分式方程应用题ppt课件
解:设原计划每天生产x吨纯净水，则实际上每天生产1.5x吨
由题意可得: 1800 3 1800
x
1.5x
19
例3:某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水 排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造 成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天 完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．
解:设原计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设（1+20%）x米
120 300 120 30 x (1 20%)x 解得: x 9
经检验x 9是原方程的解
答:原计划每天铺设管道9米 21
同步练习
3.根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建
一条长300米的盲道.铺设了60米后，由于采用新的
11
试一试
1、 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时 比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑 60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少 千米？
解：设甲每小时骑x千米，则乙每小时骑（x－6）
千米。依题意得： 90 60
解得 x=18 x
x 6
经检验x=18是所列方程的根。
X-6=12（千米）
问乙队单独完成这项工程需要多少天？
解:设乙队单独完成这项工程需要x天
1 20+( 1 + 1 ) 24=1
60
60 x
解得:x 90
经检验:x 90是原方程的解
施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加
10米，结果共用了8天完成任务，问该工程队改进技
术后每天铺设盲道多少米？
列出方程即可
解:设该工程队改进技术后每天铺设盲道x米， 则之前每天铺设（ x -10）米
60 300 60 8 x 10 x
22
同步练习
4.某工程队承接了3000米的修路任务，在修好
x+3 原计划
由题意可得:
1800 1.51800 1x8003
实际上
x3
x
18x00
x
1800 1800
18
同步练习
2.某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯 净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍， 结果比原计划提前3天完成了生产任务．
2.求原计划每天生产多少吨纯净水？
分式方程的应用
宜宾市高县胜天中学
李诗富
1
教学目标：
1、了解用分式方程的数学模型反映现 实情境中的实际问题.
2、能用分式方程来解决现实情境中的 问题
重点：理解“实际问题”——分式方程模 型的过程。
难点：实际问题中的等量关系的建立。
关键：分析实际问题中的量与量之间的关
系，正确列出分式方程。
2
回顾与思考
蚂蚁
x
15
15
x
乌龟
1.5x
15
15
等量关系：蚂蚁所用时间-乌龟所用时间=1 1.5x
列出方程：15 15 1 x 1.5x
6
例1
八年级二班学生去距学校10千米世界博物馆参观， 一部分同学骑自行车先走，过了20分后其余同学乘汽 车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车速
度的2倍。求骑车同学的速度？
15 15 2
–
=
x 3x 3
解得
x = 15
经检验, 15是原方程的根
由
x = 15
得
3x=45
答:自行车的速度为15 千米/时，汽车的速度为45 千米/时．
10
这道题可以通过列方程组来解决吗?
设：自行车的速度为x千米/小时，汽车的速度为y千米/小时
这道题能列成整式方程(组)吗
例1 利华中学初二年级的学生到距学校15千米的风景区秋 游,一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发， 结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车 的速度．
3
列方程解应用题的基本步骤是：
(1)审——审清题意． (2)设——设未知数． (3)列——根据等量关系列出方程(组)． (4)解——解出方程(组)． (5)答——写出答案．
4
行程问题
动物趣闻
自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它
就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂
蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书.
什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程叫分式方程 什么叫增根？ 使原分式方程的分母为零的根是原分式方
程的增根 产生增根的原因是什么？ 去分母时，在分式方程的两边同时乘以了
一个可能使分式方程的分母为零的整式
列方程解应用题的一般步骤分哪几步？
审题 找等量关系 设未知数 列方程 解方程 检验 答题
乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始
跑到相距15米的大柳树下，比赛枪声响后，先到是冠军. 蚂蚁
比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知 乌龟的速度是蚂蚁的1.5倍，提前1分钟跑 到终点，请你算算它们各自的速度.
5
分析：设 蚂蚁 的速度为x米/分.
