2020年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知x，，，则A. B. C. D.3.若双曲线C：的一条渐近线方程为，则A. B. C. D.4.某地区城乡居民储蓄存款年底余额单位：亿元如图所示，下列判断一定不正确的是A. 城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B. 农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C. 到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D. 城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降5.已知向量，，且，则A. B. 2 C. D. 36.设x，y满足约束条件，则的最大值为A. B. 2 C. 0 D. 47.从集合中任意取出两个不同的元素，则取出的两元素之和为奇数的概率是A. B. C. D.8.在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，，则AC边上的高线的长为A. B. C. D.9.如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，有下列四个结论：与CM是异面直线；，CM，相交于一点；；平面D.其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.10.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足，，如图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波那契数列的前50项，则图中的空白框应填入A. ，B. ，C. ，D. ，11.过抛物线C：的焦点F作直线l，且直线l与C及其准线分别相交于A，B，D三点，若，则A. 直线l的斜率为B. 直线l的斜率为C. D.12.已知函数，若在上无零点，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．14.已知直线是曲线的一条切线，则______．15.设为锐角，若，则______．16.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在公比大于0的等比数列中，已知，且，，成等差数列．求的通项公式；已知，试问当n为何值时，取得最大值，并求的最大值．18.在三棱锥中，，，平面平面ABC，点M在棱BC上．若M为BC的中点，证明：．若三棱锥的体积为，求M到平面ABD的距离．19.某水果批发商经销某种水果以下简称A水果，购入价为300元袋，并以360元袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元袋的价格低价处理完毕根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购入该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如频数分布条形图．记x表示A水果一天前8小时内的销售量，y表示水果批发商一天经营A水果的利润，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数．若，求y与x的函数解析式；假设这100天中水果批发商每天购入A水果15袋或者16袋，分别计算该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数，以此作为决策依据，每天应购入A水果15袋还是16袋？20.已知函数．若，求的单调区间；若存在唯一的零点，且，求a的取值范围．21.已知椭圆上的点P到左、右焦点，的距离之和为，且离心率为．求椭圆的标准方程；过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值．22.在极坐标系中，极点为O，一条封闭的曲线C由四段曲线组成：，．求该封闭曲线所围成的图形面积；若直线l：与曲线C恰有3个公共点，求k的值．23.已知函数．求不等式的解集；若存在，使得关于x的方程恰有一个实数根，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：因为集合，，所以，，所以．故选：D．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：由，得，则，，即，，所以，．故选：A．利用复数的四则运算、复数相等即可得出．本题考查了复数的四则运算式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得．故选：C．由题意知，且双曲线是焦点在x轴上的双曲线，写出其渐近线方程，结合已知可得关于m的方程，则m值可求．本题考查双曲线的渐近线方程，考查运算求解能力，是中档题．4.答案：C解析：解：到2019年，在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然小于城镇居民储蓄存款所占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城镇居民的存款总额，选项C说农村居民的存款年底总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的．故选：C．根据扇形统计图和条形统计图即可判断出答案．本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．5.答案：A解析：解：向量，，由，得，所以，则．故选：A．直接根据数量积结合已知条件即可求解结论．本题考查平面向量数量积公式，考查运算求解能力．6.答案：B解析：解：由题可知，再画出可行域如图，解得，当l：平移到过点时，z取得最大值，最大值为：2．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，平移直线，判断最优解，利用数形结合即可的得到结论．本题考查线性规划问题，考查数形结合的思想以及运算求解能力．7.答案：B解析：解：由题可知1，2，3，，从集合A的元素中取出两个不同的元素共有种情况，取出的两元素之和为奇数的有种情况，故取出的两元素之和为奇数的概率为．故选：B．从集合A的元素中取出两个不同的元素共有种情况，取出的两元素之和为奇数的有种情况，由此能求出取出的两元素之和为奇数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是基础题．8.答案：D解析：解：因为，，，所以由余弦定理，可得，整理可得，又，所以．因为，所以AC边上的高线的长为．故选：D．由已知利用余弦定理可得，结合，可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解AC边上的高线的长．本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查运算求解能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：因为，，所以AP与CM是相交直线，又面面，所以AP，CM，相交于一点，则不正确，正确．令，因为M，N分别是，BC的中点，所以，，则为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，不正确，正确．综上所述，正确，故选：B．本题利用线线间的关系，以及线线平行和线面平行的条件求解．本题考查了空间中点、线、面的位置关系，需要学生有较强的空间想象能力，逻辑分析能力．10.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得执行第1次，，，，，循环，因为第二次应该计算，，循环，执行第3次，因为第三次应该计算，由此可得图中的空白框应填入，．故选：A．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查数学文化在算法中的应用，考查赋值语句的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：当直线l的斜率为正数时，准线与x轴交于点M，过A，B两点分别作，垂直于准线，如图所示，则，即，设，所以，，，．所以直线l的斜率为，，解得，即．由对称性可知直线l的斜率为，．故选：C．当直线l的斜率为正数时，准线与x轴交于点M，过A，B两点分别作，垂直于准线，结合图形，设，通过比例关系，转化求解弦长即可．本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合的思想和运算求解能力．12.答案：B解析：解：，若，则，在上无零点，，则，，解得．又，解得，，当时，；当时，．．故选：B．先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得，由于在上无零点，因此，且，，在的限制条件下，解不等式即可得解．本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.答案：12解析：解：根据题意，函数，则，，；则有；故答案为：12．根据题意，由函数的解析式可得，，；计算即可得答案．本题考查分段函数的函数值计算，注意认真分析函数的解析式，属于基础题．14.答案：解析：解：设，且与相切于点，因为，所以，且，解得．故答案为：．先对函数求导数，然后令导数为4，求出切点的横坐标，进而利用曲线求出切点坐标，代入直线方程，即可求出b的值．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．属于基础题．15.答案：解析：解：因为为锐角，，所以，则，，所以．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据二倍角公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.答案：解析：解：如图，设，则，设，则底面的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高，该圆锥的体积为．故答案为：．由题意画出图形，由圆锥的侧面积求出母线长及底面半径，再由圆锥体积公式求解．本题考查圆锥的结构特征、体积与表面积计算公式，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．17.答案：解：设的公比为q，，由，得，即，因为，，成等差数列，所以，即，即，解得舍去，，所以，；，由，所以当或4时，取得最大值，．解析：设的公比为q，，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；由等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，可得，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值和n的值．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．18.答案：解：证明：取AC的中点O，连接OB，OD，因为，所以．又因为平面平面ABC，且相交于AC，所以平面ABC，所以．因为，所以，所以，所以≌，所以，且M为BC的中点，所以．解：，所以．在中，，设M到平面ABD的距离为h，则，解得．所以M到平面ABD的距离为．解析：取AC的中点O，连接OB，OD，则推导出平面ABC，从而推导出，，≌，，且M为BC的中点，由此能证明．，从而设M到平面ABD的距离为h，由，能求出M到平面ABD的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：当时，，当时，，综上，．若水果批发商每天购入A水果15袋，则这100天中有80天的利润为900元，有20天的利润为760元，因此该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数为．若水果批发商每天购入A水果16袋，则这100天中有50天的利润为960元，有30天的利润为820元，有20天的利润为680元，因此该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数为．比较两个平均数可知，每天应购入A水果15袋．解析：对x与16的大小关系进行分类，得出y关于x的分段函数；分别计算两种情况时的平均利润，得出结论．本题考查了函数解析式，函数值计算，属于基础题．20.答案：解：因为，则，，令，解得．当时，；当时，．故在，上单调递增，在上单调递减．当时，，的零点是，不符合题意．当时，，当时，在R上单调递增，所以，不符合题意，当时，令，解得，在，上单调递增，在上单调递减．若存在唯一的零点，且，则，解得．综上，a的取值范围为．解析：将代入，求导，解关于导函数的不等式，进而得出函数的单调区间；分及两种情况讨论，当时显然不符合题意，当时，再分及两种情况讨论，综合即可得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查函数的零点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：，所以，，所以，所以，椭圆的标准方程为．由题可知直线l的斜率必存在，又，设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，化简得，所以，．，当且仅当时，取得最大值．所以面积的最大值为．解析：利用椭圆的定义以及离心率，转化求解椭圆的标准方程．已知，直线斜率显然存在，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合三角形的面积通过基本不等式转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．如果是考试用题：建议：第一问得出，各得分，写出椭圆的标准方程得分；第二问未说明直线l的斜率存在扣分；若采用其他方法解题，参照本评分标准按步骤给分．22.答案：解：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的直角坐标方程为，，，．曲线C由弧，弧，弧，弧四段圆弧组成，每段圆弧均在半径为2的圆上，则该封闭曲线所围成的图形面积．直线l的直角坐标方程为，即．当直线l经过点H，A，B时，．当直线l经过点E，F，D时，，故k的值为．解析：首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步求出封闭图形的面积．利用直线和曲线的位置关系的应用求出k的值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，分割法的应用，直线和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，作出函数的图象如图：由，得，由，得．不等式的解集为；存在，使得关于x的方程恰有一个实数根，即存在，使得，即，，的取值范围是解析：写出分段函数解析式，作出图象，数形结合可得不等式的解集；存在，使得关于x的方程恰有一个实数根，即存在，使得，即，由的范围求得的范围得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．。
2020届湖南省衡阳市高三第二次联考(二模考试)文科数学试卷参考答案
又 由
0 AD
A
，
1
( AB
A AC
设|―D→F |＝x，则 F(x,2)，故―A→F ＝(x,2)，―A→E ＝(2,1)．∵―A→F ·―A→E ＝|―A→E |2，
∴(x,2)·(2,1)＝2x＋2＝5，解得 x＝3，∴|―A→F |＝5..
2
2
法二：连接 EF(图略)，∵―A→F ·―A→E ＝|―A→F |·|―A→E |cos∠EAF＝|―A→E |2，∴|―A→F |cos∠EAF＝
(2)若两个旅游团人数之和为 110 人，设两个旅游团分别为 x, y 人，则 x + y = 110 ，因
分 别 购 票 共 需 支 付 门 票 费 1290 元 ， 则 不 妨 设 1 x 50,51 y 100 ， 且
13x + 11y = 1290 ，所以 x = 40, y = 70 .
