2020年九年级中考数学二次函数综合题——铅垂线面积问题(无答案))
二次函数面积问题
一、公式法：适用于有一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形。
注意事项：1.以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边，横坐标大减小，即可求出底边长。
2.以第三点到该轴的距离为三角形的高。
3.根据公式:S△=×底边×高，可求出面积。
二、铅垂线法：适用于斜三角形。
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC
的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”。
三角形面积的新方法:
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
注意事项：
1.找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽;
2.求出直线BC的解析式，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高;
3.根据公式:S△=×水平宽×铅锤高，可求出面积。
三．割补法：适用于四边形等图形。
O x
y
D
C
图四
x
y
O
M
E
N
A
图五
P
x
y
O
A B
D
图二
E
x
y
O
A B
C
图一
x
y
O
A B
图三
例题练习
1.（2012秋•桐城市校级期中）已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB
上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．
2.（2018•阜新）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
3．如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；
4．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当P是抛物线顶点时，求△APC面积；
（3）在P点运动过程中，求△APC面积的最大值．。
2020年中考数学专题 第7讲 二次函数的应用 练习(无答案)
中考数学专题第7讲二次函数的应用类型一：面积问题1．面积最值问题应该设图形一边长为自变量，所求面积为因变量，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围．（1）顶点的横坐标在自变量取值范围内直接利用二次函数的最值性解决；（2）顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，结合二次函数的图象，利用二次函数的增减性来解决。
例1．（2017•潍坊）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？例2．(2014·成都)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．题型二：利润问题1．单件利润＝售价－成本；总利润＝销售量×单件利润=总的销售额-总成本．2.最大利润决策问题（1）顶点的横坐标在自变量取值范围内直接利用二次函数的最值性解决；（2）顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，结合二次函数的图象，利用二次函数的增减性与对称性来解决；（3）与分段函数有关的最值问题，应结合相应的函数及自变量取值范围，求出函数在各段取值范围内的最值解决.3.已知函数值的范围确定自变量取值范围问题：利用数形结合思想解决问题。
例1（2019辽宁省盘锦市）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？2．（2019辽宁省辽阳市）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？3．（2019内蒙古鄂尔多斯市）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．4．（2017•鄂州）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？5．（2018•荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）类型三：与建筑物形状、物体运动轨迹有关实际问题 1、建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤： （1）根据题意建立适当的直角坐标系；（2）把已知条件中的线段长度转化为点的坐标； （3）根据已知点的特点，合理设出函数的解析式； （4）利用待定系数法求出函数解析式；（5）根据求得的函数解析式进一步分析、判断进行有关的计算。
2020年中考数学压轴专题练习 二次函数中的图形面积问题(包含答案)
2020中考数学 压轴专题 二次函数中的图形面积问题（含答案）1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2＋Bx ＋C 经过A (0，3)，B (1，0)两点，顶点为M .(1)求B 、C 的值；(2)将△OAB 绕点B 顺时针旋转90°后，点A 落到点C 的位置，该抛物线沿y 轴上下平移后经过点C ，求平移后所得抛物线的表达式；(3)设(2)中平移所得的抛物线与y 轴的交点为A 1，顶点为M 1，若点P 在平移后的抛物线上，且满足△PMM 1的面积是△P AA 1面积的3倍，求点P 的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋Bx ＋C 经过A (0，3)，B (1，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝31＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3；(2)由(1)知，抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. ∵A (0，3)，B (1，0) ∴OA ＝3，OB ＝1， ∴C 点坐标为(4，1)，当x ＝4时，由y ＝x 2－4x ＋3得y ＝3， 则抛物线y ＝x 2－4x ＋3经过点(4，3)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C ， ∴平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋1；(3)∵点P 在y ＝x 2－4x ＋1上，可设P 点的坐标为(x 0，x 20－4x 0＋1)， 将y ＝x 2－4x ＋1配方得y ＝(x －2)2－3， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∵S △PMM 1＝12|x 0－2|·MM 1，S △P AA 1＝12|x 0|·AA 1，S △PMM 1＝3S △P AA 1，MM 1＝AA 1＝2， ∴x 0<2，|x 0－2|＝3|x 0|. 分情况讨论： ①当0<x 0<2时， 则有2－x 0＝3x 0，解得x 0＝12，则x 20－4x 0＋1＝－34， ∴点P 的坐标为(12，－34)；②当x 0<0时，则有2－x 0＝－3x 0，解得x 0＝－1，则x 20－4x 0＋1＝6， ∴点P 的坐标为(－1，6)．故满足△PMM 1的面积是△P AA 1面积的3倍时，点P 的坐标为(12，－34)或(－1，6)．2. 如图，抛物线y ＝Ax 2＋2x ＋C 经过点A (0，3)，B (－1，0)． (1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△MBC 的面积是4，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线y ＝Ax 2＋2x ＋C 经过点A (0，3)，B (－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋c ＝0c ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ， y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， B (－1，0)，∴点D 的坐标是(1，4)，点E 的坐标是(1，0)， ∴DE ＝4，BE ＝2， ∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝20＝25，∴BD 的长是25；(3)在抛物线的对称轴上存在点M ，使得△MBC 的面积是4. 设点M 的坐标为(1，M )， 令－x 2＋2x ＋3＝0得x ＝－1或3， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∴BC ＝3－(－1)＝4， ∵△MBC 的面积是4， ∴S △BCM ＝BC ×|m |2＝4×|m |2＝4， 解得M ＝±2，∴点M 的坐标为(1，2)或(1，－2)．3. 如图，抛物线y ＝12x 2－32x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称．(1)求点A 、B 、C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；(3)在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)令y＝0，则12x2－32x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，令x＝0，得y＝－2，∴C(0，－2)；(2)∵C，D两点关于x轴对称，∴D(0，2)，设直线BD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B、D坐标代入可得4=0 =2k bb+⎧⎨⎩，解得1=-2 =2⎧⎪⎨⎪⎩kb，∴直线BD的解析式为y＝－12x＋2；(3)存在这样的点P，使得△PBD的面积最大．