沪科版七年级数学下册第8章 整式的乘法和因式分解复习讲义(解析版)
沪科版七年级数学下册第8章 整式的乘法与因式分解复习讲义 01 本章结构图整式的乘法与因式分解⎩⎪⎨⎪⎧幂的运算性质整式的乘法、整式的除法乘法公式⎩⎪⎨⎪⎧平方差公式完全平方公式因式分解⎩⎪⎨⎪⎧提公因式法公式法 02 重难点突破重难点1 幂的运算【例1】 下列计算错误的是(C )A ．a ·a 2＝a 3B ．a 6÷a 2＝a 4C ．(x 2)3＝x 5D ．(ab 2)3＝a 3b 6【方法归纳】 运用幂的运算法则进行计算时，应注意几种运算性质之间的区别，不能混淆． 变式训练1．(云南中考)下列运算正确的是(D )A ．3x 2＋2x 3＝5x 6B ．50＝0C ．2－3＝16D ．(x 3)2＝x 6 2．已知a m ＝3，a n ＝4，则a 3m ＋2n ＝432．3．计算：(－12a 2b)3＝－18a 6b 3．重难点2 整式的乘除【例2】 (南通中考)计算：[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷x 2y.解：原式＝[x 2y(xy －1)－x 2y(1－xy)]÷x 2y＝[x 2y(2xy －2)]÷x 2y＝2xy －2.【方法归纳】 整式的混合运算与有理数的混合运算类似，主要紧扣运算顺序和运算法则两点． 变式训练4．计算：[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷3x 2y ，其中x ＝1，y ＝3.解：原式＝(x 3y 2－x 2y －x 2y ＋x 3y 2)÷3x 2y＝23xy －23. 当x ＝1，y ＝3时，原式＝23×1×3－23＝43.5．已知x 2－5x ＝14，求(x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1的值．解：原式＝x 2－5x ＋1.当x 2－5x ＝14时，原式＝(x 2－5x)＋1＝14＋1＝15.重难点3 乘法公式【例3】 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a ＞b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(C )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 2【方法归纳】 将整式乘法公式的验证融合在几何图形中，解答这类问题的关键是用不同方法来表示一个图形的面积．变式训练6．利用乘法公式计算：(1)982－101×99；解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.(2)2 0162－2 016×4 030＋2 0152.解：原式＝2 0162－2×2 016×2 015＋2 0152＝(2 016－2 015)2＝1.重难点4分解因式【例4】分解因式：(1)10a－5a2－5；解：原式＝－5(a2－2a＋1)＝－5(a－1)2.(2)(x2＋3x)2－(x－1)2.解：原式＝(x2＋3x＋x－1)(x2＋3x－x＋1)＝(x2＋4x－1)(x2＋2x＋1)＝(x2＋4x－1)(x＋1)2.【方法归纳】把一个多项式分解因式通常采用的方法是先提公因式，再运用公式．变式训练7．分解因式：(1)(绵阳中考)x2y4－x4y2＝－x2y2(x＋y)(x－y)；(2)(六盘水中考)m3－2m2n＋mn2＝m(m－n)2．8．若a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2＝6．9．分解因式：(1)2(a－1)2－12(a－1)＋18；解：原式＝2[(a－1)2－6(a－1)＋9]＝2(a－4)2.(2)x2(x－y)＋(y－x)．解：原式＝x2(x－y)－(x－y)＝(x2－1)(x－y)＝(x＋1)(x－1)(x－y)．03 备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．(佛山中考)下列计算正确的是(C )A ．a 3·a 4＝a 12B ．(a 3)4＝a 7C ．(a 2b)3＝a 6b 3D ．a 3÷a 4＝a(a ≠0)2．下列各式计算正确的是(C )A ．(x ＋2)(x －5)＝x 2－2x －3B ．(x ＋3)(x －13)＝x 2＋x －1 C ．(x －23)(x ＋12)＝x 2－16x －13D ．(x －2)(－x －2)＝x 2－43．化简(－2a)·a －(－2a)2的结果是(C )A ．0B ．2a 2C ．－6a 2D ．－4a 24．在算式(x ＋m)(x －n)的积中不含x 的一次项，则m ，n 一定满足(C )A ．互为倒数B ．互为相反数C ．相等D ．mn ＝05．下列多项式：①x 2＋y 2；②－x 2－4y 2；③－1＋a 2；④0.081a 2－b 2，其中能用平方差公式分解因式的多项式有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．