【答案】选
B.【解析】因为
a
ln
2,
b
1
52
, c
log 3
2
，又
1 2
log3
2
ln
2
1，
1
05 2
1
42
1
，所以 b
c
a ，即 a
c
b.
2
10. 【答案】选 B.【解析】因为 990 不能被 13 整除，所以两个旅游团人数之和为 90 人或
110 人；
(1)若两个旅游团人数之和为 90 人，因 13×90=1170<1290，所以不合条件；
除 A;当 x >
2 时，
f
( x)
(2x
x2 )ex (ex 1)2
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ，1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，所以 2,2A B ∩.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i ）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ，原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i ．∴1,5,8i j k ；2,6,9i j k ；3,7,10i j k ；4,8,11i j k ；5,9,12i j k ．原位小三和弦满足：4,3k j j i ．∴1,4,8i j k ；2,5,9i j k ；3,6,10i j k ；4,7,11i j k ；5,8,12i j k ．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b .A ：因为215(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b ，所以本选项不符合题意；C ：因213(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b ，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a 可得：421153111122124a q a q q a a q a q ，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ，因此1121222n n n n n S a .故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环，2011a ,011k ，210 为否第2次循环，2113a ,112k ，310 为否第3次循环，2317a ,213k ，710 为否第4次循环，27115a ,314k ，1510 为是退出循环输出4k .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 的距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，所以函数 f x 为奇函数．又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为：19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和．若1262,2a a a ，则10S __________．【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列，根据已知条件262a a ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列，且12a ，262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式： 11n a a n d 可得1152a d a d 即： 2252d d 整理可得：66d 解得：1d∵根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N可得： 1010(101)1022045252S1025S .故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y，，则2z x y 的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x ，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x，当直线经过点A 时，直线1122y x z 在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解，解得：23x y，因此2z x y 的最大值为：2238 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若33b c a，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc ，将33b c a 代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A，所以25sin cos 4A A ，即251cos cos 4A A ，解得1cos 2A ，又0A ，所以3A；（2）因为3A ，所以2221cos 22b c a A bc ，即222b c a bc ①，又33b c a②，将②代入①得， 2223b c b c bc ，即222250b c bc ，而b c ，解得2b c ，所以3a c，故222b a c ，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix，2011200i iy，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000 （2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y ，2C ：28y x .【解析】【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ，其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b，所以当x c 时，有222221c y b y a b a ，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24y cx ，所以当x c 时，有242y c c y c ，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c ，故22||bAB a，||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a，即2322()c c a a ，解得2c a （舍去），12c a .所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c ，3b c ，故22122:143x y C c c，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c ，(0,3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ，即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ，2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V .【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ，平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故：3ON AP，则333AM AP ，∵平面11EB C F 平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP ，MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由（1）知，四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形，h 为M 到PN 的距离23sin 603MH ， 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a的单调性．【答案】（1）1c ；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x ，根据()m x 的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ，设()2ln 12(0)h x x x c x ，则有22(1)()2x h x x x，当1x 时，()0,()h x h x 单调递减，当01x 时，()0,()h x h x 单调递增，所以当1x 时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ，要想不等式() 在(0,) 上恒成立，只需max ()0101h x c c ；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ，设()2(ln ln )m x x a x x x a ，则有()2(ln ln )m x a x ，当x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减；当0x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年湖南省怀化市高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年湖南省怀化市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={x|x2+3x<0}，则A∩B=()A. (0,2)B. (−1,0)C. (−3,2)D. (−1,3)2.若z=1−i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为()A. (1,−3)B. (−3,1)C. (1,1)D. (−1,1)3.已知sin(π6+α)=14，则cos(2π3−2α)=()A. 1516B. −1516C. 78D. −784.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是()A. 56B. 34C. 12D. 166.已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a3等于()A. 16B. 8C. −16D. −87.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计样本数据的中位数为()A. 1009B. 11.52C. 12D. 138. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)在(0,+∞)内单调递减，则( )A. f(0)<f(log 32)<f(−log 23)B. f(log 32)<f(0)<f(−log 23)C. f(−log 23)<f(log 32)<f(0)D. f(log 32)<f(−log 23)<f(0)9. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了。
2020年高考全国II卷文科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标II ）一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂= （ ）A.∅B.{3,2,2,3}--C.{2,0,2}-D.{2,2}-【答案】D【解析】{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -= （ ）A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A【解析】42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 （ ）A. 5B. 8C.10D. 15【答案】C【解析】原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 （ ）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中， 与b 垂直的是 （ ）A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【答案】D【解析】21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ． 6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = （ ）A.21n- B.122n--C.122n -- D.121n--【答案】 B 【解析】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为 （ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 （ ）A.5B.5C.5D.5【答案】B【解析】依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --==标为(5,5)时，其到直线230x y --==，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =． 10．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ）A.是奇函数，且在(0,)+∞单调递增B.是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C.是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D.是偶函数，且在(0,)+∞单调递减【答案】A【解析】因为331()f x x x=-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x =-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x =-为(0,)+∞增函数，故选A ． 判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的．11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 （ ）B.32C.1【答案】C【解析】2ABC S AB ∆==3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12． 若2233x y x y ---<-，则（ ）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233xyxy x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233xyx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题 13．若2sin 3x =-，则cos2x = ． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______． 【答案】25【解析】由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．【答案】8【解析】方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题． 