离散数学
离散数学复习题二
一、简要回答下列问题：
1．请给出?P，P∧Q，P∨Q的真值表。
2．请给出公式蕴涵的定义。举一个例子。
3.请给出命题?xG(x)的真值规定。
4.什么是谓词逻辑公式的解释？
5.叙述谓词逻辑公式G与它的Skolem范式之间的区别与联系。
6.什么是图的关联矩阵？
7.什么是简单路？举一例。
8.什么是有向树？举一例
9.设G为整数加群，H为5的所有倍数组成的加法群，给出H的所有陪集。
10．设Z7={0，1，2，3，4，5，6}，⊕为其上的模7加运算，请给出每个元素的周期。11．什么是交换环？请举一例
二、判断下列公式是恒真？恒假？可满足？
a) (P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))；
b) P→(P∧(Q→P))；
c) (Q→P)∧(?P∧Q)；
d) (?P∨?Q)→(P??Q)。
二、R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：
（1）(R?S)-1= S-1?R-1
（2）(R-1)-1= R
（20分）给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：
a) (P∧(Q∧R))∨?((P∨Q)∧(R∨S))
b) (?(P∧Q)∨?R)∨(((?P∧Q)∨?R)∧S)
c) (?(P∧Q)∨?R)∨((Q??P)→(R∨?S))
d) (P∨(Q→(R∧?P)))?(Q∨?S)
四、（18分）设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
(1) ?xR(x)∧?xS(x)
(2) ?x(P(x)→Q(x))
（3）?x?P(x)∨?xP(x)
五、证明：连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。
六、设S={G1，…，G n}是命题公式集合。试求出在不增加新原子的情况下从S出发演绎出的所有命题公式。
提示：考虑G1∧…∧G n的主合取范式。
离散数学复习题二答案
一、简要回答下列问题：
1．请给出?P，P∧Q，P∨Q的真值表。
P Q ?P P∧Q P∨Q
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
1 1 0 1 1
0 0 1 0 0
2．请给出公式蕴涵的定义。举一个例子。
答：设G，H是两个公式，如果解释I满足G，I也满足S，称G蕴涵H。
例如：P∧Q蕴涵P。
3．请给出命题?xG(x)的真值规定。
答：?xG(x)取1值?对任意x∈D，G(x)都取1值；
?xG(x)取0值?有一个x0∈D，使G(x0)取0值。
4．什么是谓词逻辑公式的解释？
答：词逻辑中公式G的一个解释I，是由非空区域D和对G中常量符号，函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：
1. 对每个常量符号，指定D中一个元素；
2. 对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定D n到D的一个映射；
3. 对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定D n到{0，1}的一个映射。
5叙述谓词逻辑公式G与它的Skolem范式之间的区别与联系。
答：区别：二者之间不一定等价；联系：二者之间恒假性是等价的。
6．什么是图的关联矩阵？
答：设G＝（P，L）是有限图，集合P的元数为m，集合L的元数为n，不妨设P（G）＝{v1，…，v m}，L（G）＝{l1，…，l n}。矩阵M（G）＝[a ij]称为G的关联矩阵，其中
0，当v i不是l j的端点；
a ij=
1，当v i是l j的端点。
显然，M（G）是m×n阶矩阵。
7．什么是简单路？举一例。
答：设G＝（P，L）是图，（v0,v1,…,v n）是G中从v0到v n的路，称此路为简单路，如果
1）v0,…,v n－1互不相同；
2）v1,…,v n互不相同。
8．什么是有向树？举一例。
答：有向图G称为有向树（或有根树），如果G中有一点r，并且满足：
1）G中每一点v(v≠r)都恰是一条弧e的起点。
2）r不是任一条弧的起点。
3）r是根。
9．设G为整数加群，H为5的所有倍数组成的加法群，给出H的所有陪集。
答：5G+1；5G+2；5G+3；5G+4；5G
10. 设Z7={0，1，2，3，4，5，6}，⊕为其上的模7加运算，请给出每个元素的周期。答：0的周期是1，其他元素周期是7.
