高2013届高三数学优化设计第二轮复习专题6-2圆锥曲线的方程与性质
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∴由圆锥曲线的对称性得，四边形在第一象限部分的面积为 2 5 2 5 b× 5 b＝4，∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴椭圆C的方程为 5 x2 y2 20＋ 5 ＝1.
答案 D
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类型二 求椭圆与双曲线的离心率 【例2】 (2011· 课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的 2倍，则C的离心率为 A. 2 B. 3 C．2 D．3 ( )．
[思路点拨]
不妨设双曲线C的焦点在x轴上，设出双曲线方
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解析
利用椭圆的离心率概念结合图形求解．
由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30° ，∴∠PF2x＝60° .
3 ∴|PF2|＝2×2a－c＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c， c 3 ∴e＝a＝4.
答案 B
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[规律方法]
求离心率问题一般有两类：一类是根据一定的条
件求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离 心率的取值范围．无论是哪类问题，都要建立关于a，b，c的 关系式(等式或不等式)，并且把其中的b用a，c表达，将a、 b、c的关系式转化为关于离心率e的关系式．
解析 求出切线方程，再解方程组得点A的坐标．易知抛物线 1 2 y＝ 2 x 上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方 程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方 程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.
答案 －4
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x2 y2 【变式训练1】 (2012· 山东)已知椭圆C： a2 ＋ b2 ＝1(a>b>0)的离 3 心率为 2 .双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以 这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ( x2 y2 A. 8 ＋ 2 ＝1 x2 y2 C.16＋ 4 ＝1 x2 y2 B.12＋ 6 ＝1 x2 y2 D.20＋ 5 ＝1 )．
程，求|AB|，再结合已知条件求解．
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x2 y2 [尝试解答] 不妨设双曲线C为 a2 － b2 ＝1(a>0，b>0)，并设l过 2b2 F2(c,0)且垂直于x轴，则易求得|AB|＝ a ， 2b2 ∴ a ＝2×2a，b2＝2a2， c ∴离心率e＝a＝ b2 1＋a2＝ 3，故选B.
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法二
如图，由图可知，
BB′＝BF，AA′＝AF， 又|AF|＝2|BF|， |BC| |BB′| 1 ∴|AC|＝ ＝ ， |AA′| 2 即B是AC的中点．
2xB＝xA－2， ∴ 2yB＝yA， y2 ＝8xA， A 与 2 yB＝8xB
解析 建立关于m的方程求解．
2 c2 m＋m ＋4 ∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝a2＝ ＝5， m
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
答案 2
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4．(2012· 辽宁)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横 坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交 于点A，则点A的纵坐标为________．
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x2 y2 1．(2012· 新课标全国)设F1，F2是椭圆E： a2 ＋ b2 ＝1(a>b>0)的 3a 左，右焦点，P为直线x＝ 2 上一点，△F2PF1是底角为30° 的 等腰三角形，则E的离心率为 1 2 3 4 A.2 B.3 C.4 D.5 ( )．
联立可得A(4,4 2)，B(1,2 2)． 4 2－2 2 2 2 ∴kAB＝ ＝ 3 ，故选D. 4－1
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1 答案 (1)－3
[规律方法]
(2)D
(1)圆锥曲线的定义是根本，它是标准方程和几何
性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略．对于 圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如 椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，双曲线的定义中要求 ||PF1|－|PF2||<|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的 距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．
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2．双曲线 思考2：双曲线的定义、标准方程和几何性质是什么？
研讨：(1)定义：||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a<|F1F2|)． (2)标准方程： x2 y2 ①当焦点在x轴上时，a2－b2＝1(a>0，b>0)； y2 x2 ②当焦点在y轴上时，a2－b2＝1(a>0，b>0)． (3)几何性质： c ①离心率：e＝a＝
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3．抛物线 思考3：抛物线的定义、标准方程和性质是什么？
研讨：(1)定义：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于M. (2)焦点在x正半轴上的抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其焦点为
p p ，0 ，准线方程为x＝－ ；焦点在y正半轴上的抛物线方程 F2 2
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类型一 圆锥曲线的定义与性质 x2 y2 【例1】 (1)已知P为椭圆 4 ＋y2＝1和双曲线x2－ 2 ＝1的一个交 点，F1、F2为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2的余弦值为 ________． (2)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两 点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于 1 2 A.3 B. 3
答案 C
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2．(2012· 大纲全国)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右 焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ ( )．
1 3 3 4 A.4 B.5 C.4 D.5 解析 因为c2＝2＋2＝4，所以c＝2,2c＝|F1F2|＝4，由题可知
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(3)几何性质： c ①离心率：e＝a＝ b2 1－a2∈(0,1)；
2b2 ②过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为 a ； θ ③焦点三角形面积公式S△F1PF2＝b tan2(θ为PF1与PF2夹角)；
2
④椭圆上的点到焦点的最小距离a－c，最大距离a＋c.
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1．椭圆 思考1：椭圆的定义、标准方程和几何性质是什么？
研讨：(1)定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)标准方程： x2 y2 ①当焦点在x轴上时，a2＋b2＝1(a>b>0)； y2 x2 ②当焦点在y轴上时，a2＋b2＝1(a>b>0)．
第2讲 圆锥曲线的方程与性质
【考情快递】 考点统计 椭圆及其性 质 双曲线及其 性质 抛物线及其 性质 5 7 9 考查频度 考例展示 2012· 大纲全国5,2012· 新课标全国 4,2012· 江西8 2012· 湖南6,2012· 江苏8,2012· 浙江 8,2012· 新课标全国10 2012· 陕西14,2012· 四川9,2012· 安徽14
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[思路点拨]
充分利用椭圆定义，要使|PF1|＋|PF2|为定值，从
而想到P的轨迹为椭圆，F1、F2是其两焦点．
2 a2 c [尝试解答] (1)由e＝ a ＝ 2 ， c ＝2 2，解得a＝2，c＝ 2，b2 x 2 y2 ＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为 4 ＋ 2 ＝1. (2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， → → → 则由OP＝OM＋2ON，得 (x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)， 即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.