对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题． 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题． 对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）3b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形． 【解析】（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b=（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160ii x==∑，2011200i i y ==∑，2021()80ii x x =-=∑，2021()9000i i y y =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：()()niix x y y r --=∑1.414≈【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得()()0.94niix x yy r --===≈∑；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12． （2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c p d c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F （1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．【解析】（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，ON AP ==M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH⊥平面11EB C F，由PM =,6AO =,MN =,得PM MNMH PN⋅==11111()242EB C FS B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【解析】（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞； （2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=， 令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥； 因为222222212:12x t t C y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=．23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即 ()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥. （2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。
2020年湖南省五岳高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年湖南省五岳高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.5+i 1−i=( )A. 2+3iB. 3+3iC. 2−3iD. 3−3i2. 已知集合A ={x|y =√−x +2}，B ={x|y =log 2(3−2x)}，则有( )A. A ∩B ={x|x <32} B. A ∩B ={x|x ≤2} C. A ∪B ={x|x <32}D. A ∪B ={x|x <2}3. 某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为( )A. 9,16,5B. 10,15,5C. 10,17,3D. 9,18,34. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，则−12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. (−12,5)B. (12,5)C. (−12,−5)D. (12,−5)5. 已知圆的方程为x 2+y 2−2x +4y +2=0，则圆的半径为( )A. 3B. 9C. √3D. ±36. 已知数列{a n }是等差数列，若a 1=2，a 4=2a 3，则公差d =( )A. 0B. 2C. −1D. −27. 设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，点M(a,b).若∠MF 1F 2=30°，则双曲线C 的离心率为( )A. 32B. √2C. 2D. √38. 函数f(x)=3+2x 1+x(x >0)的值域是( )A. (−∞,3)B. (3,+∞)C. (2,3)D. (0,3)9. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为√3，则三棱锥A 1−B 1BC 的体积为( )A. 12B. √32C. 1D. √310. 设f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(x+1)−f(1)2x=3，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )A. 32B. 3C. 6D. 无法确定11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的外接球的表面积为()A. 27πB. 49πC. 81πD. 100π12.在函数：①y=cos|2x|；②y=|cos x|；③y=cos(2x+π6)中，最小正周期为π的所有函数为()A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y是正数，1x +2y=1，则2x+yxy+1的最小值为______．14.已知三个数(12)π,log23,log2π，其中最大的数是__________15.在等比数列{a n}中，若a2=9，a5=243，则数列{a n}的前4项和为________．16.F1、F2分别为椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点，P是C上的任意一点．则|PF1|⋅|PF2|的最大值为______，若A(0,4√6)，则|AP|−|PF2|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．(Ⅰ)求A(Ⅱ)若a=2，求△ABC面积的最大值．18.如图所示，正三棱柱A1B1C1−ABC中，A1A=4，D，E分别为A1C1，BC1的中点．(1)求证：DE//平面A1ABB1；(2)若三棱锥E−ACD的体积为2√3，求该三棱柱底面边长．19.设a>0且a≠1，函数f(x)=a x+x2−xlna−a．(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)的最小值;(3)求函数f(x)的零点个数，并说明理由．20.为激发果农对樱桃种植的热情，某商场每年六月会从果农中订购他们所种植的樱桃，假设商场每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，当天未售完的樱桃降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完．根据往年情况，每天需求量n(单位：公斤)与当天平均气温ℎ(单位：℃)有关．如果ℎ≥25，n=300；如果ℎ∈[20,25),n=200；ℎ∈[15,20),n=100；ℎ<15，n=50.为了确定今年6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月平均气温数据，得到如下所示的频数分布表：(1)若设该商场某天进货220公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率；(2)假设该商场打算在这90天内每天进货200公斤或220公斤，请你以销售樱桃每天为商场带来的利润的期望值作为决策依据，帮该商场作出正确的进货量选择．21.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F，抛物线上一点P点纵坐标为2，|PF|=3．(1)求抛物线的方程；(2)已知抛物线C与直线l：y=kx+1交于M,N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有k PM+k PN=0？说明理由．22.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，0≤θ≤π2，曲线C2的参数方程为{x=t+2t−1y=t−2t+1(t为参数)．(1)将曲线C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程；(2)设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|x的解集；(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：5+i1−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+6i2=2+3i．故选：A．2.答案：A解析：解：∵集合A={x|y=√−x+2}={x|x≤2}，B={x|y=log2(3−2x)}={x|x<32}，∴A∩B={x|x<32}，A∪B={x|x≤2}．故选：A．先分别求出集合A，B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式求解等基础知识，是基础题．3.答案：D解析：根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30×45150=9，中级职称人数为30×90150=18，初级职称人数为30×15150=3．故选D ．4.答案：C解析：因为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,10)，则−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−5). 5.答案：C解析：本题考查了圆的标准方程，属于基础题．把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径． 【详解】解：把圆的方程x 2+y 2–2x +4y +2=0化为标准方程是(x–1)2+(y +2)2=3， ∴圆的半径为√3． 故选C ．6.答案：D解析：本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题． 由题意利用等差数列的通项公式，可得公差d 的值．解：∵数列{a n }是等差数列，若a 1=2，∵a 4=2+3d =2a 3=4+4d ， 则公差d =−2， 故选：D ．7.答案：C解析：解：由题意可得F 1(−c,0)，M(a,b)， 直线MF 1的斜率为tan30°=√33，即有ba+c=√33，即a +c =√3b ，平方可得(a +c)2=3b 2=3(c 2−a 2)=3(c +a)(c −a)， 化简可得a +c =3(c −a)， 即为c =2a ，可得e =ca =2． 故选：C ．求得直线MF 1的斜率为tan30°=√33，即有b a+c=√33，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a ，b ，c 的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查函数的值域，属于基础题．先将解析式变形，因为x >0，可得x +1>1，即1x+1∈(0,1)，即可求出值域． 解：f (x )=3+2x 1+x=2(x+1)+1x+1=2+1x+1，∵x >0，∴x +1>1，∴1x+1∈(0,1)， ∴函数的值域为(2,3)． 故选C ．9.答案：C解析：解：正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为√3， 棱柱的底面面积为：√34×22=√3，棱柱的体积为：SH =√3×√3=3，由三棱锥的体积的推导过程可知：三棱锥A 1−B 1BC 的体积为：13V 三棱柱=13×3=1． 故选：C ．求出棱柱的体积，然后求解棱锥的体积即可．本题考查棱锥的体积的求法，三棱锥与三棱柱的体积关系，基本知识的考查．10.答案：C解析：本题考查数列极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义，属于基础题．y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=limx→0f(x+1)−f(1)x=2limx→0f(x+1)−f(1)2x.解：∵f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(x+1)−f(1)2x=3，∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=limx→0f(x+1)−f(1)x=2limx→0f(x+1)−f(1)2x=2×3=6，故选：C．11.答案：C解析：解：根据几何体的直观图知，它是一正四棱柱被截去了两个三棱锥得到的，与原正四棱柱有相同的外接球，该正四棱柱的体对角线为球的直径，其长度为√62+62+32=√81=9，所以外接球的直径为9，外接球的表面积为4π×(92)2=81π．故选：C．解：根据几何体的直观图知，它是一正四棱柱被截去了两个三棱锥得到的，与原正四棱柱有相同的外接球，该正四棱柱的体对角线为球的直径，求出对角线的长，得外接球的直径，从而求出外接球的表面积．本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图还原出几何图形，是基础题．12.答案：A解析：本题考查三角函数的周期，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用余弦函数和余弦型函数的的性质即可求解．解：①中函数是一个偶函数，其周期与y =cos2x 相同，所以T =2π2=π即①符合题意;②中函数y =|cosx|的周期是函数y =cosx 周期的一半，所以T =π，即②符合题意; ③中的函数的周期T =2π2=π，即③符合题意;故选A ．13.答案：89解析：本题考查基本不等式在求最值方面的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先把关系式进行转换，进一步利用基本不等式的应用求出结果． 解：已知x ，y 是正数，1x +2y =1， 所以2x +y =xy ， 则：2x+yxy+1=1−12x+y+1，因为2x +y =(2x +y)⋅(1x +2y )=2+4x y+y x +2≥4+2√4x y ⋅yx =8，(当且仅当y =2x 时等号成立)．所以(2x +y)min =8，则(12x+y+1)max =19， 所以(1−12x+y+1)min =89，即2x+yxy+1的最小值为89． 故答案为：89．14.答案：解析：由指数函数的性质知0<(12)π<1，1<log23<log2π，所以最大数是log2π，故答案是log2π．15.答案：120解析：本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．属于基础题．直接应用等比数列的通项公式和求和公式不难求解．