八年级数学全等三角形专项强化练习
八年级数学上册全等三角形专项训练(4)——添辅助线构造全等(含答案)
全等三角形专项训练（4）——添辅助线构造全等 一、同步练习 1．如图，除公共边AB 外，根据下列括号内三角形全等的条件，在横线上添加适当的条件，使△ABC 与△ABD 全等:（1） ， (SSS)；（2） ， (ASA)；（3）∠1=∠2 ， (SAS)；（4） ，∠3=∠4 (AAS)．2．如图，AD 是△ABC 的中线，延长AD 到E ，使DE =AD ，连结BE ，则有△ACD ≌△______，理由是_____________.3．如图，将△ABC 绕点A 旋转得到△ADE ，则△ABC 与△ADE 的关系是 ，此时，BC = ，∠1= ．4．如图，AB ⊥AC ，垂足为A ，CD ⊥AC ，垂足为C ，DE ⊥BC ，且AB=CE ，若BC =5cm ，则DE 的长为 cm ．5．如图，AD=BD ，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF ⊥AC ，垂足为F ，BC =6cm ，DC =2cm ，则AE = cm ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是三角形的角平分线，交AC 于点D ，AD= 2.2 cm ，AC=3.7 cm ，则点D 到AB 边的距离是__________cm ．二、例题解析（添加辅助线构造全等三角形）例1 如图，已知AC=BD ，A D ⊥AC ，BD ⊥BC.试证明：AD=BC.例2 如图，已知AD 为⊿ABC 的中线. (1)求证：AB+AC>2CD ；(2)若AB=8，AC=5，求线段AD 长度的取值范围.BCAD例3 如图，在Rt ⊿ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°, ∠1=∠2，CE ⊥BD,交BD 的延长线于E.求证：DB=2CE. ADC B （第1题） 4 A 1 2 B C 3D D A B C F （第2题） A BE D C （第3题） 3 1 2 E B D C A （第5题）F 第6题 （第4题）三、达标检测：1. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC,AD 为∠BAC 的平分线，试探究AC 、CD 与AB 的数量关系，并说明理由.2.有一批边角斜料，形状如图所示.其中∠A=∠C=90°,AB=AD 。
(完整版)八年级数学全等三角形练习题含答案.docx
全等三角形复习练习题一、选择题1．如图，给出下列四组条件：① AB DE ，BC EF ，AC DF ；② ABDE ， BE ， BC③ BE ， BC EF ， C F ；④ AB DE ，AC DF ， B其中，能使 △ ABC ≌△ DEF 的条件共有（）A ． 1 组B ．2 组C ．3 组D ．4 组2. 如图， D ，E 分别为 △ ABC 的 AC ， BC 边的中点，将此三角形沿 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 P 处．若 CDE48°，则 APD 等于（）A ． 42° B． 48° C． 52° D ． 58°3. 如图（四），点 P 是 AB 上任意一点， ABCABD ，还应补充一个条件，才能推出 △ APC ≌△ APD ．从下列条件中补充一个条件，不一定能 推出 △ APC ≌△ APD 的是（ ）．．．．A ． BC BDB. AC ADC. ACB ADBD. CAB DAB4. 如图，在△ ABC 与△ DEF 中，已有条件 AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ ABC ≌△ DEF ，不能添加的一组条件是 ( )(A) ∠B=∠ E,BC=EF （B ）BC=EF ， AC=DF(C) ∠A=∠ D ，∠ B=∠E （D ）∠ A=∠D ，BC=EF5．如图，△ ABC 中，∠ C = 90 °， AC= BC ，AD 是∠ BAC 的平分线，DE ⊥AB 于 E ，若 AC= 10cm ，则△ DBE 的周长约等于 ( )A ．14cmB ．10cmC ．6cmD ． 9cm6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（Ａ． 1 处 Ｂ． 2 处 Ｃ． 3 处Ｄ． 4 处EF ；E ．CBPD图（四）CDAE②）③①AB④7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去 B ．带②去C．带③去D．带①②③去8．如图，在Rt△ABC中，B90， ED 是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知BAE10 ，则C的度数为（）AD A．30B． 40C．50D．609．如图，△ ACB≌△ A C B ， BCB =30°，则ACA 的度数为（B E ）A．20°B．30°C．35°D．40°A A CBA BB C D10．如图， AC＝ AD，BC＝BD，则有（）A． AB垂直平分CD B．CD垂直平分 ABC． AB与 CD互相垂直平分D． CD平分∠ ACB11.如图 , ∠ C=90°,AD 平分∠ BAC交 BC于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点 D 到 AB的距离为（）A. 5cmB. 3cmC. 2cmD.不能确定AAPC BO BD12．如图， OP平分AOB ， PA OA ， PB OB ，垂足分别为 A，B．下列结论中不一定成立的是（）A． PA PB B． PO 平分APBD C． OA OB D ． AB 垂直平分 OP13. 如图，已知 AB AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定（）A． CB CD B ．∠BAC ∠DACA C．∠ BCA∠DCA D．∠B∠D 90C CB14. 观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（）⋯⋯第 1 个第2个第3个A． 2n 2B． 4n 4C． 4n 4D． 4n二、填空题1. 如图，已知 AB AD ， BAE DAC ，要使△ ABC ≌ △ ADE ，可补充的条件是（写出一个即可）．ABEE C DA DCB2.如图 , 在△ ABC中, ∠C=90°,AC=BC,AD平分∠ BAC交 BC 于 D,DE⊥AB 于 E,且AB=5cm,则△ DEB的周长为 ________3. 如图，BAC ABD ，请你添加一个条件：，使OC OD （只添一个即可）．CDOA B4.如图，在 ABC中，∠ C=90°∠ ABC的平分线 BD交 AC于点 D, 若 BD=10厘米，BC=8厘米， DC=6厘米，则点 D 到直线 AB的距离是 __________厘米。
最全最新初中数学《全等三角形》精选经典40题强化拔高训练
全等三角形精选经典强化训练40题1. 如图,有一池塘,要测池塘两端A 、B 的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C,连结AC 并延长到D,使CD=CA.连结BC 并延长到E,使EC=CB,连结DE,量出DE 的长,就是A 、B 的距离.写出你的证明．i.2. 已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC ∥DF ．3. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．4. 如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D ,BC=DF ．求证：AC=EF ．5. 如图，在ΔABC 中，AC=AB ，AD 是BC 边上的中线，则AD ⊥BC ，请说明理由。
