第四章平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程.

解得：
F R FN h( 2 R h)
2）再研究球，受力如图：
作力三角形
P F sin
' N
Rh 又 sin R
F FN
' N
F R Rh P FN sin h (2R h) R P h(2R h) F R h
解平面一般力系的平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了避免求解联立方程，应使所选的坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力的交点（可在 研究对象之外）上。此外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一个未知量，以便简化计算。
[例] 已知：P=20kN, m=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
m
B
(F ) 0
F
解得：
FRAy 20 FP 4 G 10 0
0
x
FRAx FRB cos60 FP 0
0
FRB 62.4kN FRAy 46kN FRAx 11.2kN
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面 一般力系的特殊力系，它们的平衡方程皆可由平面一般力系 的平衡方程导出。 1.平面汇交力系的平衡方程 1）平面汇交力系平衡的必要与充分 的解析条件是：各力在两个坐标轴 上投影的代数和分别等于零 2）平面汇交力系平衡的必要与充分 的几何条件是：力多边形自行封闭
[例]如图所示拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为滚轴支 座，其支承面与水平面成倾角300。桁架自重G=100KN,风压力 的合力Q=20KN,其方向水平向左，试求A、B 支座反力。
解：〈1〉、选桁架为研究对象，画出其受力图
〈2〉、列平衡方程选A、B两点为矩心，用二矩式
m
A
(F ) 0
G 10 FP 4 FRB 20 sin 600 0
FR' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 M o mo ( F )
F 0 F 0 m ( F ) 0
x y o
由此可得结论，平面一般力系平衡的解析条件是：所有各 力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和都等于零；力系 中所有各力对任一点的力矩的代数和等于零。 需要指出的是，上述平衡方程是相互独立的，用来求
解：研究AB梁
由Fx 0, FRAx 0
m (F ) 0 ;
A

解得：
a FRB a q a m P 2a 0 2 Fy 0 FRAy FRB qa P 0
qa m 20 0.8 16 FRB 2P 2 20 12(kN) 2 a 2 0.8 FRAy P qa FRB 20 20 0.8 12 24(kN)
[例]如图所示一钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平 推力P=5KN的作用。刚架顶上有均布荷载，荷载集度为q=22KN/m，
刚架自重不计，尺寸如图所示，试求A、B处的支座反力。
解：研究钢架，由：
Fx 0 F
y
FP FRBx 0
0
(F ) 0
FRA FRBy q 3 0
第四章 平面一般力系的简化及平衡方程
§4.1 平面一般力系的简化
§4.2 平面一般力系的平衡方程及其应用 §4.3 物体系的平衡问题
§ 4-2 平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和力 系对于任一点的矩都等于零，即：
FR' 0, M 0 0
由此平衡条件可导出不同形式的平衡方程。 1.平衡方程的基本形式
3 FP 3 FRA 3 q 3 0 2
解得：
m
B
FRBx 5kN
FRA 28kN
FRBy 38kN
2.平衡方程的二矩式
F m m
m m m
x
A ( F ) 0 B ( F ) 0 0
（A与
利用几何法求解平面汇交力系的平衡 问题时，画出自行封闭的力多边形 ， 然后按比例尺从力多边形中直接量出 未知力的大小即可。
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h
解：1）研究块,受力如图，
由力三角形：
F FN cos
R2 (R h)2 1 cos h(2R h) R R
3.平衡方程的三矩式
( F ) 0 B ( F ) 0 C ( F ) 0
A
（A、B、C三点不共线）
应用平面一般力系的平衡方程求解平衡问题的解题步骤如下： （1）确定研究对象 根据题意分析已知量和未知量，未知量要用已知量来表示，所 以研究对象上一定要有已知量，选取适当的研究对象。研究对象 选的是否合适，关系到解题的繁简。 （2）画受力图 在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力的指向未定时，可以先假设其指 向。如果计算结果为正，则表示假设指向正确；如果计算结果为 负，则表示实际的指向与假设的相反。 （3）列平衡方程 选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心。选取哪种形式的平 衡方程取决于计算的方便，尽量避免解联立方程，应用投影方程 时，投影轴尽可能选取与较多的未知力的作用线垂直；应用力矩 方程时，矩心往往取在两个未知力的交点。计算力矩时，要善于 运用合力矩定理，以便使计算简单。 （4）求解：解平衡方程，求解未知量。 （5）校核
F ( R h) P h( 2 R h )
P h ( 2 R h) 当F 时球方能离开地面 Rh
2、平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 平面平行力系平衡方程的一般形式：
F 0 m ( F ) 0