2018年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
（1）我校共有 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 的有 人，语文成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，语文特别优秀的同学有 ＝ 人，数学成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，数学特别优秀的同学有 ＝ 人；
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
解不等式求得集合 ，化简集合 ，根据交集的定义写出 ．
【解答】
集合 ，
，
则 ．
2.
【答案】
A
【考点】
复数的模
【解析】
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】
由 ，得 ，
∴ ．
3.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 ， 的值，当 时满足条件 ，退出循环，输出 的值，观察规律即可得解．
从而可得： ，即 ，
又 为三角形内角，
所以 ，
于是 ，
又 为三角形内角，
所以 ．
Ⅱ 由余弦定理： ，得： ，
所以 ，
所以 ，即 面积的最大值为 ．
【答案】
（1）我校共有 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 的有 人，语文成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，语文特别优秀的同学有 ＝ 人，数学成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，数学特别优秀的同学有 ＝ 人；
【解答】
实数 ， 满足： 作出可行域，
目标函数 ，
由 解得 ，
的最优解对应的点为 ，
故 ．
【答案】
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数值即可．
【解答】
解：函数
，
则 ．
故答案为： .
【答案】
【考点】
抛物线的求解
直线与抛物线的位置关系
【解析】
先求出抛物线焦点 坐标 ，准线为 ，从而得到 点坐标．由题意可知直线 的方程，由 方程与抛物线方程消去 得关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点 与点 的坐标，然后利用向量来求解．
【解答】
模拟程序的运行，可得：
，
执行循环体， ， ，
不满足条件 ，执行循环体， ，
不满足条件 ，执行循环体， ，
不满足条件 ，执行循环体， ，
不满足条件 ，执行循环体， ，
满足条件 ，退出循环，输出 的值为 ．
观察规律可得该算法的功能是输出数列 的第 项．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
8.
【答案】
D
【考点】
由三视图还原实物图
【解析】
由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．
【解答】
解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，
四边形 是一个边长为 的正方形，
且 面 ， ， ， ，
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且
Ⅰ 求角 的大小；
Ⅱ 若 ，求 面积的最大值．
在 年 月郑州第二次模拟考试中，某校共有 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 的占 人，数学成绩的频率分布直方图如图：
Ⅰ 如果成绩不低于 的为特别优秀，这 名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
【解答】
函数 ， ，
则 ．
当 时，显然 不可能成立．
当 时， 时， ， ， ，
此时 ；
在 上单调递增，
， ，
而 ，
由题意得， ，解得 ，
故答案为： ．
故选： ．
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设 ，分别求出 ， ， ， 的坐标，分别表示出 ， ， ， ，根据基本不等的性质和题意可得 ，再根据离心率公式即可求出．
③ 在 上有两个零点．
A. 个
B. 个
C. 个
D.
10.已知 ， ， ， 四点在半径为 的球面上，且 ， ， ，则三棱锥 的体积是（）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数 ，对任意的 ， ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
12.已知 为双曲线 上的任意一点，过 分别引其渐近线的平行线，分别交 轴于点 ， ，交 轴于点 ， ，若 恒成立，则双曲线离心率 的取值范围为（）
C.数列 的前 项的和
D.数列 的前 项的和
4.在 中， ， ， ，则
A.
B.
C.
D.
5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）
Ⅱ 如果语文和数学两科都特别优秀的共有 人．
ⅰ 从 Ⅰ 中的这些同学中随机抽取 人，求这两人两科成绩都优秀的概率．
ⅱ 根据以上数据，完成 列联表，并分析是否有 的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计
参考数据：①
…
…
如图，四棱锥 中， ， 且 底面 ， 为棱 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
，
∵ 为此几何体所有棱的长度构成的集合，
∴ ，
故选 ．
9.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
对函数 求导数，利用导数研究函数的单调性与极值，判断①、②是否正确；
构造函数 和 ，利用函数的图象，根据图象判断函数交点个数，判断③正确．
【解答】
函数 ，
∴ ，
时， ，
∴ ， ，
所以 ．
Ⅱ 由余弦定理： ，得： ，
所以 ，
所以 ，即 面积的最大值为 ．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
Ⅰ 由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得 ，结合 ，可得 ，结合 为三角形内角，可求 的值．
Ⅱ 由余弦定理，基本不等式可得 ，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】
Ⅰ 由正弦定理可得： ，
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
已知实数 ， 满足： ，则 的最大值为________．
设函数 则 ________．
抛物线 的焦点为 ，弦 过 ，原点为 ，抛物线准线与 轴交于点 ， ，则 ________．
设有四个数的数列 ， ， ， ，前三个数构成一个等比数列，其和为 ，后三个数构成一个等差数列，其和为 ，且公差非零．对于任意固定的实数 ，若满足条件的数列个数大于 ，则 的取值范围为________．
Ⅰ 求证：直线 平面 ；
Ⅱ 当四面体 的体积最大时，求四棱锥 的体积．
已知动点 满足：
Ⅰ 求动点 的轨迹 的方程；
Ⅱ 设 ， 是轨迹 上的两个动点，线段 的中点 在直线 上，线段 的中垂线与 交于 ， 两点，是否存在点 ，使以 为直径的圆经过点 ，若存在，求出 点坐标，若不存在，请说明理由．
已知函数 在 处取得极值．
Ⅰ 求实数 的值；
Ⅱ 设 ，若 存在两个相异零点 ， ，求证： ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数， ．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 的极坐标方程为： ．
（2）语文数学两科都优秀的有 人，单科优秀的有 人，
ì 记两科都优秀的 人分别为 ， ， ，单科优秀的 人分别为 ， ， ，从中随机抽取 人，共有： ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
共 种，其中这两人成绩都优秀的有 ， ， 种，
则这两人两科成绩都优秀的概率为： ；
ìì 列联表：
语文特别优秀
∴ 在 上是单调减函数，①正确；
， ，∴ ， ，
∴ 在 上是单调减函数，无最小值，②错误；
令 ，得 ，
当 时，画出 和 的图象，如图所示；
由图象知， 与 在 上有两个交点，
∴ 在 上有两个零点，③正确．
综上，正确的命题序号是①③．
10.
【答案】
C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
【解析】
【解答】
设
与渐近线 平行的直线方程为 ，
则 ， ．
与渐近线 平行的直线方程为 ，
则 ， ，
， ，
， ，
∴ ，
要使若 恒成立，
则 ．
∴双曲线离心率 ，
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出约束条件不是的可行域，判断目标函数结果的点，然后求解目标函数的最大值即可．
阴影部分平行四边形的面积是 ，
则满足条件的概率 ，
6.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
对， 恒成立，即 ，化简即可判断出结论．
【解答】
对， 恒成立，∴ ，化为： ，∴ ．
∴数列 为递增数列，反之也成立．
∴ “ 对， 恒成立”是“数列 为递增数列”的充要条件．
7.
【答案】
B
【考点】
河南省郑州市2018届高三第三次质量预测数学(理)试题(含精品解析)
河南省郑州市2018届高三第三次质量预测数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：，则.本题选择C选项.2. 下列命题中，正确的是（）A.B. 复数，若，则C. “”是“”的充要条件D. 命题“”的否定是：“”【答案】D【解析】分析：根据相关知识对四个选项逐个分析可得结论．详解：对于A，由于，故的最大值为，故A不正确．对于B，当时，，而，故B不正确．对于C，当成立；反之，当时，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故C不正确．对于D，由题意得，命题“”的否定是“”，故D正确．故选D．点睛：本题考查命题及逻辑的有关知识，解题的关键是借助相关知识对每个命题逐个进行判断，然后得到结论．3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解．详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为．由古典概型概率公式可得．故选A．点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．4. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小．详解：∵，∴．∴，∴．故选A．点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如0或1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结论．5. 设，则的展开式中常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据定积分求得，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项．详解：由题意得．∴二项式即为，其展开式的通项为，当时，．故选B．点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通项，并根据常数项的特征求解．6. 执行如图所示的程序框图，若，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：依次运行框图中的程序后可得结果．详解：依次运行程序框图中的程序可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足，停止运行．输出4．故选B．点睛：对于判断程序框图的输出结果的问题，首先要弄清程序框图的功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．7. 某几何体的三视图如图所示，记为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，四边形是一个边长为4的正方形，且，∵为此几何体所有棱的长度构成的集合，故选D．【点睛】本题考查三视图求几何体的棱长，以及线面垂直的定义和勾股定理的应用，考查空间想象能力.其中由三视图正确复原几何体是解题的关键，．8. 在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，然后再由三角形的面积公式可得结果．详解：∵，∴，由正弦定理得，∴．又，∴．∵，∴．由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立．∴．故面积的最大值为．故选A．点睛：三角形的面积常与余弦定理结合在一起考查，解题时要注意常见的变形和整体代换的应用，如；另外，三角形面积的最值问题一般通过基本不等式来解决，解题时注意构造适合应用不等式所需的形式，同时注意等号成立的条件．9. 已知数列中，，，，，则（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：考点：数列的递推公式10. 已知，下列结论中错误的是（ ）A.既是偶函数又是周期函数 B. 的最大值是1C. 的图像关于点对称D. 的图像关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A 、B 、C 、D 四个选项逐一分析即可．详解：对于选项A ，由f (x )=cos x sin2x ，得f (−x )=cos(−x )sin2(−x )=cos x sin2x =f (x )，∴函数f (x )是偶函数；又f (x +2π)=cos(x +2π)sin2(x +2π)=cos x sin2x =f (x )，∴函数f (x )是周期函数．∴f (x )既是偶函数又是周期函数，故A 正确．对于选项B ，∵|cos x |⩽1，|sin2x |⩽1，且等号不能同时成立，∴无论x 取什么值，f (x )=cos x sin2x 均取不到值1，故B 不正确．对于选项C ，∵f (x )+f (π−x )=cos x sin2x +cos(π−x )sin2(π−x )=cos x sin2x −cos x sin2x =0，∴f (x )的图象关于点对称．故C 正确．对于选项D ，∵f (2π−x )=cos(2π−x )sin2(2π−x )=cos x sin2x =f (x )，∴f (x )的图象关于直线x =π对称，故D 正确．综上可得错误的结论是B ．故选B ．点睛：（1）本题考查三角函数性质的综合运用，解题时要根据题目的要求并结合相关性质进行推理、判断．（2）解题时注意函数的对称性、奇偶性、周期性的表示，如函数f (x )的图象关于直线对称等．11. 已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意设PA与PB的夹角为，通过解直角三角形求出PA，PB的长，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值．详解：如图，由题意设，则，∴，设，则，当且仅当，即时等号成立，此时．又当点P在椭圆的右顶点时，，∴，此时最大，且最大值．∴的取值范围是故选C．点睛：圆锥曲线中的最值或范围问题将几何问题和函数、不等式的问题综合在一起，考查学生的综合应用能力，此类题目具有一定的难度．解题时首先要根据题意设出相关的参数，把所求的最值表示为该参数的函数，然后根据目标函数的特征选用函数或不等式的知识求解最值即可．12. 已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象如下图所示，不妨设，则时，，显然，，，考虑极限情况，可知，故选择B.点睛：本题考查利用函数图像求参数的取值范围.首先作出分段函数的图像，显然函数在上递减，上递增，上递减，结合函数图像分析，可以考虑极限情况，当直线，时显然为临界直线，可以求出的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设满足约束条件：，则的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，顶点为，当过点时取得最小值-3考点：线性规划问题14. 已知向量与的夹角为，且，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据求得，再由数量积求得．详解：∵，∴，∴，整理得，解得．点睛：本题考查数量积的运算，解题时注意数量积的运算满足多项式运算的运算律．解答本题的关键是把作为未知数，并结合题意构造出相应的方程，通过解方程达到求解的目的．15. 已知四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________．【答案】【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积为4×3×5-4×××4×3×5=20.故答案为2016. 