2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}222M y y x x ==--∣，N x y ⎧==⎨⎩，则M N = （ ）A [3,1)- B. [1,1)- C. (1,3)D. [1，4]【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，再利用交集定义即可求得M N ⋂.【详解】{}(){}{}2222133M yy x x y y x y y ==--==--=≥-∣∣∣{}{}101N x y x x x x ⎧===->=<⎨⎩故{}{}[)313,1M N yy x x ⋂=≥-⋂<=-∣故选：A2. 已知向量a ，b 满足2a b a b -=+ ，其中b 是单位向量，则a 在b方向上的投影向量是（ ）A. bB. 34bC. 14bD. 12b- 【答案】D 【解析】【分析】由模的平方得数量积a b ⋅ 与b的关系，再代入投影向量公式可得.【详解】因为2a b a b -=+ 平方得，2222244a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ,又1b = ，则化简得21122a b b ⋅=-=- ，故a 在b 方向上的投影向量是12||||a b b b b b ⋅⨯=-.故选：D ．3. 已知函数()22()log 2,f x x ax a =-∈R ，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在(1,)+∞上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，得1120a a ≤⎧⎨-≥⎩，解得12a ≤，充分性，当“1a ≤”时，函数()f x 在(1,)+∞上不一定单调递增，故充分性不成立，必要性，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则211a a ≤⇒≤，故必要性成立，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的必要不充分条件.故选：B 4.若πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭1tan sin αα-=（ ）A. 125-B.65C.125D.512【答案】C 【解析】【分析】由题给条件求得cos sin ,cos sin αααα-的值，进而求得1tan sin αα-的值.【详解】由πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭αα=则cos si 23n αα-=，则()222cos sin 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos sin 18αα=，故21tan cos sin 1235sin sin cos 518αααααα--===故选：C5. 已知圆221:(3)81C y x ++=和222:(3)1C y x -+=，若动圆P 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M ，则M 的方程为（ ）A. 221167y x += B. 221259y x += C. 2212516y x += D. 221169x y +=【答案】C 【解析】【分析】先利用椭圆定义得到该动圆圆心的轨迹M 为椭圆，进而得到M 的方程.【详解】圆221:(3)81C y x ++=，圆心()10,3C -，半径19r =，圆222:(3)1C y x -+=，圆心()20,3C ，半径21r =，因为1212691C C r r =<-=-所以圆2C 在圆1C 内，所以动圆P 与圆1C 内切与圆2C 外切，设动圆P 半径为r ，圆心(),P x y ，则19PC r =-，21PC r =+，故2110PC PC +=，所以动点P 的轨迹M 是以12,C C 为焦点长轴长为10的椭圆.由12210,26a c C C ===，解得5,3a c ==，所以4c ===，又因为该椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，所以M 的方程为2212516y x +=.故选：C6. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，平面11EFC B 将三棱柱分成体积为12,V V （左为1V ，右为2V ）两部分，则21:V V =（ ）A. 5:6B. 3:4C. 1:2D. 5:7【答案】D 【解析】【分析】设AEF 面积为1s ，ABC 和111A B C 的面积为s ，三棱柱高位h ；1111AEF A B C V V -=；112BCFE B C V V -=；总体积为：V ，根据棱台体积公式求1V ；21V V V =-以及面积关系，求出体积之比．【详解】由题：设AEF 面积为1s ，ABC 和111A B C 的面积为s ，三棱柱高位h ；1111AEF A B C V V -=；112BCFE B C V V -=；总体积为：V计算体积：111(3V h s s =++①V sh =②21V V V =-③由题意可知，14s s =④根据①②③④解方程可得：1712V sh =，2512V sh =；则21:5:7V V =.故选：D ．7. 专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h 需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min 才有一台到达施工现场投入工作，要在24h 内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（ ）A 25台B. 24台C. 23台D. 22台【答案】B.【解析】【分析】设至少需要n 台抽水机，记一台抽水机20min 完成的任务为单位1， n 台抽水机完成的任务依次为12,,,n a a a ，172n ≤≤，{}n a 是公差为1-的等差数列，解不等式2072n S ≥⨯即可得．不等式数字较大，引入二次函数后，利用函数的性质确定结论．【详解】设至少需要n 台抽水机，记一台抽水机20min 完成的任务为单位1，这n 台抽水机完成的任务依次为12,,,n a a a ，172n ≤≤（24372⨯=）依题意160247220a =⨯=，271a =，{}n a 是公差为1-的等差数列，1(1)(1)7222n n n n n S na d n --=+=-，要完成所有任务，则(1)72202432n n n S n -=-≥⨯⨯，214528800n n -+≤，记2()1452880f n n n =-+，()f n 在[1,72]上是减函数，(23)740f =>，(24)24f =-，所以2472n ≤≤时，()0f n <，所以最小值需要24台抽水机，故选：B ．8. 已知函数2()(2)ln 1()f x ax a x x a =-+++∈R ，若12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. (,1)∞--B. (,1]-∞- C. (0,8]D. [0,8]【答案】D 【解析】【分析】将1212()()2f x f x x x ->--化为1122()(22)f x x f x x +<+，由此令()()2m x f x x =+，则2()1m x ax ax lnx =-++，则原问题转化为()m x 在(0,)+∞上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解．【详解】不妨设120x x <<，因为1212()()2f x f x x x ->--对一切120x x <<都成立，所以1122()(22)f x x f x x +<+对一切120x x <<都成立，令()()2m x f x x =+，则2()ln 1m x ax ax x =-++．定义域为(0,)+∞，则原问题转化为()m x 在(0,)+∞上单调递增；()21212ax ax m x ax a x x-+=-+='又，当0a =时，1()0m x x'=>，()m x 在(0,)+∞单调递增；当0a ≠时，需()0m x '≥在(0,)+∞上恒成立，即2210ax ax -+≥在(0,)+∞上恒成立，对于221y ax ax =-+图象过定点(0,1)，对称轴为14x =，故要使得2210ax ax -+≥在(0,)+∞上恒成立，需满足a >0且21121044a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得08a <≤，综合可得08a ≤≤，即a 的取值范围为[0,8]．故选：D.【点睛】方法点睛：遇到双变量12,x x 函数不等式1212()()2f x f x x x ->--，需要集中变量转化为函数值大小关系1122()(22)f x x f x x +<+，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（ ）A. 125,3PF PF ==B. 离心率为12C. 12PF F 的面积为6D. 12PF F 的面积为12【答案】ABC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出,,a b c ，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A ，根据离心率定义判断B ，根据A 可知三角形为直角三角形，求面积可判断CD .【详解】由2211612x y +=，得2216,12a b ==，则4,2====a b c ，因为P 是椭圆上一点，所以1228PF PF a +==，因为122PF PF -=，所以15PF =，23PF =，故A 正确；对于B ，离心率为12c e a ==，故B 正确；对于CD ，因为2221212PF PF F F =+，所以12PF F 为直角三角形，212PF F F ⊥，所以1213462PF F S =⨯⨯=△，故C 正确，D 错误．