(完整版)4.1.1圆的标准方程(优质课)
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人教版高中数学必修2(A版) 4.1.1圆的标准方程 PPT课件
圆外. 解:所求圆的标准方程为: (x-2)2+(y+3)2=25 把M1的坐标代入方程左边得: ∴点M1在圆上. (5-2)2+(-7+3)2=25
把M2的坐标代入方程左边得: (1-2)2+(1+3)2=17<25
∴点M2不在圆上,而是在圆内.
把M3的坐标代入方程左边得: (6-2)2+(1+3)2=32>25 ∴点M3不在圆上,而是在圆外.
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点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、 外的条件是什么？ (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆内
点M0在圆外
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例1:写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(1,1),M3(6,1)是否在这个圆上.如果不在,判断它在 圆内还是在圆外.
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例2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
分析：△ABC的外接圆方程
未知量 是什么？
x a y b
2
2
r
2
B
C A
(知道模样，用待定系数法）
a
b
r
方案1： 解三方程 构成方程 组 已知量 是什么？
P0 ( x0 , y0 )
o
x
x 直线l方程y-y0=k(x-x0) （直线上任意一点坐标关系，以点 斜式为基础推导了斜截式、两点式、 截距式方程，最后统一成一般式）
把M2的坐标代入方程左边得: (1-2)2+(1+3)2=17<25
∴点M2不在圆上,而是在圆内.
把M3的坐标代入方程左边得: (6-2)2+(1+3)2=32>25 ∴点M3不在圆上,而是在圆外.
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点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、 外的条件是什么？ (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆内
点M0在圆外
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例1:写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(1,1),M3(6,1)是否在这个圆上.如果不在,判断它在 圆内还是在圆外.
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例2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
分析：△ABC的外接圆方程
未知量 是什么？
x a y b
2
2
r
2
B
C A
(知道模样，用待定系数法）
a
b
r
方案1： 解三方程 构成方程 组 已知量 是什么？
P0 ( x0 , y0 )
o
x
x 直线l方程y-y0=k(x-x0) （直线上任意一点坐标关系，以点 斜式为基础推导了斜截式、两点式、 截距式方程，最后统一成一般式）
圆的标准方程(优质课)
r
圆上点的集合
A
P={M||MA|=r}. 平面上到一个定点的距离等于定长的 点的集合叫做圆.
知识应用：
圆的标准方程
y
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点， 根据圆
的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
所以圆C就是集合
r
C O
M
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式， 说明： 1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。
y M
r
A o
x
课时作业
P120：练习： 1，3. P124：习题4.1 A组：2，3，4.
探究二：点与圆的位置关系 思考7:在平面几何中，初中学过：点与 圆有哪几种位置关系？ 思考8:在初中平面几何中，如何确定点 与圆的位置关系？
A O OA<r O OA=r A O A
OA>r
思考9:在直角坐标系中,已知点M(x0，y0) 2 2 2 ( xa ) ( yb ) r ,如何判断点 和圆C： M在圆外、圆上、圆内？
(5 a) (1 b) r a 2 2 2 2 (7 a) (3 b) r b 3 (2 a)2 (8 b)2 r 2 r 5 所求圆的方程为 2 2 待定系数法 ( x 2 ) ( y3 ) 2 5
3 1 ( , ), 2 2
l
x 3y 3 0 x y 1 0 所以圆心C的坐标是 ( 3 , 2)
解方程组 圆心为C的圆的半径长
1 1 3 y (x ) 2 3 2
即
x 3 y 3 0
得
x 3, y 2.
圆上点的集合
A
P={M||MA|=r}. 平面上到一个定点的距离等于定长的 点的集合叫做圆.
知识应用：
圆的标准方程
y
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点， 根据圆
的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
所以圆C就是集合
r
C O
M
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式， 说明： 1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。
y M
r
A o
x
课时作业
P120：练习： 1，3. P124：习题4.1 A组：2，3，4.
探究二：点与圆的位置关系 思考7:在平面几何中，初中学过：点与 圆有哪几种位置关系？ 思考8:在初中平面几何中，如何确定点 与圆的位置关系？
A O OA<r O OA=r A O A
OA>r
思考9:在直角坐标系中,已知点M(x0，y0) 2 2 2 ( xa ) ( yb ) r ,如何判断点 和圆C： M在圆外、圆上、圆内？
(5 a) (1 b) r a 2 2 2 2 (7 a) (3 b) r b 3 (2 a)2 (8 b)2 r 2 r 5 所求圆的方程为 2 2 待定系数法 ( x 2 ) ( y3 ) 2 5
3 1 ( , ), 2 2
l
x 3y 3 0 x y 1 0 所以圆心C的坐标是 ( 3 , 2)
解方程组 圆心为C的圆的半径长
1 1 3 y (x ) 2 3 2
即
x 3 y 3 0
得
x 3, y 2.
圆的标准方程(优质课)
M在这个圆上；
把点 N( 5,1)的坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 的N 坐标不适合圆的方程，所以点 不N在 这个圆上．
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点M（x0，y0） 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系？
M
M
M
O
O
O
点在圆内 |OM|<r
(x0-a)2+(y0b)2<r2
例2 AB的C三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(xa)2(yb)2r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
aaa222(((572114a40aaaaa14)))a04222a42958b(((11b2bb830b22b13)6bb226b21))bb22006r19240rr22rrr222
y11(x3) 即 x3y30
23 2
解方程组
x 3y 30 x y10 得
x 3,
y
2.
