宁夏银川二中2021届高三上学期统练三数学(文)试题 Word版含解析

银川二中2020-2021学年第一学期高三年级统练三数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合M ={x ||x -1|<1}，N ={x |x <2}，则M ∩N =（） A. (-1，1) B. (-1，2) C. (0，2) D. (1，2)【答案】C 【解析】【分析】先由绝对值不等式的解法求得集合M ，再由集合的交集运算可得选项. 【详解】{}{}{}{}{}{}(|11|02|2|02|2|020M x x x x N x x M N x x x x x x =-<=<<=<∴⋂=<<⋂<=<<=，，，，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2. 已知sin α=，α为第二象限角，则tan α的值是（）A. B. C. 12-【答案】A 【解析】【分析】根据题中条件，由同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】因为sin 2α=，α为第二象限角，所以1cos 2α===-，因此sin 2tan 1cos 2ααα===-故选：A.【点睛】本题主要考查由正弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型. 3. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题． 4. 在ABC中，AC =1BC =， 60B =︒，则ABC 的面积为（）B. 2C. D. 3【答案】A 【解析】【分析】结合余弦定理求出AB ，进而可求出三角形的面积.【详解】解：由余弦定理可知，2222cos AC BC AB AB BC B =+-⋅⋅，即21312cos60AB AB =+-︒，整理得2120AB AB --=，解得4AB =或3-(舍去)，则11sin 14sin 60322ABC S BC BA B =⋅⋅=⨯⨯⨯︒=△，故选:A.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.本题的关键是求出AB . 5. 函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ω、ϕ的值分别是（）A. 4，3π B. 2，6π-C. 4，6π-D. 2，3π-【答案】D 【解析】【分析】利用正弦函数的周期性可得3344T π=，进而求得ω，再利用512x π=时取得最大值可求得ϕ值. 【详解】由图观察可知，函数的周期T 满足3344T π=，由此可得2T ππω==，解得2ω=，函数表达式为()()2sin 2f x x ϕ=+.又∵当512x π=时,取得最大值2，∴2sin 2212πϕ5⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可得()5262k k Z ππϕπ+=+∈，∵22ππϕ-<<， ∴取0k =，得3πϕ=-.故选：D.【点睛】本题考查由()sin y A ωx φ=+的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于基础题.6. 要得到函数()()sin 23f x x x x R =∈的图象，可将2sin 2y x =的图象向左平移（） A. 6π个单位 B.3π个单位 C.4π个单位 D.12π个单位【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论. 【详解】()sin 222sin 22sin 236f x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，将2sin 2y x =的图象向左平移6π可得到函数()y f x =的图象. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.7. 若向量,a b ，满足3,2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为（） A.2π B.23π C.6π D.56π 【答案】D 【解析】【分析】由向量垂直可得()0a a b ⋅+=，结合数量积的定义表达式可求出2cos ,aa b a b-<>=，又3,2,a b ==，从而可求出夹角的余弦值得解.【详解】解：因为()0a a b ⋅+=，所以22()0,a a b a a b a b a ⋅+=+⋅=⇒⋅=-，因为3,2,a b ==，所以23cos ,aa ab a bb--<>===-，.cos ,[0,]a b π<>∈，5,6a b π∴<>=故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积、向量垂直及向量夹角的计算.属于基础题 8. 若2()ln f x x m x =+在(2,)+∞是增函数，则实数m 的取值范围为（） A. [8,)-+∞ B. (8,)-+∞C. (,8)-∞-D. (,8]-∞-【答案】A 【解析】【分析】由题得()0f x '≥在(2,)+∞恒成立，即220x m +≥在(2,)+∞恒成立，即得解.【详解】对2()ln f x x m x =+求导得22()2m x mf x x x x'+=+=，因为若2()ln f x x m x =+在(2,)+∞是增函数，所以()0f x '≥在(2,)+∞恒成立，即220x m +≥在(2,)+∞恒成立，所以()2max28m x ≥-=-.故选：A【点睛】本题主要考查导数的单调性问题和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（）A.B.14C.D.【答案】B 【解析】分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案；【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，∴2b c =，又a b =，∴22222114cos 12422ba cb B ac b ⋅+-===⋅⋅，故选：B.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值.10. 在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间(y 单位：小时)与储存温度(x 单位：)℃满足函数关系( 2.71828kx by ee +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数)，若该食品在0C 时的保鲜时间为120小时，在30C 时的保鲜时间为15小时，则该食品在20C 时的保鲜时间为( )A. 30小时B. 40小时C. 50小时D. 80小时【答案】A 【解析】【分析】列方程求出10k e 和b e 的值，从而求出当20x =时的函数值．【详解】解：由题意可知1203015be k be=+⎧⎪=⎨⎪⎩，3018k e ∴=，1012k e ∴=， 201021()120304k b k b e e e +∴=⋅=⋅=．故选A ．【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，考查函数值的计算，考查了实际应用的问题，属于中档题．题目给定y 与x 的函数关系式ekx by +=，里面有两个参数,k b ，需要两个已知条件来求出来，根据题目所给已知条件列方程组，解方程组求得,k b 的值，也即求得函数的解析式.11. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（）A. 0B. 5-C. 2D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分析可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，则有(2020)(0)f f =，(2021)f f =（1），由奇函数的性质求出(0)f 与f （1）的值，相加即可得答案.【详解】解：根据题意，函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，(2020)(48252)f f f =+⨯=(4)(0)0f ==， (2021)(58252)f f f =+⨯=(5)f =-（1）5=-，则(2020)(2021)(0)f f f f +=+（1）5=-，故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.12. 已知函数()xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A. (],e -∞ B. (),e -∞C. ,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】【分析】由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2xg x e ax =-，可知函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2xe h x x=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求得实数a的取值范围.【详解】函数()xe f x ax x=-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立，即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，所以，函数()2xg x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，则()20xg x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2xea x∴≤，令()2xe h x x=，其中0x >，则()min a h x ≤.()()212x e x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减；当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12e h x h ==，2e a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若变量x ，y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是__________．【答案】53【解析】【详解】试题分析：作出可行域如图，令2z x y =+变形可得1122y x z =-+.作出目标函数线1:2l y x =-,平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点A 时,纵截距最大此时z 也最大. 112{,233x y A y x +=⎛⎫⇒ ⎪=⎝⎭.所以max 1252333z =+⨯=.即max 5(2)3x y +=.考点：线性规划. 14. 已知sin214α=，则2cos 2（π4α-）=__________．【答案】54【解析】 ∵sin214α=，∴2cos 2（π4α-）=π1cos 22α⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1+sin2α=15144+=．故答案为54．15. 已知20.32212,,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是____________.【答案】a b c >> 【解析】【分析】首先,,a b c 分别和0,1比较大小，再比较,,a b c 的大小.【详解】0.3221a =>=，22439b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，2231log log 10c =<=，即1,01,0a b c ><<<，所以a b c >> 故答案为：a b c >>【点睛】本题考查指对数比较大小，属于基础题型. 16. 若ABC 的面积为2223()a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】 (1). 60 (2). (2,)+∞ 【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=，即cos 3B =，sin 3,cos 3B B B π∴=∠=，则231sin cos sin sin 31132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan 0,,3,3tan A A ⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.三、解答题（共70分）17. 已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++. （1）求()f x 的最小正周期；（2）画出()f x 在区间[]0,π上的简图. 【答案】（1）π；（2）见解析. 【解析】【分析】(1)利用恒等变换把()f x 化为标准型，结合周期求解公式可得;(2) 通过列表找出一个周期内的五个关键点，在坐标系中描出这五个点，然后用一条平滑的曲线连接即可.【详解】由已知得：()sin2cos212sin 214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭（1）函数的最小正周期22T ππ==．（2）列表24x π+4π 2π π32π 2π94π x8π 38π 58π 78π πy2 2+112+1-12.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用恒等变换先把目标函数化为标准型sin()y A x B ωϕ=++，考查五点法画函数图象，属于基础题.18. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若ABC 3a =，求ABC 的周长. 【答案】（1）3A π=；（2）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，然后化简原等式即可求解出A 的大小；（2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出b c +的值，从而ABC 的周长可求. 【详解】（1）因为cos cos 2cos +=ac B b C A，所以()sin sin cos sin cos sin sin 2cos AC B B C B C A A+=+==，因()0,A π∈，所以sin 0A >，所以1cos 2A =，所以3A π=；（2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc +-=，又因为1sin 2ABC Sbc A =，所以163bc =，所以22433b c +=，所以()22243322+=2533b c b c bc +=++=，所以5b c +=，所以ABC 的周长为：538a b c ++=+=.【点睛】本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形以及三角形面积公式，主要考查学生对正、余弦定理的公式的熟练运用，难度一般.19. 已知以下条件：①3545,7a a S +==；②243n S n n =+；③425514,S S a =是3a 与92的等比中项．从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若 . （1）求n a ；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a +=，*n N ∈；（2）22nn +【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件求出数列{}n a 的首项和公差，进一步求出{}n a 的通项公式；（2）求得n b ，运用数列的裂项相消求和，化简可得数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】解：（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，则11265,4347,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,1,2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴12n n a +=，*n N ∈；选择条件②：243n S n n =+，∴当2n 时，()()221444313122n n n a S S n n n n n -=-=+----=+即1(2)2n n a n +=，当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式，∴12n n a +=，*n N ∈；选择条件③：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112115(46)14(2),9(4)(2),2a d a d a d a d ⨯+=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得11a =，12d =，或10a =，0d =，不合题意，舍去， ∴12n n a +=，*n N ∈；（2）由（1）可知，114114(1)(2)12n n n b aa n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，∴1211111111442351234n n T b b b n n ⎛⎫=++⋯+=-+-+-++- ⎪++⎝⎭1124222n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，裂项相消求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20. 如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m 的圆形广场（圆心为O ）与此公路所在直线l 相切于点A ，点P 为北半圆弧（弧APB ）上的一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，计划在PAQ ∆内（图中阴影部分）进行绿化，设PAQ ∆的面积为S （单位：2m ），（1）设()BOP rad α∠=，将S 表示为α的函数；（2）确定点P 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．【答案】（1）S 5000(sin sin cos )ααα=+，(0)απ<<.（2）当点p 距公路边界l 为150m 时，绿化面积最大，2max 37503()S m =. 【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可用α表示AQ ，PQ ，从而代入三角形面积公式，得答案；（2）对（1）问中函数求导，利用导数求得最大值，得答案.【详解】（1）由题可知100sin AQ α=，100100cos PQ α=+，()0,απ∈，. 则PAQ ∆的面积11100sin (100100cos )22S AQ PQ αα=⋅=⨯⨯+ 5000(sin sin cos )ααα=+，(0)απ<<.（2）2225000(cos cos sin )5000(2cos cos 1)S ααααα'=+-=+-5000(2cos 1)(cos 1)αα=-+令0S '=，则1cos 2α=或cos 1α=-（舍），此时3πα=．当03πα<<时，1cos 12α<<，0S '>，S 关于α为增函数．当3παπ<<时，11cos 2α-<<，0S '<，S 关于α为减函数．所以当3πα=时，2max 3315000(sinsincos )=5000()=333375032()22S m πππ=+⋅+⋅，此时1100100cos=100100=15032PQ m π=++⨯．故：当点p 距公路边界l 为150m 时，绿化面积最大，2max 37503()S m =.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而构建对应的函数关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于较难题. 21. 已知函数()2xe xf x a =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.【答案】（1）见解析；（2）24e a =【解析】【详解】分析：(1)先构造函数()()211xg x x e-=+-，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究()f x 零点，等价研究()21xh x ax e-=-的零点，先求()h x 导数：()()'2xh x ax x e -=-，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()h x 先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值. 详解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于()2110xx e-+-≤．设函数()()211xg x x e-=+-，则()()()22'211x x g x x x e x e --=--+=--．当1x ≠时，()'0g x <，所以()g x 在()0,∞+单调递减．而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数()21xh x ax e -=-．()f x 在()0,∞+只有一个零点当且仅当()h x 在()0,∞+只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()()'2xh x ax x e -=-．当()0,2x ∈时，()'0h x <；当()2,x ∈+∞时，()'0h x >．所以()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．故()2421ah e =-是()h x 在[)0,+∞的最小值． ①若()20h >，即24e a <，()h x 在()0,∞+没有零点； ②若()20h =，即24e a =，()h x 在()0,∞+只有一个零点； ③若()20h <，即24e a >，由于()01h =，所以()h x 在()0,2有一个零点，由（1）知，当0x >时，2x e x >，所以()()()333244216161614111102a a a a a h a e a a e =-=->-=->．故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,∞+有两个零点．综上，()f x 在()0,∞+只有一个零点时，24e a =．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程：22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2232x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()43sin cos a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设设圆C 的圆心为1O ,点()0022,32M cos sin θθ++，由题意可得1O M l ‖，得到0022sin cos θθ的值，结合同角三角函数的平方关系求得00,cos sin θθ的值后即可得解. 【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()12,3O ，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；（2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022,32M cos sin θθ++，由题知1O Ml ‖，002324sin cos θθ∴=-，又22001cos sin θθ+=，解得004535cos sin θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004535cos sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题.选修4－5：不等式选讲：23. 已知函数()|1||2|f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[2,1]-. 【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得()f x 值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】（1）当1a =时，()4|1||2|4f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩，解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， ∴3522x -<<.即不等式()4f x <的解集为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.2224(1)33m m m -+=-+≥，又由于()|1||2||21|f x x x a a =++-≥+，∴()f x 的值域为[|21|,)a ++∞ 故|21|3a +≤，∴21a -≤≤.即实数a 的取值范围为[2,1]-【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.。