设P(m，12m2－32m－2)，如解图，过点P作PE⊥x轴于点F，与BD交于点E，第3题解图则E 点坐标为(m ，－ 12m ＋2)，∴PE ＝(－ 12m ＋2)－(12m 2－32m －2)＝－ 12m 2＋m ＋4，∴S △PBD ＝S △PDE ＋S △PEB ＝12PE ·OF ＋12PE ·BF ＝12PE ·OB ＝12×(－12m 2＋m ＋4)×4 ＝－m 2＋2m ＋8 ＝－(m －1)2＋9，当m ＝1时，S △PBD 取得最大值，最大值为9， 此时12m 2－32m －2＝－3，∴P (1，－3)．4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝Ax 2＋2Ax ＋C 的图象与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(－3，0)． (1)求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M 的坐标；(3)点P 是第二象限内抛物线上的一动点，当点P 在何处时△CPB 的面积最大？求出最大面积？并求出此时点P 的坐标．第4题图解：(1)根据题意将B (－3，0)，C (0，3)代入抛物线解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝39a －6a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝3， ∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3， 将其化为顶点式为y ＝－(x ＋1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(－1，4)；（2）如解图①，连接OD 、AD 、AD 与y 轴交于点F ，第4题解图①S △OBD ＝12×3×4＝6，S 四边形ACDB ＝S △ABD ＋S △CDF ＋S △ACF ＝12×4×4＋12×1×1＋12×1×1＋12×1×1＝9，因此直线OM 必过线段BD ，由B (－3，0)，D (－1，4)得线段BD 的解析式为y ＝2x ＋6， 设直线OM 与线段BD 交于点E ， 则△OBE 的面积可以为3或6.①当S △OBE ＝3时，12×3×y E ＝3，解得y E ＝2，将y ＝2代入y ＝2x ＋6中，得x ＝－2，∴E 点坐标(－2，2)．则直线OE 的解析式为y ＝－x .设M 点坐标为(x ，－x )，联立抛物线的解析式可得－x ＝－x 2－2x ＋3， 解得x 1＝－1－132，x 2＝－1＋132(舍去)．∴点M (－1－132，1＋132)；②当S △OBE ＝6时，12×3×y E ＝6，解得y E ＝4，将y ＝4代入y ＝2x ＋6中得x ＝－1，此时点E 、M 、D 三点重合． ∴点M 坐标为(－1，4)；综上所述，点M 的坐标为(－1－132，－1＋132)，(－1，4)．（3）如解图②，连接OP ，设P 点的坐标为(M ，－M 2－2M ＋3)，第4题解图②∵点P 在抛物线上，∴S △CPB ＝S △CPO ＋S △OPB －S △COB＝12OC ·(－M )＋12OB ·(－M 2－2M ＋3)－12OC ·OB ＝－32M ＋32(－M 2－2M ＋3)－92＝－32(M 2＋3M )＝－32(M ＋32)2＋278.∵－3＜M ＜0，∴当M ＝－32时，(－M 2－2M ＋3)＝154，△CPB 的面积有最大值278.∴当点P 的坐标为(－32，154)时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为278.5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－14x 2＋Bx ＋C 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－4，0)． (1)求该二次函数的表达式及点C 的坐标；(2)点D 的坐标为(0，4)，点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S .①求S 的最大值；②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．第5题图解：(1)∵二次函数y ＝－14x 2＋Bx ＋C 过A (0，8)、B (－4，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－14×（－4）2－4b ＋c ＝0c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝8，∴二次函数的解析式为y ＝－14x 2＋x ＋8，当y ＝0时，解得x 1＝－4，x 2＝8， ∴C 点坐标为(8，0)；（2）①如解图，连接DF ，OF ，设F (M ，－14M 2＋M ＋8)，第5题解图∵S 四边形OCFD ＝S △CDF ＋S △OCD ＝ S △ODF ＋S △OCF ，∴S △CDF ＝S △ODF ＋S △OCF －S △OCD ，＝12×4×M ＋12×8×(－14M 2＋M ＋8)－12×8×4 ＝2M －M 2＋4M ＋32－16 ＝－M 2＋6M ＋16 ＝－(M －3)2＋25，当M ＝3时，△CDF 的面积有最大值，最大值为25， ∵四边形CDEF 为平行四边形， ∴S 四边形CDEF ＝2S △CDF ＝50， ∴S 的最大值为50； ②S ＝18.【解法提示】∵四边形CDEF 为平行四边形， ∴CD ∥EF ，CD ＝EF ，∵点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，∴点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E (M －8，－14M 2＋M ＋12)，∵E (M －8，－14M 2＋M ＋12)在抛物线上，∴－14(M －8)2＋(M －8)＋8＝－14M 2＋M ＋12，解得M ＝7，当M ＝7时，S △CDF ＝－(7－3)2＋25＝9， ∴此时S ＝2S △CDF ＝18.6. 如图，抛物线y ＝Ax 2＋Bx －3与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，且其对称轴L 为直线x ＝－1，点P 是抛物线上B ，C 之间的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)．第6题图(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P 的位置时发现：当动点N 在对称轴L 上时，存在PB ⊥NB ，且PB ＝NB 的关系，请求出此时点P 的坐标；(3)是否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC 面积的最大值，若不存在，请说明理由．解：(1)y ＝x 2＋2x －3；【解法提示】∵A (1，0)，对称轴L 为直线x ＝－1， ∴B (－3，0)，将AB 两点坐标代入得，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接BP ，过点B 作BN ⊥PB 交直线L 于点N ， 设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ，第6题解图①∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM＋∠NBQ＝90°.∵∠PMB＝90°，∴∠PBM＋∠BPM＝90°.∴∠BPM＝∠NBQ.又∵PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ.∴PM＝BQ.由(1)得y＝x2＋2x－3，∴Q(－1，0)，B(－3，0)∴BQ＝2，∴PM＝BQ＝2.∵点P是抛物线y＝x2＋2x－3上B、C之间的一个动点，且点P的纵坐标为－2，将y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3，解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(不合题意，舍去)，∴点P的坐标为(－1－2，－2)；（3）存在．如解图②，连接AC，BC，CP，PB，过点P作PD∥y轴交BC于点D，第6题解图②∵A (1，0)，B (－3，0)，C (0，－3)，∴S △ABC ＝12×3×4＝6， 直线BC 的解析式为y ＝－x －3.设P (T ，T 2＋2T －3)，则D (T ，－T －3)，∴S △BPC ＝12×3×(－T －3－T 2－2T ＋3)＝－32T 2－92T ， ∴S 四边形PBAC ＝－32T 2－92T ＋6 ＝－32(T ＋32)2＋758， 当T ＝－32时，S 四边形PBAC 存在最大值，最大值为758. 此时点P 的坐标为(－32，－154)． 7. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A 点坐标为(－3，0)，连接BC 、AC .(1)求抛物线的解析式；(2)点E 从点B 出发，沿x 轴向点A 运动(点E 与点A 、B 不重合)，过点E 作直线L 平行于AC ，交BC 于点D ，设BE 的长为M ，△BDE 的面积为S ，求S 关于M 的函数关系式，并写出自变量M 的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋c 过A 点，且A (－3，0)， ∴0＝－12×9－32×3＋c ，解得c ＝9， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋9； (2)∵抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋9， ∴C 点坐标为(0，9)，∴OC ＝9，令y ＝0可得－12x 2＋32x ＋9＝0，解得x ＝－3或x ＝6， ∴B 点坐标为(6，0)，∴AB ＝6－(－3)＝9；设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、C 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝9， ∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋9，∵直线ED ∥AC ，∴可设直线ED 的解析式为y ＝3x ＋m ，∵OB ＝6，BE ＝m ，∴OE ＝6－m ，∴E 点的坐标为(6－m ，0)，代入直线ED 的解析式可得0＝3(6－m )＋n ，解得n ＝3(m －6)，∴直线ED 的解析式为y ＝3x ＋3m －18，设直线BC 的解析式为y ＝rx ＋s ，把B 、C 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧6r ＋s ＝0s ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝－32s ＝9， ∴直线BC 的解析式为y ＝－32x ＋9， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3m －18y ＝－32x ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－23m y ＝m， ∴D 点坐标为(6－23m ，m )， ∴D 到BE 的距离为m ，∴S ＝S △BDE ＝12m ·m ＝12m 2， 又∵E 在线段AB 上，且不与点A 、B 重合，∴0<BE <AB ，∴m 的取值范围为0<m <9；(3)∵OC ＝9，BE ＝m ，∴S △BEC ＝12BE ·OC ＝12×m ×9＝92m ， ∴S △CDE ＝S △BEC －S △BDE ＝92m －12m 2＝－12(m －92)2＋818， ∴当m ＝92时，△CDE 的面积有最大值，最大值为818. 