17.4.3 反比例函数的“面积性质”

x
（注意点：利用面积求k时，一定要 “看象限定符号” ，第一、三象限为 正，第二、四象限为负）
试试看
过反比例函数 点A,分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别 为B、C ，如果三角形ABC的面积为5， 那么K的值为 ±10 。
y k x （k≠0）的图象上一
注意：遇到这种情况要认 真分析，可能出现两解。
17.4.3 反比例函数的“面积性质”
学前检测
例1、根据下图中点的坐标 y （1）求出y与x的函数解析式。 （2）如果点A（-2，b）
A(-2,b)
在双曲线上，求b的值。
x B (3,-1)
(3)比较绿色部分和蓝色部 分的面积的大小。
答：一样大。
k 探究：如图，对于双曲线 y x （k≠0 ） 上任意一点P(m，n)，恒有mn= K ，过点P作 PA⊥x轴，PB⊥y轴，则有PA=OB= | n | ， |K| PB=OA= | m | 。则矩形 OAPB 的面积为 。 1 . △OPA的面积为 | k |。
5、如图，直线AB：y=kx（k＜0）与双曲 4 y 线 x 交于点A、B，过点A作AC⊥y 轴，连接BC，则△ABC的面积是 4 。
y
A
O
C
x B
6、如图，直线AB：y=kx（k＜0）与 4 y 双曲线 x 交于点A、B，AC⊥y轴， BC⊥x轴，则△ABC的面积是 8 。
y A O B C x
k ；且S△AOP
B
O x
k y 1、如图，点P是双曲线 x 上一点，若
矩形OAPB的面积为8，则k=
y P(m,n) 8
活学活用
。
B
O
A
x
k 变式：如图，点P是双曲线 y 上一点， x
若矩形OAPB的面积为8，则k=
y P(m,n)
y P(m,n) B O
-8
。
B
X O A A 比较以上两题，你觉得解题时要注意什么？
习题例解
正比例函数y=k1x 的图像与反比例函数 k2 y （ k ＞ 0 ）的图像交于点 M （ a ， 1 ） ， x MN⊥x轴于点N，若△OMN的面积等于2，求 这两个函数的解析式。
y M o N
x
拓展题
1、已知反比例函数 的图象经过点A （ 3, m），过点A作AB⊥x轴于点B，且 △AOB的面积为 3 。①求k和m的值； ②若一次函数 y ax 1 的图象经过点A，并 且与x轴相交于点C ，求其解析式。
2、反比例函数 在第一象 限的图象如图所示，则k的值可 能是( 3 )．（填整数）
k y x
3、如图，点A、B是双曲线同一支上两点， 过 点A作AM⊥x轴，BN⊥x轴，OB与 AM交于点P，则有（ ）C A． S AOP S 梯 形BPMN y A B． S AOP S 梯 形BPMN C． S AOP S 梯 形BPMN B P D．无法确定
y B P(m,n)
2
S矩形 OAPB | m | | n || k |;
x
O
A
S OPA S OPB
1 | k |. 2
归纳：
反比例函数
k y 上任一点P（x0，y0），过点P x
作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、B，则四边
形AOBP的面积为
k。 S = △BOP 2 k y 归纳：从反比例函数y 的图象 x 上任取一点向两坐标轴作垂线，这 一点和垂足及坐标原点所构成的长 p A 方形面积。S=│k│．
y A C B O
y
k (k 0) x
x
总结：
反比例函数
k y 上任一点P（x0，y0），过点P x
k
作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、B，则四边
形AOBP的面积为 k ；且S△AOP = S△BOP 。 2 k y
2、在函数图形中的面积计算中，要充分利用好横、 纵坐标。 3、根据面积求k值要注意图象的象限、K值的符 号。
7、如图，直线AC： y=kx（k＞0）与双曲 4 线 y 交于点A、B，AB⊥x轴， x CD⊥x轴，连接BC，AD，则四边形 ABCD的面积是 8 。
y A
D
C
O
B
x
拓展提升
1、（2010湖北孝感）如图，点A在 双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四 边形ABCD的面积为矩形，则它的面积 2 为 .
2、如右图，点P是双曲线上一点，若 △POD的面积为8，则k= -16 。
y
P
x
D O
2 3、如图，点P是双曲线 y x
上一点， PD⊥x轴，则△POD的面积是 1 。函数 x （x＞0）的图象上 任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D 连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是 S1、S2，比较它们的大小，可得（ B ） （A）S1＞S2 （B）S1＝S2 （C）S1＜S2 （D）大小关系不能确定
o M N x
4、如图，点A、B是双曲线同一支上两点， 过点A作AM⊥x轴，BN⊥x轴，连接AB， 设△AOB的面积为S1，梯形AMNB的面 B 积为S2，则有（ ） • A． S1 S 2 y • B．S1 S 2 • C．S1 S 2
A B x O M N
5、如图，x轴上OA1=A1A2=A2A3=A3A4，分 别过点A1、A2、A3、A4作x轴的垂线，与双 1 y 曲线 x 交于点P1、P2、P3、P4，再过 点P1、P2、P3、P4作x轴的平行线形成四个 长方形（阴影部分），则第四个四边形的 面积是 0.25 。 y P 1 P2 P3 P4 o A A A A x 3 1 2 4
6、如图，Ａ、Ｂ是双曲线 上的点， 分别经过Ａ、Ｂ两点，向x轴y轴作垂线， s1 s2。 4 若Ｓ阴影＝１，则
Y S1 S2 0 x
3 y x
A
B
7、在 的图象中，阴影部分面积不为 1的是（ B ）．
8、如图,直线和双曲线交于A、B两点,P是线段 AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分 别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、 OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是 S2、△POE面积是S3、则（D ） • A、 S1＜S2＜S3 B、 S1>S2>S3 • C、 S1=S2>S3 D、 S1=S2<S3
y
归纳：1、从反比例函数 x 的图象上任取一点向两坐标轴作 垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的长方形面积。S=│k│．
p
A
B
O x
谢谢！