2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：3.5.2两角和、差及倍角公式的应用
1 2sincos (1 2sin 2 ) 【解析】选C.原式= 1 2sincos (2 cos 2 1)
2sincos 2sin 2 2sincos 2cos 2 2sin(cos sin) tan. 2cos(sin cos)
3.化简: 8sin cos cos cos =__________.
48 48 24 12
【解析】 8sin cos cos cos
=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β=sin2β+cos2β- 1 =1- 1 = 1 .
2 2 2
1 2
方法二(从“角”入手,单角→倍角) 原式= 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2cos 2
第二课时
两角和、差及倍角公式的应用
考点一
利用三角恒等变换化简、求值、证明
【典例1】(1)(2017·开封模拟)化简:sin2α ·sin2β
+cos2α ·cos2β - 1 cos2α ·cos2β =________.
2
(2)(2017·白银模拟)求证:对任意角θ ,cos4θ sin4θ =cos2θ .
cos 10 cos 10 3sin 10 3sin 10 3. sin 10 sin 10
答案: 3
【加固训练】 1.化简 1 sin 2 cos 2 =
1 sin 2 cos 2
(
) D. cos
sin
A.sinα
B.cosα
C.tanα
2 2 2 2 2 1 (1+ 4
= 1 (1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+
4 2
cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)- ·1 cos2α·cos2β =1.
2
答案: 1
2
【一题多解】解答本题,还有以下解法: 方法一:(从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β1 cos2α·cos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)2 1 cos2α·cos2β 2 =cos2β-sin2α·cos2β- 1 cos2α·cos2β 2
(3)对于二次根式,要用升幂公式,或配方,出现完全平 方,注意倍角公式的逆用. (4)观察角的关系,尽量异角化同角,合理拆分角. (5)观察三角函数的名称的关系,常用弦切互化,异名化 同名.
(6)观察结构特征,明确变形方向,遇到分式要通分,整 式要因式分解.
2.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边,相当 于解决化简题目. (2)等式两边同时变形,变形后的结果为同一个式子. (3)先将要证明的式子进行等价变形,再证明变形后的 式子成立.
2.(2017·岳阳模拟) cos 10 2sin 20 =____________.
sin 10
sin 10 cos 10 2sin 30 cos 10 2cos 30 sin 10 sin 10
【解析】原式= cos 10 2sin(30 10)
【解题导引】(1)可以从统一角的方向求解. (2)把等式的左边因式分解,再利用同角三角函数的基 本关系和二倍角的余弦公式化简可得等式右边.
【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角→单角)
1 2α 原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- ·(2cos 2
1)·(2cos2β-1) =sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1) =sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β1 2 1 (4cos2α·cos2β 2
4tan 12 = ( 2.(2017·衡水模拟)计算: 3tan 2 3 12 2 3 2 3 2 3 2 3 A. B. C. D. 3 3 9 9
)
2tan 2 12 【解析】选D.原式= 3 1 tan 2 12 2 2 3 2 3 tan . 3 6 3 3 9
易错提醒:开平方时正负号的选取易出现错误,所以要 根据已知和未知的角之间的关系,恰当地把角拆分,根 据角的范围确定三角函数的符号.
【变式训练】1.化简 2 cos 2 sin 21的结果是 A.-cos 1 C. 3 cos 1 B.cos 1 D.- 3 cos 1
(
)
【解析】选C.原式= 3 3sin 21 3cos21 3cos 1.
1 2sinα·sinβ·cosα·cosβ- cos2α ·cos2β 2
=cos2(α+β)+ 1 sin2α·sin2β- 1 cos2α·cos2β
2 =cos2(α+β)- 1 ·cos(2α+2β) 2 2
=cos2(α+β)- 1 ·[2cos2(α+β)-1]= 1 .2 2 Nhomakorabea答案: 1
2
(2)对任意角θ, 因为cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ) =cos2θ-sin2θ=cos2θ, 所以cos4θ-sin4θ=cos2θ成立.
【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公 式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的 式子,或逆用公式.
1 cos cos 2 (sin cos 2 ) 2 1 cos 2 1 cos 2 [sin 2 (1 2sin 2)] 2 2 1 cos 2 1 1 cos 2 . 2 2 2
2 2
方法二:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sinα·sinβ-cosα·cosβ)2+
北京市2018届高三数学文一轮复习 3.5 两角和差的正弦、余弦和正切公式课件 精品
答案：6635
跟踪训练
4.若 sinA＝ 55，sinB＝ 1100，且 A，B 均为钝角，求 A＋B 的值。
解析：∵A、B 均为钝角且 sinA＝ 55，
A．4
B．2
os 310°－sin 1170°＝cos 310°－sin110°
＝ 3ssiinn1100°°·－cosco1s01°0°＝2sin110°－30°＝－12sin 20°＝－4.