2c 3m ＝2a＝ ＝ 3. 2m－m
答案 D
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高考瞭望Leabharlann 活页规范训练类型三
圆锥曲线的方程与应用
【例3】 如图，椭圆的中心为原点O， 2 a2 离心率e＝ 2 ，且 c ＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程； → → → (2)设动点P满足： OP ＝ OM ＋2 ON ， 1 其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－ 2 . 问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存 在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．
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b2 1＋a2∈(1，＋∞)；
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2b2 ②过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为 a ，焦点在x轴 a2 上的双曲线的准线方程为x＝± c ，点P在右支上时，焦半径 |PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a； x2 y 2 b ③双曲线a2－b2＝1(a，b>0)的渐近线方程为y＝± x，焦点到渐 a 近线的距离等于b； b2 ④焦点三角形面积公式S△F1PF2＝ θ(θ为PF1与PF2夹角)； tan2 ⑤双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a.
高考数学二轮复习专题十二圆锥曲线的方程与性质共65页文档
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
高考数学二轮复习专题十二 圆锥曲线的方程与性质
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题课后强化训练-人
专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题A 组1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值X 围是( C )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(12，1)[解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C ．2．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152x[解析] 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，所以|MF |＝2p ，即x ＋p2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p ．又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ．3．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D )A ．m 2－a 2B ．m －aC ．12(m －a ) D ． (m －a )[解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．4．(文)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A ．73B ．54C ．43D ．53[解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53，故选D ．(理)(2016·某某卷，6)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( D )A ．x 24－3y 24＝1B ．x 24－4y 23＝1C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝1[解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12， 故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D ．5．(文)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( B )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4.故选B ．(理)(2016·某某卷，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1[解析]由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A ． 6．(2016·全国卷Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A ． 2B ．32C ． 3D ．2[解析] 设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A ． 7．(2017·某某一诊)如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B 、A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( A )A ．7B ．4C ．233D ． 3[解析] 本题主要考查双曲线的离心率．依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，根据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得c a＝7，故选A ．8．(2017·某某某某一模)已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为点N ，若MF →·MN →<0，则x 0的取值X 围是( A )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)[解析] 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F (0，12)．根据题意，可知N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝(－x 0，12－y 0)，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0(12－y 0)<0，即0<y 0<12.因为点M 在抛物线上，所以有0<x 202<12.又x 0≠0，解得－1<x 0<0或0<x 0<1.故选A ．9．(2017·某某某某一模)已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于(B )A ．1134B ．2134C ．114D ．214[解析] 由椭圆x 29＋y 25＝1知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，Rt △AOF 中，|OF |＝2，|OA |＝23，则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|PA |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1，与椭圆的方程为5x 2＋9y2－45＝0联立并整，得32y 2－203y －75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F |·|y A －y P |＝12×4×|23＋538|＝2134.故选B ．10．(2017·某某某某八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( C )A ．52B ．4C ．92D ．9[解析] 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.③ ①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④ 将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c2a 21＋c 2a 22＝4a 21＋a 222a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92， 当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C ．11．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__－2__.[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2．12．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝__12__.[解析] 取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF |1＋|GF |2)＝4a ＝12．13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的顶点、焦点分别为点A ，F ，抛物线上的一点P 到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为d 1，则以F 为圆心，|AF |为半径的圆上一点的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小距离为__22－1__.[解析] 本题关键在于数形结合，作PM ⊥l 交l 于点M ，作FN ⊥l 交l 于点N ，由图形转化线段之间的关系：|PM |＋|PF |≥|FN |，d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |－r ≥|FN |－r ．焦点即圆心F (1,0)，r ＝|AF |＝1，要求d 1＋d 2的最小值，只需求点P 到直线l 的距离与到圆心的距离的和的最小值，如图，作PM ⊥l 交l 于点M ，作FN ⊥l 交l 于点N .由图知|PM |＋|PF |≥|FN |，|FN |＝|1－0＋3|12＋－12＝42＝22，所以d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |－r ≥|FN |－r＝22－1．14．(2017·某某莱芜一模)已知圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M (m,0)(m >a )，倾斜角为2π3的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点N (3,0)在以线段CD 为直径的圆E 的外部，则m 的取值X 围是__(72，2303)__.[解析] ∵圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0与x 轴，y 轴交点为(22，0)和(0,2)， ∴c ＝22，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝12， ∴椭圆方程为x 212＋y 24＝1，设直线l 的方程为y ＝－3(x －m )(m >23)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 212＋y 24＝1得10x 2－18mx ＋9m 2－12＝0．