高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
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第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程
一、学习任务 1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，了解直线的倾斜角的 范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率． 2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 3. 掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式及一般式）的特点与适用范围，能根据 问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系． 4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想，能用解方程 组的方法求两直线的交点坐标． 5. 理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用；会求两条平行直线间的 距离． 二、知识清单
因为 0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ，结合图形可知，需按 α 和 135 ∘ 的大小分成两类． 已知直线经过点 A(−a, 6)，B(1, 3a)，且斜率为 12，求 a 的值． 解：由题意得
3a − 6 = 12 ，所以 3a − 6 = 12 + 12a，解得 a = −2 ． 1+a
求证：A(1, 5)、B(0, 2)、C (2, 8) 三点共线． 证明：利用斜率公式计算出 AB 和 AC 两条直线的斜率．
（2）求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围． 解：如下图：
4−0 2−0 = −1 ，kAQ = = 1． −3 − 1 3−1 （1）要使直线 l 与线段 P Q 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k ≤ −1 或 k ≥ 1． （2）由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 P A 与 AQ 的倾斜角之间，又 P A 的倾斜角是 135 ∘ ，QA 的倾斜角是 45∘ ，所以 α 的取值范围是 45∘ ≤ α ≤ 135 ∘ ．
y − y1 x − x1 ，这是经过两点P (x1 , y 1 ) ，P (x2 ，y 2 )（其中x1 ≠ x2 ， = − y2 y1 x2 − x1
例题： 已知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围为 45∘ < α < 135 ∘ ，则其斜率的取值范围是 ． − − − − − − 解：(−∞, −1) ∪ (1, +∞)． 设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45∘ ，得到直 线 l 1 ，那么 l 1 的倾斜角为（ ） ∘ ∘ A．α + 45 B．α − 135 C．135 ∘ − α D．当 0 ∘ ≤ α < 135 ∘ 时，倾斜角为 α + 45∘ ；当 135 ∘ ≤ α < 180 ∘ 时，倾斜角为 α − 135 ∘ ． 解：D 根据题意，画出图形，如下图所示．
有斜率，它的方程不能用点斜式表示． 斜截式：如果直线 l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0, b)，代入直线的点斜式方程得 y − b = k(x − 0)，即y = kx + b，我们把直线 l 与y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做直线 l 在y 轴上 的截距（intercept）．此方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（slope intercept form）．当直线 l 的倾斜角为90∘ 时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示． 两点式：
y x + = 1 表示 a b
根据下列条件，分别写出直线的方程：
√3 ，与 x 轴交点的横坐标为 −7； 2 （2）过点 P (−1, 2) 且与 x 轴有相同斜率； （3）过点 A(−5, 0) 和点 C (0, 2) ； （4）过点 P (2, 3) ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
（1）斜率为 解：（1）由直线与 x 轴交点的横坐标为 −7，得直线过点 (−7, 0) ，又斜率为 方程为 y − 0 =
直线斜率 直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope）．斜率常用小写字母k 表示，即k = tan α． 倾斜角是90∘ 的直线没有斜率．我们得到经过两点P1 (x1 , y 1 )，P2 (x2 , y 2 )(x1 ≠ x2 ) 的直线斜率 公式k = 直线的方程 点斜式：直线 l 经过点P0 (x 0 , y 0 )，且斜率为k ，设点P (x, y) 是直线 l 上不同于点P0 的任意一
√3 [x − (−7)]，整理得 2 √3 x − 2y + 7√3 = 0.