故选：ABC10. 已知函数π()sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭满足ππ43f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间π,2t ⎛⎤⎥⎝⎦上恰有3个零点，则（ ）A. ()f x 的最小正周期是π2B. ()7,π24x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R C. t 的最小值为37π24 D. t 的最大值为49π24【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的周期与对称性可得ϕ的值，从而得函数解析式，利用正弦型函数的最小周期、最值、零点逐项判断即可得结论.。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)月考数学试卷(8月份)(含答案)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ={y|y =x 2,x ∈R},B ={x|y =1−x }，则A ∩B =( )A. ⌀B. RC. [0,1]D. [−∞,1]2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =30°,a =1,c =3，则b =( )A. 1B.3 C. 2 D.73.设x ，y ∈R ，且x <y <0，则( )A. yx +xy >2B. y 2>xyC. 1x <1yD. x +y2>xy4.天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1−m 2=2.5(lgE 2−lgE 1).其中星等为m i 的星的亮度为E i (i =1,2).已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是( )(注：结果精确到0.01，当|x|较小时，10x ≈1+2.3x +2.7x 2)A. 1.56B. 1.57C. 1.58D. 1.595.已知sinα−cosα=15，0<α<π，则cos2α=( )A. −725B. 725C. 2425D. −24256.如图为函数y =f (x )在[−6,6]上的图像，则f (x )的解析式只可能是( )．A. f (x )=ln (x 2+1+x )cos xB. f (x )=ln (x 2+1+x )sin x C. f (x )=ln (x 2+1−x )cos x D. f (x )=ln (x 2+1−x )sin x7.已知23sinα=1+2cosα,α∈(2π3,7π6)，则sin (2α−π6)=( )A. 7+3516B. −78C. 7−3516D. 788.已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)+f(3−x)=4，f(x)的导函数为g(x)，函数y =g(1+3x)−1为奇函数，则f(32)+g(2024)=( )A. −3B. 3C. −1D. 1二、多选题：本题共3小题，共15分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析
15．幂函数 y f (x) 的图象经过点 (4, 1 ) ，则 f ( 1 ) =____.
2
4
16．函数
f
x
满足
f
x
x2 2x, x 2
2 f x 2, x
2
，则
f
3
值为_____.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
的 17．已知函数
19．设函数
f
x
a2x
t
ax
1
（
a
0且a
1)是定义域为
R
的奇函数
（Ⅰ）求 t 的值；
（Ⅱ）若函数
f
x 的图象过点 1，32
，是否存在正数
mm
1
，使函数
g(x)
logm
a2x
a 2 x
mf
(x)
在
1，log2 3 上的最大值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由
20．已知对数函数 f (x) (a2 2a 2) loga x .
C. (2, 3)
D. (3, 4)
9．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）
A.100=1 与 lg1=0
1
B. 27 3
1 3
与 log27
1 3
3
C.log39=2 与 32=9
D.log55=1 与 51=5
10．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（
故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面 位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷及答案
2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学试卷考试说明：（1）本试卷满分150分．考试时间为120分钟；（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．（3）考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若3-i1+iz =,i 为虚数单位，则z （）A ．2i -B ．12i -C ．12i+D ．2i+2．设集合1{1},12A xB x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎩⎭，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(1,1)-D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知,B C 分别是上、下底面圆的圆心，6,2AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（）图1图2A ．803πB ．703πC ．20πD ．563π4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos 2Bb Cc =，且||||CA CB CA CB +=- ，则A =（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m 元和n 元()m n ≠,甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为12,a a ，则（）A ．12a a =B ．12a a <C ．12a a >D ．12,a a 的大小无法确定6．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若4863,,5a a a 成等差数列，则1056S a a =+（）A ．1219B ．114C ．314D ．211367．有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%，加工出来的零件混放在一起．己知第1,2,3台车床加工的零件数的比为4: 5: 11，现任取一个零件，记事件i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =,事件B =“零件为次品”，则()1P A B =（）A ．0.2B ．0.05C ．537D ．10378．设0a >且1a ≠，若函数()()32223722,0()2log ,0e a x x a a x x f x x x x ⎧-+-++≤⎪=⎨->⎪⎩有三个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,(2,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1(1,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1(1,2)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,1(1,2)3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，某学校举办了一场关于杭州亚运会相关知识问答竞赛，比赛采用计分制（满分100分），该校学生成绩绘制成如下频率分布直方图，图中3b a =．则下列结论正确的是（）A ．0.01a =B ．该校学生成绩的众数为80分C ．该校学生成绩的75%分位数是85分D ．该校学生成绩的平均分是76.510．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22154x y +=的右焦点重合，,A B 是抛物线C 上不同的两点，O 为坐标原点，则（）A ．抛物线C 的标准方程为24y x=B ．若直线AB 经过点F ,则以线段AB 为直径的圆与y 轴相切C ．若点(1,1),Q P 为抛物线C 上的动点，则PQF 周长的最小值为3+D ．若0OA OB ⋅=,则||||32OA OB ⋅≥11．如图，已知正三棱台111ABC A B C -是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中12AA =,以点A 为球心，11BCC B 的交线为曲线,P Γ为Γ上一点，则下列结论中正确的是（）A ．点A 到平面11BCCB 的距离为B ．曲线Γ的长度为4πC ．CP 的最小值为2D ．所有线段AP 所形成的曲面的面积为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则1a =_______．（用数字作答）13．已知圆221:3C x y +=,圆222:(1)(2)3C x y -+-=,直线:2l y x =+．若直线l 与圆1C 交于,A B 两点，与圆2C 交于,D E 两点，,M N 分别为,AB DE 的中点，则||MN =________．