高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.10变化率与导数、导数的计算课件文
主干知识· 整合 01
课前热身 稳固根基
知识点一 导数的概念 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 称函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率 ______________ ＝ __________为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′ Δy |x＝x0，即 f′(x0)＝ lim Δx＝__________________. Δx→0
解析：f′(x)＝(2x＋3)ex，f′(0)＝3.
答案：3
5．设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1) ＝________.
解析：设 ex＝t，则 x＝lnt(t>0)， 1 ∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝ t ＋1，∴f′(1)＝2.
答案：2
热点命题· 突破 02
2．导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上 点________处的__________(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的 导数)．相应地，切线方程为________________． 3．函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)＝__________________为 f(x)的导函数．
答案 fx0＋Δx－fx0 1.lim Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0 2．P(x0，y0) 切线的斜率 y－y0＝f′(x0)(x－x0) Δy lim Δx Δx→0
fx＋Δx－fx 3.lim Δx Δx→0
1．函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为________，在 x＝2 处的导数为________．
－x，则曲线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：当 x>0 时，－x<0，则 f(－x)＝ex－1＋x.又 f(x)为偶函数， ex 所以 f(x)＝f(－x)＝ e ＋x，所以当 x>0 时，f′(x)＝ex－1＋1，则曲线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为 f′(1)＝2，所以切线方程为 y－ 2＝2(x－1)，即 y＝2x.
答案：y＝2x
知识点二
导数的运算
1．几种常见函数的导数 原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx 导函数 f′(x)＝____ f′(x)＝______ f′(x)＝______ f′(x)＝______
f ( x ) ＝a
x
f ′( x) ＝ ______ f ′( x) ＝ ______ f ′( x) ＝ ______ f ′( x) ＝ ______
3．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)， u＝g(x)的导数间的关 系为 yx′＝____________，即 y 对 x 的导数等于______的______与 ______的导数的乘积．
答案 1．0 nx
n－1
cosx －sinx a lna e
x
x
1 1 xlna x
2．(1)f′(x)± g′(x) f′xgx－fxg′x (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (3) [gx]2 3．yu′· ux′ y 对 u 导数 u 对 x
4．(2016· 天津卷)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导 函数，则 f′(0)的值为________．
Δx→0
f2－2Δx－f2 已知 f′(2)＝1，则 lim ＝________. Δx → Δx 0
f2－2Δx－f2 解析： lim Δx Δx→0 ＝－2 lim
－2Δx→0
f[2＋－2Δx]－f2 ＝－2f′(2)＝－2. －2Δx
ห้องสมุดไป่ตู้答案：－2
2 2 2 － 1 解析：函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为 ＝3， 2－1
在 x＝2 处的导数为 f′(2)＝2×2＝4.
答案：3 4
1 2 2．某质点的位移函数是 s(t)＝2t －2gt (g＝10 m/s2)，则当 t
3
＝2 s 时，它的加速度是( A．14 m/s2 C．10 m/s2
课堂升华 强技提能
热点一
导数的定义
【例 1】 用导数的定义求函数 y＝3x＋2 在点 x0 处的导数．
fx0＋Δx－fx0 【解】 f′(x0)＝ lim Δx Δx→0 ＝ lim 3x0＋Δx－3x0 ＝ lim 3＝3. Δx Δx→0
Δx→0
【总结反思】 使用导数定义求导数或者证明一些问 题时，要充分利用 f′(x)＝ lim fx＋Δx－fx . Δx
f(x)＝e
x
f(x)＝logax(a>0， a≠1，x>0) f(x)＝lnx(x>0)
2.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝________________； (2)[f(x)· g(x)]′＝____________________；
f x (3) gx′＝____________________(g(x)≠0)．
)
B．4 m/s2 D．－4 m/s2
解析：由 v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得 t＝2 时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
答案：A
3． (2016· 新课标全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数， 当 x≤0 时， f ( x) ＝e
－x－1
第二章
函数、导数及其应用
第十节 变化率与导数、 导数的计算
1.了解导数概念的实际背景． 2 ． 通过函数图象直观理解导数的几何意 义． 3．能根据导数定义求函数 y＝C(C 为常 1 数)，y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝ x的导数．
2 3
4 ．能利用基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解 复合函数的求导法则， 能求简单复合函数(仅限 于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．
高考数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数导数的计算课件 理
解
．
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变化率与导数、导数的计算
考点一：导数的运算
题组练透
求下列函数的.导数
(1)y x2 sinx;
(2)y lnx பைடு நூலகம்; x
cosx (3)y ex ;
(4)y xsin(2x)cos2(x);
2
2
(5)y ln(2x5).