√3 ，所以直线 2
（2）因为 x 轴的斜率为 0 ，而直线与 x 轴有相同的斜率，所以它的斜率 k = 0，故直线方程 为 y − 2 = 0 × [x − (−1)]，即
y − 2 = 0. y−0 x − (−5) ，整理得 = 2−0 0 − (−5)
0 ( 0 , y0 )
y 1 ≠ y 2 ）的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）． y x 截距式： + = 1 ，a ，b 分别是直线在x轴，y 轴上的截距，我们把此方程称之为直线的截距 a b
式方程，简称截距式． 一般式：我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax + By + C = 0（其中A ，B 不同时为0 ）叫做直线 的一般式方程，简称一般式（general form）．
5−2 8−5 = 3 ，kAC = = 3． 1−0 2−1 因为 kAB = kAC ，又过同一点 A ，所以 A 、B 、C 三点共线． kAB =
已知两点 P (−3, 4) ，Q(3, 2)，过点 A(1, 0) 的直线 l 与线段 P Q 有公共点． （1）求直线 l 的斜率 k 的取值范围；
由题意可知 kPA = 给出下列四个命题： ①一条直线必是某个一次函数的图象． ②一次函数 y = kx + b 的图像必是一条不过原点的直线． ③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程． ④以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线． 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：A 对于①，一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，但任意一条直线不一定是某个一次函数的图 像，如直线 x = 2 不是一次函数的图象，故不正确； 对于②，函数 y = kx + b，当 b = 0 时，直线过原点，故不正确； 对于③④，方程是直线的方程和直线是方程的直线应该满足两条：以一个方程的解为坐标的点都 是这条直线上的点，反过来，这条直线上所有点的坐标都是方程的解，这两个条件缺一不可，如 第一、三象限角平分线上的点都是方程 (x + y)(x − y) = 0 的解，但是此方程不是第一、三象限 角平分线的方程，又如以方程 y = x + 1(x ≥ 0) 的解为坐标的点都在直线 y = x + 1 上，但方 程 y = x + 1(x ≥ 0) 不是直线 y = x + 1 的方程，故不正确． 下列命题中的真命题是（ ） A．过定点 P0 (x 0 , y 0 ) 的直线都可用方程 y − y 0 = k(x − x0 ) 表示 B．过定点 A(0, b) 的直线都可用方程 y = kx + b 表示 C．过任意两个点 P1 (x 1 , y 1 )、P2 (x2 , y 2 ) 的直线都可用方程 (y − y 1 )(x2 − x1 ) = (x − x1 )(y 2 − y 1 ) 表示 D．不过原点的直线都可用方程 解：C 点斜式方程、斜截式方程不能表示斜率不存在的直线，故A、B错，截距式方程除了不能表示过原 点的直线之外，还不能表示与坐标轴平行的直线，故D错． 直线 ax + by + c = 0 经过第一、二、四象限，则 a 、b 、c 应满足（ ） A．ab > 0 ，bc < 0 B．ab < 0 ，bc > 0 C．ab > 0 ，bc > 0 D． ab < 0 ，bc < 0 解：A 直线经过第一、二、四象限，则直线的斜率小于零，纵截距大于零，所以 ab > 0 ，bc < 0 ．
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
人教A版高中数学二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.3~2.1.4 含答案
2。
1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。
掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：（1）直线在平面内；(2)直线与平面相交；（3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系（1）直线l在平面α内(l⊂α)．（2）直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线）类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b,所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确,故答案为B。
反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形．跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面)：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b,b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD,故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交,故②错误；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示；C中当a∥α,a∥β时，α与β可能相交，如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2已知两平面α、β平行，且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3（1）画出两平行平面；（2)画出两相交平面．解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示;第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画),如图e 所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．解如图所示（不唯一)．1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A．a⊄α，a∩α＝A,a∥αB．a∉α，a∩α＝A，a∥αC．a⊂α，a∩α＝A，a∥αD．a∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”，故选C.2．如图所示，用符号语言可表示为(）A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β,l⊂α答案D3．若直线l不平行于平面α,且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．5．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B 与正方体六个面所在平面的关系．解根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断,要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱"之称．课时作业一、选择题1．已知直线a在平面α外，则（)A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D。
北师大版高中数学必修二同步练习题 第2章向量的数乘运算 向量的数乘与向量共线的关系(含答案)
