2019届人教B版(文科数学) 解三角形 单元测试
2019届人教B版(文科数学) 不等式 单元测试
2019届人教B版（文科数学）不等式单元测试 (4)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有().A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N解析:∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=2a2-4a-a2+2a+3=a2-2a+3=a2-2a+1+2=(a-1)2+2>0,∴M>N.答案:A2不等A.{x|-2<x<3}B.{x|x<-2}C.{x|x<-2,或x>3}D.{x|x>3}解析:原不等式等价于(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3.答案:A3若集合A={x|x2-2x>0},B={x|A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B解析:∵x2-2x=x(x-2)>0,∴x<0或x>2.∴集合A与B在数轴上表示为由图象可以看出A∪B=R,故选B.答案:B4不等式A答案:D5若2x+2y=1,则x+y的取值范围是().A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]解析:∵2x+2y=1≥≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.答案:D6若变量x,y满足约束条A.1B.2C.3D.4解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,是直线y=-2x+ 在y轴上的截距,当直线y=-2x+ 经过点A(1,0)时,取最大值,此时x=1,y=0,则的最大值是2x+y=2+0=2.答案:B7若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是().A.a2+b2>2abB.a+b≥CD解析:由ab>0,得a,b同号.当a<0,b<0时,B,C不成立;当a=b时,A不成立;答案:D8在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区A.解析:画出不等式.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C,直线x=2与直线x+y=0的交点为D.过C作CA⊥直线x+y-2=0于点A,过D作DB⊥直线x+y-2=0于点B,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,∴|CD|=|AB|.∴C点坐标为(-1,1).∴D点坐标为(2,-2).∴|CD||AB|=C.答案:C9已知正实数a,b满足4a+b=30,A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)解析:≥当且仅.故选A.答案:A10某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为().A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱解析:设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱,由题意,目标函数 =280x+200y.画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,目标函数过点A时,取最大值.解方程x=15,y=55,即A(15,55).所以甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱时,甲、乙两个车间每天总获利最大.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知x>0,y>0,若x,y满解析:∵x>0,y>0,∴1xy≤3,当且仅x,等号成立,∴xy的最大值为3.答案:312若x,y满足约束条如图,作出不等式组所表示的可行域.由 =x+3y,得y=l0:x+3y=0,在可行域内平移直线l0,由图可知直线过A点时最大,A(1,2).所以max=1+3×2=7.答案:713当x>1时,log2x2+log x2的最小值为.解析:当x>1时,log2x>0,log x2>0,所以log2x2+log x2=2log2x≥当且仅当2log2x x,等号成立, 所以log2x2+log x2的最小值答案:14如果实数x,y满足条解析:画出可行域如图中的阴影部分所示.设P(x,y)为可行域内的一点,M(1,1),由于点P在可行域内,则由图知k MB≤k PM≤k MA.又可得A(0,-1),B(-1,0),则k MA=2,k MB≤k PM≤2,答案:15若不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.解析:不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.若a+2=0,则显然不成立;若a+2≠0,⇔a>2.答案:(2,+∞)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)解不等式解≤1≤0,∴-2≤x<6.由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,∴x>1或x<∴原不等式组的解集17(8分)某工厂建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为1 200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,屋顶的造价为5 800元.若墙高为3 m,且不计房屋背面的费用,则建造此小房的最低总造价是多少元?解设房子的长为x m,宽为y m,总造价为t元,则xy=12,且t=3×x×1 200+3×y×800×2+5 800 =1 200(3x+4y)+5 800≥1 200×800=34 600(当且仅当3x=4y,即x=4,y=3时,等号成立).故最低总造价是34 600元.18(9分)已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.解f(x)=x2-2x-8.当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,则x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1).于是对一切x>2,均有不等≥m成立.≥x=3时,等号成立),∴实数m的取值范围是(-∞,2].19(10分)解关于x的不等式x2-(3m+1)x+2m2+m<0.解∵x2-(3m+1)x+2m2+m=(x-m)[x-(2m+1)],∴方程x2-(3m+1)x+2m2+m=0的两解是x1=m,x2=2m+1.当m<2m+1,即m>-1时,原不等式的解为m<x<2m+1;当m=2m+1,即m=-1时,原不等式无解;当m>2m+1,即m<-1时,原不等式的解为2m+1<x<m.综上所述,当m>-1时,原不等式的解集为{x|m<x<2m+1};当m=-1时,原不等式的解集为⌀;当m<-1时,原不等式的解集为{x|2m+1<x<m}.20(10分)某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为元,那而 =0.28x+0.9y,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A时,最小,又直线x+y=35 000和直线y故当x,饲料费用最低.答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.。
2019届人教A版(理科数学) 解三角形 单元测试