化简(a －1)(a ＋1)(a 2＋1)－(a 4－1)的结果为(A )A ．0B ．2C ．－2D ．2a 47．如果单项式－2x a －2b y 2a ＋b 与x 3y 8b 是同类项，那么这两个单项式的积是(B )A ．－2x 6y 16B ．－2x 6y 32C ．－2x 3y 8D ．－4x 6y 168．化简(－2)2n ＋1＋2(－2)2n 的结果是(A )A ．0B ．－22n ＋1C ．22n ＋1D ．22n9．如图，设k ＝甲阴影部分的面积乙阴影部分的面积(a ＞b ＞0)，则有(B )A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C .12＜k ＜1 D ．0＜k ＜1210．因式分解x 2－ax ＋b ，甲看错了a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错了b 的值，分解的结果为(x －2)(x ＋1)，那么x 2＋ax ＋b 分解因式正确的结果为(B )A ．(x －2)(x ＋3)B ．(x ＋2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)D ．(x ＋2)(x ＋3)二、填空题(每小题3分，共18分)11．计算：4＋(π－2)0＝3.12．一个长方形的面积为a 3－2a 2＋a ，宽为a ，则长方形的长为(a －1)2.13．若a 2－b 2＝4，则(a －b)2(a ＋b)2＝16.14．如果代数式2a 2＋3a ＋1的值等于6，那么代数式6a 2＋9a －5＝10．15．比邻星是除太阳外距地球最近的恒星，它距地球约3.99×1016米，若用速度是3×107米/秒的宇航器向这颗恒星进发，一个20岁的小伙子到达比邻星时的年龄是62岁(结果保留整数)．16．(厦门中考)设a ＝192×918，b ＝8882－302，c ＝1 0532－7472，则数a ，b ，c 按从小到大的顺序排列，结果是a ＜c ＜b ．三、解答题(共52分)17．(12分)计算：(1)(3a ＋2b －1)(3a －2b ＋1)；解：原式＝9a 2－4b 2＋4b －1.(2)(a ＋b)2－(a －b)2；解：原式＝4ab.(3)(2x ＋y －3)2；解：原式＝4x 2＋4xy ＋y 2－12x －6y ＋9.(4)10012×9912. 解：原式＝(100＋12)(100－12) ＝1002－(12)2 ＝10 000－14＝9 99934.18．(12分)分解因式：(1)a 2x 2y －axy 2；解：原式＝axy(ax －y)．(2)－14abc －7ab ＋49ab 2c ；解：原式＝7ab(7bc －2c －1)．(3)9(a －b)2－16(a ＋b)2；解：原式＝－(a ＋7b)(7a ＋b)．(4)3x3－12x2y＋12xy2.解：原式＝3x(x－2y)2.19．(8分)如图所示，有一位狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给李老汉种植．今年，他对李老汉说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应．同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？解：吃亏了．∵原来的面积为a2，后来的面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，a2>a2－16.∴李老汉吃亏了．20．(8分)已知a，b，c是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0.你能判断△ABC的形状吗？请说明理由．解：由已知得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0.∴a＝b＝c，即△ABC为等边三角形．21．(12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．(1)28是“神秘数”吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？(3)根据上面的提示，判断2 012是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由；(4)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？解：(1)是．∵28＝82－62，∴28是神秘数．(2)是．∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4＝4(2k＋1)，故两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．(3)是，∵2 012＝4×503，故2k＋1＝503，k＝251.∴这两个数为2k＋2＝504，2k＝502，即2 012＝5042－5022.(4)不是．∵两个连续奇数的平方差可表示为(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k＝4·2k(k为正整数)，∴两个连续奇数的平方差是4的偶数倍．。
