故选:A.6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（ ）A.52+B. 5+C. 10+D. 11【答案】B 【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BFx =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可. 【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为FF (1,0)，设直线l 的方程为：()()11221,,,,xty A x y B x y =+，不妨设120y y >>， 联立方程241y xxty = =+ ，整理得2440y ty −−=，则12124,4y y t y y +==−， 故221212144y y x x =⋅=，又|AAFF |=xx 1+pp2=xx 1+1，2212pBF x x =+=+，则()()121223213123555AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12x x =时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF+211111x x +++121212211x x x x x x ++=+++， 因此23AF BF +()1123AF BF AF BF=++235AF BF BF AF =++55≥++，当且仅当11AF =++ 故23AF BF +的最小值为5+. 故选：B.7. 设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线1y x =−的交点个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x=−，再作出图像求解交点个数即可. 【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−， 所以π4x =是yy =ff (xx )的一条对称轴， 所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=−.所以()πcos 4f x x=−， 在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x =−与114y x =−的图象，当3π4=−x 时，3π14f −=− ，11113π3π)4164y −−=×(−=−<−， 当5π4x =时，5π14f =− ，5π5π14111461y =×−=−>−， 当9π4x =时，9π14f = ，11119π9π4416y =×−=−<， 当17π4x =时，17π14f = ，111117π17π4416y =×−=−> 所以如图所示，可知yy =ff (xx )的图象与直线114y x =−的交点个数为3，故C 正确. 故选：C.8. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−，且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−，则下列说法正确的是（ ）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=，则()()202420242f g += 【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x −，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g −=−，再找出()()11f x g x −−−与()()f x g x − 的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x −+−与()()f x g x + 的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y −⋅=− ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f −⋅=，解得()00f =，故A 错； 对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y −=−，得()()()()()f y g x f x g y f y x −=−， 即()()f y x f x y −=−−，故()f x 为奇函数，故B 错； 对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y −=− 令0xy ==，即()()()()()00000g g f f g −=， ()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴−=−，由题知：()()f x y g x y −−−()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y −⋅−−()()()()f y g y f x g x =+−， 令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x −−−=+− ，()()1112f g += ， ()()()()1112f xg x f x g x ∴−−−=− ， 即()(){}f x g x −是以()()001f g −=−为首项2为公比的等比数列； 故()()()2024202420242024122f g −=−×=−，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x y g x y −+−()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y −⋅+−()()()()g y f y f x g x =−+， 令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x −+−=−+ ，又()()111g f −=，即()()()()11f x g x f x g x −+−=+， 即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（ ）A. 一个样本的方差()()()22221220133320s x x x =−+−++−，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x −− ，1021x −的标准差为16C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x =−+−++−所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,×=A 正确； 对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x −−− 的方差为2222264s =×2816=×=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77×=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=， 所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ×+×+−====<，故D 正确.故选：ABD.10. 已知函数()32f x ax bx =−+，则（ ） A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2C. 当30b a −>时，()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为RR ；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =−=−满足()()3g x ax bx g x −=−+=−， 可知()g x 奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于(0,2)中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b ′=−，当30b a −>时，取1,1a b =−=−，当x ∈ 时，()()2310,f x x f x =−+>′在区间 上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b ′=−，当0ab >时，()230f x ax b ′=−=有两个不相等的实数根， 所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD. 为11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（ ）A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈− 【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +−=，圆心为(0,1)，()sin 1f x x =+的图象也过(0,1)，且(0,1)是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()121021212x x x f x x x x <− −≤≤= +<≤ −>， 与圆交于点()1,0−，(1,0)，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k −=−−−=−−=−∈R ，所以()f x 为奇函数， 由()30f x kx kx =−=，得0x =或1x =±， 所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0−，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y =− +=，得()2624222110k x k x k x −++−=， 令2t x =，则()232222110k t k t k t −++−=， 即()()222110t k t k t −−+=，得1t =或22210k t k t −+=， 当1t =时，1x =±，当22210k t k t −+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k =−=−， 若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈−时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈−，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切，则a =__________. 