解：设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n,则q3=a5a2=27，∴q=3，∴a1=a2q=3，∴S4=a1(1−q4)1−q =3×(1−34)1−3=120，故答案为120．16.答案：9 4解析：解：∵P点在椭圆C：x29+y25=1上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，∵|PF1|>0，|PF2|>0，∴|PF1|⋅|PF2|≤(|PF2|+|PF2|)24=9，∴|PF1|⋅|PF2|有最大值9，如图，连接AF1，AF2，|AP|−|PF2|的最小值在如图所示的位置，此时AP比较小，|PF2|比较大，|AF1|是定值．|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6−|PF2|，|AF1|=|AP|+|PF1|=√4+16×6=10，|AP|=10−|PF1|=10−6+|PF2|=4+|PF2|则|AP|−|PF2|的最小值为4．故答案为：9；4．利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值2a，再利用均值定理求积|PF1|⋅|PF2|的最大值；画出图形利用椭圆的定义转化求解|AP|−|PF2|的最小值．本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．17.答案：解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得sinC=sinAcosB+sinBsinA①又A+B+C=π，故有sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB②由①②得sinA=cosA即tanA=1，又A∈(0,π)∴A=π4；(Ⅱ)△ABC的面积为S=12bcsinA=√24bc，又已知及余弦定理可得4=b2+c2−2bccosA≥2bc−2bccosA=(2−√2)bc，∴bc≤42−√2，当且仅当b=c时，等号成立，∴面积S=12⋅bcsinA≤√2+1，即面积最大值为√2+1．解析：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．(Ⅰ)运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到所求；(Ⅱ)由三角形的面积公式，余弦定理，结合基本不等式，即可得到所求最大值．18.答案：解析：(1)分别取A1B1，B1B中点M，N，连接DM，MN，EN，则DM//B1C1，EN//B1C1，∴EN//DM，且EN=DM=12B1C1，∴DMNE为平行四边形，∴DE//MN且MN⊂平面A1ABB1，DE⊄平面A1ABB1，所以DE//平面A1ABB1；(2)设该三棱柱底面边长为a，由正三棱柱可知，点B到平面A1ACC1的距离为ℎ=√32a，而S△ACD=12AC·A1A=2a，V E−ACD=12V B−ACD=12×13S△ACD·ℎ=16×2a×√32a=2√3，∴a2=12，a=2√3，所以三棱柱底面边长为2√3．解析：本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．(1)连接取A1B1，B1B中点M，N，连接DM，MN，EN，推导出DE//MN，由此能证明DE//平面A1ABB1；.(2)由V E−ACD=12V B−ACD，作AF⊥BC交BC于F，由正三棱柱的性质，得AF⊥平面BCC1B1，设底面正三角形边长为a，点B到平面A1ACC1的距离为ℎ=√32a，而S△ACD=12AC·A1A=2a，由此能求出该正三棱柱的底面边长．19.答案：解：(1)当a=e时，f(x)=e x+x2−x−e，f′(x)=e x+2x−1，设g(x)=e x+2x−1，则g(0)=0，且g′(x)=e x+2>0，所以，g(x)在(−∞,+∞)上单增，且当x>0时，g(x)>g(0)=0；当x<0时，g(x)<g(0)=0，即当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0．综上，函数f(x)的单增区间是(0,+∞)，单减区间是(−∞,0).(2)f′(x)=a x lna+2x−lna=(a x−1)lna+2x，①当a>1，若x>0，则a x>1，lna>0，所以f′(x)>0，若x<0，则a x<1，lna>0，所以f′(x)<0，②当0<a<1，若x>0，则a x<1，lna<0，所以f′(x)>0，若x<0，则a x>1，lna<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,0)上减，(0,+∞)上增．所以f(x)min=f(0)=1−a，(3)由(2)得：a>0，a≠1，f(x)min=1−a．(ⅰ)若1−a>0即0<a<1时，f(x)min=1−a>0，函数f(x)不存在零点．(ⅰ)若1−a<0即a>1时，f(x)min=1−a<0．f(x)的图象在定义域是不间断的曲线，f(x)在(−∞,0)上单减，在(0,+∞)上单增．f(a)=a a+a2−alna−a>a2−alna−a=a(a−lna−1)．令t(a)=a−lna−1，(a>1)，t′(a)=1−1a>0，所以t(a)在(1,+∞)递增；所以t(a)>t(1)=0.所以f(a)>0.故f(x)在(0,a)有一个零点．又f(−a)>a2−a>0，故f(x)在(−a,0)有一个零点．所以f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)各有一个零点，即f(x)有2个零点．综上：①0<a<1时，函数f(x)不存在零点；②a>1时，函数f(x)有2个零点．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过a的范围，求出函数单调区间，从而求出函数的最小值即可；(3)0<a<1时，函数无零点，a>1时，求出函数f(x)的最小值，根据函数的单调性判断函数的零点即可．20.答案：解：(1)当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元．所以当天该商场不亏损的概率P=90−1890=45.(2)设每天的进货量为220公斤，则每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值为：880×3690+720×3690−80×1690−480×290=61519(元)．设每天的进货量为200公斤，当需求量n≥200时，利润为4×200=800元；当需求量n=100时，利润为4×100−4×100=0元；当需求量n=50时，利润为4×50−4×150=−400元；此时利润的期望值为800×7290+0×1690−400×290=63119(元)，因为63119>61519，故从每天销售樱桃给商场带来的利润的期望值考虑，应选择进货量为200公斤．解析：本题考查古典概率及数学期望，考查了学生的运算求解能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据题意可得当需求量n =300时，利润为4×220=880元；当需求量n =200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n =100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n =50时，利润为4×50−4×170=−480元；进而利用古典概率公式即可得到结果；(2)设每天的进货量为220公斤，可求得每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值，设每天的进货量为200公斤，求得此时利润的期望值，进而即可得到结果．21.答案：解：(1)∵|PF|=y P +p 2，∴3=2+p 2，即p =2，故抛物线的方程为x 2=4y ．(2)设P(0,b)为符合题意的点，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2．将y =kx +1代入抛物线C 的方程得x 2−4kx −4=0，故x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，∴k PM +k PN =y 1−b x 1+y 2−b x 2=kx 1+1−b x 1+kx 2+1−b x 2 =2kx 1x 2+(1−b)(x 1+x 2)x 1x 2=−8k+4k(1−b)−4=k(1+b)，当b =−1时，即p(0,−1)，有k PM +k PN =0．解析：(1)利用抛物线的定义可得出p 的值，进而得出抛物线C 的方程；(2)设点P(0,b)，并设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并将韦达定理代入等式k PM +k PN =0可计算出b 的值．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，同时也考查了韦达定理设而不求法在抛物线综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．22.答案：解：(1)因为ρsin(θ+π4)=2√2，0≤θ≤π2，所以ρ(√22sinθ+√22cosθ)=2√2即x +y =4(0≤x ≤4)， 所以C 1的普通方程为x +y −4=0(0≤x ≤4)，由C 2得{(x +1)2=t 2+2t 2+4(y −1)2=t 2+2t −4⇒(x +1)2−(y −1)2=8，即为C 2的普通方程．(2)由{x +y =4(x +1)2−(y −1)2=8⇒{x +y =4(x +y)(x −y +2)=8⇒{x =2y =2，即P(2,2)， 设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a >0，则(a −2)2+(0−2)2=a 2，解得a =2， ∴所求圆的半径r =2，∴所求圆的直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=22，即x 2+y 2=4x ，∴所求圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．解析：本题主要考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，以及圆的极坐标方程，属于中档题．(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用(1)的结论，先求出C 1，C 2的交点P 坐标，设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a >0，求出a ，即可得圆的半径，进而可求出圆的极坐标方程．23.答案：解：(1)当x <0时，f(x)>|2x|x 等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立； 当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x 等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀， 当x >1时，f(x)>|2x|x 等价于{x >1x 2+2x −4>0，∴x >√5−1， 综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)． (2)当x ≥1时，f(x)=x 2+2x −2=(x +1)2−3；当x =1时，f(x)取得最小值为1；当x <1时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1>1，∴f(x)最小值为1，∴a +b +c =N =1，∵a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22， ∴√a 2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2， 同理√b 2+c 2≥√2(b+c)2,√c 2+a 2≥√2(c+a)2， ∴√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c)=√2．解析：(1)根据f(x)>|2x|x ，分x <0，0<x ≤1和x >1三种情况解不等式即可；(2)先求出f(x)的最小值为1，从而得到a +b +c =N =1，然后根据a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，进一步证明2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年湖南省衡阳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年湖南省衡阳市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−2,−1,0，2}，B={x|−2<x<1}，则A∩B=()A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0，1}D. {0,1，2}2.若复数z满足z(1+i)=4−2i(i为虚数单位)，则|z|=()A. √2B. √3C. √5D. √103.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是()A. 该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当C. 该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当4.下列命题中，真命题是()A. 存在x∈R，使e x≤0B. 对任意x∈R，2x>x2=−1C. a+b=0的充要条件是abD. A，B是△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的充要条件5.某单位随机统计了某4天的用电量(度)与当天气温(℃)如下表，以了解二者的关系．气温(℃)181310−1用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y =−2x +a ，则a =( )A. 60B. 58C. 40D. 以上都不对 6. 已知函数f(x)=10(x 2+1)x⋅e |x|，则函数f(x)的图象大致为( ) A. B. C. D.7. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⋅⃗⃗⃗⃗ (a ⃗ +b ⃗ )=5，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角的正切值为( )A. √33 B. √3C. −√3D. −√33 8. 设函数f(x)={x 2−2x +a,x <124x −3,x ≥12的最小值为−1，则实数a 的取值范围是( ) A. a ≥−2B. a >−2C. a ≥−14D. a >−14 9. 设，b =315，c =(15)0.4，则有( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a10. 某市出租车的计价标准是2.1元/千米，起步价为8元，即最初的3千米(含3千米)计费8元．若某人乘坐该市的出租车去往12千米处的目的地，且一路畅通，中途没有等候，则需要支付的车费为A. 26.9元B. 18.9元C. 29元D. 21元 11. 函数y =sin(2x −π3)在区间[−π2,π]上的简图是( )A. B. C. D.12. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点A 作斜率为−1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的渐近线方程为( ) A. y =±√2x B. y =±√3x C. y =±2x D. y =±√5x二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设实数x,y ，满足{x −y −2≤0x +2y −5≥0y −2≤0,则z =x y 的取值范围为_______．