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2021届宁夏银川市第二中学高三上学期数学统练一试题(含答案解析)

2021届宁夏银川市第二中学高三上学期数学统练一试题一、单选题1．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．若2sin 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A B ． C D ． 3．设{}|02A x x =≤≤，{}|12B y y =≤≤，能表示集合A 到集合B 的函数关系的是（） A ． B ．C ．D ．4．已知()sin(2014)cos(2014)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（）A ．1007πB ．2014πC ．21007πD ．10075．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A ．(1)(2)f f a ''<<B ．(1)(2)f a f ''<<C ．(2)(1)f f a ''<<D ．(1)(2)a f f ''<<6．已知角α的终边经过点8sin 30,3tan3π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos α=（） A ．45 B ．4- C ．35 D ．45- 7．“14k <<”是“方程22141x y k k +=--表示的曲线为椭圆”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北197'方向上，塔顶T 处的仰角为30，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B 处，测得铁塔在东偏北797'方向上，塔顶T 处的仰角为60，则铁塔OT 的高度为（）A ．B ．米C ．D ．9．在平面直角坐标系xOy 中设点()11,A x y ，()22,B x y ，定义：1212(,)d A B x x y y =-+-.已知点(0,0)O ，()1,P a a -，1322,R a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1322,S a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)a >，且(,)3d O P =，则(,)d R S =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．设ϕ∈R ，则“()()()cos f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”是“ϕπ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 11．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对于任意x ∈R ，都有()( 0)0f f π+=，且()f x 在()0,π有且只有5个零点，则ω=（）A ．112B ．92C ．72D ．5212．已知α是第四象限角，且sin 211cos 23αα=-+，则sin2α=A B ． C ．35 D ．35二、填空题13．若cos()3πα+=-α为锐角，则sin(3)+πα的值为_______． 14．若函数2()lg(1)f x x ax =-+无最值，则a 的取值范围是______.15．设过曲线()2x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为___________. 16．已知a ，b ，c 分别是锐角ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边，且2c =，3C π=，若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，则a =______；三、解答题17．已知函数()ln f x x x =-.（I ）当12x <<时，比较ln x x ，2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22ln x x 的大小；（Ⅱ）当102m <≤时，若方程2()21f x mx mx m =-++在(0,)+∞上有且只有一个解，求m 的值.18．已知函数()2sin (,)x x f x e be a x a b R -=+-∈.（1）若0a =，1b =，求函数()f x 的单调区间；（2）1b =-时，若()0f x >对一切(0,)x π∈恒成立，求a 的取值范围. 19．设()2sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x ．并用“五点法”画出()[],0,y g x x π=∈的图象.(2)若关于x 的方程()1g x k =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同根,αβ，求αβ+的值及k 的取值范围． 20．设函数f (x )=|x +3|+|x −1|,x ∈R ，不等式f (x)≤6的解集为M .（1）求M ；（2）当x ∈M 时，f (x )≥a |x−1|恒成立，求正数a 的取值范围.21．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知()()3,,sin ,cos ,3m a c n A C m n ===. （1）求C ；（2）求ABC ∆周长的取值范围.22．设,,a b c 分别为锐角ABC 内角,,A B C 的对边,)cos cos 2sin a B b A c B +=,4b =.（1）求角B 的大小；（2）求ABC 面积的最大值.23．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．参考答案1．C试题分析：先根据并集的定义求出A ∪B 得到全集U ，然后根据交集的定义求出A ∩B ，最后利用补集的定义求出C U （A ∩B ）即可求出集合C U （A ∩B ）的元素个数。

宁夏银川市第二中学2021届高三上学期数学统练一试题

宁夏银川市第二中学2021届高三上学期数学统练一试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|24A x x =-<<，{}|lg(2)B x y x ==-，则()R A B =（）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,2-D ．(]2,2-2．已知a 、b 都是实数，那么>是“ln ln a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（）A ．12B ．12-C ．D ．3-4．已知 πsin()4α+=则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．BC ．－12D ．125．在一座50m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为（）A ．501m ⎛+ ⎝⎭B ．(501m +C ．50mD ．50m6．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)()f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()41=-x f x ，则( 5.5)-f 的值为（）A ．2B ．1-C ．12-D ．17．函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y ＝f(x)的极值点；②－1是函数y ＝f(x)的最小值点； ③y ＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增； ④y ＝f(x)在x ＝0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是( ) A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．设3log 42a =，则4a -=（） A ．116B ．19C ．18D ．169．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin21cos2αα-=,则cos α（）A ．15B C D 10．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π11．函数y =A sin(ωx +φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如图所示,则f (1)+f (2)+f (3)++f (11)的值等于A ．2B ．2+C ．2+D ．2--12．已知函数()2cos 2f x x x m =+-在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点12,x x ，则12tan2x x +的值为（）A B ．2C D二、填空题13．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.14．已知函数1133(0)()(0)x x f x log x x +⎧⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为______.15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 16．已知cos α=，10sin()βα，α，β均为锐角，则sin β=___________.三、解答题17．在ABC ∆中，设内角,,A B C 的对边分别为222,,,a b c a b c ab +-=. （1）求C ∠的大小；（2）若2sin c A B ==，求ABC ∆的面积.18．已知函数2()2cos cos f x x x x a =++，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2.（1）求a 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上所有根之和.19．在ABC 中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且3cos 5B =,()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=.(1)求边b 的值;(2)求ABC 的周长的最大值. 20．已知函数1()()xf x ax x R e =-∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >且1≥x 时，()ln f x x ≤，求a 的取值范围. 21．已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值．23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.参考答案1．D 【分析】先求出B R，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为{}{}|lg(2)|2B x y x x x ==-=>，所以{}|2B x x =≤R，又{}|24A x x =-<< 因此(]()2,2R AB =-.故选：D ．【点睛】本题主要考查交集和补集的运算，涉及对数型函数的定义域，属于基础题型. 2．B 【分析】>ln ln a b >”的充要条件,再分析即可.【详解】>0a b >≥,当ln ln a b >时有0a b >>.故>是“ln ln a b >”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件再分析.属于基础题. 3．C 【分析】由题知，角α的终边过点(1, ，求出此点到原点的距离，再有任意角三角函数的定义直接求出sin α的值即可选出正确选项【详解】解：由题意()(2sin30,2cos301,︒-︒= ，点(1,到原点的距离 2r ==，由定义知sin y r α== 故选：C ．【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，解题的关键是理解任意角三角函数的定义，由定义直接得出三角函数值，属于基础题. 4．B 【分析】：用已知角π4α+，去表示未知角为3πππ44αα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简即可．【详解】：因为3πππ44αα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，所以3πππsin πsin 4442sin ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B 【点睛】：用已知角去表示未知角是求三角值常见的一种处理技巧，利用角之间的和差、以及特殊角的关系进行配凑从而简化计算，三角诱导公式的口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 5．B 【分析】作出图形，根据特殊角的三角函数值求得CE 、DE ，进而可求得这座塔的塔高为CD CE DE =+，即可得解.【详解】如下图所示：观测台的台高为50AB m =，由题意可得45CAE ∠=，且90AEC ∠=，ACE ∴为等腰直角三角形，易知四边形ABCE 为正方形，50AE CE AB m ∴===，在Rt ADE △中，60DAE ∠=，tan 6050DE AE ∴==，因此，这座塔的塔高为(501CD CE DE m =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查测量高度问题，考查计算能力，属于基础题. 6．D 【分析】根据条件确定周期，再根据周期以及函数解析式求结果. 【详解】(2)()2f x f x T +=∴=0.5( 5.5)( 5.523)(0.5)41211f f f ∴-=-+⨯==-=-=故选：D 【点睛】本题考查函数周期、求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．C 【详解】试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，()0f x '≥ ∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确； ∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定. 8．B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 9．D 【分析】由2sin 22sin cos ,cos22cos 1ααααα==-,代入已知式子中,可求出2sin cos αα=,再结合22sin cos 1αα+=即可求解. 【详解】解:2sin21cos2αα-=,24sin cos 1cos22cos αααα∴=+=即2sin cos αα=.又22sin cos 1αα+= cos α∴=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0α∴> cos α∴=故选:D. 【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号. 10．C 【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】 ∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭. 22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 11．C 【解析】由图可知，2A =，函数的周期为2π8T ω==，所以π4ω=.φ=0.所以()π2sin 4f x x =.所()1f =()()()()92102,3f f f f ====()()114f f =()0,5f =()6f =2-(),7f =()8f =0.所以()()()()123112f f f f ++++=+故选C.12．D 【分析】化简()2sin 26f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π，可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用函数零点的对称性可得12222662x x ππππ+++=⨯=，即可求得123x x π+=，进而求出12tan2x x +的值. 【详解】()2sin 26f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，因为()2sin 26f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点12,x x ，所以12222662x x ππππ+++=⨯=，所以123x x π+=，所以12tantan 263x x π+==故选：D 【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的图象与性质，着重考查了函数的零点，求得12x x +最关键，属于中档题.13．2y x = 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 14．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由已知中分段函数的解析式，分当0x 时，和当0x >时，两种情况分别解不等式()1f x >，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】解：当0x 时，由131x +>得：10x +>，解得：1x >-，10x ∴-<；当0x >时，由131log x >得：103x <<， 103x ∴<<，综上所述，不等式()1f x >的解集为1(1,)3-，故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是指数不等式和对数不等式，分段函数，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键，属于中档题． 15．34π. 【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16．2【分析】利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由于,αβ都是锐角，所以22ππαβ-<-<，所以sin α==，cos()βα-== 所以sinsin[()]sin cos()cos sin()5105102⎛⎫=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.17．（1）π3；（2）【解析】试题分析：（1）利用余弦定理求出角C ；（2）根据正弦定理将sin 2sin A B =转化为2a b =，再根据余弦定理求出b ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求的值. 试题解析：（1）∵222a b c ab +-=∴2221cos 22a b c C ab +-==∵0C π<<π3C ∴=（2）sin 2sin A B =2a b ∴=2222cos c a b ab C =+-(2222142232b b b b b ∴=+-⋅⋅⋅= 2b ∴= 4a ∴=1sin 2ABC S ab C ∆∴== 18．（1）2a =，单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ；（2）3π【分析】（1）化简可得()2sin(2)16f x x a π=+++，由题意易得112a -++=，解方程可得a 值，解不等式222262k x k πππππ-++可得单调区间；（2）由函数图象变换可得()2sin(4)36g x x π=-+，可得1sin(4)62x π-=，解方程可得12x π=或4x π=，相加即可．【详解】解：（1）化简可得2()2cos cos f x x x x a =++cos2122sin(2)16x x a x a π=++=+++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2[66x ππ∴+∈，7]6π，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x ∴的最小值为112a -++=，解得2a =，()2sin(2)36f x x π∴=++，由222262k x k πππππ-++可得36k x k ππππ-+，()f x ∴的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ；（2）由函数图象变换可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =可得1sin(4)62x π-=， 4266x k πππ∴-=+或54266x k πππ-=+，解得212k x ππ=+或24k x =+ππ，()k ∈Z ， [0x ∈，]2π，12x π∴=或4x π=，∴所有根之和为1243πππ+=．【点睛】本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属于中档题．19．(1) 1b =；(2) 1.【详解】(1)由()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=,得sin cos cos sin sin A B A B c B +=. ∴sin sin C c B =,即sin sin CB c=. 由正弦定理得sin sin B Cb c=,故1b =. (2)由余弦定理得22262cos 15a cb ac B ac +=+=+.∴()22161611552a c a c ac +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭,∴a c +≤.所以当a c =时,ABC 1.20．（1）单调递减区间为(,2)ln -∞-，递增区间为(2,)ln -+∞．（2）1a e【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为10x lnx ax e -+．令1()0(0)xg x lnx ax a e =-+>，通过函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】解：（1）当2a =-时，1()2x f x x e=+， 1()2x f x e ∴'=-+．令1()20x f x e '=-+=，得122x ln ln ==-．当2x ln <-时，()0f x '<；当2x ln >-时，()0f x '>．∴函数()f x 的单调递减区间为(,2)ln -∞-，递增区间为(2,)ln -+∞．（2）当1x 时，()f x lnx 等价于1x ax lnx e -，即10x lnx ax e-+．(*) 令1()(0)x g x lnx ax a e =-+>，则11()0xg x a x e '=++>， ∴函数()g x 在[1，)+∞上单调递增．()()11g x g a e∴=-+．要使(*)成立，则10a e -+，得1a e．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题． 21．（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞. 【分析】（1）求导得到导函数后，设为()g x 进行再次求导，可判断出当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，从而得到()g x 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数()()h x f x ax =-，通过二次求导可判断出()()min 2h x h a π''==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭；分别在2a ≤-，20a -<≤，202a π-<<和22a π-≥的情况下根据导函数的符号判断()h x 单调性，从而确定()0h x ≥恒成立时a 的取值范围.【详解】（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，()112g π=--=-即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点 ()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =又()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''== 由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=-⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增()()00h x h ∴≥=，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'>⎪⎝⎭，()0h π'< 1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=->⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减00h x h可知()f x ax ≥不恒成立综上所述：(],0a ∈-∞ 【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.22．（1）22880x y x y +--=；（2）7. 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式进行求解；（2）求出直线l 的参数方程，与圆的直角坐标方程联立，根据韦达定理利用直线参数方程中参数的几何意义求解. 【详解】解：（1）将曲线C 的极坐标方程，两边同乘ρ得2sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即28sin 8cos ρρθρθ=+，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得：22880x y x y +--=；（2）直线l的参数方程为：12(2x ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，将其代入22880x y x y +--=中得：270t --=，设在直线l 的参数方程中，点,A B 所对应的参数分别为12,t t ，则127t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以12121211117t t PA PB t t t t -+=+==⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，考查了弦长问题的求解，难度一般.一般地，解决弦长问题可采用直线参数方程中t 的几何意义求解. 23．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立．若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。