14．设*{1,2,,}m N m = 表示不超过()*m m N∈的正整数集合，kA 表示k 个元素的有限集，()S A 表示集合A中所有元素的和，集合(){}*,m k k k m T S A A =⊆N ，则3,2T =_________；若(),32024m S T ≤，则m 的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数21()sincos (0)2f x x x x ωωωω=->．（1）当1ω=时，求函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2,0,23A f a AD π⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC 的面积．16．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC 沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥,连接PB 得三棱锥P ABC -,如图2．图1图2（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ;（2）在线段PC 上是否存在点M ,使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．17．已知函数()e xf x ax =+．（1）若1a =-,求函数()f x 的单调区间；（2）当0x >时，2()1f x x >+恒成立，求实数a 的取值范围．18．这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ,求{}n a 的前n 项和n S ；（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y H a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为20x y ±=．（1）求双曲线H 的标准方程；（2）过点(4,0)P 作直线l 交双曲线H 左右两支于,A B 两点（异于顶点），点A 关于x 轴的对称点为E ，证明直线BE 过定点Q ；（3）过双曲线H 上任意不同的两点,C D 分别作双曲线H 的切线，若两条切线相交于点M ，且0MC MD ⋅=，在第（2）的条件下，求MPQ S 的最大值及此时点M 的坐标．2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学答案1-4CCDA5-8BADC9ACD10AD11ACD12．2401314．{3,4,5}；2215．（1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（2）216．（1）略（2）2317．（1）单调递减区间(,0)-∞单调递增区间(0,)+∞（2）2a e>-18．（1）2727(3)(4)6464P X P X ====91(5)(6)6464P X P X ====15()4E X =（2）34(4)4nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）12519．（1）2214x y -=（2）(1,0)Q （3）(0,MPQ S M =。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨三中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={y|y =24−x 2}，B ={x|y =ln(x 2+2x +3)}，则A ∩B =( )A. (0,4]B. [1,4]C. [1,+∞)D. (0,+∞)2.已知3+i 是关于x 的方程2x 2−mx +n =0(m,n ∈R)的一个根，则m +n =( )A. 20B. 22C. 30D. 323.已知x >0，y >0，lg 2x +lg 4y =lg2，则1x +12y 的最小值为( )A. 2B. 22C. 23D. 44.数列{a n }中，若a 1=2，a 2=4，a n +a n +1+a n +2=2，则数列{a n }的前2024项和S 2024=( )A. 1348B. 1350C. 1354D. 26985.在△ABC 中，D 为BC 中点，CP =λCB ，AQ =23AB +13AC ，若AD =25AP +35AQ ，则λ=( )A. 12B. 13C. 14D. 156.在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且BB 1=4BD ，点M 为A 1C 1的中点，点N 在棱BB 1上，若MN//平面ADC 1，则NBNB 1=( )A. 2B. 3C. 4D. 57.已知偶函数f(x)定义域为R ，且f(3x)=f(2−3x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则函数g(x)=|cos (πx)|−f(x)在区间[−52,12]上所有零点的和为( )A. −7B. −6C. −3D. −28.已知平面向量a ，b ，c ，满足|a |=|b |=1，且cos 〈a ,b〉=−12，|c−a +b |=1，则b ⋅(a−c )的最小值为( )A. −1B. 0C. 1D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷 (2)
一、单选题1. 已知平面向量满足，，则的最大值是（ ）A．B．C．D．2. 已知平面向量满足，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度4. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A ．小寒比大寒的晷长长一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．小雪的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长长5.已知，若，则等于（ ）A．B ．C．D．6. 函数的大致图象是（ ）A．B．C．D．黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷 (2)黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷 (2)二、多选题7. 函数的最小正周期是（ ）A．B．C ．D．8. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若，则；B ．若，则；C ．若，则；D ．若，则9. 已知是半径为2的圆的内接三角形，则（ ）A ．若，则B ．若，则为圆的一条直径C ．若，则，的夹角D ．若，则10. 勒洛三角形也被称为定宽曲线，勒洛三角形的立体版就是如图所示的立体图形，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分组成的，因此它能像球一样来回滚动.这种立体图形称为勒洛四面体，若图中勒洛四面体的四个顶点分别为P 、A 、B 、C ，任意两个顶点之间的距离为1，则下列说法正确的是（）A ．图中所示勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为1B．图中所示勒洛四面体的内切球的表面积为C ．平面截此勒洛四面体所得截面的面积为D．图中所示的勒洛四面体的体积是11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，在上单调递减B ．当时，函数没有最值C ．对任意，函数恒有两个极值点D．对任意，过原点且与相切的直线恒有两条12. 如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（ ）注：，三、填空题四、解答题A ．2020年10月，全国居民消费价格同比下降B ．2020年11月，全国居民消费价格环比下降C ．2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高D ．2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格13.已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，P是抛物线 上的动点，当取得最小值时，点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.14.已知函数在上恰有10个零点，则m 的取值范围是________________．15. 已知函数是定义在的偶函数，当时，，若函数有且仅有个不同的零点，则实数取值范围______.16. 已知是自然对数的底数，，，，.(1)设，求的极值；(2)设，求证：函数没有零点；(3)若，设，求证：.17. 某企业十年内投资一个项目，2022年投资200万，之后每一年的投资额比前一年增长10%.(1)求该企业在2024年该项目的头投资金额；(2)该企业在哪一年的投资金额将达到400万元?（参考数据：）18.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆相交于两点，以线段为邻边作平行四边形，其中点在椭圆上，为坐标原点，求点到直线的距离的最小值．19. 设且，，已知函数.（1）当时，求不等式的解；（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围.20. 已知数列的前n项和为，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式.21. 如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点.(1)证明：是线段的中点；(2)求平面与平面夹角的正弦值.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷(1)