沪科版七年级数学下册第8章《整式乘法和因式分解》思想方法讲义(答案版)
第8章?整式乘法与因式分解?思想方法讲义种类1 转变思想m n2m－n251．假定a＝5，a＝3，那么a ＝．2．假定a＝56，b＝65，那么3030＝a5b6(用含有a，b的代数式表示)．种类2 整体思想3．当x＝1时，ax＋b＋1的值为－2，那么(a＋b－1)(1－a－b)的值为(A)A．－16B．－8C．8D．164．2m－3n＝－4，那么代数式m(n－4)－n(m－6)的值为8．5．(2021·淮北期末)假定x＋y＝4，xy＝2，那么x2＋y2＝12．6．x2－2x＝－1，将下式化简，并求值：＝3＝(x－1)2＋(x＋3)(x－3)＋(x－3)(x－1)．＝解：原式＝x2－2x＋1＋x2－9＋x2－4x＋33x2－6x－5.21由于x－2x＝－，因此3(x2－2x)＝－1，即3x2－6x＝－1.因此原式＝－1－5＝－6.7．下边是某同学对多项式 (x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．解：设x2－4x＝y，原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)y2＋8y＋16(第二步)(y＋4)2(第三步)(x2－4x＋4)2(第四步)(2)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C．(3)A．提取公因式(4)B．平方差公式(5)C．两数和的完整平方公式(6)D．两数差的完整平方公式该同学因式分解的结果能否完全？不完全(填“完全〞或“不完全〞)．假定不完全，请直接写出因式分解的最后结果(x－2)4；请你模拟以上方法试试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．解：设y＝x2－2x，原式＝y(y＋2)＋1y2＋2y＋1(y＋1)2(x2－2x＋1)2(x－1)4.种类3 数形联合思想8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将暗影局部沿虚线剪开，拼成右侧的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D)A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b)＝a2－abC．(a－b)2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)种类4 方程思想9．多项式kx2－6xy－8y2可分解成(2mx＋2y)·(x－4y)，那么m＝1，k＝2．10．am＋1n＋22n－12m53的值为2．·ab＝ab，那么m＋n221111．a＋b－a＋4b＋44＝0，那么a＝2，b＝－2．章末复习(三)整式乘法与因式分解知识点1 幂的相关运算1．化简(2x)2的结果是(C)A ．x4．2x2C．4x2D．4x2．当a＞0时，以下对于幂的运算不正确的选项是(C )1122A ．a＝a B．(－a)＝a －110C ．3a＝3a D．a＝13．(2021·合肥期末)以下计算正确的选项是(D)26B 3＝aA．a·a＝a．a －aC．a8÷a＝a2D ．(－a3)2＝a6知识点2科学记数法4．(2021·合肥包河区期末)每到四月，很多地方的杨絮、柳絮如雪花漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为(C)A．×1 05B－4．×10C．×1 0－5D．115×10－75．最近几年来，全世界发现一种经过蚊虫流传的病毒——寨卡病毒，其直径约为，用科学记数法表示为×10n cm，那么n＝6．知识点3整式的乘除法432232的结果等于(C)6．计算(－8mn ＋12mn －4mn)÷(－4mn)22B 222A．2mn－3mn＋n．2m－3mn＋n22D 2C．2m－3mn＋n．2m－3mn＋n7．(2021·合肥瑶海区期中)在算式(x＋a)(x－b)的积中不含x的一次项，那么a，b必定知足(C)A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．ab＝0218．先化简，再求值： (2a＋3b)(3a－2b)－5a(b＋1)－6a，此中a＝－，b＝2. 解：原式＝6a2＋5ab－6b2－5ab－5a－6a2＝－6b2－5a.1当a＝－2，b＝2时，21原式＝－6×2－5×(－)5＝－24＋21＝－212.知识点4 乘法公式9．下边运算正确的选项是 (D)A．(x＋2)2＝x2＋4B．(x－1)(－1－x)＝x2－1C．(－2x＋1)2＝4x2＋4x＋1D．(x－1)(x－2)＝x2－3x＋210．加上以下单项式，仍不可以使4x2＋1成为完整平方式的是(D)A．4x4B．4x C．－4xD．2x11．(2021·淮北期中 )假定p＋q＝5，pq＝4，那么2p2＋2q2的值为(D) A．25B．17C．