由Δ＝324m 2－40(9m 2－12)>0， 可得－2303<m <2303，∴23<m <2303．设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝9m 5，x 1·x 2＝9m 2－1210，NC →·ND →＝(x 1－3，y 1)·(x 2－3，y 2)＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝4x 1x 2－(3m ＋3)(x 1＋x 2)＋9＋3m 2>0． 化简得2m 2－9m ＋7>0，解得m >72．∴m 的取值X 围是(72，2303)．B 组1．(2017·某某卷，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( D )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1[解析] 根据题意画出草图如图所示(不妨设点A 在渐近线y ＝b ax 上)．由△AOF 的边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2． 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a＝tan 60°＝3．又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1．故选D ．2．(2017·某某质检)已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( B )A ．12B ．32C ．1D ．2[解析] 因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0，y 2＝2px得，x 2－3px＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x ＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32． 故选B ．3．(2017·某某质检)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是( A )A ．－38B ．316C ．－38D ．不能确定[解析] 令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cosπ3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·(－12)＝34×(－12)＝－38．故选A ．4．(2017·某某三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( D )A ．2＋2B ．5＋1C ．3＋1D ．2＋1[解析] 本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F 的坐标为(p2，0)．又因为AF ⊥x 轴，所以点A 的横坐标为p2，因为点A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A 位于第一象限，则y A ＝2px A ＝p ，即点A 的坐标为(p2，p )，又因为点F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以c ＝p2，则点A 的坐标为(c,2c )，代入双曲线的方程得c 2a 2－4c 2b2＝1，结合c2＝a 2＋b 2，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，解得双曲线的离心率e ＝c a＝2＋1.故选D ．5．(2017·某某高三统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( B )A ．12B ．－12C ．－14D ．－2[解析] 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线的斜率．设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1x 224＋y222＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 24＝－y 1－y 2y 1＋y 22，整理得x 1＋x 22y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12．又G (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12.故选B ．6．(2017·某某统考)焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是__x 25－y 220＝1__.[解析] 设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1．7．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为__94__.[解析] 易知直线AB 的方程为y ＝33(x －34)，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94． 8．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．[解析] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |及|AB |＝4得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1， 又∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． ∴|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义知：|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，∴(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0， ∴a ＝3k ，于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2∴F 2A ⊥AB ，F 2A ⊥AF 1， ∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝22． 9．(2017·某某检测)设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．[解析] 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式．(1)设P (x ，y )，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a 2x 2＋1－c 2， x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1． (2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知 Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0，化简得：m 2＝2k 2＋1．设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1． ①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|，∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|， ∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |，∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋1|m|>2，即S<2．②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2．∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2．。
高三数学第二轮专题讲座复习：圆锥曲线综合题.doc
高三数学第二轮专题讲座复习：圆锥曲线综合题 高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整重难点归纳解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值典型题例示范讲解例1已知圆k 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心k 在抛物线C y 2=2ax 上运动，MN 为圆k 在y 轴上截得的弦(1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化？(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系？ 命题意图 本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力 知识依托 弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识 错解分析 在判断d 与R 的关系时，x 0的范围是学生容易忽略的 技巧与方法 对第(2)问，需将目标转化为判断d =x 0+2a 与R =a x +20的大小 解 (1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02=2ax 0,圆k 的半径R =|AK |=2202020)(a x y a x +=+-∴|MN |=2202202022x a x x R -+=-=2a (定值)∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化(2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k (x －x 0)2+(y －y 0)2=x 02+a 2中，令x =0，得y 2－2y 0y +y 02－a 2=0，∴y 1y 2=y 02－a 2∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项 ∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a又|MN |=|y 1－y 2|=2a ， ∴|y 1|+|y 2|=|y 1－y 2| ∴y 1y 2≤0，因此y 02－a 2≤0,即2ax 0－a 2≤0 ∴0≤x 0≤2a 圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+2a ≤a ,而圆k 半径R =220a x +≥a 且上两式不能同时取等号，故圆k 必与准线相交 例2如图，已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD ||D CB A oy x(1)求f (m )的解析式； (2)求f (m )的最值 命题意图 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合知识依托 直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值错解分析 