类题通法
函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等 变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减 少运算量，提高运算速度，减少差错. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免 使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复 合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然 后求导．
考点二：导数的几何意义
角度一：求切线方程
1.(201.云 5 南一)检 函数f(x) l nx2x x
的图象在(1点 ,2)处的切线方程 ( 为)
A2.x y40
B2. x y0
C.x y30
D.x y10
角度二：求切点坐标
2.(201.江 4 西高 )若考曲y线 xlnx上 点P处的切线平行 2x与 y直 10线 ,则 点P的坐标 __是 _____.____
角度三：求参数的值
3.已知f (x) ln x, g(x) 1 x2 mx 7
2
2
(m 0),直线l与函数f (x), g(x)的图象都相切，
且与f (x)图象的切点为(1, f (1)),则m的值为
A. 1
高考数学(人教A版)一轮复习课件：2.10变化率与导数、导数的计算
A. e2
B.3e 2
C.6e 2
D.9e 2
【解析】选A.因y′= 故,切线的斜率k= e 2 , 切线方程为y-e 2 = e2 (x-6),令x=0 得y=-e 2 ;令y=0 得 x=3, 故围成的三角形的面积为S= ×3×|-e 2 |= e2 .
4.(2017· 商丘模拟)已知f′(x是) f(x)=sinx+acosx 的导函数,且f′ 则实,数a的值为 ( )
2.f′(x的)符号及大小的意义 函数y=f(x) 的导数f′(x反) 映了函数f(x)的瞬时变化 趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x反)|映 了变化的快慢,|f′(x越)|大,曲线在这点处的切线越“ 陡”.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修1-1P86T1 改编)曲线y=x 3 +11 在点P(1,12)
【解析】设x>0, 则-x<0, 因为x≤0时,f(x)=e-x-1 -x, 所以f(-x)=e x-1 +x, 又因为f(x)为偶函数,所以f(x)= ex-1 +x,f′(x)=ex-1 +1,f′(1)=e1-1 +1=2, 所以切线方 程为y-2=2(x-1) 即:2x-y=0. 答案:2x-y=0
f′(x)且,满足f(x) =2xf′(1) +lnx则,
f′(
【解析】选B.因为f′(x) =2f′+ 那么, f′(1) =2f′(1) +所1,以f′(1) =-1.
7.(2016· 全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x≤0时 ,f(x)=e-x-1 -x,则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方 程是________.
【一题多解】解答本题,还有以下方法: y′=(2x2 -1)′(3x+1)+(2x 2 -1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x 2 -1)=12x 2 +4x+6x 2 -3 =18x 2 +4x-3.
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第10讲 变化率与导数、导数的运算课件 文
12/11/2021
第二十一页，共三十九页。
【解】 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s， 此时耗氧量为 30 个单位，故有 a＋blog33100＝0， 即 a＋b＝0； 当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 故 a＋blog39100＝1，整理得 a＋2b＝1. 解方程组aa＋＋b2＝b＝0，1，得ba＝＝－1. 1，
所以当 x＝74时，修建中转站和道路的总造价 M 最低．
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(1)通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为 解题找出突破口． (2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表 达数学关系． (3)在构建数学模型时，对已知数学知识进行检索，从而认定或 构建相关的数学模型．
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2．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－210(1＋k2)x2(k>0)表 示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地 点的横坐标．
则炮的最大射程为________．
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解析：在 y＝kx－210(1＋k2)x2(k>0)中， 令 y＝0，得 kx－210(1＋k2)x2＝0. 由实际意义和题设条件知 x>0，k>0.解以上关于 x 的方程得 x ＝12＋0kk2＝1k2＋0k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程是 10 千米．
考点一 函数模型的选择 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解
年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)的影响．根据近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i＝1，2，…，8)数据得到下面 的散点图．则下列哪个作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数 模型最适合( )
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.10导数的概念及运算课件理
第十一页，共58页。
(2)(选修A2－2P18T7)f(x)＝cosx在2π，0处的切线的倾斜 3π
角为____4____． 解析 f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f′2π＝－1， tanα＝－1，所以α＝34π.