2sin 20°
2sin 20°
【答案】 D
考点分类突破
3．计算 sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
解析答案
真题再现
4.【2016高考课标3】若
，则
A . 24 B . 48 C . 1 D . 16
25
25
25
【解析】由
，得
或
()
，所以 【答案】A
真题再现
5.(2016北京)已知函数f ( x) 2sinx cosx cos 2x( 0)的最 小正周期为 . (1)求的值;(2)求f ( x)的单调递增区间.
解析答案
真题再现
2. 【2015高考四川】
.
【答案】
.
真题再现
3.(2015·重庆)若 tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β 等于( A )
1
1
5
5
A.7
B.6
C.7
D6
解析
tanα＋β－tan α tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1＋tanα＋βtan α
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课件：第四章 三角
(2)把 5sin α＝3sin(α－2β)化成 5sin [(α－β)＋β]＝3sin [(α－β) －β]，得 5sin(α－β)cos β＋5cos (α－β)sin β＝3sin(α－β)· cos β－3cos (α－β)sin β. 移项合并得 2sin(α－β)cos β＋8cos (α－β)sin β＝0. π π 依题意 β≠kπ＋ 且 α－β≠kπ＋ ，k∈Z， 2 2 则 cos (α－β)cos β≠0. 上式两边都除以 2cos βcos (α－β)， 即得 tan (α－β)＋4tan β＝0.
必考部分
第四章
三角函数与解三角形
§4.4 简单的三角恒等变换
考纲展示► 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正 弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和 差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆
考点 1
三角函数式的化简与证明
倍角公式与半角公式变形
(1)
答 案 ： 2sin α ± 1－cos α 2 (2)1± sin ±
π α ＋ 4
1 1 2 (2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos 2αcos 2β＝________. 2
[解析]
1－cos 2α 1－cos 2β 解法一：原式＝ · ＋ 2 2
1＋cos 2α 1＋cos 2β 1 · － cos 2αcos 2β 2 2 2 1 1 ＝ (1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ (1＋cos 2αcos 4 4 1 1 2β＋cos 2α＋cos 2β)－ cos 2αcos 2β＝ . 2 2
高三数学一轮复习基础知识小题全取考点通关课时检测3.5两角和与差的三角函数ppt课件新人教A版
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、 变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知 角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变 式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低 次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观 察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中 的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
∵α为第二象限角，∴sin α＝23 2.
∴1＋
cos 2α cos 2α－sin
2α＝2cosc2oαs－2α－2sisninα2cαos
α
＝cos2αc＋os sαin
α＝－13－＋322
3
2 ＝1－22
2 .
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、 准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝ tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变 形等．
其公式变形为： tan α＋tan β＝ tan(α＋β)(1－tanαtanβ) ； tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tanαtanβ) ； tan αtan β＝ 1－tatnanα＋α＋taβn β .
二、二倍角的公式 sin 2α＝ 2sin αcos α ； cos 2α＝ cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝ 1－2sin2α；
α
为 锐 角 ， cos
α＝
5 5
，
则
tanπ4＋2α＝ A．－3
B．－17
()
C．－43
D．－7
解析：(1)
2scionsα2＋α π4＝
2
cos2α－sin2α
2 2 sin
α＋
2 2 cos
α＝cos
高考数学一轮总复习 第20讲 两角和与差及二倍角的三角函数课件 文 新人教A版
【 解 析 】 cos(45°－ 30°) ＝ cos45°cos30°＋ sin45°sin30°＝
6＋ 4
2，故选 D.
第十页，共50页。
2.已知 α∈(π2，π)，sinα＝35，则 tan(α＋π4)等于( )
1 A.7
B．7
C．－71
D．－7
第十一页，共50页。
【解析】因为 α∈(π2，π)，sinα＝53，所以 cosα＝－45，tanα ＝csoinsαα＝－43.
所以 tan(α＋π4)＝11＋－ttaannαα＝11－＋3434＝71.故选 A.
第十二页，共50页。
3.(2011·新课标卷)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x
轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos2θ＝( )
A．－54
B．－35
3
4
C.5
D.5
第十三页，共50页。
【解析】由三角函数定义，终边在直线 y＝2x 上⇔sinθ＝ 2cosθ，即 tanθ＝2，
⑥2cos2 1；⑦ 2tan ；⑧ a2 b2 sin( )； 1 ta ； 1 cos2
2
2
第七页，共50页。
第八页，共50页。
1.cos(45°－30°)的值为( )
2 A. 2
3 B. 2
2＋ 3 C. 4
2＋ 6 D. 4
第九页，共50页。
(1)若向量O→M⊥O→N，求 tanα 的值； (2)求|M→N|的最大值及此时 α 的值．
第四十五页，共50页。
【解析】(1)因为O→M＝(－ 3，1)，O→N＝(cosα，－sinα)， O→M⊥O→N，
所以O→M·O→N＝－ 3cosα－sinα＝0. 若 cosα＝0，则 sinα＝±1 与上式矛盾，故 cosα≠0，两边 同除以 cosα 化简得：tanα＝－ 3.
