第六讲 定点运算器及浮点数运算分解
浮点定点化失真-概述说明以及解释
浮点定点化失真-概述说明以及解释1.引言【1.1 概述】浮点定点化失真是指在将浮点数转换为定点数过程中所引发的信息损失。
浮点数与定点数是两种不同的数值表示方式，它们在表示范围、精度和存储空间等方面存在差异。
在某些应用领域中，为了满足系统性能要求或者减少计算复杂度，需要将浮点数转换为定点数进行处理。
然而，在这个转换过程中，由于浮点数与定点数的差异性，会导致一定的精度丢失和计算误差，从而产生浮点定点化失真。
浮点定点化失真在计算机科学和工程领域中具有重要的实际意义。
在许多关键的计算任务中，如图像处理、音频编码、数据压缩等，对数值精度和计算速度要求较高。
而为了满足这些要求，通常需要使用定点数进行计算。
因此，了解和解决浮点定点化失真问题，对于提高计算效率和保证计算结果的准确性具有重要意义。
本文通过对浮点定点化失真的研究和分析，旨在进一步探讨其差异、原因和影响，并提出一些对策和展望未来的发展方向。
在接下来的章节中，将详细介绍浮点数表示与定点数表示的差异，探讨浮点定点化失真的原因和影响，并总结其重要性，提出应对措施，并展望未来的发展前景。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文章主要分为以下几个部分：第一部分是引言部分，包括概述、文章结构和目的。
在概述中，我们将简要介绍浮点定点化失真这个主题的背景和重要性。
在文章结构部分，我们将介绍整篇文章的组织结构和各个章节的内容。
在目的部分，我们将明确本文的目标和意义。
第二部分是正文部分，包括浮点数表示与定点数表示的差异、浮点定点化失真的原因以及浮点定点化失真的影响。
在浮点数表示与定点数表示的差异中，我们将详细介绍二者的概念、特点以及在实际应用中的差异。
在浮点定点化失真的原因部分，我们将分析造成浮点定点化失真的主要因素，如数值范围的限制和舍入误差等。
在浮点定点化失真的影响部分，我们将探讨这种失真对计算结果和系统性能的影响，以及可能引发的问题和挑战。
第三部分是结论部分，包括总结浮点定点化失真的重要性、对浮点定点化失真的应对措施和展望浮点定点化失真的未来发展。
(计算机组成原理)第4章 运算方法与运算器-fjw-1
0,1011 ＋ 1,1100
0,0111
[X＋Y]补 = 0, 0111
0,1011 ＋ 0,0100
0,1111
[X－Y]补 = 0, 1111
7
2、补码加减运算的溢出判断
❖ 当运算结果超出机器数的表示范围时，称为溢出。计 算机必须具备检测运算结果是否发生溢出的能力，否 则会得到错误的结果。
❖ 对于加减运算，可能发生溢出的情况：同号（两数） 相加，或者异号（两数）相减。
❖ （2）双符号位判溢方法 ▪ X和Y采用双符号位补码参加运算，正数的双符号 位为00，负数的双符号位为11；当运算结果的两 位符号Sf1 Sf2不同时（01或10），发生溢出。 ▪ V＝ Sf1 ⊕ Sf2= Xf ⊕Yf ⊕Cf⊕ Sf ▪ Sf1 Sf2=01，则正溢出；Sf1 Sf2=10，则负溢出。
一 原码乘法及实现 二 补码乘法及实现 三 阵列乘法器
19
一、原码乘法及实现
❖ 由于计算机的软硬件在逻辑上具有一定的等价性，因 此实现乘除法运算，可以有三种方式：
❖ Ⅰ.用软件实现。
▪ 硬件上：设计简单，没有乘法器和除法器。 ▪ 指令系统：没有乘除指令，但有加/减法和移位指
令 ▪ 实现：乘除运算通过编制一段子程序来实现 ▪ 算法：程序中运用串行乘除运算算法，循环累加、
Xf 符号位
X1 X2
Xf 符号位
X1 X2
Xn
0
Xn
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补码的算术移位举例
❖ 例：设X＝0.1001,Y＝－0.0101，求 ▪ [X]补＝ 0？.1001 ▪ [2X]补＝ ？1.0010（溢出） ▪ [X/2]补＝？0.0100 ▪ [Y]补＝ 1？.1011 ▪ [2Y]补＝ ？1.0110 ▪ [Y/2]补＝？1.1101