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3．小题热身
(1)(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处
用公式法．
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解 (1)解法一：y＝(3x3－4x)(2x＋1) ＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 解法二：y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋ 1)′ ＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
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2．教材衍化
(1)(选修A2－2P6例1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点
(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔΔyx等于( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析 Δy＝(1＋Δy)－1＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1 －1＝2(Δx)2＋4Δx，
第四十一页，共58页。
(3)设切点为(x0，y0)，则k＝x20＝1， ∴x0＝±1，故切点为1，53，(－1,1)， ∴所求切线方程为3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
第四十二页，共58页。
题型4 导数的几何意义的应用
典例1 (2017·资阳期末)若对∀x∈[0，＋∞)，不等式 2ax≤ex－1恒成立，则实数a的最大值是( )
高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数、导数的运算课件 文
1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′ ＝αxα－1 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a 混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的 区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
A．e
1 2
B．2e
1 2
1
C．e 2
()
1D．2e 2来自解析：依题意，设直线 y＝ax 与曲线 y＝2ln x＋1 的切点的横
坐标为 x0，则有 y′|x＝x0＝x20，于是有aa＝ x0＝x20，2ln x0＋1， 解
得 x0＝
e，a＝x20＝2e
1 2
，选
B．
答案：B
[通法在握] 与切线有关问题的处理策略 (1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝ f′(x0)． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k． (3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0， f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1) 代入切线方程，求x0．
f(x)＝ln x
导函数
f′(x)＝ n·xn－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a f′(x)＝ ex
1 f′(x)＝ xln a
1 f′(x)＝ x
3．导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值(范围)．
(新课标)高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用2.10变化率与导数、导数的计算真题演练文
数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算真题演练 文
导数几何意义及应用
1．(2014 ·课标卷Ⅱ ) 设曲线 y＝ ax－ln( x＋ 1) 在点 (0,0) 处的切线方程为 y＝ 2x，则 a
＝( ) A． 0
B． 1
C． 2
x2－ 1＋ lnx
g( x) 满足 g(1) ＝ 0, 且 g′（x) ＝ 1－ f ′（x) ＝
x2
.
当 0<x<1 时， x2－ 1<0， ln x<0，所以 g′（x)<0 ，
故 g( x) 单调递减； 当 x>1 时， x2－1>0， ln x>0，所以 g′（x)>0 ，故 g( x) 单调递增．
所以， g( x)> g(1) ＝ 0( ? x>0， x≠1) ．
所以除切点之外，曲线 C在直线 L 的下方．
2/2
解析： y′ ＝－ 2e－2x，曲线在点 (0,2) 处的切线斜率 k＝－ 2， ∴ 切线方程为 y＝－ 2x＋
2，该直线与直线 y＝ 0 和 y＝ x 围成的三角形如图所示，其中直线 y＝－ 2x＋ 2 与 y＝ x 的交
22
1
21
点为 A 3， 3 ，与直线 y＝ 0 的交点为 B(1,0) ，所以三角形的面积 S＝2×1× 3＝3，故选 A.
答案： A
3．(2014 ·江西卷 ) 若曲线 y＝ xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－ y＋ 1＝ 0，则点 P
的坐标是 ________．
1/2
解析： 由题意知， y′＝ ln x＋ 1，直线斜率为 2，由导数的几何意义，令 ln x＋ 1＝ 2，得
高考数学一轮复习课件_2.10变化率与导数、导数的计算
【解】 (1)∵l是f(x)＝ln x在点(1，0)处的切线， ∴其斜率k＝f′(1)＝1， 因此直线l的方程为y＝x－1.
(2)又l与g(x)相切于点(1，0)， ∴g′(1)＝1，且g(1)＝0.
