周世勋量子力学教案3
量子力学教程(周世勋)课后习题详细解答
量子力学课后习题详细解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程周世勋
量子力学教程周世勋量子力学是一门探讨微观世界运动规律的学科，是20世纪最伟大的科学发现之一。
作为一门理论物理学科，量子力学对于理解微观粒子行为和物质性质有着重要的作用。
本文将介绍量子力学的基本概念、发展历程，以及对人类社会的影响。
量子力学最早的发展可以追溯到20世纪初，当时科学家们对光的性质、电子的性质和原子结构等问题产生了浓厚的兴趣。
然而，传统的经典物理学无法解释这些微观粒子的行为，科学家们不得不寻求新的理论来解释这种微小尺度下的物理现象。
于是，量子力学应运而生。
量子力学研究了微观粒子的行为，这些粒子的特性和行为在经典物理学中是难以解释的。
量子力学中的基本单位是量子，粒子的性质存在着不确定性，同时也不符合传统的经典机械规律。
量子力学的核心概念是波粒二象性，即粒子既可以表现出粒子的性质，也可以表现出波动的性质。
量子力学的发展历程充满了许多突破性的研究和理论贡献。
薛定谔方程是量子力学的基石之一，它描述了微观粒子的运动和变化。
通过薛定谔方程，科学家们可以计算出微观粒子的波函数，并从中得到粒子的状态和运动规律。
量子力学还包括许多其他的理论和原理，如测不准原理、波粒二象性等，都为了解释和描述微观世界提供了重要的工具和方法。
量子力学对人类社会的影响不可忽视。
量子力学的应用涉及到许多领域，如材料科学、化学、生物学和计算机科学等。
通过对量子系统的研究和利用，科学家们发展出了一系列新的技术和方法，推动了人类社会的进步和发展。
例如，量子计算机的发展将会带来计算能力的指数级增长，对于解决复杂问题和加密通信有着重要的意义。
除了科学应用外，量子力学还对哲学和人类思维方式产生了深远的影响。
量子力学的不确定性原理挑战了经典机械观念下的决定论世界观，引发了哲学上对自由意志和确定论的讨论。
量子力学对于人类思维方式的改变和进步起到了积极的作用。
总而言之，量子力学作为一门独特的科学学科，对于理解微观粒子行为和物质性质有着重要的作用。
量子力学周世勋习题解答第三章
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr ar a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学教程习题答案周世勋
解：
= 1
= 0
*
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
*
1
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
2
独态：
*
三重态：
单击添加文本具体内容简明扼要地阐述你的观点
单击此处添加副标题
*
解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
*
*
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中
02
为归一化因子，即
03
求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
01
解：
02
*
第五章 微扰理论
*
运营计划简约通用模板
《量子力学教程》 习题解答
单击此处添加副标题
《量子力学教程》 习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
*
01
第一章 绪论
第七章 自旋和全同粒子
03
第三章 力学量的算符表示
单击此处添加正文
05
第五章 微扰理论
单击此处添加正文
02
第二章 波函数和薛定谔方程
单击此处添加正文
04
第四章 态和力学量的表象
单击此处添加正文
《量子力学教程》_课后答案
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
量子力学教案
课
后
记
年月日
பைடு நூலகம்不确定性运动和确定性运动之间的关系是怎样的？
课
后
记
年月日
物理系教 案
课题
第二章波函数和态叠加原理
教学
目的
深入理解波函数的统计解释;
掌握波函数的重要性质;
理解态叠加原理
教学
重点
波函数的统计解释态叠加原理
教学
难点
态叠加原理
教法
因是学生没学过的知识,讲解时注重联系实验讲解思想观念,用对比的方式讲解
教学内容
物理系教 案
课题
第一章绪论
教学
目的
掌握经典物理学面临的困难;
掌握微观粒子的波粒两像性;
掌握微观粒子的运动的基本规律
教学
重点
经典物理学困难的解决思想
微观粒子的波粒两像性
教学
难点
微观粒子的波粒两像性的理解
教法
演示法启发式讲授法实验分析法
针对本节课题在整个量子力学中的基础性作用和核心地位，以及它的内容结论不符合常识这样一个特点，采取了从实验得出结论，实验与结论密切结合的方法，以及逐步实验现象逐步分析得出一部分结论的循序渐进的分析方式，最后合成得到完整的结论。
掌握能量本征方程和定态的含义和性质
教学
重点
薛定谔方程的形式和意义定态
教学
难点
几率守恒定律定态
教法
讲授式启发式图形和算式结合多媒体和板书结合理论联系实际
教学内容
薛定谔方程的建立和意义,
态叠加原理,
几率守恒定律,
波函数的性质,
薛定谔方程求解的一般程序步骤.