一、单选题二、多选题1.在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．2. 函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．3. 已知为虚数单位，若复数，则下列结论正确的是（ ）A ．的共轭复数是B ．的虚部是C．D．4. 已知，则（ ）A．B．C．D．5. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A．B．C．D ．46.若等差数列满足，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知，且为第一象限角，则（ ）A．B．C．D．8.记为等比数列的前项和，若，则（ ）A ．6B．C．D ．189. 已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（ ）黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷(1)黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷(1)三、填空题四、解答题A．B ．4C．D ．610. 下列命题中正确的是（ ）A ．若样本数据，，…，的平均数是11，方差为8，则数据，，…，的平均数是6，方差为2B．已知随机变量服从正态分布，且，则C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，且数据样本中心点为，则当时，样本的估计值为7D ．随机变量，若，，则11. 若，满足，则（ ）A．B．C．D．12. 已知,则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D ．若,则13. 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份1234用水量4.5432.5由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则等于___14. 与直线垂直的直线的倾斜角为________15.已知，若对任意 ，都有，则的最大值为________.16. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.（1）求与的极坐标方程（2）若与交于点A ，与交于点B ，，求的最大值.17. 已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期与图象的对称轴方程；（2）若，，函数的最小值是，最大值是2，求实数，的值．18.已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，求的最大值．19. 碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年．2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放．用x 表示年份代号，记2010年为．用h 表示2010年前的的年度碳排放量，y 表示2010年开始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨）年份2011201220132014201520162017年份代号x1234567年度碳排放量y （单位：亿吨）2.542.6352.722.802.8853.003.09（1）若h 关于x 的线性回归方程为，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？（2）根据，设2011~2017年间各年碳排放减少量为，建立z 关于x 的回归方程．①根据，求表一中y 关于x 的回归方程（精确到0.001）；②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？哪年能够实现碳中和？参考数据：．参考公式：．20. 为了探讨学生的物理成绩y 与数学成绩x 之间的关系，从某校高三学生中抽取10名学生，他们的成绩（x i ，y i ）（i =1，2，…，10）如下表：x i729096102108117120132138147y i39495359616969798090(1)请用相关数据说明该组数据中y 与x 间的关系是否可用线性回归模型拟合；(2)求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程；（结果保留三位小数）(3)从统计的10名学生中随机抽取2名，求至少有一名学生物理成绩不少于60分的概率.附：参考数据与参考公式112264875963130734441960.6723269.167380.9964相关系数，，.21. 已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}222M y y x x ==--∣，N x y ⎧==⎨⎩，则M N = （）A ．[3,1)-B ．[1,1)-C ．(1,3)D ．[1，4]2．已知向量a ，b 满足2a b a b -=+ ，其中b 是单位向量，则a 在b方向上的投影向量是（）A ．bB ．34bC ．14bD ．12b- 3．已知函数()22()log 2,f x x ax a =-∈R ，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1tan sin αα-=（）A ．125-B ．65C ．125D ．5125．已知圆221:(3)81C y x ++=和222:(3)1C y x -+=，若动圆P 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M ，则M 的方程为（）A ．221167y x +=B ．221259y x +=C ．2212516y x +=D ．221169x y +=6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，平面11EFC B 将三棱柱分成体积为12,V V （左为1V ，右为2V ）两部分，则21:V V =（）A ．5:6B ．3:4C ．1:2D ．5:77．专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h 需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min 才有一台到达施工现场投入工作，要在24h 内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（）A ．25台B ．24台C ．23台D ．22台8．已知函数2()(2)ln 1()f x ax a x x a =-+++∈R ，若12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(,1)∞--B ．(,1]-∞-C ．(0,8]D ．[0,8]二、多选题9．设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（）A ．125,3PF PF ==B ．离心率为12C ．12PF F 的面积为6D ．12PF F 的面积为1210．已知函数π()sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭满足ππ43f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间π,2t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上恰有3个零点，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()7,π24x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R C ．t 的最小值为37π24D ．t 的最大值为49π2411．在ABC V 中，5,6,AB AC BC P ===为ABC V 内的一点，AP xAB yAC =+，则下列说法正确的是（）A ．若P 为ABC V 的重心，则12x y +=B ．若P 为ABC V 的外心，则18PB BC ⋅=-C ．若P 为ABC V 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC V 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知i 为虚数单位，若复数z 满足|4i |2z -=，则|1i |z +-的最大值是.13．边长为1的正三角形ABC 的内心为O ，过O 的直线与边AB ，AC 交于P 、Q ，则2211||||OP OQ +的最大值为.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =-∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意R x ∈都有1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(2)3f =，则()21013f a 的值为.四、解答题15．记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a C C b c =+.(1)求A ；(2)求b ca+的取值范围.16．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.表一：编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y65788599108(1)请用相关系数说明该组数据中变量y 与变量x 之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）；(2)求y 关于x 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；(3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关.