2019届人教A 版（理科数学） 解三角形 单元测试1.【2018届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】在中，角的对边分别为，且，，则角等于( ) A. B. 或 C.D.【答案】D2.【2018届陕西省延安市黄陵中学6月模拟】在中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，，则=（ ）A ．B ．C ． 或D ．【答案】B 【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，去分母移项得：， 所以：，所以.由同角三角函数得：，由正弦定理，解得所以或（舍）.故选B.3．【2018届福建省莆田第九中学高考模拟】在中，角的对边分别为，若，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 1 【答案】B 【解析】4.【2018年高考专家猜题卷】如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，且，则，之间的距离为________．【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，即，，由题意得，，在中，由余弦定理得，即，故答案为.5.【2018届河北省大名县第一中学高三上第一次月考】设△的内角,,所对的边长分别为,若,则 的值为____.【答案】4【解析】由正弦定理可得=,又因为==,所以=,即, 所以.6.【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】 在钝角中，内角的对边分别为，若，，则的取值范围是__________. 【答案】【解析】三条边能组成三角形 ，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得：1<c<7，① 若∠C 为钝角，则：，解得：c>5，② 若∠A 为钝角，则：，解得：，③结合①②③可得c 的取值范围是.7.【2018届上海市5月高考模拟（三）】在中，所对边分别为，若，则____________.【答案】.【解析】8.【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b .【答案】(1)15cos 17B =；(2)2b =. 【解析】9.【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， D 为边BC 上的点， E 为AD 上的点，且8AE =， AC = 4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．【答案】（1）CE =21【解析】（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，5sin 4π=所以5sin 442CDE π∠===， 所以4sin 5CDE ∠=． 因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而45<， 所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-， 所以cos cos cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ⎛⎫∠=∠-=∠+∠ ⎪⎝⎭314525=-⨯+=．10.【2018届四川省成都市双流中学考前模拟】已知向量，将的图像向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像.（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的面积.【答案】(1).(2) .【解析】（1），的图像向右平移个单位后，函数解析式变为，则11．【2018年理数天津卷】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，12．【2018年理北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．13.【2018届黑龙江省大庆实验中学高三第一次月考】已知为的内角的对边，满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （1）证明：；（2）若，证明为等边三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】,,所以（2）由题意知：，解得：，因为, ,所以由余弦定理知：, 所以因为，所以，即：所以,又，所以为等边三角形.14.【2018届江西省南昌市二轮测试卷（三）】在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，所以，因为，所以，所以当时，取得最大值.。
2019届人教A版(文科数学) 和与差的三角函数公式 单元测试
高考数学（文）冲刺精炼（13）和与差的三角函数公式第1卷一、选择题1、设的内角的对边分别为.若,,,且,则( )A.B.C.D.2、中角的对边分别是,已知,则( )A.B.C.D.3、的内角的对边分别为。
已知,则( ) A.B.C.D.二、填空题4、在中,,则___ ____.5、若中,,,,则6、设的内角,,的对边分别为,,且,,,则______.7、在中,,,则.三、解答题8、在△中,内角的对边分别为,已知(1)求的值;(2)的值.9、已知,,为的内角,、是关于方程的两个实根.1.求的大小;2.若,,求的值。
10、在中,角所对的边分别是,且。
1.证明:;2.若,求。
11、在中,内角所对的边分别为.已知.1.证明:;2.若,求的值.12、在中,内角所对的边分别为,已知1.求;2.若,求的值.13、在中,内角对对边分别为.已知,.1.求的值;2.求的值.参考答案一、选择题1.答案：B解析：由余弦定理,所以,即,解得:或,因为所以,故选B.考点：余弦定理解三角形2.答案：C解析：因为,所以由余弦定理得:,又因为,所以,因为,所以,因为,所以,故选C.3.答案：B二、填空题4.答案：或解析：试题分析:由正弦定理得:因为所以或5.答案：解析：由题意得.由正弦定理得,则,所以.6.答案：4解析：∵∵,代入值可得7.答案：1解析：由正弦定理知,所以,则,所以,所以,即.考点:解三角形【名师点睛】① 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.② 熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.三、解答题8.答案：(1)(2).解析：试题分析:(1)本小题中B=C可得b=c,又2b=a,所以b,c均能用a表示,利用余弦定理的推论可把写成关于a的关系式即可求其值;(2)本小题只需利用两角和的余弦公式把式子展开,其中用二倍角公式,因此只需求,而这两个值可由(1)题中找到或求出,但要注意角的范围.试题解析:(1)解:由,所以.(2)解:因为,所以,故,.9.答案：1.由已知,方程的判别式,所以,或。
2019届人教B版(文科数学)复数代数形式的四则运算单元测试
（测试时间：35分钟，总分：100分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足1i 1zz+=-，则||z = A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】A【解析】由题意知1i i z z +=-，所以2i 1(i 1)i i 1(i 1)(i 1)z --===++-，所以||1z =．故选A ． 2．在复平面内，复数2(13i)+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．已知复数22i 22z =+，则1i z -= A ．2i 2-B ．2iC ．2i 2D ．i【答案】C 【解析】因为22i 22z =+，所以21i 2i 1i 21i 2z +=⨯=--，故选C ．学* 4．32(1i)(1i)+=- A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --【解析】322222(1i)(1i)1i 2i(1i)(1i)1i (1i)(1i)1i 2i++++=⋅+=⋅+=----+-，故选D ． 5．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)1i z -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．1 B ．1- C ．iD ．i -【答案】D【解析】由(1i)1i z -=+可得1ii 1iz +==-，则复数z 的共轭复数为i -．故选D ．学* 6．设复数,()i a b a b +∈R 的模为3，则()()i i a b a b +-= A ．3 B ．3 C ．3-D ．3-【答案】B【解析】复数,()i a b a b +∈R 的模为223a b +=，则223a b +=，则22i i ()()3a b a b a b +-=+=，故选B ． 7．若复数z 满足42ii 1z -=-（i 为虚数单位），则下列说法错误的是 A ．复数z 的虚部为1-B ．||10z =C ．复平面内与复数z 对应的点在第二象限D ．3i z=-+【答案】C8．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线y x =-上，则z z ⋅= A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．已知复数z 满足2(34i)(12i)z +=+，则复数z 的模为 A ．1 B ．2 C ．2D ．4【答案】A【解析】由2(34i)(12i)z +=+，可得2(12i)34i (34i)(34i)724i34i 34i (34i)(34i)25z +-+-+-+====+++-，所以||z =22724()()12525+=．故选A ．学*10．