已知双曲线的右焦点为为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于两点，使，则双曲线离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先求出当直线与x轴垂直时的离心率，再求出当直线与渐近线平行时这一极端情况下的离心率，由此可得所求的范围．详解：由得．（1）当直线与x轴垂直时，则有，∴，即，∴，∴，解得．（2）当直线与x轴不垂直时．若直线平行于渐近线时，直线的斜率为，直线方程为，代入双曲线方程可得点A的坐标为，∴的斜率为，又此时有，∴，整理得，解得．但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意．∴双曲线离心率的取值范围是．点睛：求双曲线的离心率或范围时，首先把给出的几何图形的位置关系转化为的关系，并结合题意得到关于离心率的方程或不等式，解方程或不等式后可得所求的值或范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由题意可求得等差数列的公差，从而可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，然后根据裂项相消法得到，由此可得结论成立．详解：（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，．∵成等比数列，∴，即，又∴，∴，∴.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，∴．∴．∴．点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：（1）列项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示与的关系．（Ⅲ）先确定的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望．详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：．（Ⅱ）当时，，当时，．所以（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．所以的分布列为：455361650.10.20.30.4∴万元．点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得．两两垂直，建立空间直角坐标系，根据可证得．（Ⅱ）根据点在棱上可设，再由，得，由此可得，从而可得．然后可求得平面的法向量为，又平面的一个法向量，可得，然后结合图形可得所求．详解：（Ⅰ）证明：底面，平面，面，∴，，又，∴．两两垂直．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则由题意得，∴，∴，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,．由点在棱上，设，，，,解得，∴．设平面的法向量为，则由，得，令，得．由题意取平面的一个法向量．∴，由图形知二面角是锐角，所以二面角的余弦值为．点睛：用坐标法解答立体几何问题的几个注意点：（1）建立空间直角坐标系时首先要判断是否满足条件，即是否有三条两两垂直的直线；（2）求点的坐标时一定要准确，对于不容易求的点的坐标，可根据向量的共线等方法求解；（3）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，最后再下结论．20. 如图，分别过椭圆左、右焦点的动直线相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率满足．已知当与轴重合时，，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），和.【解析】试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点.试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为.焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或;当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：, 所以:，, 则：. 同理：, 因为, 所以, 即, 由题意知, 所以，设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，本题的关键是从这个角度出发，把坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆，从而求得存在两定点和点.21. 已知，，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在上的单调性，然后可得当时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设，由题意可得，即，又由条件得，构造，令，则，利用导数可得，故得，又，所以．详解：（Ⅰ），，由得，且当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，∴当时，有极大值，且，无极小值．（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，，．，即，又，，，．令，则，在上单调递减，故，，即，又，．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点，若，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或.【解析】分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数可得普通方程，由，得，根据转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理得二次方程，然后根据根与系数的关系及参数方程中参数的几何意义求得弦长，进而可得或．详解：（Ⅰ）将（为参数，）消去参数，整理得，∴直线普通方程为．∵，∴，将代入上式，得，∴曲线的普通方程为．（Ⅱ）将（为参数，）代入方程整理得：，显然．设两点对应的参数分别为，则，∴，解得又，∴或．点睛：用直线参数方程的几何意义求长度问题时，要注意参数方程中参数的系数的平方和为1，只有在这种形式下，||才表示直线上的动点到定点的距离，这才是直线的参数方程中参数的几何意义．选修4-5：不等式选讲23. 已知，函数的最小值为1．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【试题分析】（1）运用绝对值的三角不等式或运用绝对值的定义将其化归为分段函数的最值问题来处理，求解时借助分段函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，从而探求出在处取最小值；（2）先将不等式中的参数分离出来得到，再运用基本不等式或柯西不等式求最值：（1）法一：，∵且，∴，当时取等号，即的最小值为，∴；法二：∵，∴，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴；（2）法一：∵恒成立，∴恒成立，，当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为；法二：∵恒成立，∴恒成立，恒成立，，∴，即实数的最大值为．。
河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2017 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．若会合 A={ x| x﹣ x2＞0} ， B={ x| （x+1）（m﹣x）＞ 0} ，则“m＞1”是“A∩B≠?”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．为认识600 名学生的视力状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分红几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40D．503．已知 z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣ 1，2）B．（﹣ 2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣ 2）4．中国有个名句“运筹决胜之中，决胜千里以外”．此中的“筹”原意是指《孙子算经》中记录的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面长进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，以下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数同样，把各个数位的数码从左到右摆列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，比如 6613用算筹表示就是：，则 5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知 f' （x）=2x+m，且 f（ 0） =0，函数 f（x）的图象在点A（1，f（ 1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n，且 a6 a8=4，则 a8（a4 2a6 a8）的值为（）}++ +A．2B．4C．8D．169．若实数 a、b、c＞0，且（a+c）?（a+b）=6﹣ 2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B．+ 1 C．2 +2 D．2﹣210．椭圆+=1 的左焦点为F，直线 x=a 与椭圆订交于点M、N，当△ FMN 的周长最大时，△ FMN 的面积是（）A．B．C．D．11．四周体 A﹣ BCD 中， AB=CD=10， AC=BD=2，AD=BC=2，则四周体 A﹣ BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100π C． 200πD． 300π12．已知函数 f （x）=，且 f=（）A．﹣ 2014 B．﹣ 2015 C．﹣ 2016 D．﹣ 2017二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．设变量 x，y 知足拘束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=．15．在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别是a，b，c，已知 b=a， A=2B，则 cosA=．16．在△ ABC中，∠ A=，O为平面内一点．且|| ，M 为劣弧上一动点，且．则 p+q 的取值范围为．三、解答题（本大题共7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n } 是等差数列，首项a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 b n，求数列n的前n 项和 n．={ b }S18．2012 年 3 月 2 日，国家环保部公布了新订正的《环境空气质量标准》，此中规定：居民区的 PM2.5 的年均匀浓度不得超出 35 微克 / 立方米．某城市环保部门在 2013年 1月1日到2013 年 4 月 30 日这 120 天对某居民区的 PM2.5 均匀浓度的监测数据统计以下：组别PM2.5 浓度（微克 / 立方米）频数（天）第一组（ 0， 35]32第二组（35，7564 ]第三组（75， 11516]第四组115以上8（Ⅰ）在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步剖析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本 PM2.5 的均匀浓度超出 75（微克 / 立方米）的若干天中，随机抽取 2 天，求恰巧有一天均匀浓度超出 115（微克 / 立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ ABC是等腰直角三角形，且斜边AB= ，侧棱 AA1=2，点 D 为 AB 的中点，点 E 在线段 AA1上， AE=λ AA1（λ为实数）．（1）求证：无论λ取何值时，恒有 CD⊥ B1E；（2）当λ=时，求多面体 C1B﹣ECD的体积．12+y2上随意一点，点2 与点 1 对于原点对称，20．已知点 P 是圆 F ：（x﹣1）=8F F线段 PF2的垂直均分线分别与 PF1，PF2交于 M， N 两点．（ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A， B 两点，在 y 轴上能否存在定点 Q，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．21．已知函数 h（ x）=（x﹣a）e x+a．（1）若 x∈[ ﹣1，1] ，求函数 h（x）的最小值；（2）当 a=3 时，若对 ? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈ [ 1，2] ，使得 h（x1）≥ x22﹣2bx2﹣ ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线 C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ =0．（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 订交于 A，B 两点，当θ变化时，求 | AB| 的最小值．23．已知函数 f （x）=| x﹣5| ﹣| x﹣2| ．（1）若 ? x∈R，使得 f（ x）≤ m 成立，求 m 的范围；（2）求不等式 x2﹣8x+15+f （x）≤ 0 的解集．2017 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．若会合 A={ x| x﹣ x2＞0} ， B={ x| （x+1）（m﹣x）＞ 0} ，则“m＞1”是“A∩B≠?”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【考点】 2L：必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】会合 A={ x| x﹣ x2＞ 0} =（ 0，1）．对于 B：（x+1）（ m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m ）＜0，对 m 与﹣ 1 的大小关系分类议论，再利用会合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：会合 A={ x| x﹣x2＞ 0} =（0，1），对于 B：（x+1）（ m﹣x）＞ 0，化为：（x+1）（ x﹣ m）＜ 0，m=﹣1 时， x∈ ?．m＞﹣ 1，解得﹣ 1＜x＜ m，即 B=（﹣ 1， m）．m＜﹣ 1 时，解得 m＜x＜﹣ 1，即 B=（m，﹣ 1）．∴ “m＞1”? “A∩ B≠ ?”，反之不可立，比如取m=．∴ “m＞1”是“A∩ B≠ ?”的充足而不用要条件．应选： A．2．为认识600 名学生的视力状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分红几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40D．50【考点】 B4：系统抽样方法．【剖析】依据系统抽样的特色，求出分段间隔即可．【解答】解：依据系统抽样的特色，得；从 600 名学生中抽取 20 个学生，分段间隔为=30．应选： B．3．已知 z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣ 1，2）B．（﹣ 2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣ 2）【考点】 A4：复数的代数表示法及其几何意义．【剖析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解： z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞ 0，解得﹣ 2＜m＜1．则实数 m 的取值范围是（﹣ 2，1）．应选： B4．中国有个名句“运筹决胜之中，决胜千里以外”．此中的“筹”原意是指《孙子算经》中记录的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面长进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，以下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数同样，把各个数位的数码从左到右摆列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，比如 6613 用算筹表示就是：，则 5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】 F1：概括推理．