在第(1)问中，要注意验证当2≤m ≤5时，直线与椭圆恒有交点 技巧与方法 第(1)问中，若注意到x A ,x D 为一对相反数，则可迅速将||AB |－|CD ||化简 第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法 解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a 、b 、c ，则a 2=m ,b 2=m －1,c 2=a 2－b 2=1 ∴椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0) 故直线的方程为y =x +1,又椭圆的准线方程为x =±c a 2,即x =±m ∴A (－m ,－m +1),D (m ,m +1)考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=11122m y m x x y , 消去y 得 (m －1)x 2+m (x +1)2=m (m －1)整理得 (2m －1)x 2+2mx +2m －m 2=0Δ=4m 2－4(2m －1)(2m －m 2)=8m (m －1)2∵2≤m ≤5,∴Δ＞0恒成立，x B +x C =122--m m 又∵A 、B 、C 、D 都在直线y =x +1上∴|AB |=|x B －x A |=2=(x B －x A )·2,|CD |=2(x D －x C ) ∴||AB |－|CD ||=2|x B －x A +x D －x C |=2|(x B +x C )－(x A +x D )|又∵x A =－m ,x D =m ,∴x A +x D =0∴||AB |－|CD ||=|x B +x C |·2=|mm 212--|·2=m m 222 (2≤m ≤5)故f (m )=m m 222，m ∈［2,5］ (2)由f (m )=m m 222，可知f (m )=m1222-又2－21≤2－m 1≤2－51，∴f (m )∈［324,9210］ 故f (m )的最大值为324，此时m =2;f (m )的最小值为9210，此时m =5 例3舰A 在舰B 的正东6千米处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是3320g 千米/秒，其中g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少？命题意图 考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力 知识依托 线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程错解分析 答好本题，除要准确地把握好点P 的位置(既在线段BC 的垂直平分线上，又在以A 、B 为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚 技巧与方法 通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解 对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程300B A C Po y x解 取AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系 由题意可知，A 、B 、C 舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，23) 由于B 、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为P ，则|PB |=|PC | 于是P 在线段BC 的中垂线上，易求得其方程为3x －3y +73=0 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB |－|P A |=4，故知P 在双曲线5422y x -=1的右支上 直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P 的位置，利用两点间距离公式，可得|P A |=10 据已知两点的斜率公式，得k P A =3,所以直线P A 的倾斜角为60°,于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°设发射炮弹的仰角是θ，初速度v 0=3320g ，则θθcos 10sin 200⋅=⋅v g v ,∴sin2θ=231020=v g ,∴仰角θ=30° 例4若椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)与直线l x +y =1在第一象限内有两个不同的交点，求a 、b 所满足的条件，并画出点P (a ,b )的存在区域解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112222b y a x y x 消去y ,整理得 (a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2)=0①则椭圆与直线l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f (x )=(a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><<<<>+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>><+<>-+-=>-=>-+-=∆010101 0100)1()1(0)1()0(0)1)((442222222222222222b a a b b a b a b a a b a a b f b a f b b a a a 同时满足上述四个条件的点P (a ,b )的存在区域为如图所示的阴影部分 学生巩固练习 1 已知A 、B 、C 三点在曲线y =x 上，其横坐标依次为1，m ,4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( )A 3B 49 C25 D 23 2 设u ,v ∈R ，且|u |≤2,v ＞0,则(u －v )2+(v u 922--)2的最小值为( ) 11o y xA 4B 2C 8D 22 3 A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A =2π,则椭圆离心率的范围是_________4 一辆卡车高3米，宽1 6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a 米，则能使卡车通过的a 的最小整数值是____5 已知抛物线y =x 2－1上一定点B (－1，0)和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，BP ⊥PQ ，则Q 点的横坐标的取值范围是_________参考答案: 1 解析 由题意知A (1，1)，B (m ,m ),C (4,2) 直线AC 所在方程为x －3y +2=0,点B 到该直线的距离为d =10|23|+-m m|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵m ∈(1,4),∴当23=m 时，S △ABC 有最大值，此时m =49答案 B 2 解析 考虑式子的几何意义，转化为求圆x 2+y 2=2上的点与双曲线xy =9上的点的距离的最小值 答案 C 3 解析 设椭圆方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆 x 2－ax +y 2=0,两式联立消y 得222a b a -x 2－ax +b 2=0 即e 2x 2－ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=2e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜2e a －a ＜a 22⇒＜e ＜1 答案 22＜e ＜1 4 解析 由题意可设抛物线方程为x 2=－ay ,当x =2a 时，y =－4a ；当x =0 8时，y =－a 64.0 由题意知aa 64.04-≥3,即a 2－12a －2 56≥0 解得a 的最小整数为13 答案 13 5 解析 设P (t ,t 2－1)，Q (s ,s 2－1)∵BP ⊥PQ ,∴ts t s t t ----⋅+-)1()1(11222=－1, 即t 2+(s －1)t －s +1=0∵t ∈R ,∴必须有Δ=(s －1)2+4(s －1)≥0 即s 2+2s －3≥0,解得s ≤－3或s ≥1 答案 (－∞,－3]∪[1,+∞)。
高考数学二轮复习专题十二圆锥曲线的方程与性质共65页文档
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩பைடு நூலகம்。——叔本华
谢谢！
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优化方案高考数学江苏专用理科二轮复习课件：专题五第讲 圆锥曲线的标准方程与几何性质
专题五 解析几何
(3)圆锥曲线第二定义把“曲线上的点 M”、“焦点 F”、“相 应准线 l”和“离心率 e”四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲 线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第 二定义． 2．记住几个常用的公式与结论 (1)椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2＋By2＝1，其中 A、 B 是不等的常数，A>B>0 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆；B>A>0 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；AB<0 时表示双曲线．
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专题五 解析几何
所以 PF1·PF2＝2b2.
因为 S△PF1F2＝12PF1·PF2＝12×2b2＝b2＝9，
所以 b＝3.
(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右
焦 点 的 距 离 为 4a ＝ 2(|AF| ＋ |BF|) ＝ 8 ， 所 以 a ＝ 2. 又 d ＝
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专题五 解析几何ห้องสมุดไป่ตู้
解析：(1)由题意知直线 l 的方程为xa＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线
l
的距离
d1＝
ba－1 ， a2＋b2
同理得，点(－1,0)到直线
l
的距离
d2＝
ba＋1 ， a2＋b2
s＝
d1＋
d2＝
a22a＋b b2＝2acb.由 s≥45c，得2acb≥45c，即 5a c2－a2≥2c2.
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专题五 解析几何
解析：(1)因为 x2＋y2－2x－15＝0，所以(x－1)2＋y2＝16，所以 r ＝4，即 2a＝4，a＝2.
又c＝ a
圆锥曲线的方程与性质-2023届高三数学二轮复习课件
x0
，
－
y0)
，
所
以
→ MF1
＋
→ MF2
＝
(
－
2x0
，
－
2y0)
，
|
→ MF1
＋
→ MF2
|
＝
4×251－1y620 ＋4y20＝
100－94y20.因为点 M 在椭圆上，所以 0≤y20≤16，所以当 y20＝16 时，|M→F1＋M→F2|取最
小值为 8.