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i e a 为纯虚数，则复数sin 2i1ia ++在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为i e cos isin a a a =+为纯虚数，所以cos 0a =且sin 0a ≠，所以sin 22sin cos 0a a a ==，所以sin 2i i 11i 1i 1i 22a +==+++，在复平面内对应的点为11(,)22，位于第一象限，故选A ．11．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若i 22z z z ⋅+=，则z =A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】设(i ,)z a b a b =+∈R ，则i 2(i i i )i (2)22a b a b a z b z ⋅+==+-++，所以222a b b +=，22a =，解得1a =，1b =，故1i z =+．故选A ．12．（2017新课标全国I ）设有下面四个命题：1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．将正确的答案填在题中的横线上． 13．34i||5i-=_______________． 【答案】1 【解析】2234i 3i 43i 434||||||()()15i 5555-++===+=-．故填1．学* 14．已知i 为虚数单位，复数13i1iz +=-，则复数z 的实部是_______________． 【答案】1-【解析】由题意可得13i (13i)(1i)13i i 324i12i 1i (1i)(1i)22z +++++--+=====-+--+，则复数z 的实部是1-．故填1-．15．（2017江苏）已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______________．【答案】10【解析】|||(1i)(12i)||1i ||12i |2510z =++=++=⨯=，故填10．【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -．16．（2017浙江）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=___________，ab =___________． 【答案】5 2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225a b +=，2ab =．17．（2017天津）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为_______________． 【答案】2-18．设x ∈R ，i 为虚数单位，且11i 1ix +∈+-R ，则x =_______________． 【答案】1【解析】由题意可得11i 1i x +=+-1i 1i 11i 2222()x x x -++-+=+，所以1x =． 19．若复数122i,2i(i z a z =+=+是虚数单位)，且12z z 为纯虚数，则实数a =_______________．【答案】1【解析】因为12(2i)(2i)(22)(4)i z z a a a =++=-++，其为纯虚数，所以220a -=，解得1a =． 20．已知复数i()ia z a +=∈R ，i 是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是_______________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】因为()ii i 1i ia z a a +==-+=-，所以由题意得00a a -<⇒>，故实数a 的取值范围是。
2019届人教B版(文科数学) 集合 单元测试
1．用适当的方法表示下列集合.（1）方程组2314328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集； （2）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（4）所有的正方形组成的集合．2．已知集合{}{}220,150||A x x ax b B x x cx =++==++=,{}{}3,5,3AB A B ==,求实数a ,b ,c 的值.【解析】由{}3A B =,可知 =3满足方程2150x cx ++=,即233150c ++=,解得8c =-,所以{}{}281503,5|B x x x =-+==.又{}{}3,3,5A B A B ==,所以{}3A =.由根与系数的关系易知,当{}3A =时,6,9a b =-=.故6,9,8a b c =-==-.3．已知集合A ={ | ||=b a a b+，ab ≠0，a ∈R ，b ∈R }. （1）用列举法写出集合A ；（2）若B ={ |m －1=0，m ∈R }，且B ⊆A ，求m 的值.【解析】（1）①当0,0a b >>时，2a b x a b =+=； ②当0,0a b <<时，2a b x a b--=+=-；③当0ab <时，110x =-+=．综上可知：{}0,2,2A =-．（2）①当0m =时，则B =∅，满足B A ⊆，适合题意；②当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭． B A ⊆，{}2B ∴=或B ={}2-．12m ∴=或1m =2-，解得12m =-或12. 综上可知：10,2m =-或12. 【思路点拨】（1）考查集合中的分类讨论，分0,0a b >>、0,0a b <<、0ab <三类讨论；（2）由B A ⊆可分为B =∅和B ≠∅两类讨论，进一步分0m =和0m ≠两类讨论，解得答案.4．已知集合2320{|}，A x ax x a =-+=∈R ．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．【解析】（1）若A 是空集，则∆=9−8a <0，解得98a >. （2）若A 中只有一个元素，则∆=9−8a =0或a =0，解得a =98或a =0. 当a =98时，解一元二次方程可得这个元素是43； 当a =0时，解一元一次方程可得这个元素是23. （3）由（1）（2）知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a =0. 5．已知集合A ={|2,0}x x a a -<>，集合B =22{|1}3x x x -<+. （1）若1a =，求A B ；（2）若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围.【名师点睛】（1）本题主要考查集合的运算和集合的关系，意在考查 学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力，解本题时，先化简集合A ,B ，再求A B .（2）把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()()0f x g x ≥的形式→化成不等式组()()()00g x f x g x ⎧≠⎪⎨≥⎪⎩→解不等式组得解集.解本题时，先化简集合A ,B ，再根据A ⊂≠B 得到23250a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解不等式得到实数a 的取值范围.6．设集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=.（1）若,AB B =求a 的值； （2）若A B B =,求a 的值.【解析】由2{|40}A x x x =+=得{4,0}A =-.（1）A B B =,B A ∴⊆.①若0B ∈,则210a -=,解得1a =±.当1a =时,B =A ；当1a =-时, {0}B =.②若4,B -∈则2870a a -+=,解得7a =或1a =.当7a =时, {12,4}B =--，B A ⊆不成立. ③若B =∅,则224(1)4(1)0a a ∆=+--<,解得1a <-.由①②③得1,a =或1a ≤-.（2）A B B =，.A B ⊆∴{}4,0A =-，B 中至多有两个元素,A B =∴,由（1）知,1a =.7．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（1）当3a =时，求()AB R ð． （2）若A B 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+≤=≤≤， {}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<≤．∴(){|23}A B x x x =≤>R 或ð.（2）集合{}()(){}2|0|10A x x ax x a x x a x =--+≤=--≤，{}|24B x x =<<， 若A B 中存在一个元素为自然数，则3A ∈．