宁夏银川九中2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

银川九中2022-----2021学年度高三班级其次次月考数学（文科）试卷（本试卷满分150分）命题人：王英伟（注：班级、姓名、座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得消灭任何标记）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知全集R = ，集合{}0)2)(1(|>+-=x x x A ，则=A C u ( ) A. {}12|<<-x x B. {}12|≤≤-x x C. {}12|>-<x x x 或 D. {}12|≥-≤x x x 或 2.下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是( )A ．2)(x y = B.33x y = C.2x y = D.xx y 2=3. 函数 f （x ）=2x +x-2 的零点所在区间是 ( ) A.（一∞, -1） B. （一l ，0） C. (0,1) D. (1，2)4.已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( )A.π3 B ．1 C.2π3 D ．3 5.下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要而不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得012<++x x ”的否定是“R x ∈∀，均有012<++x x ”D ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为真命题 6.在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A=( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01507．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（）A ．)421sin(2)(π+=x x f B ．)4321sin(2)(π+=x x f C ．)421sin(2)(π-=x x f D ．)4321sin(2)(π-=x x f 8.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是 ( )9.设f(x)为定义在R 上的奇函数,且是周期为4的周期函数,f(1)=1,则f(-1)+f(8)等于( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1１０. 函数⎩⎨⎧≥<-+-=0,0,33)(x a x a x x f x（10≠>a a 且）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 ( )A.),1(+∞B.]32,0( C.)1,32[ D. )1,0(11.已知sin αcos α=81,且2345παπ<<,则cos α- sin α的值为( ) A ．23-B.23C.43-D.43１２．已知f ′(x)是f(x)的导函数,在区间[0,+∞)上f ′(x)>0,且偶函数f(x)满足f(2x-1)<f(31),则x 的取值范围是( )A. )32,31(B. )32,31[C. )32,21(D. )32,21[二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数x x f ln )(=的图像在点1=x 处的切线方程是 .（写成一般式）14．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．15．若函数12(log )x y a =在R 上是减函数，则实数 a 取值集合．．是 16．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈R 恒有(1)()f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，()3xf x =．则①2是()f x 的周期；②函数()f x 在（2，3）上是增函数； ③函数()f x 的最大值为1，最小值为0； ④直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴．其中全部正确．．命题的序号是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分10分)已知函数23)(bx ax x f += ,在1=x 时有极大值3 （1）求a ,b 的值；（2）求)(x f 在[-1，2]上的最值.(列表)18．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．19．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，||φ<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上全部点向左平行移动3π个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．20. (本小题满分12分)某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知分别投资1万元时两类产品的收益分别是0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品收益与投资的函数关系;(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样安排资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin xcos x+cos 2x+a. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)若f(x)在区间[3,6ππ-]上的最大值与最小值的和为23,求a 的值.22.(本小题满分14分)已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f (Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.银川九中2022-----2021学年度高三班级其次次月考数学（文科）试卷（本试卷满分150分）命题人：王英伟（注：班级、姓名、座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得消灭任何标记）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知全集R = ，集合{}0)2)(1(|>+-=x x x A ，则=A C u (B) A. {}12|<<-x x B. {}12|≤≤-x x C. {}12|>-<x x x 或 D. {}12|≥-≤x x x 或 2.下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是( B )A ．y=(√x )2B.y=√x 33C.y=√x 2D.y=x 2x3. 函数 f （x ）=2x +x-2 的零点所在区间是 ( C ) A.（一∞, -1） B. （一l ，0） C. (0,1) D. (1，2)4.已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( B )A.π3 B ．1 C.2π3 D ．3 解析：由于弧长l ＝3r －2r ＝r ，所以圆心角α＝lr＝ 1.答案：B5．设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a=4,b=4√3,A=30°,则B 等于( B )(A)60° (B)60°或120° (C)30° (D)30°或150°６.下列有关命题的说法正确的是 ( D )A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要而不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得012<++x x ”的否定是“R x ∈∀，均有012<++x x ”D ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为真命题 7.在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A=( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01506．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（）A ．)421sin(2)(π+=x x f B ．)4321sin(2)(π+=x x f C ．)421sin(2)(π-=x x f D ．)4321sin(2)(π-=x x f８.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是 ( C)９.设f(x)为定义在R 上的奇函数,且是周期为4的周期函数,f(1)=1,则f(-1)+f(8)等于( B )A.-2B.-1C.0D.1 １０. 函数⎩⎨⎧≥<-+-=0,0,33)(x a x a x x f x（10≠>a a 且）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 ( B )A.),1(+∞B.]32,0( C.)1,32[ D. )1,0( 已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为( B ) (A)- (B) (C)- (D) 解析:由于<α<,所以cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|, 所以cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=, 所以cos α-sin α=.１２．已知f ′(x)是f(x)的导函数,在区间[0,+∞)上f ′(x)>0,且偶函数f(x)满足f(2x-1)<f(13),则x 的取值范围是( A )(A)(13,23) (B)[13,23) (C)(12,23) (D)[12,23) 解析:由于x ∈[0,+∞),f ′(x)>0, 所以f(x)在[0,+∞)上单调递增, 又因f(x)是偶函数, 所以f(2x-1)<f(13) ⇔f(|2x-1|)<f(13) ⇒|2x-1|<13, 所以-13<2x-1<13.即13<x<23. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数x x f ln )(=的图像在点1=x 处的切线方程是 . 答案：1-=x y14．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为230 km ．15．若函数12(log )x y a =在R 上是减函数，则实数 a 取值集合是1(,1)216．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈R 恒有(1)()f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，()3x f x =．则①2是()f x 的周期；②函数()f x 在（2，3）上是增函数； ③函数()f x 的最大值为1，最小值为0； ④直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴．其中全部正确．．命题的序号是 . 答案:①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数23)(bx ax x f += ,在1=x 时有极大值3 （1）求a ,b 的值；（2）求)(x f 在[-1，2]上的最值. 解：(1)a = -6 ，b = 9(2)x = -1时，最大值15，x = 2时，最小值-12. 18．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．在解：(1)由于0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35，故tan α＝43.(2)sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝4.19．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A cox(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，||φ<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图象上全部点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)依据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝6π-.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由于y ＝sin x 的对称中心为(k π+2π，0)，k ∈Z ，令2x ＋π6＝k π+2π，k ∈Z ，解得x ＝62ππ+k ，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π.20.某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知分别投资1万元时两类产品的收益分别是0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品收益与投资的函数关系;(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样安排资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?解:(1)设两类产品收益与投资的函数关系分别为x k x g x k x f 21)(,)(== 有已知得2121)1(,81)1(k g k f ==== 所以)0(21)(),0(81)(≥=≥=x x x g x x x f -------6分 (2) 投资债券产品x 万元，投资股票产品（20-x ）万元.)200(20218)20()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y (注:不加定义域扣2分) )520(20≤≤-=t x tt t y 218202+-=当t=2,即x=16时，y 有最大值3答：（注：不答扣1分）21.已知函数f(x)=√3sin xcos x+cos 2x+a. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-π6,π3]上的最大值与最小值的和为32,求a 的值. 解:(1) 由于f(x)=√32sin 2x+12(1+cos 2x)+a=sin(2x+π6)+12+a, 所以其最小正周期T=π;由2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2(k ∈Z)得 k π+π6≤x ≤k π+2π3(k ∈Z), 所以f(x)的单调递减区间是[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z). (2)由于 -π6≤x ≤π3,所以-π6≤2x+π6≤5π6, 所以-12≤sin(2x+π6)≤1, 所以a ≤sin(2x+π6)+12+a ≤32+a, 即f(x)在区间[-π6,π3]上的值域为[a,a+32], 又f(x)在区间[-π6,π3]上的最大值与最小值的和为32, 所以a+a+32=32,则a=0. 22.(本小题满分12分)已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f (Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.(Ⅰ)(),10,0,1ln )(''ex x f x x f <<<+=解得令();1,0⎪⎭⎫⎝⎛∴e x f 的单调递减区间是……2分(),1,0'ex x f >>解得令().,e 1⎪⎭⎫⎝⎛+∞∴的单调递减区间是x f ……4分(Ⅱ)(ⅰ)0<t<t+2<e1，t 无解；……5分(ⅱ)0<t<e1<t+2，即0<t<e1时，ee f x f 1)1()(min -==；……7分(ⅲ)e12+<≤t t ，即et 1≥时，单调递增在]2,[)(+t t x f ，tlnt )t ()(min ==f x f (9)分et e t x f 110tlnt e 1-)(min ≥<<⎪⎩⎪⎨⎧∴，……10分(Ⅲ)由题意:2123ln 22+-+≤ax x x x 在()+∞∈,0x 上恒成立即123ln 22++≤ax x x x可得x x x a 2123ln --≥……11分设()xx x x h 2123ln --=,则()()()22'213121231x x x x x x h +--=+-=……12分令()0'=x h ,得31,1-==x x (舍)当10<<x 时,()0'>x h ;当1>x 时, ()0'<x h∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h m ax =-2 (13)分2-≥∴a .a ∴的取值范围是[)+∞-,2 (14)分。

宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( )A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ2．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )A ．B ．C ．D ．3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( ) A．2 B．﹣2 C ．D ．﹣4．若实数x，y 满足，则z=x﹣2y的最大值是( )A．﹣3 B ．C ．D ．5．阅读下列算法：（1）输入x．（2）推断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．（3）输出y．当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )A．[2，7]B．[2，6]C．[6，7]D．[0，7]6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )A．1 B ．C ．D ．7．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面对量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．48．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，外形及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( ) A．1 B．2 C．3 D．69．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个微小值，则ω的取值范围是( ) A．（，]B．（，]C．（1，]D．（，]10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C 为抛物线上不同的三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=( )A．3 B．9 C．12 D．1811．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )A．8 B．16 C．32 D．6412．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；④曲线C1与C2的离心率互为倒数．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为__________．14．已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过的定点为（1.5，5），则mn=__________．x 0 1 n 3y 8 m 2 415．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x ）+f′（x）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是__________．16．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{b n}是等差数列，且b1=a 1，b4=a1+a2+a3，设c n =，数列{c n}的前n项和为T n，则T10=__________．三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间，并说明可把f（x）图象经过怎样的平移变换得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．18．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）估量这500件产品质量指标值的样本平均数．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似听从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（由样本估量得样本方差为s2=150）（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（﹣∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且相互垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．已知曲线C ：=1，直线l ：（t为参数）（I）写出曲线a，b的参数方程，直线2a+3b=6的一般方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及取得最大值时P点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|（I）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( )A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，进行推断即可．解答：解：A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，则A∪B=[﹣1，2），故选：C．点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的推断，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )A ．B ．C ．D ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．解答：解：∵（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，∴i﹣2a=1﹣bi，∴﹣2a=1，﹣b=1，解得a=﹣，b=﹣1，则|a+bi|=|﹣﹣i|==．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题．3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( ) A．2 B．﹣2 C ．D ．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4．若实数x，y 满足，则z=x﹣2y的最大值是( )A．﹣3 B ．C ．D ．考点：简洁线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x ﹣，﹣相当于直线y=x ﹣的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x ﹣，﹣相当于直线y=x ﹣的纵截距，由解得，E （，﹣）；此时z=x﹣2y 有最大值+2×=；故选：C．点评：本题考查了简洁线性规划，作图要细致认真，同时留意几何意义的应用，属于中档题．5．阅读下列算法：（1）输入x．（2）推断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．（3）输出y．当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )A．[2，7]B．[2，6]C．[6，7]D．[0，7]考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题；算法和程序框图．分析：确定分段函数，分别求y的取值范围，即可得出结论．解答：解：由题意，y=，x∈（2，7]，y=x∈（2，7]；x∈[0，2]，y=﹣2x+6∈[2，6]，∴输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是[2，7]，故选：A．点评：本题考查算法，考查函数表达式的确定于运用，比较基础．6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )A．1 B ．C ．D ．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：求出三封信件投入两个邮箱的全部种数，求出每个邮箱都有信件的种数，然后求解概率．解答：解：三封信件投入两个邮箱的全部种数：23=8．每个邮箱都有信件的种数：C32•A22=6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是：．故选：B．点评：本题考查古典概型的概率的求法，基本学问的考查．7．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面对量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：（1）依据特称命题的否定是全称命题来推断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期推断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）依据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来推断（4）是否正确．解答：解：（1）依据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax ，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B点评：本题借助考查命题的真假推断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．8．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，外形及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( )A．1 B．2 C．3 D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：依据已知中的三视图，画出三棱锥的直观图，利用割补法，可求出三棱锥的体积．解答：解：依据已知中的三视图，画出三棱锥的直观图，如下：图中长方体的体积为：3×2×1=6，切去的四个角的体积为：4×=4，故几何体的体积V=6﹣4=2，故选：B．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．9．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个微小值，则ω的取值范围是( ) A．（，]B．（，]C．（1，]D．（，]考点：正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依据函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有两个极大值和一个微小值，可得T＜2π≤T，结合周期的求法，即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有两个极大值和一个微小值∴T＜2π≤T，∴×＜2π≤×，∴＜ω≤故选：A．点评：本题考查三角函数图象的性质，考查周期的求法，考查同学的计算力量，属于基础题．10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C 为抛物线上不同的三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=( )A．3 B．9 C．12 D．18考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面对量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由已知条件推导出x1+x2+x3=9，依据，得出点F（3，0）是△ABC重心，运用重心的坐标公式得出：x1+x2+x3=9，再依据抛物线的定义得出|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3，整体求解即可．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线y2=12x焦点坐标F（3，0），准线方程：x=﹣3，∵，∴点F（3，0）是△ABC重心，∴x1+x2+x3=9，y1+y2+y3=0，而||=x1﹣（﹣3）=x1+3，||=x2﹣（﹣3）=x2+3，||=x3﹣（﹣3）=x3+3，∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3=（x1+x2+x3）+9=9+9=18．故选：D．点评：本题考查抛物线的简洁性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，留意三角形重心性质的机敏运用11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )A．8 B．16 C．32 D．64考点：抽象函数及其应用；子集与真子集．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，函数f（x）的周期为3，在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=m的图象，确定集合A有6个元素，即可得出结论．解答：解：由题意，函数f（x）的周期为3，在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=m的图象如图，由于集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，如图可知，交点的个数有6种状况，所以集合A有6个元素，所以集合A的子集个数为64．故选：D．点评：本题考查函数的性质，考查集合的子集个数，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．12．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；④曲线C1与C2的离心率互为倒数．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个考点：命题的真假推断与应用；椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易规律．分析：依据题意，写出F′、F、B1各点坐标，通过联立椭圆与双曲线的方程及点P在第一象限，可得P （，），①通过计算、S△PFF′，可得①正确；②当a=b时，通过计算可得cos（∠PF′F﹣∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′=0，故②正确；③举出反例，当a=b时不成立，故③不正确；④直接计算出曲线C1与C2的离心率即可④正确．解答：解：依据题意，得F′（，0），F （﹣，0），B1（0，b），联立椭圆与双曲线的方程，消去y ，得，又∵点P在第一象限，∴P （，），①=（﹣﹣，﹣）•（﹣，﹣）=2﹣（a2﹣b2）+=＞0，三角形PFF′的面积为=×＜b2，故①正确；②当a=b时，有a2=2b2，则F′（b，0），F（﹣b，0），，∴=（，），=（，），=（﹣2b，0），∴=，=，=2b，∴cos∠PF′F==，cos∠PFF′==，∴sin∠PF′F=，sin∠PFF′=或（舍），∵cos（∠PF′F﹣∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′=×+×=0，∴∠PF′F﹣∠PFF′=，故②正确；③当a=b时，线段PF的中点为M （，），则OM=，MF=，OF=2b，∵MF﹣OF=﹣2b ＜=OM，故③不正确；④曲线C1与C2的离心率分别为：e1=，e2==，故④正确；综上所述，命题①②④正确，故选：B．点评：本题考查圆锥曲线的简洁性质，向量数量积运算，三角形面积计算公式，三角函数差角公式，中点坐标公式，圆与圆的位置关系，考查分析问题、解决问题的力量，考查计算力量，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面对量及应用．分析：把|+|=λ||平方代人已知数据可得λ的方程，解方程可得答案．解答：解：∵|+|=λ||，∴λ＞0，平方可得++2•=λ2，∵向量，的夹角为120°，且||=3，||=4，∴9+16+2×3×4×（）=9λ2，解得λ=故答案为：点评：本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．14．已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过的定点为（1.5，5），则mn=12．x 0 1 n 3y 8 m 2 4考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：利用回归直线方程经过中心点坐标，然后求出mn即可．解答：解：∵回归直线方程经过中心点坐标，∴==1.5；==5，解得m=6，n=2．mn=12．故答案为：12；点评：本题考查了线性回归方程的应用，在线性回归分析中样本中心点（，）在回归直线上的解题的关键．15．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x）+f′（x ）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是[1+ln2，+∞）．考点：利用导数争辩函数的极值；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，利用导数争辩函数的极值和最值即可得到结论．解答：解；函数的导数f′（x）=，函数的定义域为{x|x＞}，则由f（x）+f′（x）﹣3=a得ln（2x+1）+﹣3=a，设g（x）=ln（2x+1）++3﹣3=ln（2x+1）+，则函数的f（x）的导数g′（x）==，当x＞得函数的导数g′（x ）＞0，当﹣＜x＜，则函数的导数g′（x ）＜0，则函数g（x）的微小值同时也是最小值为g（）=1+ln2，故若方程f（x）+f′（x）﹣3=a有解，则a≥1+ln2，故答案为：[1+ln2，+∞）；点评：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数，利用导数争辩函数的极值和最值是解决本题的关键．16．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{b n}是等差数列，且b1=a1，b4=a1+a2+a3，设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，则T10=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），变形为S n+1=2（S n﹣1+1），利用等比数列的通项公式可得S n．再利用等差数列的通项公式可得b n，利用“裂项求和”可得T n．解答：解：∵S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），∴S n+1=2（S n﹣1+1），∴数列{S n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，∴S n+1=2n，∴﹣1．设等差数列{b n}的公差为d，∵b1=a1=1，b4=a1+a2+a3=S3﹣1=7，∴1+3d=7，解得d=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．设c n ===，∴数列{c n}的前n项和为T n =+…+==．∴T10=．故答案为：．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．已知函数f（x）=sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间，并说明可把f（x）图象经过怎样的平移变换得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．考点：正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间，利用函数的图象平移变换求出函数的结果．（Ⅱ）利用函数的解析式，依据函数的定义域求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc，再利用三角形的面积公式求出结果．解答：解（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1=sin2x ﹣cos2x+cos2x=sin 2x+cos 2x =sin （），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z），把函数f（x）=sin （）的图象上的全部点的坐标向右平移个单位，就可得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）∵f（A）=，∴sin （）=．又0＜A＜π，∴＜2A+＜．∴2A+=，故A=．在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=，∴1=b2+c2﹣2bccos A，即1=4﹣3bc．∴bc=1．∴S△ABC =bcsin A=．点评：本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求三角函数的单调区间，正弦型函数的图象变换问题．利用函数的关系式求函数的值，余弦定理和三角形面积的应用，主要考查同学的应用力量．18．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，先求出AB ，可得=，而，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求出平面ACD1的一个法向量，利用向量的夹角公式，求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）由题意，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B1（t，0，3），C（t，1，0），C1（t，1，3），D（0，3，0），D1（0，3，3）．从而=（﹣t，3，﹣3），=（t，1，0），=（﹣t，3，0）．由于AC⊥BD ，所以•=﹣t2+3+0=0．解得t=或t=﹣（舍去）．所以=，而，所以=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，3，3），=（，1，0），=（0，1，0）．设=（x，y，z）是平面ACD1的一个法向量，则令x=1，则=（1，﹣，）．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|==．即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为．点评：本题给出直四棱柱，求异面直线、直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、空间向量等学问，属于中档题．19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）估量这500件产品质量指标值的样本平均数．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似听从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（由样本估量得样本方差为s2=150）（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（﹣∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2）（i）由（1）知Z～N，从而求出P（187.8＜Z＜212.2），P=0.3413，即可得出结论；（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，求出E（Y），即可求得EX．解答：解：（1）取个区间中点值为区间代表计算得：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（2）（i）由（1）知Z～N，从而P（187.8＜Z＜212.2）=P=0.6826，所以P=0.3413，所以P（Z＜212.2）=0.8413（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，其分布列为Y 2 5 10P 0.1587 0.6826 0.1587E（Y）=2×0.1587+5×0.6826+10×0.1587=5.3174，E（x）=E（100Y）=100×5.3174=531.74．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算力量．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且相互垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C1的方程．（2）设A（x1，y2），B（x2，y2），P（x0，y0）．设直线l1的方程为y=kx﹣1．求出点O到直线l1的距离，然后利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理求出PD，表示出△ABD的面积为S，利用基本不等式求出最值，然后求解直线方程．．解答：解：（1）由题意点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，得∴椭圆C1的方程为．（2）设A（x1，y2），B（x2，y2），P（x0，y0）．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．故点O到直线l1的距离为，又圆C2：x2+y2=4，∴．又l1⊥l2，∴直线l2的方程为x+ky+k=0．由，消去y，整理得（4+k2）x2+8kx=0，故，代入l2的方程得．∴．设△ABD的面积为S ，则，∴．当且仅当，即时上式取等号．∴当时，△ABD 的面积取得最大值，此时直线l1的方程为．点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的力量．21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）=，解得，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种状况争辩即可；（III）通过变形，只需证明g（x）=e x﹣lnx﹣2＞0即可，由于g′（x）=，依据指数函数及幂函数的性质可知，依据函数的单调性及零点判定定理即得结论．解答：解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）∴f′（x）==（x＞0），∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，所以，b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），下面对a的正负状况进行争辩：①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化状况如下表：0 （a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓↑由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x ）在（，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x ）的单调递增区间为（，+∞）；（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣e x，∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：e x﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=e x﹣lnx﹣2 （x＞0），则只需证：g（x）＞0，由于g′（x）=，依据指数函数及幂函数的性质可知，g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，∵g（1）=e﹣1＞0，=，∴g（1），∴g（x ）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g（x）的零点为t，则g（t）=，即（），由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，所以当x＞0时，，又，故等号不成立，∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）．点评：本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，留意解题方法的积累，属于难题．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，依据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易依据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．解答：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG点评：本题考查的学问点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中依据AB是圆O的直径，CE⊥AB 于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．已知曲线C ：=1，直线l ：（t为参数）（I）写出曲线a，b的参数方程，直线2a+3b=6的一般方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及取得最大值时P点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用三角函数的平方关系式，推出曲线C的参数方程，消去参数t求解直线L的一般方程．（2）设曲线上任意一点P 的坐标为，则|PA|的距离是P到直线距离的两倍，得到关系式，利用三角函数的有界性求出最值．得到点的坐标．解答：解：（1）曲线C ：=1，曲线C 的参数方程为：，直线l ：（t为参数），消去参数t，可得，直线L的一般方程为x+2y﹣6=0（2）设曲线上任意一点P 的坐标为，则|PA|的距离是P到直线距离的两倍所以得，当时，|PA|有最大值，此时θ的一个值为：﹣．此时P的坐标为（﹣2，﹣3．．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程与一般方程的互化，考查计算力量．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|（I）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；确定值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（I）分类争辩当x≥4时，当时，当时，求解原不等式的解集．（II）利用确定值三角不等式求出最值，可得m的范围，解答：解：（I）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}．…5分（II）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9．当，所以m＜9．…10分．点评：本题考查函数的最值，极大值不等式的解法以及转化思想的应用，考查计算力量．。

2021届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)