速 度（米／分） 路 程（米） 时 间（分）
a 3则实际a上（a5-5）天完成了任务 17
同步练习
1.某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯 净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍， 结果比原计划提前3天完成了生产任务．
1.求实际上多少天完成生产任务？
解:设实际上x天完工成作生时产间任务，工则作原效计率划需要工(作x+总3)天量
14
例1:解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务，部队 官兵到达灾区后，目睹灾情，心急如焚。他们增派机械车辆， 争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务。
求原计划每天打多少口井？
工作时间 工作效率 工作总量
原计划
30
x
x 30
实际上
30
x3
x+3
30
若设原计划每天打x口井
则实际上每天打（x+3）口井
例2:解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务，部队 官兵到达灾区后，目睹灾情，心急如焚。他们增派机械车辆， 争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务。
求原计划每天打多少口井？
工作时间 工作效率 工作总量
原计划 a
30
30
a
实际上 a-5
30
30
a5
如果设原计划a天完成3任0务
30
每天完成整个工程的 1 ，即甲队的工效为 1
a
a
乙工程队单独完成需要b天，则两队合作多少天可以完成?
乙队的工效为 1 ，两队合作的工效之和为 (1 1)
b
ab
时间= 1 1 ab
1 1 ba ab a b ab
25
例4.工作总量看成单位 1 的类型
3. 一项工程，甲工程队单独完成需要a天， 问甲队工作3天后，完成多少工作量?
第1阶段 第2阶段
工作时间
甲单独工作 4天
甲乙合作 (20-4-10)=6天
工作效率
1
20
1 1 x 20
对应的工作量
1 4 20 11 ( )6 x 20 28
例4.工作总量看成单位 1 的类型
玉树地震后，有一段公路急需抢修．此项工程原计划由甲 工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加 快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原 计划提前10天，为抗震救灾赢得了宝贵时间．
解:设原计划每天铺设管道x米， 则实际上每天铺设（ 1+10%）x米
550 5 550
x
(1 10%) x
24
例4.工作总量看成单位 1 的类型
预备知识
1.一项工程，甲工程队单独完成需要10天，则每天完成多少?
每天完成整个工程的 1 ，即甲队的工效为 1
10Leabharlann 102.一项工程，甲工程队单独完成需要a天，则每天完成多少?
求乙工程队独立完成这项工程需要多少天．
解:设乙工程队独立完成这项工程需要x天
1 4+( 1 + 1 ) (20 4 10)=1 20 20 x 解得:x 12
经检验:x 12是原方程的解
答:乙工程队独立完成这项工程需要12天
29
同步练习
6.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙 两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程 需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、 乙合做24天可完成．
6. 一项工程，甲工程队单独完成需要a天， 乙工程队单独完成需要b天.
现在先让甲队单独工作3天，
1 3
再由乙队单独工作5天， 1 5 a
b
最后让两个队一起合作8天。 ( 1 1 ) 8
ab
若刚他好们完成了这整项个工程，的可一得半方，程则:可得方程:
1
3
1 5 (1
1)8
1 1
600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，
一共用30天完成了任务。 求引进新设备前平均每天
修路多少米？
列出方程即可
解:设改进新设备前每天修路x米， 则之后每天修路2x 米
600 3000 60 30
x
2x
23
同步练习
5.某市为了治理污水，需要铺设一条全长550米 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所 造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增 加10％，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺 设多少米管道？
工作时间 工作效率 工作总量
前阶段 120
x
x 120
后阶段
由题意可得: 1800 3 1800
x
1.5x
19
例3:某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水 排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造 成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天 完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．
解:设原计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设（1+20%）x米
120 300 120 30 x (1 20%)x 解得: x 9
经检验x 9是原方程的解
答:原计划每天铺设管道9米 21
同步练习
3.根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建
一条长300米的盲道.铺设了60米后，由于采用新的
11
试一试
1、 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时 比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑 60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少 千米？
解：设甲每小时骑x千米，则乙每小时骑（x－6）
千米。依题意得： 90 60
解得 x=18 x
x 6
经检验x=18是所列方程的根。
X-6=12（千米）
问乙队单独完成这项工程需要多少天？
解:设乙队单独完成这项工程需要x天
1 20+( 1 + 1 ) 24=1
60
60 x
解得:x 90
经检验:x 90是原方程的解
施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加
10米，结果共用了8天完成任务，问该工程队改进技
术后每天铺设盲道多少米？
列出方程即可
解:设该工程队改进技术后每天铺设盲道x米， 则之前每天铺设（ x -10）米
60 300 60 8 x 10 x
22
同步练习
4.某工程队承接了3000米的修路任务，在修好
x+3 原计划
由题意可得:
1800 1.51800 1x8003
实际上
x3
x
18x00
x
1800 1800
18
同步练习
2.某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯 净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍， 结果比原计划提前3天完成了生产任务．
2.求原计划每天生产多少吨纯净水？
分式方程的应用
宜宾市高县胜天中学
李诗富
1
教学目标：
1、了解用分式方程的数学模型反映现 实情境中的实际问题.