当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∉，不符合题意，当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则3a ≥．综上所述，实数a 的取值范围是[)3,+∞．【名师点睛】本题主要考查集合的运算，集合与元素关系，属于基础题．8．已知全集，集合，若B A =R R ð，{}|0123或B A x x x =<<<<R ð，求集合. 【解析】∵，∴{|12}＝或A x x x <>R ð.又BA =R R ð，A A =R R ð，可得.而{}|0123或B A x x x =<<<<R ð， ∴{|0123}或x x x B <<<<⊆.借助于如图的数轴：可得{|0123}{|03}或B A x x x x x =<<<<=<<. 9．设全集为R ，集合A ={ 2，2 −1，−4}，B ={ −5，1− ，9}. （1）若 =−3，求()AB R ð； （2）若{}9A B ⊆，求A ∪B ．【解析】（1）∵ =−3，∴A ={9，−7，−4}，B ={−8，4，9}，∴A ∩B ={9}，∴()A B R ð=(−∞，9)∪(9，+∞).（2）由{}9A B ⊆，知9∈A .10．设集合(){,|,}A x y y x b b ==+∈R ，集合()22{,|2}B x y x y =+=. （1）当2b =时，求A B ； （2）若A B =∅，求实数b 的取值范围.【解析】（1）当2b =时，由2222y x x y =+⎧⎨+=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩， 所以(){}1,1A B =-.（2）由222y x b x y =+⎧⎨+=⎩得：222220x bx b ++-=， 因为A B =∅，所以方程无解，所以()()2224220b b ∆=-⨯⨯-<，解得2b <-或2b >， 所以b 的取值范围为()(),22,-∞-+∞.11．设集合{1,2,3,,}n S n =⋅⋅⋅，若 是n S 的子集，把 中所有元素的和称为 的“容量”（规定空集的容量为0），若 的容量为奇（偶）数，则称 为n S 的奇（偶）子集． （1）写出S 4的所有奇子集；（2）求证：n S 的奇子集与偶子集个数相等；（3）求证：当n ≥3时，n S 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．【解析】（1）{1},{3},{1,2},{1,4},{2,3},{3,4},{1,2,4},{2,3,4}.（2）对于n S 的奇子集A ，当1A ∈时，取{1}A B =ð；当1A ∉时，取{1}B A =，则B 为n S 的偶子集. 反之，若B 为n S 的偶子集， 当1B ∈时，取{1}B A =ð； 当1B ∉时，取{1}A B =，则A 为n S 的奇子集. ！ n S 的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系，所以n S 的奇子集和偶子集的个数相等.。
2019届人教B版(文科数学) 直接证明与间接证明 单元测试
第38讲直接证明与间接证明基础热身1.[2017·莱芜一中模拟]用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0没有实数根”时,应假设()A.方程x2+ax+b=0至多有一个实根B.方程x2+ax+b=0至少有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1≤C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥03.[2017·南昌二模]已知等差数列的前n项和为S n,若S2k+1>0,则一定有()A.a k>0B.S k>0C.a k+1>0D.S k+1>04.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设≥1.其中正确说法的序号是.能力提升5.[2017·大连模拟]“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是13名.下面讲到的人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化.在这些医务人员中:①护士不少于医生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是()A.男护士B.女护士C.男医生D.女医生6.[2017·福建师大附中一模]若O为△ABC平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC为()A.钝角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形7.设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,M=sin A+sin B+sin C,N=cos A+2cos B,则()A.M<NB.M=NC.M>ND.M,N大小不确定8.[2017·武汉模拟]已知f=,a≠b,则|f-f|与|a-b|的大小关系为()A.->-B.-<-C.-=-D.不确定9.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是(填序号).①假设三个角都不大于60°;②假设三个角都大于60°;③假设三个角至多有一个大于60°;④假设三个角至多有两个大于60°.难点突破10.(5分)[2017·山西运城调研]在△ABC中,AC=5,+-=0,则BC+AB=()A.6B.7C.8D.911.(5分)[2017·北京海淀区二模]已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图K38-1所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90°,记T i(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是()A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数图K38-1课时作业(三十八)1.B[解析] 没有实根的反面为至少有一个实根,故选B.2.D[解析] 由题意,将不等式左边因式分解即可,故选D.3.C[解析] 由等差数列的前n项和公式得S2k+1==(2k+1)a k+1>0,故选C.4.②[解析] ①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2 的否定应为p+q>2,故①错误.②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于1,根据反证法的定义,可假设≥1,故②正确.5.A[解析] 设女护士、男护士、女医生、男医生人数分别为a,b,c,d,则有:①a+b≥c+d;②d>a;③a>b;④c≥1.所以d>a>b>c≥1.易知只有a=4,b=3,d=5,c=1时符合要求.又a,b,c,d中只有b 减1后仍符合要求,故说话人是男护士.故选A.6.B[解析] 由题意可得·(+)=0,即(-)·(+)=0,据此有=,即△ABC 为等腰三角形,故选B.7.C[解析] 因为A,B,C∈0,,所以A+B>,则sin A>sin-B,即sin A>cos B①,同理sinB>sin-A⇒sin B>cos A②,sin C>sin-B⇒sin C>cos B③,将不等式①②③两边相加可得M>N,故选C.8.B[解析] |f-f|=|-|==<-≤-=|a-b|,所以|f-f|<|a-b|,故选B.9.②[解析] 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,应假设命题的否定成立,而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是“三角形的三个内角都大于60°”,故答案为②.10.B[解析] 分别作∠ABC,∠BCA,∠CAB的平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,OE⊥AC,OF ⊥AB.设AF=m,BF=n,OD=OE=OF=r,则AE=m,BD=n.∵AC=5,∴CE=CD=5-m.在Rt△AOF中,tan∠BAO=,∴∠=,同理:∠=,∠=.∵+-=0,∴+-=0,∴n=1,∴AB+BC=m+n+n+5-m=2n+5=7,故选B.11.A[解析] 根据题意知(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)>0,又(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)=T1+T2+T3+T4,所以T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数,故选A.。