2021届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．若集合{}12A x x =-≤≤，{}3log 1B x x =≤，则A B =（）A ．{}02x x <≤ B ．{}12x x -≤≤C ．{}12x x ≤≤D ．{}03x x <≤【答案】A【解析】先求出集合B ，再利用交集的定义计算即可．【详解】解：由已知{}{}3log 103B x x x x =≤=<≤，则{}02A B x x ⋂=<≤．故选：A 【点睛】本题考查交集的运算，考查对数不等式，是基础题． 2．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<【答案】C【解析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.3．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，则AB AD ⋅＝（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，1)，C (6，4)，AB ＝(4，1)，AD BC =＝(2，3)，AB AD ∴⋅＝4×2＋1×3＝11，故选：B. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 4．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（） A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．5．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（）A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了1 3B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【解析】根据新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，提取出需要的信息，逐项判定，即可求解.【详解】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得：对于A中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为321873>，故A正确；对于B中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；对于C中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C正确；对于D中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98885 8844-=，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了887477437-=，显然753744>，故D 错误. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了图表的信息处理能力，其中解答中根据曲线图，提取出所用的信息是解答的关键，着重考查信息提取能力.6．正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，6AB =，2BD =，则AB AD ⋅=（） A ．12 B ．18C ．24D ．30【答案】D【解析】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算AB AD ⋅即可. 【详解】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算数量积．因为6AB =，2BD =，则13BD BC =，13=+AD AB BC所以221111··666303332AB AD AB AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅=+=+=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，属基础题.7．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin 、tan 、sec （正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos 、cot 、csc （余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中1sec cos θθ=，1csc sin θθ=.若(0,)a π∈，且322csc sec αα+=，则tan α=（）. A ．513 B ．1213C ．0D ．125-【答案】D【解析】根据题意可得3sin 2cos 2αα+=，然后使用二倍角的正弦、余弦公式以及齐次化化简可得226tan22tan 222tan 12ααα+-=+，进一步求得tan 2α，最后根据二倍角的正切公式计算即可. 【详解】∵3sin 2cos 2αα+=，22226sincos2cos sin 22222cos sin 22αααααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴=+ ∴226tan22tan 222tan 12ααα+-=+，∴23tan1tan 22αα+-=2tan 12α+，解得tan02α=或32. 又∵(0,)απ∈，∴tan02α>，∴3tan22α=，则22tan122tan 51tan 2ααα==--，故选：D . 【点睛】本题考查弦切互换以及齐次化化简，还考查二倍角公式的应用，着重考查对公式的记忆，属基础题 8．设f (x )＝lg (21x-＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是（） A ．(－∞，＋∞)上的减函数 B ．(－∞，＋∞)上的增函数 C ．(－1，1)上的减函数 D ．(－1，1)上的增函数【答案】D【解析】根据题意可得f (0)＝0，代入求出a ，并验证()f x 为奇函数，再求出函数的定义域，根据对数函数的单调性即可得出结果. 【详解】由题意可知，f (0)＝0，即lg (2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg11xx+-，函数f (x )的定义域是(－1，1)，1()lg()1xf x f x x--==-+，所以f (x )＝lg11xx+-为奇函数，在此定义域内f (x )＝lg 11xx+-＝lg (1＋x )－lg (1－x )，函数y 1＝lg (1＋x )是增函数，函数y 2＝lg (1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2在(－1，1) 是增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求参数值、利用对数函数的单调性判断复合函数的单调性，属于基础题.9．将函数()sin f x x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（）A．24+ B．24-C ．1 D ．12【答案】A【解析】先求得()g x 的解析式，然后求得()()⋅f x g x 的解析式，利用降次公式和辅助角公式进行化简，根据三角函数的取值范围求得()()⋅f x g x 的最大值. 【详解】由题可知()sin 4g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()sin sin 4y f x g x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭2sin sin cos 22x x x =-=2sin 2444x x x π⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=，所以()()y f x g x =的最大值为24+.故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，属于中档题.10．ABC 的三个内角为A B C 、、，若关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一根为1，则ABC 一定是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】A【解析】试题分析：依题意可知21cos cos cos 02CA B --=， ∵()21cos cos 11cos cos sin sin cos 2222A B C C A B A B-++-+===∴1-cosAcosB-1cos cos sin sin 2A B A B-+=0，整理得cos （A-B ）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形【考点】解三角形11．函数f (x )是偶函数，对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝1()f x ；当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为（） A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)【答案】C【解析】根据f (x ＋2)＝1()f x ，得到函数的周期，再结合x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，且函数f (x )是偶函数，作出函数f (x )的图象，分x ∈(－1，0)，x ∈(0，1)，x ∈(1，3)求解. 【详解】因为f (x ＋2)＝1()f x ，所以()()4f x f x +=，所以T=4.又因为x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，且函数f (x )是偶函数，所以f (x )的图象如图所示.当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)；当x ∈(0，1)时，由xf (x ) >0，得x ∈∅；当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3).∴x ∈(－1，0)∪(1，3)，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质以及图象法解不等式，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b -＝cos cos CB，b ＝4，则ABC的面积的最大值为（）A ．B ．C ．2D 【答案】A【解析】由已知式子和正弦定理可得3B π=，再由余弦定理可得16ac ≤，由三角形的面积公式可得所求．【详解】 ∵在△ABC 中2a c b －＝cos cos CB， ∴()2cos cos -=a c B b C ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=．又sin 0A ≠， ∴1cos 2B =， ∵0B π<<， ∴3B π=．在△ABC 中，由余弦定理得22222b 162cos 2a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+--=，∴16ac ≤，当且仅当a c =时等号成立．∴△ABC 的面积1sin 2S ac B ==≤故选：A ．【点睛】求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.二、填空题13．已知扇形AOB 的面积为43π，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________．【答案】2【解析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案. 【详解】圆心角AOB 为12023π= 扇形AOB 的面积为2241124232233S r r r πππα⇒==⨯=⇒= 故答案为2 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.14．若()1,1a =-，2b =，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是________. 【答案】4πθ=【解析】先求出向量的模2,2a b ==，再利用向量的数量积运算展开，即可得出结果. 【详解】由题意可知：2,2a b ==，2()00222cos ,0a a b a a b a b ⋅-=⇒-⋅=⇒-⋅⋅<>=2cos ,,24π∴<>=⇒<>=a b a b 故答案为：4π 【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积运算求角，考查了运算求解能力，属于基础题目. 15．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0A >，0>ω，2πϕ<的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.【答案】()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】由函数图象的最值可得A ，然后将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭、()0,1代入解析式，利用ϕ、ω的范围即可得到ϕ、ω值，从而得到函数解析式．【详解】由图象得到()f x 的最大值为2，所以2A =将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭、()0,1代入解析式()()sin f x A x =+ωϕ， ()112sin 0122sin 01πωϕϕ⎧⎛⎫⨯+=⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎩，因为0>ω，2πϕ<，可得6π=ϕ，2ω= 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ 故答案为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，注意函数解析式的求法，考查计算能力，属于常考题型．16．对于任意实数12,x x ，当120x x e <<<时，有122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】0a ≤ 【解析】转化为ln ()x ag x x+=在(0,)e 上单调递增，再利用导数可得到结果. 【详解】当120x x e <<<时，122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立等价于2121ln ln x a x ax x ++>恒成立，等价于ln()x ag xx+=在(0,)e上单调递增，所以221ln1ln()0x x a x axg xx x⋅----'==≥在(0,)e上恒成立，所以1lna x≤-在(0,)e上恒成立，因为当(0,)x e∈时，1ln1ln0x e-≥-=，所以0a≤.故答案为：0a≤.【点睛】本题考查了转化划归思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于基础题.三、解答题17．如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为225,105（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值．【答案】（1）tan()3αβ+=-（2）324παβ+=【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得cosα与cosβ的值，进而可得出sinα与sinβ的值，从而可求tanα与tanβ的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出()()tan2tanαβαββ⎡⎤+=++⎣⎦的值，再根据,αβ的取值范围，可得出2αβ+的取值范围，进而可得出2αβ+的值.由条件得cosα＝，cosβ＝. ∵ α，β为锐角，∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.(2) ∵ tan2β＝＝＝，∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝18．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.【答案】（1）23142,073()15,7x x x P x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元【解析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分07x <<和7x ≥两种情况，得到()P x 与x 的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为6x 万元.依题意得，当07x <<时，2211()6224233P x x x x x x =---=-+-，当7x ≥时，33()6(6ln 17)215ln e e x x x x x x P x=-++--=--， 23142,073()15,7x x x P x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪--≥⎪⎩. （2）当07x <<时，21()(6)103P x x =--+，所以当6x =时，()P x 的最大值为(6)10P =（万元），当7x ≥时，333221()15ln ()e e e x P x x P x x x x x-=--∴'=-+=， ∴当37x e ≤<时，()P x 单调递增，当3,()x e P x ≥单调递减，∴当3x e =时，()P x 取最大值33()15ln 111P e e =--=（万元），1110>，∴当320x e =≈时，()P x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.19．已知向量(2sin )a x x =，(sin ,2sin )b x x =-，函数()f x a b =·．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边且()1f C =，1c =，=ab a b >，求a ，b 的值．【答案】（1）单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】（1）根据函数()f x a b =·．利用向量坐标关系即可求解()f x 化简，结合三角函数性质即可求解()x 的单调递增区间（2）根据()1f C =，求解C ，结合余弦定理，1c =，=ab a b >，即可求解a ，b 的值．【详解】解：（1）由2()2sin cos 2cos212sin(2)16f x a b x x x x x x π==-+=+-=+-；令，得：36k x k ππππ-+，k Z ∈．()f x ∴的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）由（1）可得f （C ）2sin(2)116C π=+-= 即sin(2)16C π+=， 0C π<<262ππ∴+=C ，可得：6C π=．由余弦定理：221cos 62a b ab π+-=，可得：2261ab =+-⋯⋯①ab =②，由①②解得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，向量坐标的运算，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．20．已知函数()xf x ae bx =-（a ，b 为常数），点A 的横坐标为0，曲线()y f x =在点A 处的切线方程为 1.y x =-+（1）求a ，b 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x e x >．【答案】（1）1a =，2b =，极小值为22ln 2-；无极大值（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数的几何意义求得a ，b ，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数()2x h x e x =-，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．【详解】（1）由已知()0,A a 代入切线方程得1a =，()x f x ae b '=-，∴()01f a b '=-=-，∴2b =∴()2xf x e x =-， ()2x f x e '=-，令()0f x '=得ln 2x =，当ln 2x <时()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时()0f x '>，()f x 单调递增；所以当ln 2x =时，()22ln 2f x =-即为极小值；无极大值（2）令()2x h x e x =-，则()2xh x e x '=-，由（1）知()min 22ln 20h x '=->∴()h x 在()0,∞+上为增函数∴()()010h x h >=>，即2x e x >.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式．属于中档题.21．已知函数()()ln a f x x a R x=-∈．（1）判断()f x 在定义域上的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2，求a 的值．【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在0,上是增函数；当0a <时，()f x 在(]0,a -上是减函数，在(),a -+∞上是增函数；（2）a e =-.【解析】（1）先确定()f x 的定义域为(0,)+∞，再求导，由“()0f x '>，()f x 为增函数()0f x '<，()f x 在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论．（2）因为2()x a f x x'+=，0x >．由（1）可知①当0a 时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()()1min f x f =当01a <-时，即1a -时，()f x 在(0,)+∞上也是增函数，()()1min f x f =③当1a e <-<时，即1e a -<<-时，()f x 在[1，]a -上是减函数，在(a -，]e 上是增函数，()()min f x f a =-④当a e -时，即a e -时，()f x 在[1，]e 上是减函数，()()min f x f e =最后取并集．【详解】解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()2x a f x x+'= ①当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞上为增函数；②当0a <时，由()0f x '=得x a =-；由()0f x '>得x a >-；由()0f x '<得x a <-；∴()f x 在(]0,a -上为减函数；在(),a -+∞上为增函数．所以，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当0a <时，()f x 在(]0,a -上是减函数，在(),a -+∞上是增函数．（2）∵()2x a f x x+'=，0x >．由（1）可知： ①当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上为增函数，()()min 12f x f a ==-=，得2a =-，矛盾!②当01a <-≤时，即1a ≥-时，()f x 在()0,∞+上也是增函数，()()min 12f x f a ==-=，∴2a =-（舍去）．③当1a e <-<时，即1e a -<<-时，()f x 在[]1,a -上是减函数，在(],a e -上是增函数，∴()()()min ln 12f x f a a =-=-+=，得a e =-（舍去）．④当a e -≥时，即a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上是减函数，有()()min 12a f x f e e==-=， ∴a e =-．综上可知：a e =-．【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．22．已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是22x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(0,)P m ，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；0x y m -+=；（2）1.【解析】（1）在极坐标方程是2sin ρθ=的两边分别乘以ρ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式cos ,sin x y ρθρθ==及222x y ρ=+即可得到曲线C 的直角坐标方程；消去直线l的参数方程x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩中的参数t 得到直线l 的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造m 的方程，进一步解的答案.【详解】（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，∵ cos sin x y ρθρθ==，，代入得：222x y y +=，∴ 曲线C 的普通方程为222x y y +=，即：22(1)1y x +-=由l的参数方程x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，消去参数t 得：0x y m -+=. ()2当0t =时，得0x y m =⎧⎨=⎩，∴ ()0,p m 在直线l 上，将l 参数方程代入曲线C 的普通方程得：22+20m m ⎫⎫⎫+-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：)22120t m t m m -+-=. 设以上方程两根为1t ，2t ，由()()22=21420m m m ∆--->解得：11m <<．由参数t 的几何意义知21221PA PB t t m m =⋅-⋅==，得221m m -=或221m m -=-，解得12m (舍去)或1m =, ∴1m =．【点睛】【考点】本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，同时考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题．23．已知函数()1f x x a x =-+-．（1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值．【答案】（1）()1,3-；（2）1或2．【解析】（1）()|1|2f a a =-<，即可得a 的取值范围是(1,3)-；（2）对a 分类讨论，由单调性即可得()f x 的单调性．【详解】解：（1）()12f a a =-<，得212a -<-<．即13a -<<，故a 的取值范围()1,3-（2）当1a ≥时，函数()f x 在区间[],a a k +上单调递增．则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得2a =，()()max 213f x f a k a k =+=+-=⎡⎤⎣⎦，得1k =．当1a <时，()21,11,121,x a x f x a a x x a x a --≥⎧⎪=-<<⎨⎪-++≤⎩则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得0a =，()()max 213f x f a k a k =+=+-=⎡⎤⎣⎦，得2k =．综上所述，k 的值是1或2．【点睛】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．。

北京一零一中2024届宁夏银川二中下学期高三年级统练三数学试题

北京一零一中2024届宁夏银川二中下学期高三年级统练三数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( )A ．132B ．299C ．68D ．992．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A ．56B ．60C ．140D ．1203．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（） A ．6x π= B ．3x π= C ．12x π= D ．512x π= 4．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（）A 6B ．34C ．12D 35．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=- 8．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（） A ．4 B ．23 C ．8 D ．179．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A ．15B ．120C ．112D ．34010．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（）A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，，D ．()3-∞，11．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．若双曲线E ：221x y m n -=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（）A ．233 B ．3 C ．2或233 D ．2或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年宁夏银川二中高三(上)统练数学试卷(一)(附答案详解)