【剖析】依据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则 5288 用算筹可表示为11，应选： C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】 GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【剖析】由已知利用引诱公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴ sin[﹣（﹣α）] =sin（+α）=﹣．应选： D．6．已知 f' （x）=2x+m，且 f（ 0） =0，函数 f（x）的图象在点A（1，f（ 1））处的切线的斜率为3，数列的前 n 项和为 S n2017），则 S 的值为（A．B．C．D．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】由题意可设f（x）=x2mx c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c + +的值，求出== ﹣，再由数列的乞降方法：裂项相消乞降，计算即可获得所乞降．【解答】解： f'（x）=2x+m，可设 f（ x）=x2+mx+c，由 f（ 0） =0，可得 c=0．可得函数 f（ x）的图象在点 A（1，f（1））处的切线的斜率为 2+m=3，解得 m=1，即 f（ x）=x2+x，则==﹣，数列的前 n 和 S n，S2017+⋯=1=．=1+ +故： A．7．如是某个几何体的三，个几何体体是（）A．B．C．D．【考点】 L!：由三求面、体．【剖析】由三可知：几何体由一个半柱与三棱柱成的几何体．【解答】解：由三可知：几何体由一个半柱与三棱柱成的几何体．个几何体体 V=+ ×（）2×2=2+ ．故： A．8．已知等比数列 { a n } ，且 a6+a8=4， a8（a4+2a6+a8）的（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】 8G：等比数列的性．【剖析】将式子“a8 468）”睁开，由等比数列的性：若m， n， p， q∈++N* ，且 m+n=p+q，有 a m a n=a p a q可得， a8（a4+2a6+a8） =（ a6+a8）2，将条件代入获得答案．【解答】解：由意知： a8（a4+2a6+a8） =a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．应选 D．9．若实数 a、b、c＞0，且（a+c）?（a+b）=6﹣ 2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B．+ 1 C．2 +2 D．2﹣2【考点】 7F：基本不等式．【剖析】依据题意，将 2a+b+c 变形可得 2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式剖析可得2a b c=（ a c）（ a b）≥ 2=2，计算可得答案．+++++【解答】解：依据题意， 2a+b+c=（a+c） +（ a+b），又由 a、b、c＞0，则（ a+c）＞ 0，（ a+b）＞ 0，则2a b c=（ a c）（a b）≥ 2=2=2（﹣ 1）=2﹣2，+ ++ + +即2a b c 的最小值为 2﹣ 2，+ +应选： D．10．椭圆+=1 的左焦点为F，直线 x=a 与椭圆订交于点M、N，当△ FMN 的周长最大时，△ FMN 的面积是（）A．B．C．D．【考点】 K4：椭圆的简单性质．【剖析】设右焦点为 F′，连结 MF′，NF′，因为 | MF′|+| NF′|≥ | MN| ，可适当直线x=a过右焦点时，△FMN 的周长最大． c==1．把 c=1 代入椭圆标准方程可得：=1，解得 y，即可得出此时△ FMN 的面积 S．【解答】解：设右焦点为F′，连结 MF′， NF′，∵MF′NF′≥MN，||+|| ||∴当直线 x=a 过右焦点时，△ FMN 的周长最大．由椭圆的定义可得：△ FMN 的周长的最大值 =4a=4．c==1．把 c=1 代入椭圆标准方程可得：=1，解得 y=±．∴此时△ FMN 的面积 S==．应选： C．11．四周体 A﹣ BCD 中， AB=CD=10， AC=BD=2，AD=BC=2，则四周体A ﹣ BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC． 200πD． 300π【考点】 LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【剖析】由题意可采纳割补法，考虑到四周体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为 x， y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可获得一个长、宽、高分别为 x，y，z 的长方体，由此能求出球的半径，从而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采纳割补法，考虑到四周体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为 x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可获得一个长、宽、高分别为x，y，z 的长方体，而且 x2+y2=100，x2 +z2=136，y2+z2=164，设球半径为 R，则有（ 2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．应选 C．12．已知函数 f （x）=，且f=（）A．﹣ 2014 B．﹣ 2015 C．﹣ 2016 D．﹣ 2017【考点】 3T：函数的值．【剖析】推导出函数 f （ x） =1+，令 h（ x）+=，则 h（ x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数 f （x）=，=1++=1++，令 h（x） =，则 h（﹣ x）=﹣+=﹣ h（x），即 h（x）是奇函数，∵f=2016，∴ h=1+h（﹣ 2017）=1﹣h13．设变量 x，y 知足拘束条件：，则目标函数 z=x 2y的最小值为 4．+【考点】 7C：简单线性规划．【剖析】由拘束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形联合获得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，联立，解得 A（ 2， 1），化目标函数 z=x+2y 为 y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为 4．故答案为： 4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数 m=．【考点】 9S：数目积表示两个向量的夹角．【剖析】利用两个向量的数目积的定义，两个向量的数目积公式，求得m 的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴= m+3=?2?cos30°，求得，故答案为：．15．在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别是a，b，c，已知 b=a， A=2B，则 cosA=．【考点】 HP：正弦定理．【剖析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB= ，从而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵ A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵ b= a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB= ，∴cosA=cos2B=2cosB﹣1= ．故答案为：．16．在△ ABC中，∠ A=，O为平面内一点．且|| ，M 为劣弧上一动点，且．则 p+q 的取值范围为[ 1， 2]．【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义．【剖析】依据题意画出图形，联合图形，设外接圆的半径为r，对=p +q两边平方，成立 p、 q 的分析式，利用基本不等式求出p+q 的取值范围．【解答】解：以下图，△ ABC中，∠ A=，∴∠ BOC=；设 |=r，则 O 为△ ABC外接圆圆心；∵=p +q ，∴==r2，即 p2r2+q2 r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（ p+q）2=3pq+1；又 M 为劣弧 AC上一动点，∴ 0≤ p≤ 1， 0≤q≤ 1，∴ p+q≥2，∴ pq≤=，∴1≤（ p+q）2≤（p+q）2+1，解得 1≤（ p+q）2≤ 4，∴1≤ p+q≤2；即 p+q 的取值范围是 [ 1，2] ．故答案为： [ 1， 2] ．三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n } 是等差数列，首项a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 b n，求数列n的前n 项和n．={ b }S【考点】 8E：数列的乞降； 8H：数列递推式．【剖析】（1）设等差数列的公差为 d，首项 a1324的等比中项+即可求出公差 d，再写出通项公式即可，（ 2）化简 b n依据式子的特色进行裂项，再代入数列n的前n 项和 n ，利用裂{ b }S项相消法求出 S n．【解答】解：（1）设等差数列 { a n} 的公差为 d，由 a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．∴（ 2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得 d=2，∴a n=a1+（n 1）d=2+2（n 1）=2n，（ 2） b n ====（），∴ S n=（+++⋯++）=（+）=18．2012 年 3 月 2 日，国家保部布了新修的《境空气量准》，此中定：居民区的PM2.5 的年均匀度不得超 35 微克 / 立方米．某城市保部在 2013 年 1 月 1 日到2013 年 4 月 30 日 120 天某居民区的 PM2.5 均匀度的数据以下：PM2.5 度（微克 / 立方米）数（天）第一（0， 3532 ]第二（35，7564 ]第三（75， 115]16第四115 以上8（Ⅰ）在 120 天中抽取 30 天的数据做一步剖析，每一抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的本 PM2.5 的均匀度超 75（微克 / 立方米）的若干天中，随机抽取 2 天，求恰巧有一天均匀度超 115（微克 / 立方米）的概率．【考点】 CB：古典概型及其概率算公式； B3：分抽方法．【剖析】（Ⅰ）由 120 天中的数据中，各个数据之存在差别，故采纳分抽，算出抽比 k 后，可得每一抽取多少天；（Ⅱ） PM2.5 的均匀度在（ 75， 115] 内的 4 天 A，B，C，D， PM2.5 的均匀度在115 以上的两天 1，2，列出从 6 天任取 2 天的全部状况和足恰有一天均匀度超115（微克 / 立方米）的状况数，代入古典概型概率算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ） 120 天中抽取 30 天，采纳分抽，抽比 k==，第一抽取 32×=8 天；第二组抽取 64×=16 天；第三组抽取 16×=4 天；第四组抽取 8×=2 天（Ⅱ）设 PM2.5 的均匀浓度在（ 75， 115] 内的 4 天记为 A，B，C，D， PM2.5 的均匀浓度在 115 以上的两天记为 1，2．所以 6 天任取 2 天的状况有：AB，AC， AD， A1，A2，BC，BD，B1， B2， CD，C1，C2， D1，D2， 12，共 15 种记“恰巧有一天均匀浓度超出115（微克 / 立方米）”为事件 A，此中切合条件的有：A1，A2， B1，B2，C1， C2，D1，D2，共 8 种所以，所求事件 A 的概率 P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ ABC是等腰直角三角形，且斜边AB= ，侧棱 AA1=2，点 D 为 AB 的中点，点 E 在线段 AA1上， AE=λ AA1（λ为实数）．（1）求证：无论λ取何值时，恒有 CD⊥ B1E；（2）当λ=时，求多面体 C1B﹣ECD的体积．【考点】 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【剖析】（1）由已知可得 CD⊥ AB．再由 AA1⊥平面 ABC，得 AA1⊥ CD．利用线面垂直的判断可得 CD⊥平面 ABB1A1．进一步获得 CD⊥B1E；（ 2）当λ=时，．再由△ ABC是等腰直角三角形，且斜边，得 AC=BC=1．而后利用联合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ ABC是等腰直角三角形，点 D 为 AB 的中点，∴ CD⊥ AB．∵AA1⊥平面 ABC，CD? 平面 ABC，∴ AA1⊥CD．又∵ AA1? 平面 ABB1A1，AB? 平面 ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面 ABB1A1．∵点 E 在线段 AA1上，∴ B1E? 平面 ABB1A1，∴CD⊥B1E；（ 2）解：当λ=时，．∵△ ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴ AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点 P 是圆 F1：（x﹣1）2+y2上随意一点，点2 与点 1 对于原点对称，=8F F线段 PF2的垂直均分线分别与1， 2 交于M ，N两点．PF PF（ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A， B 两点，在 y 轴上能否存在定点 Q，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．【考点】 KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程； KL：直线与椭圆的地点关系．【剖析】（1）判断轨迹方程是椭圆，而后求解即可．（ 2）直线 l 的方程可设为，设 A（ x1，1），（2， 2），联立直线与椭y B x y圆方程，经过韦达定理，假定在y 轴上能否存在定点 Q（0，m），使以 AB 为直径的圆恒过这个点，利用，求得 m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点 M 的轨迹 C 为以 F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点 M 的轨迹 C 的方程为．（ 2）直线 l 的方程可设为，设 A（ x1，1），（2，2），y B x y联立可得 9（1+2k2） x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假定在 y 轴上能否存在定点Q（ 0，m），使以 AB 为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得 m=﹣1．所以，在 y 轴上存在定点 Q（0，﹣ 1），使以 AB 为直径的圆恒过这个点．21．已知函数 h（ x）=（x﹣a）e x+a．（ 1）若 x∈[ ﹣1，1] ，求函数 h（x）的最小值；（2）当 a=3 时，若对 ? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈ [ 1，2] ，使得 h（x1）≥ x22﹣2bx2﹣ ae+e+成立，求b的范围．【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【剖析】（1）求出极值点 x=a﹣1．经过当 a≤0 时，当 0＜ a＜2 时，当 a≥ 2 时，利用函数的单一性求解函数的最小值．（ 2）令，“对 ? x1∈[﹣1，1]， 2 ∈[ 1，2]，使得? x成立”等价于“f（x）在 [ 1，2] 上的最小值不大于 h（ x）在 [ ﹣ 1， 1] 上的最小值”．推出 h（x）min≥（） min．经过①当b ≤1时，f x②当 1＜b＜2 时，③当 b≥ 2 时，分别利用极值与最值求解 b 的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令 h'（x）=0 得 x=a﹣ 1．当 a﹣1≤﹣ 1 即 a≤ 0 时，在 [ ﹣ 1， 1] 上 h'（ x）≥ 0，函数 h（ x）=（ x﹣a）e x+a 递加， h（x）的最小值为．当﹣ 1＜a﹣ 1＜1 即 0＜ a＜ 2 时，在 x∈[ ﹣ 1， a﹣ 1] 上 h'（x）≤ 0， h（x）为减函数，在 x∈ [ a﹣1，1] 上 h'（ x）≥ 0， h（ x）为增函数．∴ h（x）的最小值为 h （a﹣ 1）=﹣e a﹣1+a．当 a﹣1≥1 即 a≥ 2 时，在 [ ﹣ 1， 1] 上 h'（x）≤ 0，h（x）递减， h（x）的最小值为 h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当 a≤0时 h（x）的最小值为，当a≥ 2 时 h（x）的最小值为（1﹣ a）e a，当 0＜a＜2 时， h（x）最小值为﹣ e a﹣1a．