8. 已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋3交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴l 交x 轴于点E .(1)求抛物线的对称轴及点A 的坐标；(2)点P 为坐标系内一点，且以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形，求出所有满足条件的P 点的坐标．(3)连接CA 与L 交于点D ，M 为抛物线上一点，是否存在点M ，使经过点C 、M 的直线恰好将四边形DEOC 的面积平分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)对称轴为直线x＝－42＝－2，当y＝0时，有x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，∴点A的坐标为(－3，0)；(2)由y＝x2＋4x＋3可知A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，①当AC是平行四边形的对角线时，将点C向左平移两个单位长度即是P点，即P(－2，3)；②当BC是平行四边形的对角线时，将点C向右平移两个单位长度即是P点，即P(2，3)；③当AB是平行四边形的对角线时，将点A向下平移三个单位长度再向左平移1个单位长度即是P点，即P(－4，－3)；满足条件的点P有3个，分别为(－2，3)，(2，3)，(－4，－3)；(3)存在；∵点C的坐标为(0，3)，又DE∥y轴，AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3，∴△AED∽△AOC，∴AEAO＝DECO，即13＝DE3，∴DE＝1，∴S四边形DEOC＝12×(1＋3)×2＝4，在OE上找点F，使OF＝43，此时S △COF ＝12×43×3＝2， 直线CF 把四边形DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点M ，设直线CM 的解析式为y ＝kx ＋3，它经过点F (－43，0)， 则－43k ＋3＝0，解得k ＝94， ∴直线CM 的解析式为y ＝94x ＋3. 9. 如图，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点B ，E 两点，与y 轴交于点A ，OB ＝8，tan ∠ABD ＝1，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长x 度移动，动点C ，D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C ，D 停止运动．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵OB ＝8，tan ∠ABD ＝1，∴OA ＝OB ＝8，∴A (0，8)，B (8，0)．把点A (0，8)，B (8，0)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝8－12×82＋8b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝8， ∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3x ＋8； (2)令y ＝0时，有－12x 2＋3x ＋8＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝8，∴E (－2，0)，∴BE ＝10，∵S △CED ＝12DE ·OC ， ∴S ＝12t (10－t )＝－12t 2＋5t ， ∴S 与T 的函数解析式为S ＝－12t 2＋5t ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤8)， ∴当t ＝5时，△CED 的面积最大，最大面积为252； (3)存在，P 点坐标为(8，0)或(43，1009)或(343，－2009)． 【解法提示】当△CED 的面积最大时，t ＝5，即BD ＝DE ＝5，此时要使S △PCD ＝S △CED ，CD 为公共边，只需求出过点B 、或点E 且平行于CD 的直线即可，如下：设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋B ，由(2)可知OC ＝5，OD ＝3，∴C (0，5)，D (3，0)，把C (0，5)、D (3，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝53k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－53b ＝5， ∴直线CD 的解析式为y ＝－53x ＋5， ∵DE ＝DB ＝5，∴过点B 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x －5)＋5， 过点E 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x ＋5)＋5， 与抛物线解析式联立得方程①：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x －5)＋5， 解得x 1＝8，x 2＝43， 方程②：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x ＋5)＋5， 解得x 3＝343，x 4＝－2， 分别将x 的值代入抛物线的解析式，得y 1＝0，y 2＝1009，y 3＝－2009，y 4＝0， 又∵P 点不与E 点重合，∴满足题意的P 点坐标有3个，分别是P 1(8，0)，P 2(43，1009)，P 3(343，－2009)．第9题解图10.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H 的坐标及最大面积．第10题图解：(1)∵抛物线过点A(－1，0)和点B(5，0)，∴--502555=0a ba b=⎧⎨+-⎩=1=4ab⎧⎨-⎩，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x－5；(2)∵OB＝OC＝5，∴∠ABC＝∠OCB＝45°，∴以B 、C 、D 三点为顶点的三角形要与△ABC 相似，必须要有一个角等于45°.(ⅰ)当点D 在点C 的下方时，∠BCD ＝180°－45°＝135°，∴不会出现45°角，∴此种情况不存在；(ⅱ)当点D 在点C 的上方时，∠BCD ＝45°，易得BC ＝2OB ＝52，AB ＝OA ＋OB ＝1＋5＝6， 存在两种情况：①当△BCD ∽△ABC 时，BC AB ＝CD BC， 即526＝， ∴CD ＝253， OD ＝CD －OC ＝253－5＝103， ∴D (0，103)； ②当△DCB ∽△ABC 时，DC AB ＝CB BC， 即6CD ＝5252， ∴CD ＝6，OD ＝CD －OC ＝6－5＝1，∴点D (0，1)，∴综上所述，点D 的坐标为(0，1)或(0，103)时，以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似； (3)令y ＝－5得x 2－4x －5＝－5，解得x 1＝0，x 2＝4，∴E (4，－5)，∴CE ＝4，设H (a ，a 2－4a －5)，点H 是在直线CE 下方抛物线上的动点，∴0＜a ＜4.设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，把点B (5，0)、C (0，－5)代入得5=0=5k b b +⎧⎨-⎩，解得=1=5k b ⎧⎨-⎩， ∴直线BC 的表达式为y ＝x －5，则点F (a ，a －5)，∴FH ＝a －5－(a 2－4a －5)＝－a 2＋5a ，∵CE ⊥FH ，∴S 四边形CHEF ＝12CE ×FH ＝－2a 2＋10a ＝－2(a －52)2＋252， ∵0＜a ＜4，∴当a ＝52时，四边形CHEF 面积有最大值，最大值是252， 此时H (52，－354)． 11. 已知：二次函数y ＝－x 2－2x ＋M 的图象与x 轴交于点A (1，0)、B ，与y 轴交于点C .(1)求M 的值；(2)求点B 的坐标；(3)若该二次函数图象上有一点P (不与点C 重合)，满足S △ABP ＝S △ABC ，求点P 的坐标．第11题图解：(1)将点A (1，0)代入y ＝－x 2－2x ＋M 中，得－1－2＋M ＝0，解得M ＝3；(2)由(1)知y ＝－x 2－2x ＋3，令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∵A(1，0)，∴B(－3，0)；(3)①当点P在x轴上方时，∵S△ABP＝S△ABC，且点P不与点C重合，∴点C和点P关于二次函数图象的对称轴对称，由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x＝－1，∵C(0，3)，∴P(－2，3)；②当点P在x轴下方时，∵△ABP与△ABC的底边均为AB，∴△ABP的边AB上的高应等于OC，即此时点P的纵坐标y＝－3，即－3＝－x2－2x＋3，整理得x2＋2x－6＝0，解得x＝－1±7，∴点P的坐标为(－1＋7，－3)或(－1－7，－3)．综上，当S△ABP＝S△ABC时，点P的坐标为(－2，3)或(－1＋7，－3)或(－1－7，－3)．。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。