2020-2021学年宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|y=lg(x−2)}，则A∩(∁R B)=()A. (2,4)B. (−2,4)C. (−2,2)D. (−2,2]2.已知a，b都是实数，那么“√a>√b”是“ln a>ln b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，则sinα的值为()A. 12B. −12C. −√32D. −√334.已知sin(π4+α)=√32，则sin(3π4−α)值为()A. 12B. −12C. √32D. −√325.在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为()A. 50(1+√33)m B. 50(1+√3)mC. 50(√6+√2)mD. 50(√6+√2)m6.已知f(x)是定义在R上满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)=4x−1，则f(−5.5)的值为()A. 2B. −1C. −12D. 17.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①−3是函数y=f(x)的极值点；②−1是函数y=f(x)的最小值点；③y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是()A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.设alog34=2，则4−a=()A. 1B. 1C. 1D. 19. 已知α∈(0,π2),2sin2α−1=cos2α，则cosα=( )A. 15B. √55C. √33D. 2√55 10. 已知曲线C ：y =cos(2x +φ)(|φ|<π2)的一条对称轴方程为x =π3，曲线C 向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标别(π4,0)，则θ的最小值是( )A. π6B. π4C. π3D. π1211. 函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(11)的值等于( )A. √2B. 2+√2C. 2+2√2D. −2−2√212. 已知函数f(x)=√3sin2x +cos2x −m 在[0,π2]上有两个零点x 1，x 2，则tanx 1+x 22的值为( )A. √3B. √22 C. √32 D. √33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =lnx +x +1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______． 14. 已知函数f(x)={3x+1(x ≤0)log 13x(x >0)，则不等式f(x)>1的解集为．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA +acosB =0，则B = ．16. 已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sinβ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2−c 2=ab ．(1)求∠C 的大小；(2)若c =2√3,sinA =2sinB ，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx +a ，且当x ∈[0,π2]时，f(x)的最小值为2． (1)求a 的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数y =f(x)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移π12个单位，得到函数y =g(x)的图象，求方程g(x)=4在区间[0,π2]上所有根之和．19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cosB =35，sinAcosB −(c −cosA)⋅sinB =0． (1)求边b 的值；(2)求△ABC 的周长的最大值．20. 已知函数f(x)=1e x −ax(x ∈R)．(1)当a =−2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若a >0且x ≥1时，f(x)≤lnx ，求a 的取值范围．21.已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=8√2sin(θ+π4).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P(1,0)作倾斜角为45°的直线l与圆C交于A，B两点，试求1|PA|+1|PB|的值．23.已知f(x)=|x+1|−|ax−1|．(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集和补集的运算，考查对数函数的定义域，属于基础题．进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵B={x|y=lg(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}，∴A∩(∁R B)=(−2,2]．故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．【解答】解：∵lna>lnb⇒a>b>0⇒√a>√b，是必要条件，而√a>√b，如a=1，b=0则lna>lnb不成立，不是充分条件，故选：B．3.【答案】C【解析】解：因为α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，点P即为(1,−√3)，则sinα=−√32=−√32．故选C．本题考查三角函数的定义，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：sin(π4+α)=√32，sin(3π4−α)=sin(π−π4−α)=sin(π4+α)=√32故选：C．直接利用诱导公式化简sin(3π4−α)，求出sin(π4+α)的形式，求解即可．本题是基础题，考查三角函数的诱导公式，整体思想，考查计算能力．5.【答案】B【解析】解：如图，由已知可得：AD=DC=50m，∴BD=ADtan60°=50√3m，∴塔高为CD+BD=50(1+√3)m．故选：B．在直角三角形ABD中根据BD=ADtan60°求得BD，进而可得答案．本题主要考查解三角形在实际中的应用．属基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的周期性，考查运算求解能力，是基础题．根据题意得，函数周期为2推导出f(−5.5)=f(0.5)，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)=f(x)，则函数是周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)=4x−1，∴f(−5.5)=f(−5.5+6)=f(0.5)=2−1=1．故选：D．7.【答案】C【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，在x∈(−3,1)时，f′(x)≤0∴函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故③正确则−3是函数y=f(x)的极小值点，故①正确∵在(−3,1)上单调递增，∴−1不是函数y=f(x)的最小值点，故②不正确；∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确故选：C．根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】解：因为alog34=2，则log34a=2，则4a=32=9则4−a=14 a =19，故选：B．9.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,π2),2sin2α−1=cos2α，∴4sinαcosα−1=2cos2α−1，可得2sinαcosα=cos2α，∵cosα>0，∴可得sinα=12cosα，∴解得：cosα=2√55．故选：D．由已知利用二倍角公式可得2sinαcosα=cos2α，结合cosα>0，根据同角三角函数基本关系即可解得cosα的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系在三角函数化简求值中到应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：曲线C：y=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的一条对称轴方程为x=π3，∴2×π3+φ=kπ，k∈Z，∴φ=π3，曲线C：y=cos(2x+π3).把曲线C向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到曲线E：y=cos(2x+2θ+π3)的图象，∵曲线E的一个对称中心的坐标别(π4,0)，∴2×π4+2θ+π3=nπ+π2，n∈Z．则θ的最小值为π3，此时，n=1，故选：C．由题意利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出θ的最小值．本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的部分图象可得A=2，ϕ=0，且12×2πω=4−0，∴ω=π4．∴函数y=2sin(π4x)，且函数的周期为8．由于f(1)+f(2)+f(3)+⋯f(8)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sinπ4+2sinπ2+2sin3π4=2+2√2，根据所给的三角函数的图象，可以看出函数的振幅和周期，根据周期公式求出ω的值，写出三角函数的形式，根据函数的图象过点(2,2)，代入点的坐标，整理出初相，点的函数的解析式，根据周期是8和特殊角的三角函数求出结果．本题考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定函数的解析式，考查特殊角的三角函数值，本题解题的关键是看出要求结果的前八项之和等于0，要理解好函数的中的周期、振幅、初相等概念，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f(x)=√3sin2x+cos2x−m=2(√32sin2x+12cos2x)−m=2sin(2x+π6)−m，∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤2sin(2x+π6)≤2，∵f(x)=√3sin2x+cos2x−m在[0,π2]上有两个零点x1，x2，∴正弦y=m与f(x)=√3sin2x+cos2x在[0,π2]上有两个交点，如图：∴x1+x2=π3，∴tan x1+x22=tanπ6=√33，故选：D．利用两角和与差的正弦将f(x)化简为f(x)=2sin(2x+π6)−m，由x∈[0,π2]⇒2x+π6∈[π6,7π6]，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f(x)=2sin(2x+π6)−m的值域，结合题意可从而可得答案．本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得x1+x22是关键，属于中档题．13.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．14.【答案】(−1,13)【解析】【分析】由已知中分段函数的解析式，分当x≤0时，和当x>0时，分别解不等式f(x)>1，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是指数不等式和对数不等式，分段函数，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．【解答】解：当x≤0时，由3x+1>1得：x+1>0，解得：x>−1，∴−1<x≤0；当x>0时，由log13x>1得：0<x<13，∴0<x<13，综上所述，不等式f(x)>1的解集为(−1,13)，故答案为：(−1,13)15.【答案】3π4【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB +sinAcosB =0，由于sinA >0，化简可得tanB =−1，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值为3π4．【解答】解：∵bsinA +acosB =0，∴由正弦定理可得：sinAsinB +sinAcosB =0， ∵A ∈(0,π)，sinA >0，∴可得：sinB +cosB =0，可得：tanB =−1， ∵B ∈(0,π)，∴B =3π4．故答案为3π4．16.【答案】√22【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cos(β−α)的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sinβ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解答】解：∵cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=2√55，∴β−α∈(−π2,π2)，∴cos(β−α)=√1−sin 2(β−α)=3√1010，∴sinβ=[(β−α)+α]=sin(β−α)cosα+cos(β−α)sinα=(−√1010)×√55+3√1010×2√55=√22．故答案为：√22．17.【答案】解：(1)a 2+b 2−c 2=abcosC =a2+b 2−c 22ab=12，C ∈(0,π)，∴C =π3．(2)∵sinA =2sinB ， ∴a =2b ，∵c 2=a 2+b 2−2abcosC ，∴(2√3)2=4b 2+b 2−2⋅2bb ⋅12=3b 2，∴b =2， ∴a =4，∴S △ABC =12absinC =2√3．【解析】(1)利用余弦定理，化简求解即可．(2)利用正弦定理以及余弦定理，求出b ，a ，然后求解三角形底面积．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18.【答案】解：(1)化简可得f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx +a=cos2x +1+√3sin2x +a =2sin(2x +π6)+a +1， ∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴f(x)的最小值为−1+a +1=2，解得a =2， ∴f(x)=2sin(2x +π6)+3，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，(k ∈Z)；(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin(4x −π6)+3，由g(x)=4可得sin(4x −π6)=12， ∴4x −π6=2kπ+π6或4x −π6=2kπ+5π6，解得x =kπ2+π12或x =kπ2+π4，(k ∈Z)，∵x ∈[0,π2]， ∴x =π12或x =π4， ∴所有根之和为π12+π4=π3．【解析】(1)化简可得f(x)=2sin(2x +π6)+a +1，由题意易得−1+a +1=2，解方程可得a 值，解不等式2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2可得单调区间；(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin(4x −π6)+3，可得sin(4x −π6)=12，解方程可得x =π12或x =π4，相加即可．本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．19.【答案】解：(1)由sinAcosB −(c −cosA)⋅sinB =0得sinAcosB +cosAsinB =csinB ． ∴sinC =csinB ，即sinC c =sinB ．由正弦定理得sinB b=sinC c，故b =1．(2)由余弦定理得，a 2+c 2=b 2+2accosB =1+65ac ． ∴(a +c)2=1+165ac ≤1+165(a+c 2)2，∴a +c ≤√5．所以当a =c 时，△ABC 的周长的最大值为√5+1．【解析】(1)利用两角和与差的三角函数以及正弦定理化简求解即可．(2)利用余弦定理化简通过基本不等式求出a +c 的最大值，然后求解三角形的周长的最大值．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.【答案】解：(1)∵当a =−2时，f(x)=1e x +2x ，∴f′(x)=−1e x +2.令f′(x)=−1e x +2=0，得x =ln 12=−ln2．当x<−ln2时，f′(x)<0；当x>−ln2时，f′(x)>0．∴函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−ln2)，递增区间为(−ln2,+∞)．(2)当x≥1时，f(x)≤lnx等价于1e x −ax≤lnx，即lnx−1e x+ax≥0.(∗)令g(x)=lnx−1e x +ax(a>0)，则g′(x)=1x+1e x+a>0，∴函数g(x)在[1,+∞)上单调递增．∴g(x)≥g(1)=−1e+a．要使(∗)成立，则−1e +a≥0，得a≥1e．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为lnx−1e x +ax≥0.令g(x)=lnx−1e x+ax≥0(a>0)，通过函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．21.【答案】(1)证明：∵f(x)=2sinx−xcosx−x，∴f′(x)=2cosx−cosx+xsinx−1=cosx+xsinx−1，令g(x)=cosx+xsinx−1，则g′(x)=−sinx+sinx+xcosx=xcosx，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴当x=π2时，极大值为g(π2)=π2−1>0，又g(0)=0，g(π)=−2，可知函数在(0,π2)上无零点，在(π2,π)上有唯一零点，∴g(x)在(0,π)上有唯一零点，即f′(x)在(0,π)上有唯一零点；(2)解：由(1)知，f′(x)在(0,π)上有唯一零点x0，使得f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)>0，当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，∴f(x)在[0,x0)递增，在(x0,π]递减，结合f(0)=0，f(π)=0，可知f(x)≥0在[0,π]上恒成立，令ℎ(x)=ax ，表示横过定点(0,0)的直线， ∵f(x)≥ℎ(x)恒成立，∴直线y =ax 的斜率a 小于等于0， ∴a ∈(−∞,0]．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点和恒成立问题，属于较难题． (1)令g(x)=f ′(x)，对g(x)再求导，研究其在(0,π)上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；(2)利用(1)的结论，可设f ′(x)的零点为x 0，并结合f ′(x)的正负分析得到f(x)≥0在[0,π]上恒成立，即得出结论．22.【答案】解：(1)由ρ=8√2sin(θ+π4)得ρ2=8√2ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)，即，将代入上式可得x 2+y 2−8x −8y =0． (2)直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，将其代入圆C 的方程可得：t 2−7√2t −7=0，设A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2，则t 1+t 2=7√2，t 1t 2=−7<0，所以1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=3√147．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题． (1)两边同乘ρ，利用两角和的正弦公式和互化公式可得；(2)先得到直线l 的参数方程，联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义可得．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x +1|−|x −1|={2,x >12x,−1≤x ≤1−2,x <−1，由不等式f(x)>1，得{−2>1x <−1或{2x >1−1≤x ≤1或{2>1x >1，解得x >12，故不等式f(x)>1的解集为(12,+∞)； (2)当x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立，∴当x ∈(0,1)时，|x +1|−|ax −1|−x >0恒成立，即：当x ∈(0,1)时，x +1−|ax −1|−x >0恒成立，即：当x ∈(0,1)时，|ax −1|<1恒成立， ∴当x ∈(0,1)时，−1<ax −1<1成立， ∴当x ∈(0,1)时，0<ax <2成立，由x ∈(0,1)，可知a >0， ∴a <2x ， ∵2x >2，∴0<a ≤2，故a 的取值范围为(0,2]．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了运算能力，属于中档题． (1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集； (2)由题意，可得：当x ∈(0,1)时，0<ax <2成立，即可得解．。