【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =−+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =−，则12y x ′=−，则11x y =′=，曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线方程为21y x −=−，即1y x =+， 当0a ≠时，则 212y x y ax ax =+ =−+，得()2110ax a x −++=， 由2Δ(1)40a a =+−=，得1a =.故答案为：1.13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c ，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】23【解析】 【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a=，12PF F 的面积为21122b c c PF a ⋅⋅=， 又由于12PF F 的内切圆的半径为3c ，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅， 所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c c a c a =+⋅， 整理得：22230a ac c −−=，两边同除以2a ，得2320e e +−=，所以23e =或1−， 又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23. 故答案为：23. 14. 设函数()()44x f x ax x x =+>−，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________. 【答案】58##0.625 【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b >恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x −>，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=−+++−−−2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b +>恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=++=，设事件A=“不等式()f x b>恒成立”，则事件A包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b>恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，已知()()()sin sin sinb c B C a c A+−=−.（1）求B；（2）若ABC，且2AD DC=，求BD的最小值.【答案】（1）π3B=（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a+−=−，再结合余弦定理得2221cos22a c bBac+−==，从而可求解.（2）结合ABC的面积可求得3ac=，再由.112333BD BC CA BA BC=+=+，平方后得，()222142993BD c a=++，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a+−=−，即222a cb ac+−=，由余弦定理可得2221cos222a cb acBac ac+−===，因为()0,πB∈，所以π3B=.【小问2详解】的因为ABC π3B =，所以1sin 2ac B =3ac =. 因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+−=+ ， 所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c所以BD .16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y −= （2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程； （2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =−=−−，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y −=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCD S AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值. 【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得 22243c e a ==，则有223a b ，又点(在双曲线E 上，故229213−=b b ，解得221,3b a ==，故E 方程为2213x y −=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=−=−−，其中0k ≠， 因为12,l l 均与E的右支有两个交点，所以k >2133k <<， 将1l21y −=联立，可得()222213121230k x k x k −+−−=. 设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k−−−+==−−， 所以2AC x =−==== 同理BD =所以()()()2222111622313ABCDk S AC BD k k+===⋅−−. 令21t k =+，所以241,,43k t t=−∈， 则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥−+− −+−−−+， 当112t =，即1k =±时，等号成立. 的故四边形ABCD 面积的最小值为6.17. 如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点P 为11A B 中点 【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,AB A B BB ===OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥ 又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ， 所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B..【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==−，()110,B C.设)111,0,A P A B λλ===， 则1AP AA =+)[]1,0,,0,1AP λ=∈， 设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ += +−， 取()()1,1,1,1,,mn λλλ==+ ， 则cos ,m n mn m n⋅==整理得212870λλ+−=，即()()21670λλ−+=，所以12λ=或76λ=−（舍）， 故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意. 18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b =−=，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由； （2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②. 【小问1详解】（i ）因为21na n =−单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立， 所以数列{aa nn }不具有性质P .因为113nn b =<，又数列{bb nn }为单调递减数列，所以数列{bb nn }具有性质P . （ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S −=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +−=⋅+⋅++ ， 两式作差得23121111211222333333n n n n S +−=⋅+⋅+⋅++⋅− ， 即1121121212223313333313n n n n n n S ++− −+ =−+−=−−，所以111,3n n n S +=−<∴数列{}n S 满足条件①. (){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +=−>∴<∴为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P 【小问2详解】.