50D．3412．先化简，再求值：＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，此中x＝5，y＝2.解：原式＝[x 2－4y2－(x2＋8xy＋16y2)]÷4y(－20y2－8xy)÷4y＝－5y－2x.当x＝5，y＝2时，原式＝－5×2－2×5＝－20.知识点5 因式分解13．把a2－2a分解因式，正确的选项是(A)A．a(a－2)B ．a(a＋2)C．a(a2－2)D ．a(2－a)14．把多项式2x 2－8分解因式，结果正确的选项是(C)A．2(x2－8)B．2(x－2)2C．2(x＋2)(x－2)D4．2x(x－)x15．(2021·宣城期末 )因式分解：bx2－2bx＋b＝b(x－1)2．16．因式分解：(1)3x2＋6xy＋3y2；解：原式＝3(x2＋2xy＋y2)3(x＋y)2.(2)ab－a－b＋1.解：原式＝(ab－a)－(b－1)a(b－1)－(b－1)(b－1)(a－1)．易错题集训17．因式分解：x3－9x＝x(x＋3)(x－3)．18．计算：(1)(a3)2＋a5；解：原式＝a6＋a5.(2)(x－y)3·(y－x)6·(y－x)．解：原式＝－(x－y)3·(x－y)6·(x－y)10＝－(x－y) .常考题型操练19．(2021·合肥蜀山区校级期中)计算(x＋1)(x2＋1)(x－1)的结果正确的选项是(C)A．x4＋1B．(x＋4)4C．x4－1D．(x－1)420．科学家能够使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子构造，使用此技术测定细菌蛋白构造的分辨率达到纳米，也就是米．将用科学记数法表示为(B)A．×10－9B．×10－10C．22×10－11D．×10－821．(2021·蚌埠期末 )a＋b＝－5，ab＝－4，那么a2－ab＋b2的值为(B)A．29 B ．37 C ．21 D．3322．(2021·河北)假定2n＋2n＋2n＋2n＝2，那么n＝(A)1A．－1 B ．－2 C ．0 D.423．计算：(1)3(2x －1)(x＋6)－5(x－3)(x＋6)；解：原式＝3(2x2＋12x－x－6)－5(x2＋6x－3x－18)6x2＋33x－18－5x2－15x＋90x2＋18x＋72.(2)[ －4a2b2＋ab(20a2－ab)]÷(－2a2)．解：原式＝(－4a2b2＋20a3b－a2b2)÷(－2a2)(－5a2b2＋20a3b)÷(－2a2)522b－10ab.24．分解因式：(1)81x4－y4；解：原式＝(9x2＋y2)(9x2－y2)(9x＋y2)(3x＋y)(3x－y)．2(2)x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)；解：原式＝(y2－1)(x2＋2x＋1)(y－1)(y＋1)(x＋1)2.(3)a2＋2ab＋ac＋bc＋b2.解：原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)(a＋b)2＋c(a＋b)(a＋b)(a＋b＋c)．25．多项式(x2＋mx＋n)(x2－3x＋4)睁开后不含x3和x2项，试求m，n的值．解：原式＝x4－3x3＋4x2＋mx3－3mx2＋4mx＋nx2－3nx＋4nx4＋(m－3)x＋(4－3m＋n)x2＋(4m－3n)x＋4n.3m－3＝0，由题意，得4－3m＋n＝0.m＝3，解得n＝5.26．先化简，再求值：(2x＋1)2－2(x－1)(x＋3)－2，此中x＝2.解：原式＝(4x2＋4x＋1)－2(x2＋2x－3)－24x2＋4x＋1－2x2－4x＋6－22x2＋5.当x＝2时，原式＝2×22＋5＝13.27．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分红四块小长方形，而后用四块小长方形拼成的一个“回形〞正方形(如图2)．图1图2图3( 1)图2中的暗影局部的面积为(b－a)2；( 2)察看图2请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；92( 3)依据(2)中的结论，假定p－q＝－4，p·q＝4，那么(p＋q)＝25；(实质上有很多代数恒等式能够用图形的面积3，它表示了(a＋b)(3a＋b)＝3a2＋4)来表示．如图4ab＋b2；( 5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2.解：如图：。
沪科版七年级下册数学精品教学课件 第8章整式乘法与因式分解 第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法
例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值. 解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1； ③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1. 故 x 的值为 -1 或 2.