2019届高考数学(文)大一轮：第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。
2019届人教A版(理科数学) 解三角形问题 单元测试
1．（2017新课标全国Ⅰ文 ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C = A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )2sin sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =． 由正弦定理sin sin a c A C =得223πsin sin 4C =，即1sin 2C =， 因为c <a ，所以C<A ， 所以π6C =，故选B ． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．（2018新课标全国Ⅲ文 ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4πD ．6π【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.3．（2017新课标全国Ⅲ文 ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b =6，c =3，则A =_________. 【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得36sin 22sin 32b C Bc ⨯===，结合b c <可得45B = ，则18075A B C =--= .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.4．（2018新课标全国Ⅰ文 ）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【答案】233【1】如图，在锐角中，为边的中点，且，为外接圆的圆心，且.（1）求的值； （2）求的面积.【解析】（1）由题设知，，∴，∴，.（2）如图，延长至，使，连接，则四边形为平行四边形，∴，在中，，，，则，∴由余弦定理得，，即 ，解得，∴，∴.指点2：解三角形与其他知识的交汇1．解三角形与三角函数的交汇，不仅要用到解三角形的相关知识，还要用到三角公式进行恒等变形，对学生应用数学的思想进行分析与解决问题有较高的要求，因此是命题者非常喜欢的考查方式.2．解三角形与平面向量及不等式的交汇，往往用到向量的数量积、长度及坐标表示及基本不等式，求面积或其最值，要注意相关知识的综合应用. 【2】已知为ABC △的内角，当5π12x 时，函数取得最大值．ABC △的内角，，的对边分别为，，． （1）求； （2）若，，求ABC △的面积．【解析】（1）．由题设知5πsin 16A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，因为，所以．【3】在ABC △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()cos ,sin A A =m ,向量(2sin ,A =-n cos ),A 2+=m n .(1)求角A 的大小; (2)若42b =,且2c a =,求ABC △的面积.【解析】(1)2+m n =()()22cos 2sin sin cos A AA A +-++=()422cos sin 4A A +-=+π4cos 4A ⎛⎫+⎪⎝⎭, ππ44cos 4,cos 0,44A A ⎛⎫⎛⎫∴++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()0,πA ∈,∴ππ42A +=,则π4A =. (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,即()()222π4222422cos4a a a =+-⨯⨯, 解得42a =,∴8c =, ∴124281622ABC S =⨯⨯⨯=△.1．在ABC △中,角的对边分别为,若,且,则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为,所以.因为,且,所以由余弦定理可知,,解得,即.故选B ． 2．在ABC △中，，，则角的取值范围是A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为sin sin AB BCC A=，所以，所以，又，则必为锐角，故π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.3．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．D ．1【答案】D 【解析】因为，所以，即，所以()2221cos ,0,π22b c a A A bc +-==∈，所以，因为，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为11312sin 232a R A =⨯=⨯=，故选D ．4．已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC=__________． 【答案】325．在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+.(1)求角C ;(2)若ABC △的面积为32S c =,求ab 的最小值. 【解析】(1)由正弦定理及已知可得2sin cos 2sin sin ,C B A B =+()2sin cos 2sin sin C B B C B =++则有，2sin cos sin 0,B C B ∴+=1,sin 0,cos .2B BC ∴≠∴=-为三角形的内角2π,.3C C ∴=又为三角形的内角(2)131sin ,.222S ab C c c ab ==∴= 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又 222234a b a b ab ab ∴=++≥， 12ab ∴≥，当且仅当a b =时等号成立. 故ab 的最小值为12.。
2019届人教B版(文科数学) 不等式选讲 单元测试
专题突破训练（16）不等式选讲1．(2018·温州模拟)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，有－4a ≤x ≤2a，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 2. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|.(1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3，当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3.(2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ，即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3，解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．3. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)．(1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12， 解得x≥32或x≤12， ∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|，∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1.∴ a ≥2或a≤0.∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)．4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M.(1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t. (1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t. ∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t. 5. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0.从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.6. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy.证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy.当且仅当x ＝y 时等号成立．。