作业思考题讨论题阅读材料
[新版]量子力学周世勋习题解答第三章
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t ix e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=；(2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dxe x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T(3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/31),,(a r e ar -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
周世勋量子力学课件第九章
ˆ2 的属于同一本征值的本征函数：分 散射前后始终是 L
波法精髓
将入射波作瑞利展开：平面波按球面波展开
jl (kr ) 是 l 阶球贝塞耳函数
各个不同 l 的分波互相独立地发生散射， 经过散射 后仍是第 l 个分波，散射只影响波函数的径向部分：
Rl (r ) 由径向方程求解，叠加系数 Al 由边界条件定
K 2k sin
2
实验测量 ( , ) 数值计算
V (K )
V (x)
玻恩近似适用的条件: 设V(x)近似用平均势 V 和力程 r0 表征
玻恩近似适用时要求微扰修正项是小量:
一级修正的小量
p 是小量 x ~ 是大量 p x ~ r0 p
x ~ r0 p
3 在 p 附近 d p体积元内的状态数为:
2n1 p1 L
2n2 p2 L
2n3 p3 L 2 3
L
) 的体积
的跃迁概率为:
对 p 积分, 得到单位时间内落到θ, φ方向dΩ范围内的 概率为:
设L3范围内的粒子数为n, 则
入射粒子流强度
动量转移:
K p p0
对于弹性散射, Q=0; m1=m3, m2=m4; r=m1/m2
总散射截面是一个无穷级数求和：
当 jl(kr) 的第一个极大值位于散射势场的力程之外时， 即 l/k>a 时散射效应很小， 相移δl 可以忽略，在低能时 只需考虑S分波的贡献：
§3 方形势阱与势垒所产生的散射
考虑低能粒子受球对称方形势阱或势垒的散射， 入射粒 子能量很小，其德布罗意波长比势场作用力程大得多 散射势场写为：
对于非弹性散射， 总能量守恒， 但是相对运动能量 不再守恒：
量子力学答案完整版周世勋第三版
找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b 〔常量〕；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 〔1〕以及 c v =λ， 〔2〕λρρd dv v v -=， 〔3〕有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
此题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5第一章绪论这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体〔如遥远星体〕的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
量子力学(周世勋)习题答案 第3章
12
2
(
x
ip 2
)2
p2 2 2
2
p2
e e dx 2 22
12
2
(
x
ip 2
)2
p2
e 2 22
2
1
p2
e 2 22
动量几率分布函数为
( p) c( p) 2
1
p2
e 22
#
3.2.氢原子处在基态 (r, ,)
1 e r / a0 ，求： a03
(1)r 的平均值；
24a2*p04(r(2)a4(02r,a,402
) )d
2
2a
2 0
c(
p)
1 (2)3/ 2
0
1
e r / a0 r 2 dr
e
i
pr cos
sin
d
2 d
a03
0
0
2
r 2e r / a0 dr
e
i pr cos
d ( cos )
(2)3/ 2 a03 0
0
2
(2)3/ 2
a2 n
x
cos
n a
x
a3 n2 2
sin
n a
x
a n
x 2 cos n a
x
2a 2 n2 2
x
sin
n a
x
2a 3 n3 3
cos
n a
a
x]
0
4 15 n3 3
[1 (1)n ]
∴
(E)
Cn
2
240 n6 6
[1 (1)n ]2
960
2
5k 2 2 8
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节力学量算符一.算符算符:作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：
2.动量算符：,,3.动能算符4.哈密顿算符：
5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出
算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和
加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。四算符之积
定义:算符与的积为注意:一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意:不是所有的逆算符都有逆算符。
，六算符的复共轭，转置，厄密共轭1．两个任意波函数与的标积2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量
3．转置算符定义:算符的转置算符满足：
即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为
即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符
注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符
例：证明是厄密算符证：
为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数
设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为
如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。即.这种状态称为力学量的本征态。在这种状态下
称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。二力学量算符的性质1.力学量算符是厄密算符
量子力学的一个基本假定:测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
厄密算符的本征值必为实数证：设为厄密算符取是实数表示力学量的算符为厄密算符2．力学量算符为线性算符态叠加原理决定了力学量算符为线性算符
【证】：设也应是体系的态即为线性算符三厄密算符本征函数的性质1正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
如果两函数和满足积分是对变量变化的全部区域进行,则称与相互正交。
[证]:已知为实数
由厄密算符性质这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的对归一化的本征函数
分离谱连续谱这样的本征函数构成正交归一系.2.完备性
设为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为,对应的本征值为则任一函数可按展开
本征函数的这种性质称为完备性与x无关,利用的正交归一性,将等式两边，对x在整个区域积分
即:如总归一化
讨论:当是算符的一本征函数时,即即其它系数为零,这时测量力学量的测量值必是
当不是的本征函数时,可按本征函数展开,测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为的几率为波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定:量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符的本征值之一,测得的几率是四力学量算符的平均值.