算一算： 10－2 = ____0_._0_1____；
10－4 = ___0_.0_0_0_1____；
10－8 = _0_._0_0_0_0_0_0_0_1_.
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 通过上面的探索，你发现了什么？
一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有__n___个 0.
想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？ 1 前面有几个零？
知识要点 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表 示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注 意：包括小数点前面那个零）.
a0 an a0n 1 an.
即 an 1（a 0，n 是正整数）. an
特别地，a1 1 (a 0). a
例4
若
a
=
2 3
-2
，b
=
(-1)-1，c
=
3 2
0
，则
a，b，
c 的大小关系是（ B ）
A．a＞b＝c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解 析32：0a==1，故23
a-n＝
七年级下册数学学沪科版 第8章 整式乘法与因式分解 课件8.2.1 单项式与单项式相乘
9．已知单项式 2a3y2 与－4a2y4 的积为 ma5yn，则 m＋n 的值为 __－__2____．
【点拨】2a3y2×(－4a2y4)＝－8a5y6＝ma5yn，故 m＝－8，n＝6， 则 m＋n＝－2.
1．[中考·柳州]计算：(2a)·(ab)＝( B ) A．2ab B．2a2b C．3ab D．3a2b
2．[中考·湖州]计算－3a·(2b)，正确的结果是( A )
A．－6ab B．6ab
C．－ab
D．ab
3．计算：(xn)n·36xn＝( C ) A．36xn B．36x3n C．36xn2＋n
10．计算： (1)[淮北期末]12x·2x3·(－3x2)；
解：原式＝－3x1＋3＋2＝－3x6.
(2)(－3a2b)2·－23abc·34ac2； 原式＝9a4b2·－23abc·34ac2＝－92a6b3c3.
(3)5a3b·(－3b)2＋(－ab)·(－6ab)2. 原式＝45a3b3－36a3b3＝9a3b3.
D．36x2＋n
4．计算：(－3xm＋2y2n)·(4x3－my)＝__－__1_2_x_5_y_2n_＋__1 __．
5．[六安裕安区期中]长方体的长是 2×104 厘米，宽是 1.5×103 厘 米，高是 3×103 厘米，那么它的体积是___9_×__1_0_10______立方 厘米．
6．若(xa＋1yb＋1)·(x2b－1y)＝x5y3，则 a＋b＝__4______.
11．已知(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝－24xqy10zp，求 mn＋pq 的值．
沪科版七年级数学下册：第8章 整式乘法与因式分解 教学课件
解: (1) (a－b)2 (a－b) = (a－b)2+1 = (a－b)3 .
(2) (x+y)3×(x+y)= (x+y) 3+1= (x+y)4 .
(3) (b－ a)2(a－ b)= (a－b)2 (a－b) = (a－b)2+1
= (a－b)3
(4) (x- y) 3 × (y-x)3 = - (y - x)3 × ( y – x ) 3 = - (y - x)6
通过学习，你有哪些收获？
1 乘方的意义:
an = a·a·… ·a n个a
2 同底数幂的乘法性质：
am ·an =am+n(m，n都是正整数）.
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数).
3 注意：同底数幂相乘时 底数 不变 ，指数 相加 .
通过学习，你有哪些收获？
1 乘方的意义:
(3) -a2 ·a6 = - a2+6 = - a8
(4) y2n ·yn+1 = y2n+n+1 = y3n+1
活动5 应用提高、拓展创新
计算 (1) (a－b)2 (a－b). (3) (b－ a)2(a－ b).
(2) (x+y) 3× (x+y). (4) (x- y) 3 × (y-x)3
计算：（1）3b3 5 b2 6
同学们,你们知道我们的教室有多大吗? 小明想要估算它的面积，你能帮助他解决问 题吗？
小明采用步长测量教室的面积，测量长 时走了13步，测量宽时走了9步，如果小 明的步长用a米表示, 你能用含a的代数式表 示教室的面积吗?