2019届人教A版(文科数学 ) 三角函数与三角形 单元测试
一、选择题1．【2018河南郑州高三二诊】已知函数()2cos22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象（ ）A. 向左平移6π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】C【点睛】三角函数图像变形：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移| φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．2．【2018北京师范大学附中高三一模】将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】由题意，，，时，，故选B ．3．【2018陕西咸阳高三一模】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,3A a π==ABC ∆面积的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】B4．【2018湖南襄阳高三一模】在ABC 中，已知2224(a b c S S +-=为ABC 的面积)，若e =则a 的取值范围是( )A. (B. ()1,0-C. (-D. ( 【答案】C 【解析】222222144sin 2a b c S a b c ab C +-=⇒+-=⨯ 2222sin 2a b c ab C ab +-=⇒sin C =，cos sin 4C C C π∴=⇒=，2sin sin sin a b cA B C====，2sin ,2sin a A b B ∴==，22sin 2sin a b A B -=- 32sin 2sin 4A B A A π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭cos 4sinA A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，304442A A ππππ<<⇒-<-<，14A π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，1a ∴-<<，故选C. 5．【2018陕西高三一模】已知函数()()sin sin 3? f x x x θ=+是奇函数，其中 02πθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，则()f x 的最大值为( )A.12B. C. 1 D.【答案】A6．【2018海南高三一模】将曲线()sin 2()2y x πϕϕ=+<向右平移6π个单位长度后得到曲线()y f x =，若函数()f x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ） A.3π B. 6π C. 3π- D. 6π- 【答案】D【解析】曲线()sin 2()2y x πϕϕ=+<向右平移6π个单位长度后得到曲线 ()sin 2x sin 263y f x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若函数()f x 的图象关于y 轴对称，()π2,32k k Z πϕπ-+=+∈，则()5πk π6k Z ϕ=+∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-. 故选D.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型. 首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x 的系数是否为1，如果x 有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.7．【2018河南商丘高三一模】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 由求增区间;由求减区间.8．【2018四川德阳高三二诊】函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】由题函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，即平移后得到的函数为奇函数，即为奇函数，对照选项可知选B.9．【2018宁夏银川高三一模】在中，角的对边分别为，已知的面积为，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C∵的面积为∴，即.∵∴，当且仅当时取等号.∴故选C.10．【2018安徽马鞍山高三一模】设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到与函数图象重合，则：，解得：，，当时，，故选C.11．【2018河北唐山高三一模】若[]0,x π∈，则函数()cos sin f x x x =-的增区间为 （ ） A. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D12．【2018重庆巴蜀中学高三3月考试】把sin y x =的图象向左平移φ个单位（φ为实数），再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到()f x 的图象，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，若()110tan 23f θπ=，则θ的可能取值为（ ）A.34π B. 512π C. 6π D. 12π【答案】A【解析】由题意可得()()sin 2f x x ϕ=+， ∵()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈恒成立， ∴6f π⎛⎫⎪⎝⎭是最大值或最小值，∴2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，故,6k k Z πϕπ=+∈．又()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭， ∴()sin 2sin 22πϕπϕ⎛⎫⨯+>+ ⎪⎝⎭，即sin sin ϕϕ->， ∴sin 0ϕ<，∴当1k =-时， 56πϕ=-符合题意． ∴()5sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．13．【2018河北邯郸高三一模】若仅存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线C ： sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A. 17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 410,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】34100,,26626226233x x πππωπππωπππωω⎛⎫⎛⎫∈∴-∈--∴<-≤∴<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选D.【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T πω=(3)由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间 14．【2018安徽安庆高三一模】在锐角ABC ∆中， 2A B =，则ABAC的取值范围是（ ）A. ()1,3-B. ()1,3C.D. ()1,2【答案】D15．【2018安徽合肥高三一模】已知点I 在ABC ∆内部， AI 平分BAC ∠，12IBC ACI BAC ∠=∠=∠，对满足上述条件的所有ABC ∆，下列说法正确的是（ ）A. ABC ∆的三边长一定成等差数列B. ABC ∆的三边长一定成等比数列C. ABI ∆， ACI ∆， CBI ∆的面积一定成等差数列D. ABI ∆， ACI ∆， CBI ∆的面积一定成等比数列 【答案】B【解析】设,,IBC ACI BAI CAI IA IC m IB n θ∠=∠=∠=∠====．在IAC ∆中，可得2cos bm θ=．在,,ABI BCI ABC ∆∆∆中，分别由余弦定理得2222cos n c m cm θ=+-，① 2222cos m a n an θ=+-，② 2222cos2a b c bc θ=+-．③由①+②整理得()222cos cm an a c θ+=+，∴222cos a c cm an θ++=，将2cos bm θ=代入上式可得222cos a c bc n a θ+-=．