北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷数 学2023.1（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集|0}{U x x =>，集合{|12}A x x =<<，则UA =（A ）(,1][2,)-∞+∞ （B ）(0,1][2,)+∞ （C ）(,1)(2,)-∞+∞（D ）(0,1)(2,)+∞（2）在复平面内，复数(1i)(i)a +-对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(1,)+∞ （3）函数223,0,()e 2,0x x x x f x x ⎧+-⎪=⎨->⎪⎩≤的零点的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（4）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为60︒，则双曲线的离心率为（A ）52（B ）233（C ）3 （D ）2（5）在ABC △中，“sin2sin2A B =”是“ABC △为等腰三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）过直线2y kx =-上任意一点，总存在直线与圆221x y +=相切，则k 的最大值为（A ）3 （B ）2 （C ） 1 （D ）33（7）已知函数()sin()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><，，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（A ）π3-（B ）π6-第（7）题（C ） π6 （D ）π3（8）2022年10月31日，长征五号B 遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料的质量M （单位：t ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：t ）的关系满足2000ln(1)Mv m=+， M ,m ,v 之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（A ）当3M =，800m =时，7.9v > （B ）当2M =，600m <时，7.9v < （C ）当5M >，800m =时，11.2v > （D ）当3M >，600m >时，11.2v >（9）已知A ,B ,C 是单位圆上不同的三点，AB AC =，则AB AC ⋅的最小值为（A ）0（B ）14- （C ）12-（D ）1-（10）在数列{}n a 中，11a =，211()n na ka n *+=+∈N ，若存在常数c ，对任意的n *∈N ，都有n a c <成立，则正数k 的最大值为（A ）15（B ）14 （C ）13（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。

（11）在41(2)x x+的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）（12）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，14a =，且1a ,3a ,4a 成等比数列，则n a = ；其前n 项和n S 的最大值为 ．（13）若函数()cos sin f x x x =-在区间[0,]a 上单调递减，则实数a 的最大值为 ．（14）抛物线C :2y x =的准线l 的方程为 ．若点P 是抛物线C 上的动点，l 与y 轴交于点A ，则OAP ∠(O 是坐标原点)的最大值为 ．（15）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ,Q 分别为1AC ,11A B 的中点，点T 在正方体的表面上运动，满足PT BQ ⊥. 给出下列四个结论：① 点T 可以是棱1DD 的中点；第（8）题② 线段PT 长度的最小值为12a ；③ 点T 的轨迹是矩形；④ 点T 的轨迹围成的多边形的面积为252a . 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）在ABC △中，sin 3cos c B b C =． （Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若6a b +=，求c 的最小值．（17）（本小题13分）跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军．为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94； 高三（2）班：137，126，116，108； 高三（3）班：163，134，112，103；高三（4）班：158，132，130，127，110，106．假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立． （Ⅰ）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；（Ⅱ）用X 表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X 的数学期望EX ； （Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）第（15）题如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4AB =，PA PD =，E ,F 分别为BC ,PD 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAB ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角F BE A --的余弦值． 条件①：PD EF ⊥； 条件②：23PD EF =． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点(2,0)A ，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，AOP △面积的最大值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）过点(1,0)H -的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，直线AP ,AQ 分别与y 轴相交于点E ,F ．当||2EF =时，求直线PH 的方程．（20）（本小题15分）已知函数ln ()(0)xf x a ax=>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1()f x x a-≤对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若211212ln ln 0()x x x x x x +=≠，证明：122x x +>．