3.1 向量的数乘运算3.2 向量的数乘与向量共线的关系必备知识基础练1.已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-47AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =k CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,则k=( ) A.-43 B.34C.43D.-342.已知△ABC 的重心为O ,则向量BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ 3.(多选)已知实数m ,n 和向量a ,b ,下列说法中正确的是( ) A.m (a -b )=m a -m b B.(m-n )a =m a -n a C.若m a =m b ,则a =b D.若m a =n a (a ≠0),则m=n4.下列各组向量中,一定能推出a ∥b 的是( ) ①a =-3e ,b =2e ; ②a =e 1-e 2,b =e 1+e 22-e 1;③a =e 1-e 2,b =e 1+e 2+e 1+e 22.A.①B.①②C.②③D.①②③5.在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t 的值为( )A.13 B.23C.12D.536.13(2a -3b )-3(a +b )= .7.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD=12AB ,BE=23BC.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ,b 表示)8.在△ABC 中,4OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 关键能力提升练9.如图,已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,过点O 的直线与AB ,AD 所在直线分别交于点M ,N ,满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),若mn=12,则mn 的值为( )A.23 B.45C.67D.8910.(多选)若点D ,E ,F 分别为△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则下列结论正确的是( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a -bB.BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +12bC.CF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a +12bD.EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 11.已知a ,b 是不共线的向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +2b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +(λ-1)b ,且A ,B ,C 三点共线,则实数λ的值为( ) A.-1 B.2C.-2或1D.-1或212.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a -b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a -3b ,则四边形ABCD 的形状是 .13.已知两个非零向量a ,b 不共线.(1)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +8b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a -b ),求证:A ,B ,D 三点共线; (2)求实数k 使k a +b 与2a +k b 共线.学科素养创新练14.过△ABC 的重心G 任作一直线分别交AB ,AC 于点D ,E ,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且xy ≠0,试求1x +1y 的值. 答案1.B CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-47AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-47(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-47AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −47CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =47CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +47BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以37CA⃗⃗⃗⃗⃗ =47BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,故k=34.故选B . 2.C 设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点,由于O 是三角形ABC 的重心,所以BO⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C .3.ABD 根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;当m=0时,m a =m b =0,但a 与b 不一定相等,故C 错误;由m a =n a ,得(m-n )a =0,因为a ≠0,所以m=n ,故D 正确.故选ABD .4.B ①中,a =-32b ,所以a ∥b ; ②中,b =e 1+e 22-e 1=e 2-e 12=-12a ,所以a ∥b ;③中,b =3e 1+3e 22=32(e 1+e 2),若e 1与e 2共线,则a 与b 共线,若e 1与e 2不共线,则a 与b 不共线. 故选B .5.A ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-t )CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴t=13.6.-73a -4b 13(2a -3b )-3(a +b )=23a -b -3a -3b =-73a -4b .7.-16a +23b DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-16a +23b . 8.4 由题意得3(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如简图,所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,即λ=4.9.D 因为AO⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0), 故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为O ,M ,N 三点共线,所以m 2+12n=1,即m+1n=2.由{mn =12,m +1n =2,解得{m =23,n =34.m n =23×43=89.故选D .10.ABC 如图,在△ABC 中,AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b -12a ,故A 正确;BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +12b ,故B 正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b -a ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +12×(-b -a )=-12a +12b ,故C 正确;EF⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a ,故D 不正确.故选ABC . 11.D 因为A ,B ,C 三点共线, 所以存在唯一一个实数k 使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +2b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +(λ-1)b , 所以λa +2b =k [a +(λ-1)b ]. 因为a 与b 不共线,所以{λ=k ,2=k (λ-1),解得λ=2或λ=-1.12.