11．什么是交换环？请举一例。
答：乘法满足交换律的环是交换环，如整数环。
二、判断下列公式是恒真？恒假？可满足？
a) (P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))；
b) P→(P∧(Q→P))；
c) (Q→P)∧(?P∧Q)；
d) (?P∨?Q)→(P??Q)。
解：（1）设G=(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
=(?P∨(Q∧R)) ∧(P∨ (?Q∧?R))
=(((?P∨( Q∧R)) ∧P) ∨ ((?P∨(Q∧R)) ∧?Q∧?R)
=((?P∧P)∨( P∧Q∧R)) ∨ ((?P∨(Q∧R)) ∧?Q∧?R)
=((?P∧P)∨( P∧Q∧R)) ∨ ((?P∨Q)∧ (?P∨R)∧?Q∧?R)
=((?P∧P)∨( P∧Q∧R)) ∨ (((?P∨Q) ∧?Q) ∧((?P∨R)∧
?R))
=( P∧Q∧R) ∨ (?P ∧?Q∧?R)，其真值表如下：
P Q R G P Q R G
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1 1
因此G是可满足的。
（2）设G= P→(P∧(Q→P))
=?P∨( P∧(?Q∨P))
=?P∨ P
=T
其真值表如下：
P Q G
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1
因此G是恒真的。
G=(Q→P)∧(?P∧Q)
=(?Q∨ P) ∧(?P∧Q)
=?(?P∧Q) ∧(?P∧Q)
=F
其真值表如下：
P Q G
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
因此G是恒假的。
G=(?P∨?Q)→(P??Q)
=(P∧Q) ∨ ((P→?Q) ∧( ?Q→P))
=(P∧Q) ∨ ((?P∨?Q) ∧( Q∨P))
=( P∧Q) ∨(?P∧Q) ∨( P∧?Q)
其真值表如下：
P Q G
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
因此G是可满足的。
三、给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：
a) (P∧(Q∧R))∨?((P∨Q)∧(R∨S))
b) (?(P∧Q)∨?R)∨(((?P∧Q)∨?R)∧S)
c) (?(P∧Q)∨?R)∨((Q??P)→(R∨?S))
d) (P∨(Q→(R∧?P)))?(Q∨?S)
解：
a)令G= (P∧(Q∧R))∨?((P∨Q)∧(R∨S))
则：T I(G) = (1∧(1∧0))∨?((1∨1)∧(0∨0))
= 0∨?0=1
b)令G=(?(P∧Q)∨?R)∨(((?P∧Q)∨?R)∧S)
则：T I (G) = (?(1∧1)∨?0)∨(((?1∧1)∨?0)∧0)
= 1∨0=1
c) 令G =(?(P∧Q)∨?R)∨((Q??P)→(R∨?S))
=(?(P∧Q)∨?R)∨( ? ( (?Q∨?P) ∧(P ∨Q)) ∨(R∨?S))
=(?P∨?Q∨?R)∨( (Q∧P) ∨ (?P ∨?Q) ∨(R∨?S))
则：
T I (G) =(?1∨?1∨?0)∨( (1∧1) ∨ (?1 ∨?1) ∨(0∨?0)) = 1∨1=1
d) 令G =(P∨(Q→(R∧?P)))?(Q∨?S)
=(P∨(Q→(R∧?P)))?(Q∨?S)
=(P∨(?Q∨(R∧?P)))?(Q∨?S)
=(? (P∨(?Q∨(R∧?P))) ∨ (Q∨?S)) ∧(? (Q∨?S) ∨ (P∨(?Q∨(R∧?P))))
=(? P ∧ (Q∧ (?R∨P))) ∨ (Q∨?S)) ∧((? Q∧S) ∨ (P∨(?Q∨(R∧?P)))) T I (G) =(? 1 ∧ (1∧ (?0∨1))) ∨ (1∨?0)) ∧((?1∧0)
∨ (1∨(?1∨(0∧?1))))
=1 ∧1=1
四、设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
(1) ?xR(x)∧?xS(x)
(2) ?x(P(x)→Q(x))
(3)?x?P(x)∨?xP(x)
解：（1）?xR(x)∧?xS(x)等价的命题公式为：
R(a) ∧ R(b) ∧ R(c) ∧( S(a) ∨ S(b)∨ S(c))
（2）?x(P(x)→Q(x))等价的命题公式为：
(P(a)→Q(a)) ∧ (P(b)→Q(b)) ∧ (P(c)→Q(c))
（3）?x?P(x)∨?xP(x)等价的命题公式为：
(?P (a) ∧?P (b) ∧?P (b)) ∨ (P (a) ∧P (b) ∧P (b))
五、证明：连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。
证明：设有限图G=(P，L)是连通的，且有两条最长的简单路：l1：(v1, v2,……v n) l2：(v1’, v2’,……v m’)