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专题六 解析几何
(2) (多选)已知抛物线 x2＝12y 的焦点为 F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则 下列结论正确的是( BCD )
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目标 3 离心率
专题六 解析几何
(1) (2021·福州三模)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别
为 l1 与 l2，若点 A，B 为 l1 上关于原点对称的不同两点，点 M 为 l2 上一点，且 kAM·kBM
＝ a3b，则双曲线 C 的离心率为____2____． 【解析】不妨设直线 l1 的方程为 y＝bax，则直线 l2 的方程为 y＝－bax.设点 Ax1，bax1，
以aby22y2 2＝23，所以ba22＝23，所以a2－a2 c2＝23，所以
63的直线上．若△PF1F2
为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，
则椭圆 C 的离心率为____4____．
【解析】 由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，设 F1F2＝2c，因为△PF1F2 为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以 PF2＝F1F2＝2c.因为 OF2＝c，所以点 P 的坐标
高考数学大二轮复习 6.2 椭圆、双曲线、抛物线学案 理-人教版高三全册数学学案
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线考点1 圆锥曲线的定义及标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[例1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 (2)[2019·全国卷Ⅲ]设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．【解析】 (1)由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.(2)本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．【答案】 (1)B (2)(3，15)求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法． (2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1来说，抓住a 、b 、c 间的关系是关键.『对接训练』1．[2019·江西九江模拟]点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析：当a >0时，可得y ＝112x 2；当a <0时，可得y ＝－136x 2.答案：D2．[2019·吉林长春模拟]双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为( )A.y 24－x 25＝1B.y 25－x 24＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：由题意，可得c ＝3.又由e ＝c a ＝32，得a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选C. 答案：C考点2 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[例2] (1)[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．【解析】 (1)本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2＝2p ，解得p ＝8，故选D.(2)本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．通解 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF 1O ＝ab ，tan∠BOF 2＝b a .因为tan∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a ＝2×a b 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt△F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c,0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 【答案】 (1)D (2)2圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.『对接训练』3．[2019·河北衡水中学一模]椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，得5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c 2＝k －5，由c a ＝45，得k －54＋k ＝1625，得k ＝21.综上可知，选C.答案：C4．[2019·全国卷Ⅲ]双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B.322C ．2 2D ．3 2解析：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 答案：A考点3 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．[例3] [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【解析】 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32， 由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.『对接训练』5．[2019·湖北武汉调研]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k2. 又点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k21＋2k 2， 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，得k ＝±1. 所以当△AMN 的面积为103时，k ＝±1.课时作业15 椭圆、双曲线、抛物线1．[2019·江西南昌一模]已知抛物线方程为x 2＝－2y ，则其准线方程为( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝1 C ．y ＝12 D ．y ＝－12解析：由题意得，抛物线的准线方程为y ＝12，故选C.答案：C2．[2019·河南南阳期末]若双曲线y 2a 2－x 29＝1(a >0)的一条渐近线与直线y ＝13x 垂直，则此双曲线的实轴长为( )A ．2B ．4C ．18D ．36解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±a 3x ，由题意可得－a 3×13＝－1，得a ＝9，∴2a ＝18.故选C.答案：C3．[2019·安徽合肥二检]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段F 1A 为直径的圆交线段F 1B 的延长线于点P ，若F 2B ∥AP ，则该椭圆的离心率是( )A.33 B.23 C.32 D.22解析：如图，由题意知，P 为以F 1A 为直径的圆上一点，所以F 1P ⊥AP ，结合F 2B ∥AP 知F 1P ⊥F 2B .又|F 1B |＝|F 2B |，所以△BF 1F 2为等腰直角三角形，所以|OB |＝|OF 2|，即b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，即a ＝2c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝22，故选D.答案：D4．[2019·湖北六校联考]已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1 解析：依题意得2b ＝22，tan60°＝2c b 2a＝3，于是b ＝2，2c ＝3×2a，∴ac ＝3，a a 2＋2＝3，得a ＝1，因此该双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1，故选D.答案：D5．[2019·湖南四校联考]已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k PA ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k PA ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a2＝2，故选C. 答案：C6．[2019·湖南长沙一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，a (a >0)在C上，|AF |＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB |＝( )A ．12B ．10C ．9D ．4.5解析：由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，A (1，a )(a ＞0)，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1,22)．又焦点F (2,0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C.答案：C7．[2019·湖南长沙模拟]已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0解析：由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选A.答案：A8．[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D. 答案：D9．[2019·云南昆明诊断]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3解析：如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，|BF 1|＝|BF 2|＝a ，所以|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A. 答案：A10．[2019·广东仲元中学模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( )A.13B.23C.12D ．1 解析：由c a ＝32，得c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，把A ，B 的坐标代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝4b 2，①x 22＋4y 22＝4b 2，②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－－44×2＝12. ∴直线l 的斜率为12.故选C.答案：C11．[2019·河北衡水中学五调]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x解析：如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，∵F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，∴|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，∴|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理，得b ＝2a ，∴ba＝2， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A12．