2024年九年级中考微专题复习 铅垂高在二次函数中的妙用 课件
M
Q
(3,0)
面积标比题最文值字问添题加此处
解题方法:
(1)第一步：面积比转化为共线的边比
(2)第二步：构造8字型相似，共线的边之比 转换成平行边比
P
M
Q
方
法
小
结
Q
EQ
EQ
Q Q
最值绝招
如图，二次函数
的图像与
x 轴交于B(3,0) 与y轴交于点C(0,3).
过抛物线点P作Y轴平行线，交直线BC于点Q, (0,3) 当x=____时，PQ有最大值。
OB=3
(0,3)
P
铅垂高 Q (3,0)
水平宽
变式训练二
(4)若 P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点,连接PC、PB 、AC, 求四边形ACPB面积的最大值.
固定
(0,3)
1 PQ OB 2
(-1,0)
P
Q (3,0)
探究活动二
(5)若 P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点,连接BC,过点P作
E
(3,0)
变式训练二 (7)若 P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点,连接 PO交BC于M, 若 PM m ,求m的最大值.
OM
化“斜”为 直
(0,3)
Q (3,0)
变式训练三
(8)若 P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点,连接PO交CB于M ,
若
,求m的最大值.
化“斜”为 直
(0,3)
铅锤高
知识储备
C
若AB ∥x轴，
则线段AB=_| _______|__
若则A线B段∥AyB轴=_，_|____________| AB=
“铅垂高”定义
阅读材料：
最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)
二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。
【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。
2020年中考数学复习：《二次函数之面积问题》专题训练(解析版)
《二次函数之面积问题》专题训练1．如图，抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B，C重合），则是否存在一点P，使△BPC的面积最大？若存在，请求出△BPC的最大面积；若不存在，试说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4当y＝0时，解得：x＝﹣2或6，故点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；（2）当x＝0时，y＝4，则点C的坐标为（0，4）；由点B、C的坐标得，设直线BC的解析式为y＝﹣x+4；假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x∴S△PBC ＝S△PDC+S△PDB＝PD×OE+DP×EP＝8×（﹣x2+2x）＝﹣（x﹣4）2+16；∵﹣1＜0∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．2．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当C为抛物线顶点的时候，求△BCE的面积；（3）是否存在这样的点P，使△BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B的代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝2x2﹣8x+6；（2）函数的对称轴为：x＝2，则点C（2，﹣2），当x＝2时，y＝x+2＝4，点E（﹣2，0），则PC＝6，△BCE的面积＝PC（x B﹣x E）＝6×6＝18；（3）存在，理由：设点P（x，x+2），点C（x，2x2﹣8x+6）S△BCE＝PC（x B﹣x E）＝×（x+2﹣2x2+8x﹣6）×6＝﹣6x2+27x﹣12，∵﹣6＜0，故S△BCE 有最大值，当x＝时，S△BCE最大值为：．3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），则BE＝2，DE＝4，BD＝＝2；（3）存在，理由：△BFC的面积＝×BC×|y F|＝2|y F|＝6，解得：y F＝±3，故：﹣x2+2x+3＝±3，解得：x＝0或2或1，故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；4．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB．设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．①试求S关于m的函数关系式；②请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？③过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+2）＝a（x2﹣4x﹣12），故﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，由点A （0，6）、B 的坐标可得，直线AB 的表达式为：y ＝﹣x +6，设点P （m ，﹣m 2+2m +6），则点D （m ，﹣m +6），S ＝×PD ×OB ＝3PD ＝3（﹣m 2+2m +6+m ﹣6）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣3）2+， ②S ＝﹣m 2+9m ， ∵﹣＜0，故S 有最大值，此时m ＝3；③△PDE 为等腰直角三角形，则PE ＝PD ，点P （m ，﹣m 2+2m +6），函数的对称轴为：x ＝2，则点E 的横坐标为：4﹣m ，则PE ＝|2m ﹣4|， 即﹣m 2+2m +6+m ﹣6＝|2m ﹣4|，解得：m ＝4或﹣2或5+或5﹣（舍去﹣2和5+） 故点P 的坐标为：（4，6）或（5﹣，﹣5）． 5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过A （﹣1，0）、B （3，0）点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在直线l 上确定一点P ，使△PAC 的周长最小，求出点P 的坐标；（3）若点D 是抛物线上一动点，当S △ABC ＝3S △ABD 时，请直接写出点D 的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）点A 的对称点为点B ，连接BC 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得：直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +3，当x ＝1时，y ＝2，故点P （1，2）；（3）S △ABC ＝3S △ABD ，则|y D |＝y C ＝1，即y D ＝±1，故﹣x 2+2x +3＝±1，解得：x ＝1或1，故点D的坐标为：（1，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，﹣1）．6．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）抛物线经过两点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，个抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）设点H是点O关于对称轴的对称点，则H（﹣2，0），连接HB交对称轴于点Q，则点Q为所求，则点BH的表达式为：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝，故点Q（﹣1，）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，直线AB的表达式为：y＝x+3，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），则点H （x ，x +3），则S △PAB ＝PH ×OA ＝（﹣x 2﹣2x +3﹣x ﹣3）×3＝﹣x 2﹣x ， ∵＜0，∴S △PAB 有最大值，此时x ＝， 点P （﹣，）．7．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点M 是直线l 上的一个动点，当点M 到点A ，点C 的距离之和最短时，求点M 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点N ，使S △ABN ＝S △ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故抛物线的函数解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．（2）点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BC 交函数的对称轴于点M ，则点M 为所求，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得：直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣3，当x ＝1时，y ＝﹣3，故点M （1，﹣2）．（3）S △ABN ＝S △ABC ，则|y N |＝|y C |＝±4，则x 2﹣2x ﹣3＝±4，解得：x ＝1或1±2，故点N 的坐标为：（1，﹣4）或（1+2，4）或（1﹣2，4）． 8．如图，已知直线y ＝x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ．（1）求抛物线解析式；（2）点C （m ，0）是x 轴上异于A 、O 点的一点，过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D ，交抛物线于点E ．