假设l1和l2无公共点，取l1中一点v1，l2中一点v1’，则由于G连通知必然有一条简单路l3 : (x1, x2,……,x k)，其中x1= v1，x k = v1’。设x j是l3中从左往右看第一个l2中的点v h’，得一简单路l4：(x1, x2,……,x j)，设x i是l4中从右往左看第一个l1中的点v g，则又得到一个简单路l5：(x i, x i+1,……,x j)，| l5|≥1，且l5中除了x i和x j外，没有l1，l2中的点，不妨设|(v1, v2,……x i)| ≥|(x i, v g+1,……v n)|, |(v1’, v2’,……x j) |≥|( x j, v h+1’,……v m’)|,则可以取到简单路l6：(v1, v2,……x i, x i+1,……,x j, v h-1’, ……v1’),因为| l5|≥1，所以| l6|>min{| l1|,| l2| },这样我们就可以得到一条更长的路，矛盾。因此，命题得证。
六、提示：考虑G1∧…∧G n的主合取范式。
解：任设一公式G’为从S出发演绎出来的公式。则可知G’
为G= G1∧…∧G n的一个逻辑结果。而G有唯一一个与其等价的主合取范式，设为G’’。
可设G’’共有m个极大项，则可以知道令G’’取1的解释使这m 个极大项也取1。则从S出发的演绎出来的的所有命题公式正是从这m个极大项中任取n(0≤n≤m)个合取组成，共有2m个，其中包括恒真公式这里用1表示。
设H为由若干极大项构成的合取公式。现在证明：
1)S=>H，即G=>H。从定义出发，设有一解释I使G=G1∧…∧G n取1值，必使G
的主合取范式也取1值。即使每一个极大项都取1值。从而使由若干极大项合取
组成的公式H也取1值，则有S=>H。
2)任意设公式H是S的一个逻辑结果，H是一些极大项的合取。现在要证组成H的
极大项都在G的主合取范式G”中。
反证法：若不然，假设H中有一个极大项m k不在G的主合取范式中。则取使m k为0的解释I，可有解释I使H取0值。而I使所有不等于m k的极大项都为1，则可有G的主合取范式G’’在I下取1值，即G在I下取1值，这与G=>H矛盾。
离散数学复习题三
一、简要回答下列问题：
1．Skolem范式中的母式有什么特点
2．设A={1，2，3}，请给出A上的相等关系和全域关系。
3．设A={1，2，3，4}，R=I A?{（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2）}，
请给出在等价关系R下的所有等价类。
4．请给出P→Q，P?Q的真值表。
5．什么是谓词逻辑公式的解释？
6．给出有向树的定义，请举一例
7．设R*为非零实数乘法群，请给出R*的单位元及每个元素的逆元。
8．设G是3次对称群，H是{I，（1 2）}做成的子群，求H的三个右陪集。
9．设R={0，1，2，3，4，5}是模6环，请给出R中两个不同的零因子
10．什么是半序格？请举一例。
二、R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：
（1）(R?S)-1= S-1?R-1
（2）(R-1)-1= R
三、给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：
a) (P∧(Q∧R))∨?((P∨Q)∧(R∨S))
b) (?(P∧Q)∨?R)∨(((?P∧Q)∨?R)∧S)
c) (?(P∧Q)∨?R)∨((Q??P)→(R∨?S))
d) (P∨(Q→(R∧?P)))?(Q∨?S)
四、设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
(1) ?xR(x)∧?xS(x)
(2) ?x(P(x)→Q(x))
(3)?x?P(x)∨?xP(x)
五、若G=(P，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m，n。证明：n≤2m C，其中2m C表示m中取2的组合数。
六、试证明n 个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n次对称群）。证明n个元素的所有偶置换作成群（叫做n次交代群）。写出四次交代群中的元素。n次交代群的元数为何？
离散数学复习题三答案
一、简要回答下列问题：
1．Skolem范式中的母式有什么特点？
答：母式是合取范式。
2．设A={1，2，3}，请给出A上的相等关系和全域关系。
答：
I A={(1,1),(2,2),(3,3)}; EA={(1,1),(1,2),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
3．设A={1，2，3，4}，R=I A?{（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2）}，请给出在等价关系R下的所有等价类。
答：
M1={1,2,3};
M2={4}
4．请给出P→Q，P?Q的真值表。
答：
P Q P→Q，P?Q
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 1 1 1
5．什么是谓词逻辑公式的解释？
答：
见书60页
6．给出有向树的定义，请举一例。
答：
见书101页
7．设R*为非零实数乘法群，请给出R*的单位元及每个元素的逆元。
答：
单位元为1；a的逆元为1/a.