[2019·重庆七校联考]已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22＝( )A ．4B ．2 3C ．2D ．3解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，不妨设焦点在x 轴上且点P 与点F 2在y 轴同一侧，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，所以在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos∠F 1PF 2，即4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，两边同除以c 2，得3e 21＋1e 22＝4.故选A.答案：A13．[2019·吉林长春质检]若椭圆C 的方程为x 23＋y 24＝1，则其离心率为________．解析：解法一 由已知可得a ＝2，c ＝1，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.解法二 由已知得椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a2＝1－34＝12. 答案：1214．[2019·河南郑州一中摸底测试]从抛物线y ＝14x 2上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5.设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析：由题意，得x 2＝4y ，则抛物线的准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，则由抛物线的定义知|PM |＝y 0＋1，所以y 0＝4，所以|x 0|＝4，所以S △MPF ＝12×|PM |×|x 0|＝12×5×4＝10.答案：1015．[2019·河南安阳二模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________． 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1， ∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线C 1的焦点F 的坐标为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1.设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值．易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.答案：216．[2019·辽宁五校协作体联考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C 虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且|AF 1||BF 1||BF 2|＝341，则双曲线C 的离心率为________．解析：由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，因为|BF 1||BF 2|＝41，所以|BF 1|＝4|BF 2|，所以3|BF 2|＝2a .又|AF 1|＝|AF 2|，|AF 1||BF 2|＝31，所以|AF 2|＝3|BF 2|，所以|AF 2|＝2a .不妨设A (0，b )，因为F 2(c,0)，所以|AF 2|＝b 2＋c 2，所以2a ＝b 2＋c 2，又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝2c 2，所以c 2a 2＝52，所以e ＝c a ＝102，即双曲线C 的离心率为102.答案：102。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解41---圆锥曲线的方程与性质
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第41讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p 的值．例1(1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋2，则该椭圆方程为()A.x 24＋y 22＝1B.x 28＋y 23＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案 D解析 设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段F 1A 为直径的圆上，所以AP ⊥PF 1.又因为F 2B ∥AP ，所以F 2B ⊥BF 1.又因为|F 2B |＝|BF 1|，所以△F 1F 2B 是等腰直角三角形，于是△F 1AP 也是等腰直角三角形，因为|AP |＝2＋2，所以|F 1A |＝2(2＋2)，得a ＋c ＝2(2＋2)，又b ＝c ，所以a ＝2c ，解得a ＝22，c ＝2，得b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1. (2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 右支上的一点(不是顶点)，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |＝________. 答案 4解析 延长F 2M 交PF 1于点Q ，由于PM 是∠F 1PF 2的角平分线，F 2M ⊥PM ，所以△QPF 2是等腰三角形，所以|PQ |＝|PF 2|，且M 是QF 2的中点．根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即|QF 1|＝2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△QF 1F 2的中位线，所以|MO |＝12|QF 1|＝a ＝4. 易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1 答案 D解析 设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)， ∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，m ＝2；当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1. (2)已知A ，B 是抛物线y 2＝8x 上两点，当线段AB 的中点到y 轴的距离为3时，|AB |的最大值为( )A ．5B ．5 2C ．10D ．10 2答案 C解析 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，线段AB 的中点为M .如图，分别过点A ，B ，M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，连接AF ，BF .因为线段AB 的中点到y 轴的距离为3，抛物线y 2＝8x 的准线l ：x ＝－2，所以|MN |＝5.因为|AB |≤|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝10，当且仅当A ，B ，F 三点共线时取等号，所以|AB |max ＝10.考点二 椭圆、双曲线的几何性质 核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向1 椭圆、双曲线的几何性质例2(2022·河南五市联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF 2的中点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±233x D ．y ＝±2x答案 B解析 由题意知，渐近线方程为y ＝±b ax ， 焦点F 2(c ，0)，c 2＝a 2＋b 2，因为以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r 等于圆心到切线的距离，即r ＝⎪⎪⎪⎪±b a ·c 1＋⎝⎛⎭⎫±b a 2＝b ， 又该圆过线段OF 2的中点，故c 2＝r ＝b ， 所以b a ＝b 2a 2＝b 2c 2－b2＝33. 所以渐近线方程为y ＝±33x . 考向2 离心率问题例3(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2＝35，则C 的离心率为( ) A.52B.32 C.132 D.172 答案 AC解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 当两个交点M ，N 在双曲线两支上时，如图1所示，图1设过F 1的直线与圆D 相切于点P ，连接OP ，由题意知|OP |＝a ，又|OF 1|＝c ，所以|F 1P |＝b .过点F 2作F 2Q ⊥F 1N ，交F 1N 于点Q .由中位线的性质，可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35， 所以sin ∠F 1NF 2＝45， 故|NF 2|＝52a ，|QN |＝32a ， 所以|NF 1|＝|F 1Q |＋|QN |＝2b ＋32a . 由双曲线的定义可知|NF 1|－|NF 2|＝2a ，所以2b ＋32a －52a ＝2a ，所以2b ＝3a . 两边平方得4b 2＝9a 2，即4(c 2－a 2)＝9a 2，整理得4c 2＝13a 2，所以c 2a 2＝134， 故c a ＝132，即e ＝132. 当两个交点M ，N 都在双曲线上的左支上时，如图2所示，图2同理可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35， 所以sin ∠F 1NF 2＝45， 可得|NF 2|＝52a ，|NQ |＝32a ， 所以|NF 1|＝|NQ |－|QF 1|＝32a －2b ， 所以|NF 2|＝|NF 1|＋2a ＝72a －2b ， 又|NF 2|＝52a ，所以72a －2b ＝52a ， 即a ＝2b ，故e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选AC.规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或a b的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( ) A.32 B.22 C.12 D.13答案 A解析 设P (m ，n )(n ≠0)，则Q (－m ，n )，易知A (－a ，0)，所以k AP ·k AQ ＝n m ＋a ·n －m ＋a ＝n 2a 2－m 2＝14.(*) 因为点P 在椭圆C 上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14， 所以e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.故选A. (2)(多选)(2022·衡水中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|，则( )A ．∠AF 1B ＝∠F 1ABB ．双曲线的离心率e ＝333C ．双曲线的渐近线方程为y ＝±63x D ．