频率特性的几种表示方法
控制系统的频率特性
频率特性是一个复数，有三种表示：
代数式
极坐标式
G j U jV
G( j ) G( j ) G( j ) A( ) ( )
指数式
G( j ) G( j ) e jG ( j ) A( )e j ( )
A G j U 2 V 2
率特性是系统的固有特性，与输入信号无关，
即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
频率特性定义为输出量的Fourier变换与输入量
的Fourier变换之比，即
X 0 j G j X i j
频率特性的矢量图
jv V () A () () 0 U () u G(j)
2T 2 1
相频特性 arctan T 一阶惯性环节的幅相频率特性曲 线是一个半圆。
5. 一阶微分环节
频率特性
G j Tj 1
jv
2 45°
幅频特性 A 1 T 2 相频特性 实频特性
∞ ↑ =0 u
arctan T
r为谐振频率
Mr为谐振峰值
r n 1 2 2
M r A max
0.707
1 2 2
2 1 2
7. 二阶微分环节
jv
=0 0 1 u
8. 延迟环节
频率特性
G j e
A 1
jT
1 1 j T
1 TS 1 S j
定义：
A / 1 2T 2 1 稳态输出幅值 A( ) RC网络幅频 2 2 A 输入幅值 1 T 特性
( ) arctan T 稳态输出相位 输入相位 RC网络相频特性
自动控制原理3第三节典型环节的频率特性
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。
1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
1 5T
Saturday, November 05, 2016
15
微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) s
05, 2016
12
振荡环节的波德图
2 T ( ) tg 相频特性： 1 T 2 2
1
几个特征点： 0, ( ) 0;
1 , ( ) ; , ( ) 。 T 2
由图可见：
K 10, T 1, 0.3 10 G ( j ) 2 s 0.6s 1 1 o T
1
幅频特性为： 相频特性为：
A( )
(1 T 2 2 )2 (2T )2 2 T ( ) tg 1 1 T 2 2
L( ) 20 log A( ) 20 log (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2 对数幅频特性为：
低频段渐近线： T 1时，L( ) 0 高频段渐近线： T 1时， L( ) 20 log (T 2 2 ) 2 40 log T 1 两渐进线的交点 o 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T Saturday, November
1 2
T
时，无谐振峰值。当
M p A( p )
1 2
1 0.707时， p 0 。 2
时，有谐振峰值。
1 2 1 2
1 当 0 ， A(0 ) ， 。 L ( ) 20 lg 2 0 2
3第三节典型环节的频率特性
2 2 2 2 −1
低频渐进线：ω << 1时，L(ω ) ≈ 0 T 高频渐进线： Tω >> 1时，L(ω ) = 20 log (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζωT ) 2 ≈ 40 log Tω 1 转折频率为： o = ，高频段的斜率+40dB/Dec。 ω 相角： ω = 0时，ϕ (ω ) = 0; ω = , ϕ (ω ) = π ; ω = +∞, ϕ (ω ) = π 当 T 2 可见，相角的变化范围从0~180度。
Wednesday, March 16, 2011
22
延迟环节的奈氏图
六、延迟环节的频率特性： 传递函数： ( s ) = e −τs G G 频率特性： ( jω ) = e − jτω
A(ω ) =| e − jτω |=| cos ωτ − j sin ωτ |= 1 幅频特性： 相频特性：ϕ (ω ) = −ωτ
17
一阶微分环节的波德图
波德图：
P(ω ) = 1, Q(ω ) = Tω ; A(ω ) = 1 + T 2ω 2 , ϕ (ω ) = tg −1Tω
幅频特性（用渐进线近似）：
当 20 低频段渐进线： Tω << 1时，A(ω ) ≈ 1， log A(ω ) = 0 当 高频段渐进线： Tω >> 1时，A(ω ) ≈ Tω，L(ω ) = 20 log Tω
Q(ω ) −1 2ζωT ϕ (ω ) = tg = −tg P(ω ) 1 − T 2ω 2
Wednesday, March 16, 2011
第四章频率特性
第四章控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统，是一种经典方法。