Lecture 2 定点数的表示
或
Sf S1S2 … Sn
数 符 数值部分 小数点位置
定点机 原码 补码
小数定点机 –(1 – 2-n) ~ +(1 – 2-n) – 1 ~ +(1 – 2-n)
整数定点机 –(2n – 1) ~ +( 2n – 1) – 2n ~ +( 2n – 1)
反码
–(1 – 2-n) ~ +(1 – 2-n)
1111 1110
0000
0001 0010
1101
1100 1011
0011
0100 0101 0110 1001 1000
1010 0111
定点数－补码
补码定义－整数
0，x
[x]补 =
x 为真值
2n ＞ x ≥ 0
0 ＞x ≥
n 为整数的位数
2n+1 + x
2n（mod 2n+1）
如
x = +1010 [x]补 = 0,1010
[x] 移对应的 十进制整数
-100000 - 11111 - 11110 … … + 11110 + 11111
0 1 2 …
用移码表示浮点数的阶码1 1 - 00001 1 1 1 1 ，能方便地判断浮点数阶码大小 011111 31
±
…
00000 + 00001 + 00010
n+1
移码在数轴上的表示
–2
n
–1 [x]移码
0
2 –1
n
真值
如
x = 10100
[x]移 = 25 + 10100 = 1,10100 x = –10100 [x]移 = 25 – 10100 = 0,01100
第2章2.3浮点运算和浮点运算器
• 阶码用移码表示
• 移码的特点：真值越大，移码的数值也越大，无论正负 • 可以用比较电路直接比较两个阶码的大小
4
2.3 .3 浮点运算流水线
1 流水线原理
• 线性流水线 • 各子任务之间具有这种线性优先关系的流水线 • 线性流水线的硬件基本结构（流水线CAI演示） • 处理一个子任务的过程为过程段（Si） • 线性流水线由一系列串联的过程段组成 • 各个过程段之间设有高速缓冲寄存器（L），以暂 时保存上一过程子任务处理的结果 • 在一个统一的时钟（C）的控制下，数据从一个过 程段流向下一个相邻的过程段
• 当指令控制器工作时，运算器基本上处于空闲状态，而当 运算器工作时指令控制器又处于空闲状态，资源浪费浪费 • 完成第一条指令前三步后，指令控制器不等运算器完成 该指令后两步，立即开始第二条指令，运算器也如此； 16 • 形成一种与工厂中的装配流水线类似的流水线
2.3 .3 浮点运算流水线
1 流水线原理
【例2-18】 设x＝2010×0.11011011,y＝2100×(-0.10101100)， 求x＋y。 【解】 为了便于直观理解，假设两数均以补码表示，阶码采用双符 号位，尾数采用单符号位，则它们的浮点表示分别为 [x]浮＝00 010 0.11011011 [y]浮＝00 100 1.01010100 ①求阶差并对阶 △E＝Ex－Ey＝[Ex]补＋[-Ey]补＝00 010＋11 100＝(11 110)补＝ (11 010)原＝(-2)10 简单起见，010是2D, 100是4D,所以 △E=-2D x的阶码小，应使Mx右移2位，Ex加2 ∴[x]浮＝00 100 0.00110110(11) 其中(11)表示Mx右移2位后移出的最低两位数。
计算机组成原理习题
计算机组成原理-期末习题第一章一．选择题1冯诺伊曼型计算机的工作原理是（ B ）。
A多指令流单数据流 B存储程序并按地址顺序执行 C堆栈操作 D存储器按内容选择地址2计算机各组成部件相互连接方式，从早期的以（ B ）为中心，发展到现在的以（ D ）为中心。
A控制器 B运算器 C存储器 DCPU3至今为止，计算机中的所有信息仍以二进制方式表示的理由是（ C ）。
A．节约元件； B 运算速度快； C 物理器件的性能决定； D 信息处理方便；4计算机技术虽经半个多世纪的改进有很大的进步，但至今仍遵循的基本原理是（ D ）提出。