解:(13a) • (9a)
沪科版七年级数学下册第八章整式乘法 和因式分解 83完全平方公式和平方差公式 第1课时 完全平方公
（4）a+b+c=a －（-b-c ）
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x －y)2 =x2 －y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
× x2+2xy +y2 × x2－2xy +y2 × x2 －2xy +y2 × 4x2+4xy +y2
? 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的 2倍，且与乘式中间的符号相同 . 4.公式中的字母 a，b可以表示数，单项式和多项式 .
想一想 : 你能根据图 1和图2中的面积解释完全平方公式吗 ?
b
a ab 图1
b a
b a 图2
几何解释 :
b
a
=
+
a
5.已知 x2+y 2=8,x+y=4,求x－y. 解：∵x+y=4, ∴(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①;
∵x2+y 2=8②; 由①－②得 2xy=8?，
②－ ?得x2+y 2－2xy=0.即(x－y)2=0，故 x－y=0 解题时常用结论： a2+b2=(a+b )2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解专题-考点重难点复习(解析版)
整式乘法与因式分解专题考点复习【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【例1】下列运算正确的是（ ）A ．x 2+x 3＝x 5B ．（﹣2a 2）3＝﹣8a 6C ．x 2•x 3＝x 6D ．x 6÷x 2＝x 3 解：A 、不是同类项，不能合并，故选项错误；B 、正确；C 、x 2•x 3＝x 5，故选项错误；D 、x 6÷x 2＝x 4，故选项错误．故选：B ．【变式1-1】下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．（﹣a 2）3＝﹣a 5C ．a 10÷a 9＝a （a ≠0）D ．（﹣bc ）4÷（﹣bc ）2＝﹣b 2c 2 解：A 、a 2•a 3＝a 5，故A 错误；B 、（﹣a 2）3＝﹣a 6，故B 错误；C 、a 10÷a 9＝a （a ≠0），故C 正确；D 、（﹣bc ）4÷（﹣bc ）2＝b 2c 2，故D 错误；故选：C ．【变式1-2】下列运算正确的是（ ）A ．（﹣2ab ）•（﹣3ab ）3＝﹣54a 4b 4B ．5x 2•（3x 3）2＝15x 12C ．（﹣0.16）•（﹣10b 2）3＝﹣b 7 D ．（2×10n ）（×10n ）＝102n解：A 、（﹣2ab ）•（﹣3ab ）3＝（﹣2ab ）•（﹣27a 3b 3）＝54a 4b 4，本选项错误； B 、5x 2•（3x 3）2＝5x 2•（9x 6）＝45x 8，本选项错误；C、（﹣0.16）•（﹣1000b6）＝160b6，本选项错误；D、（2×10n）（×10n）＝102n，本选项正确，故选：D．【考点2 幂的混合运算】【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.【例2】计算：（1）（y2）3÷y6•y（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2解：（1）（y2）3÷y6•y＝y6÷y6•y＝y；（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4．【变式2】计算：（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2解：（1）原式＝﹣1+1﹣3＝﹣3；（2）原式＝﹣8x6y3﹣4x6y2+6x6y3+2x6y2＝﹣2x6y3﹣2x6y2．【考点3 幂的逆向运算】【例3】已知：x m＝4，x n＝8．（1）求x2m的值；（2）求x m+n的值；（3）求x3m﹣2n的值．解：（1）∵x m＝4，x n＝8，∴x2m＝（x m）2＝16；（2）∵x m＝4，x n＝8，∴x m+n＝x m•x n＝4×8＝32；（3）∵x m＝4，x n＝8，∴x3m﹣2n＝（x m）3÷（x n）2＝43÷82＝1．【变式3-1】已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）解：（1）50x＝10x×5x＝ab；（2）2x＝＝＝；（3）20x＝＝＝．【变式3-2】基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，∴1+7x＝22，∴x＝3；②∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2．【考点4 整式化简求值】【例4】先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．解：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y＝（4x2+4xy+y2+y2﹣4x2﹣6y）÷2y＝（4xy+2y2﹣6y）÷2y＝2x+y﹣3，把x＝﹣，y＝3代入得：原式＝2×（﹣）+3﹣3＝﹣1．【变式4】已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．