单位圆与三角函数线
单位圆与三角函数线
3.探究
1.当角 改变时，P、M、T三点位置如何变化?三条三角函数线的值如何变化？能否得到三角函数的值域？
2.利用三角函数线探究下列问题
① ， 有何关系？
② ， 有何关系？
③ ， 有何关系？
题型一：作任意角的三角函数线
高一数学导学案
编号：04课型：新授课编制人：审核人：年级主任：
1.2.2单位圆与三角函数线
一、学习目标：
1、理解单位圆、有向线段的概念。
2、学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
二、教学重难点
重点：理解单位圆中的三角函数线
难点：正切线，三角函数线的应用
A、cosθ<tanθ<sinθB、sinθ<cosθ<tanθ
C、tanθ<sinθ<cosθD、cosθ<sinθ<tanθ
3、在（0，2π）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是（）
A、 B、
C、 D、
4、若0≤θ<2π且不等式cosθ<sinθ和tanθ<sinθ成立，那么角θ的取值范围是（）
③ ， ， ；（由大到小排列）.
题型六：利用三角函数线证明不等式
例6、已知 ，求证：sinα+cosα>1.
课堂小结：
巩固练习：
1、已知MP，OM，AT分别是60o角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有（）
A、MP<OM<ATB、OM<MP<ATC、AT<OM<MPD、OM<AT<MP
(完整)1.2.1单位圆与三角函数线(习题课)
若f为cos，则角的终边是直线x=m与单位圆的两个交点与 原点的连线），根据三角函数值的大小，找出在0~2π内的 取值，再加上周期，分清楚是优弧还是劣弧。
2
2
2
2
(5) cos 1 (6) cos 1 (7) cos 3 (8) tan 3
2
2
2
3
(9) tan 1(10)sin 1 且cos 1
2
2
2、利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或 “<”连接)：
(1)sin 23π > sin 43π；
2> (2)cos 3π
cos 43π；
2<
3
(3)tan3π
tan4π.
对于f 为 tan，则取点(1，m)，连接该点和原点即得角的 终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得 。 分 清 楚 是 优弧还是劣弧，同时注意区间是开区间还是闭区间.
跟踪演练2 (1)已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限， 若α∈[0,2π)，求α的取值范围.
可知
α
的取值范围为π4<α<π2或
圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而
得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交 角的终边或终边的反向延长线于一点 T，即可得到正切线 AT.
题型二 利用三角函数线解不等式 例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取 值范围.
高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线
利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
高二数学单位圆与三角函数线
设任意角α的顶点
在原点，始边与x轴的
正半轴重合，终边与 单位圆相交于点P(x， A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
y），过P作x轴的垂线， 垂足为M； 做PN垂直
B'(0,-1)
y轴于点N，
则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)
其中cosα=OM，sinα=ON.
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α
的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.
y
y'
以A为原点建立y’轴与y 轴同向，y’轴与α角的终边
P T (1,tan)
x
(或其反向延长线)相交于点
O 1 A(1,0)
T(或T ’)，则tanα=AT(或
T'
AT ’)
.
.
...Fra bibliotek ..
；相亲 相亲
单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与
x轴的交点分别为 A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为 A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B(0，1)，B’(0，－1).
B'(0,-1)
三角函数线
单位圆与三角函数线教案
1.2.2单位圆与三角函数线教学目标：1．知识与技能: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2．过程与方法: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.3．、情感与态度三维目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.教学重点难点：1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.教学方法与教学手段：1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验; 借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.教学过程一、复习引入：复习三角函数的定义二、讲解新课：1. 观览车模型，并建立平面直角坐标系。
2.（边描述边画），以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆。
当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆有一个交点P（x，y），过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，则请学生观察，（1）sinα等于什么？（2）随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于sinα？（3）MP就是sinα的几何表示，也叫做正弦线。
（4）能找到余弦线吗？（5）能找到正切线吗？3．当α是第二象限角时情形怎样？4．完整叙述单位圆与三角函数线：A ：画单位圆，B ：设α的终边与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于M ，则有向线段MP 是正弦线。
单位圆与三角函数线已经更新
(2)y=lg sinx+ cos x .