A.爱因斯坦B.牛顿C.爱迪生D.冯·诺依曼5计算机系统的可靠性通常用（ C ）来衡量。
A.系统的可维护性B.平均故障时间C. 平均无故障时间D. 平均修复时间6计算机硬件能够直接执行的只有: （ B ）A.符号语言B.机器语言C. 汇编语言D.高级语言二．填空题1存储程序并按地址顺序执行，这是冯·诺依曼型计算机的工作原理。
三．判断题1计算机中有许多种语言，其中与硬件直接相关的是机器语言。
T四．简答题1计算机硬件组织由哪几大功能部件组成？2冯·诺依曼型计算机的设计思想是什么？3冯.诺依曼型机器中，数据与程序不加区分地放在内存中，CPU是如何知道从内存中取出的是指令流信息?第二章一．选择题1如果X为负数，由[X]补求[-X]补是将（ D ）。
A．[X]补各值保持不变B．[X]补符号位变反，其它各位不变C．[X]补除符号位外，各位变反，末位加1D．[X]补连同符号位一起各位变反，末位加12若x补 =0.1101010 ，则 x 原=（ D ）。
A．1.0010101B．1.0010110C．0.0010110D．0.11010103若x=1011,则[x]补=( A )。
A．01011 B．1011 C．0101 D．101014若［X］补=1.1011 ，则真值 X 是（ B ）。
尾数乘法运算浮点数尾数相乘的步骤
计算机进行两个n 位二进制数逻辑与运算时，对每对应位相与。
计算机组成原理
第3章
2. 逻辑“或”
电灯F同两个并联开关A、B相串联的电路如图所示。
逻辑或关系的真值表如下表：
计算机组成原理
第3章
“逻辑或”又称“逻辑加”，其逻辑表达式为： F=A+B=A∨B
计算机组成原理
第3章
3.2.2 从半加器到算术逻辑部件ALU
算术逻辑部件ALU 是运算器的核心，实现各种整型数据和 逻辑型数据的算术运算和逻辑运算功能。
加法器是ALU中最基本的部件。
1、半加器
◆ 两个一位二进制数相加，不考虑 低位向本位的进位，称为半加。 实现半加操作的电路称为半加器。
◆ 半加器的真值关系 输出与输入 关系用真值表 表示为：
Ss1Ss2=11 结果为负数，无溢出
例 ｘ＝－0.1100, ｙ＝ － 0.1000， 求ｘ＋ｙ 。
解: [ｘ]补＝1 1.0 1 0 0, [ｙ]补＝ 1 1 . 1 0 0 0 [ｘ]补 1 1. 0 1 0 0
＋ [ｙ]补 1 1. 1 0 0 0
1 0. 1 1 0 0 两个符号位出现“10”表示已溢出（下溢出）,即结果小于 －1。
[－ｙ]补＝1.1010
[ｘ]补
0. 1 1 0 1
＋ [－ｙ]补
1. 1 0 1 0
[ｘ－ｙ] 补 1 0. 0 1 1 1
丢弃
所以 ｘ－ｙ＝＋0.0111
计算机组成原理
第3章
2. 加减运算中溢出的判别
两个定点数经过加减运算后，其结果（和或差）超过了定点数 的表示范围，就会发生溢出，从而导至运算结果出错，因此在加 减运算后必须判别是否发生溢出。 例1 设 X=11D=1011B ， Y=7D=111B ，用补码加法求X+Y。
定点数的表示与运算
定点数的表示与运算定点数是计算机中常用的一种数值表示方式，它将数值的小数点固定在某个位置上，以便于计算机进行数值运算。
在计算机科学中，定点数的表示与运算是一个非常重要的概念，本文将从表示方式和运算方法两个方面进行介绍。
一、定点数的表示方式定点数的表示方式有两种：定点小数和定点整数。
定点小数是将小数点固定在某个位置上，以便于计算机进行数值运算。
例如，将小数点固定在第三位上，表示数值0.123456789就变成了123.456789。
定点整数是将整数的位数固定在某个位置上，以便于计算机进行数值运算。
例如，将整数的位数固定在第五位上，表示数值123456就变成了12345600。
二、定点数的运算方法定点数的运算方法包括加法、减法、乘法和除法。
其中，加法和减法的运算方法比较简单，只需要将两个数的小数点对齐，然后按照普通的加减法规则进行运算即可。