宁夏银川二中2021届高三上学期统练二数学(文)试题含答案

绝密★启用前银川二中2020-2021学年第一学期高三年级统练二数学（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（）A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{0}B x x =>，则集合A B ⋂的子集个数为（）A ．2B ．4C ．6D ．83．已知向量(2,0)a =，||1b =，1a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（） A ．23π B ．3π C ．4π D ．6π 4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）A B C ． D ．5．在等差数列{}n a 中，()()35710133224a a a a a ++++=，则该数列前13项的和是（）A ．13B ．26C ．52D ．1566．如图，在ABC 中，14BN BC =，设AB a =，AC b =，则AN =（）A ．1344a b -B ．3144a b -C ．3144a b +D ．1344a b + 7．若3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2α=（） A ．725 B ．15 C ．15- D ．725- 8．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为（）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且4,5,60a b c A =+==︒，则ABC 的面积为（） A 3 B ．33 C 33 D ．3410．()f x 是R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，当[2,0]x ∈-时，()31x f x =-，则(9)f =（）A ．2-B ．2C ．23-D ．2311．在锐角ABC 中，1,2,BC B A AC =∠=∠的取值范围为（）A ．2)B ．3)C ．(0,2]D ．2,3)12．已知函数2()322cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x =，则12x x -的值可能为（）A ．3πB ．2πC ．34πD ．54π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '+的值为______14．已知(1,1)a =-，(2,1)b =-，(1,2)c =，若a b c λμ=+，则λμ=______ 15．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为_____ 16．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，621S =，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg99]1=1，则数列{}n b 的前100项和为_____．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．18．（本题满分12分）如图，已知O 为坐标原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =，(3cos ,sin )OB x x =，(3,0)OC =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求证：AB OC ⊥；（2）若2CA CB ⋅=，求tan x 的值．19．（本题满分12分）“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ．（1）当游客在乘坐舱P 与伦敦眼M 在同一水平面看建筑BC 的视角θ为60︒时，拍摄效果最好．若此时测得建筑物BC 的高度为310m ），求视线PC 的长度．（2）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ︒=，求建筑BC 的高度； 20．（本题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A b c B C b a+=--．（1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 长度为2，求2a b +的最大值．21．（本题满分12分）已知函数()ln ()a f x x a R x=-∈ （1）讨论()f x 在定义域上的单调性．（2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为2，求a 的值．选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，l 与C 交与A ，B 两点，||AB =，求l 的斜率． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正实数，且满足 1a b c ++=．证明：（Ⅰ）11|1|22a b c -++-；（Ⅱ）()3332221113a b c ab c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．绝密★启用前银川二中2020-2021学年第一学期高三年级统练二数学（文科）参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】D11．【答案】D 12．【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】1- 14．【答案】3-15．【答案】9816．【答案】92 三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）29n a n =-，（2）28n S n n =-，最小值为16-．答案：（1）省略（219．【答案】（1）省略（2）12（单位：10m ）；20．【答案】（1）3π；（2）4． 21．【答案】（1）省略（2）a e =-选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．【答案】（1）省略（2） 23．省略。

宁夏银川市第二中学高三数学上学期统练试题(三)理

银川二中2015-2016学年第一学期高三年级统练三数学试卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}01032>-+=x x x A ,{}52≤≤-=x x B 则B A C R I )(等于( ) A ．{}25-≤≤-x x B ．{}22≤≤-x x C ．{}52≤≤-x x D ．{}55≤≤-x x 2. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（） A ．DC AB = B ．AC AB AD =+ C ．BD AD AB =- D ．BD CD AD =+3．若b a <<0且1=+b a ，则下列四个数中最大的是（）A ．12B ．22a b +C ．ab 2D ．a4．设一个球的表面积为1S ，它的内接正方体的表面积为2S ，则21S S 的值等于 ( ) A.π2 B. 2π C. π6 D. 6π 5.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x 则y x z 2+=的最大值为( )A ．0B ．1C ．23 D ．26．定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+．当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=L （） A.336 B.355 C.1676 D.2015 7．已知等比数列{}n a ,且dx x a a ⎰-=+22844,则)2(10626a a a a ++的值为( )A ．2π B ．4 C ．π D ．π9-8.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+10. 在ABC ∆中,2π>C ,若函数)(x f y =在[]1,0上为单调递减函数,则下列命题正确的是( )A. )(cos )(cos B f A f >B. )(sin )(sin B f A f >C. )(cos )(sin B f A f >D. )(cos )(sin B f A f <11．如图)(x f y =是可导函数，直线l ：2+=kx y 是曲线)(x f y =在3=x 处的切线，令)(),()(x g x xf x g '=是)(x g 的导函数，则=')3(g （）A ．1-B ．0C ．2D ．412.若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9二、填空题(请将答案填入答题纸填空题的相应位置上,每小题5分,共20分) 13. 已知向量)1,2(=a ，),3(m b =，若)2(b a -与平行，则m 的值是 _ 14．已知tan 2α=，则2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--= 15. 若数列{}n a 是正项数列，且)(3...221*∈+=+++N n n n a a a n ，则=++++1 (322)1n a a a n16.给出下列四个命题：①函数x x x f +-=2ln )(在区间),1(e 上存在零点； ②要得到函数x y sin =的图象，只需将函数)3cos(π-=x y 的图象向左平移6π个单位； ③若1-≥m ，则函数)2(log 221m x x y --=的值城为R ；④“1=a ”是“函数xxae e a x f +-=1)(在定义域上是奇函数”的充分不必要条件;⑤已知{}n a 为等差数列，若11011-<a a ,且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，20=n 。