表二：没有进步有进步合计参与周六在校自主学习35130165未参与周六不在校自主学习253055合计60160220（参考数据：551122820,435,i ii i i i x y y x ====∑∑的方差为200,i y 的方差为230.81074≈）附：()()()()()121ˆˆˆ,nniiiii nii x x y y x x y y r b a y bx x x ==----===--∑∑∑，22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.100.050.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.82817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，满足1122331,4,7a b a b a b ==+=+=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ；(3)在（2）的条件下，设数列11n n n S a a +⎧⎫-⎨⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈时，141n T n λ>++恒成立，求实数λ的取值范围．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥底面1111,3,A B C AA AB AC ==，2,BC D =为BC 的中点，点F 在棱1BB 上，且2,BF E =为线段A 上的动点.(1)证明：1C F EF ⊥；(2)若直线1C D 与EF 所成角的余弦值为156，求二面角1E FC D --的正弦值.19．设()y f x =是定义在区间D 上的连续函数，若存在区间0[,],(,)a b D x a b ⊆∈，使得()y f x =在[)0,a x 上单调递增，在(]0,x b 上单调递减，则称()y f x =为“含峰函数”，0x 为“峰点”，[,]a b 称为()y f x =的一个“含峰区间”.(1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由：（i ）1y x x=+；（ii ）sin y x x =-.(2)已知*2,()ln(1)2t f x t x x x ∈=--+N 是“含峰函数”，且[]2,3是它的一个“含峰区间”，求t 的最大值；(3)设()()432,,324m n g x x mx nx m n x ∈=--++-R 是“含峰函数”，[],a b 是它的一个“含峰区间”，并记b a -的最大值为(),M m n .若()()12g g ≥，且()10g ≥，求的(),M m n 最小值.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高三上学期第一次验收(开学测试)数学试题(解析版)
哈三中2023-2024学年度上学期高三学年第一次验收考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列关系：①πR ∈；②{}{}22024,1202520240x x x =-+=；③{}0∅⊆；④(){}(){}21,2,2x y y x x -⊆=--.其中正确的个数为（）A .1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐一判断各个命题即可作答.【详解】显然πR ∈，{}0∅⊆，①③正确；2}{}{|(1)(2024)0}{1,20|20252024024x x x x x x =-=+=--=，②正确；在2y x x 2=--中，当1x =时，=2y -，即有2(1,2){(,)|2}x y y x x -∈=--，因此2{(1,2)}{(,)|2}x y y x x -⊆=--，④正确，所以正确命题的个数是4.故选：D2.下列选项中表示同一函数的是（）A.()0f x x =与()1g x =B.()f x x =与()2x g x x=C.()f x =与()2023g x x =-D.()1,01,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩与(),01,0xx x g x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩【答案】D 【解析】【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A ，()0f x x =的定义域为{|0)x x ≠，而()1g x =定义域为R ，故二者不是同一函数；对于B ，()f x x =的定义域为R ，与()2x g x x=的定义域为{|0)x x ≠，故二者不是同一函数；对于C ，()|2023|f x x ==-与()2023g x x =-对应关系不同，故二者不是同一函数；对于D ，()1,0,01,01,01,01,01,0x xx x x g x x x x x >⎧⎧≠≥⎧⎪⎪====⎨⎨⎨-<⎩⎪⎪-<=⎩⎩与()1,01,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数，故选：D3.若集合{}1A x x =≥，60,N 1x B x x x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,5B.(]1,5 C.{}2,3,4,5,6 D.{}1,2,3,4,5,6【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合,A B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式||1x ≥，得1x ≤-或1x ≥，即(,1][1,)A =-∞-+∞ ，解不等式601x x -≤-，得16x <≤，于是{2,3,4,5,6}B =，所以{2,3,4,5,6}A B = .4.若函数()21f x -的定义域为[]1,1-，则函数1y -=）A.(]1,2- B.[]0,2 C.[]1,2- D.(]1,2【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.【详解】由函数()21f x -的定义域为[]1,1-，即11x -≤≤，得3211x -≤-≤，因此由函数1y -=有意义，得31110x x -≤-≤⎧⎨->⎩，解得12x <≤，所以函数1y -=(]1,2.故选：D5.已知()0,1x ∈，则121x x+-的最小值为（）A.6B.3+ C.2+ D.4【答案】B 【解析】【分析】根据11x x +-=得到122121b a x x a b+=+++-，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】设x a =，1x b -=，则1a b +=，(),0,1a b ∈，()12121221231b a a b x x a b a b a b ⎛⎫+=+=++=+++≥+ ⎪-⎝⎭2b aa b=，即1a =-，2b =.故选：B.6.已知函数()22,24,22x ax x f x a x x x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪-⎩的最大值为1，则实数a 的值为（）A.1a =±B.54a =C.7a =D.54a =或7a =【答案】A【分析】根据给定的函数，分段讨论并结合二次函数、均值不等式求出最大值即可作答.【详解】当2x >时，4()2[(2)]262f x a x a a x =---+≤----，当且仅当422x x -=-，即4x =时取等号，依题意，61a -≤，即7a ≤，当2x ≤时，22()()f x x a a =--+，若2a ≤，则当x a =时，2max ()1f x a ==，解得1a =±，符合题意，若27a <≤，则当2x =时，max ()441f x a =-+=，解得54a =，矛盾，所以实数a 的值为1±.故选：A7.已知0a b >>且1ab =，若把2b a()a b +，2ab 按照从大到小的顺序排列，则排在中间的数是（）A.2baB.()a b + C.2ab D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】本题可以采用特殊值法、不等式的性质、构造函数解决.【详解】法一：特殊值法.令3a =，13b =，则133122ba =>，()5353221a b -+==，而5321111422>>=1224a b =，所以()22a b b a a b +>>()a b +.法二：不等式的性质由题意，10>>>a b ，所以22a b a b ⋅>⋅，所以22b aa b>，又2bbb a +>=，所以()21a b a bba ++>=’又2abab +=>，所以()12a ab a bb++<=’所以()22a b b a a b+>>()a b +.法三：构造函数log 221log 12222a a a b aa -==()22a b a b +-+=，log 221log 12222b b b a b b -==，问题变为比较2log 1a a -，2a b+-，2log 1b b-的大小.构造函数2211log )log 221()(g x x x x x x x x +--=+=--，0x >很显然，()g x 为两个增函数的和，在(0,)+∞为增函数，所以()(1)0()g a g g b >=>，所以2211log log 22121b a ba b a b a b a +>--++-==>--，所以log log 2211222b a b a b a +--->>，即()22a b b a a b +>>.故选：B.8.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对,0m n ∀>满足()()()3f m n f m f n +=+-，()36f =，当0x >时()3f x >，则关于a 的不等式()254f a a --<的解集为（）A.