抽屉原理

抽屉模型的综合运用

导入

1、把98个苹果放到10个抽屉中，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少含有多少个苹果？

2、一个袋子里有一些球，这些球仅有颜色不同。其中红球 10 个，白球 9 个，黄球 8 个，蓝球 2 个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？

知识精讲

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

1、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

2、抽屉原理的解题方案

（1）利用公式进行解题

苹果÷抽屉＝商……余数

余数：

①余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

②余数＝x ()()11x n -p p ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

③余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

（2）利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想，“任我意”方法、特殊值方法．

【例1】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

【巩固】

1、五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．

例题精讲

2、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

【例2】学校组织2006名同学去春游，现有解放公园、野生动物园、水族公园三个景点，规定每人至少去一处，最多去两处游览，那么至少有多少个同学游览的地方相同？

【巩固】

1、“六一”儿童节老师买来一些铅笔、橡皮和直尺，奖给全班40名同学，每人都得到其中的一、二或三种，那么，他们当中至少有几个同学得到的学习用具相同？

2、100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.

3、五（1）班的同学要从10名候选人中投票选举班干部，如果每个同学只能投票选举两名候选人，那么，这个班至少应有多少个同学，才能保证必有两个以上的同学投相同的两名候选人的票？

【例3】从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？

【巩固】

1、从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？

2、从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?

【例4】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

【巩固】

1、《潇湘北大杯》数学竞赛决赛，一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少多少人参加这次测验，才能保证至少有3人的得分相同．

2、一次考试有20道题，有20分基础分，答对一题加3分，不答不加分也不减分，答错一题减1分，若有100人参加考试，至少有多少人得分相同？

【例5】黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？

【巩固】

1、在100张卡片上不重复地编写上1~100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？

2、从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?

【例6】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?

【巩固】

一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成，只有每台机器都开动时，这流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工人中只有5名到场。为了保证生产，要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总能工作？

课外练习

1、篮子里有苹果，梨，桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿2

个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？

2、说明：在任意的8个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被7整除？

3、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一

本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？

4、80个桃子最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的桃子数不少于7个.

5、从1，2，3，…，198，199，200这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其

中每两个数的差不等于4？

6、把1、2、3、……、10这十个自然数以任意顺序排成一圈，试说明一定有相邻三个

数之和不小于17。