14. 已知{a n }(n ∈N ∗)满足a n ={n(n =1,2,3,4,5,6)−a n−3(n ≥7,n ∈N ∗)，则a 2015=__________，S 2015=__________． 15. 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2bsin2A =asinB ，且c =2b ，则cos A等于______，a b 等于_____．16. 三棱锥S −ABC 中，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一点，给出下列四个命题：①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S −ABC 的四个面都是直角三角形；②若AC =BC =SC =2，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S −ABC 的外接球表面积为12π； ③若AC =3，BC =4，SC =√5，S 在平面ABC 上的射影是△ABC 内心，则三棱锥S −ABC 的体积为2；其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4S 1，3S 2，2S 3成等差数列，且S 4=15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n ≤127，求n 的最大值．18.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格．某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求初赛分数在区间[90,100)内的频率；(Ⅱ)求获得复赛资格的人数；(Ⅲ)据此直方图估算学生初赛成绩的平均数．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB // DC ，E ，F 分别为PC ，DC 的中点，PA =DC =2AB =2AD =2．(1)证明：平面PAD //平面EBF ．(2)求三棱锥P −BED 的体积．20. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF|=6，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|BC|．21. 已知函数f(x)=xsin x +cos x −a ，其中x ∈[0,π]，a ∈R ．(1)若f(x)的极大值为π2，求a 的值；(2)若f(x)有2个不同零点，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+12t y =3+√32t(t 为参数)，以点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点M 的坐标为(2,3)，求|MA|⋅|MB|的值．23. 设函数f(x)=|x −1|+|2x +4|．(1)画出y =f(x)的图象；(2)求f(x)≥2x +5的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查集合的交集运算，比较基础．根据交集的定义运算即可．解：集合A={−2,−1,0，2}，B={x|−2<x<1}，则A∩B={−1,0}．故选A．2.答案：D解析：本题考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题．根据复数的四则运算求出z，由模长公式计算可得|z|．解：由z(1+i)=4−2i，得z=4−2i1+i =(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i，∴|z|=√12+(−3)2=√10．故选：D．3.答案：C解析：【试题解析】本题考查图表，进行推理，属于基础题．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A=0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A=0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A=0.4A，2015年教育医疗的消费额为0.3×A=0.3A，0.4A0.3A =43，B错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A=0.6A，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A= 0.1A，0.6A0.1A=6，C对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A=0.3A，2015年生活用品的消费额为0.15×A=0.15A，不相等，D错；故选：C．4.答案：D解析：本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分条件和必要条件的判断方法，属中档题．由指数函数的值域判断A；举例说明B、C错误；利用正弦定理判断D．解：由指数函数y=e x的值域为(0,+∞)说明A错误；当x=2时，2x=x2，B错误；当a=b=0时，a+b=0，此时ab=−1不成立，C错误；A，B是△ABC的内角，设A，B的对边分别为a，b，若A>B，则a>b，由正弦定理asinA =bsinB，得sinA>sinB．若sinA>sinB，由正弦定理asinA =bsinB，得a>b，则A>B，∴A>B是sinA>sinB的充要条件，D正确．故选D．5.答案：A解析：解：由题意，x=14(18+13+10−1)=10，y=14(24+34+38+64)=40将(10,40)代入y=−2x+a，∴40=10×(−2)+a，解得：a=60，故选：A．根据所给的表格求出本组数据的样本中心点，结合样本中心点在线性回归直线上求得a值．本题考查回归直线方程，考查回归分析的初步应用．利用样本中心点在线性回归直线上是关键．6.答案：A解析：【试题解析】本题考查函数图形的判断，函数奇偶性的应用，属于中档题．判断函数是奇函数排除B，根据函数的正负性排除C，再取特殊点排除D即可得解．解：函数定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，=−f(x)，因为函数f(−x)=10[(−x)2+1]−x⋅e|−x|所以该函数为奇函数，排除B，当x>0时，f(x)>0，故排除C，<4，故排除D，当x=10时，f(10)=101e10故选A．7.答案：B解析：解：设a⃗、b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，又a⋅⃗⃗⃗⃗ (a⃗+b⃗ )=5，|a⃗|=2，|b⃗ |=1，∴a⃗2+a⃗⋅b⃗ =22+2×1×cosθ=5，，解得cosθ=12∴θ=π，3∴tanθ=√3，即向量a⃗与b⃗ 夹角的正切值为√3．故选：B．根据平面向量数量积的定义，即可求出向量a⃗、b⃗ 的夹角θ以及θ的正切值．本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题目．8.答案：C解析：解：当x ≥12时，f(x)=4x −3≥2−3=−1，当x =12时，取得最小值−1；当x <12时，f(x)=x 2−2x +a =(x −1)2+a −1，即有f(x)在(−∞,12)递减，则f(x)>f(12)=a −34，由题意可得a −34≥−1，解得a ≥−14．故选：C ．运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，分别求出当x ≥12时，当x <12时，函数的值域，由题意可得a 的不等式，计算即可得到．本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题． 9.答案：B解析：解：，b =315>30=1，0<c =(15)0.4<(15)0=1，∴a <c <b ．故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用． 10.答案：A解析：本题主要考查了函数模型，考查了分析能力，属于基础题．设需要付的钱为a n ，根据题意列出式子a n ={8,n <38+2.1(n −3),n ⩾3，最后将n =12代入计算即可求出．设需要付的钱为a n ，则a n ={8,n <38+2.1(n −3),n ⩾3, 当n =12时，a n =8+2.1(12−3)=26.9．则需要支付26.9元车费．故选A ．11.答案：A解析：本题考查正弦函数的图象特征，属于基础题．由函数的解析式，采用排除法，从而得出结论．解：对于函数y =sin(2x −π3)，当x =0时，y =sin(−π3)=−√32，故排除B 、D. 再根据当x =π6时，y =sin0=0，故排除C ，故选A ． 12.答案：C解析：解：对于A(a,0)，则直线方程为x +y −a =0，直线与渐近线的交点B ，C ，则B(a 2a+b ,ab a+b )，C(a 2a−b ,−ab a−b )， 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a 2ba 2−b 2,−2a 2b a 2−b 2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗=(−ab a+b ,ab a+b )， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即4a 2=b 2， ∴双曲线的渐近线方程y =±b a x ，即有y =±2x ，故选C ．由题意可知求得直线方程，求得B 和C 点坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则4a 2=b 2，根据双曲线的渐近线方程公式，即可求得双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单几何性质，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．13.答案：[12,3]解析：本题考查线性规划的应用，比较基础．作出可行域，根据直线斜率的几何意义求解即可．解：作出可行域，如图所示：令{x +2y −5=0y =2，可得A (1,2)， 令{x +2y −5=0x −y −2=0，可得B (3,1)， 设t =y x ，其几何意义为可行域内的点(x,y)与(0,0)连线的斜率，点(x,y)为A (1,2)时，t 取得最大值2，点(x,y)为B (3,1)时，t 取得最小值13，故t 的取值范围为[13,2]．则z =x y 的取值范围为[12,3] ．故答案为[12,3]．14.答案：5；15解析：本题考查数列的递推关系，根据递推式得到数列为周期数列，周期为6，再由周期性求解．解：当n≥10时，a n=−a n−3=a n−6，而2015=6×335+5，∴a2015=a5=5，S2015=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+⋯+a2011+a2012+a2013 +a2014+a2015=(1+2+3+4+5+6)+(−4−5−6+4+5+6)+⋯+(−4−5−6+4+5)=15，故答案为5；15．15.答案：1；24解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2bsin2A=asinB由正弦定理可得4ab·cos A=ab，再由余弦定理解得cos A，可得a2=4b2，即可得出．解：由题知，2b·2sinAcosA=asinB，由正弦定理得4ab·cos A=ab，即cosA=14，又∵cos A=b2+c2−a22bc =5b2−a24b2=14，∴a2=4b2，即a=2b．所以ab=2．故答案为14，2．16.答案：①②解析：解：对于①，因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，SA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面SAC，所以BC⊥SC，故四个平面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若AC=4，BC=4，SC=4，SC⊥平面ABC，∴三棱锥S−ABC的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球，∴2R=2√3，∴表面积为12π，∴②正确；对于③，设△ABC内心是O，则SO⊥平面ABC，连接OC，则有SO2+OC2=SC2，又内切圆半径r= 12(3+4−5)=1，所以OC=√2，SO2=SC2−OC2=5−2=3，故SO=√3，∴三棱锥S−ABC的体积为V=13×S△ABC×SO=13×12×3×4×√3=2√3，∴③不正确；故答案为：①②．由题意逐个对所给的命题由线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理进行判断它的真假．考查直线和平面的位置关系及命题的真假的判断，属于中档题．17.答案：解：(1)由题意得3S2=2S1+S3，∴2S2−2S1=S3−S2，即2a2=a3∴等比数列{a n}公比q=2又S4=a1(1−24)1−2=15，则a1=1，数列{a n}的通项公式a n=2n−1(2)由(1)知S n=a1(1−q n)1−q =1−2n1−2=2n−1，由S n≤127，得2n≤128=27，∴n≤7，∴n的最大值为7．解析：本题考查等比数列的通项公式，等比数列前n项和，考查计算能力，属于中档题．(1)由题意可知2S2−2S1=S3−S2，则2a2=a3，即可求得公比q，由S4=15，即可求得a1=1，求得数列{a n}的通项公式；(2)利用等比数列前n项和公式，由S n≤127，在2n≤128=27，即可求得n的最大值．18.答案：解：(1)初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，由题意知[90,110)之间的频率为：1−(0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125)×20=0.3；(2)0.3+(0.0125+0.005)×20=0.65，获得复赛资格的人数为0.65×800=520人．(3)0.05×40+0.15×60+0.15×80+0.3×100+0.25×120+0.1×140=97，所以学生初赛成绩的平均数约为97分．解析：(Ⅰ)由频率分布直方图得到初赛成绩[90,100)的频率；(Ⅱ)由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数；(Ⅲ)根据平均数的定义即可求出．本题考查频率分布直方图的应用，考查概数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.答案：(1)证明：由已知F为CD的中点，且CD=2AB，所以DF=AB，因为AB//CD，所以AB//DF，又因为AB=DF，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF//AD，又因为BF ⊄面APD ，AD ⊂面APD ，所以BF//平面PAD ．在△PDC 中，因为E ，F 分别为PC ，CD 的中点，所以EF//PD ，因为EF ⊄面APD ，PD ⊂面APD ，所以EF//面APD因为EF ∩BF =F ，EF 、BF ⊂平面BEF ，所以平面APD//平面BEF ．(2)解：由已知E 为PC 中点，可得V P−BDC =2V E−BDC ．