()2,3- B.()3,2- C.121121,22⎛+ ⎪⎝⎭D.1211212,22⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的单调性，并求出(1)f 的值，再利用单调性脱去法则“f ”求解作答.【详解】对,0m n ∀>满足()()()3f m n f m f n +=+-，且当0x >时，()3f x >，()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，则210x x ->，有21()3f x x ->，于是22111211()[()]()()3()f x f x x x f x f x x f x =-+=+-->，因此()f x 在()0,∞+上单调递增，又(3)(1)(2)3(1)(1)(1)333(1)66f f f f f f f =+-=++--=-=，解得(1)4f =，从而22(5)4(5)(1)f a a f a a f --<⇔--<，则2051a a <--<，解得12122a -<<或12132a <<，所以原不等式的解集是121121(2,(,3)22-- .故选：D（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若0a b >>，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.22a b > C.33a b > D.11a b ab<+【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，因为0a b >>，可得110,0a b><，所以11a b >成立，所以A 正确；对于B 中，由22()()a b a b a b -=-+，因为0a b >>，可得0a b ->，而a b +符号不确定，所以2a 和2b 不能确定，所以B 错误；对于C 中，由33222213()()()[()]24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++，因为0a b >>，可得0a b ->，2213()024a b b ++>，所以330a b ->，即33a b >，所以C 正确；例如：当3,2a b ==-时，可得1111,6a b ab ==-+，此时11>+a b ab，所以D 错误.故选：AC.10.已知函数()933f x x =--，下列说法正确的是（）A.()f x 定义域为[)(]3,00,3-B.()f x 值域为()3,3-C.()f x 为定义域内的增函数D.()f x 为(]0,3内的增函数【答案】AD 【解析】【分析】求出函数()f x 定义域并化简函数，再逐项分析判断作答.【详解】函数()33f x x =--有意义，则290330x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得-<3≤0x 或03x <≤，()f x x=-，函数()f x 的定义域为[3,0)(0,3]- ，A 正确；由于1()32f =<-，B 错误；而11(()22f f -=>，则函数()f x 在[3,0)(0,3]- 不是增函数，C 错误.函数291y x=-在(0,3]上单调递减，y =(0,3]上单调递减，因此函数()f x =在(0,3]上单调递增，D 正确.故选：AD11.下列命题中是假命题的是（）A.命题：“()0,x ∀∈+∞1x >+”的否定为：“(],0x ∃∈-∞1x ≤+”B.设{}260A x x x =+-<，{}0,B m =，且A B ⋂有四个子集，则实数m 的取值范围是()3,2-C.已知p ：{}21,Z x x k k =-∈，q ：{}61,N x x k k =+∈，p 是q 的充分不必要条件D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项根据全称命题的否定判断即可；B 选项根据集合的子集个数得到集合中元素的个数，然后结合集合中元素的特征求m 的范围即可；C 选项根据集合的含义判断充分性和必要性即可；D 选项根据根的判别式和韦达定理列不等式求解即可.【详解】A 选项：命题“()0,x ∀∈+∞，1x >+”的否定为：“()0,x ∃∈+∞1x ≤+”，故A 错；B 选项：{A x =}32x -<<，因为AB ⋂有四个子集，所以A B ⋂中有两个元素，则m A ∈，且0m ≠，即30m -<<，02m <<，故B 错；C 选项：p 表示所有奇数，q 表示部分奇数，所以p 是q 的必要不充分条件，故C 错；D 选项：设方程得两个根分别为1x ，2x ，因为方程有一个正根，一个负根，所以()212Δ340a a x x a ⎧=-->⎪⎨=<⎪⎩，解得a<0，故D 正确.故选：ABC.12.已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,x x ∀∈R ，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（）A.()31f x x =+不是“[]2023,2023-封闭”函数B.定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数C.若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}2023封闭”函数D.若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,N a b ∈，则()f x 在区间[],a b 上单调递减【答案】ABC 【解析】【分析】利用特殊值122023,0x x ==，可判定A 错误；根据函数的新定义，得到12,R x x ∀∈，必有()()120f x f x -=，可判定B 正确；根据函数的定义，得到22()()f x k f x k +=+，可判定C 正确；根据函数的定义，以及单调性的定义，可判定D 错误.【详解】对于A 中，函数()31f x x =+，当122023,0x x ==时，122023[2023,2023]x x -=∈-，而()()123202313016069[2023,2023]f x f x -=⨯+-⨯-=∉-，所以A 正确；对于B 中，对于区间{}0，12,R x x ∀∈，使得120x x -=，即12x x =，必有()()120f x f x -=，所以定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数，所以B 正确；对于C 中，对于区间{}1，12,R x x ∀∈，使得{}121x x -∈，即121x x =+，因为()f x 都是“{}1封闭”函数，则()()2211f x f x +-=，即R x ∀∈，都有()()11f x f x +=+，对于区间{}k ，12,R x x ∀∈，使得{}12x x k -∈，则12x x k =+，而22()(1)1f x k f x k +=+-+，22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+，L22(1)()1f x f x +=+，所以222222()(1)(1)(1)(2)()f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++ ，即22()()f x k f x k +=+，故22()()f x k f x k +=+，其中N k *∈，当2023k =时，可得22(2023)()2023f x f x +=+，所以函数()f x 都是“{}2023封闭”函数，所以C 正确；对于D 中，若函数()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,Na b ∈，则当[]12,x x a b -∈时，都要()()[]12,f x f x a b -∈，所以120x x ->，即12x x >时，都有()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在区间[],a b 上单调递增，所以D 错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）13.函数()()122log 56f x x x =--的单调递增区间为______.【答案】(),1-∞-【解析】【分析】先求出对数型函数的定义域，再结合二次函数和复合函数单调性的性质进行求解即可.【详解】由25606x x x -->⇒>，或1x <-，所以该函数的定义域为()(6,),1+∞-∞- ，二次函数256y x x =--的对称轴为52x =，因为函数12log y x =是正实数集上的减函数，所以函数()()122log 56f x x x =--的单调递增区间为二次函数256y x x =--的递减区间，即为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，而()(6,),1x ∈+∞-∞- ，所以()()122log 56f x x x =--的单调递增区间为(),1-∞-，故答案为：(),1-∞-14.关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为[]2,3，则20cx bx a ++≤的解集为______.【答案】11[,]32【解析】【分析】由给定的解集用a 表示,b c ，再代入求解一元二次不等式作答.【详解】不等式20ax bx c ++≤的解集为[]2,3，则0a >，且2323b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即5,6,0b a c a a =-=>，因此20cx bx a ++≤化为：2650ax ax a -+≤，即26510x x -+≤，解得1132x ≤≤，所以不等式20cx bx a ++≤的解集为11[,]32.故答案为：11[,3215.