①当点E 在直线AB 上方的抛物线上时，连接AE 、BE ，求S △ABE 的最大值；②当DE ＝AD 时，求m 的值．解：（1）直线y ＝x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，则点A 、B 的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，4），则c ＝4，将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：b ＝﹣3，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣3x +4；（2）C （m ，0），则点E 、D 的坐标分别为：（m ，﹣m 2﹣3m +4）、（m ，m +4），则DE ＝|（﹣m 2﹣3m +4）﹣（m +4）|＝|﹣m 2﹣4m |，①S △ABE ＝×ED ×OA ＝2ED ＝﹣2m 2﹣8m ，∵﹣2＜0，∴S △ABE 有最大值8；②AD ＝AC ＝|（m +4）|，即﹣m2﹣4m＝|（m+4）|，解得：m＝或﹣4．9．如图，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴交于点A，顶点为B．点C在y轴的负半轴，OC＝2．点P是该抛物线上的动点，且位于对称轴的右侧．（1）写出点A，B的坐标：A（4，0 ），B（2，4 ）；（2）若点P在第四象限，记四边形OPAB的面积为S，设点P的横坐标为m．①求S关于m的函数表达式．②在①的条件下，连结PC，满足S△POA ＝2S△POC，求四边形OPAB的面积．（3）设PO，PC分别与对称轴交于点D，E，且DC平分∠ODE，求点P的坐标．解：（1）y＝﹣x2+4x…①，令y＝0，则x＝0或4，故点A（4，0），函数的对称轴为：x＝2，则点B（2，4），故答案为：4，0，2，4；（2）①S＝×OA（y B﹣y P）＝4×（4+m2﹣4m）＝2m2﹣8m+8；②S△POA ＝×OA×（﹣y P）＝2S△POC＝OC×x P，即：y P＝﹣x P，则﹣m2+4m＝﹣m，解得：m＝0或4+（舍去0），故m＝4+，则S＝2m2﹣8m+8＝12+8；（3）方法一：过点C作CH⊥BE于点H，过点C作CG⊥OP于点G，∵DC平分∠ODE，则CG＝CH＝2，而OC＝2，故三角形CGO是等腰直角三角形，所以两种情况，直线OP是一三象限角平分线或者是二四象限角平分线，直线OP的表达式为：y＝±x…②，联立①②并解得：x＝5或3，故点P的坐标为：（5，﹣5）或（3，3）．方法二：∵DC平分∠ODE，则CG＝CH＝2，设点P的坐标为：（m，﹣m2+4m），则直线OP的表达式为：y＝（4﹣m）x，则直线CG的表达式为：y＝x﹣2，联立OP、CG的函数表达式并解得：点G[，]，则CG2＝[]2+[+2]2＝＝CH2＝4，解得：m＝5或3，故点P的坐标为：（5，﹣5）或（3，3）．10．已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（﹣1，0），（2，0）．（1）b、c分别用含a的式子表示为：b＝﹣a，c＝﹣2a；（2）将抛物线C1向左平移个单位，得到抛物线C2．直线y＝kx+a（k＞0）与C2交于A，B两点（A在B左侧）．P是抛物线C2上一点，且在直线AB下方．作PE∥y轴交线段AB 于E，过A、B两点分别作PE的垂线AM、BN，垂足分别为M，N．①当P点在y轴上时，试说明：AM•BN为定值．②已知当点P （a ，n ）时，恰有S △ABM ＝S △ABN ，求当1≤a ≤3时，k 的取值范围．解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣2）＝a （x 2﹣x ﹣2）， 故b ＝﹣a ，c ＝﹣2a ， 故答案为：﹣a ，﹣2a ；（2）设：点A 、B 的坐标分别为：（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， ①由（1）知，b ＝﹣a ，c ＝﹣2a ，抛物线C 1的表达式为：y ＝ax 2﹣ax ﹣2a ＝a （x ﹣）2﹣，则抛物线C 2的表达式为：y ＝ax 2﹣，联立直线与抛物线C 2的表达式并整理得：ax 2﹣kx ﹣＝0， 则|x 1x 2|＝＝AM •BN ，故AM •BN 为定值；②∵S △ABM ＝S △ABN ，∴AM ＝BN ，a ﹣x 1＝x 2﹣a ，则x 1+x 2＝2a ， ∵x 1+x 2＝， ∴＝2a ， ∴k ＝2a 2， ∵1≤a ≤3， ∴2≤k ≤18．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，抛物线的对称轴x ＝1，与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，理由：如图1，四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，解得：x＝1（舍去负值），故点P（1+，﹣）；（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝x﹣3，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），ABPC的面积S＝S△ABC +S△BCP＝×AB×OC+×PH×OB＝×4×3+×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2﹣x+6，∵＜0，故S有最大值为，此时点P（，﹣）．12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x＝时，PD最大值为：；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝3﹣，当y＝0时，x＝，故点N、M的坐标分别为：（1，3﹣）、（，0），CN+MN+MB的最小值＝CH＝CM+FH＝．13．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣2k）交x轴于点A、B，（A左B右），与y轴交于点C，把射线BC沿x轴翻折交抛物线于点D，交y轴于点F，点D纵坐标为6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第四象限抛物线上一点，连接PB、PC，设点P横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；（3）在（2）的条件下，PD交y轴于点E，交BC于点M，过点P作y轴平行线交BD、BC 于点G、H，若△MEF与△MGH面积的和为6，求△PBC的面积．解：（1）过点D作DS⊥x轴于S．令y＝0，即（x+2）（x﹣2k）＝0解得x＝﹣2或x＝2k∴OA＝2，OB＝2k令x＝0，则y＝﹣k，∴OC＝k∴tan∠OBC＝tan∠OBD＝，∵点D纵坐标为6，∴DS＝6，BS＝12，∴OS＝12﹣2k∴点D坐标为（2k﹣12，6），代入解析式得：6＝（2k﹣12+2）（2k﹣12﹣2k）解得k＝4∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣8）或y＝x2﹣x﹣4；（2）过点P作PN⊥BC于N，PR⊥x轴于R，PR交BC于K令x＝0，y＝﹣4，∴OC＝4C（0，﹣4），由（1）得B（8，0）先求出直线BC解析式y＝x﹣4，PK＝PR﹣RK点P（m， m2﹣m﹣4）PR＝m2﹣m﹣4），K（m， m﹣4）RK＝m+4PK＝﹣（m2﹣m﹣4）﹣（m+4）＝﹣，∠NPK＝∠OBC∴cos∠OBC＝cos∠NPK＝PN＝PK cos∠NPK＝﹣m2+m BC＝4S＝BC×PN＝（﹣m2+m）S＝﹣m2+8m；（3）在（1）图基础上，过点P作PQ⊥DS，设PQ交y轴于点L，tan∠DPQ＝＝＝，即∴EL＝可知点F（0，4）EF＝FL﹣EL＝4﹣（）﹣EF＝8﹣m，求出直线BF解析式为y＝﹣x+4，点G纵坐标为﹣m+4，点H纵坐标为m﹣4，GH＝（﹣m+4，）﹣（m﹣4，）＝8﹣m，∵△MEF面积与△MGH面积和为6∴（8﹣m）m＝6解得m＝2或m＝6∵S＝﹣m2+8m∴S＝12．14．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣2a＝﹣，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）点C（0，﹣3），函数对称轴为：x＝1，则点D（2，﹣3），点E（4，﹣3），则DE的中垂线为：x＝（2+4）＝3，当x＝3时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣，故点P（3，﹣）；（3）由点B、C的坐标可得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，故点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x， x2﹣x﹣3），则点H（x， x﹣3）；四边形ACPB的面积＝S△ABC +S△BCP＝3×6+HP×OB＝9+×3×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+9，∵﹣＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为12，此时，点P（2，﹣3）．15．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，交抛物线于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出：抛物线的函数解析式及点B、点D的坐标；（2）抛物线对称轴上的一动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，连接OP，BP，设运动时间为t秒（t＞0）．在点P的运动过程中，请求出：当t为何值时，∠OPB ＝90°？（3）如图2，点Q在抛物线上运动（点Q不与点A、B重合），当△QBC的面积与△ABC 的面积相等时，请求出点Q的坐标．解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则点B（3，0），抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①，函数的对称轴为：x＝2，则点D（2，1）；（2）t秒时，点P（2，1+t），则OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，OB2＝9，∵∠OPB＝90°，则4+（1+t）2+1+（1+t）2＝9，解得：t＝﹣1+（负值已舍去）；（3）如下图，过点A作BC的平行线交抛物线于点Q、交y轴于点K，则△QBC的面积与△ABC的面积相等，过点A作AG⊥BC于点G，过点K作KH⊥BC于点H，则AG＝KH，直线BC的倾斜角为45°，则AG＝AB＝＝KH，则KC＝2，故点K（0，﹣1），则直线AQ的函数表达式为：y＝x﹣1…②，联立①②并解得：x＝1或2（舍去1），故点Q（2，1）；在BC的下方与AQ等距离位置作BC的抛物线交抛物线于点Q′、Q″，同理可得直线Q′Q″的表达式为：y＝x﹣5…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（Q′、Q″）的坐标为：（，）、（、）；综上，点Q的坐标为：（2，1）或（，）或（、）．。