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量,m n ，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量,m n 的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．16．【2018湖南郴州高三一模】函数()()sin f x A x ωϕ=+ (其中0A >， 2πϕ<)的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象（ ）可得()sin 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象A. 向右平移12π个长度单位 B. 向左平移24π个长度单位 C. 向左平移12π个长度单位 D. 向右平移24π个长度单位【答案】D17．【2018云南昆明高三一模】若直线(01)x a a π=<<与函数tan y x =的图像无公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为（ ）A. {|,}62x k x k k Z ππππ+≤<+∈ B. {|,}42x k x k k Z ππππ+≤<+∈ C. {|,}32x k x k k Z ππππ+≤<+∈ D. {|,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈【答案】B【解析】由题意得直线是正切的函数的渐近线，所以2x π=， tan 1x ≥，所以,42k x k k z ππππ+≤<+∈，选B.18．【2018河南安阳高三一模】将3sin4y x =的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移3个单位长度得到()y f x =的图象，若()f m a =，则3f m π⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A. a - B. 3a -- C. 3a -+ D. 6a -- 【答案】D 【解析】因为()][3sin 433sin 43123f x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3sin 433m a π⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，因此3f m π⎛⎫-=⎪⎝⎭ ][53sin 433sin 4333633m m a a ππ⎡⎤--=-+-=---=--⎢⎥⎣⎦，选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 19．【2018四川高三春季诊断】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递减，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】D二、填空题20．【2018陕西高三一模】在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin 1sin sin b Cb ac A B==-++,且5,5b AC AB ==,则ABC 的面积是__________．【解析】在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin 1sin sin b Cb ac A B==-++， 所以1b ca c ab -++＝ ，化简可得： 222b a bc c =+-，可得10,23cosA A A ππ=<<∴=，．又5,5b AC AB == ,cos 510,bc A bc ∴=∴=，111022S bcsinA ==⨯=. 21．【2018江西高三质监】设函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b R ∈，， 0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则函数()f x 的单调递增区间是__________．【答案】()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦22．【2018上海普陀高三一模】在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan bc a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π【解析】由()222tan b c a A bc +-=，两边同除以2bc 得2221tan 22b c a A bc +-=，由余弦定理可得cos tan A A ⋅= 11sin ,2A A ⇒=是锐角， 6A π∴=，故答案为6π.23．【2018四川德阳高三二诊】已知中，角、、所对的边分别是、、且，，有以下四个命题：①的面积的最大值为40；②满足条件的不可能是直角三角形； ③当时，的周长为15；④当时，若为的内心，则的面积为.其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的番号）． 【答案】③④【解析】①由题，，由余弦定理得：当且仅当即取等号，此时．的面积的最大值为24；不正确②由题，假设是直角三角形，则解得故可能是直角三角形；②不正确24．【2018河北保定高三一模】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， 6b =，且22cosB ac a b =-，O为ABC∆内一点，且满足00,30OA OB OC BAO ++=∠=，则OA =__________．【答案】3【解析】因为22cosB ac a b =-+，所以()2222222212a c b a b b c a +-=-∴+-=2223cos sin 24b c a A A bc +-∴==∴=因为0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 重心，设AC 中点为M ，则B,O,M 三点共线，由面积关系得011sin302223133sin 324AOBAMBAB AO AOS BO AO S BM AB AM A ∆∆⨯⨯==∴=∴=⨯⨯⨯25．【2018云南昆明高三一模】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =， 3c =，且cos cos a bA B=，则ABC 的面积等于__________．【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．26．【2018江西上饶高三一模】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,a b a c >>, ABC ∆的外接圆半径为1， a =若边BC 上一点D 满足3BD DC =，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为 __________．【解析】∵△ABC 的外接圆半径R 为1， a = ∴由正弦定理22sin aR A==，可得：27．【2018陕西榆林高三一模】在中，角，，的对边分别是，，，，若，则的周长为__________．【答案】【解析】 由题意，所以，且由余弦定理，得，所以所以的周长为.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.28．【2018新疆乌鲁木齐高三二诊】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,2,a b c 成等比数列， 222a b c bc =+-，则sin b Bc的值为__________．三、解答题29．【2018广东惠州高三4月模拟】已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角A , B , C 的对边，且cos 1sin A C+=. （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=,且△ABC ,求a 的值.【答案】(1) 60A =︒;(2) a =.试题解析：（1）由正弦定理得： cos 1sin A C+=∵sin 0C ≠cos 1A A -= ，即()1sin 302A -︒=. ∵0180A ︒<<︒∴3030150A -︒<-︒<︒ ∴3030A -︒=︒∴60A =︒.（2）由： ABC S ∆=可得1sin 2S bc A ==.∴4bc = ∵5b c +=∴由余弦定理得： ()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=∴a =30．【2018河南郴州高三一模】ABC 内接于半径为R 的圆， ,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且()()222R sin sin b c sin ,3B A C c -=-=.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若AD 是BC 边上的中线， AD =，求ABC 的面积.【答案】（Ⅰ）60A =︒；(Ⅱ. 【解析】试题分析：（1）统一边，转化为角A 的余弦定理，可求得角A.(2)由于AD 是BC 边上的中线，所以以,AB AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在ABE 中，120ABE AE ∠=︒=，求得AC,可求得面积。