解：（1）原式＝x4﹣2x3﹣mx2+nx3﹣2nx2﹣mnx+3x2﹣6x﹣3m＝x4+（n﹣2）x3+（3﹣m﹣2n）x2+（mn+6）x﹣3m，由乘开的结果不含x3和x2项，得到n﹣2＝0，3﹣m﹣2n＝0，解得：m＝﹣1，n＝2；（2）当m＝﹣1，n＝2时，原式＝m3+m2n+mn2﹣m2n﹣mn2﹣n3＝m3﹣n3＝﹣1﹣8＝﹣9．【考点5 利用乘法公式求值】【例5】已知m﹣n＝3，mn＝2，求：（1）（m+n）2的值；（2）m2﹣5mn+n2的值．解：∵m﹣n＝3，mn＝2，∴（1）（m+n）2＝m2+n2+2mn＝（m﹣n）2+4mn＝9+8＝17；（2）m2﹣5mn+n2＝（m+n）2﹣7mn＝9﹣14＝﹣5．【变式5-1】已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，（1）①﹣②得：4mn＝8，则mn＝2；（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．【变式5-2】已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．【考点6 因式分解的概念】【方法点拨】因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.【例6】下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+zD．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式的乘法运算，故此选项错误；B、（y+1）（y﹣3）≠（3﹣y）（y+1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D、﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2，正确．故选：D．【变式6】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B、是整式的乘法，故B错误；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；故选：C．【考点7 分解因式】【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。
新沪科版七年级数学下册《8章整式乘法与因式分解8.2整式乘法单项式与单项式相乘》教案_6
8.2.1单项式与单项式相乘【教材分析】在七年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，具备了由数的运算转化为式的运算的知识基础，类比有理数运算学习整式的运算是本章的重点，是代数知识学习的重点内容，可以帮助学生认识到代数与现实世界、学生生活、相关学科联系十分密切，为数学本身和其他学科的研究提供了语言、方法和手段.本单元提前安排了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识，然后通过实例引入了整式的乘法，使学生通过对乘法分配律等法则的运用探索整式乘法的运算法则以及一些重要的公式，所以，本节知识既是对前面所学知识的综合应用，也为下面学习乘法公式、整式除法以及八年级学习一元二次方程打好基础.本单元共分3课时，由浅入深地学习单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，三节课的知识环环相扣，每节课新知识的学习既是对前一节所学知识的应用，也为后一节学习奠定基础.所以在教学时要注意引导学生发现各知识点之间的联系，善于应用转化的思想，化未知为已知，形成较完整的知识结构.【教学目标】1、知识与技能目标：让学生了解和掌握单项式乘法法则，会进行单项式之间的乘法运算。
2、过程与方法目标：通过单项式乘法法则的推导及归纳，发展学生的逻辑思维能力。
3、情感、态度与价值目标：让学生主动参与探究，锻炼学生的发散思维，形成独立思考、勇于探究的习惯。
【教学重难点】重点：单项式乘法法则及其应用.难点：理解运算法则及其探索过程.【教学过程】一．温故知新：教师提出问题，引导学生复习幂的运算性质什么是单项式？什么是单项式系数？（设计意图：复习巩固，加强记忆。
）二．新知学习：（设计意图：两个问题的提出，引出新知，激发学生思考。
）（设计意图：从实际问题出发，引出了单项式乘法，使学生体会到数学知识来源于生活，并能解决生活中的问题.教师通过不断地追问，启发学生发现问题、解决问题，在此过程中展示新知识形成的过程..并且启发学生独立思考，归纳总结出单项式乘以单项式的法则。
七年数学下册第8章整式乘法和因式分解82整式乘法教学课件新版沪科版
注意：
(x2y)(xy+1)=x3y2+1
当心符号
不要漏乘项，这样不公平
注意运算顺序，先乘（开）方，再乘除，最后算加减
+
+x2y
(它生病了吗？是什么问题？你能对症下药吗？)
8.2 整式乘法第二课时
教学课件
数学 七年级下册 沪科版
8.2 整式乘法第一课时
幂的乘方运算法则（am）n＝amn（m，n都是正整数）底数不变，指数相乘
积的乘方运算法则
（ab)n = anbn (n为正整数）
同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）底数不变，指数相加
每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
运用一：先化简,再求值:
(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6;(x + 4)(x + 2) = x² + 6x + 8;(x + 6)(x + 5) = x² + 11x + 30;
根据你发现的规律,你能快速写出下面 的结果吗?