2021届宁夏银川市高三考前适应性训练(二)数学(文)试题解析

2021届宁夏银川市高三考前适应性训练（二）数学（文）试题一、单选题 1．已知复数21iz i=+，则共轭复数z = A ．1i -+ B ．1i - C ．1i + D ．1i --答案：B解：分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由题意可得：()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-，则其共轭复数1z i =-. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．设集合M={}|21xx >，1|01x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M∩N＝（） A ．[0，1) B ．(0，1) C ．(－1，+∞) D ．(1，+∞)答案：B首先求出集合M ，N ，再根据交集的定义计算可得；解：解：因为M={}|21xx >，1|01x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭所以{}{}|0,|11M x x N x x =>=-<<， {}|01M N x x =<<，故选：B 3．“1sin 2α=”是“1cos22α=”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件答案：A 利用1cos22α=求得sin α的值，利用充要条件求得结果. 解：解：21cos212sin 2αα=-=，则1sin 2α=±，则“1sin 2α=”是“1cos22α=”的充分非必要条件，故选：A. 4．设a e =，b ln ππ=，33c ln =，则a ，b ，c 大小关系是( ) A ．a c b << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<答案：A 构造函数()xf x lnx=，根据()f x 的单调性可得(f )e f <（3）()f π<，从而得到a ，b ，c 的大小关系．解：考查函数()xf x lnx=，则21()()lnx f x lnx -'=，()f x 在(,)e +∞上单调递增，3e π<<，(f ∴)e f <（3）()f π<，即33e lne ln ln ππ<<， a c b ∴<<，故选：A ．点评：本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题．5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足()()()20.5log log 21f a f a f +≤，则a 的取值范围是A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．[]0,2答案：A利用函数的奇偶性和单调性得到关于实数a 的不等式,求解不等式即可得到结果. 解：原问题等价于222(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f +-=≤, 所以2(log )(1)f a f ≤,因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 所以2(|log |)(1)f a f ≤,因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增, 所以2|log |1a ≤, 所以21log 1a -≤≤, 所以122a ≤≤. 故选:A点评：本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,根据奇偶性和单调性将不等式化为2|log |1a ≤是解题关键,属于中档题.6．在等差数列{}n a 中100a <，110a >，且1110a a >，则在0n S <中，n 的最大值为（） A ．17 B ．18C ．19D ．20答案：C由题可得190S <，200S >，即可判断. 解：设公差为d ，100a <，110a >，0d ∴>，1110a a >，则1110a a >-，即10110a a +>，()119191019+1902a a S a ==<，()()11020101120+10+02a a S a a ==>，则0n S <时，n 的最大值为19. 故选：C.7．某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成,其中有3名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为 A ．0.35 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7答案：D分别计算出从5名学生中选出2名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.解：来自同一班级的3名同学，用a ，b ，c 表示，来自另两个不同班级2名同学用，A ，B 表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有ab ，ac ，aA ，aB ，bc ，bA ，bB ，cA ，cB ，AB 共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有aA ，aB ，bA ，bB ，cA ，cB ，AB 共7种，故这两名选出的同学来自不同班级概率P 710==0.7 故选D ．点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．8．设函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（）A ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称C ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为3-D ．要得到函数()f x 的图象，只需将3cos 2y x =的图象向右平移6π个单位答案：D利用正弦型函数的基本性质求得()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的单调性可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的值域可判断C 选项的正误，利用三角函数图象变换可判断D 选项的正误.解：由题意可得()max 3A f x ==，函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=，22Tπω∴==，所以，()()3sin 2f x x ϕ=+，由于函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则()212k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，可得()6k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，0k ∴=，6π=ϕ，所以，()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A 选项，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52266x πππ≤+≤，所以，函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，A 选项错误；对于B 选项，553sin 23sin 012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于直线512x π=对称，B 选项错误；对于C 选项，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ-≤+≤，()min 33sin 62f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，()3sin 23cos 23cos 23cos 266236f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，要得到函数()f x 的图象，只需将3cos 2y x =的图象向右平移6π个单位，D 选项正确. 故选：D.点评：方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 9．在三角形ABC 中，点D 在直线AC 上，且23AD AC =，点E 在直线BD 上，且2BD DE =.若12AE AB AC λλ=+，则12λλ+=（）A ．0B ．12C ．79D ．89答案：B利用向量的线性运算可得AE 的表示形式，从而可求12λλ+的值. 解：因为2BD DE =，故22BA AD DA AE +=+，故()132AE AD AB =-，所以1112222AE AC AB AB AC =⨯-=-+，故121,12λλ=-=，则1212λλ+=，故选：B.10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为 AB ．2CD答案：B解：试题分析：抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0F ，双曲线的焦点与之相同得4,2p c ==；设(,)P m n ，由抛物线的定义知25,32pPF m m m =+=+=∴=，代入抛物线得P ，所以22224{9241a b a b +=-=，解得221{,23a c b ===，则离心率为2，故B 为正确答案．【解析】1、双曲线的性质；2、抛物线的性质．11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ︒∠=∠=，,A D 分别是,BF CE 上的点，//AD BC 且，22AB DE BC AF ===（如图1）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE （如图2）.在折起的过程中，则下列表述： ①//AC 平面BEF ；②四点B 、C 、E 、F 可能共面；③EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直. 其中正确的是（）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④答案：B连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点N ，证明四边形AFNM 为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接DF ，证明出DF EF ，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面BCE 与平面BEF垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.解：对于命题①，连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点M 、N ，连接MN 、FN ，如下图所示：则12AF DE =且//AF DE ，四边形ABCD 是矩形，且AC BD M =，M ∴为BD 的中点，N 为BE 的中点，//MN DE ∴且12MN DE =，//MN AF ∴且MN AF =， ∴四边形AFNM 为平行四边形，//AM FN ∴，即//AC FN ，AC ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AC ∴平面BEF ，命题①正确；对于命题②，//BC AD ，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，//BC ∴平面ADEF ，若四点B 、C 、E 、F 共面，则这四点可确定平面α，则BC α⊂，平面α平面ADEF EF =，由线面平行的性质定理可得//BC EF ，则//EF AD ，但四边形ADEF 为梯形且AD 、EF 为两腰，AD 与EF 相交，矛盾，所以，命题②错误；对于命题③，连接DF 、CF ，设AD AF a ==，则2DE a =，在Rt ADF 中，AD AF a ==，2DAF π∠=，则ADF 为等腰直角三角形，且4AFD ADF π∠=∠=，2DF a =，4EDF π∴∠=，且2DE a =，由余弦定理得22222cos 2EF DE DF DE DF EDF a =+-⋅∠=，222DF EF DE ∴+=，DF EF ∴⊥，又EF CF ⊥，DF CF F =，EF ∴⊥平面CDF ，CD ⊂平面CDF ，CD EF ∴⊥，CD AD ⊥，AD 、EF 为平面ADEF 内的两条相交直线，所以，CD ⊥平面ADEF ， CD ⊂平面ABCD ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，命题③正确；对于命题④，假设平面BCE 与平面BEF 垂直，过点F 在平面BEF 内作FG BE ⊥，平面BCE ⊥平面BEF ，平面BCE 平面BEF BE =，FG BE ⊥，FG ⊂平面BEF ，FG ∴⊥平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC FG ∴⊥，AD AB ⊥，AD AF ⊥，//BC AD ，BC AB ∴⊥，BC AF ⊥，又ABAF A =，BC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，BC BF ∴⊥，FG BF F =，BC ∴⊥平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BC EF ∴⊥，//AD BC ，EF AD ∴⊥，显然EF 与AD 不垂直，命题④错误.所以正确的选项为：①③，故选：B.12．若关于x 的不等式11x ke x x+->在(0)(0)-∞+∞，，上恒成立，则实数k 的取值范围为 A ．25()e e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，， B ．23(2)e e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，， C ．215()e e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．223()e e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，答案：A解：依题意，2111,0x x ke x x x k x x e ++-->⇔>>或21,0x x x k x e +-<<，令()21xx x f x e +-=，则()222(21)(1)2(1)(2)x x x x xx e e x x x x x x f x e e e +-+--+++-=-=-'，所以当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当(0,2)x ∈时，()0f x '>，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()2k f >或(1)k f <-，即25k e >或k e <-，故选A. 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 二、填空题13．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()x f x e ex =+（e 为自然对数的底数）.则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为_________. 答案：3y ex e =+先求出0x <时，()f x 的解析式，，写出切点坐标，求出斜率，即可写出切线方程.解：令0x <，则0x ->，因为()f x 为奇函数，所以2()()()x f x f x e e x --=-=+-，所以2()x f x e ex -=--（0x <），则'()2x f x e ex -=-，则()'123f e e e -=+=，()12f e e e -=--=-，所以切线方程为()231y e e x +=+，即3y ex e =+.故答案为：3y ex e =+.点评：用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程： 000()()ty y f x x x -=-；(2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标 11(,)x y ，再写出切线方程：111()()ty y f x x x -=-.14．若x ，y 满足约束条件3024010x y x y x y +≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则5z x y =+的最小值为_________.答案：53-作出可行域，作出函数对应的直线，平移该直线可得最优解．解：作出可行域，如图阴影部分（线段AB ，射线AD ，射线BC 围成的阴影部分），作直线：5z x y =+，目标函数5z x y =+化为1155y x z =-+，15z 是直线的纵截距，直线越向下平移z 越小，当直线过52,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，min 5255333z ⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为：53-．点评：关键点点睛：本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，确定z 的几何意义，然后平移直线得最优解．解题中可变形直线方程确定直线向上还是向下平移时，z 增大还是减小．最优解一般中可行域的端点或边界处取得．15．已知三角形ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积22()S a b c =--，8+=b c ，则S 的最大值是________．答案：6417先利用余弦定理化简已知得15cos 17A =，8s 17inA =，再利用基本不等式求S 最大值. 解：由已知得1sin 2cos 22bc A bc A bc =-+即sin 44cos A A =-，2215cos sin 44cos 17,cos 18sin 17A A A sin A A A ⎧=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或cos 1sin 0A A =⎧⎨=⎩(舍去，因为A∈（0，π）) ∴15cos 17A =，8s 17inA =，所以14464sin (8)2171717ABC S bc A bc b b ∆===-.故S 最大6417. 故答案为6417点评：本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C：()()2224-+-=x m y 上两个动点，且AB =若直线:2l yx =-上存在点P ，使得OC PA PB =+，则实数m 的取值范围为______. 答案：11⎡--⎣根据题意求出AB 的中点Q 的轨迹，由2OC PA PB PQ =+=，设()00,P x y ，()11,Q x y ，进而求出点P 在以1,12D m ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆D 上，根据点P 在直线l ：2y x =-上，利用直线与圆的位置关系即可求解.解：由题意知圆C 的圆心(),2C m ，半径2r .取AB 的中点Q ，连结CQ ，则CQ AB ⊥. 所以1CQ =，所以点Q 在圆()()2221x m y -+-=上. 因为2OC PA PB PQ =+=，设()00,P x y ，()11,Q x y ，则()1010,PQ x x y y =--，(),2OC m =，所以()()10102,22,m x x y y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩则1010,21,m x x y y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩因为()11,Q x y 在圆()()2221x m y -+-=上，所以()2200112m x m y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，即()2200112m x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以点P 在以1,12D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆D 上，又点P 在直线l ：2y x =-上，所以直线l 与圆D 有公共点，1≤，解得11m -≤-.故答案为：11⎡--⎣点评：本题考查了直线与圆的位置关系、轨迹问题，考查了基本知识以及知识的灵活应用，属于中档题. 三、解答题17．在① 213a a =，5242S S -=，② 432S =，518a =，③ 12a =，1n n a a +-=选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且___________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n nb a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 答案：条件选择见解析；（1）42n a n =-；（2）()421n nT n =+.（1）选择任一条件，利用等差数列的通项公式与前n 项和公式得到数列{}n a 的基本量12,4,a d =⎧⎨=⎩，进而得到其通项公式；（2）由（1）得数列{}n b 的通项公式()()1111424282121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，然后利用裂项相消法求和即可.解：解：（1）方案一：选条件①. 设等差数列{}n a 的公差为d .因为213a a =，3242S S -=，所以1152343413,33942,a d a S S a a a a a d +=⎧⎨-=++==+=⎩,解得12,4,a d =⎧⎨=⎩所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方案二：选条件②. 设等差数列{}n a 的公差为d .因为432S =，518a =，所以41514632,418,S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得12,4,a d =⎧⎨=⎩所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方案三：选条件③.设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1n n a a d +-=. 因为12a =，1n n a a +-=d 0d >，所以4d =，所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.（2）由（1）知()()1111424282121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以123n n T b b b b =++++1111111118335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()111821421n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 点评：方法技巧：在求解等差数列基本量问题时，常用的思想方法有：（1）方程思想，设出公差d ，然后利用通项公式或前n 项和公式将已知条件转化为方程(组)求解；（2）整体思想，当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用1a 和公差d 表示，寻求两者的联系，整体代换即可求解；（3）利用性质，运用等差数列的性质可以化繁为简，优化解题过程.18．某刚开业的大型百货商场进行促销活动，计得刚开始的五天内的客流量如下表：（1）求出日客流量y （千人）关于开业天数x (1,2,3,4,5)x =之间的线性回归方程；（2）根据市场经验，在促销活动期间，流量增长速度遵循（1）中的线性回归方程．经过几天的调研发现，每天约有710的人进行了饮食消费，约有23的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有45的人进行了饮食消费．若该商场计划将促销活动持续进行20天，试判断能否实现第20天时商场内参与消费的人数超过1.5万人？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211ˆn ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．答案：（1）ˆ0.66 6.02y x =+；（2）可以实现.（1）由已知数据求出55211i i i i i x y x,y,x ,==∑∑，即可根据公式求出,b a ，得出回归方程；（2）可求得进行消费的人所占总人数的比例，再根据回归方程求出第20天的客流量，即可得出结论.解：解：（1）由表中数据可知，1234535x ++++==， 6.77.47.98.69.485y ++++==． 516.714.823.734.447126.6i ii x y==++++=∑，521149162555i i x==++++=∑，所以51522215126.6538ˆ0.6655535i ii ii x yx ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，则ˆ80.663 6.02a =-⨯=，所以回归方程为ˆ0.66 6.02yx =+；（2）由题意可知，进行消费的人所占总人数的比例为72245103356+-⨯=，在促销活动第20天时，客流量0.6620 6.0219.22y =⨯+=，因为5519.22181566⨯>⨯=，故可以实现目标．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，1AB BB ⊥，12BB =，O 、D 分别为1AB 、11A C 的中点.（1）求证：//OD 平面11BCC B ﹔（2）若平面ABC ⊥平面11ABB A ，求直线OD 到平面11BCC B 的距离. 答案：（1）证明见解析；（23（1）连接1A B ，可知O 为1A B 的中点，再连接1BC ，利用中位线的性质可得出1//OD BC ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）取AB 的中点P ，连接CP ，推导出⊥CP 平面11ABB A ，设直线OD 到平面11BCC B 的距离为h ，利用等体积法得出1111C BOB O BB C V V --=，由此可解出h 的值，即可得解. 解：（1）如图所示，连接1A B 、1BC .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，O 为1AB 的中点，则O 为1A B 的中点，又因为D 为11A C 的中点，所以，1//OD B C ，而OD ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以//OD 平面11BCC B ；（2）如图，取AB 的中点P ，连接CP ，因为ABC 是正三角形，P 为AB 的中点，所以，CP AB ⊥，平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC 平面11ABB A AB =，CP ⊂平面ABC ，所以⊥CP 平面11ABB A ，因为ABC 是边长为2的正三角形，1AB BB ⊥，12BB =，所以323CP ==.设直线OD 到平面11BCC B 的距离为h ，即点O 到平面11BCC B 的距离为h . 由1111C BOB O BB C V V --=，得1111213223232h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得3h =故直线OD 到平面11BCC B 3点评：方法点睛：求点A 到平面BCD 的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体ABCD 的体积，然后计算出BCD △的面积，利用锥体的体积公式可计算出点A 到平面BCD 的距离；（2）空间向量法：先计算出平面BCD 的一个法向量n 的坐标，进而可得出点A 到平面BCD 的距离为AB n d n⋅=.20．已知抛物线()2:20C x py p =>上一点(),4A m 到其焦点的距离为174. （Ⅰ）求p 和m 的值；（Ⅱ）设()1,1B - ，过点B 任作两直线11A B ，22A B 与抛物线C 分别交于点11,,A B 22,A B ，过11,A B 的抛物线C 的两切线交于P ，过22,A B 的抛物线C 的两切线交于Q ，求PQ 的直线方程.答案：（Ⅰ）1,22p m ==±；（Ⅱ）21y x =--（Ⅰ）根据焦半径公式可得12p =，再利用点A 在抛物线得到2m =±. （Ⅱ）因为()1,1B -在抛物线上，故过11,A B 的抛物线C 的两切线与过22,A B 的抛物线C 的两切线有一条时重合的（即过B 的抛物线的切线），从而得到PQ 即为过B 的切线. 解：解：（Ⅰ）根据焦半径公式可得17424p +=，解得12p =，故抛物线方程为：2x y =，将(),4A m 代入抛物线方程，解得2m =±. （Ⅱ）因为点()1,1B - 在抛物线C 上，所以12,B B 即为点B ，则过11,A B 的抛物线C 的两切线交于P 在过B 的抛物线C 的切线上, 过22,A B 的抛物线C 的两切线交于Q 同样在过B 的抛物线C 的切线上，故直线PQ 就是抛物线C 在点()1,1B -处的切线，其斜率为()212h =⨯-=- 方程为()21121y x x =-++=-- .点评：求圆锥曲线标准方程，一般有定义法和待定系数法，前者可根据定义求出基本量的大小，后者可根据条件得到关于基本量的方程组，解这个方程组可得基本量.而抛物线的切线方程，可以利用导数快速求出切线的斜率.21．已知函数()()2sin cos f x x x x ax a R =--∈．（1）当0a =时，证明：函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点；（2）当1a ≤时，证明：对任意()0,x π∈，()0f x >．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）对()f x 求导，令()()g x f x '=，再对()g x 求导，得()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，进一步研究可得当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()f x 在区间0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无极值点，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极大值点0x ，综合即可解决；（2）对()f x 求导，令()()g x f x '=，再对()g x 求导得()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，再分1a ≤-与11a -<≤两种情况讨论即可解决.解：解：（1）由题可知()2sin cos f x x x x =-，()cos sin f x x x x '=+．设()()g x f x '=，则()cos g x x x '=．令()0g x '=，又()0,x π∈，得2x π=．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减．又()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-，因此，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()00g x g >>，即()0f x '>，此时()f x 在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无极值点；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x =有唯一解0x ，即()0f x '=有唯一解0x ，且易知当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<，故此时()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极大值点0x ．综上可知，函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点．（2）因为()cos sin f x x x x a '=+-，设()()h x f x ='，则()cos h x x x '=．令()0h x '=，又()0,x π∈，得2x π=．且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减．当1a ≤时，()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()1f a π'=--．①当()10f a π'=--≥，即1a ≤-时，()0f x '≥．此时函数()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=﹔②当()10f a π'=--<，即11a -<≤时，因为()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭ ，所以，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内()0f x '≥恒成立，而在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减．又因为()00f =，()()10f a ππ=-≥，所以此时()0f x >．由①②可知，当1a ≤时，对任意()0,x π∈，总有()0f x >．点评：本题考查利用导数研究函数的极值点，证明不等式问题，考查数学运算能力，是难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线():1tan 2l y x πααπ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos 4ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且16AB =，求α. 答案：（1）24y x =；（2）56πα= （1）先将2sin cos 4ρθθ=两边同时平方，再利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）写出直线l 的参数方程，与曲线C 的直角坐标方程联立，设出A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，再利用12AB t t =-，列出方程，即可求出α.解：解：（1）由2sin cos 4ρθθ=，得:22sin 4cos ρθρθ=.又cos x ρθ=，sin y ρθ=，C ∴的直角坐标方程为24y x =；（2）直线l 的参数方程为1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，2παπ<<），将它代入24y x =，得：22sin 4cos 40t t αα--=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，1224sin AB t t α∴=-==，又2416sin α=，2παπ<<， 1sin 2α∴=，即56πα=. 点评：关键点点睛：直角坐标方程与极坐标方程互化的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，求直线与圆锥曲线的弦长时，利用直线参数方程的几何意义更简单. 23．已知函数()1f x x a x =++-. （1）若0a =，解不等式()13f x -≤；（2）若不等式()21f x a ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：（1）[]0,3；（2）[]0,2.（I ）对x 分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（II ）利用绝对值不等式求得()f x 的最小值为1a +，从而得到121a a +≥-，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）0a =时，()1f x x x =+-，由()13f x -≤即为123x x -+-≤，故1323x x ≤⎧⎨-≤⎩或12123x x x <<⎧⎨-+-≤⎩或2233x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得03x ≤≤，∴不等式()13f x -≤的解集为[]0,3.（Ⅱ）()()()11f x x a x a ≥+--=+对x ∈R 成立，当且仅当()()10x a x +-≤时等号成立.又()21f x a ≥-对x ∈R 成立，121a a ∴+≥-，2221441a a a a ∴++≥-+即220a a -≤，02a ∴≤≤即[]0,2a ∈.。

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