2、能用分式方程来解决现实情境中的 问题
重点：理解“实际问题”——分式方程模 型的过程。
难点：实际问题中的等量关系的建立。
关键：分析实际问题中的量与量之间的关
系，正确列出分式方程。
2
回顾与思考
蚂蚁
x
15
15
x
乌龟
1.5x
15
15
等量关系：蚂蚁所用时间-乌龟所用时间=1 1.5x
列出方程：15 15 1 x 1.5x
6
例1
八年级二班学生去距学校10千米世界博物馆参观， 一部分同学骑自行车先走，过了20分后其余同学乘汽 车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车速
度的2倍。求骑车同学的速度？
15 15 2
–
=
x 3x 3
解得
x = 15
经检验, 15是原方程的根
由
x = 15
得
3x=45
答:自行车的速度为15 千米/时，汽车的速度为45 千米/时．
10
这道题可以通过列方程组来解决吗?
设：自行车的速度为x千米/小时，汽车的速度为y千米/小时
这道题能列成整式方程(组)吗
例1 利华中学初二年级的学生到距学校15千米的风景区秋 游,一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发， 结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车 的速度．
3
列方程解应用题的基本步骤是：
(1)审——审清题意． (2)设——设未知数． (3)列——根据等量关系列出方程(组)． (4)解——解出方程(组)． (5)答——写出答案．
4
行程问题
动物趣闻
自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它
就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂
蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书.
什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程叫分式方程 什么叫增根？ 使原分式方程的分母为零的根是原分式方
程的增根 产生增根的原因是什么？ 去分母时，在分式方程的两边同时乘以了
一个可能使分式方程的分母为零的整式
列方程解应用题的一般步骤分哪几步？
审题 找等量关系 设未知数 列方程 解方程 检验 答题
乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始
跑到相距15米的大柳树下，比赛枪声响后，先到是冠军. 蚂蚁
比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知 乌龟的速度是蚂蚁的1.5倍，提前1分钟跑 到终点，请你算算它们各自的速度.
5
分析：设 蚂蚁 的速度为x米/分.
速 度（米／分） 路 程（米） 时 间（分）
a 3则实际a上（a5-5）天完成了任务 17
同步练习
1.某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯 净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍， 结果比原计划提前3天完成了生产任务．
1.求实际上多少天完成生产任务？
解:设实际上x天完工成作生时产间任务，工则作原效计率划需要工(作x+总3)天量
14
例1:解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务，部队 官兵到达灾区后，目睹灾情，心急如焚。他们增派机械车辆， 争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务。
求原计划每天打多少口井？
工作时间 工作效率 工作总量
原计划
30
x
x 30
实际上
30
x3
x+3
30
若设原计划每天打x口井
则实际上每天打（x+3）口井
例2:解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务，部队 官兵到达灾区后，目睹灾情，心急如焚。他们增派机械车辆， 争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务。
求原计划每天打多少口井？
工作时间 工作效率 工作总量
原计划 a
30
30
a
实际上 a-5
30
30
a5
如果设原计划a天完成3任0务
30
每天完成整个工程的 1 ，即甲队的工效为 1
a
a
乙工程队单独完成需要b天，则两队合作多少天可以完成?