已知无穷数列{}n a 的各项均为正数，当4n ≤时，44n a a n ≤；当4n >时，11223311{,,,,}max n n n n n a a a a a a a a a ----=++++，其中231max{,,,,}s x x x x 表示123,,,,s x x x x 这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若数列{}n a 的前4项为1,2,2,4，写出5a ,6a ,7a ,8a 的值； （Ⅱ）证明：对任意的n *∈N ，均有44n a a n ≤； （Ⅲ）证明：存在正整数N ，当n N >时，44n n a a a -=+．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）A（7）B（8）C（9）C （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ）24（12）5n - 10 （13）34π （14）14y =- 4π（15）②③④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为sin cos c B C =，所以sin sin cos C B B C =． 又因为(0,π)B ∈，所以sin 0B ≠．所以tan C =． 又因为(0,)C ∈π， 所以π3C ∠=． （Ⅱ）因为6a b +=，π3C ∠=， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得22π()22cos 3633c a b ab ab ab =+--=-． 因为2()92a b ab +=≤，当且仅当3a b ==时等号成立， 所以29c ≥，解得3c ≥． 所以c 的最小值为3．（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件1A 为“高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”．根据题中数据，高三（1）班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次． 所以1()P A 估计为51102=． （Ⅱ）设事件k A 为“高三（k ）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，1,2,3,4k =． 根据题中数据，2()P A 估计为2142=，3()P A 估计为2142=，4()P A 估计为4263=． 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且12341234(0)()()()()()P X P A A A A P A P A P A P A ===；1234123412341234(1)()()()()P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++12341234()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A =+12341234()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A ++；1234123412341234(3)()()()()P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++12341234()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A =+ 12341234()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A ++；12341234(4)()()()()()P X P A A A A P A P A P A P A ===；(2)1(0)(1)(3)(4)P X P X P X P X P X ==-=-=-=-=．所以，(0)P X =估计为124；(1)P X =估计为524；(3)P X =估计为724； (4)P X =估计为112；(2)P X =估计为38． 所以EX 估计为153715182181301234242482412246+++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． （Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大． （18）（本小题14分）解：（Ⅰ）取PA 的中点K ,连接KF ,KB .因为K ,F 分别是PA ,PD 的中点, 所以//KF AD 且12KF AD =. 又//BE AD 且12BE AD =， 所以//KF BE 且KF BE =.故四边形BEFK 为平行四边形. 所以//EF BK .又因为EF ⊄平面PAB ，BK ⊂平面PAB ， 所以//EF 平面PAB .（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OP ,OE .在PAD △中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥. 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD . 故OP OA ⊥,OP OE ⊥.又在正方形ABCD 中，OE OA ⊥ , 所以OA ,OE ,OP 两两垂直. 如图建立空间直角坐标O xyz -， 设(0,0,2)(0)P t t >，则(0,0,0)O ,(2,4,0)B ,(2,0,0)D -,(0,4,0)E ,(1,0,)F t -. 所以(2,0,0)EB =，(1,4,)EF t =--， (2,0,2)DP t =. 设平面BEF 的法向量为000(,,)x y z =n ，则0,0,EB EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即000020,40.x x y tz =⎧⎨--+=⎩令0y t =，则00x =,04z =．于是(0,,4)t =n ． 又因为平面ABE 的一个法向量为(0,0,1)=m ， 所以24cos ,||||16t ⋅〈〉==+m n m n m n ．选择条件①：PD EF ⊥． 则0EF DP ⋅=，即2220t -+=． 又0t >，所以1t =． 此时417cos ,17〈〉=m n ． 由题知二面角F BE A --为锐角，所以其余弦值为41717． 选择条件②：23PD EF =． 则22222322214t t +=-+-+（）（）（），得21t =．此时417cos ,17〈〉=m n ． 由题知二面角F BE A --为锐角，所以其余弦值为41717． （19）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为AOP △面积的最大值为12ab ，所以112ab =．