又因为V P−BDE =V P−BDC −V E−BDC ，所以V P−BDE =12⋅V P−BDC ，因为S ▵BDC =12×1×2=1，V P−BDC =13S ▵BDC ⋅AP ，V P−BDC =23， 所以V P−BDE =13.解析：本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力能力，是中档题．(1)推导出EF//PD ，AD//BF ，由此能证明平面APD//平面BEF.(2)利用V P−BDC =2V E−BDC ，将问题转化为易求的棱锥的体积，从而求得三棱锥P −BED 的体积． 20.答案：解：不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π2，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由｜AF ｜=6，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知｜BF ｜=3，点B 在x 轴的上方．过点B 作该抛物线准线的垂线，垂足为B 1，则｜BB 1｜=｜BF ｜=3，|AF||AB|=ρ|BB 1|， 由此可得ρ=2，所以抛物线的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)，所以cosθ=ρ|AF|=26=13，sinθ=√1−cos 2θ=2√23， 所以tanθ=sinθcosθ=2√2，故直线l 的方程为y =2√2(x −1)．由{y =2√2(x −1),y 2=4x消去y ，得8(x −1)2=4x ，即2x 2−5x +2=0， 所以x 1+x 2=52．由抛物线的定义，知|BC|=|BF|+|CF|=x 1+ρ2+x 2+ρ2=x 1+x 2+ρ=52+2=92．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题． 先由题意求出直线l 的方程为y =2√2(x −1)，再将l 方程与抛物线方程联立，消去y 后，结合韦达定理，通过双曲线的定义，求得|BC|．21.答案：解：(1)因为f′(x)=xcos x ，x ∈[0,π]，当x ∈[0,π2)时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在[0,π2)内单调递增，当x ∈(π2,π]时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(π2,π]内单调递减．又f′(π2)=0，所以f(x)的极大值为f(π2)，所以，解得a =0. (2)因为f(0)=1−a ，f(π)=−1−a ，若f(x)有2个不同零点，则f(x)max =π2−a >0,{f(0)=1−a ≤0,f(π)=−1−a ≤0.解得1≤a <π2，所以a ∈[1,π2)．解析：本题考查利用导数研究函数极值，考查函数零点与方程解的关系，属中档题．(1)f′(x)=xcos x ，x ∈[0,π]，得函数f(x)在[0,π2)内单调递增， 在(π2,π]内单调递减，所以f(x)的极大值为f(π2)，从而得，即可求得结果．(2)依题意得f(0)=1−a ，f(π)=−1−a ， 若f(x)有2个不同零点，则f(x)max =π2−a >0,{f(0)=1−a ≤0,f(π)=−1−a ≤0.即可求得结果． 22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．得：ρ2=4ρsin θ，即x 2+y 2−4y =0，标准方程为x 2+(y −2)2=4．故圆C 的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4．(2)直线l 的参数方程为{x =2+12t y =3+√32t (t 为参数)， 代入圆C 的直角坐标方程x 2+(y −2)2=4．得：(2+12t)2+(1+√32t)2=4， 即t 2+(2+√3)t +1=0．由于△=(2+√3)2−4×1>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以：t 1⋅t 2=1，故：由上式及t 的几何意义，得|MA|⋅|MB|=|t 1|⋅|t 2|=1．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)根据直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系以及参数方程t 的几何意义求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用以及参数方程t 的几何意义．23.答案：解：(1)f(x)=|x −1|+|2x +4|={−3x −3,x ≤−2x +5,−2<x <13x +3,x >1，其图象见下图．(2)x≤−2，不等式可化为−3x−3≥2x+5，∴x≤−8，∴x≤−2；5−2<x<1，不等式可化为x+5≥2x+5，∴x≤0，∴−2<x≤0；x≥1，不等式可化为3x+3≥2x+5，∴x≥2，∴x≥2；综上所述，不等式的解集为{x|x≥2或x≤0}．解析：(1)去掉绝对值，写成分段函数形式，作出函数的图象．(2)分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x的不等式f(x)≥2x+5．本题考查了绝对值函数的应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．。
2020年湖南省邵阳市高考数学第三次联考试卷(文科)(解析版)
2020年湖南省邵阳市高考数学第三次联考试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=2−i2+i，则|z|=()A. 15B. 1C. 5D. 252.已知集合A={1,2，3，4}，B={x|(x+1)(x−3)=0}，则A∪B=()A. {−1,3}B. {3}C. {1,2，3，4}D. {−1,1，2，3，4}3.已知sin(α−π4)=13，则cos(α+π4)等于()A. −13B. 13C. 2√23D. −2√234.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|=2|OM|(O为坐标原点)，PF1⊥PF2，则双曲线C的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±√3xC. y=±2xD. y=±√2x5.已知平面α，β，直线m满足m⊄β，α⊥β，则“m⊥α”是“m//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数y=e|x|x的图象大致是()A. B.C. D.7.对于任意两个向量a⃗，b⃗ ，下列说法正确的是()A. 若a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |，且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗B. 当实数λ=0时，λa⃗ =0 C. |a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |D. |a ⃗ −b ⃗ |≤|a ⃗ |−|b ⃗ |8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π3，a =2，b =3，则sinB =( ) A. 3√3 B. 4√3 C. 3√34 D. 4√339. 如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP +PE 的最小值为√14，则该正四面体的外接球表面积是( )A. 12πB. 32πC. 8πD. 24π 10. 已知a >0，b >0，且不等式1a +2b ≥m a+2b 恒成立，则实数m 的最大值是( )A. 9B. 12C. 16D. 2011. 已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2−x)−x 2+8x −8，曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线为l ，点(a n ,2a n+1)在l 上，且a 1=1，则a 8=( )A. −72B. −4C. −92D. −52 12. 已知函数f (x )={|2x −1|,x <2 ,3x−1, x ≥2 ,若方程f(x)−a =0恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围( )A. (1,3)B. (0,3)C. (0,2)D. (0,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增，若实数a 满足f(log 2a)+f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是______．14.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最大值是_________．15.在区域D：(x−1)2+y2≤4内随机取一个点，则此点到点A(1,2)的距离大于2的概率是______ ．16.若点P、Q均在椭圆Γ：x2a2+y2a2−1=1(a>1)上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则|PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是89．(1)求x和y的值；(2)计算乙班7位学生成绩的方差s2．(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求乙班至少有一名学生的概率．18.已知数列{a n}，{b n}满足：a n+1+1=2a n+n，b n−a n=n，b1=2．(1)求证数列{b n}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．19.如图，在五面体ABCDPE中，PD⊥平面ABCD，∠ADC=∠BAD=90°，F为棱PA的中点，PD=BC=√2，AB=AD=1，且四边形CDPE为平行四边形．(1)证明：AC//平面DEF；(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为√3？若存在，请求出6 QE的长；若不存在，请说明理由．20.已知直线y=2p与抛物线C：x2=2py(p>0)交于P，Q两点，且|PQ|=8．(1)求抛物线C的方程；(2)斜率为k(k≠0)的直线l经过C的焦点F，l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y为定值，求点E的坐标．轴交于点D，点E在y轴上，|AB||DE|21.已知函数f(x)=alnx−e x；(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若a=2，求证：f(x)<0．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosθy=1+2sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点，(ρ∈R).若直线l与曲线C相交于x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为θ=2π3M，N两点．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)记线段MN的中点为P，求|OP|的值．|(a≠0,a∈R)．23.设函数f(x)=|x−a|+|x+2a(1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查复数的四则运算以及复数的模，属于基础题． 根据复数的运算法则化简复数，再求模即可． 解：z =2−i 2+i =(2−i)(2−i)(2+i)(2−i)=35−45i ，故|z|=√(35)2+(−45)2=1． 故选B ． 2.答案：D解析：本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，是基础题． 先求出集合B ，由此能求出A ∪B ．解：∵集合A ={1,2，3，4}，B ={x|(x +1)(x −3)=0}={−1,3}，∴A ∪B ={−1,1，2，3，4}．故选：D ．3.答案：A解析：解：sin(α−π4)=13，即为sin(π4−α)=−13，即有sin[π2−(π4+α)]=−13，即cos(α+π4)=−13．故选：A ．运用−α、π2−α的诱导公式，计算即可得到．。
湖南省衡阳市2020届高三下学期第二次联考(二模)数学(文)试题(含解析)
所以
1 2
Tn
5 2
2 2n
2n 1 2n1
5 2
2n 5 2n1
；……………………………………………………11
分
所以
Tn
5
2n 2n
5
；……………………………………………………………………12
分
18．【解析】（1）由频率分布直方图可知 (0.010 2 0.025 a 0.015 0.005)1 0 1 ，
(2) 由题意可知：第二组抽取 2 名学生，其成绩记为 A, B ，则100 A, B 110 ；
第五组抽取 3 名学生，其成绩记为 C, D, E ，则130 C, D, E 140 ；
第六组抽取 1 名学生，其成绩记为 F ，则140 F 150 ；…………………………7 分
现从这 6 名学生中抽取 2 名学生的成绩的基本事件为：
|―A→E |，∴EF⊥AE.∵E 是 BC 的中点，∴BE＝CE＝1.设 DF＝x，则 CF＝2－x，在 Rt△AEF
中 ，AE2＋EF2＝AF2，解得 x＝3，∴AF＝5.
2
2
1
a≥1， 8.【答案】选 C【. 解析】法一：∵f(1)是 f(x)的最小值，∴y＝2|x－a|在(－∞，1]上单调递减，∴ 2|1－a|≤2，
2020 届高中毕业班联考试卷（二）
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D C A D A B D C B B C A
2020年湖南省湘潭市高考数学二模试卷（二）（有答案解析）