乙队的工效为 1 ，两队合作的工效之和为 (1 1)
b
ab
时间= 1 1 ab
1 1 ba ab a b ab
25
例4.工作总量看成单位 1 的类型
3. 一项工程，甲工程队单独完成需要a天， 问甲队工作3天后，完成多少工作量?
第1阶段 第2阶段
工作时间
甲单独工作 4天
甲乙合作 (20-4-10)=6天
工作效率
1
20
1 1 x 20
对应的工作量
1 4 20 11 ( )6 x 20 28
例4.工作总量看成单位 1 的类型
玉树地震后，有一段公路急需抢修．此项工程原计划由甲 工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加 快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原 计划提前10天，为抗震救灾赢得了宝贵时间．
解:设原计划每天铺设管道x米， 则实际上每天铺设（ 1+10%）x米
550 5 550
x
(1 10%) x
24
例4.工作总量看成单位 1 的类型
预备知识
1.一项工程，甲工程队单独完成需要10天，则每天完成多少?
每天完成整个工程的 1 ，即甲队的工效为 1
10Leabharlann 102.一项工程，甲工程队单独完成需要a天，则每天完成多少?
求乙工程队独立完成这项工程需要多少天．
解:设乙工程队独立完成这项工程需要x天
1 4+( 1 + 1 ) (20 4 10)=1 20 20 x 解得:x 12
经检验:x 12是原方程的解
答:乙工程队独立完成这项工程需要12天
29
同步练习
6.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙 两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程 需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、 乙合做24天可完成．
6. 一项工程，甲工程队单独完成需要a天， 乙工程队单独完成需要b天.
现在先让甲队单独工作3天，
1 3
再由乙队单独工作5天， 1 5 a
b
最后让两个队一起合作8天。 ( 1 1 ) 8
ab
若刚他好们完成了这整项个工程，的可一得半方，程则:可得方程:
1
3
1 5 (1
1)8
1 1
600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，
一共用30天完成了任务。 求引进新设备前平均每天
修路多少米？
列出方程即可
解:设改进新设备前每天修路x米， 则之后每天修路2x 米
600 3000 60 30
x
2x
23
同步练习
5.某市为了治理污水，需要铺设一条全长550米 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所 造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增 加10％，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺 设多少米管道？
工作时间 工作效率 工作总量
前阶段 120
x
x 120
后阶段
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第06课时 分式方程及其应用PPT课件
根据题意得:26a+35(200-a)=6280,
(2)若两种芯片共购买了 200 条,且购买的总费用为 6280 元,求购
解得:a=80.
买了多少条 A 型芯片?
答:购买了 80 条 A 型芯片.
+3
例 1 [2017·宁夏] 解方程:
-
4
-3 +3
=1.
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误:
(1)漏乘没有分母的项;
(2)没有验根;
(3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9,
移项、合并同类项,得 2x=-30,
系数化为 1,得 x=-15,
)
B.4
=1 的解为 x=2,则 m
C.3
D.2
-1
=1 的解
为 x=2,∴x=2 满足关于 x 的分式方程
-3
-1
-3
=1,∴
2-1
=1,解得 m=4.故选 B.
高频考向探究
探究三 分式方程的应用
例 3 [2018·岳阳] 为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我
市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然
完成的绿化面积的 2 倍,并且甲工程队完成 300 平方米的绿化
面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时.乙工
程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?
解:设乙工程队每小时能完成 x 平方米的
300 300
绿化面积.根据题意,得
-
2
=3.
解得 x=50.
经检验,x=50 是分式方程的解且符合题意.
《分式方程的应用》PPT课件
售额为10 000元; 若按八五折销售，则每月多卖出
20件，且月销售额还增加1 900元. 每件服装的原
价为多少元？
分析：本题中的主要等量关系为：按八五折销售这种服
装的数量一按原价销售这种服装的数量=20件.
解：设每件服装原价为x元.根据题意，得
10 000 1 900 10 000 20.