++（2）令，由题可知“对? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈[ 1，2] ，使得成立”等价于“f（x）在 [ 1，2] 上的最小值不大于h（x）在 [ ﹣ 1， 1] 上的最小值”．即 h（x）min≥f （x）min．由（ 1）可知，当 a=3 时， h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈1， 2，[]①当 b≤1 时，，由得，与 b≤1 矛盾，舍去．②当 1＜b＜2 时，，由得，与 1＜ b＜ 2 矛盾，舍去．③当 b≥2 时，，由得．综上， b 的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线的极坐标方程为ρ 2C sinθ﹣2cos θ =0．（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 订交于 A，B 两点，当θ变化时，求 | AB| 的最小值．【考点】 QH：参数方程化成一般方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【剖析】（1）利用极坐标与直角坐标的转变方法，求曲线 C 的直角坐标方程；（2）将直线 l 的参数方程代入 y2=2x，得 t2sin2θ﹣2tcos θ﹣1=0，利用参数的几何意义，求 | AB| 的最小值．222ρ ．θ【解答】解：（1）由ρsinθ﹣2cosθ ，得ρθ=0sin=2 cos∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2；=2x（ 2）将直线 l 的参数方程代入 y2，得22θ﹣2tcos θ﹣．=2x t sin1=0设 A，B 两点对应的参数分别为 t 1， t2，则，，==．当时， | AB| 的最小值为 2．第21页（共 23页）23．已知函数 f （x）=| x﹣5| ﹣| x﹣2| ．（1）若 ? x∈R，使得 f（ x）≤ m 成立，求 m 的范围；（2）求不等式 x2﹣8x+15+f （x）≤ 0 的解集．【考点】 R5：绝对值不等式的解法．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出 f （x）的分段函数的形式，求出 m 的范围即可；（2）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当 2＜x＜ 5 时，﹣ 3＜ 7﹣ 2x＜3，所以﹣ 3≤f（x）≤ 3，∴ m≥﹣ 3；（ 2）不等式 x2﹣8x+15+f（ x）≤ 0，即﹣ f（ x）≥ x2﹣8x+15 由（ 1）可知，当x≤2 时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15 的解集为空集；当 2＜x＜ 5 时，﹣ f（x）≥ x2﹣8x+15，即 x2﹣10x+22≤0，∴；当 x≥5 时，﹣ f（x）≥ x2﹣8x+15，即 x2﹣8x+12≤ 0，∴ 5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．第22页（共 23页）2017年 5月 23日第23页（共 23页）。
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|x2−2x−3≤0}，B＝{x|yln(2−x)}，则A∩B＝（）A.(1, 3)B.(1, 3]C.[−1, 2)D.(−1, 2)2. 下列命题中，正确的是（）A.∃x0∈R,sinx0+cosx0=32B.复数z1，z2，z3∈C，若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z3C.“a>0，b>0”是“ba +ab≥2”的充要条件D.命题“∃x∈R，x2−x−2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2−x−2<0”3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A.14 15B.1315C.29D.794. 若x∈(e−1, 1)，a=lnx，b=(12)lnx，c=e lnx，则( )A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c5. 设a=∫π0sinxdx，则(a√x√x)6的展开式中常数项是（）A.160B.−160C.−20D.206. 执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=()A.3B.4C.5D.67. 某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A.3∈AB.5∈AC.2√6∈AD.4√3∈A8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a−c b=cosCcosB ，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A.4√3 B.2√3C.2D.√39. 已知数列{a n }中，a n >0，a 1=1，a n+2=1a n +1，a 100=a 96，则a 2018+a 3=( )A.52B.1+√52C.√52D.−1+√5210. 已知f(x)=cosxsin 2x ，下列结论中错误的是（ ） A.f(x)既是偶函数又是周期函数 B.f(x)的最大值是1C.f(x)的图象关于点(π2, 0)对称 D.f(x)的图象关于直线x =π对称11. 已知P 为椭圆x 24+y 23=1上一个动点，过点P 作圆(x +1)2+y 2=1的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA →∗PB →的取值范围为（ ） A.[32,+∞) B.[32,569brackC.[2√2−3,569brackD.[2√2−3,+∞) 12.已知函数f(x)={|lnx|,2−lnx,0<x ≤e,x >e,若正实数a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是（ ） A.(e, 2e +e 2) B.(1e +2e,2+e 2)C.(1e +e,2+e 2) D.(1e +e,2e +e 2)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）设x 、y 满足约束条件：{x +y ≥0x −y ≥−1x +y ≤3 ，则z =x −2y 的最小值为________．已知向量a →与b →的夹角为30∘，且|a →|=1，|2a →−b →|=1，则|b →|=________．已知A ，B ，C ，D 四点在半径为5√22的球面上，且AC =BD =5，AD =BC =√41，AB =CD ，则三棱锥D −ABC 的体积是________．已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(b >a >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使OA →⋅OB →=0，则双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等差数列{a n }的公差d ≠0，其前n 项和为S n ，若a 2+a 8=22，且a 4，a 7，a 12成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若T n =1S 1+1S 2+⋯+1S n，证明：T n <34随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100≤x ≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．(1)视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求P(x ≥120)；(2)将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；(3)在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x ∈[100, 110），则取x =105的概率等于市场需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列及数学期望E(T)．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB // DC ，AD =DC =AP =2AB =2，点E 为棱PC 的中点， (Ⅰ)证明：BE ⊥DC ；(Ⅱ)若点F 为棱PC 上一点，且BF ⊥AC ，求二面角F −AB −P 的余弦值．如图，分别过椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)左、右焦点F 1, F 2的动直线l 1, l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A , B 与C , D 不同四点，直线OA , OB , OC , OD 的斜率k 1, k 2, k 3, k 4满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2√3，|CD|=4√33．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在定点M ，N ，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M 、N 点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．已知f(x)=lnx ，g(x)=12ax 2+bx(a ≠0)，ℎ(x)=f(x)−g(x) (Ⅰ)若a =3，b =2，求ℎ(x)的极值；(Ⅱ)若函数y =ℎ(x)的两个零点为x 1，x 2(x 1≠x 2)，记x 0=x 1+x 22，证明：ℎ′(x 0)<0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为：ρcos 2θ=4sinθ．(Ⅰ)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若|AB|=8，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x+a|+|2x−b|的最小值为1．（1）求证：2a+b＝2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案与试题解析2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】∵集合A＝{x|x2−2x−3≤0}＝{x|−1≤x≤3}＝[−1, 3]，B＝{x|yln(2−x)}＝{x|2−x>0}＝{x|x<2}＝(−∞, 2)；∴A∩B＝[−1, 2)．2.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用三角函数的有界性判断A的正误；反例判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；【解答】因为y=sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2<32，所以A不正确；复数z1，z2，z3∈C，若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z3，反例z1=0，z2=i，z3=2i，所以B不正确；当a，b同号时，“ba +ab≥2”恒成立，所以C不正确；命题“∃x∈R，x2−x−2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2−x−2<0”，满足命题的否定形式，所以D正确．3.【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式排列、组合及简单计数问题【解析】求出从10部名著中选择2部名著的方法数、2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论．【解答】从10部名著中选择2部名著的方法数为C102=45（种），2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32=3（种），由对立事件的概率计算公式得P=1−345=1415．4.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用对数函数的单调性判断出a<0；由于b，c的指数相同，所以研究一个幂函数的单调性；利用幂函数的单调性判断出b，c的大小，b，c都是幂得到b，c全正，比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵x∈(e−1, 1),∴a=lnx<ln1=0,即a<0.幂函数f(t)=t lnx,∵lnx<0,∴当t>0时，f(t)是减函数,∵12<e,∴b=(12)lnx>c=e lnx>0.所以有b>c>a.故选A.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】先求出a值，再由二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求出常数项．【解答】a=(−cosx)|0π=−cosπ−(−cos0)=2，(2√x√x )6的通项公式为C6r(2√x)6−r√x)r=C6r26−r(−1)r x3−r，r=0，1，2...4，令3−r=0，即r=3，则常数项为C6323(−1)3=−160，6.【答案】B【考点】程序框图【解析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到不满足条件s<0.8，即可得到n的值．【解答】第一次运行n=1，s=0，满足条件s<0.8，s=12=0.5，n=2，第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s<0.8，s=12+14=0.75，n=3，第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s<0.8，s=0.75+18=0.75+0.125=0.875，n=4，此时s=0.875不满足条件s<0.8输出，n=4，7.【答案】D【考点】由三视图还原实物图【解析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，且AF⊥面ABCD，DE // AF，DE=4，AF=2，∴AF⊥AB，DE⊥DC，DE⊥BD，∴EC=√DE2+DC2=4√2，EF=FB=√AF2+AB2=2√5，BE=√DE2+BD2=√42+(4√2)2=4√3，∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合，∴A={2, 4, 4√2, 4√3, 2√5}，故选D．8.【答案】A【考点】正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】由已知式子和正弦定理可得B=π3，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．【解答】∵在△ABC中2a−cb =cosCcosB，∴(2a−c)cosB＝bcosC，∴(2sinA−sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin(B+C)＝sinA，约掉sinA可得cosB=12，即B=π3，由余弦定理可得16＝a2+c2−2accosB＝a2+c2−ac≥2ac−ac，∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，∴△ABC的面积S=12acsinB=√34ac≤4√39.【答案】C【考点】数列递推式【解析】根据关系式递推计算，即可求解．【解答】根据a n+2=1an+1，那么：a n+4=1a n+2+1=11a n+1+1=a n可得周期T=4．∵a100=a96，即a100=11a96+1+1，解得：a100=a96=√5−12那么a2018=a100=a96=√5−12．由a n+2=1an+1，那么：a3=11+1=12．∴a2018+a3=√5−12+12=√52，10.【答案】B【考点】三角函数中的恒等变换应用奇偶性与单调性的综合【解析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．【解答】解：A，∵f(x)=cosxsin2x，∴f(−x)=cos(−x)sin2(−x)=cosxsin2x=f(x)，∴f(x)是偶函数；又f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x=f(x)，∴ f(x)是周期函数；∴f(x)既是偶函数又是周期函数，即A正确；B ，∵ |cosx|≤1，|sin 2x|≤1，二者不能同时取到等号，∴ 无论x 取什么值，f(x)=cosxsin 2x 均取不到值1，故B 错误； C ，∵ f(x)+f(π−x)=cosxsin 2x +cos(π−x)sin 2(π−x) =cosxsin 2x −cosxsin 2x =0，∴ f(x)的图象关于点(π2, 0)对称，即C 正确；D ，∵ f(2π−x)=cos(2π−x)sin 2(2π−x)=cosxsin 2x =f(x)， ∴ f(x)的图象关于直线x =π对称，即D 正确． 