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一、 选择题：1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°B 解析：由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C 解析：由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形D 解析：根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.学4．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．45．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．12B ．14C ．1D ．2A 解析：因为cos 2A ＝sin A ，所以1－2sin 2A ＝sin A ，则sin A ＝12(舍负)，则△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×2×12＝12，故选A ．6．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.7．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B．3a kmC．2a km D．2a kmB解析：在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝3A．8．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5 6 m B．15 3 mC．5 2 m D．15 6 m9．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为 ( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/hB 解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.10．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，π6 B ．⎣⎡⎭⎫π6，π C ．⎝⎛⎦⎤0，π3 D ．⎣⎡⎭⎫π3，π11．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2AA 解析：∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ， ∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C >0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b . 故选A ．12．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，π2B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 C ．⎝⎛⎭⎫π6，π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D 解析：由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，∵0＜A ＜π，∴0＜A ＜π2.又a 为最大边，∴A ＞π3.因此角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2. 二、填空题：13．如图所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB＝32，AD ＝3，则BD 的长为 ．14．(2017·全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝ .π6解析：因为a ＝2，c ＝2， 所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C，故sin A ＝2sin C ． 又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0， 则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝ .16．如图3-8-16，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.150 解析：根据题图，AC ＝100 2 m. 在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．学 三、 解答题：17. 如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求A ． [解] (1)∵2a cos C －c ＝2b ，∴由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B ， 2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ， ∴－sin C ＝2cos A sin C ． ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.18．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C ． 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.19．如图，航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s ，某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)[解] 如图，作CD 垂直直线AB 于点D ，20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．21．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A ＋tan C ＝3(tan A tan C －1)．(1)求角B ；(2)如果b ＝2，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)∵tan A ＋tan C ＝3(tan A tan C －1)， 即tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－3，∴tan(A ＋C )＝－3，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴tan B ＝3， ∵B 为三角形内角，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴a 2＋c 2＝ac ＋4，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时，等号成立，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B≤12×4×32＝3， ∴△ABC 面积的最大值为 3.22．“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心，如图3-8-17(记为B ，C ，D )．当返回舱在距地面1万米的P 点时(假定以后垂直下落，并在A 点着陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向.(1)求B ，C 两救援中心间的距离； (2)求D 救援中心与着陆点A 间的距离．[解] (1)由题意知P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，则△P AC ，△P AB 均为直角三角形． 在Rt △P AC 中，P A ＝1，∠PCA ＝60°，解得AC ＝33，在Rt △P AB 中，P A ＝1，∠PBA ＝30°，解得AB ＝3，又∠CAB ＝90°，BC ＝AC 2＋AB 2＝303万米．。