梯形 因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +2b )+(-4a -b )+(-5a -3b )=-8a -2b =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ∥BC ,且AD=2BC.所以四边形ABCD 是梯形.13.(1)证明因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +8b +3a -3b =5a +5b =5(a +b )=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,且有公共点B ,所以A ,B ,D 三点共线.(2)解因为k a +b 与2a +k b 共线, 所以存在实数λ,使k a +b =λ(2a +k b ). 所以(k-2λ)a +(1-λk )b =0, 所以{k -2λ=0,1-λk =0,解得k=±√2.14.解如图,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2312(a+b )=13(a+b ).∴GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -13)a -13b , ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a -y b . ∵GD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,∴存在实数λ,使GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λE D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x -13)a -13b =x λa -y λb , ∴{x -13=λx ,13=λy ,。
人教版高中数学必修第二册10.1.2 事件的关系和运算 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册10.1.2事件的关系和运算同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.事件A与事件B的关系如图L10-1-1所示,则()图L10-1-1A.A⊆BB.A⊇BC.A与B互斥D.A与B互为对立事件2.从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是()A.{2,4}B.{4,6}C.{4,8}D.{2,8}3.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A=“出现的点数是1或2”,事件B=“出现的点数是2或3或4”,则事件“出现的点数是2”可以记为()A.A∪BB.A∩BC.A⊆BD.A=B4.已知事件M=“3粒种子全部发芽”,事件N=“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N()A.是互斥且对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.是对立事件5.一个人连续射击三次,则事件“至少击中两次”的对立事件是()A.恰有一次击中B.三次都没击中C.三次都击中D.至多击中一次6.一批产品共有100件,其中有5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A=“恰有一件次品”;事件B=“至少有两件次品”;事件C=“至少有一件次品”;事件D=“至多有一件次品”.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①③D.②③7.同时抛掷两枚硬币,记“向上的一面都是正面”为事件M,“至少有一枚硬币向上的一面是正面”为事件N,则有()A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M<N8.将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是()A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,则事件“至少有1件是次品”的互斥事件是.10.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,给出下列各组事件:①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”;②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”;④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”.上述各组事件中,是对立事件的是.11.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是.①A与C互斥;②B与C互斥;③任何两个事件均互斥;④任何两个事件均不互斥.12.某市有甲、乙两种报纸供市民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.下列说法正确的是.①A与C是互斥事件;②B与E是互斥事件,且是对立事件;③B与C不是互斥事件;④C与E是互斥事件.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”,试用A,B,C 的运算表示下列随机事件:(1)甲未中靶;(2)甲中靶而乙未中靶;(3)三人中只有丙未中靶;(4)三人中至少有一人中靶;(5)三人中恰有两人中靶.14.(10分)如图L10-1-2,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件;(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件 ∩ ,并说明它们的含义及关系.图L10-1-215.(5分)2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件,也不是对立事件16.(15分)某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购.记事件A为“只买甲产品”,事件B 为“至少买一种产品”,事件C为“至多买一种产品”,事件D为“不买甲产品”,事件E为“一种产品也不买”,事件F为“只买乙产品”.判断下列事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E;(6)A与F.参考答案与解析1.C[解析]由题图知,事件A与事件B不能同时发生,且A∪B≠Ω,因此A与B互斥而不对立,故选C.2.C[解析]{2,4,8}∩{4,6,8}={4,8},故选C.3.B[解析]由题意可得A={1,2},B={2,3,4},∴A∪B={1,2,3,4},A∩B={2}.故选B.4.C[解析]事件M与事件N在任何一次试验中都不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M=“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,该事件包括“1粒种子不发芽”“2粒种子不发芽”“3粒种子都不发芽”,故事件M和事件N不对立,故事件M 和事件N是互斥但不对立事件,故选C.5.D[解析]根据题意,一个人连续射击三次,事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件,其对立事件为“至多击中一次”,包括“三次都没有击中”和“击中一次”两个事件,故选D.6.A[解析]由题知事件A∪B=“至少有一件次品”,即事件C,所以①中结论正确;A∩B=⌀,③中结论不正确;事件D∪B=“至少有两件次品或至多有一件次品”,该事件包含了样本空间中所有的样本点,所以②中结论正确;事件A∩D=“恰有一件次品”,即事件A,所以④中结论不正确.故选A.7.A[解析]事件N包含事件“向上的一面都是正面”和“只有一枚硬币向上的一面是正面”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有M⊆N.