8．设G是3次对称群，H是{I，（1 2）}做成的子群，求H的三个右陪集。
答：{I，（1 2）}；{（1 2 3），（1 3）}；{（1 3 2）；（2 3）}
9．设R={0，1，2，3，4，5}是模6环，请给出R中两个不同的零因子。
答：2,3.
10．什么是半序格？请举一例。
答：见书283页。
二、R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：
（1）(R?S)-1= S-1?R-1
（2）(R-1)-1= R
证明：
（1）先证(R?S)-1? S-1?R-1，对任意(x，y) ∈(R?S)-1，则(y，x) ∈(R?S)，则存在a∈A，满足(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，那么(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(x，y) ∈ S-1?R-1，因此(R?S)-1?S-1?R-1；再证S-1?R-1?(R?S)-1，对任意(x，y) ∈ S-1?R-1，则存在a∈A，满足(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，所以(y，x) ∈(R?S)，所以(x，y) ∈(R?S)-1，因此S-1?R-1
?(R ?S)-1
。
（2）先证(R -1)-1? R ，对任意(x ，y) ∈(R -1)-1，则(y ，x) ∈ R -1，则(x ，y) ∈ R ，所以(R -1)-1
?
R ；再证R ?(R -1)-1，对任意(x ，y) ∈ R ，则(y ，x) ∈ R -1，则(x ，y) ∈(R -1)-1，所以R ?(R -1)-1
。
故(R -1)-1
= R 得证。
三、给P 和Q 指派真值1，给R 和S 指派真值0，求出下面命题的真值：
a) (P ∧(Q ∧R))∨?((P ∨Q)∧(R ∨S))
b) (?(P ∧Q)∨?R)∨(((?P ∧Q)∨?R)∧S) c) (?(P ∧Q)∨?R)∨((Q ??P)→(R ∨?S)) d) (P ∨(Q →(R ∧?P)))?(Q ∨?S)
解：
a)令G= (P ∧(Q ∧R))∨?((P ∨Q)∧(R ∨S)) 则：T I (G) = (1∧(1∧0))∨?((1∨1)∧(0∨0)) = 0∨?0=1
b)令G=(?(P ∧Q)∨?R)∨(((?P ∧Q)∨?R)∧S) 则：T I (G) = (?(1∧1)∨?0)∨(((?1∧1)∨?0)∧0) = 1∨0=1
c) 令G =(?(P ∧Q)∨?R)∨((Q ??P)→(R ∨?S))
=(?(P ∧Q)∨?R)∨( ? ( (?Q ∨?P) ∧(P ∨Q)) ∨(R ∨?S)) =(?P ∨?Q ∨?R)∨( (Q ∧P) ∨ (?P ∨?Q) ∨(R ∨?S)) 则：
T I (G) =(?1∨?1∨?0)∨( (1∧1) ∨ (?1 ∨?1) ∨(0∨?0)) = 1∨1=1 d) 令G =(P ∨(Q →(R ∧?P)))?(Q ∨?S)
=(P ∨(Q →(R ∧?P)))?(Q ∨?S)
=(P ∨(?Q ∨(R ∧?P)))?(Q ∨?S)
=(? (P ∨(?Q ∨(R ∧?P))) ∨ (Q ∨?S)) ∧(? (Q ∨?S) ∨ (P ∨(?Q ∨(R ∧?P)))) =(? P ∧ (Q ∧ (?R ∨P))) ∨ (Q ∨?S)) ∧((? Q ∧S) ∨ (P ∨(?Q ∨(R ∧?P))))
T I (G) =(? 1 ∧ (1∧ (?0∨1))) ∨ (1∨?0)) ∧((?1∧0)
∨ (1∨(?1∨(0∧?1))))
=1 ∧1=1
四、设下面所有谓词的定义域都是{a ，b ，c}。试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。 (1) ?xR(x)∧?xS(x) (2) ?x(P(x)→Q(x)) (3) ?x ?P(x)∨?xP(x)