关于x 的不等式()2221x ax +<的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是______.【答案】2549,916⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】将不等式()2221x ax +<化为不等式20(4)14a x x -++<，根据有解确定40Δ164(4)0a a ->⎧⎨=+->⎩，再用a 表示出不等式解集，确定出三个整数解，由此可得到关于a 的不等式，即可求得答案.【详解】不等式()2221x ax +<即不等式20(4)14a x x -++<，若4a =，则20(4)14a x x -++<即410x +<，整数解有无数个，不合题意，故4a ≠，由于关于x 的不等式()2221x ax +<的整数解恰有3个，故需满足40Δ164(4)0a a ->⎧⎨=+->⎩，解得04a <<；则解20(4)14a x x -++<可得x <<因为04a <<，故1124-<<-，故不等式()2221x ax +<的3个整数解恰为3,2,1---，则43-≤<-，解得2549916a <≤，即2549,916a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故答案为：2549,916⎛⎤⎥⎝⎦.16.若A 是正整数集的非空子集，称集合{},B u v u v A u v =-∈≠且为集合A 的生成集.若A 是由n 个正整数构成的集合，则其生成集B 中元素个数的最小值为______.【答案】n -1【解析】【分析】根据生成集的定义判断即可.【详解】由题意可得，当集合A 中的n 个元素从小到大排列成等差数列时其生成集B 中的元素个数最少，设n 个元素分别为12,n x x x ，且12n x x x <<< ，则集合{}11121,,n n B x x x x x x -=---L ，所以生成集B 中元素个数最小值为n 1-.故答案为：n 1-.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}24120A x x x =--≤，{}132B x a x a =-<<+.（1）当1a =时，求A B ⋂R ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[2,0][5,6]- ；（2）34(,[1,]23-∞-- .【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A ，再把1a =代入，利用补集、交集的定义求解作答.（2）由已知可得B A ⊆，再利用集合的包含关系分类求解作答.【小问1详解】解不等式24120x x --≤，得26x -≤≤，即[2,6]A =-，当1a =时，(0,5)B =，R (,0][5,)B =-∞+∞ ð，所以[2,0][5,6]A B =-R ð.【小问2详解】由（1）知，[2,6]A =-，由A B B = ，得B A ⊆，当132a a -≥+，即32a ≤-时，B =∅，满足B A ⊆，因此32a ≤-；当132a a -<+，即32a >-时，B ≠∅，即有(1,32)[2,6]a a -+⊆-，则12326a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得413a -≤≤，因此413a -≤≤，所以实数a 的取值范围34(,[1,]23-∞-- .18.已知关于x 的不等式221x x a -->，R a ∈.（1）当2a =时，求不等式221x x a -->的解集；（2）若“不等式221x x a -->的解集为R ”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(3,)-∞-⋃+∞（2）2a ≥-【解析】【分析】（1）把2a =代入，解一元二次不等式作答.（2）求出命题“不等式221x x a -->的解集为R ”为真命题的a 的范围，再求其补集作答.【小问1详解】当2a =时，不等式221x x a -->化为：2230x x -->，解得1x <-或3x >，所以所求不等式的解集为(,1)(3,)-∞-⋃+∞.【小问2详解】当不等式221x x a -->的解集为R 时，即2210x x a --->恒成立，因此44(1)0a ∆=---<，解得2a <-，所以“不等式221x x a -->的解集为R ”为假命题时，a 的取值范围是2a ≥-.19.已知函数()()20,R 1x bf x a b ax +=>∈+.（1）当1a =，0b =时，求函数()f x 的值域；（2）若2b =-，且[]2,3∀∈x ，()21xf ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）11[,]22-（2）1(0,]16【解析】【分析】（1）当1,0a b ==时，求得()()22211x f x x-'=+，得出函数的单调性，结合函数的极值（最值），即可求解；（2）根据题意，设2x t =，转化为2211t at -≥+在[4,8]t ∈上恒成立，设2u t =-，转化为21(2)1u a u ≥++在[2,6]u ∈上恒成立，得到2(41)410au a u a +-++≤在[2,6]u ∈上恒成立，令()2(41)41g u au a u a =+-++，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当1,0a b ==时，函数()21xf x x =+，可得()()22211x f x x -'=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11x -<<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以函数的极小值为()112f -=-，极大值为()112f =，因为212x x +≥，当且进度1x =±时，等号成立，可得当x →-∞时，201x x -→+；当x →+∞时，201x x +→+，所以函数的最大值为()112f =，最小值为()112f -=-，所以函数()f x 的值域为11[,]22-.【小问2详解】解：当2b =-时，可得()221x f x ax -=+且0a >，对[]2,3∀∈x ，可得[]24,8x∈，设2[4,8]x t =∈，则不等式()21xf ≥，即为()1f t ≥，即2211t at -≥+在[4,8]t ∈上恒成立，设2[2,6]u t =-∈，可得2t u =+，即21(2)1ua u ≥++在[2,6]u ∈上恒成立，因为0a >，可得2(2)10a u ++>，即2(2)1u a u ≥++在[2,6]u ∈上恒成立，所以2(41)410au a u a +-++≤在[2,6]u ∈上恒成立，令()2(41)41g u au a u a =+-++，且0a >，则满足()()()()24241410636641410g a a a g a a a ⎧=+⨯-++≤⎪⎨=+⨯-++≤⎪⎩，即解得1016a <≤，即实数a 的取值范围是1(0,]16.20.已知函数()323f x ax x =-.（1）若1a =，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()e xg x f x =⋅在(]0,2内单调递减，求实数a 的取值范围.【答案】（1）310x y +-=（2）6(,5-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据函数的导数与单调性的关系，结合常变量分离法，通过构造函数，利用二次函数的性质分类讨论进行求解即可.【小问1详解】因为1a =，所以()()322336f x x x f x x x '=⇒=--，因为()()12,13f f '=-=-，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()()231y x --=--，化为一般式为：310x y +-=；【小问2详解】()()()()()()()322e e e e 336x x x x g x f x g x f x f x ax ax x x '''=⋅⇒=⋅+⋅=+--，()()2e 336x g x x ax ax x '=+--因为函数()()e xg x f x =⋅在(]0,2内单调递减，所以当(]0,2x ∈时，()0g x '≤恒成立，即23360ax ax x +--≤恒成立，设()()22336336h x ax ax x ax a x =+--=+--，(]0,2x ∈，即当(]0,2x ∈时，()0h x ≤恒成立，当0a =时，()36h x x =--，当(]0,2x ∈时，显然()0h x <；当0a >时，要想(]0,2x ∈时，()0h x ≤恒成立，因为()060h =-<，所以只需()6620055h a a ≤⇒≤⇒<≤，当a<0时，要想(]0,2x ∈时，()0h x ≤恒成立，因为()060h =-<，所以只需()62005h a a ≤⇒≤⇒<，综上所述：实数a 的取值范围为6(,5-∞.【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用常变量分离法，利用二次函数的性质分类讨论.21.今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 已知定义在R 上的函数f （x ）﹣f （﹣x ）＝0，且在区间[0，1]上是减函数，则f （﹣0.5），f （﹣1），f （0）的大小关系是（ ）A ．f （﹣0.5）＜f （0）＜f （﹣1）B ．f （﹣1）＜f （﹣0.5）＜f （0）C ．f （0）＜f （﹣0.5）＜f （﹣1）D ．f （﹣1）＜f （0）＜f （﹣0.5）2. 若两等差数列，前项和分别为，，满足，则的值为（）.A．B．C．D．3. 若函数（，且）在上的最大值与最小值的和为，则（ ）A ．2B．C ．4D．4. 在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是A．B．C．D．5.在数列中，设其前n 项和为，若，，，则等于（ ）A ．25B ．20C ．