对于一态,将其按某力学量的本征函数集展开是归一化的出现本征值的几率为,则按由几率求平均值的法则
上式可改写为是归一化的[证明]
如未归一化：如本征值是连续谱定理:在任何状态下,厄密算符的平均值都是实数[证明]
逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符例1:设为厄密算符,则[证明]
第四节几种典型力学量算符的本征函数一.坐标算符
即为坐标算符本征值为的本征函数。二.动量算符动量算符的本征值方程
，，它们的解如何确定归一化系数C
这是由于本征值可取任意值，动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样的.对连续谱的本征函数,我们一般将函数归一化函数
=取,归一化为函数
归一化的动量本征函数为箱归一化:如给波函数加上边界条件,即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值，，同理：，，为正负整数或零。本征值谱由分离变为连续.加进周期性边界条件后,动量本征函数可归一化为1，归一化常数为。
归一化波函数为三.角动量算符，，用球坐标表示：，，
可以看出角动量算符只与有关1.的本征函数
，解出应满足边界条件
exp=1，归一化后，是的本征值为的归一化本征函数。
2．角动量的共同本征态：球谐函数的共同本征函数为球谐函数：轨道角量子数磁量子数
具体表达式：是正交归一的：对应于的一个本征值有个不同的本征函数。我们把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并。的本征值是度简并。第五节算符的对易关系共同本征态函数测不准关系一.量子力学的基本对易关系
记1.坐标与动量算符的对易关系
为任意波函数,所以同理
概括起来2.角动量算符的对易关系式同理可证常用的对易关系式
二.共同本征态如两算符,满足.称对易定理:如果两算符有一组共同本征函数，而且组成完全系，则对易[证]
设是任一波函数＝逆定理:如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数上述定理可推广到两个以上情况。
它们的共同本征函数完全集是相互对易，它们有共同本征函数要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。完全集合中力学量的数目一般与体系自由度数目相符。从对易关系可以看出，普朗
克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。
三．测不准原理
设两算符对易关系为
令考虑积分是实参数都是厄密算符不等式成立的条件是对坐标和动量
例：通过测不准原理关系说明线性谐振子的零点能【解】振子的平均能量是和不能同时为零最小值不能为零为求最小值，测不准关系取等号
得出的最小值，测不准关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。第六节电子在库仑场中的运动氢原子
一．电子在库仑场中的运动核（Ze），核外电子(-e)氢原子Z=1类氢原子Z>1
势能薛定谔方程分离变量法
径向方程的解与角度部分有关的解n主量子数轨道角动量量子数m磁量子数
可以看出能量本征值是和n有关，对应于第n个能量有个波函数电子第个能级是度简并的。二．氢原子对氢原子应考虑核运动，这是一两体问题薛定谔方程
相对坐标质心坐标
约化质量分离变量带入方程用除方程两边
与坐标无关<1><2><2>式描述质心运动，这是能量为的自由粒子的定态薛定谔方程。<1>式是电子相对于核运动的波函数所满足的方程，即是一个质量为的粒子在势能为的力场中运动，这里我们只需要把前面结果中Z的取为1，把电子质量换成约化质量即可
氢原子能级能级随n增大而增大电子电离电离能
=13.60=13.597(取约化质量)电子由能级跃迁到时辐射出光的频率
里德伯常数R=10973731.1/mR=10967758/m（约化质量）
电子按半径r的分布几率玻尔电子轨道半径的本质：分布几率出现极值的地方。第七节力学量随时间变化与守恒定律一．力学量平均值随时间的变化，守恒量
在量子力学中，处于一定状态下的体系在每一时刻不是所有力学量都有确定值，只是具有确定的平均值及几率分布
有薛定谔方程
若力学量不是含t则，。如又和对易即，则：满足上式，即力学量平均值不随时间变化的力学量称为守恒量，守恒量的几率分布不随时间改变。
证：设为守恒量,则，取的一组共同本征态对任一态按展开总结：如果是与对易的不含t的力学量（守恒量）则在体系的任何态下，平均值不随时间改变在体系的任何态下，的几率分布不随时间改变。（3）若初始时刻，体系处于守恒量的一个本征态，则以后仍将保持该本征态，若初始时刻，体系不处于本征态，则以后状态也不是本征态。例：（1）自由粒子的动量动量守恒
动量守恒（2）中心力场中运动的粒子角动量守恒