问题：什么是频率特性，如何描述？如何利用频率特性分析控制系统？5.1 频率特性5.1.1频率特性的基本概念我们知道，系统（包括开环系统和闭环系统）对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。
频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系。
设系统的传递函数为又设其中：的振幅为常值：正弦函数的角频率有一般地A（s），B（s）为s的多项式;为的极点，包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。
（设系统无重极点）其中，待定，是的共扼复数，为待定系数。
由拉氏反变换可得：则输出信号的稳态分量：（对于稳定的系统具有负实部）注：如果系统中含有k个重极点，则在中将会出现象（j=0，1，2，……，k-1）这样一些项，然而对于稳定的系统来说，由于具有负实部，所以各项都将随着趋于无穷大而趋于零。
因此具有重极点的稳定系统的稳态分量具有和上式相同的形式。
可按下式计算：（由留数公式）及其中为一复数，可表示为其中，模幅角同样可以证明，是的偶函数是的奇函数证明：设式中则有是的偶函数是的奇函数稳定的线性定常系统在正弦输入下的稳态响应为：可见：线性定常系统在正弦信作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。
其振幅是输入信号振幅R的倍，在相位上，正弦输出相对于输入的相移，同样是的函数，对确定的来说，振幅C及相移将是确定的。
综上：在正弦输入信号的作用下，线性定常系统的输出信号的稳态分量是和正弦输入信号同频率的正弦函数，其振幅C与输入正弦的振幅R 的比值C/R=是角频率的函数。
它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性，定义这种振幅比依赖于频率的函数为系统的幅频特性。
相对于输入信号r(t)的相移也是的函数，是系统输出信号的稳态分量对正弦输入信号r(t)的相移为该系统的相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前的特性。
频率法
正弦信号发生器
系统或元件
双踪示波器
一路测输入/输出的幅值比，一路测输入/输出的相位之差 不断改变正弦输入的角频率，可得系统的频率特性
2
4 .对于二阶系统，频率特性与过渡过程性能指标有确定的对应关系；对 于高阶系统，两者也存在近似关系。 因为频率特性与系统的参数和结构有关，故可用研究频率特性的方法， 把系统参数和结构的变化与过渡过程指标联系起来。
C ( jw ) = F ( jw ) e jF ( jw ) = A(w )e jj F ( jw ) = R( jw ) 频率特性 F ( jw) ：在正弦信号作用下，系统的输出稳态分量 与输入量复数之比。表征输入输出幅值、相位上的差异。 幅频特性 A(w ) ：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的 谐波分量与输入谐波分量的幅值之比。A(w) = F ( jw)
T
T
0 0
A(w )
j (w )
1
0
1
1 2
- 450
0
w =
w =0
1 1 Tw + = 2 2 2 2 1 + T 2w 2 1+T w 1+T w
2 2
1 1 Tw 1 - + = 1 + T 2w 2 2 1 + T 2w 2 2
r (t ) = R sin wt
R( s ) = R ×2 s + w2
s + p1 s + pn + b0 b1 + s + jw s - jw
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
8由开环频率特性分析闭环系统
8由开环频率特性分析闭环系统在频率特性分析中，我们可以通过开环频率特性来分析闭环系统的性质和性能。
闭环系统是由开环系统和反馈环路组成的，因此我们首先要了解开环系统的频率特性。
开环系统的频率特性主要有两种表示方法：Bode图和Nyquist图。
其中，Bode图将系统的增益和相位的频率响应以对数坐标的形式展示出来，Nyquist图则将系统的频率响应以复数形式表示。
Bode图是一种常用的分析频率特性的方法。
通过绘制系统的增益曲线和相位曲线，我们可以直观地了解系统在不同频率下的表现。
Bode图的横坐标是以对数形式表示的频率，在高频率时值较大，在低频率时值较小。
纵坐标分别表示增益和相位。
Nyquist图是由实部和虚部构成的复平面中的一个图形。
Nyquist图的横坐标是对应于扫频的频率，在频率趋近无穷大时，图形会逼近一个点。
纵坐标表示对应频率下的增益和相位。
通过分析开环系统的频率特性，我们可以得到以下信息：1. 增益裕度：增益裕度是指系统增益与稳定边界之间的差距。
稳定边界是系统增益曲线与-180°相位曲线交点的位置。
增益裕度越大，系统越稳定。
我们可以通过Bode图或Nyquist图来确定系统的增益裕度。
2. 相位裕度：相位裕度是指系统的相位曲线与-180°相位线之间的差距。
相位裕度越大，系统越稳定。
我们可以通过Bode图或Nyquist图来确定系统的相位裕度。