解：(1)如图.
3 ∵2cosx- 3 ≥0,∴cosx≥ 2 ,∴定义域为［2kπ - 6 ,2kπ + 6 ］ (k∈Z).
课堂互动
利用三角函数线比较三角函数值的大小
例4.确定下式的符号
x P
sin 1 cos 1
解： 因为1
由三角函数线得
（2）在单位圆过点A(1，0)的切线上取 AT=-1连续OT，OT所在直线与单位圆交于P1， P2两点，OP1、OP2是角a的终边，则角a的取值 集合是｛α｜α=2kπ+3π/4,或α=2kπ+7/4π,k∈Z｝ =｛α｜α=kπ±3/4π，k∈Z｝
课堂互动
利用三角函数线解三角不等式 例3.在单位圆中画出适合下列条件的 角α终边的范围，并写出角α的集合。
1 2
变式：求函数 y 2 sin x 3的定义域
解：要使 2 sin x 3 有意义， 只需2 sin x 3 0, 3 , 2 由三角函数线，得 即sin x
3 2 3 2
y
3 2
3 2
x O
2 x 2 k x 2 k , k Z 3 3
4
O
M
y
sin 1 cos10
课堂互动
练习：比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
tan2<tan3
利用三角函数线证明有关不等式
例5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1. 证明：在△OMP中，
单位圆与三角函数线(说案)
单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。
《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。
通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。
由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。
2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。
（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。
提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。
通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。
难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。
单位圆与三角函数线
单位圆与三角函数线临沂四中高一数学组周腾飞一、学前导学案（一）学习目标1、理解单位圆及三角函数线的定义2、能正确运用单位圆中的三角函数线表示三角函数值（二）学习重点难点：1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.（三）预习过程基础知识填空1、单位圆________________________________________________2、在直角坐标系中画出30度角的正弦线、余弦线、正切线预习自测：1、已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（）(A)在x轴上(B)在y轴上(C)在直线y=x上(D) 在直线y=--x上2、已知MP、OM、AT分别是60度角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有（）A、MP〈OM〈ATB、OM〈MP〈ATC、AT〈OM〈MPD、OM 〈AT〈MP二、课堂使用学案（一）合作探究：能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？（二）新课内容正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.练习：画出课后联系1、2的正弦线、余弦线、正切线：.（三）典型例题（预习课本例题）（四）课堂小结：1.回顾三角函数线作法.2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础.（五）当堂检测1、求y = lg(3－4sin2x) 的定义域.3、sin1，sin1.2，sin1.5三者的大小关系是（）4、确定下式的符号：sin1— cos1三、课后延伸学案求证：当α∈（0，π/2）时，sinα＜α＜tanα。
高中数学必修四第一章单位圆与三角函数线
人大附中分校高一数学导学学案1．单位圆的概念. 2．有向线段的概念. 3．用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.．分别作出和例2．利用单位圆和三角函数线比较大小：(1> sin1和sin1.5。
(2> cos1和cos1.5。
(3> tan2和tan3.(1> sin1<sin1.5。
(2> cos1>cos1.5。
(3> tan2<tan3.例3. 已知sinx=0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小.(0º<x<360º> 30°和150°随堂练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( >A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解读：选 D.正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在．b5E2RGbCAP2．角α(0<α<2π>的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( >A.错误!或错误!πB.错误!或错误!πC.错误!或错误!πD.错误!或错误!πp1EanqFDPw解读：选C.由条件知sinα＝cosα，又0<α<2π，∴α＝错误!或错误!.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( >A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限解读：选 D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cosα≤错误!的解集为____________________________．DXDiTa9E3d解读：画出单位圆，然后画出直线x＝错误!，从图形中可以看出．答案：{α|2kπ＋错误!≤α≤2kπ＋错误!，k∈Z}申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。