通用版高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换课件理新人教A版
.
[答案]
1
-4
1
1
[解析] 由 cos(α+β)=3 ,cos(α-β)=5 ,
1
得
coscos-sinsin = 3 ,
1
coscos + sinsin = ,
解
5
得
coscos =
4
15
1
,
sinsin = - 15 ,
sin sin
1
β=cos cos =-4 .
20°=
=
=
sin70° cos20°
sin70°
[解析]
3
3
cos10°+ sin10°
2
2
sin70°
=
3sin(10°+60°)
=
sin70°
3,故选 C.
课堂考点探究
[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特
殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
α= ,∴sin α=-
,sin
π
2
+ =cos
α=-2 2,
2tan
-4 2 4 2
= .
-7
7
∴tan(π+2α)=tan 2α=1-tan2 =
(2)[2018·
广州七校联考] 若 sin
则 cos
[解析] (1)∵α∈
)
π
-α
6
1
= ,
3
(2)cos
2π
3
+
2 =cos π2
π
-
课堂考点探究
变式题 tan 70°cos 10°( 3tan 20°-1)=(
两角和、差及倍角公式课件-2025届高三数学一轮复习
.故选C.
2.已知 , , ∈
,
则下列式子成立的是(
A. − =
C. − =
−
−
， + = , + = ，
)
B. − =
D. − =
√
解析：选D.由题意知, = − , = − ,
− + − = ，所以 − = −.故选C.
)
(
2
（2） + ∘ + ∘ =___.
解析： + ∘ + ∘ = + ∘ + ∘ + ∘
=
× −
× =−
.
定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”，以便构造出适合公式的形式.
∘ ∘
1.
− ∘
A.
=(
)
B.
√
∘ ∘
解析：选.
− ∘
=
∘ ∘
∘
C.
∘
=
∘
D.2
∘ + ∘ ,
所以原式=
∘
∘
= .
∘
=
∘
+
∘ =
考点二 三角公式的逆用与变形应用
例2（1） (2022·新高考Ⅱ卷)若
(完整版)两角和与差的三角函数课件
[例 1] 计算(tan10°－ 3)·sin40°.
第四章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
解析：原式＝sin10°c－os103°cos10°·sin40° ＝2sin10°cos60°－cocso1s01°0°sin60°sin40° ＝－2sicno5s01°0s°in40°＝－2sicno4s01°0c°os40° ＝－cossin1800°°＝－1.
第四章 第四节
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2．已知三角函数值求角的步骤 已知角 α 的三角函数值求角 α，应注意所得的解不是唯一 的，而是有无数多个，其解法步骤是： (1)确定角 α 所在的象限； (2)求对应的锐角 α1.如函数值为正，求出对应的锐角 α1； 如函数值为负，求出其绝对值对应的锐角 α1；
第四章 第四节
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3．在三角函数的求值、求角问题中，常常要先讨论(估计) 角的取值范围，依据此范围来求角的值或讨论函数的符号．解 三角函数求值(角)题，千万不要不假思索，盲目就下结论．
第四章 第四节
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思想方法技巧
第四章 第四节
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公式的变形应用
高考数学一轮复习第四章三角函数5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件新人教A版2
sin110°sin20°
的值为( B )
cos2 155°-sin2 155°
1
1
√3
A.-2
B.2
C. 2
π
√14
2cos2 -1
(2)已知 θ∈ 0, ,且 sin θ-cos θ=- ,则 π =(
4
4
cos 4+
2
4
3
A.
B.
C.
3
3
4
例 2(1)
√3
D.- 2
D )
3
D.
2
(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为
) D
1
D.2
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
3.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( D )
A.cos 2α>0
B.cos 2α<0
C.sin 2α>0
D.sin 2α<0
解析:∵α为第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,
∴sin 2α=2sin αcos α<0.故选D.
-6知识梳理
1
定义可得 sin β=sin α=3,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+ sin
αsin β=-
2√2
3
2
+
1 2 7
=-9.