因为*0,1,,,X n n =∈N ， 若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]n n n c d p p +==−+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n n n n n n p p p p p p p p −−−+−+−++− ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p −−−−=−−+−−+−−++−− ②，2n c −=①②，即1(12)2nn p c −−=. 所以当102p <<时，0121p <−<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <. 故数列{}n c 具有性质P .19. 已知函数()24e 2x f x x x−=−，()2233g x x ax a a =−+−−（a ∈R 且2a <）. （1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）ℎ(xx )在(),0∞−和(0,+∞)上单调递增； （2）(],1−∞. 【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ−=−=−+−++，定义域为{}0x x ≠∣， 所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ−−==−+−′，所以()()2234e 2220x x x h x x −−+=+>′.所以()h x 在(),0−∞和()0,∞+上单调递增. 【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=−+=−−≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x −=+=−，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x−−−+−′=−==>′， 所以()()224e 11x x F x x−−=−′在()1,+∞单调递增，又()20F ′=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x ′<单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x ′>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥−， 要证()()f x g x ≥，只需证()x g x −≥，即证()223130x a x a a −+++≥，令()()22313G x x a x a a =−+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a +−+−+−−，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =−+++≥. 若15a <，则对称轴31425a x +<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥， 综上所述，a 的取值范围为(],1−∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x −−≥−+−−对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ−=−+−++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立. 由（1）知()()224e 1223x x x x a xϕ−−=−+−′在()1,+∞递增，又()13a ϕ′=−.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ′>≥′在()1,+∞递增，所以()()24110ex a ϕϕ>=−+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=−<′，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a aa a a a a ϕ−− +=−=−+ ++′， 令()124e(1)a m a a −=−+，则()()()14e 21a m a a h a −=−+=′，则()14e 2a h a −′=−为单调递增函数，令()0h a ′=得1ln2a =−，当()0,1ln2a ∈−时()()0,h a m a ′′<单调递减，当()1ln2,a ∞∈−+时()()0,h a m a ′′>单调递增， 又()()10,00m m =′<′，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a ′<单调递减， 当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a ′>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ− +′=−+≥ +， 所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ′=，即()020024e 12230x x x a x−−−+−=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ′<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ′>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ−==−+−++. 若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ−=−+−++≥，符合题意. 若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=−+=−−<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1−∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。
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·1· 江西师大附中高三数学（文）月考试卷 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合{|1},AxyxAB， 则集合B不可能．．．是( ) A．124xxx B．1),(xyyx
C．{|sin,}36yyxx D．)12(log22xxyy 2．若等差数列na的前7项和721S，且21a，则6a( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3．已知 ,54cos,23,则)4tan(等于( )
A.7 B.71 C.71 D.7 4．已知如图所示的向量中，ABAP34，用OBOA、表示OP，则OP等于( ) A．OBOA3431 B．OBOA3431 C．OBOA3431 D．OBOA3431 5．已知函数()fx是偶函数，当0x时，()(21)lnfxxx，则曲线()yfx在点 (1,(1))f处的切线斜率为( )
A.2 B.1 C.1 D.2 6．已知向量ba与满足2||||ba，且bab2，则向量ba与的夹角为( )
A. 6 B. 3 C. 32 D. 65 7．在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若 12,sinsinsin2cabBaAaC，则cosB等于( )
A．34 B．23 C．13 D．12 ·2·
8．已知数列321121,,,,,nnaaaaaaa是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数 列na中的项的是( ) A．16 B．128 C．32 D．64 9．已知函数2sinsin()3fxxx是奇函数，其中(0,)，则函数 cos(2)gxx
的图象( ) A．关于点(,0)12对称
B．可由函数fx的图象向右平移3个单位得到 C．可由函数fx的图象向左平移6个单位得到 D．可由函数fx的图象向左平移12个单位得到 10．已知等差数列na的首项为1a，公差为d，前n项和为nS.若直线mxay121与圆1)2(22yx的两个交点关于直线0dyx对称，则数列nS1的前10项和为( )
A.109 B.1110 C.98 D.2 11．已知菱形ABCD边长为2，3B，点P满足ABAP，R．若3CPBD，则的值为( ) A.12 B.12 C.13 D.13 12．已知函数lnfxxxx,若kZ,且2kxfx对任意的2x恒成立,则k 的最大值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．16cos74cos346sin2__________ ·3·
14．设函数1,111,)(3xxxxxxf，则不等式2(6)fxfx的解集为__________ 15．已知数列{}na满足11a，11()2nnnaa(2)n，212222nnnSaaa，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得132nnnSa=__________ 16．等腰ABC的顶角32A，32BC，以A为圆心，1为半径作圆，PQ为该圆的一条直径，则CQBP的最大值为__________ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题10分）
在ABC中，,,abc分别是角ABC、、的对边，,sin3,sin2cosAAAm ,sin2cos,sinAAAn
(1)若nm//且角A为锐角，求角A的大小； (2)在(1)的条件下，若,54cosB7c，求a的值.
18. （本小题12分）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离kmAB50，CB,间的距离为km350，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为hkm/25，再乘汽车到C，车速为
hkm/50，记BDA
（1）试将由A到C所用的时间t表示为的函数)(t； （2）求由A到C所用的时间t的最小值.