你能说出与(x + a) (x + b)相等的多项式吗?
(4) (2 × 104 )•(6×10 3)•10 7
(3) (-3x) 3 • （5x2y)
(2) (－ 6ay3 )•(－a2）
（结果用科学计数法表示）
×
×
×
×
（1）4a2 •2a4 = 8a8 ( )
（2）6a3 •5a2=11a5 ( )
沪科版数学七年级下册七年级下册数学第8章整式乘法与因式分解单元复习
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第8章整式乘法与 因式分解
二、整式乘法
单项式的乘法：①单项式×单项式 （单项式÷单项式）； ②单项式×多项式
（多项式÷单项式）.
？
多项式的乘法.
上述运算的法则分别是什么？
对点练习2
1.化简求值：2x(x2-x+1)-(x-1)(2x2+x),
其中x=.
1 3
例已知一块正方形木板，它的边长为 (a+4)cm，从中锯去一个边长为(a-2)cm的 小正方形，则剩余木板的面积是多少？
思考：（1）原木板的面积是多少？ (a+4)2 （2）锯去的木板面积又是多少？ (a-2)2
（3）题中的等量关系是什么？
原木板面积-锯去木板面积=剩余木板面积
解：由题意，得 (a+4)2-(a-2)2 =a2+8a+16-(a2-4a+4) =a2+8a+16-a2+4a-4 =12a+12(cm2). 答：剩余木板的面积为(12a+12)cm2.
4.若x2-mx-24=(x+4)(x+n)，
则m+n=_____-__4.
5.若x-x-1=2,则x2+x-2=_____6_____. 6.计算：(2x2y-x)÷(-x)=____1_-_2_x_y___.
7.解不等式：(2x+1)2-(x-1)2＞(3x+2)(x-3)
解：(2x+1)2-(x-1)2＞(3x+2)(x-3)
分解因式时，应提取的公因式是 ___4_a_b_(a_-_b_)___.
2.分解因式：
①2x2-；
1
第8章整式乘法和因式分解复习课课件38张初中数学沪科版七年级下册
【当堂检测】
5.计算：(1)(2a＋5b)(a－3b)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)； (3)(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y)．
解：(1)原式=2a2-6ab+5ab-15b2 =2a2-ab-15b2.
(2)原式=x3-x2+x+x2-x+1 =x3+1.
(3)原式=(-9x2+9xy-2y2)-(6x2-xy-y2) =-15x2+10xy－y2.
典型例题
例6.如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. b
(1)图①中阴影部分的面积为___a_2-_b_2___， a
图②中阴影部分的面积为_(_a_+_b_)_(_a_-_b_)；
(2)通过视察比较两图的阴影部分面积， 可以得到乘法公式为__(_a_+_b_)_(_a_-_b_)_=_a_2_-_b_2 ___(用式子表达)；
2
分析：本题是一个含有整式的乘方、乘法、加减的混合运算，根据式子的 特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键． 解：原式=a2－4ab＋4b2＋a2－b2－2(a2－4ab＋3b2)
=2a2－4ab＋3b2－2a2＋8ab－6b2＝4ab－3b2.
当a=
1 2
，b=-3时，原式=4×
1 2
×(-3)-3×(－3)2=-6-27=-33.
C. a4 ·a3=a7
D. a2·a4=a8
解析：a2·a4=a2+4=a6，故D选项错误.
2.(1)若∣p+3∣=(-202X)0，则p＝ -4或-2 ；
(2)若(x-2)0＝1，则x应满足的条件是 x≠2 ．
解析：任何不等于0的数的0次幂都等于1,；故(1)中∣p+3∣=1，(2)中x-2≠0.