解： （1） ?xR(x)∧?xS(x)等价的命题公式为： R(a) ∧ R(b) ∧ R(c) ∧( S(a) ∨ S(b)∨ S(c))
（2） ?x(P(x)→Q(x))等价的命题公式为： (P(a)→Q(a)) ∧ (P(b)→Q(b)) ∧ (P(c)→Q(c)) （3）?x ?P(x)∨?xP(x)等价的命题公式为： (?P (a) ∧?P (b) ∧?P (b)) ∨ (P (a) ∧P (b) ∧P (b))
五、若G=(P ，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。证明：n ≤2
m C ，其中2
m C 表
示m 中取2的组合数。
证明：如果G=(P,L)为完全图，即对于任意的两点u 、v （u ≠v ）,都有一条边uv ，则此时对于元数为m 的P(G)，L(G)的元数取值最大为C m 2
。因此，若G=(P,L)为一有限图，设P(G)的元数为m ，则有L(G)的元数n ≤C m 2
，其中C m 2 表示m 中取2的组合数。
六、试证明n 个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n 次对称群）。证明n 个元素的所有偶置换作成群（叫做n 次交代群）。写出四次交代群中的元素。n 次交代群的元数为何？
试证明n 个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n 次对称群）。证明n 个元素的所有偶置换作成群（叫做n 次交代群）。写出四次交代群中的元素。n 次交代群的元数为何？
证明：只需验证满足群的各条件，略。
注意到偶置换×偶置换=偶置换。易知偶置换成群。 A 4：(1)，(1 2 3)，（1 3 2），（1 2 4），（1 4 2）， （1 3 4），（1 4 3），（2 3 4），（2 4 3），（1 2）（3 4），（1 3）（2 4），（1 4）（2 3），
2
1
n!。
离散数学复习题一
一、简要回答下列问题：
请给出集合的吸收率。
2．设A={1，2}，请给出A 上的所有关系。
3．设A={1，2，3}，请给出A 上的两个不同的等价关系。
4．请给出?P ，P ∧Q ，P ∨Q 的真值表。
5．什么是谓词逻辑中的项？
6．请给出集合的吸收率。
7．设A={1，2}，请给出A上的所有关系。
8．设A={1，2，3}，请给出A上的两个不同的等价关系。
9．请给出?P，P∧Q，P∨Q的真值表。
10．什么是谓词逻辑中的项？
二、设A是m元集合，B是n元集合。问A到B共有多少个不同的二元关系？设A={a，b}，B={1， 2}，试写出A到B上的全部二元关系。
三、R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：
（1）(R?S)-1= S-1?R-1
（2）(R-1)-1= R
四、一公司在六个城市c1，c2，…，c6中的每一个都有分公司。从ci到cj的班机旅费由下列矩阵中的第i行第j列元素给出(∞表示没有直接班机)：
0 50 ∞40 25 10
50 0 15 20 ∞25
∞15 0 10 20 ∞
40 20 10 0 10 25
25 ∞20 10 0 55
10 25 ∞25 55 0
公司所关心的是计算两城市间的最便宜路线的表格。请准备一张这样的表格。
五、设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
(1)?xR(x)∧?xS(x)
(2)?x(P(x)→Q(x))
(3)?x?P(x)∨?xP(x)
六、若R是等价关系，试证明R-1也是等价关系。
七、设I是如下一个解释：
D={3，2}
a b f(3) f(2) P(3，3) P(3，2) P(2，3) P(2，2)
3 2 2 3 1 1 0 0
试求出下列公式在I下的真值：
（1）(a，f(a))∧P(b，f(b))；
（2）x?yP(y，x)；
（3）x?y(P(x，y)→P(f(x)，f(y)))；
离散数学复习题一答案
一、简要回答下列问题：
1．请给出集合的等幂律。
答：A?A=A,A?A=A.