19. （本小题12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，12=2AAACAB，且11BCAC． （1)求证：平面1ABC⊥平面11AACC； ·4·
（2)点D在边11AC上且11131ACDC，证明在线段1BB上存在点E，使DE//平面1ABC，并求此时1BBBE的值.
20. （本小题12分）已知函数xxxfln)( (1)求函数)(xf在点)1(,1f处的切线方程； (2)若方程mxxf)(在区间2,1e内有唯一实数解，求实数m的取值范围.
21. （本小题12分）已知等差数列na的前n项和为nS，nN，35a，10100S. (1)求数列na的通项公式；
(2)设2sin22nabnann，求数列nb的前n项和nT.
22．（本小题12分）如图，已知抛物线C：24yx，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D． （1）若线段AB的长为5，求直线l的方程； （2）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在， ·5·
请说明理由. ·6·
江西师大附中高三年级数学（文）月考答案 1．已知集合{|1},AxyxAB， 则集合B不可能．．．是( ) A．124xxx B．1),(xyyx
C．{|sin,}36yyxx D．)12(log22xxyy 答案：D 知识点：集合间的关系 难度：1 解析：11xxxyxA，1)12(log22yyxxyy，故选D 2．若等差数列na的前7项和721S，且21a，则6a( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 知识点：等差数列性质 难度：1
解析：2127717aaS解得67162aaaa，76a
3．已知,54cos,23,则)4tan(等于( ) （A）7 （B）71 （C）71 （D）7 答案：B 知识点：同角三角函数的关系 难度：1 解析：43tan，则tan1tan1)4tan(71
4．已知如图所示的向量中，ABAP34，用OBOA、表示OP，则OP等于( ) A.OBOA3431 B.OBOA3431 C．OBOA3431 D．OBOA3431 答案：C 知识点：向量的线性运算与表示 难度：1 解析：OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋43AB→＝OA→＋43(OB→－OA→)＝－13OA→＋43OB→。 5．已知函数
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 答案：B 知识点：偶函数的性质，导数的运算 难度：1 ·7·
解析：当0x时，xxxxf12ln2)(，则1)1(f 函数()fx是偶函数，1)1(f
6．已知向量ba与满足2||||ba，且bab2，则向量ba与的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 32 D. 65 答案：C 知识点：向量内积的运算 难度：2 解析：bab2得02bab，即022bba，解得21cos
向量ba与的夹角为32 7．在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若12,sinsinsin2cabBaAaC， 则cosB等于( ) A．34 B．23 C．13 D．12 答案：A 知识点：正余弦定理 难度：2 解析：由正弦定理得acab2122且ac2 222ab
434242cos2222222aaaaacbcaB
8．已知数列321121,,,,,nnaaaaaaa是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列na中的项的是( ) A．16 B．128 C．32 D．64 答案：D 知识点：等比数列，累乘法求通项公式 难度：2
解析：21121121123121222221nn
nn
nn
naaaaa
aaa
当4n时，64264a 9．已知函数2sinsin()3fxxx是奇函数，其中(0,)，则函数cos(2)gxx的 ·8·
图象( ) A．关于点(,0)12对称
B．可由函数fx的图象向右平移3个单位得到 C．可由函数fx的图象向左平移6个单位得到 D．可由函数fx的图象向左平移12个单位得到 答案：C 知识点：奇函数的性质，三角函数的变换 难度：3 解析：2sinsin()3fxxx是奇函数且xysin2为奇函数
则3sinxy为偶函数
23，解得6
此时xxxxf2sin2sinsin2)(
32sin62cos)(xxxg
故函数)(xg可由函数fx的图象向左平移6个单位得到 10．已知等差数列na的首项为1a，公差为d，前n项和为nS.若直线mxay121与圆1)2(22yx的两个交点关于直线0dyx对称，则数列nS1的前10项和为( )
A.109 B.1110 C.98 D.2 答案：B 知识点：直线与圆的位置关系，等差数列求和，裂项求和 难度：4 解析：由题意可得直线y＝12a1x＋m与直线x＋y－d＝0垂直，且圆心(2,0)在直线x＋y－d＝0上，所