3
(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k
∈Z,
则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos
2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
课前双基巩固│课堂考点探究│高考易失分练│教师备用例题
第20讲 PART 20
第20讲
考试说明
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、 正切 公式， 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的 内在联系．
2 5 [答案] 25
课堂考点探究
考点一 两角和与差的三角函数公式
例1 值是( (1)已知
π cosα＋ －sin 6
11π 4 3 α＝ 5 ， 则 sinα＋ 6 的
) 2 3 4 A．－ 5 B．－5
4 D.5 1 (2)已知 tan α＝－2，tan(α＋β)＝ ，则 tan β的值为 7 ________．
2 3 C. 5
[思路点拨] (1)求 11π sinα＋ 的值，即求 6 π sinα－ 的值，将已知条件 6 按照两角和的余弦公式展开， 再根据两角差的正弦公式求 解；(2)变化 β＝(α＋β)－α 后， 使用两角差的正切公式求解．
课前双基巩固
5 5．设 α，β 都是锐角，且 cos α＝ 5 ，sin(α＋ 3 β)＝ ，则 cos β＝________． 5
[解析] 依题意得 sin α＝ 2 5 2 1－cos α＝ 5 ，cos(α＋β)＝ 4 2 ± 1－sin （α＋β）＝± . 因为 α ， β 5 均为锐角， 所以 0<α<α＋β<π， 所以 4 5 4 cos α>cos(α＋β)．又 > >－ ，所 5 5 5 4 以 cos(α＋β)＝－ .于是 cos β＝ 5 cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋ 4 5 3 2 5 sin(α＋β)sin α＝－5× 5 ＋5× 5 2 5 ＝ 25 .
三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和差及倍角公式讲义理-高考数学一轮复习资料
第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝□01cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝□02sin αcos β±cos αsin β. (3)T (α±β)：tan(α±β)＝□03tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. (2)C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.公式的常用变形(1)tan α±tan β＝□01tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝□021＋cos2α2， sin 2α＝□031－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.(4)a sin α＋b cos α其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，tan φ＝ba(a ≠0)．1.概念辨析(1)公式C (α±β)，S (α±β)，S 2α，C 2α中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)对任意角α都有1＋sin α3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α6＋cos α62.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.小题热身(1)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B ．sin α C.cos(α＋2β) D ．cos α答案 D解析 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (3)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( )A.－14B.14 C ．－18 D.18答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.(4)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A.0B.3034C.916D.158答案 D解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35， 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158，故选D.题型 一 两角和、差及倍角公式的直接应用1.已知角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎪⎫223，13，则sin(α－β)＝________. 答案 －429解析 因为角α的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，13， 所以sin α＝13，cos α＝223.因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13，所以sin β＝13，cos β＝－223，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－223×13＝－429. 2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32.3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值为________． 答案 －4＋3310解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A.－429 B ．－229 C.229 D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，又∵π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2.(2018·上饶三模)由射线y ＝43x (x ≥0)按逆时针方向旋转到射线y ＝－512x (x ≤0)的位置所成的角为θ，则cos θ＝( )A.－1665 B ．±1665 C ．－5665 D ．±5665答案 A解析 设y ＝43x (x ≥0)的倾斜角为α，则sin α＝45，cos α＝35，射线y ＝－512x (x ≤0)的倾斜角为β，sin β＝513，cos β＝－1213，∴cos θ＝cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.3.若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β等于( )A.5 B ．－1 C ．6 D.16答案 A解析 由题意可得sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5.题型 二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73° ＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17° ＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C.2 D ．2(tan18°＋tan27°)答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2. 3.已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝________. 答案 78解析 由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.条件探究1 将举例说明3的条件改为“sin α－cos α＝43”，求cos4α.解 因为sin α－cos α＝43，所以1－2sin αcos α＝169，所以sin2α＝2sin αcos α＝－79，所以cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－792＝－1781.条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23，α∈(π，2π)”，求sin α＋cos α.解 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝23.所以sin2α＝13>0，又因为α∈(π，2π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以sin α＋cos α<0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋13＝43，所以sin α＋cos α＝－233.1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)． (2)倍角公式变形降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.1.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 由已知得，cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝cos x ＝0.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2.2.(2019·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，则tan x ＝( )A.12 B ．－2 C.22 D. 2 答案 D解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，所以32cos x －12sin x ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22，3cos x －sin x ＝1－sin x ，解得cos x ＝33， 因为x ∈(0，π)，所以sin x ＝1－cos 2x ＝63，所以tan x ＝sin xcos x ＝6333＝ 2.3.化简：－α1－tan 2－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝－2α－2α·12sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12sin2αcos2α＝12. 题型 三 两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1 角的变换1.(2018·南开区模拟)已知0<α＜π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解 (1)sin2β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×13＋45×223＝82－315.角度2 函数名称的变换2.求值：(1)sin10°1－3tan10°＝________；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°＝________.答案 (1)14 (2)32解析 (1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°－＝14. (2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－－2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 2.(2018·吉林第三次调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝________.答案 23解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α2＝1＋132＝23.3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan2α－α＋β1＋tan2αα＋β＝－211.思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1] (2018·石嘴山一模)已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－12 B.12 C ．－14 D.14答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. [典例2] 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________. 答案 17解析 因为tan α＝13，tan(α＋β)＝12， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17. 方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.。