故选A.8.C[解析]对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生,不是互斥事件;对于B,事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于D,事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于C,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”不可能同时发生,是互斥事件.故选C.9.2件都是正品[解析]根据题意,事件“至少有1件是次品”包括“2件都是次品”和“1件是正品,1件是次品”,则其互斥事件是“2件都是正品”.10.③[解析]①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”不是互斥事件,也不是对立事件;②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”不是互斥事件,也不是对立事件;③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”是互斥事件,也是对立事件;④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”不是互斥事件,也不是对立事件.11.①③④[解析]从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,在①中,A与C能同时发生,∴A与C不是互斥事件,故①中结论错误;在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②中结论正确;在③中,A与C不是互斥事件,故③中结论错误;在④中,B与C互斥,故④中结论错误.12.②③[解析]①A与C不是互斥事件,故①中说法错误;②B与E是互斥事件,且是对立事件,故②中说法正确;③B与C不是互斥事件,故③中说法正确;④C与E不是互斥事件,故④中说法错误.13.解:(1)甲未中靶: .(2)甲中靶而乙未中靶:A∩ ,即A .(3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩ ,即AB .(4)三人中至少有一人中靶: .(5)三人中恰有两人中靶:(AB )∪(A C)∪( BC).14.解:(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},={(0,0),(0,1)}, ={(0,0),(1,0)}.(3)A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)}, ∩ ={(0,0)};A∪B表示电路工作正常, ∩ 表示电路工作不正常;A∪B和 ∩ 互为对立事件.15.A[解析]因为事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A 与事件B不能同时发生,但能同时不发生,故事件A和B是互斥事件,但不是对立事件.故选A.16.解:(1)事件“至多买一种产品”与事件“只买甲产品”有可能同时发生,所以A与C不是互斥事件.(2)事件“至少买一种产品”与事件“一种产品也不买”不可能同时发生,并且事件B与事件E的和事件为样本空间,所以它们是互斥事件也是对立事件.(3)事件B=“至少买一种产品”与事件D=“不买甲产品”可以同时发生,所以它们不是互斥事件.(4)事件B=“至少买一种产品”包含“只买一种产品”,而事件C=“至多买一种产品”也包含“只买一种产品”,所以它们不是互斥事件.(5)事件C=“至多买一种产品”包含了事件E=“一种产品也不买”,所以它们不是互斥事件.(6)事件A=“只买甲产品”与事件F=“只买乙产品”不可能同时发生,但事件A与事件F可能都不发生,所以它们是互斥事件,但不是对立事件.。
高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。
2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2.3 圆与圆的位置关系讲义 苏教版必修2
2.2.3 圆与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．(重点) 2.当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．(易错点) 3.了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．(难点)
通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
圆与圆的位置关系 1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 d与r1， r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<
dd＝|r1－r2| d<|r1－r2|
2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程
Δ>0⇒相交，Δ＝0⇒内切或外切，Δ<0⇒外离或内含Ｗ.
1.思考辨析 (1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交． ( ) (2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离． ( ) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． ( ) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的公共弦所在的直线方程为______________．
x＋y＋2＝0 [联立x2＋y2＋6x＋4y＝0， ①x2＋y2＋4x＋2y－4＝0， ② ①－②得：x＋y＋2＝0.] 3．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．
(－1，0)和(0，－1) [由x2＋y2＝1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，
解得x＝0，y＝－1或x＝－1，y＝0.] 4．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有________条． 3 [圆C1的圆心坐标为C1(－2，2)，半径r1＝1. ∵圆C2的圆心坐标为C2(2，5)，半径r2＝4. ∴|C1C2|＝（－2－2）2＋（2－5）2＝5，r1＋r2＝5， ∴两圆外切． 故公切线有3条．]
新教材高中数学第2章平面解析几何单元质量测评课件新人教B版选择性必修第一册
A．－12或 1
B．－98或 1
C．－89
D．1
解析 因为两直线平行，所以有 2(k2－k)＋3(2k2＋k－3)＝0，即 8k2＋k
－9＝0，解得 k＝－89或 k＝1.检验知 k＝1 时不成立，故 k＝－98.
解析 答案
2．“1<m<3”是“方程m－x2 1＋3－y2m＝1 表示椭圆”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 当 m＝2 时，方程m－x2 1＋3－y2m＝1 为 x2＋y2＝1，该方程表示圆，
m－1>0，
即充分性不成立．若方程m－x2 1＋3－y2m＝1
表示椭圆，则3－m>0， m－1≠3－m，
解
得 1<m<3 且 m≠2，即必要性成立．故选 B.
9．下列说法正确的是( ) A．截距相等的直线都可以用方程ax＋ay＝1 表示 B．方程 x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于 y 轴的直线 C．经过点 P(1,1)，倾斜角为 θ 的直线方程为 y－1＝tanθ(x－1) D．经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－ x1)(y－y1)＝0
答案
解析 对于 A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程ax＋ay＝ 1 表示，所以不正确；对于 B，当 m＝0 时，平行于 y 轴的直线方程形式为 x＝2，所以正确；对于 C，若直线的倾斜角为 90°，则该直线的斜率不存在， 不能用 y－1＝tanθ(x－1)表示，所以不正确；对于 D，设点 P(x，y)是经过两 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据P→1P2∥P→1P可得(y2－y1)(x －x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以正确．故选 BD.