85%x
第十二章 分式和分式方程
分式方程的应用
-.
1 课堂讲解 建立分式方程的模型
列分式方程解应用题的步骤 列分式方程解应用题的常见类型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
小红和小丽分别将9 000字和7 500字的两篇文稿 录入计算机，所用时间相同. 已知两人每分钟录入计 算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？
（来自《点拨》）
知3－练
2 【中考·安顺】“母亲节”前夕，某商店根据市场 调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很 快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装 花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花 盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少 5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
（来自《典中点》）
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
(1)利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝
利润 进价
×100%；
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；
(3)行程问题：路程＝速度×时间．
注意：列分式方程解应用题，往往与实数的运算或不等
式联合应用．
易错警示：列分式方程时易出现单位不统一的错误．
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 某服装店销售一种服装.若按原价销售，则每月销
《分式方程》PPT课件
（来自《典中点》）
知识点 3 分式方程的根（解）
知3－导
使得分式方程等号两端相等的未知数的值 叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).
知3－讲
例3 [中考·遵义]若x＝3是分式方程 a 2 1 x x2
＝0的根，则a的值是( A )
A．5 B．－5 C．3
D．－3
导引：把x＝3代入分式方程，得到关于a的一元一次方
C．m＝3
D．m＝0或m＝3
3
若关于x的分式方程
6
( x 1)( x 1)
m
x 1 有增
根，则它的增根是( )
A．0
B．1 C．－1 D．1和－1
（来自《典中点》）
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程. 2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程.
漏乘．
（来自《点拨》）
1 解方程： (1) x 5 4; 2x 3 3 2x
3
x
(2) x2 9 x 3 1.
知2－练
（来自《点拨》）
知2－练
2
【中考·济宁】解分式方程
2 x1
x2 1 x
3
时，去分母后变形正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
38 2 2 1. 9x x
如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽 车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程
38 2 9 2 .
1 x
x
知1－导
讨论： 上面得到的方程与我们已学过的方程有什么 不同？这两个方程有哪些共同特点？
分式方程及其应用ppt
分式方程可以描述化学反应速率与反应物浓度之 间的关系，为化学反应过程优化提供依据。
溶液平衡
分式方程可以描述溶质在溶液中的溶解平衡，为 分离和提纯提供理论指导。
环境化学
分式方程可以描述污染物在环境中的迁移和转化 ，为环境保护和污染治理提供依据。
04
分式方程与因式分解的联系
分式方程转化为整式方程
通过因式分解将分式方程转化为整式方程，可以简化计算， 提高解题效率。
分式方程的分类
简单的分式方程
只包含一个分式的方程，如 y = 5/x。
复杂的分式方程
包含多个分式的方程，如 (x² - 4)/(x² + x - 2) = 3。
分式方程的解法
转化成整式方程
通过数学方法将分式方程转化成整 式方程，然后求解未知数。
观察法
对于简单的分式方程，可以通过观 察分式的规律来求解。
验根的方法