15D ．106. 已知点为角终边上一点，且，则（ ）A ．2B．C ．3D．7. 设，下列不等式恒成立的有（ ）A．B．C．D．8. 在统计中，由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…(x n ，y n )利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，那么下面说法正确的是（ ）A ．直线至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…(x n ，y n )中的一个点B ．直线必经过点C ．直线表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线D ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大；|r |越接近于0，相关程度越小9. 已知，若，则________.10. 在中，和，且，（其中），且，若，分别为线段的中点，则线段的最小值为______．11. 命题“， ”的否定是________________________．12.的展开式中的常数项为______．13. 已知函数．(1)当时，求的单调区间；黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷(高频考点版)黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷(高频考点版)(2)证明：当时，对任意，总有．14. 已知向量，，函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为，求的值.15. 已知复数，满足，的实部为，且在复平面内对应的点位于第一象限.（1）求､和；（2）设､，在复平面内对应点分别为，试判断的形状，并求的面积.16. 函数(1)请在下面坐标系中画出函数的图像．(2)不等式的解集为________．（写出结果即可，不需写过程）(3)若，求的取值范围．。
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2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -2．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =3．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，187．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a ba b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．11．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >12．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为()12,0F -，点(5A ，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________. 14．61(2)x x-的展开式中常数项是___________.15．已知椭圆22122:1x y C a b +=()0a b >>与双曲线22222:1x y C m n-=()0,0m n >>有相同的焦点1F 、2F ，其中1F 为左焦点.点P 为两曲线在第一象限的交点，1e 、2e 分别为曲线1C 、2C 的离心率，若12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，则21e e -的取值范围为________.16．已知直线4x y b -=被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则b 的值为__ 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数2()ln (0)，f x x bx a x a b R =-+>∈.（1）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且121x x ->，求证：12()()34ln 2f x f x ->-； （2）设()()g x xf x =，()g x 在[1,]e 不单调，且124b e a+≤恒成立，求a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）. 18．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级 不合格 合格得分 [20,40][40,60][60,80][80,100]频数6a24b（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的数学期望()E ξ． 19．（12分）已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈）20．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足()22120n n a n a n n -+--=.（1）求1a ，2a 及{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na 的前n 项和nS.21．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 的侧棱DE 与四棱锥F ﹣ABCD 的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，AB //CD ，3,4,5,32AB AD CD AE AF =====.（1）证明：DF //平面BCE.（2）设平面ABF 与平面CDF 所成的二面角为θ，求cos2θ. 22．（10分）设函数(),0f x x a a =+>. (Ⅰ)当2a =时，求不等式()2f x x <的解集；(Ⅱ)若函数()()()1g x f x f x =+- 的图象与直线11y =所围成的四边形面积大于20,求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B 【解题分析】在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==, 可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC =+=+，即可得到答案．【题目详解】如下图，12BD DC =，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==, 则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC =+=+,故答案为B.【题目点拨】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 2、C 【解题分析】根据抛物线方程求得M 点的坐标，根据//MA x 轴、120AMF ∠=︒列方程，解方程求得p 的值. 【题目详解】不妨设M 在第一象限，由于M 在抛物线上，所以1,2M p ⎛⎫⎪⎝⎭，由于以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，根据抛物线的定义可知，MA MF =、//MA x 轴，且,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.由于120AMF ∠=︒，所以直线MF 的倾斜角α为120，所以tan1203122MF p k p-===--，解得3p =，或13p =（由于10,122p p -<>，故舍去）.所以抛物线的方程为26y x =. 故选：C【题目点拨】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 3、A试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立， ∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定． 4、A 【解题分析】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A. 5、C 【解题分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【题目详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意， 若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > .所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【题目点拨】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件. 6、A 【解题分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【题目点拨】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用． 7、C 【解题分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【题目详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅UA B A B ，同时⋂=∅⇒⊆UA B A B .故选:C.【题目点拨】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题. 8、A 【解题分析】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。