高二数学同步单元练习(必修2) 专题01 空间几何体的结构(AB卷) Word版含解析
（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()答案：C2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的是()A．只有两个面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，侧棱也互相平行4．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：选D从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．5．下列命题中正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：选D A中的平面不一定平行于底面，故A错；B中侧棱不一定交于一点；C中底面不一定是正方形．6.观察如图的四个几何体,其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台解析:结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.答案:B7.纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一条棱将正方体剪开,外面朝上展平得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是()A.南B.北C.西D.下答案:B8.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台解析:剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.答案:B9.棱锥的侧面和底面可以都是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:三棱锥的侧面和底面均是三角形.答案:A10.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()解析:动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.答案:C11.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定形状.答案:A12.用一个平面去截四棱锥,不可能得到()A.棱锥B.棱柱C.棱台D.四面体解析:根据棱椎的特点，侧棱不平行，所以肯定得不到棱柱答案:B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．答案：三 514.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________ cm.答案：1315．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”、“不一定”、“一定不”)解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．答案：(1)不一定(2)不一定16.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.解析:n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.答案:12三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．18．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底． 19.按下列条件分割三棱台ABC-A 1B 1C 1(不需要画图,各写出一种分割方法即可). (1)一个三棱柱和一个多面体; (2)三个三棱锥.20.正三棱台的上、下底面边长及高分别为1,2,2,则它的斜高是多少？ 解析:如图,MF=OF-O'E=. 在Rt △EMF 中,∵EM=2, ∴EF=.所以斜高是21.如图,在棱锥A-BCD中,截面EFG平行于底面,且AE∶AB=1∶3,已知△DBC的周长是18,求△EFG的周长.解:由已知得EF∥BD,FG∥CD,EG∥BC,∴△EFG∽△BDC.∴.又,∴.∴△EFG的周长=18×=6.22.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．观察如图所示的4个几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱台 B．②是圆台C．③是棱锥 D．④不是棱柱2．下列关于母线的叙述正确的是( )①在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．A．①② B．②③C．①③ D．②④D ①③中两点的连线可能不在侧面上，因此不一定是母线；②中两点的连线符合母线的条件；④中圆柱任意一条母线与圆柱的轴所在的直线平行，因此圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．3．下列判断正确的是( )A．棱柱中只能有两个面互相平行B．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱C．底面是正六边形的棱台是正六棱台D．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥B A错误，比如四棱柱；B正确；C错误，还应满足正棱台上下底面中心的连线垂直于底面；D错误，还应满足顶点在底面的投影为底面的中心．4．若一正方体沿着表面几条棱裁开放平得到如图L112所示的展开图，则在原正方体中( )A．AB∥CD B．AB∥EFC．CD∥GH D． AB∥GHC 折回原正方体如图所示，则C与E重合，D与B重合，显然CD∥GH.5．如图所示的四个长方体中，由如图所示的纸板折成的是( )D 根据纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断正确选项是D.6．给出下列三个命题：①底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．37．如图所示，若Ω是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台D 根据棱台的定义(侧棱的延长线必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体Ω不是棱台．8．下列命题正确的是( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点9．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图( )答案：C10．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④D11．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )答案：C12．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )答案：D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．关于如图所示的几何体的正确说法为________．(填序号)图L116①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱①③④由图易知①③④正确．14．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图L117所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝________．15．下列说法中错误的是__________．(填序号)①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的；②球的所有截面中过球心的截面的面积最大；③圆台的所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥的所有轴截面都是全等的等腰直角三角形．④根据旋转体的定义可知，圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形．16．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．答案：2 4解析三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．18．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．