FGEDCBAAF EDCBA6. 如图，AE 是ΔABC 的角平分线，已知∠B=45°，∠C=60°，求下列角的大小：（1）∠BAE （2）∠AEB7. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。
8. 如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。
（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。
9. 如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．（1） 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的； （2） 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．A B C E A BCDE HA BC D10. 已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。
11. 如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
八年级全等三角形专题练习(解析版)
∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，
∵△BFE都是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当FE=FB时，如图1，
则∠BEF=∠B，
∴90-x=2x-45，解得：x=45；
②当BF=BE时，
则∠EFB=∠BEF，
在AD、AB上任意取E1、F1两点
根据对称性：
∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1
∴△CEF的周长=CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2
而△CE1F1的周长=CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1
根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2
∴∠ECF=∠DCB－（∠ECD＋∠FCB）=60°
故答案为：60°
【点睛】
此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
6．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．
【答案】22
【解析】
【分析】
等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；
【详解】
【答案】4
【解析】
【分析】
①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
八年级全等三角形专题练习(解析版)
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=3，
∴A2B1=3，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH．
∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x．
∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．
8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为_____．
【答案】2n．
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
专题12.1 全等三角形的证明及计算大题(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真
2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题12.1 全等三角形的证明及计算大题（专项拔高30题）试题说明：精选最新2022-2023年名校真题30题，主要考察全等三角形的证明方法，强化学生解题模型的掌握以及计算能力！难度由易到难，循序渐进，逐步探索，精准拿分！1．（2022秋•宝安区期末）如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．（1）求证：△BEF≌△CEA；（2）若CE＝2，求BD的长．2．（2023春•漳州期末）某同学制作了一个简易的T形分角仪来二等分任意一个角．如图，该T形分角仪是由相互垂直的两根细棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合如图图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，，．求证：．3．（2022秋•龙岩期末）阅读下题及证明过程．已知：如图，AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，求证：∠BAP＝∠CAP．证明：∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC第一步，∴∠BAP＝∠CAP第二步．上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．4．（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为CD的中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长．（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求证：BD+CF＝AB．5．（2022秋•千山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，AE⊥AB交BD延长线于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：AE＝AD；（2）写出与线段CD相等的线段，并证明．6．（2023春•大埔县期末）如图，在△ABC中，GD＝DC，过点G作FG∥BC交BD的延长线于点F，交AB于点E．（1）△DFG与△DBC全等吗？说明理由；（2）当∠C＝90°，DE⊥BD，CD＝2时，求点D到AB边的距离．7．（2023春•贵州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝40°．点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E．（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，求∠BAD的度数．8．（2023春•渭南期末）如图，点E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，试说明：点O是AC的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由．解：因为BF＝DE所以BF﹣EF＝DE﹣EF，即，因为AB＝CD，AE＝CF，所以（理由：SSS）．所以∠B＝∠D（理由：）．因为∠AOB＝∠COD（理由：），所以△ABO≌△CDO（理由：）．所以（理由：全等三角形对应边相等）．所以点O是AC的中点．9．（2023春•埇桥区期末）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．10．