故选B ． 11.【答案】 C【考点】圆锥曲线问题的解决方法 【解析】由题意设PA 与PB 的夹角为2θ，通过解直角三角形求出PA ，PB 的长，利用向量的数量积公式表示出PA →⋅PB →，利用三角函数的二倍角公式化简，换元后再利用基本不等式求出最值得答案． 【解答】 椭圆x 24+y 23=1的a =2，b =√3，c =1，圆(x +1)2+y 2=1的圆心为(−1, 0)，半径为1， 由题意设PA 与PB 的夹角为2θ， 则|PA|=PB|=1tanθ，∴ PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos2θ=1tan 2θ⋅cos2θ=1+cos2θ1−cos2θ⋅cos2θ．设cos2θ=t ，则y =PA →⋅PB →=t(1+t)1−t =(1−t)+21−t −3≥2√2−3，∵ P 在椭圆的右顶点时，sinθ=13，∴ cos2θ=1−2×19=79， 此时PA →⋅PB →的最大值为1+791+79×79=569，∴ PA →⋅PB →的取值范围是：[2√2−3, 569]．12.【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】图解法，画出函数f(x)={|lnx|2−lnx 0<x ≤ex >e 的图象，根据图象分析可得a +b +c 的取值范围． 【解答】解：如图，画出函数f(x)={|lnx|,2−lnx,0<x ≤e,x >e,的图象，设a <b <c ，则|lna|=|lnb|， 即有lna +lnb =0，即有ab =1， 当x >e 时，y =2−lnx 递减， 且与x 轴交于(e 2, 0)， ∴ e <c <e 2， 可得1e <a <1，当a 趋近于1e 时，b ，c 趋近于e ；当a 趋近于1时，b 趋近于1，c 趋近于e 2， 可得a +b +c 的取值范围是(1e +2e, 2+e 2)． 故选B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −3【考点】 简单线性规划 【解析】先根据条件画出可行域，设z =x +2y ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线z =x +2y ，取得截距的最小值，从而得到z 最小值即可 【解答】由约束条件得到如图可行域，由目标函数z =x −2y 得到y =12x −z2，当直线经过B 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小， 由{x −y =−1x +y =3 得到B(1, 2)， 所以z 的最小值为1−2×2=−3； 【答案】 √3【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据<a →,b →>=30，|a →|=1，对|2a →−b →|=1的两边平方即可得出关于|b →|的方程，解方程即可得出|b →|的值． 【解答】<a →,b →>=30，|a →|=1,|2a →−b →|=1；∴ (2a →−b →)2=4a →2−4|a →||b →|cos30+b →2=4−2√3|b →|+|b →|2=1；∴ |b →|2−2√3|b →|+3=0； 解得|b →|=√3． 【答案】 20【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D −ABC ，计算出长方体的长宽高，即可求得三棱锥D −ABC 的体积． 【解答】解：由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D −ABC ，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ， 则{a 2+b 2+c 2=50,a 2+b 2=25,a 2+c 2=41, 解得a =4，b =3，c =5，∴ 三棱锥D −ABC 的体积是V =4×3×5−4×13×12×4×3×5=20， 故答案为：20．【答案】1+√52≤e<√3【考点】直线与双曲线的位置关系【解析】设焦点为F(c, 0)，设直线AB:y=k(x−c)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得k，即可得到离心率的范围．【解答】直线的斜率不存在时，A(c, b2a )，B(c, −b2a)，由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，可得e=1+√52；焦点为F(c, 0)，直线AB:y=k(x−c)，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则联立直线方程和双曲线的方程，可得(b2−a2k2)x2+2ca2k2x−a2k2c2−a2b2=0，则△=4c2a4k4+4(b2−a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0，x1+x2=−2ca2k2b2−a2k2，x1x2=−a2k2c2−a2b2b2−a2k2，则y1y2=k2（x1x2+c2−c(x1+x2)）=k2⋅a2b2−b2c2a2k2−b2，由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，即有a2b2+a2k2c2+k2(a2b2−b2c2)=0，即有k2=a2b2b4−a4−a2b2，∴a2b2b4−a4−a2b2>b2a2，∵b>a，∴√3>e>1+√52，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】（1）因为{a n}为等差数列，且a2+a8=22，∴a5=12(a2+a8)=11，由a4，a7，a12成等比数列，得a72=a4⋅a12，即(11+2d)2=(11−d)⋅(11+7d)，∵d≠0，∴d=2，∴a1=11−4×2=3故a n=2n+1(n∈N∗)（2）证明：∵S n=n(a1+a n)2=n(n+2)，∴1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n=1S1+1S2+⋯+1S n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2]=1 2[1+12−1n+1−1n+2]=34−12(1n+1+1n+2)<34故T n<34．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】(Ⅰ)利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出数列的首项与公差，然后求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可推出结果．【解答】（1）因为{a n}为等差数列，且a2+a8=22，∴a5=12(a2+a8)=11，由a4，a7，a12成等比数列，得a72=a4⋅a12，即(11+2d)2=(11−d)⋅(11+7d)，∵d≠0，∴d=2，∴a1=11−4×2=3故a n=2n+1(n∈N∗)（2）证明：∵S n=n(a1+a n)2=n(n+2)，∴1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n=1S1+1S2+⋯+1S n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2]=1 2[1+12−1n+1−1n+2]=34−12(1n+1+1n+2)<34故T n<34．【答案】解：(1)根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P(x≥120)=P(120≤x<130)+P(130≤x<140)+P(140≤x≤150)=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7．(2)当x∈[100, 130)时，T=0.5x−0.3(130−x)=0.8x−39；当x∈[130, 150]时，T=0.5×130=65．∴T={0.8x−39,100≤x<130,65,130≤x≤150.(3)由题意及(2)可得：当x∈[100, 110)时，T=0.8×105−39=45，P(T=45)=0.010×10=0.1；当x∈[110, 120)时，T=0.8×115−39=53，P(T=53)=0.020×10=0.2；当x∈[120, 130)时，T=0.8×125−39=61，P(T=61)=0.030×10=0.3；当x∈[130, 150)时，T=65，P(T=65)=(0.025+0.015)×10=0.4．所以T的分布列为所以，E(T)=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（万元）．【考点】离散型随机变量的分布列及性质用频率估计概率离散型随机变量的期望与方差分段函数的应用【解析】(1)根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P(x≥120)=P(120≤x< 130)+P(130≤x<140)+P(140≤x≤150)．(2)当x∈[100, 130)时，T=0.5x−0.3(130−x)=0.8x−39；当x∈[130, 150]时，T=0.5×130，即可得出．(3)由题意及(2)可得：当x∈[100, 110)时，T=0.8×105−39，P(T=45)=0.010×10；当x∈[110, 120)时，T=0.8×115−39，P(T=53)=0.020×10；当x∈[120, 130)时，T=0.8×125−39，P(T=61)=0.030×10；当x∈[130, 150)时，T=65，P(T=65)=(0.025+0.015)×10．即可得出T的分布列及其数学期望．【解答】解：(1)根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P(x≥120)=P(120≤x<130)+P(130≤x<140)+P(140≤x≤150)=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7．(2)当x∈[100, 130)时，T=0.5x−0.3(130−x)=0.8x−39；当x∈[130, 150]时，T=0.5×130=65．∴T={0.8x−39,100≤x<130,65,130≤x≤150.(3)由题意及(2)可得：当x∈[100, 110)时，T=0.8×105−39=45，P(T=45)=0.010×10=0.1；当x∈[110, 120)时，T=0.8×115−39=53，P(T=53)=0.020×10=0.2；当x∈[120, 130)时，T=0.8×125−39=61，P(T=61)=0.030×10=0.3；当x∈[130, 150)时，T=65，P(T=65)=(0.025+0.015)×10=0.4．所以T的分布列为所以，E(T)=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（万元）．【答案】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD．∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得：B(1, 0, 0)，P(0, 0, 2)，C(2, 2, 0)，E(1, 1, 1)，D(0, 2, 0)，∴ BE →=(0,1,1),DC →=(2,0,0)， ∴ BE →⋅DC →=0，即BE ⊥DC(2)BC →=(1,2,0),CP →=(−2,2,2)，AC →=(2,2,0),AB →=(1,0,0)，由点F 在棱PC 上， 设CF →=λCP →=(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1) ∴ BF →=BC →+CF →=(1−2λ,2−2λ,2λ)， ∵ BF ⊥AC ，∴ BF →⋅AC →=2(1−2λ)+2(2−2λ)=0， 解得：λ=34， ∴ BF →=(−12,12,32)．设平面FAB 的法向量为n 1→=(x,y,z)，则{n 1→⋅AB →=x =0n 1→⋅BF →=−12x +12y +32z =0，不妨令z =1，可得n 1→=(0,−3,1)为平面FAB 的一个法向量，取平面ABP 的一个法向量n 2→=(0,1,0) 则cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=√10=−3√1010， 易知，二面角F −AB −P 是锐角，所以其余弦值为3√1010．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用BE →⋅DC →=0，即可证明BE ⊥DC ．(Ⅱ)设CF →=λCP →=(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1)，通过BF ⊥AC ，解得：λ=34，求出平面FAB 的法向量，平面ABP 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】（1）证明：∵ PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ．∴ 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得：B(1, 0, 0)，P(0, 0, 2)，C(2, 2, 0)，E(1, 1, 1)，D(0, 2, 0)， ∴ BE →=(0,1,1),DC →=(2,0,0)， ∴ BE →⋅DC →=0，即BE ⊥DC(2)BC →=(1,2,0),CP →=(−2,2,2)，AC →=(2,2,0),AB →=(1,0,0)，由点F 在棱PC 上， 设CF →=λCP →=(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1) ∴ BF →=BC →+CF →=(1−2λ,2−2λ,2λ)， ∵ BF ⊥AC ，∴ BF →⋅AC →=2(1−2λ)+2(2−2λ)=0， 解得：λ=34， ∴ BF →=(−12,12,32)．设平面FAB 的法向量为n 1→=(x,y,z)，则{n 1→⋅AB →=x =0n 1→⋅BF →=−12x +12y +32z =0，不妨令z =1，可得n 1→=(0,−3,1)为平面FAB 的一个法向量，取平面ABP 的一个法向量n 2→=(0,1,0) 则cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=√10=−3√1010， 易知，二面角F −AB −P 是锐角，所以其余弦值为3√1010．【答案】解：(1)当l 1与x 轴重合时，k 1+k 2=k 3+k 4=0， 即k 3=−k 4，∴ l 2垂直于x 轴，得|AB|=2a =2√3，|CD|=2b 2a=4√33，解得a =√3，b =√2， ∴ 椭圆E 的方程为x 23+y 22=1．(2)焦点F 1、F 2坐标分别为(−1, 0)，(1, 0)，当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(−1, 0)或(1, 0)， 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{x 23+y 22=1,y =m 1(x +1),得(2+3m 12)x 2+6m 12x +3m 12−6=0，∴ x 1+x 2=−6m 122+3m 12，x 1x 2=3m 12−62+3m 12，k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=m 1(x 1+1x 1+x 2+1x 2)=m 1(2+x 1+x 2x 1x 2)=−4m 1m 12−2，同理k 3+k 4=−4m2m 22−2，∵ k 1+k 2=k 3+k 4，∴ −4m 1m 12−2=−4m 2m 22−2，即(m 1m 2+2)(m 2−m 1)=0，由题意知m 1≠m 2， ∴ m 1m 2+2=0，设P(x, y)，则yx+1⋅yx−1+2=0， 即y 22+x 2=1，x ≠±1，由当直线l 1或l 2斜率不存在时， P 点坐标为(−1, 0)或(1, 0)也满足， ∴ 点P(x, y)在椭圆y 22+x 2=1上，∴ 存在点M ，N 其坐标分别为(0, −1), (0, 1)， 使得|PM|+|PN|为定值2√2． 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的标准方程 【解析】(1)由已知条件推导出|AB|=2a =2√3，|CD|=2b 2a=4√33，由此能求出椭圆E 的方程． (2)焦点F 1、F 2坐标分别为(−1, 0)，(1, 0)，当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(−1, 0)或(1, 0)，当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{x 23+y 22=1y =m 1(x +1)，得(2+3m 12)x 2+6m 12x +3m 12−6=0，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M ，N 其坐标分别为(0, −1)、(0, 1)，使得|PM|+|PN|为定值2√2． 