3. 截止频率：截止频率是指系统增益曲线与零增益线交点的频率。
截止频率决定了系统的带宽，即系统能够承载的最高频率。
通过Bode图可以直观地确定系统的截止频率。
4.相位裕度和增益裕度的关系：相位裕度和增益裕度之间存在一定的关系。
当增益裕度增加时，相位裕度通常会减小。
因此，在频率特性分析中，我们需要权衡增益裕度和相位裕度，以实现系统的稳定性和性能。
在闭环系统中，反馈环路能够通过将部分输出信号重新输入到系统中来调节系统的性能，因此闭环系统的频率特性与开环系统有所不同。
频率响应特性分析的技术与方法
频率响应特性分析的技术与方法在现代科技中，频率响应特性分析是一项至关重要的技术，它广泛应用于电子、通讯、计算机、机械、建筑等领域。
频率响应特性分析技术的主要任务是研究系统对于不同频率的输入信号的响应情况，也就是系统的频率响应特性，以及分析系统的稳定性、可靠性和性能等方面。
本文将详细介绍频率响应特性分析的技术与方法。
一、频率响应特性频率响应特性是指系统在不同频率下对于输入信号的响应情况。
它可以用来描述系统的传递函数和系统的稳定性等特性。
频率响应特性通常用相位和幅度角度两个方面来描述系统的特性。
在实际应用中，系统的频率响应特性非常重要。
举个例子，当我们选择一款扬声器或者耳机时，它们的频率响应特性会影响到我们对声音的感受。
同样的，在设计一个航空器的飞行控制系统时，系统的频率响应特性决定了飞机是否能够稳定地飞行。
二、频率响应特性分析的方法频率响应特性分析的方法可以分为两种：试验法和计算法。
试验法：频率响应特性的试验法包括了输入输出测试法、正弦扫频法、傅里叶变换法等。
其中，输入输出测试法是最常用的一种方法，它通过对系统进行输入输出测试来获得系统的频率响应特性。
正弦扫频法则是通过对系统输入正弦信号并改变频率，而观察系统响应的方法。
傅里叶变换法则是通过对输入输出信号进行傅里叶变换，进而得到系统的传递函数和频率响应特性。
计算法：频率响应特性的计算法包括了网格法、有限元法、有限差分法等。
这些方法都是基于数学模型进行计算的。
其中，网格法是对系统建立宏观模型，并对其进行离散化处理，从而获得系统的频率响应特性。
而有限元法和有限差分法则是通过对系统进行微观建模并采用数值计算方法来获得系统的频率响应特性。
三、频率响应特性分析的技术频率响应特性分析的技术包括了滤波器、谱分析、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。
这些技术都可以用来分析系统的频率响应特性。
滤波器：滤波器是一种电路，它能够过滤掉不需要的信号，并且保留需要的信号。
在频率响应特性分析中，滤波器可以被用来提取系统的特定频率响应特性。
第四章分析自动控制系统性能常用的方法
第四章 分析自动控制系统性能常用的方法（10 学时）目的、教学要求：在经典控制理论中常用的分析方法有时域分析法(由时域响应及传递函 数出发去进行分析)、根轨迹分析法和频率特性分析法。
本章主要介绍其中的两种分析方法， 即：时域分析法和频域分析法。
因此在本章中主要掌握：² 时域分析法的基本概念及分析方法² 频域分析法的基本概念及分析方法重点、难点：本章的重点是： 频率特性的基本概念， 开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取， 控制系统的对数稳定性判据，系统频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
本章的难点是：自动控制系统开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取、控制系 统的频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
主要内容：² 频率特性的基本概念² 频率特性的图形表示法² 典型环节的 Bode 图² 自动控制系统的开环对数频率特性² 习题² 实验教学方式：该部分内容较难理解，应采用 PPT+《自动控制原理频域分析工具箱》教学软件 的多媒体教学方式；习题课采用课堂教学， 但至少应用一次课堂练习用来让学生学习绘制伯 德图。
教学设计：① 通过多媒体教学演示软件《自动控制原理频域分析工具箱》生动说明频率响应的概 念，引导学生对实验演示结果进行分析，从而引出占有率特性的基本概念。
② 通过一个案例（一阶 RC 电路）及多媒体教学演示软件来讲解：输出信号的幅值与相 位与频率之间的关系及频率特性与系统结构参数之间的关系（简要介绍，用 PPT+媒体教学 演示软件来讲）。
③ 采用课堂练习的方法，引导学生按步骤进行伯德图的绘制，学习绘制前要求学生准 备好二张以上的三级半对数坐标纸（从校园网上下载）。
教学内容：一、频率特性的基本概念1. 频率响应与频率特性频率响应的概念：线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应。
线性系统的 频域分析的出发点仍然是它的传递函数。
《频率特性曲线》课件
未来研究方向与展望
随着科技的不断发展，频率特性曲线的研究也在 不断深入。未来，频率特性曲线的研究将更加注 重实际应用，例如在生物医学工程、环境监测等 领域的应用。