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题题(面积问题)含答案
(2)点 是线段 上的动点（除 、 外），过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ．
①当点 的横坐标为2时，求四边形 的面积；
②如图2，直线 ， 分别与抛物线对称轴交于 、 两点．试问， 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线 经过A，B两点，其对称轴交x轴于点M．P是线段AM上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．
(2)如图 ，点 在 轴的负半轴上，且 ，连接 ，并延长交抛物线于点 ，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接 ， ，当 的面积最大时，请求出 的最大值及点 的坐标；
(3)如图 ，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位到新抛物线 ，此时新抛物线顶点记为 ， 为新抛物线 上一点，若 是以 为直角边的直角三角形，请直接写出满足条件的点 的横坐标．
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，直线 交 轴于点 和 轴于 点．
①连接 ，当 的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得 为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图 ，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点，且顶点为 ，直线 经过 ， 两点．
(1)求直线 的表达式与抛物线 的表达式；
(2)如图 ，将抛物线 沿射线 方向平移一定距离后，得到抛物线为 ，其顶点为 ，抛物线 与直线 的另一交点为 ，与 轴交于 ， 两点 点在 点右边 ，若 ，求点 的坐标；
九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(面积问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象交于点A （1，m ）和B （﹣2，4），与y 轴交于点C ．(1)求k ，b ，a 的值； (2)求△AOB 的面积．2． 如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A (2，0)，B (0，-6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，﹣4）、B （2，0），交反比例函数y 6x=（x ＞0）的图象于点C ，点P 在反比例函数的图象上，横坐标为n （0＜n ＜3），PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．(1)求一次函数的表达式和C点坐标；(2)求△DPQ面积的最大值．4．如图，抛物线2y x bx c=-++交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线122y x=-+经过点B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．△求△PBC面积最大值和此时m的值；△Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．5．图1，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)设M 为该抛物线的顶点，D 为抛物线的对称轴与x 轴的交点，如图2所示，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -，()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（05t <<）．当t 为何值时，BMN △的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x =3，且与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），与y 轴交于C 点．(1)A 点的坐标是_____________；B 点坐标是________________； (2)求直线BC 的解析式；(3)点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由；(4)若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标．8．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积最大，若存在，求出点F 的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标．(4)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，C ，A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线214y x bx c =-++经过点A 、C ．(1)求抛物线解析式及顶点M 坐标；(2)P 为抛物线第一象限内一点，使得PAC △面积最大，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)当1m x m +≤≤时，（1）中二次函数有最大值为2-，求m 的值．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax x c =-+的图像与x 轴交于点A (2-，0)、B (4，0)，与y 轴交于点C ．(1)求a 和c 的值；(2)若点D （不与点C 重合）在该二次函数的图像上，且ABD ABC S S =△△，求点D 的坐标；(3)若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且BPABPCS S=，直接写出点P 的坐标．11．如图，抛物线()214y x =--的图像与x 轴交于的A 、B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．(1)求点A 、B 、C 坐标； (2)求ABC 的面积；(3)点P 是抛物线上一动点，当ABP △的面积为6时，求所有符合条件的点P 的坐标；12．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点A (2，0)，B (-2，4)，(-4，0)，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 在直线AB 上方的抛物线上运动，当ΔABM 的面积最大时，求点M 的坐标； (3)若点F 为平面内的一点，且以点,,,B E C F 为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F 的坐标．13．如图，直线y=-x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=23x2+bx+c经过B、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC=14S△BOC时，求点E的坐标；(3)若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC取值在什么范围时，对应的点F有且只有两个？14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－8的图像与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．(1)求抛物线的解析式；(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；(3)在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q 的坐标；如果没有，请说明理由．15．如图，已知抛物线2y ax bx c ++＝交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C （0，6），且顶点坐标为（4，﹣2）．直线x ＝m 分别交直线BC 和抛物线于点E 、P ．(1)求该抛物线的解析式及A 、B 两点坐标； (2)当0＜m ＜6时，求△BCP 面积的最大值； (3)当△BPE 是等腰三角形时，直接写出m 的值．16．已知二次函数242y ax x =++的图象经过点()3,4A -．(1)求a 的值；(2)直接写出函数y 随自变量的增大而减小的x 的取值范围．(3)设242y ax x =++的顶点为M ，与y 轴相交于C ，连结MC 、MA 、AC ，求AMC S △．17．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，过点C 作CD x ⊥轴于点()1,0D ，将ACD △沿CD 所在直线翻折，使点A 恰好落在抛物线上的点E 处．(1)求抛物线解析式；(2)连接BE ，求BCE 的面积；(3)拋物线上是否存在一点P ，使PEA BAE ∠=∠？