原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上答案 AB解析 设|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|＝2m ，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝3m ，由双曲线的定义知，|AF 1|－|AF 2|＝2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－2m ＝2a ，∴|BF 1|＝3m ＝|AB |，∠AF 1B ＝∠F 1AB ，故选项A 正确；由余弦定理知，在△ABF 1中，cos ∠AF 1B ＝|AF 1|2＋|BF 1|2－|AB |22|AF 1|·|BF 1|＝4m 2＋9m 2－9m 22·2m ·3m ＝13， 在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AB ＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22·|AF 1|·|AF 2|＝4m 2＋m 2－4c 22·2m ·m ＝cos ∠AF 1B ＝13， 化简整理得12c 2＝11m 2＝44a 2，∴离心率e ＝c a ＝4412＝333，故选项B 正确； 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±c 2－a 2a 2x ＝±e 2－1x ＝±263x ， 故选项C 错误；若原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上，则c ＝m ＝2a ，与c a ＝333相矛盾，故选项D 错误． 考点三 抛物线的几何性质核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)当AB ⊥x 轴时，弦AB 的长最短为2p .例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0,2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( )A.18 B ．2 C.14D ．4 答案 B解析 设点M 到抛物线的准线的距离为|MM ′|，抛物线的准线与x 轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM ′|＝|FM |.因为|FM ||MN |＝55， 所以|MM ′||MN |＝55， 即cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝55， 所以cos ∠OF A ＝cos ∠NMM ′＝55， 而cos ∠OF A ＝|OF ||AF |＝p 2⎝⎛⎭⎫p 22＋22＝55，解得p ＝2. (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M (p ，0)．若|AF |＝|AM |，则( )A ．直线AB 的斜率为2 6B ．|OB |＝|OF |C ．|AB |>4|OF |D ．∠OAM ＋∠OBM <180°答案 ACD解析 对于A ，由题意，得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 因为|AF |＝|AM |，且M (p ，0)， 所以x A ＝x F ＋x M 2＝34p ，将其代入抛物线方程y 2＝2px ，得y A ＝62p ， 所以A ⎝⎛⎭⎫34p ，62p ，所以直线AB 的斜率k AB ＝k AF ＝62p －034p －p 2＝26，故A 正确；对于B ，由选项A 的分析，知直线AB 的方程为y ＝26⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ，得12x 2－13px ＋3p 2＝0，解得x ＝34p 或x ＝13p ，所以x B ＝13p ，所以y B ＝－63p ，所以|OB |＝x 2B ＋y 2B ＝73p ≠|OF |，故B不正确；对于C ，由抛物线的定义及选项A ，B 的分析， 得|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝1312p ＋p ＝2512p >2p ，即|AB |>4|OF |，故C 正确； 对于D ，易知|OA |＝334p ，|AM |＝54p ， |OB |＝73p ，|BM |＝103p ， 则cos ∠OAM ＝|OA |2＋|AM |2－|OM |22|OA |·|AM |＝3316p 2＋2516p 2－p 22×334p ·54p＝21533>0，cos ∠OBM ＝|OB |2＋|BM |2－|OM |22|OB |·|BM |＝79p 2＋109p 2－p 22×73p ·103p＝470>0，所以∠OAM <90°，∠OBM <90°，所以∠OAM ＋∠OBM <180°，故D 正确．综上所述，选ACD.规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p 的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________． 答案 x ＝－32解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ， 所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C .若AB →＝2BF →，则线段BC 的中点到准线的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 由抛物线的方程可得焦点F (1,0)，渐近线的方程为x ＝－1，由AB →＝2BF →，可得|AB ||BF |＝2，由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE 垂直准线于点E ， 准线交x 轴于点N ，则|BF |＝|BE | ，故|AB ||BF |＝|AB ||BE |＝2，故∠ABE ＝π4 ， 而BE ∥x 轴，故∠AFN ＝π4，所以直线AB 的倾斜角为π4，所以直线AB 的方程为y ＝x －1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，整理可得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，所以BC 的中点的横坐标为3， 则线段BC 的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.专题强化练一、单项选择题1．(2022·中山模拟)抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝12x D ．y 2＝16x 答案 B解析 因抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则p >0，抛物线准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义得1－⎝⎛⎭⎫－p2＝3，解得p ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±24x B ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 A解析 因为双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，所以由m ＋1＝32，得m ＝8， 所以双曲线方程为x 28－y 2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±24x .3．(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．3 2 答案 B解析 方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝22，故选B. 方法二 由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2， 所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4， 所以AF 的长为通径长的一半， 所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.故选B.4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，F 到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )A.53B.54C.43D.45 答案 B解析 点F (0，c )到渐近线y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0的距离d ＝|±bc |a 2＋b 2＝b ＝12， 又由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝36，a 2＋122＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，c ＝20，所以e ＝c a ＝2016＝54.5．(2022·福州质检)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且满足AF 1⊥AB ，|AF 1||AB |＝43，则该椭圆的离心率是( )A.23B.53C.33D.63 答案 B解析 如图所示，设|AF 1|＝4x ，则|AB |＝3x ，因为AF 1⊥AB ，则|BF 1|＝|AB |2＋|AF 1|2＝5x ， 由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝4a ＝12x ，则x ＝a 3，所以|AF 1|＝4x ＝4a 3， 则|AF 2|＝2a －4a 3＝2a3，由勾股定理可得|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 则⎝⎛⎭⎫4a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 32＝4c 2，则c ＝53a ， 因此该椭圆的离心率为e ＝c a ＝53.6.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，则d 21＋d 22的最大值是( )A ．4B ．5 C.163 D.253答案 C解析 易知椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设P (x 0，y 0)， 因为l 1⊥l 2，则d 21＋d 22＝|PM |2＝x 20＋(y 0－1)2，因为x 204＋y 20＝1，所以d 21＋d 22＝4－4y 20＋(y 0－1)2＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋132＋163， 因为－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－13，即点P ⎝⎛⎭⎫±423，－13时，d 21＋d 22取得最大值163. 二、多项选择题7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F (0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则( )A ．椭圆的长轴长为4 2B ．|AB |的取值范围是[4,2＋22]C ．△ABF 面积的最小值是4D ．△AFG 的周长为4＋4 2 答案 ABD解析 由题意知，椭圆中的几何量b ＝c ＝2， 得a ＝22，则2a ＝42，A 正确； |AB |＝|OB |＋|OA |＝2＋|OA |， 由椭圆性质可知2≤|OA |≤22， 所以4≤|AB |≤2＋22，B 正确； 记∠AOF ＝θ， 则S △ABF ＝S △AOF ＋S △OBF＝12|OA |·|OF |sin θ＋12|OB |·|OF |sin(π－θ) ＝|OA |sin θ＋2sin θ ＝(|OA |＋2)sin θ， 取θ＝π6，则S △ABF ＝1＋12|OA |≤1＋12×22<4，C 错误；由椭圆定义知|AF |＋|AG |＝2a ＝42， 所以△AFG 的周长L ＝|FG |＋42＝4＋42， D 正确．8．(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A ．||P A 1|－|P A 2||＝2aB ．