又因为2a =，222c a b =-，所以1b =，3c =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为32．（Ⅱ）① 当直线PH 的斜率不存在时，直线PH 的方程为1x =-．显然APQ △∽AEF △．因为||PQ =2||||23EF PQ ==≠．不合题意． ② 当直线PH 的斜率存在时，设直线PH 的方程为(1)y k x =+． 由22(1),44y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(14)8(44)0k x k x k +++-=． 显然0∆>．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，且12x ≠±，则2122814k x x k +=-+，21224414k x x k -=+．直线AP 的方程为11(2)2y y x x =--． 令0x =，得点E 的纵坐标1122E y y x -=-，则112(0,)2y E x --． 直线AQ 的方程为22(2)2y y x x =--． 同理可得222(0,)2y F x --． 所以122112121222(2)(2)||||2||22(2)(2)y y y x y x EF x x x x -----=-=---- 211212(1)(2)(1)(2)2||(2)(2)k x x k x x x x +--+-=--1212126||||22()4x x k x x x x -=⋅=-++．所以1212123|||||2()4|k x x x x x x ⋅-=-++．即121232()4x x x x =-++．可得22224483||24|1414k k k k k -+⨯+++．化简得22363||14k k k =+．解得k =． 所以直线PH的方程为10x +=或10x ++=．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．由ln ()x f x ax =得21ln ()x f x ax -'=． 令()0f x '=得e x =．因为0a >，所以当(0,e)x ∈时，()0f x '>；当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．（Ⅱ）由0a >，依题意，2ln 0x ax x -+≤在(0,)x ∈+∞上恒成立．设2()ln g x x ax x =-+，则2121()21ax x g x ax x x -++'=-+=．令()0g x '=，得10x <（舍），20x =>．当2(0,)x x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在2(0,)x 上单调递增； 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在2(,)x +∞上单调递减． 故2max 2222()()ln g x g x x ax x ==-+．又由2()0g x '=得22212x ax +=． 所以22222211()ln ln 22x x g x x x x +-=-+=+． 依题意需max ()0g x ≤，即221ln 02x x -+≤． 设1()ln 2t h t t -=+，则易知()h t 在(0,)+∞为增函数． 又(1)0h =，所以对任意的(0,1]t ∈，有()0h t ≤；对任意的(1,)t ∈+∞，有()0h t >． 所以201x <≤，即01，解得1a ≥． 所以a 的取值范围为[1,)+∞． （Ⅲ）由211212ln ln 0()x x x x x x +=≠得1212ln ln 0x x x x +=，且11x ≠,21x ≠． 由（Ⅱ）知，当1a =时，ln 1xx x-≤，当且仅当1x =时取等号． 所以111ln 1x x x <-，222ln 1x x x <-． 两式相加得122112ln ln 2x x x x x x +<+-，即1220x x +->． 故122x x +>．（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）55a =，66a =，77a =，88a =．（Ⅱ）对任意4n >，存在{1,2,,1}i n -∈，使得n i n i a a a -=+．若4i >或4n i ->，则i a 或n i a -又可以写成数列中某两项的和，如1212()i i i a a a i i i =++=．11依此类推，存在12,,,{1,2,3,4}k j j j ∈，使得12k n j j j a a a a =+++，其中12k j j j n +++=．所以存在1234,,,p p p p ∈N ，使得11223344n a p a p a p a p a =+++， 且1234234p p p p n +++=． 设44a t =，则当4n ≤时，n a nt ≤． 当4n >时，112233441234234n a p a p a p a p a p t p t p t p t =++++⋅+⋅+⋅≤ 1234(234)p p p p t nt =+++=． 所以，对任意n *∈N ，均有n a nt ≤，即44n a a n ≤． （Ⅲ）令n n b nt a =-，其中44a t =．由（Ⅱ）知0n b ≥，40b =. 由4(1)44(1)4[4(1)][(4)]i k i k i k i k b b i k t a i k t a ++++++-=++--+-4(1)4444(1)4()0i k i k i k i k t a a a a a ++++++=-+=+-≤，得44(1)i k i k b b +++≥．所以，当1,2,3,4i =时，480i i i b b b ++≥≥≥≥.由（Ⅱ）知123411223344(234)()n b p p p p t p a p a p a p a =+++-+++11223344()(2)(3)(4)p t a p t a p t a p t a =-+-+-+- 11223344p b p b p b p b =+++.若12340b b b b ====，则0n b =．此时n a nt =，当4n >时，44n n a a a -=+. 若123,,b b b 不全为0，设123max{,,}M b b b =，m 为123,,b b b 中最小的正数，则n b M ≤． 当某个0i b >时，必有i M p m ≤．否则i M p m >，则n i i M b p b m M m>⋅=≥. 设不超过Mm的最大整数为0N ， 则11223344p b p b p b p b +++能表示的不同值的个数不超过40(1)N +． 所以，对每一个1,2,3,4i =，48,,,i i i b b b ++只能取有限多个值.所以存在0k *∈N ，当0,p k p *∈N ≥时，4i p b +为常数．令044N k =+，则当n N >时，4n n b b +=，即4(4)n n n t a nt a ++-=-． 故44n n a a a -=+．。