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴负半轴于点A ，交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，且OA =OC =3OB ．(1)求这个抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为第三象限抛物线上的点，设点P 的横坐标为t ，△P AC 面积S ，求S 与t 的函数解析式（直接写出自变量t 的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，Q 为CA 延长线上的一点，若P 到x 轴的距离为d ，△PQB 的面积为2d ，且△P AQ =△AQB ，求点P 的坐标．19．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()30A -,和点()0,3C -．解答下列问题．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E ，求线段BD 的长；(3)点F 在抛物线上运动，是否存在点F 使FAB 的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．20．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （2，3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上，且BDO BAC ∠=∠，求点D 的坐标；(3)点P 在直线AB 上方的抛物线上，当△P AB 的面积最大时，直接写出点P 的坐标．参考答案：1．(1)k =−1，a =1，b =2(2)S △AOB =32．(1)21462y x x =-+- (2)63．(1)一次函数的表达式：y =2x -4，点C （3，2）；(2)DPQ 面积的最大值是4．4．(1)2722y x x =-++(2)△最大值为8，m ＝2；△存在，⎝⎭或⎝⎭5．(1)A (﹣1，0)，B (3，0)，C (0，3) (2)31524P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)存在，(14N -+，或(14--，6．(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN △的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,37．(1)()-2,0，()8,0(2)直线BC 的解析式为142y x =-+ (3)存在点P ，使PBC ∆的面积最大，最大面积是16，理由见详解(4)满足条件的点M 的坐标为(8,0)-，(4,0)，(50)，(5，0)8．(1)y ＝﹣12x 2+x +4(2)存在，四边形ABFC 的面积最大为16，F （2，4）(3)P 点坐标为（3，1）或（，2）或（2(4)存在，P 点坐标为（1或（1，或（1，1）或（1，或（1，49．(1)211344y x x =-++，顶点M 的坐标为149,216⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)最大值为2，此时P 点坐标为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)5-或510．(1)142a c ==-，4)或(14)或(2，-4)(3)(-6，20)11．(1)()1,0A -，()3,0B ，()1,4C -(2)8(3)()0,3-或()2,3-或()1或()112．(1)2142y x x =--+(2)（0，4）(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）13．(1)y ＝23-x 2+53x +4(2)E 1)，E 2)，E 34222，，E 44222， (3)当S △BFC ＞163时，对应的点F 有且只有两个．14．(1)抛物线解析式为y ＝122x +3x ﹣8；(2)点F 的坐标是F （﹣4，﹣12）；(3)存在，点Q 有坐标为（0，0，﹣0，﹣4）或（0，0）．15．(1)21462y x x =-+，点A （2，0），点B （6，0） (2)S △BCP 的最大值为272(3)当△BPE 是等腰三角形时，m 的值为2或416．(1)2242y x x =-++(2)1x >(3)617．(1)2y x 2x 3=-++(2)2(3)存在，()2,3或()4,5-18．(1)y =－x 2－2x +3(2)S =23922t t +(t <－3) (3)P 的坐标为（－4，－5）19．(1)223y x x =+-(2)(3)存在，点F 的坐标为：()1-或()1-或()0,3-或()2,3-- 20．(1)2y x 2x 3=-++(2)点D 的坐标为（0，1）或（0，－1）(3)P （12，154）。
最新九年级中考数学专题： 二次函数综合题(面积问题)含答案
2023年九年级中考数学专题： 二次函数综合题（面积问题） 1．如图，过1,0A 、()3,0B 作x 轴的垂线，分别交直线y ＝4－x 于C 、D 两点．抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．2．综合与探究如图，已知抛物线()220y ax x c a =++≠与x 轴负半轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的顶点为D ，直线y ＝x ＋b 与抛物线交于A ，F 两点，过点D 作DE △y 轴交直线AF 于点E ．(1)求抛物线和直线AF 的解析式；(2)在直线AF 上方的抛物线上有一点P ，使3PAE PDE S S =△△，求点P 的坐标；(3)若点M 为抛物线上一动点，试探究在直线AF 上是否存在一点N ，使得以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴相交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M ，使27MBC S =若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．(3)连接AC ，在抛物线上是否存在一点P ，使得ACP OCB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为A （1，4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式．(2)求C ，D 两点坐标及△BCD 的面积．(3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足13PCD BCD SS =，求点P 的坐标．5．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，点(,0)M m 为线段OA 上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；(2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；(3)若BPN△与OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B(−3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点N为第二象限内抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，在Rt ABC∠=︒，8AC=cm，CD为AB边上的高，点Q从点AAB=cm，4∆中，90ACB出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2t s t<<．cm/s．设运动时间为()(04)解答下列问题：∥；(1)当t为何值时，PQ BC(2)当PQ中点在CD上时，求t的值；(3)设四边形QPBC的面积为2)(S cm，求S与t的函数关系式，并求S最小值；=，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t，使得PQ PC8．如图，抛物线23=++与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一y ax bx点．(1)B点坐标为______；(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接P A、PD．△请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）△求△P AD面积的最大值；(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且△ADQ=45°，请直接写出点Q 坐标______．B，与y轴交于点C，连接AC，有一动点9．已知抛物线23y ax bx=++的图象与x轴相交于点A和点(1,0)D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AE 、CE ，当ACE 的面积最大时，点D 的坐标是 ；(3)当2m =-时，在平面内是否存在点Q ，使以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求a ，b 的值；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点Q 作QE x ⊥轴于点E ，是否存在点Q ．使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与AOC △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．11．在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．(1)如图△，若动点Q 从点C 出发，在对角线CA 上以每秒3cm 的速度向A 点匀速移动，同时动点P 从点B 出发，在BC 上以每秒2cm 的速度向点C 匀速移动，运动时间为t 秒()03t ≤<，t 取何值时，四边形ABPQ 的面积最小？(2)如图△，若点Q 在对角线CA 上，CQ ＝4cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 运动至点C 停止．