2．设A={1，2，3}，求幂集合ρ(A)。
解：ρ(A)={Φ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
（3.4.5.6.7.8.9.10.）略
二、设A是m元集合，B是n元集合。问A到B共有多少个不同的二元关系？设A={a，b}，B={1，2}，试写出A到B上的全部二元关系。
解：A到B上共有2mn个二元关系。本题中A?B的全部子集φ，{(a,1)}，{(a,2)}，{(b,1)}，{(b,2)}，{(a,1),(a,2)}，{(a,1),(b,1)}，{(a,1),(b,2)}，{(a,1),(b,2)}，{(a,2),(b,1)}，{(a,2),(b,2)}，{(a,1),(a,2),(b,1)}，{(a,1),(a,2),(b,2)}，{(a,1),(b,1),(b,2)}，{(a,2),(b,1),(b,2)}，{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}为A到B的全部二元关系。
三、R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：
（1）(R?S)-1= S-1?R-1
（2）(R-1)-1= R
证明：
（1）先证(R?S)-1? S-1?R-1，对任意(x，y) ∈(R?S)-1，则(y，x) ∈(R?S)，则存在a∈A，满足(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，那么(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(x，y) ∈ S-1?R-1，因此(R?S)-1?S-1?R-1；再证S-1?R-1?(R?S)-1，对任意(x，y) ∈ S-1?R-1，则存在a∈A，满足(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，所以(y，x) ∈(R?S)，所以(x，y) ∈(R?S)-1，因此S-1?R-1?(R?S)-1。
（2）先证(R-1)-1? R，对任意(x，y) ∈(R-1)-1，则(y，x) ∈ R-1，则(x，y) ∈ R，所以(R-1)-1?R；再证R ?(R-1)-1，对任意(x，y) ∈ R，则(y，x) ∈ R-1，则(x，y) ∈(R-1)-1，所以R ?(R-1)-1。故(R-1)-1= R得证。
四、
C1 C2 C3 C4 C5 C6
C
35
C1→C6→C2
45
C1→C5→C3
或
C1→C6
→C4→C3或
C1→C5
→C4→C3
35
C1→C5→C4
或
C1→C6→C4
25
C1→C5
10
C1→C6
C2 35
C2→C6→C10 15
C2→ C3
20
C2→C4
30
C2→C4→C5
25
C2→C6
C3 45
C3→C4→C6
→C1或
C3→C5→C1
或C3→C4
→C5→C1
15
C3→C2
0 10
C3→C4
20
C3→C4→C5
或C3→C5
35
C3→C4→C6
五、设下面所有谓词的定义域都是{a ，b ，c}。试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
(1) ?xR(x)∧?xS(x) (2) ?x(P(x)→Q(x)) (4) ?x ?P(x)∨?xP(x )
解： （1） ?xR(x)∧?xS(x)等价的命题公式为： R(a) ∧ R(b) ∧ R(c) ∧( S(a) ∨ S(b)∨ S(c))
（2） ?x(P(x)→Q(x))等价的命题公式为： (P(a)→Q(a)) ∧ (P(b)→Q(b)) ∧ (P(c)→Q(c)) （3）?x ?P(x)∨?xP(x)等价的命题公式为： (?P (a) ∧?P (b) ∧?P (b)) ∨ (P (a) ∧P (b) ∧P (b))
六、证明：因为R 是等价关系，所以R 有对称性，所以有R= R -1，所以R -1也是等价关系。
七、解：真值为0,1,0
（需要解题过程）
C 4 35 C 4→C 5 →C 1
或
C 4→C 6 →C 1
25 C 4→C 2
10 C 4→C 3
0 10 C 4→C 5
25 C 4→C 6
C 5
25 C 5 →C 1
30 C 5→C 4 →C 2
20 C 5→C 4 →C 3或C 5→C 3
10 C 5 →C 4
0 35 C 5→C 4 →C 6
或
C 5→C 1 →C 6
C 6 10 C 6→C 1
25 C 6→C 2
35 C 6→C 4 →C 3
25 C 6→C 4
35 C 6→C 4 →C 5
或 C 6→C 1 →C 5
离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 （2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 （1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)
离散数学期末考试试卷(A卷)
离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是
（１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分）
吉林大学离散数学精品试卷
2006-2007学年第2学期 2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷) 考试时间：2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________ 请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰； 请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。 一.综合体(30分，每题3分) 1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 ) 2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？ 4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域 (A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16) 5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？ (A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n. 6. 下列代数系统(S, *)中，哪个是群？ (A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法；(B) S是有理数集合，*运算是普通乘法； (C) S是整数集合，*是普通乘法；(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。 7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。 8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？ 9?请给出一个有余，但不是分配格的例子。 