2020年湖南省湘潭市⾼考数学⼆模试卷（⼆）（有答案解析）2020年湖南省湘潭市⾼考数学⼆模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|-3＜x＜1}，则?U（A∪B）=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|x＞-3}C. {x|x≤0或x≥1}D. {x|x≤-3}2.已知复数z=，则复数z在复平⾯内对应点的坐标为（）A. （-2，-2）B. （-2，2）C. （2，2）D. （2，-2）3.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线与直线x-3y+1=0垂直，则该双曲线的离⼼率为（）A. 2B.C.D. 24.⾼铁、扫码⽀付、共享单车、⽹购并称中国“新四⼤发明”，近⽇对全国100个城市的共享单车和扫码⽀付的使⽤⼈数进⾏⼤数据分析，其中共享单车使⽤的⼈数分别为x1，x2，x3，…x100，它们的平均数为，⽅差为s2；其中扫码⽀付使⽤的⼈数分别为3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2，它们的平均数为′，⽅差为s′2，则′，s′2分别为（）A. 3+2，3s2+2B. 3，3s2C. 3+2，9s2D. 3+2，9s2+25.已知变量x，y束条件，则z=x+2y的最⼩值为（）A. 9B. 8C. 7D. 66.已知数列{a n}等⽐数列，⾸项a1=2，数列{b n}满⾜b n=log2a n，且b2+b3+b4=9，则a5=（）A. 8B. 16C. 32D. 647.已知x=是函数f（x）=x ln（ax）+1的极值点，则a=（）A. B. 1 C. D. 28.某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π9.已知x∈（0，π），则f（x）=cos2x+2sin x的值域为（）A. （-1，]B. （0，2）C. （）D. [1，]10.2002年在北京召开的国际数学家⼤会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直⾓三⾓形与⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图），设其中直⾓三⾓形中较⼩的锐⾓为θ，且tan2θ=，如果在弦图内随机抛掷1000⽶⿊芝⿇（⼤⼩差别忽略不计），则落在⼩正⽅形内的⿊芝⿇数⼤约为（）A. 350B. 300C. 250D. 20011.已知函数，若实数m满⾜，则m的取值范围是（）A. （0，25]B. [5，25]C. [25，+∞）D. [，5]12.直线y=kx+1与抛物线C：x2=4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB的⾯积为S，则S-|AB|的最⼩值为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知m＞0，若（1+mx）5的展开式中x2的系数⽐x的系数⼤30，则m=______．14.已知两个单位向量和夹⾓为120°，则在⽅向上的投影为________．15.已知函数f（x）=ax2-1的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+8y=0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S n=______．16.如图，在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，当MD1+MA取得最⼩值时，MD1⊥MA，则棱CC1的长为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求sin A；（2）若，△ABC的⾯积为，求△ABC的周长18.如图，四棱锥P-ABCD的底⾯是直⾓梯形，AB∥DC，AB⊥BC，△PAB和△PBC是两个边长为2的正三⾓形，DC=4，O为AC的中点，E为PB的中点．（Ⅰ）求证：OE∥平⾯PCD；（Ⅱ）在线段DP上是否存在⼀点Q，使直线BQ与平⾯PCD所成⾓的正弦值为？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．19.唐三彩是中国古代陶瓷烧制⼯艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等⼯艺美术的特点，在中国⽂化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的⼀笔．唐三彩的⽣产⾄今已有1300多年的历史，制作⼯艺⼗分复杂，⽽且优质品检验异常严格，检验⽅案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为．如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独⽴．（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费⽤为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费⽤记为元，求的分布列及数学期望．20.设D是圆O：x2+y2=16上的任意⼀点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满⾜2|EQ|=|ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的⽅程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x=8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．21.设函数f（x）=ln（x+1）（x≥0），g（x）=．（1）证明：f（x）≥x-x2．（2）若f（x）+x≥g（x）恒成⽴，求a的取值范围；（3）证明：当n∈N*时，ln（n2+3n+2）＞．22.在直⾓坐标系xOy中，曲线C1的参数⽅程为（t为参数），其中，∈k∈Z．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．（1）求曲线C1和曲线C2的直⾓坐标⽅程；（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，点P（-1，2），求|PA|2+|PB|2的取值范围．23.已知函数f（x）=|x-1|（1）解不等式f（x-2）+f（x+2）≥8（2）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0．求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|-3＜x＜1}，则A∪B={x|x＞-3}则?U（A∪B）={x|x≤-3}，故选：D．由全集U=R，以及A，B，求出A与B的并集，再求出补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各⾃的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：z==-=-=-=-2+2i，对应点的坐标为（-2，2），故选：B．结合复数的运算法则以及复数的⼏何意义进⾏求解即可．本题主要考查复数的⼏何意义，结合复数的运算法则进⾏化简是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线与直线x-3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线⽅程为y=±3x，∴=3，得b2=9a2，c2-a2=9a2，此时，离⼼率e==．故选：C．渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平⽅关系，得出a、c的关系式，结合离⼼率的定义，可得该双曲线的离⼼率．本题给出双曲线的渐近线⽅程，求双曲线的离⼼率，考查了双曲线的标准⽅程与简单⼏何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】根据题意，由平均数公式可得=（x1+x2+…+x100），s2=[（x1-）2+（x2-）2+……+（x100-）2]，进⽽分析数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2的平均数与⽅差，即可得答案．本题主要考查了样本数据的平均数和⽅差的计算与应⽤，应该熟记样本数据的平均数和⽅差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能⼒，属于基础题．【解答】解：根据题意，数据x1，x2，…x100的平均数为，⽅差为s2；则=（x1+x2+…+x100），s2=[（x1-）2+（x2-）2+……+（x100-）2]，若3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2的平均数为′，则′=[（3x1+2）+（3x2+2）+……+（3x100+2）]=3+2，⽅差s′2=[（3x1+2-3-2）2+（3x2+2-3-2）2+……+（3x100+2-3-2）2]=9s2，故选：C．5.答案：D解析：解：由变量x，y束条件作出可⾏域如图，联⽴，得A（1，），化⽬标函数z=x+2y为y=-+，由图可知，当直线y=-+过A时，直线在y轴上的截距最⼩，z有最⼩值为1+2×=6，故选：D．由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想⽅法，是中档题．6.答案：C解析：解：设等⽐数列{a n}的公⽐为q，⾸项a1=2，∴a n=2q n-1，∴b n=log2a n=1+（n-1）log2q，∴数列{b n}为等差数列．∵b2+b3+b4=9，∴3b3=9，解得b3=3．∴a3=23=8．∴2×q2=8，解得q2=4．∴a5=2×42=32．故选：C．设等⽐数列{a n}的公⽐为q，⾸项a1=2，可得a n=2q n-1，代⼊b n=log2a n，可得数列{b n}为等差数列．根据b2+b3+b4=9，可得b3，再利⽤等⽐数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列与等⽐数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．7.答案：B解析：解：函数f（x）=x ln（ax）+1，可得f′（x）=ln（ax）+1，已知x=函数f（x）=x ln（ax）+1的极值点，可得：ln（a）+1=0，解得a=1，经验证a=1时，x=函数f（x）=x ln（ax）+1的极值点，故选：B．求出函数的导数，利⽤极值点，求出a，即可．本题考查函数的导数的应⽤，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能⼒．8.答案：A解析：解：由三视图知，⼏何体是⼀个简单组合体，左侧是⼀个半圆柱，底⾯的半径是1，⾼为：4，右侧是⼀个半圆柱，底⾯半径为1，⾼是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．⼏何体是⼀个简单组合体，左侧是⼀个半圆柱，底⾯的半径是1，⾼为：4，右侧是⼀个半圆柱，底⾯半径为1，⾼是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求⼏何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是⼀个基础题，题⽬的运算量⽐较⼩，若出现是⼀个送分题⽬．9.答案：D解析：解：由f（x）=cos2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x设sin x=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]∴g（t）=-2（t-）2+，∴g（t）∈[1，]；即f（x）=cos2x+2sin x的值域为[1，]；故选：D．利⽤⼆倍⾓公式转化为⼆次函数问题求解最值即可；本题考查三⾓函数的有界性，⼆次函数的最值，考查转化思想以及计算能⼒．10.答案：D解析：【分析】本题考查⼏何概型概率的求法，求得⼩正⽅形与⼤正⽅形的⾯积⽐是关键，属于基础题．由已知求得tanθ，找出⼩正⽅形与⼤正⽅形边长的关系，得到⾯积⽐，则答案可求．【解答】解：由tan2θ=，得，解得tanθ=，设⼤正⽅形为ABCD，⼩正⽅形为EFGH，如图，则tanθ=，设⼩正⽅形边长为a，则，即AF=2a，∴⼤正⽅形边长为，则⼩正⽅形与⼤正⽅形⾯积⽐为．∴在弦图内随机抛掷1000⽶⿊芝⿇，则落在⼩正⽅形内的⿊芝⿇数⼤约为1000×．故选：D．11.答案：A解析：解：由化简整理得，，且，所以g（x）为奇函数，当x＞0时，y=x2＞0，在（0，+∞）上均为增函数，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，⼜知g（x）为奇函数，所以g（x）在R上为增函数，所以g（log5m）≤g（2）转化为log5m≤2，解之得0＜m≤25，故选：A．先对化简整理，然后研究函数g（x）=的单调性，从⽽求解不等式．本题考查函数的单调性的性质、对数函数的性质；属于中档题⽬．12.答案：D解析：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联⽴，得x2-4kx-4=0，则x1+x2=4k，．则|AB|=．由x2=4y，得，，设P（x0，y0），则，x0=2k，．则点P到直线y=kx+1的距离d=，从⽽S=．S-|AB|=（d≥1）．令f（x）=2x3-4x2，f′（x）=6x2-8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S-|AB|的最⼩值为．故选：D．设出A，B的坐标，联⽴直线⽅程与抛物线⽅程，利⽤弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到△PAB的⾯积为S，作差后利⽤导数求最值．本题考查直线与抛物线位置关系的应⽤，训练了利⽤导数求最值，是中档题．13.答案：2解析：解：∵m＞0，若（1+mx）5的展开式中x2的系数⽐x的系数⼤30，∴?m2-?m=30，求得m=-（舍去），或m=2，故答案为：2．由题意利⽤⼆项展开式的通项公式，⼆项式系数的性质，求得m的值．本题主要考查⼆项式定理的应⽤，⼆项展开式的通项公式，⼆项式系数的性质，属于基础题．14.答案：解析：解：∵；∴；∴；∴在⽅向上的投影为：=．故答案为：．根据条件即可求出，从⽽得出在⽅向上的投影为：．考查单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式．15.答案：解析：【分析】本题考查导数的运⽤：求切线的斜率，数列的裂项相消求和，两直线垂直的条件，考查运算能⼒，属于基础题．求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a=4，再由裂项相消求和，可得所求和．【解答】解：函数f（x）=ax2-1的导数为f′（x）=2ax，可得f（x）在x=1处的切线斜率为2a，切线与直线x+8y=0垂直，可得2a=8，即a=4，则f（x）=4x2-1，==（-），可得S n=（1-+-+…+-）=（1-）=．故答案为：．16.答案：解析：解：∵AB=1，BC=，∴AC=2，延长DC到N使得CN=AC=2，则MA=MN，设CC1=h，连接D1N交CC1于M′，则MD1+MA的最⼩值为D1N=．∵==，∴CM′=，C1M′=．∴DM′==，AM′=，⼜AD1=，M′A⊥M′D1，∴AD12=M′A2+M′D12，即3+h2=1++4+，解得h=．故答案为：．设长⽅体的⾼为h，求出MD1+MA的最⼩值对应的位置，根据勾股定理解⽅程得出h 的值．本题考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解：（1）∵3b2+3c2-4bc=3a2，∴由余弦定理得cos A==，⼜0＜A＜π，∴sin A==；（2）∵3c sin A=a sin B，∴由正弦定理可得：3ac=ab，解得：b=，∵△ABC的⾯积为=bc sin A=×，∴解得：c=2，∴b=3，由余弦定理得：∴a==，可得：△ABC的周长a+b+c=2+3+.解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三⾓形的⾯积公式的综合应⽤，考查了学⽣对基础知识的掌握和基本的计算能⼒，属于基础题．（1）先把题设条件代⼊关于A的余弦定理中，求得cos A的值，进⽽利⽤同⾓三⾓函数的基本关系求得sin A的值．（2）由已知及正弦定理可解得b=，利⽤三⾓形的⾯积公式可求c的值，进⽽可求b，利⽤余弦定理可求a，即可得解△ABC的周长的值．18.答案：证明：（Ⅰ）四棱锥P-ABCD的底⾯是直⾓梯形，AB∥DC，AB⊥BC，△PAB和△PBC是两个边长为2的正三⾓形，DC=4，O为AC的中点，E为PB的中点，取CD中点F，则CF=AB，∵AB⊥BC，AB=BC，AB∥DC，∴四边形ABCF为正⽅形，∵O为AC的中点，∴O为BF，AC的交点，∴O为BF的中点，∵E为PB中点，∴OE∥PF，∵OE?平⾯PDC，PF?平⾯PDC，∴OE∥平⾯PDC；（Ⅱ）∵PA=PC=2，O为AC的中点，∴PO⊥AC，∵=，∴，∴=，，在△PBO中，PO2+BO2=PB2=4，∴PO⊥BO，⼜∵AC∩BO=O，AC，BO平⾯ABCD，∴PO⊥平⾯ABCD，⼜因为AB⊥BC，如图所⽰：所以过O分别作AB，BC的平⾏线，分别以它们作为x，y轴，以OP为z轴建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，则B（1，-1，0），C（1，1，0），D（-3，1，0），，假设线段DP上存在⼀点Q，使直线BQ与平⾯PCD所成⾓的正弦值为，设（0≤λ≤1），则，即，设平⾯PCD的⼀个法向量为，则，即，取z=1，得平⾯PCD的⼀个法向量为，设直线BQ与平⾯PCD所成⾓为θ，令，得，化简并整理得3λ2-7λ+2=0，解得λ=2（舍去）或，当时，直线BQ与平⾯PCD所成⾓的正弦值为．