将所求解代入最简公分母中，若最简公分母的值为0，则说明该解为增根，需要舍去；若 最简公分母的值为非0，则说明该解为有效解，保留。
注意分式方程的增根问题
增根的产生原因
分式方程求解时，若去分母后所得整式方程无解，或者求解 后所得的解代入最简公分母中使得最简公分母的值为0，则会 产生增根。
增根的解决方法
代数式的化简
分式可以用于代数式的化简，通过分式化简可以将复杂的 代数式化为简单的形式。
分式的化简方法包括约分、通分、分式的加减法等，可以 根据不同情况选择合适的方法进行化简。
方程组的解法
分式方程可以用于求解方程组，通过将方程组中的各个方程都转化为分式方程， 可以方便地求出方程组的解。
分式方程组的解法包括克莱姆法则、高斯消元法等，可以根据不同情况选择合适 的方法进行求解。
溶液平衡
分式方程可以描述溶质在溶液中的溶解平衡，为 分离和提纯提供理论指导。
环境化学
分式方程可以描述污染物在环境中的迁移和转化 ，为环境保护和污染治理提供依据。
04
分式方程与因式分解的联系
分式方程转化为整式方程
通过因式分解将分式方程转化为整式方程，可以简化计算， 提高解题效率。
分式方程的分类
简单的分式方程
只包含一个分式的方程，如 y = 5/x。
复杂的分式方程
包含多个分式的方程，如 (x² - 4)/(x² + x - 2) = 3。
分式方程的解法
转化成整式方程
通过数学方法将分式方程转化成整 式方程，然后求解未知数。
观察法
对于简单的分式方程，可以通过观 察分式的规律来求解。
验根的方法
将所求解代入最简公分母中，若最简公分母的值为0，则说明该解为增根，需要舍去；若 最简公分母的值为非0，则说明该解为有效解，保留。
注意分式方程的增根问题
增根的产生原因
分式方程求解时，若去分母后所得整式方程无解，或者求解 后所得的解代入最简公分母中使得最简公分母的值为0，则会 产生增根。
增根的解决方法
代数式的化简
分式可以用于代数式的化简，通过分式化简可以将复杂的 代数式化为简单的形式。
分式的化简方法包括约分、通分、分式的加减法等，可以 根据不同情况选择合适的方法进行化简。
方程组的解法
分式方程可以用于求解方程组，通过将方程组中的各个方程都转化为分式方程， 可以方便地求出方程组的解。
分式方程组的解法包括克莱姆法则、高斯消元法等，可以根据不同情况选择合适 的方法进行求解。
人教版 八年级上册 分式方程的应用题 用列表法解行程问题应用题 优质课件
解得：x＝ 10s
s 200
经检验: x 10s 是原方程的解，且x 10s 满足题意。
s 200
s 200
答：小轿车的提速为 10s km/ h. s 200
四诱思启导
3.小轿车平均提速vkm/h,用相同的时 间，小轿车提速前行驶skm，提速后 比提速前多行驶50km,提速前小轿车 车的平均速度为多少km/h？
0
S
S+50
等量关系：面包车的时间=小轿车的时间
路程 速度 时间
提速 前
s
v
提速 后
s+50 x+v
s v
s 50 vx
解：设小轿车提速为x千米/小时， 依题意得 ：
s s 50 v xv 方程两边乘以xx v,得 sx v xx 50
注意两次检验: (1)是否是所列方程的解; (2)是否满足实际意义.
解得：x＝30
经检验，x＝30是原方程的解， 且x=30，符合题意.
答：小轿车提速为30千米/小时，
三合作释疑
2.两车发现跟丢时，面包车行驶了 200公里，小轿车行驶了180公里，小 轿车为了追上面包车，他就马上提速， 他们约定好在s公里的地方碰头，他 们正好同时到达，请问小轿车提速多 少km/h？
小轿车的速度分别为多少km/h？
0
180
200
等量关系：面包车的时间=小轿车的时间
路程 速度 时间
面包 车
200 x+100 x
180 x
解：设小轿车的速度为x千米/小时， 则面包车速度为x+10千米/小时， 依题意得 ：
180 200 x x 10
解得：x＝90
注意两次检验: (1)是否是所列方程的解; (2)是否满足实际意义.
分式方程应用题ppt课件
问乙队单独完成这项工程需要多少天？
解:设乙队单独完成这项工程需要x天
1 20+( 1 + 1 ) 24=1
60
60 x
解得:x 90
经检验:x 90是原方程的解
x+3 原计划
由题意可得:
1800 1.51800 1x8003
实际上
x3
x
18x00
x
1800 1800
18
同步练习
2.某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯 净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍， 结果比原计划提前3天完成了生产任务．
2.求原计划每天生产多少吨纯净水？
分式方程的应用
宜宾市高县胜天中学
李诗富
1
教学目标：
1、了解用分式方程的数学模型反映现 实情境中的实际问题.