10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想： (A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R 二.计算题(25分，每题5分) 1. 计算分圆多项式①24(X). 2. 设(Z,+)为整数加法群，(C*,??)为非零复数的乘法群，令 f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。 3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。 4. 设G是3次对称群，H是由I和(13)作成的子群，求H得所有右陪集。 5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。 三.(10分)证明或者反驳：f(x)=3x 5+5X2+1 四.(10分)设(G, *)是群，(A, *)和(B，*)是它的两个子群，C={a*b|a € A, b€ B}.证明：若*满足交换律，则(C, *)也是(G，*)的子群。 五.(10分)设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。 如下：对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有： (a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b)，其中，+，x分别是整数加法与乘法。 证明：(X，?，O)是环，如果此环有零因子请给出它们
离散数学考试题详细答案
离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（PQ）(PRS) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。 （5分） (P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR) (（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）). (（PQR）(PQR)) ((PQR) （PQR）) (PQR)(PQR) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR 2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a)xy(x+y=4) b)yx (x+y=4) a) T b) F 3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分） x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z)) x(F(x)→G(x))→yz(F(y)→G(z)) xyz((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）
离散数学第五版 模拟试题 及答案
《离散数学》模拟试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A得幂集合p（A）=_____ _。 2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___， A∩B =____ __，A－B =___ ___，～A∩～B =____ ____。 3. 设A，B是两个集合，其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2}，则A－B =____ ___， ρ（A）－ρ（B）=_____ _ _。 4. 已知命题公式R Q P G→ ∧ ? =) (，则G的析取范式为。 5. 设P：2＋2＝4，Q：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A、B是两个集合，A＝{1,3,4}，B＝{1,2}，则A－B为（）. A.{1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X＝{x, y}，则ρ（X）＝（）。 A. {{x},{y}} B. {φ,{x},{y}} C. {φ,{x},{y},{x, y}} D. {{x},{y},{x, y}} 4. 设集合A＝{1,2,3}，A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R不具备（）. 三、计算题（共50分） 1. （6分）设全集E＝N，有下列子集：A＝{1，2，8，10}，B＝{n|n2<50 ，n∈N}，C＝ {n|n可以被3整除，且n<20 ，n∈N}，D＝{n|2i，i<6且i、n∈N}，求下列集合：（1）A∪(C∩D) （2）A∩(B∪(C∩D)) （3）B－(A∩C) （4）(～A∩B) ∪D 2. （6分）设集合A＝{a, b, c}，A上二元关系R1，R2，R3分别为：R1＝A×A， R2 ＝{(a，a)，(b，b)}，R3 ＝{(a，a)}，试分别用 定义和矩阵运算求R1·R2 ，22R，R1·R2 ·R3 ， (R1·R2 ·R3 )－1 。 3.（6分）化简等价式（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）. 4.(8分) 设集合A＝{1,2,3}，R为A上的二元关系，且 M R＝ 写出R的关系表达式，画出R的关系图并说明R的性质. 5. （10分）设公式G的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G的 主析取范式和主合取范式，并 写出G的主析取范式和主合取范式. 1 0 0 1 1 0 1 0 0
离散数学》双语课程教学大纲
离散数学》双语课程教学大纲 一、课程编号：040510 二、课程类型：必修 课程学时：理论教学 72学时 / 4.5学分。 适用专业：信息与计算科学专业。 先修课程：线性代数、概率论、高等数学等。 后续课程：编译原理、操作系统、数据结构、数据库等。 三、课程性质与任务 《离散数学》是信息与计算科学中基础理论的核心课程。该课程采用双语教学形式，教材是国外原版英语教材。通过本课程的学习，主要培养学生的抽象思维能力、严密的逻辑推理能力、阅读外文科技文献能力和专业英语写作能力。并为学生今后处理离散信息、离散建模、软件开发、计算机硬件系统设计、程序设计的时间和空间复杂度分析等提供理论指导基础，是学生从事信息科学的实际工作必备数学工具。 四、教学主要内容及学时分配
五、教学基本要求 了解离散数学所涵盖的内容及背景思想；理解离散数学组的数学思想和基本概念。掌握离散数学常用的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的利用离散数学解决实际问题能力。具体要求有： （1 ）理解子集、空集、全集、集合相等、幂集等基本概念；掌握集合的两种表示法。 （2）熟练掌握集合的交、并、差补运算；能通过文氏图理解与掌握集合的有关运算；了解包含排斥定理及其简单应用。 （3）熟练掌握集合运算的基本定律，并能熟练地应用这些定律证明集合恒等式。（4）掌握逻辑代数的基本理论和方法，理解命题﹑复合命题及真值表的概念，熟练掌握逻辑运算符‘非’﹑‘合取’ ﹑‘析取’﹑‘蕴涵’﹑及 ‘存在’﹑‘任意’等量词的定义及使用；理解条件语句的概念；理解等价。掌握一些常见的逻辑推理方法。