【解答】解：(1)当l 1与x 轴重合时，k 1+k 2=k 3+k 4=0， 即k 3=−k 4，∴ l 2垂直于x 轴，得|AB|=2a =2√3，|CD|=2b 2a=4√33，解得a =√3，b =√2， ∴ 椭圆E 的方程为x 23+y 22=1．(2)焦点F 1、F 2坐标分别为(−1, 0)，(1, 0)，当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(−1, 0)或(1, 0)， 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{x 23+y 22=1,y =m 1(x +1),得(2+3m 12)x 2+6m 12x +3m 12−6=0，∴ x 1+x 2=−6m 122+3m 12，x 1x 2=3m 12−62+3m 12，k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=m 1(x 1+1x 1+x 2+1x 2) =m 1(2+x 1+x 2x 1x 2)=−4m 1m 12−2，同理k 3+k 4=−4m2m 22−2，∵ k 1+k 2=k 3+k 4，∴ −4m 1m 12−2=−4m 2m 22−2，即(m 1m 2+2)(m 2−m 1)=0，由题意知m 1≠m 2， ∴ m 1m 2+2=0，设P(x, y)，则yx+1⋅yx−1+2=0， 即y 22+x 2=1，x ≠±1，由当直线l 1或l 2斜率不存在时， P 点坐标为(−1, 0)或(1, 0)也满足， ∴ 点P(x, y)在椭圆y 22+x 2=1上，∴ 存在点M ，N 其坐标分别为(0, −1), (0, 1)， 使得|PM|+|PN|为定值2√2． 【答案】（1）∵ ℎ(x)=lnx −32x 2−2x,x ∈(0,+∞)， ∴ ℎ(x)=1x −3x −2=−3x 2−2x+1x=−(3x−1)(x+1)x ,x ∈(0,+∞)令∴ ℎ(x)=−(3x−1)(x+1)x=0得：x =13当0<x <13时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)在(0,13)上单调递增， 当x >13时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(13,+∞)上单调递减，∴ ℎ(x)=ℎ(13)=−ln3−56，ℎ(x)极小值不存在．（2）证明：∵ 函数y =ℎ(x)的两个零点为x 1，x 2(x 1≠x 2)，不妨设0<x 1<x 2， ∴ ℎ(x 1)=lnx 1−a2x 12−bx 1=0，ℎ(x 2)=lnx 2−22x 22−bx 2=0， ∴ ℎ(x 1)−ℎ(x 2)=lnx 1−a2x 12−bx 1−lnx 2−a2x 22−bx 2 =lnx 1−lnx 2−a2(x 12−x 22)−b(x 1−x 2)=0即lnx 1−lnx 2=a2(x 12−x 22)+b(x 1−x 2) 又∵ ℎ(x)=f ′(x)−g ′(x)=1x −(ax +b)，x 0=x 1+x 22，∴ ℎ(x 0)=2x1+x 2−(ax 1+x 22+b)，∴ (x 1−x 2)ℎ(x 0)=(x 1−x 2)(2x 1+x 2−ax 1+x 22−b)=2(x 1−x 2)x 1+x 2−[12a(x 12−x 22)+b(x 1−x 2)]=2(x 1−x 2)x 1+x 2−(lnx 1−lnx 2)=2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x1x2．令x 1x 2=t(0<t <1)，则r(t)=2(t−1)t+1−lnt(0<t <1)，∴ r ′(t)=4(t+1)2−1t =−(t−1)2(t+1)2t<0，∴ r(t)在(0, 1)上单调递减，故r(t)>r(1)=0， ∴2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−lnx 1x 2>0，∴ (x 1−x 2)ℎ′(x 0)>0，又∵ x 1−x 2<0，∴ ℎ′(x 0)<0． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)求出(x 1−x 2)ℎ(x 0)=(x 1−x 2)(2x 1+x 2−ax 1+x 22−b)=2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x2．令x1x 2=t(0<t <1)，则r(t)=2(t−1)t+1−lnt(0<t <1)，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）∵ ℎ(x)=lnx −32x 2−2x,x ∈(0,+∞)， ∴ ℎ(x)=1x −3x −2=−3x 2−2x+1x=−(3x−1)(x+1)x ,x ∈(0,+∞)令∴ ℎ(x)=−(3x−1)(x+1)x=0得：x =13当0<x <13时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)在(0,13)上单调递增， 当x >13时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(13,+∞)上单调递减， ∴ ℎ(x)=ℎ(13)=−ln3−56，ℎ(x)极小值不存在．（2）证明：∵ 函数y =ℎ(x)的两个零点为x 1，x 2(x 1≠x 2)，不妨设0<x 1<x 2， ∴ ℎ(x 1)=lnx 1−a2x 12−bx 1=0，ℎ(x 2)=lnx 2−22x 22−bx 2=0， ∴ ℎ(x 1)−ℎ(x 2)=lnx 1−a2x 12−bx 1−lnx 2−a2x 22−bx 2 =lnx 1−lnx 2−a2(x 12−x 22)−b(x 1−x 2)=0即lnx 1−lnx 2=a2(x 12−x 22)+b(x 1−x 2) 又∵ ℎ(x)=f ′(x)−g ′(x)=1x −(ax +b)，x 0=x 1+x 22，∴ ℎ(x 0)=2x1+x 2−(ax 1+x 22+b)，∴ (x 1−x 2)ℎ(x 0)=(x 1−x 2)(2x 1+x 2−ax 1+x 22−b)=2(x 1−x 2)x 1+x 2−[12a(x 12−x 22)+b(x 1−x 2)]=2(x 1−x 2)x 1+x 2−(lnx 1−lnx 2)=2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x1x2．令x1x 2=t(0<t <1)，则r(t)=2(t−1)t+1−lnt(0<t <1)，∴ r ′(t)=4(t+1)2−1t =−(t−1)2(t+1)2t<0，∴ r(t)在(0, 1)上单调递减，故r(t)>r(1)=0， ∴2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−lnx 1x 2>0，∴ (x 1−x 2)ℎ′(x 0)>0，又∵ x 1−x 2<0，∴ ℎ′(x 0)<0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】(Ⅰ)∵ 直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)． ∴ 消去参数t ，得直线l 普通方程为sinax −cosay +cosα=0，∵ 曲线C 的极坐标方程为：ρcos 2θ=4sinθ，即ρ2cos 2θ=4ρsinθ， ∵ ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为C:x 2=4y ．(Ⅱ)将{x =tcosαy =1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)代入曲线C:x 2=4y ， 得到：t 2cos 2α−4tsinα−4=0，∴ |AB|=|t 1−t 2|=√(4sinαcos 2α)2−4∗−4cos 2α=8，∴ cosα=±√22，∴ α=π4或α=3π4．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 普通方程，曲线C 的极坐标方程转化为ρ2cos 2θ=4ρsinθ，再由ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，能求出曲线C 的直角坐标方程． (Ⅱ)将{x =tcosαy =1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)代入曲线C:x 2=4y ，得到：t 2cos 2α−4tsinα−4=0，由此利用弦长公式能求出α的值． 【解答】(Ⅰ)∵ 直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)． ∴ 消去参数t ，得直线l 普通方程为sinax −cosay +cosα=0，∵ 曲线C 的极坐标方程为：ρcos 2θ=4sinθ，即ρ2cos 2θ=4ρsinθ， ∵ ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为C:x 2=4y ．(Ⅱ)将{x =tcosαy =1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)代入曲线C:x 2=4y ， 得到：t 2cos 2α−4tsinα−4=0，∴ |AB|=|t 1−t 2|=√(4sinαcos 2α)2−4∗−4cos 2α=8，∴ cosα=±√22，∴ α=π4或α=3π4．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】证明：f(x)=|x +a|+|2x −b|=|x +a|+|x −b2|+|x −b2|， ∵ |x +a|+|x −b2|≥|(x +a)−(x −b2)|=a +b2且|x −b2|≥0， ∴ f(x)≥a +b2，当x =b2时取等号， 即f(x)的最小值为a +b2， ∴ a +b2=1,2a +b =2． ∵ a +2b ≥tab 恒成立，∴a+2b ab ≥t 恒成立，a+2b ab=1b +2a =(1b +2a )(2a +b)12=12(1+4+2a b+2ba)≥12(1+4+2√2a b ⋅2ba)=92， 当a =b =23时，a+2b ab取得最小值92，∴ 92≥t ，即实数t 的最大值为92．【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）根据不等式的性质求出f(x)的最小值，证明结论即可； （2）求出a+2b ab≥t 恒成立，根据不等式的性质求出t 的最大值即可．【解答】证明：f(x)=|x +a|+|2x −b|=|x +a|+|x −b2|+|x −b2|， ∵ |x +a|+|x −b2|≥|(x +a)−(x −b2)|=a +b2且|x −b2|≥0， ∴ f(x)≥a +b2，当x =b2时取等号，即f(x)的最小值为a+b2，∴a+b2=1,2a+b=2．∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2bab≥t恒成立，a+2b ab =1b+2a=(1b+2a)(2a+b)12=12(1+4+2ab+2ba)≥12(1+4+2√2ab⋅2ba)=92，当a=b=23时，a+2bab取得最小值92，∴92≥t，即实数t的最大值为92．。
河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)解析版
中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2， ），则该双曲线
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D. 3
5. 同时具有性质“①最小正周期是 π；②图象关于（ ，0）对称；③在[0， ]上是增
函数”的一个函数可以是（ ）
（x）=loga（ax+t）（a＞0 且 a≠1）是“半保值函数”，则正实数 t 的取值范围是（ ）
A. （0， ]
B. （0， ）
C. （0，+∞）
D. （ ，+∞）
12. 已知椭圆 C1：
（a＞b＞0）与双曲线 C2：
有公共焦点，C2 的一
条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点，若 C1 恰好将线段 AB 三等 分，则（ ）
（2）对数据作出如下处理：令 ui=lnxi，vi=lnyi，得到相关统计量的值如表：
uivi
ui
vi
u
30.5
15
15
46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中
e=2.71828…），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一 年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu
的斜率和截距的最小二乘估计分别为 =
， =- ．
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20. 已知抛物线 y2=-2px（p＞0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（-2，m）在抛物线上， 且|MF|= ，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA， MB 的斜率分别为 k1，k2． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当 k1+k2=-2 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标．
郑州外国语学校2018届高三第十一次调研考试高三文科数学(试卷+答案)
x my 1 2 2 由 x2 得 (3m 4) y 6my 9 0 ， y2 1 3 4
设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 y 2 称知，
6m 9 , y1 y 2 ，由 Q 与 M 关于原点对 2 3m 4 3m 1 y 2 ) 2 4 y1 y 2
2
12 m 2 1 3m 2 4
又 ABC 的外接圆的半径为 3 ，所以 a 2 3 sin A 3 由 余 弦 定 理 得 ：
a b c 2bc cos A b c bc (b c ) 3bc
2 2 2 2 2
12 3 m2 1
1 m2 1
，……………10 分
3 (b c) 2 (b c) 2 (b c) 2 即 b c 6 当且仅当 b c 时取等号， 周长的最大值为 9 4 4 18 【答案】解：Ⅰ设各小长方形的宽度为 m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1， 可知，故 ；4 分 Ⅱ由Ⅰ知各小组依次是， ， 故可估计平均值为（8 分 ） Ⅲ空白栏中填 5．回归直线的方程为分 y 1.2 x 0.2 （12 分）
a 6a , ) ， 代入椭圆 E 的方程得 7 7
1 36a 2 x2 y2 1 ， 又 a 2 b 2 1 ， 故 a 2 4, b 2 3 ， 椭圆 E : 1； 2 49 49b 4 3
（Ⅱ）由题知，直线 l 不与 x 轴重合，故可设 l : x my 1 ，
高三调研考试文科数学试题
一、选择题：本大题共 12 小题 ，每小题 5 分。 DCCAA BABBD CA 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
河南省郑州市2018年高考数学三模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2018的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2018 B．﹣2018 C．﹣2018 D．﹣2018二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到2018年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数；GP ：两角和与差的余弦函数． 【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos （﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin （+α）=﹣．故选：D ．6．已知f'（x ）=2x+m ，且f （0）=0，函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为3，数列的前n 项和为S n ，则S 2018的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f （x ）=x 2+mx+c ，运用导数的几何意义，由条件可得m ，c 的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x ）=2x+m ，可设f （x ）=x 2+mx+c ， 由f （0）=0，可得c=0．可得函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为2+m=3， 解得m=1， 即f （x ）=x 2+x ，则==﹣，数列的前n 项和为S n ，则S 2018=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A ．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2018 B．﹣2018 C．﹣2018 D．﹣2018【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2018，∴h=1+h（﹣2018）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d ，首项a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项即可求出公差d ，再写出通项公式即可，（2）化简b n 根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n }的前n 项和S n ，利用裂项相消法求出S n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项． ∴（2+2d ）2=（3+3d ）（2+d ）， 解得d=2，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2+2（n ﹣1）=2n ，（2）b n ====（﹣），∴S n =（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到 2018年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2018年5月23日。