2、能用分式方程来解决现实情境中的 问题
重点：理解“实际问题”——分式方程模 型的过程。
难点：实际问题中的等量关系的建立。
关键：分析实际问题中的量与量之间的关
系，正确列出分式方程。
2
回顾与思考
解:设原计划每天铺设管道x米， 则实际上每天铺设（ 1+10%）x米
550 5 550
x
(1 10%) x
24
例4.工作总量看成单位 1 的类型
预备知识
1.一项工程，甲工程队单独完成需要10天，则每天完成多少?
每天完成整个工程的 1 ，即甲队的工效为 1
10
10
2.一项工程，甲工程队单独完成需要a天，则每天完成多少?
分析：设骑车同学速度为v千米/时
（提示：20分= 1 小时） 3
解:设乙队单独完成这项工程需要x天
1 20+( 1 + 1 ) 24=1
60
60 x
解得:x 90
经检验:x 90是原方程的解
x+3 原计划
由题意可得:
1800 1.51800 1x8003
实际上
x3
x
18x00
x
1800 1800
18
同步练习
2.某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯 净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍， 结果比原计划提前3天完成了生产任务．
2.求原计划每天生产多少吨纯净水？
分式方程的应用
宜宾市高县胜天中学
李诗富
1
教学目标：
1、了解用分式方程的数学模型反映现 实情境中的实际问题.
2、能用分式方程来解决现实情境中的 问题
重点：理解“实际问题”——分式方程模 型的过程。
难点：实际问题中的等量关系的建立。
关键：分析实际问题中的量与量之间的关
系，正确列出分式方程。
2
回顾与思考
解:设原计划每天铺设管道x米， 则实际上每天铺设（ 1+10%）x米
550 5 550
x
(1 10%) x
24
例4.工作总量看成单位 1 的类型
预备知识
1.一项工程，甲工程队单独完成需要10天，则每天完成多少?
每天完成整个工程的 1 ，即甲队的工效为 1
10
10
2.一项工程，甲工程队单独完成需要a天，则每天完成多少?
分析：设骑车同学速度为v千米/时
（提示：20分= 1 小时） 3
分式方程应用题之工程问题课件
建立数学方程，根据已知条件和未知数之间的关系，列 出分式方程。
将实际问题转化为数学表达式
01
分析问题中的已知量和未知 量，明确它们之间的关系。
02
将实际问题的语言描述转化 为数学表达式，将文字信息
转化为数学符号和公式。
03
确保数学表达式能够准确反 映实际问题中的数量关系和
逻辑关系。
确定方程中的未知数和已知数
分式方程在工设计中的材料用量计算。例如，在设计一栋大楼时，需要计算不同
楼层所需的建筑材料量，这时可以使用分式方程来描述材料用量与楼层
高度、宽度等参数之间的关系。
02
场景二
施工进度控制。在施工过程中，需要根据工程进度和实际情况调整施工
计划，这时可以使用分式方程来描述施工进度与时间、人力、物力等参
在工程问题中，有时需要计算完成某项工程所需的最短工作时间。通过建立分式方程，可以方便地解 决这类问题。例如，一个工程由若干个工人完成，每个工人每天工作一定时间，我们可以通过分式方 程来计算完成整个工程所需的最短工作时间。
案例四：工作分配问题
总结词
工作分配问题主要考察的是分式方程在 合理分配工作量中的应用。
详细描述
在大型工程项目中，经常涉及到多个团队或个人的协同 工作。通过建立分式方程，可以方便地解决这类问题。 例如，多个团队共同完成一个项目，每个团队承担一定 的工作量，我们可以通过分式方程来协调各个团队的工 作进度，以确保项目按时完成。同时，分式方程还可以 用于解决个人之间的工作合作问题，例如多个工人共同 完成一项任务，每个工人承担一定的工作量，我们可以 通过分式方程来协调各个工人的工作进度，以确保任务 按时完成。
分式方程具有一些特殊的性质，如解的存在性和唯一性、解的连续性 和可微性等，这些性质在解决实际问题时具有重要意义。
将实际问题转化为数学表达式
01
分析问题中的已知量和未知 量，明确它们之间的关系。
02
将实际问题的语言描述转化 为数学表达式，将文字信息
转化为数学符号和公式。
03
确保数学表达式能够准确反 映实际问题中的数量关系和
逻辑关系。
确定方程中的未知数和已知数
分式方程在工设计中的材料用量计算。例如，在设计一栋大楼时，需要计算不同
楼层所需的建筑材料量，这时可以使用分式方程来描述材料用量与楼层
高度、宽度等参数之间的关系。
02
场景二
施工进度控制。在施工过程中，需要根据工程进度和实际情况调整施工
计划，这时可以使用分式方程来描述施工进度与时间、人力、物力等参
在工程问题中，有时需要计算完成某项工程所需的最短工作时间。通过建立分式方程，可以方便地解 决这类问题。例如，一个工程由若干个工人完成，每个工人每天工作一定时间，我们可以通过分式方 程来计算完成整个工程所需的最短工作时间。
案例四：工作分配问题
总结词
工作分配问题主要考察的是分式方程在 合理分配工作量中的应用。
详细描述