例如，计算123.456和789.012的和，只需要将小数点对齐，然后按照普通的加法规则进行运算，最终得到912.468。
乘法和除法的运算方法比较复杂，需要进行一定的转换。
乘法的运算方法是将两个数的小数点去掉，然后将它们相乘，最后将小数点插入到正确的位置上。
例如，计算123.456和789.012的积，只需要将小数点去掉，然后将它们相乘，得到97408.635072，最后将小数点插入到正确的位置上，得到97408.635072。
除法的运算方法是将两个数的小数点去掉，然后将它们相除，最后将小数点插入到正确的位置上。
例如，计算123.456除以789.012，只需要将小数点去掉，然后将它们相除，得到0.15625，最后将小数点插入到正确的位置上，得到0.156。
总之，定点数的表示与运算是计算机科学中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解计算机中的数值计算。
在实际应用中，我们需要根据具体的需求选择合适的定点数表示方式和运算方法，以便于实现更加高效和精确的数值计算。
定点数的表示和运算
第二章定点数的表示和运算(共6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章数据的表示和运算一、选择1、补码定点整数0101 0101 左移两位后的值为2、补码定点整数1001 0101 右移一位后的值为3、计算机内部的定点数大多用补码表示，以下是一些关于补码特点的叙述：I.零的表示是唯一的II.符号位可以和数值部分一起参加运算III.和其值得对应关系简单、直观IV .减法可以用加法来实现在以上叙述中，（）是补码表示的特点。
A. I和IIB. I和IIIC. I和II和IIID. I和II和IV4、n位定点整数（有符号）表示的最大值是5、对于相同位数（设为N位，不考虑符号位）的二进制补码小数和十进制小数，二进制小数能表示的数的个数/十进制小数所能表示的个数为6、若定点整数64位，含一位符号位，采用补码表示，所能表示的绝对值最大负数为7、若定点整数64位，含一位符号位，采用补码表示，则所能表示的最大正数为8、定点小数反码[X]反=···X n，表示的数值范围是9、5位二进制定点小数，用补码表示时，最小负数是10、下列关于补码和移码关系的叙述中，（）是不正确的。
A.相同位数的补码和移码表示具有相同的数据表示范围B.零的补码和移码表示相同C.同一个数的补码和移码表示，其数值部分相同，而符号相反D.一般用移码表示数的阶，而补码表示定点整数11、设[x]补=,当满足（）时，x<-1/2成立。
A. x1必须为1，x2x3x4至少有一个为1B. x1必须为1，x2x3x4任意C. x1必须为0，x2x3x4至少有一个为1D. x1必须为0，x2x3x4任意12、设[x]补=,当满足（）时，x>-1/2成立。
A. x1必须为1，x2x3x4至少有一个为1B. x1必须为1，x2x3x4任意C. x1必须为0，x2x3x4至少有一个为1D. x1必须为0，x2x3x4任意13、若[x]补=1x1x2x3x4x5x6,其中x i(1≤i≤6)取0或1，若要x>-32，应当满足（）A. x1为0，其他各位任意B. x1为1，其他各位任意C. x1为1，x2---x6中至少有一位为1D. x1为0，x2---x6中至少有一位为114、若[x]补=,其中x i取0或1，若要x>-32，应当满足（）A. x1为0，其他各位任意B. x1为1，其他各位任意C. x1为1，x2---x6中至少有一位为1D. x1为0，x2---x6中至少有一位为1215、设x为整数，[x]补=，若要x<-16，x1····x5应满足的条件是（）A. x1····x5至少有一个为1B. x1必须为0，x2····x5至少有一个为1C. x1必须为0，x2····x5任意D. x1必须为1，x2····x5任意16、已知定点小数X的补码为，且X≤，则必有（）A. x1=1, x2=0, x3=1B. x1=1C. x1=0,且x2x3 