设点P 运动了t 秒，当t 为何值时，以Q 、P 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？12．如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的3,4，且AC平行于x轴．坐标为()(1)求直线AB的解析式；(2)求过B，C两点的抛物线2=-++的解析式；y x bx c(3)抛物线2=-++与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；y x bx c(4)若点M是抛物线上的动点，当ABM的面积与ABC的面积相等时，求点M的坐标．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S△EBC，求此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q的横坐标．14．如图，已知二次函数23=+-的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交y ax bx于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10．(1)求抛物线和直线AC 的函数表达式；(2)若抛物线上的动点E 在直线AC 的下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△BPQ 为等边三角形时，求直线AP 的函数表达式．15．图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，其对称轴为1x =-．(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴上．△当P A △NA ，且P A ＝NA 时，求此时点P 的坐标；△求四边形P ABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．16．图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点且横坐标为1，点C 的坐标为（0，3），P 为线段MB 上一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若PD m =，PCD ∆的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)是否存在点P 满足DC PC =，若存在，请求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线经过点(10)A -，，(03)C ，两点，对称轴为52x =．(1)求抛物线的表达式；(2)若过点C 的直线l 的表达式为3y kx =+，当直线l 与抛物线有两个不同交点时，求k 的取值范围；(3)在（2）条件下，当直线l 与BC 垂直时，与对称轴交于点E ．此时抛物线上是否存在点P ，使得ABP ABE S S =△△，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式；(2)动点D 在直线BC 上方的二次函数图象上，连接,DC DB ，设BCD △的面积为S ，求S 的最大值；(3)当点E 为抛物线的顶点时，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，请求出点Q 的坐标．19．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()4,0A ，()1,0C -两点，与y 轴交于点B ，P 为抛物线上的动点，连接AB ，BC ，P A ，PC ，PC 与AB 相交于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为第一象限抛物线上的动点，设APQ 的面积为1S ，BCQ △的面积为2S ，当215S S -=时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使45PAB CBO ∠+∠=︒，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，说明理由．20．如图，抛物线24y ax bx =+-经过点()1,0C -，点()4,0B ，交y 轴于点A ，点H 是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE △x 轴于点E ，交线段AB 于点D ，HQ △y 轴，交y 轴于点Q ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若四边形HQOE 是正方形，求该正方形的面积．(3)连接OD 、AC ，抛物线上是否存在点H ，使得以点O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．答案1．(1)y =-43x 2+133x(2)存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32 (3)132．(1)2y x 2x 3=-++，1y x =+(2)(2P(3)()10,1N ，()22,3N ，3N ⎝⎭，4N ⎝⎭3．(1)2y x 2x 3=-++(2)存在，(6,21)M -(3)存在，(4,5)P -4．(1)2(1)4y x =--+(2)C (-1，0)；D (3，0)；6(3)()11-或()11-5．(1)239344y x x =-++；对称轴为直线32x =； (2)当2m =时，以点P 、N 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形；(3)M （1，0）6．(1)抛物线的函数解析式为y =-x 2-2x +3；(2)△BCN 的面积最大值为278，N (−32，154)； (3)存在，P 的坐标是（-5，-12）或（3，-12）或（-1，4）．7．(1)2t =； (2)83t =s ；(3)22)S t -+S 取得最小值为 (4)存在某一时刻43t =s ，使得PQ PC =8．(1)（6，0）(2)△211242n n -++；△274(3)（1，－6）或（－5，6）9．(1)223y x x =--+； (2)3322⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (3)当Q 点为(3,0)或(1,0)-或(3,6)-时，以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形．10．(1)2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)存在，点35,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点(2,2)Q -或321(,)48-11．(1)284cm 5 (2)当t 为4或1.6或5.5时，以Q ，P ，C 为顶点的三角形是等腰三角形12．(1)4y x =-+(2)234y x x =-++(3)BD OC =(4)(21-)或(21)或(1，6)13．(1)y =x 2-2x -3(2)(2，-3)(3)1或-214．(1)223y x x =--；y ＝x ＋1； (2)258，315,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)y x =或y =15．(1)223y x x =--+， (1,4)-(2)△()1,2P ；△758， 315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(1)2y x 2x 3=-++ (2)213(04)42S m m m =-+<≤(3)不存在17．(1)215322y x x =-++ (2)52k ≠(3)存在，点P 的坐标为8⎫-⎪⎪⎝⎭或8⎫-⎪⎪⎝⎭18．(1)2y x 2x 3=-++ (2)278(3)存在；Q 的坐标为(0,0)或(9,0)19．(1)234y x x =-++ (2)16P （，）或26P（，） (3)()3,4P20．(1)234y x x =--(2)6+(3)存在，点H 的坐标为1684,525⎛⎫- ⎪⎝⎭或521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2020年中考数学压轴题必考题型二次函数的面积问题考点专练pdf含解析20200628115
联立
，
∴﹣（x﹣a）2+a=x， ∴x1=a，x2=a﹣1， 即 C、D 两点间的横坐标的差为 1， ∴CD= ．
【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二 次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型. 【考点 2】二次函数的面积定值问题 【例 2】已知二次函数 y x2 2mx 4m 8 ． （1）图象经过点（1,1）时，则 m _________； （2）当 x 2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围； （3）以抛物线 y x2 2mx 4m 8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 AMN（M， N 两点在抛物线上），请问： AMN 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值； 若不是，请说明理由．
形 BDCP 是平行四边形时，利用平移规律确定出 P 坐标即可；
（3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时
交点坐标，确定出交点与直线 BC 解析式，进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相
等的直线解析式，确定出所求 M 坐标，且求出定值 S 的值即可．
详解：（1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），
把 C（0，2）代入得：2=﹣3a，即 a=﹣ 2 ， 3
则抛物线解析式为 y=﹣ 2 （x+1）（x﹣3）=﹣ 2 x2+ 4 x+2；
3
33
（2）抛物线 y=﹣ 2 （x+1）（x﹣3）=﹣ 2 x2+ 4 x+2=﹣ 2 （x﹣1）2+ 8 ，