河南省郑州市2018届高三第三次质量预测文数试题含解析
考试成绩低于 130 的占 95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：
（ 1）如果成绩不低于 130 的为特别优秀，这 100 名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约
4x ，则 A
B
（
）
x
A ． ,1
B ． 1,
C． 0,1
【答案】 B
2．若复数 z 满足 z 2 i 1 7i ，则 z （ ）
D ． 0,
A ． 10
B． 2 2
【答案】 A
3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（
C． 5
）
D． 2
A ．数列 2 n 1 的第 4 项 C．数列 2 n 1 的前 4 项的和
甲同学认为 a 有可能比 b 大，乙同学认为 a 和 b 有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（
）
A ．甲对乙不对 【答案】 B
B．乙对甲不对
C ．甲乙都对
D．甲乙都不对
8．某几何体的三视图如图所示，记 A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（
）
A． 3 A
B． 5 A
C． 2 6 A
【答案】 D
3
，
2
又 A 为三角形内角，所以 A ． 6
（ 2）由余弦定理： a 2
b2
c2
2bc cos A 得： 4
b2
c2
3 2bc
2bc
2
3bc ，
所以 bc 4 2 3 ，所以 S 1 bc sin A 2 3 ． 2
18．（ 12 分）在 2018 年 3 月郑州第二次模拟考试中，某校共有
100 名文科学生参加考试，其中语文
3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
河南省郑州市2018届高三第三次质量预测数学(理)试题 Word版含解析
河南省郑州市2018届高三第三次质量预测数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：，则 . 本题选择C选项.2. 下列命题中，正确的是（）A.B. 复数，若，则C. “”是“”的充要条件D. 命题“”的否定是：“”【答案】D【解析】分析：根据相关知识对四个选项逐个分析可得结论．详解：对于A，由于，故的最大值为，故A不正确．对于B，当时，，而，故B不正确．对于C，当成立；反之，当时，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故C不正确．对于D，由题意得，命题“”的否定是“”，故D正确．故选D．点睛：本题考查命题及逻辑的有关知识，解题的关键是借助相关知识对每个命题逐个进行判断，然后得到结论．3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解．详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为．由古典概型概率公式可得．故选A．点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．4. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小．详解：∵，∴．∴，∴．故选A．点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如0或1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结论．5. 设，则的展开式中常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据定积分求得，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项．详解：由题意得．∴二项式即为，其展开式的通项为，当时，．故选B．点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通项，并根据常数项的特征求解．6. 执行如图所示的程序框图，若，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：依次运行框图中的程序后可得结果．详解：依次运行程序框图中的程序可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足，停止运行．输出4．故选B．点睛：对于判断程序框图的输出结果的问题，首先要弄清程序框图的功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．7. 某几何体的三视图如图所示，记为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，四边形是一个边长为4的正方形，且，∵为此几何体所有棱的长度构成的集合，故选D．【点睛】本题考查三视图求几何体的棱长，以及线面垂直的定义和勾股定理的应用，考查空间想象能力.其中由三视图正确复原几何体是解题的关键，．8. 在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，然后再由三角形的面积公式可得结果．详解：∵，∴，由正弦定理得，∴．又，∴．∵，∴．由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立．∴．故面积的最大值为．故选A．点睛：三角形的面积常与余弦定理结合在一起考查，解题时要注意常见的变形和整体代换的应用，如；另外，三角形面积的最值问题一般通过基本不等式来解决，解题时注意构造适合应用不等式所需的形式，同时注意等号成立的条件．9. 已知数列中，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：数列的递推公式10. 已知，下列结论中错误的是（）A. 既是偶函数又是周期函数B. 的最大值是1C. 的图像关于点对称D. 的图像关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．详解：对于选项A，由f(x)=cos x sin2x，得f(−x)=cos(−x)sin2(−x)=cos x sin2x=f(x)，∴函数f(x)是偶函数；又f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cos x sin2x=f(x)，∴函数f(x)是周期函数．∴f(x)既是偶函数又是周期函数，故A正确．对于选项B，∵|cos x|⩽1，|sin2x|⩽1，且等号不能同时成立，∴无论x取什么值，f(x)=cos x sin2x均取不到值1，故B不正确．对于选项C，∵f(x)+f(π−x)=cos x sin2x+cos(π−x)sin2(π−x)=cos x sin2x−cos x sin2x=0，∴f(x)的图象关于点对称．故C正确．对于选项D，∵f(2π−x)=cos(2π−x)sin2(2π−x)=cos x sin2x=f(x)，∴f(x)的图象关于直线x=π对称，故D正确．综上可得错误的结论是B．故选B．点睛：（1）本题考查三角函数性质的综合运用，解题时要根据题目的要求并结合相关性质进行推理、判断．（2）解题时注意函数的对称性、奇偶性、周期性的表示，如函数f(x)的图象关于直线对称等．11. 已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意设PA与PB的夹角为，通过解直角三角形求出PA，PB的长，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值．详解：如图，由题意设，则，∴，设，则，当且仅当，即时等号成立，此时．又当点P在椭圆的右顶点时，，∴，此时最大，且最大值．∴的取值范围是故选C．点睛：圆锥曲线中的最值或范围问题将几何问题和函数、不等式的问题综合在一起，考查学生的综合应用能力，此类题目具有一定的难度．解题时首先要根据题意设出相关的参数，把所求的最值表示为该参数的函数，然后根据目标函数的特征选用函数或不等式的知识求解最值即可．12. 已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象如下图所示，不妨设，则时，，显然，，，考虑极限情况，可知，故选择B.点睛：本题考查利用函数图像求参数的取值范围.首先作出分段函数的图像，显然函数在上递减，上递增，上递减，结合函数图像分析，可以考虑极限情况，当直线，时显然为临界直线，可以求出的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设满足约束条件：，则的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，顶点为，当过点时取得最小值-3考点：线性规划问题14. 已知向量与的夹角为，且，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据求得，再由数量积求得．详解：∵，∴，∴，整理得，解得．点睛：本题考查数量积的运算，解题时注意数量积的运算满足多项式运算的运算律．解答本题的关键是把作为未知数，并结合题意构造出相应的方程，通过解方程达到求解的目的．15. 已知四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________．【答案】【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积为4×3×5-4×××4×3×5=20.故答案为2016. 已知双曲线的右焦点为为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于两点，使，则双曲线离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先求出当直线与x轴垂直时的离心率，再求出当直线与渐近线平行时这一极端情况下的离心率，由此可得所求的范围．详解：由得．（1）当直线与x轴垂直时，则有，∴，即，∴，∴，解得．（2）当直线与x轴不垂直时．若直线平行于渐近线时，直线的斜率为，直线方程为，代入双曲线方程可得点A的坐标为，∴的斜率为，又此时有，∴，整理得，解得．但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意．∴双曲线离心率的取值范围是．点睛：求双曲线的离心率或范围时，首先把给出的几何图形的位置关系转化为的关系，并结合题意得到关于离心率的方程或不等式，解方程或不等式后可得所求的值或范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由题意可求得等差数列的公差，从而可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，然后根据裂项相消法得到，由此可得结论成立．详解：（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，．∵成等比数列，∴，即，又∴，∴，∴.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，∴．∴．∴．点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：（1）列项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示与的关系．（Ⅲ）先确定的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望．详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：．（Ⅱ）当时，，当时，．所以（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．所以的分布列为：∴万元．点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得．两两垂直，建立空间直角坐标系，根据可证得．（Ⅱ）根据点在棱上可设，再由，得，由此可得，从而可得．然后可求得平面的法向量为，又平面的一个法向量，可得，然后结合图形可得所求．详解：（Ⅰ）证明：底面，平面，面，∴，，又，∴．两两垂直．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则由题意得，∴，∴，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,．由点在棱上，设，，，,解得，∴．设平面的法向量为，则由，得，令，得．由题意取平面的一个法向量．∴，由图形知二面角是锐角，所以二面角的余弦值为．点睛：用坐标法解答立体几何问题的几个注意点：（1）建立空间直角坐标系时首先要判断是否满足条件，即是否有三条两两垂直的直线；（2）求点的坐标时一定要准确，对于不容易求的点的坐标，可根据向量的共线等方法求解；（3）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，最后再下结论．20. 如图，分别过椭圆左、右焦点的动直线相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率满足．已知当与轴重合时，，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），和.【解析】试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点.试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为.焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或;当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：, 所以:，, 则：. 同理：, 因为, 所以, 即, 由题意知, 所以，设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，本题的关键是从这个角度出发，把坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆，从而求得存在两定点和点.21. 已知，，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在上的单调性，然后可得当时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设，由题意可得，即，又由条件得，构造，令，则，利用导数可得，故得，又，所以．详解：（Ⅰ），，由得，且当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，∴当时，有极大值，且，无极小值．（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，，．，即，又，，，．令，则，在上单调递减，故，，即，又，．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点，若，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或.【解析】分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数可得普通方程，由，得，根据转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程整理得二次方程，然后根据根与系数的关系及参数方程中参数的几何意义求得弦长，进而可得或．.................................详解：（Ⅰ）将（为参数，）消去参数，整理得，∴直线普通方程为．∵，∴，将代入上式，得，∴曲线的普通方程为．（Ⅱ）将（为参数，）代入方程整理得：，显然．设两点对应的参数分别为，则，∴，解得又，∴或．点睛：用直线参数方程的几何意义求长度问题时，要注意参数方程中参数的系数的平方和为1，只有在这种形式下，||才表示直线上的动点到定点的距离，这才是直线的参数方程中参数的几何意义．选修4-5：不等式选讲23. 已知，函数的最小值为1．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【试题分析】（1）运用绝对值的三角不等式或运用绝对值的定义将其化归为分段函数的最值问题来处理，求解时借助分段函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，从而探求出在处取最小值；（2）先将不等式中的参数分离出来得到，再运用基本不等式或柯西不等式求最值：（1）法一：，∵且，∴，当时取等号，即的最小值为，∴；法二：∵，∴，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴；（2）法一：∵恒成立，∴恒成立，，当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为；法二：∵恒成立，∴恒成立，恒成立，，∴，即实数的最大值为．。