随着人工智能和机器学习技术的发展，频率特性 曲线的研究将与这些技术相结合，实现更加高效 和智能的分析和设计。
未来研究将更加注重非线性系统的频率特性研究 ，以更好地描述非线性系统的行为。
意义
频率特性曲线能够直观地展示系 统在不同频率下的响应特性，帮 助我们了解系统的频率特性，从 而更好地进行系统分析和设计。
频率特性曲线的重要性
系统分析
工程应用
频率特性曲线是系统分析的重要工具 ，通过分析曲线的形状和变化趋势， 可以了解系统的动态特性和稳定性。
频率特性曲线广泛应用于工程领域， 如通信、控制、音频处理等，为工程 实践提供了重要的理论支持和实践指 导。
带通和带阻滤波器设计
频率特性曲线还可以用于设计带通和带阻滤波器，以在特 定的频率范围内通过或阻止信号。这些滤波器在信号处理 和通信系统中具有广泛的应用。
系统稳定性分析
系统稳定性判断
通过分析频率特性曲线，可以判断系 统的稳定性。如果曲线在某个频率范 围内出现峰值或谷值，这可能意味着 系统在该频率下不稳定。
系统设计
在系统设计过程中，频率特性曲线可 以作为设计参数和性能指标的参考依 据，帮助我们选择合适的元件和参数 配置。
频率特性曲线的历史与发展
历史
频率特性曲线的概念最早可以追溯到20世纪初，随着电子技术和控制理论的发展 ，频率特性曲线在工程实践中得到了广泛应用。
发展
随着科技的不断进步，频率特性曲线的测量和分析技术也在不断改进和完善，为 系统分析和设计提供了更加准确和可靠的工具。同时，频率特性曲线的研究也在 不断深入，为工程实践提供了更加丰富的理论支持和实践指导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q( )
A( ) ( )
P( )
G(s)
s2
s 1 s 1
根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
0 由于 | G( j) |是偶函数， 所以当 从 0 和0 变化时，奈魁 斯特曲线对称于实轴。
三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成
一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数
幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。
Wednesday,
December 25, 2019
5
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
log
由于 以对数分度，所以零频率线在 处。
Wednesday,
December 25, 2019
3
纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以log A()或20log A() 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将log A() 或 20log A() 值标注在纵坐标上。
频率特性可以写成复数形式：G( j) P() jQ() ，也可 以写成指数形式：G( j) | G( j) | G( j)。其中，P() 为实 频特性，Q()为虚频特性；| G( j) |为幅频特性，G( j) 为相频
特性。
在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。
Wednesday,
December 25, 2019
4
Байду номын сангаас
使用对数坐标图的优点：
可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线） 近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
Wednesday,
December 25, 2019
1
一、极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线）
它是在复平面上用一条曲线表示 由0 时的频率特性。 即用矢量G( j) 的端点轨迹形成的图形。 是参变量。在曲线 的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。
Wednesday,
December 25, 2019
2
二、对数频率特性曲线（又称波德图）
它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。
波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：
横坐标分度：它是以频率 的对数值 log 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20 log(幅值)
幅值 1
A( )
增益 0
1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 2 4 6 8 10 15 20