解析：本题考查的知识要点：线⾯平⾏的判定的应⽤，法向量和平⾯直⾓坐标系的建⽴，向量的共线的应⽤，勾股定理的应⽤，向量的夹⾓的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于中档题．（Ⅰ）直接利⽤题中的已知条件，把线线平⾏转换为线⾯平⾏；（Ⅱ）根据垂直的关系，建⽴平⾯直⾓坐标系，进⼀步利⽤向量的共线和向量的夹⾓及法向量求出结果．19.答案：解：（1）设第⼀次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件A1，第⼀次取出的3件唐三彩全是优质品为事件A2，第⼆次取出的3件唐三彩都是优质品为事件B1，第⼆次取出的1件唐三彩是优质品为事件B2，这批唐三彩通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），∴P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=+=．（2）X可能的取值为300，400，600，P（X=300）==，P（X=400）==，P（X=600）==．所以X的分布列为：X300400600PE（X）=300×+400×+600×=．解析：本题考查离散型随机变量的分布列与期望，概率加法公式，理解题意准确计算是关键，属于基础题．（1）分两种情况研究唐三彩通过检验的概率相加即可求解．（2）先列出X可能的取值，再分别求出概率分布列，求解即可．20.答案：解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，∴x0=x，|y0|=|y|．①∵点D在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16，将①式代⼊②式即得曲线C的⽅程为x2+y2=16，即+=1，（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2=48，直线l的⽅程为y=k（x-2），代⼊椭圆⽅程并整理，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-48=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2=，x1x2=，可知M的坐标为（8，6k）．∴k1+k3=+=+=2k-3?=2k-3?=2k-1，2k2=2?=2k-1．∴k1+k3=2k2．故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．解析：（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，则椭圆的⽅程即可得到；（2）设出直线l的⽅程，和椭圆⽅程联⽴，利⽤根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应⽤，直线与曲线联⽴，根据⽅程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常⽤的⽅法，但圆锥曲线的特点是计算量⽐较⼤，要求考试具备较强的运算推理的能⼒，该题是中档题．21.答案：（1）证明：函数f（x）=ln（x+1）（x≥0），则不等式f（x）≥x-x2化为ln（x+1）-x+x2≥0，设h（x）=ln（x+1）-x+x2，x∈[0，+∞）；则h′（x）=+2x-1=≥0，所以h（x）为单调递增函数，且h（x）≥h（0）=0，所以ln（x+1）≥x-x2；（2）解：不等式f（x）+x≥g（x），即为ln（x+1）≥，令m（x）=ln（x+1）-，即m（x）≥0恒成⽴，则m′（x）=-=，令m′（x）＞0，即x+1-a＞0，得x＞a-1；当a-1≤0，即a≤1时，m（x）在[0，+∞）上单调递增，m（x）≥m（0）=0，所以当a≤1时，m（x）≥0在[0，+∞）上恒成⽴；当a-1＞0，即a＞1时，m（x）在[0，a-1]上单调递减，在（a-1，+∞）上单调递增，所以m（x）的最⼩值为m（x）min=m（a-1）＜m（0）=0，所以m（x）≥0不恒成⽴；综上所述，a的取值范围是（-∞，1]；（3）证明：由（1）知，ln（x+1）≥x-x2，令x=，n∈N*，x∈（0，1]；由ln＞，即ln（n+1）-l n n＞，所以有ln2-ln1＞0，ln3-ln2＞，…，ln（n+1）-l n n＞，以上各式相加，可得ln（n+1）＞++…+；因为n2+3n+2-（n+1）=（n+1）2＞0，所以n2+3n+2＞n+1，所以ln（n2+3n+2）＞ln（n+1），所以当n∈N*时，ln（n2+3n+2）＞．解析：（1）不等式为ln（x+1）-x+x2≥0，求出函数h（x）=ln（x+1）-x+x2，x∈[0，+∞）时的最⼩值⼤于等于0即可；（2）不等为ln（x+1）≥，令m（x）=ln（x+1）-，利⽤导数判断函数的单调性，并求函数的最⼩值，从⽽求出a的最⼩值；（3）由（1）知ln（x+1）≥x-x2，令x=，n∈N*，得出ln（n+1）-l n n＞，利⽤列项求和法求出ln（n+1）＞++…+．本题考查了利⽤导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成⽴应⽤问题，是难题．22.答案：解：（1）曲线C1的普通⽅程y=（x+1）tanα+2，其中α≠kπ+，k∈Z，曲线C2的直⾓坐标⽅程（x-1）2+（y-2）2=1，（2）将代⼊（x-1）2+（y-2）2=1，化简得t2-4t cosα+3=0，因为△＞0，所以cos2α＞，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则有t1+t2=4cosα，t1t2=3＞0，|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2-2|PA||PB|=（|t1|+|t2|）2-2|t1||t2|=（t1+t2）2-2t1t2=16cos2α-6∈（6，10]．所以|PA|2+|PB|2的取值范围是（6，10]．解析：（1）根据参数⽅程与普通⽅程的互化，可得曲线C1的普通⽅程；根据极坐标与直⾓坐标的互化公式，即可得到曲线C2的直⾓坐标过程．（2）将直线l的参数⽅程代⼊曲线C2，利⽤韦达定理和参数t的⼏何意义，即可求解，得到答案．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（1）函数f（x）=|x-1|那么f（x-2）+f（x+2）=|x-3|+|x+1|≥8，∴或或解得：x≥5或x≤-3；∴原不等式的解集为{x|x≥5或x≤-3}；（2）要证．只要证|ab-1|＞|a|?||．即|ab-1|＞|b-a|，只要证|ab-1|2＞|b-a|2作差：|ab-1|2-|b-a|2=a2b2-2ab+1-b2+2ab-a2=a2b2+1-b2-a2=（a2-1）（b2-1）∵|a|＜1，|b|＜1，∴（a2-1）（b2-1）＞0即|ab-1|＞|b-a|成⽴故得．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和证明．属于中档题．（1）利⽤零点分段即可求解；（2）由．可得|ab-1|＞|a|?||．|ab-1|＞|b-a|，平⽅后作差即可证明；。
2020年湖南省长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖南省长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，集合A ={i 2,0，i 4，2}，集合B ={x ∈R|2x >1}，则A ∩B =( )A. {−1,2}B. {1,2}C. {0,1，2}D. {2}2. 若sinα=√33，0<α<π2，则cosα=( )A. −√63B. −12C. 12D. √633. 在区间[−2,2]上任取一个数a ，则函数f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是3的概率为( )A. 34B. 14C. 45D. 254. 一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图(2)放置，若其正视图为等腰直角三角形(如图(3))，则该容器的体积为( )A. 12√6cm 3B. 4√6cm 3C. 27√2cm 3D. 9√2cm 35. 若数列{a n }中，a 1=1，a n+1+3a n =0，则a 5=( )A. −27B. 27C. −81D. 816. 与圆x 2+(y −2)2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 6条7. 已知直线x −√3y =0与中心在原点的双曲线C 交于A ，B 两点，F 是C 的右焦点，若FA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为( )A. √2B. √3+1C. 2D. √3−18. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( ) A. −8 B. −6 C. −3 D. 39. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥BD 1，则点B 1和动点P 的轨迹形成的图形的周长是( )A. 3√2B. 4√2C. 3√3D. 4√310. 设函数f(x)=sin(ωx −π6)(ω∈N ∗)在[5π12,5π6]上单调递减，则ω的值是( )A. 1B. 1或2C. 3D. 211. 设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，B(0,b)，若直线FB 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为( )A. √2B. √5+12C. √5−1D. √5−1212. 已知函数f(x)=x −1x +alnx ，若存在m ，n ，使得f′(m)=f′(n)=0，且m ∈(0,1e ]，则f(m)−f(n)的最小值为( )A. 4eB. 2eC. 4e 2D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组关于(x,y)的数据具有线性相关性：(0,0.9)，(1,1.9)，(3,3.2)，(4,4.4).且y 与x 之间的回归方程为ŷ=b x ̂+1.则b =________． 14. 设x =θ是函数f(x)=3sinx −cosx 的一个极值点，则sin2θ+2cos 2θ=________．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，c =2a 且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =24，则△ABC 的面积是________．16. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA =3，△ABC 是边长为√3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村中60户农民种植苹果、40户农民种植梨、20户农民种植草莓(每户仅扶持种植一种水果)，为了更好地了解三种水果的种植与销售情况，现从该村随机选6户农民作为重点考察对象；(1)用分层抽样的方法，应选取种植苹果多少户？(2)在上述抽取的6户考察对象中随机选2户，求这2户种植水果恰好相同的概率．18.记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0，6S n=a n2+3a n−4．(I)求{a n}的通项公式；(II)设b n=a n2+a n+12，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+119.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF//BE，AB⊥BE，平面ABCD⊥平面ABEF，AB=BE=2AF=2．(1)求证：AC//平面DEF；(2)求几何体E−ACD的体积．20.已知点P是抛物线C:y=14x2−3的顶点，A，B是C上的两个动点，且PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−4．(1)判断点D(0,−1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．21.设函数f(x)=xe−x，g(x)=ax2−2ax+1．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=−12时，方程f(x)=g(x)+m有三个实数解，求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+cosα,y=2+sinα(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y=√3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={i 2,0，i 4，2}=A ={−1，0，1，2}， B ={x ∈R|2x >1}={x|x >0}， 则A ∩B ={1,2}， 故选：B根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：D解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．解：∵sinα=√33，0<α<π2，．故选D ．3.答案：A解析：本题考查几何概型中的长度模型，难点是对函数f(x)的最大值为3的分析，求得a 的条件.注意到f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是max{f(0),f(2),f(4)}，f(0)，f(4)是与x 无关的两个数，并且根据a 的范围[−2,2]可得f(0)与f(4)=3，然后可确定f(2)≤3，进而得到a 的取值范围，再根据几何概型中的长度模型计算概率，属中档题．解：由二次函数性质得f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是max{f(0),f(2),f(4)}，∵f(x)max=3，又∵a∈[−2,2]，∴3−a>0，∴f(0)=f(4)=|3−a|+a=3−a+a=3，∴f(2)≤3，即|−1−a|+a≤3，即|1+a|+a≤3，当a≥−1时，得2a≤2，a≤1；当a∈[−2,−1]时，|−1−a|+a=−1−a+a=−1≤3显然成立，∴−2≤a≤1．1−(−2)=3，2−(−2)=4，∴函数f(x)=|x2−4x+3−a|+a在x∈[0,4]上的最大值是3的概率为34，故选A．4.答案：D解析：解：如图(2)，△PMN是该四棱锥的正视图，由图(1)知：PM+PN=6，且PM=PN，由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3√2，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=12MN=3√22，∴该容器的体积为V P−ABCD=13×(3√2)2×3√22=13×18×3√22=9√2．故选：D．推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3√2，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断．5.答案：D。