2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个 交点的区别．
3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做 到不重不漏．
从近两年的高考试题来看，求导公式和运算法则，以及 导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题， 又可做为解答题的一问，难度中、低档为主，除了考查导数 运算，几何意义，还常与函数相关知识渗透交汇命题．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝__n__·_x_n_－_1_ f′(x)＝___c_o_s_x____ f′(x)＝__－__s_i_n_x___ f′(x)＝ ___a_xl_n_a__(a＞0)
2．求函数的导数的方法 (1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导； (3)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． (4)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形 式再求导．
已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1， C2都相切，求直线l的方程．
A．xsin x
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
【解析】 f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第11讲变化率与导数、导数的计算
第二章基本初等函数、导数及其应用第们讲变化率与导数、导数的计算教材回顾▼夯实基础知识梳理r1. 导数的概念⑴函数丿=/（兀）在X=Xo 处的导数称函数丿=/（兀）在x=x 0处的瞬时变化率处的导数，记作f3o)或y f\x = x^即/(xo) = Km = f (xo+Ax) —f Oo )Ax课本温故追根求源f (x 0+Ax) —f (x 0) limAx —>0Ax詈为函数 y=f(x)^x=xo（2）导数的几何意义函数/*（兀）在点可处的导数/（xo）的几何意义是在曲线J =/（x）上点P（x0,必）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数啲对时间t的导数）.相应地，切线方程为丿一丿0=几切）（兀一兀0）___________________________________ •（3）函数/（兀）的导函数f &+ Ax）—f O）称函数x —为/u）的导函数.2.基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则f(x)± g f(x)⑴［f(X)±g(X)V = _____________________________f(x)g(x)+f(x)g f(x)⑵［f(x)-g(x)r= _________________________f (兀)g (x) —/ (x) g' (x)(3Or_= ______________ 国(兀)F(g(x)H0) •汁要点整會多1.辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式(xy=nx n-1与指数函数的求导公式(a x y=a x\na混淆.(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.2.导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导•双基自测,1.（选修1-1P85练习T2⑷改编）函数j=xcosx数为（A. xsin xC • xcos x解析：y f =x r cos x+x(cos 兀)'—(sin x)r=cos x x=—xsin x.—sinx的导xsinx xcosx xsin x—cos2. （2016-豫东、豫北十所名校联考）已知几r）=2e"sin x,贝||曲线加:）在点（0, /（0））处的切线方程为（B）A・ j=0 B・y=2xC. y=xD. y=—2x解析：因为/(x)= 2e v sin x,所以/(0)=0, f (x)=2e x• (sinx+ cos x),所以f(0)=2,所以曲线ZU)在点(0, /(0))处的切线方程为y=2x.(2015•高考天津卷)已知函数f(x)=axinx9 xG (0, +°°),其中"为实数，f(劝为/(兀)的导函数.若7(1)=3,则"的值为__.由于f(l)=“(l+ln 1)=偽又/(1)=3,所以a=3.解析：f (x) = x+x^J=«(l+ln x).In x4. (2016•长春质量检测)若函数心)=—,贝!| 7(2)= 1-11124解析：由f(x)=1 —In x.口 a2―得/'(2)= X5. (2014•高考江西卷)若曲线尸上点P处的切线平行于直线2x+j+l=0,则点P的坐标是f彳，2)解析：设旳)，因为所以—“x, 所以点P处的切线斜率为^=-e-x0=-2, 所以一x0=ln2,所以x0=—In 2,所以Jo=e ln2 = 2,所以点F的坐标为(-In 2, 2).典例剖析▼考点突破］名师导悟以例说法考点一导数的计算靈0求下列函数的导数：(l)j=(3x2—4x)(2x+1)； (2)j=x2sin x；In x(3)y=3V_2+；(4)J=-2—；X十1［解］⑴因为J = (3x2-4x)(2r+1)所以y f=lSx2—10x—4.(2)j f=(x2) r sin x+x2(sin x)r=2rsin x+x2cos x.(3)p=(3 Vy—(2)+e'= (3x)r e x+3x(e x)r-(2x)r =3Vln3+3V-2x ln2 = (ln3+l)-(3e)x-2x ln 2.(lnx) f (x2+l) —11 (4)y'=(x2+l)丄(x2+1) —2xlnxx(x2+l) 2 x2+l—2x2ln x x (x2+1) 2(x2+l)'导数计算的原则和方法求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错・［跟踪训练］1•求下列函数的导数:cos X⑵尸石;(3)j=e x ln x.q f n— 1 x I n x解：(l)j —nx e +x e=x,z_1e A (n+x).—sin2x— cos2x 1 (2)y，= ~ = TIT •sin x sm x (3)j r=e v ln x+e x• -=e x("+lnx考点二导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小, 属中低档题.高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度:(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标;(3)已知切线方程求参数值.(1)(2015•高考全国卷I )已知函数f(x)=ax +x+l 的图象在点(1,几1))处的切线过点(2, 7),则°=_____ (2)(2015•高考陕西卷)设曲线j=e x在点(0, 1)处的切线与曲线J=i(x>0)±点P处的切线垂直，则P的坐标为“ X［解析］(1)因为/(X)=3«X2+1,所以/(1)=3« + 1.X/(l)=«+2,所以切线方程为(«+2)=(3«+l)(x—1).因为切线过点(2, 7),所以7—@+2)=%+1,解得。