（5）熟练掌握乘法原理﹑加法原理﹑排列﹑组合﹑鸽笼原理及递归式，会用组合计数思想的方法计算简单的古典概率问题。 （6）理解序偶与笛卡尔积的概念；理解 n 元组与 n 个集合笛卡尔集的概念。 深刻理解关系的基本概念；掌握二元关系的关系矩阵与关系图。熟练掌握关系的自反性、对称性、反对称性和传递性四种性质并熟练掌握其求法。 深刻理解二元关系的自反闭包、对称闭包和传递闭包的概念并熟练掌握其求法。熟练掌握等价关系的判定与相关等价类的求法。了解关系的计算机表示﹑关系的运算﹑传递闭包及Warshall算法。 （7）理解映射、满射、单射、双射的概念并熟练掌握其判定方法；了解复合映射与逆映射的概念及求法。 （8）理解有向树，无向树，根数，标定树的定义及性质；掌握极小生成树算法； 了解生成树搜索法。 （9）理解无向图，哈密顿圈及哈密顿路，传输网络，匹配问题，图的着色的定义及性质；掌握欧拉环游及欧拉通路，最大流问题的定义﹑性质及算法。 掌握有关哈密顿图的一些必要和充分条件。 六、对学生课外作业的要求 本课程概念多、比较抽象、定理证明和应用有一定难度，为了学生进一步理解课堂教学内容，拟布置一定数量的课外习题为宜，教师批改作业本的 2/3, 并安排时间上习题课。各章节习题量分布如下： 七、教材及主要参考书
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
太原理工大学离散数学试题
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝__{3}__________________; ρ(A) - ρ(B)＝___________________{3},{1,3},{2,3},{123}______ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = _____2^(n^2)_____________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反，对称，传递 ____________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2= {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公
离散数学题库
常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设
2018国家开放大学离散数学本形考任务答案
离散数学作业4 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15 ． 2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 { f }，{ e,c} ． 3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点度数之和等于边数的两倍． 4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且不含奇数度结 点． 5．设G=
8．结点数v与边数e满足e=v - 1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去条边后使之变成树． 10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ． 二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．） 1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路． 答：错误。应叙述为：“如果图G是无向连通图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路。” 2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路． 答：错误。因为图中存在奇数度结点，所以不存在欧拉回路。 3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们 都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许 多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结 的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→ｑ。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→ｑ为假命题。 （7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命 题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。
离散数学双语专业词汇表
《离散数学》双语专业词汇表 set：集合subset：子集 element, member：成员，元素well-defined：良定，完全确定brace：花括号representation：表示 sensible：有意义的rational number：有理数 empty set：空集Venn diagram：文氏图 contain(in)：包含（于）universal set：全集 finite (infinite) set：有限（无限）集cardinality：基数，势 power set：幂集operation on sets：集合运算 disjoint sets：不相交集intersection：交 union：并complement of B with respect to A：A与B的差集symmetric difference：对称差commutative：可交换的associative：可结合的distributive：可分配的idempotent：等幂的de Morgan’s laws：德摩根律 inclusion-exclusion principle：容斥原理sequence：序列 subscript：下标recursive：递归 explicit：显式的string：串，字符串 set corresponding to a sequence：对应于序列的集合 linear array(list)：线性表characteristic function：特征函数countable(uncountable)：可数（不可数）alphabet：字母表 word：词empty sequence(string)：空串 catenation：合并，拼接regular expression：正则表达式division：除法multiple：倍数prime：素（数） algorithm：算法common divisor：公因子 GCD(greatest common divisor)：最大公因子 LCM(least common multiple)：最小公倍数 Euclidian algorithm：欧几里得算法，辗转相除法 pseudocode：伪码（拟码）matrix：矩阵square matrix：方阵 row：行column：列 entry(element)：元素diagonal matrix：对角阵
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={