圆心C的坐标是 (3,2)
O D
C B(2,-2)
圆的半径长 r |A| C (1 3 )2 (1 2 )2 5
所以圆的标准方程 (x 3 )2 (y 2 )2 25
跟踪练习
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心 在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解2:设圆C的方程为 (x a )2 (y b )2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
ab10 (1a)2 (1b)2 r2
把点 N( 5,1)的坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 的N 坐标不适合圆的方程，所以点 不N在 这个圆上．
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点M（x0，y0） 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系？
M
M
M
O
O
O
点在圆内 |OM|<r
(x0-a)2+(y0b)2<r2
例2 AB的C三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(xa)2(yb)2r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
aaa222(((572114a40aaaaa14)))a04222a42958b(((11b2bb830b22b13)6bb226b21))bb22006r19240rr22rrr222
y11(x3) 即 x3y30
23 2
解方程组
x 3y 30 x y10 得
x 3,
y
2.
圆心C的坐标是 (3,2)
O D
C B(2,-2)
圆的半径长 r |A| C (1 3 )2 (1 2 )2 5
所以圆的标准方程 (x 3 )2 (y 2 )2 25
跟踪练习
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心 在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解2:设圆C的方程为 (x a )2 (y b )2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
ab10 (1a)2 (1b)2 r2
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方程PPT全文课件
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
一、学习目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。 2、能准确判断点与圆的位置关系。 3、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的 位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
标是方程组 的解
x -14
y
1
0
解得：
x -16 2
y
3
即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA 2 52 3 12 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
x 22 y 32 25
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心A(a,b),半径r）
例2、ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
a2 (510aa)225(1b2b)22br12 r2
aa22 ((72144aaaa14))0a422a498b((1b20b83b21362bb6b1))b02206940rr22rr
2.点与圆的位置关系
3.求三角形外接圆的方法： ①待定系数法 ②几何法
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
随堂检测： 1.说出下列圆的方程：
y
OA
x
r
一、学习目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。 2、能准确判断点与圆的位置关系。 3、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的 位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
标是方程组 的解
x -14
y
1
0
解得：
x -16 2
y
3
即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA 2 52 3 12 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
x 22 y 32 25
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心A(a,b),半径r）
例2、ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
a2 (510aa)225(1b2b)22br12 r2
aa22 ((72144aaaa14))0a422a498b((1b20b83b21362bb6b1))b02206940rr22rr
2.点与圆的位置关系
3.求三角形外接圆的方法： ①待定系数法 ②几何法
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
随堂检测： 1.说出下列圆的方程：
高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程
解:(3)设圆心为 C,AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0.
由
3x 3x
2y 15 10y 9
0, 0,
得
x y
7, 3,
所以圆心 C(7,-3),又 CB= 65 ,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(4)以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程.
3.圆的标准方程的定义 我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径长为r(r>0)的圆的方 程,把它叫做圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即a=b=0时,圆的标准方程为x2+y2=r2;当圆心 在坐标原点,r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,称为单位圆.
4.几种特殊位置的圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
课标要求:1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2. 能根据所给条件求圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.
自主学习
知识探究
1.确定圆的几何要素 在平面直角坐标系中,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因 此,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径,即位置和大小. 2.圆的定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长 就是半径长.
条件
方程形式
单位圆(圆心在原点,半径长 r=1)
x2+y2=1
过原点(圆心(a,b),半径长 r= a2 b2 ) 圆心在原点(即 a=0,b=0,半径长为 r,r>0)
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2=r2
圆心在x轴上(即b=0,半径长为r,r>0) 圆心在y轴上(即a=0,半径长为r,r>0) 圆心在x轴上且过原点(即b=0,半径长r=|a|)
【高中课件】数学411 圆的标准方程共59张PPT课件ppt.ppt
.
• 4 ． 以 (3,4) 为 圆 心 ， 且 过 点 (0,0) 的 圆 的 方 程 为 ()
• A．x2＋y2＝25 • B．x2＋y2＝5 • C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 • D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 • [答案] C
[解析] 半径 r＝ 32＋42＝5，故圆的方程为
• [分析] 只要确定了圆心坐标和半径就可以写出 圆的方程．
[解析] (1)圆的半径 r＝|CA|＝ (2＋2)2＋(－2－1)2＝5. ∵圆心为(－2,1)，∴所求圆的方程为 (x＋2)2＋(y－1)2＝25. (2)∵直线 3x－4y－6＝0 是所求圆的切线， ∴圆心(1,3)到这条直线的距离等于圆的半径， ∴圆的半径为 r＝|3×1－324＋×432－6|＝3. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
• 求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋ 8＝0上的圆的方程．
(x－3)2＋(y－4)2＝25.
• 5．根据下列条件，求圆的方程填空： • (1)圆心C(－2,1)过点A(2，－2)，________； • (2)圆心C(1,3)与直线3x－4y－6＝0相切，______；
(3)过点(0,1)和点(2,1)，半径为 5，________.
• [答案] (1)(x＋2)2＋(y－1)2＝25 (2)(x－1)2＋(y －3)2＝9 (3)(x－1)2＋(y＋1)2＝5或(x－1)2＋(y－ 3)2＝5
• 本节学习重点：圆的标准方程的推导以及根据具 体条件正确的求出圆的标准方程．
• 本节学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单 的实际问题．
• 1．确定圆的几何要素：
• 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆 心和半径确定下来，圆也就确定下来了．