在大型工程项目中，经常涉及到多个团队或个人的协同 工作。通过建立分式方程，可以方便地解决这类问题。 例如，多个团队共同完成一个项目，每个团队承担一定 的工作量，我们可以通过分式方程来协调各个团队的工 作进度，以确保项目按时完成。同时，分式方程还可以 用于解决个人之间的工作合作问题，例如多个工人共同 完成一项任务，每个工人承担一定的工作量，我们可以 通过分式方程来协调各个工人的工作进度，以确保任务 按时完成。
分式方程具有一些特殊的性质，如解的存在性和唯一性、解的连续性 和可微性等，这些性质在解决实际问题时具有重要意义。
分式方程ppt课件
0时，分式方程无实根。
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
THANKS
感谢观看
分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
THANKS
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分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
中考数学专项提升复习——分式方程与应用(共58张PPT)
分式方程与应用
01
分式方程的 概念及解法
解分式方程的关键是化分式方程为整式方程;方程 两边同乘以最简公分母.
化为整式方程后，再按照之前学过的方法解答. 注意解分式方程需要检验.
4.解下列分式方程：
⑴1 2 2x x 3
⑶ x 2x 1 x 1 3x 3
⑸ x 1
3
12.A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每 小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
13.一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出 发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这 名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
行程问题 三个基本量的关系：
路程s=速度v×时间t 时间t＝路程s÷速度V 速度V＝路程s÷时间t 三大类型： ① 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 ② 追及问题：快行距－慢行距＝原距 ③ 航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速 顺水的路程 = 逆水的路程
工程问题 三个基本量的关系：
工作总量＝工作时间×工作效率； 工作时间＝工作总量÷工作效率； 工作效率＝工作总量÷工作时间 甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量， 注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
销售问题
商品利润率=
商品利润 商品成本价
100％
商品销售额=商品销售价 商品销售量
A.−3
01
分式方程的 概念及解法
解分式方程的关键是化分式方程为整式方程;方程 两边同乘以最简公分母.
化为整式方程后，再按照之前学过的方法解答. 注意解分式方程需要检验.
4.解下列分式方程：
⑴1 2 2x x 3
⑶ x 2x 1 x 1 3x 3
⑸ x 1
3
12.A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每 小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
13.一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出 发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这 名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
行程问题 三个基本量的关系：
路程s=速度v×时间t 时间t＝路程s÷速度V 速度V＝路程s÷时间t 三大类型： ① 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 ② 追及问题：快行距－慢行距＝原距 ③ 航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速 顺水的路程 = 逆水的路程
工程问题 三个基本量的关系：
工作总量＝工作时间×工作效率； 工作时间＝工作总量÷工作效率； 工作效率＝工作总量÷工作时间 甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量， 注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
销售问题
商品利润率=
商品利润 商品成本价
100％
商品销售额=商品销售价 商品销售量
A.−3