若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5 C ．若双曲线C 为等轴双曲线，则直线P A 1的斜率与直线P A 2的斜率之积为1D ．若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，则∠P A 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ，在△P A 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 可知||P A 1|－|P A 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，设F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎨⎧n m －c ×ba ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n2＝0，得⎩⎨⎧m ＝a 2－b 2c，n ＝2abc ，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意知该点在双曲线上，故(a 2－b 2)2a 2c 2－(2ab )2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2 代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，得e ＝5，故B 正确；对于C ，双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2， 则x 20－a 2＝y 20，故12·PA PA k k ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确； 对于D ，双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2， 设∠P A 1A 2＝θ，∠A 1P A 2＝3θ， 则∠P A 2x ＝4θ，根据C 的结论12·PA PA k k ＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1， ∴sin θcos θ·sin 4θcos 4θ＝1， ∴cos 5θ＝0， ∵θ＋3θ∈(0，π)， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴5θ＝π2，∴∠P A 1A 2＝θ＝π10.三、填空题9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为13.答案x 29＋y 28＝1(答案不唯一)解析 只要椭圆方程形如x 29m ＋y 28m ＝1(m >0)或y 29m ＋x 28m＝1(m >0)即可．10．(2022·淄博模拟)已知P 1，P 2，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，且F (0,1)．若FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝0，则|FP 1--→|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝________.答案 16解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，…，P 8(x 8，y 8),P 1，P 2，P 3，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，点F (0,1)，准线为y ＝－1，则FP i --→＝(x i ，y i －1)(i ＝1,2，…，8)，所以FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝(x 1＋x 2＋…＋x 8，(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1))＝0，所以(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1)＝0，即y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8＝8，∴|FP --→1|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋…＋(y 8＋1)＝y 1＋y 2＋…＋y 8＋8＝16.11．(2022·济南模拟)已知椭圆C 1：x 236＋y 2b 2＝1(b >0)的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，若P 是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为________．答案57解析 依题意，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线l 过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ，则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝cos ∠F 1PQ ＝|PQ ||PF 1|＝57. 12．(2022·福州质检)已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，A 为C 的右顶点，过F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，且与y 轴交于点P .若直线AM 经过OP 的中点，则C 的离心率是________．答案 2解析 由题意可知，F (－c ，0)，A (a ，0)，渐近线不妨设为y ＝－b ax ， 则k FM ＝a b， 直线FM 的方程为y ＝a b(x ＋c )， 令x ＝0，可得y ＝ac b， 则P ⎝⎛⎭⎫0，ac b ， 则OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，ac 2b ， 联立⎩⎨⎧ y ＝－b a x ，y ＝a b (x ＋c )，解得M ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ， 因为直线AM 经过OP 的中点，所以ac 2b －00－a ＝ab c －0－a 2c－a ，则2b 2＝ac ＋c 2,2(c 2－a 2)＝ac ＋c 2， 即c 2－ac －2a 2＝0，则e 2－e －2＝0，解得e ＝－1 (舍)或e ＝2.四、解答题13．(2022·衡水中学模拟)双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，求l 的斜率．解 (1)设A (x A ，y A )．由题意知，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为△F 1AB 是等边三角形， 所以2c ＝3|y A |，即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2⎝⎛⎭⎫b 2＝－23舍去. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .(2)由已知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k (x －2)，得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )． 由(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0， 知F 1M ⊥AB ，故1· 1.F M k k ＝－而x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，1F M k ＝3k 2k 2－3， 所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35， 故l 的斜率为±155.。
高考数学二轮复习第2讲 圆锥曲线的方程与性质
第2讲 圆锥曲线的方程与性质一、 单项选择题 1.(2020·重庆调研)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，那么双曲线C 的方程为( )A. x28－y210＝1 B. x24－y25＝1C. x25－y24＝1 D. x24－y23＝1 2.(2020·惠州调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 交于点M ，若2FM→＝MN →，则|FN →|等于( )A. 58B. 12C. 38D. 13. (2020·三明一模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A. x24－y212＝1 B.x212－y24＝1 C. x23－y29＝1 D. x29－y23＝1 4. (2020·淮北二模)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为( )A. 35B. 57 C. 45D. 67二、 多项选择题 5.若F 为拋物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法中正确的是( )A. 抛物线的焦点到准线的距离为3B. A ，B 两点之间的距离为12C. 原点O 到直线AB 的距离为38D. △OAB 的面积为946. 已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x2a2＋y23＝1(a >0)的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过点F 的直线l 与圆M 相切，则( )A. m ＝－1B. m ＝13C. c ＝－1D. a ＝2 7.已知椭圆C ：x24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，那么以下说法中正确的是( )A. 若过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为8B. 椭圆C 上存在一点P ，使得PF1→·PF2→＝0C. 椭圆C 的离心率为12D. 若P 为椭圆x24＋y 2＝1上的一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上的一点，则点P ，Q 的最大距离为3三、 填空题 8.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3,1)，则该双曲线的离心率为________．9.(2020·广州质检)若抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于另一点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是________．10.已知点P (0,1)，椭圆x24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP→＝2PB→，那么当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大为________． 四、 解答题 11.如图，已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被抛物线E 截得的线段长为8.(1) 求抛物线E 的方程；(2) 已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求FA ·FB 的取值范围．(第11题)12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于另一点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1) 若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．(第12题)。
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.