解该图形的三视图如图所示．19．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．20．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？解由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．21．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？备特征③.22．如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是()A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一定是梯形C.两条相交直线的平行投影可能平行D.若一条线段的平行投影是一条线段,则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点答案:D2.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图,则相应的侧视图可以为()解析:此空间几何体是由一个半圆锥和一个三棱锥拼接而成的一个简单组合体,由其正视图和俯视图可知其相应的侧视图可为D.答案:D3.(2016山西大同一中高二月考)如果用表示1个立方体,用表示2个立方体叠加,用表示3个立方体叠加,那么如图中由7个立方体摆成的几何体,从正前方观察,可画出平面图形是()解析:由题意和图可知,左边和右边各为1个正方体,用表示;当中为3个正方体,用表示;上面为2个正方体,用表示.故选B.答案:B4.(2016山西太原五中高二月考)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④解析:其俯视图若为圆,则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样,由图中可知其正视图与侧视图的宽度不一样,因此其俯视图不可能是圆.故选C.答案:C5.(2016安徽蚌埠一中高二期中)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2 cm,其三视图中的俯视图如图所示,则其侧视图的面积是()A.4 cm2B.2 cm2C.8 cm2D.4 cm2答案:A6．关于几何体的三视图，下列说法正确的是( )A．正视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．侧视图反映物体的高和宽D．正视图反映物体的高和宽答案:C 由三视图的特点可知选项C正确．7．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )A．平行且相等 B．平行不相等C．相等不平行 D．既不平行也不相等答案:A 由斜二测画法规则知平行性是不变的，长度的变化在平行时相同，故仍平行且相等．8．一个几何体的三视图如图L121所示，这个几何体可能是一个( )A．三棱锥B．底面不规则的四棱锥C．三棱柱D．底面为正方形的四棱锥答案:C 根据三视图，几何体为一个倒放的三棱柱．9．如图是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么( )A．最短的是ACB．最短的是ABC．最短的是ADD．无法确定谁最短10．如图L123所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的周长为( )A．2 2 B．6 C．8 D．4 2＋2图L123图L12411．图L124为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到O′x′轴的距离为( )A.12B.22C. 1D.2答案:B 因为BC垂直于x轴，所以在直观图中B′C′的长度是1，且与O′x′轴的夹角是45°，所以B′到O′x′轴的距离是22.12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图L125所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为( )图L125A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm2答案:C 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2 2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.太阳光线与地面成60°的角,照射在地面上的一个皮球上,皮球在地面上的投影长是10,则皮球的直径是.解析:直径d=10sin 60°=15.答案:1514.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线AC1在六个面上的正投影长度总和是.解析:正方体的对角线AC1在各个面上的正投影是正方体各个面上的对角线,因而其长度都为,所以所求总和为6.答案:615.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的.(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.答案:①②③⑤16．(2012·杭州检测)如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：∵O′B′＝1，∴O′A′＝2，∴在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝22，∴S △AOB ＝12×1×22＝ 2.答案： 2三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，原平面图形的面积为________．答案：2＋2218.画出下列几何体的三视图.解:几何体的三视图如图所示:19.如图,该几何体是由一个长方体木块锯成的. (1)判断该几何体是否为棱柱;(2)画出它的三视图.解:(1)是棱柱.因为该几何体的前、后两个面互相平行,其余各面都是矩形,而且相邻矩形的公共边都互相平行.(2)该几何体的三视图如图.20.如图是某圆锥的三视图,求其底面积和母线长.21．已知正三棱锥VABC的正视图、侧视图和俯视图如图L1215所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．图L1215解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝2 3. 由俯视图可知三棱锥底面三角形的高为2 3×32＝3. ∵三棱锥的高在底面上的投影是底面的中心，且其到点A 的距离为底面△ABC 高的23，∴底面中心到点A 的距离为23×3＝2，∴侧视图中VA ＝42－22＝2 3，∴S △VBC ＝12×2 3×2 3＝6.22．如图所示，画出水平放置的四边形OBCD 的直观图．。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
−→ −
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A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 本章总结提升
∵0<e<1,∴e= 2-1.
e=-1± 2.
规律方法
2
变式训练 4(1)已知椭圆 C: 2
相交于 A,B 两点,连接
e=
5
7
+
2
=1(a>b>0)的左焦点为
F,C
与过原点的直线
2
4
AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=5,则
C 的离心率
.
解析 如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即
= -11,
整理得 8 + 6 + = -100,解得 = 3,
= -30,
3- = -36,
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
角度2.求轨迹的方程
求轨迹的方程时多数先通过数形结合的方法判断所求曲线是否满足圆锥
曲线的定义,如果满足可用定义法求解,如果无法判断可用直接法求解,注
∴y-x的最大值为9,最小值为1.
规律方法 求圆锥曲线范围(最值)问题的策略
(1)数形结合的思想,将代数式转化为其几何意义,多考查距离、倾斜角、
斜率、截距等.
(2)化归转化的思想,借助圆锥曲线的定义将问题进行变形转化.
变式训练3(1)若椭圆C:
2 2
+
4
3
=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C
|PF1|∈[1,3],故选项D正确.故选C.
(2)(多选题)已知 P(x,y)为曲线 x=2 上一动点,则( ABD )
A. 2 + (-1)2 的最小值为 1