【高三数学试题精选】2018高三文科数学第三次联考试题(河南十所名校附答案)
2018高三文科数学第三次联考试题（河南十所名校附答案）
5 c 2018年河南省十所名校高三第三次联考试题
数学（科）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题
一、选择题本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U是实数集R，集合＝{x｜≥2x}，N＝{x｜≤0}，则∩N＝
A．{1，2} B．{ 2 } c．{1} D．[1，2]
2．i为虚数单位，若复数＝，则｜z｜＝
A．1 B．2 c． D．2
3．双曲线的离心率为
A． B． c． D．
4．某学生在一门功的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功考试分数的极差与中位数之和为
A．117 B．118 c．118．5 D．119．5
5．在△ABc中，是AB边所在直线上任意一点，若＝－2 ＋λ，则λ＝
A．1 B．2 c．3 D．4
6．“＝－1”是“函数f（x）＝ln（x）在（－∞，0）上单调递减”的
A．充分不必要条 B．必要不充分条
c．充要条 D．既不充分也不必要条
7．差不为0的等差数列{ }的前21项的和等于前8项的和．若，则＝。
河南省郑州市2018届高三第三次质量预测数学(理)试题(精编含解析)
河南省郑州市2018届高三第三次质量预测数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：，则.本题选择C选项.2. 下列命题中，正确的是（）A.B. 复数，若，则C. “”是“”的充要条件D. 命题“”的否定是：“”【答案】D【解析】分析：根据相关知识对四个选项逐个分析可得结论．详解：对于A，由于，故的最大值为，故A不正确．对于B，当时，，而，故B不正确．对于C，当成立；反之，当时，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故C不正确．对于D，由题意得，命题“”的否定是“”，故D正确．故选D．点睛：本题考查命题及逻辑的有关知识，解题的关键是借助相关知识对每个命题逐个进行判断，然后得到结论．3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解．详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为．由古典概型概率公式可得．故选A．点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．4. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小．详解：∵，∴．∴，∴．故选A．点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如0或1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结论．5. 设，则的展开式中常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据定积分求得，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项．详解：由题意得．∴二项式即为，其展开式的通项为，当时，．故选B．点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通项，并根据常数项的特征求解．6. 执行如图所示的程序框图，若，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：依次运行框图中的程序后可得结果．详解：依次运行程序框图中的程序可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足，停止运行．输出4．故选B．点睛：对于判断程序框图的输出结果的问题，首先要弄清程序框图的功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．7. 某几何体的三视图如图所示，记为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，四边形是一个边长为4的正方形，且，∵为此几何体所有棱的长度构成的集合，故选D．【点睛】本题考查三视图求几何体的棱长，以及线面垂直的定义和勾股定理的应用，考查空间想象能力.其中由三视图正确复原几何体是解题的关键，．8. 在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，然后再由三角形的面积公式可得结果．详解：∵，∴，由正弦定理得，∴．又，∴．∵，∴．由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立．∴．故面积的最大值为．故选A．点睛：三角形的面积常与余弦定理结合在一起考查，解题时要注意常见的变形和整体代换的应用，如；另外，三角形面积的最值问题一般通过基本不等式来解决，解题时注意构造适合应用不等式所需的形式，同时注意等号成立的条件．9. 已知数列中，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：数列的递推公式10. 已知，下列结论中错误的是（）A. 既是偶函数又是周期函数B. 的最大值是1C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．详解：对于选项A，由f(x)=cos x sin2x，得f(−x)=cos(−x)sin2(−x)=cos x sin2x=f(x)，∴函数f(x)是偶函数；又f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cos x sin2x=f(x)，∴函数f(x)是周期函数．∴f(x)既是偶函数又是周期函数，故A正确．对于选项B，∵|cos x|⩽1，|sin2x|⩽1，且等号不能同时成立，∴无论x取什么值，f(x)=cos x sin2x均取不到值1，故B不正确．对于选项C，∵f(x)+f(π−x)=cos x sin2x+cos(π−x)sin2(π−x)=cos x sin2x−cos x sin2x=0，∴f(x)的图象关于点对称．故C正确．对于选项D，∵f(2π−x)=cos(2π−x)sin2(2π−x)=cos x sin2x=f(x)，∴f(x)的图象关于直线x=π对称，故D正确．综上可得错误的结论是B．故选B．点睛：（1）本题考查三角函数性质的综合运用，解题时要根据题目的要求并结合相关性质进行推理、判断．（2）解题时注意函数的对称性、奇偶性、周期性的表示，如函数f(x)的图象关于直线对称等．11. 已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意设PA与PB的夹角为，通过解直角三角形求出PA，PB的长，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值．详解：如图，由题意设，则，∴，设，则，当且仅当，即时等号成立，此时．又当点P在椭圆的右顶点时，，∴，此时最大，且最大值．∴的取值范围是故选C．点睛：圆锥曲线中的最值或范围问题将几何问题和函数、不等式的问题综合在一起，考查学生的综合应用能力，此类题目具有一定的难度．解题时首先要根据题意设出相关的参数，把所求的最值表示为该参数的函数，然后根据目标函数的特征选用函数或不等式的知识求解最值即可．12. 已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象如下图所示，不妨设，则时，，显然，，，考虑极限情况，可知，故选择B.点睛：本题考查利用函数图像求参数的取值范围.首先作出分段函数的图像，显然函数在上递减，上递增，上递减，结合函数图像分析，可以考虑极限情况，当直线，时显然为临界直线，可以求出的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设满足约束条件：，则的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，顶点为，当过点时取得最小值-3考点：线性规划问题14. 已知向量与的夹角为，且，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据求得，再由数量积求得．详解：∵，∴，∴，整理得，解得．点睛：本题考查数量积的运算，解题时注意数量积的运算满足多项式运算的运算律．解答本题的关键是把作为未知数，并结合题意构造出相应的方程，通过解方程达到求解的目的．15. 已知四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________．【答案】【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积为4×3×5-4×××4×3×5=20.故答案为2016. 已知双曲线的右焦点为为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于两点，使，则双曲线离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先求出当直线与x轴垂直时的离心率，再求出当直线与渐近线平行时这一极端情况下的离心率，由此可得所求的范围．详解：由得．（1）当直线与x轴垂直时，则有，∴，即，∴，∴，解得．（2）当直线与x轴不垂直时．若直线平行于渐近线时，直线的斜率为，直线方程为，代入双曲线方程可得点A的坐标为，∴的斜率为，又此时有，∴，整理得，解得．但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意．∴双曲线离心率的取值范围是．点睛：求双曲线的离心率或范围时，首先把给出的几何图形的位置关系转化为的关系，并结合题意得到关于离心率的方程或不等式，解方程或不等式后可得所求的值或范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由题意可求得等差数列的公差，从而可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，然后根据裂项相消法得到，由此可得结论成立．详解：（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，．∵成等比数列，∴，即，又∴，∴，∴.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，∴．∴．∴．点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：（1）列项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示与的关系．（Ⅲ）先确定的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望．详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：．（Ⅱ）当时，，当时，．所以（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．所以的分布列为：455361650.10.20.30.4∴万元．点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得．两两垂直，建立空间直角坐标系，根据可证得．（Ⅱ）根据点在棱上可设，再由，得，由此可得，从而可得．然后可求得平面的法向量为，又平面的一个法向量，可得，然后结合图形可得所求．详解：（Ⅰ）证明：底面，平面，面，∴，，又，∴．两两垂直．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则由题意得，∴，∴，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,．由点在棱上，设，，，,解得，∴．设平面的法向量为，则由，得，令，得．由题意取平面的一个法向量．∴，由图形知二面角是锐角，所以二面角的余弦值为．点睛：用坐标法解答立体几何问题的几个注意点：（1）建立空间直角坐标系时首先要判断是否满足条件，即是否有三条两两垂直的直线；（2）求点的坐标时一定要准确，对于不容易求的点的坐标，可根据向量的共线等方法求解；（3）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，最后再下结论．20. 如图，分别过椭圆左、右焦点的动直线相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率满足．已知当与轴重合时，，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），和.【解析】试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点.试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为.焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或;当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：, 所以:，, 则：. 同理：, 因为, 所以, 即, 由题意知, 所以，设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，本题的关键是从这个角度出发，把坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆，从而求得存在两定点和点.21. 已知，，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在上的单调性，然后可得当时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设，由题意可得，即，又由条件得，构造，令，则，利用导数可得，故得，又，所以．详解：（Ⅰ），，由得，且当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，∴当时，有极大值，且，无极小值．（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，，．，即，又，，，．令，则，在上单调递减，故，，即，又，．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点，若，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或.【解析】分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数可得普通方程，由，得，根据转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理得二次方程，然后根据根与系数的关系及参数方程中参数的几何意义求得弦长，进而可得或．详解：（Ⅰ）将（为参数，）消去参数，整理得，∴直线普通方程为．∵，∴，将代入上式，得，∴曲线的普通方程为．（Ⅱ）将（为参数，）代入方程整理得：，显然．设两点对应的参数分别为，则，∴，解得又，∴或．点睛：用直线参数方程的几何意义求长度问题时，要注意参数方程中参数的系数的平方和为1，只有在这种形式下，||才表示直线上的动点到定点的距离，这才是直线的参数方程中参数的几何意义．选修4-5：不等式选讲23. 已知，函数的最小值为1．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【试题分析】（1）运用绝对值的三角不等式或运用绝对值的定义将其化归为分段函数的最值问题来处理，求解时借助分段函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，从而探求出在处取最小值；（2）先将不等式中的参数分离出来得到，再运用基本不等式或柯西不等式求最值：（1）法一：，∵且，∴，当时取等号，即的最小值为，∴；法二：∵，∴，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴；（2）法一：∵恒成立，∴恒成立，，当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为；法二：∵恒成立，∴恒成立，恒成立，，∴，即实数的最大值为．。