不全为1D. x1=0, x2=0, x3=017、一个8位寄存器内的数值为，进位标志寄存器C为0，若将此8位寄存器循环左移（不带进位位）1位，则该8位寄存器和标志寄存器内数值分别为18、设机器数字长8位（含1位符号位），若机器数BAH为原码，则算术左移1位和算术右移1位分别得19、设机器数字长8位（含1位符号位），若机器数DAH为补码，则算术左移1位得，算术右移1位得20、设x为真值，x*为其绝对值，满足[-x*]补=[-x]补，当且仅当（）A. x任意B. x为正数C. x为负数D.以上说法都不对21、16位补码0x8FA0扩展为32位应该是22、在定点运算器中，无论采用双符号位还是单符号位，必须有，它一般用“异或”门来实现。
经典：计算机组成原理-第2章-运算方法和运算器
第二章：运算方法和运算器
2．1 数据与文字的表示方法 2．2 定点加法、减法运算 2．3 定点乘法运算 2．4 定点除法运算 2．5 定点运算器的组成 2．6 浮点运算方法和浮点运算器
其中尾数域所表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最
左位（最高有效位）总是1。故这一位经常不予存储，而认为隐藏
在小数点的左边。
64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏
移值是1023。因此规格化的64位浮点数x的真值为：
x=(－1)s ×(1.M) × 2E－1023 e=E－1023
[X]反=1.x1x2...xn 对于0，有[+0]反=[-0]反之分：
[+0]反=0.00...0
[-0]反=1.11...1
我们比较反码与补码的公式
[X]反=2-2-n+X
[X]补=2+X
可得到 [X]补=[X]反+2-n
8
若要一个负数变补码，其方法是符号位置1，其余各位0变1，1变 0，然后在最末位（2-n）上加1。
10100.10011=1.010010011*24 e=4 于是得到：S=0,E=4+127=131=10000011, M=010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=（41A4C000）164
计算机组成原理(白中英)第2章
原码表示 1111 1111 1000 0001
反码表示
补码表示
移码表示
1000 0000 1000 0001 0000 0001 1111 1110 1111 1111 0111 1111
0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 1000 0000 1111 1111
实际机器中保存时 并不保存小数点
定点小数： [x]补＝
定点整数： [x]补＝
x 2+x = 2 - |x| x 2n+1+x = 2n+1-|x|
（mod 2）
（mod 2n+1）
举例： x为n+1位 [+0.110 ] 补 ＝ 0.110
[+110]补 ＝ 0110
[-0.110] 补 ＝ 10 + (-0.110) = 1.010
按编码不同又可分为原码、反码、补码、移码……
2013年7月26日星期五 5
2.1 数据与文字的表示方法
2.1.1 数据格式
2.1.2 数的机器码表示
2.1.1 数据格式
2.1.3 字符与字符串的表示方法
2.1.4 汉字的表示方法
2.1.5 校验码
2013年7月26日星期五 6
2.1.1 数据格式——定点数
由[-X]补 求[X]补， 此规则同 样适用。
2013年7月26日星期五
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3、移码表示法
移码通常用于表示浮点数的阶码
xnxn-1xn-2……x1x0
4位补码与移码 真值 -8 补码 1000 1001 1010 移码 0000 0001 0010
用定点整数形式的移码