（2023春•巴州区期中）如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD在直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF＝40°，求∠AOB的度数；（2）若OA平分∠BOE，求∠DOF的度数．11．（2023•芙蓉区校级三模）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．12．（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．13．（2022秋•青神县期末）如图，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E 在AB上，点F在射线AC上，连结AD，若AD＝AB．求证：（1）∠AED＝∠AFD．（2）AF＝AE+BC．14．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E．AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF．15．（2023春•六盘水期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．16．（2022秋•通川区期末）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．（1）如图，当∠ACB＝90°时；①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是．（用含α的代数式表示）17．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．18．（2023•黄石模拟）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．19．（2022秋•莱州市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC＝α．（1）如图1，若α＝60°，连接CE，DE．则∠ADE的度数为；BD与CE的数量关系是．（2）如图2，若α＝90°，连接EC、BE．试判断△BCE的形状，并说明理由．20．（2023春•扶风县期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．21．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．22．（2023•武陵区一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM＝∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．（1）如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF＝2EC；（2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．23．（2022秋•西宁期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：CF＝AD；（2）连接BE，若BE⊥AF，AD＝2，AB＝6，求BC的长．24．（2023春•贵港期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A （4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．25．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．26．（2023•岳阳县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠AED＝°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．27．（2023•肥城市校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．28．（2023春•惠民县期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，证明BE＝CF．②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．29．（2023春•沈北新区期末）如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．（1）思考AE与BE的位置关系并加以说明；（2）说明AB＝AD+BC；（3）若BE＝6，AE＝6.5，求四边形ABCD的面积？30．（2022秋•兴隆县期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．。
八年级数学全等三角形专题训练
15．△ABC 中，∠A：∠C：∠B=4：3：2，且△ABC≌△DEF，则∠ DEF= ． 16．如图，已知△ACE≌△DBF，CF=BF，AE=DF，AD=8，BC=2，则 AC= ． 17．已知△ABC≌△DEF，且△DEF 的周长为 12，若 AB=5，BC=4， AC= ． 18．如图，△ABC≌△ADE，BC 的延长线交 DE 于 F，∠B=30°，∠ AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB 的度数为 ．
八年级数学全等三角形专题训练
一．选择题（共 12 小题）
1．下列各组的两个图形属于全等图形的是 （ ）
A．
B．Biblioteka C．D．2．下列判断正确的个数是（ ）
（1）能够完全重合的两个图形全等；
（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；
（4）全等三角形对应边相等．
A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】全等三角形的性质． 【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，所以 ∠BAD=∠CAE，然后求出∠BAD 的度数，再根据△ABG 和△FDG 的内角和都 等于 180°，所以∠DFB=∠BAD． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE， 又∠BAD=∠BAC﹣∠CAD，∠CAE=∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∵∠DAC=60°，∠BAE=100°，
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即 可． 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC=AF，故①正确； ∠EAF=∠BAC，
八年级数学——全等三角形全章复习与巩固(基础)巩固练习【名校试题+详细解答】
【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.52. 在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠B或∠C3. 如图，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）．A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）组．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A. 相等B.不相等C.互补D.相等或互补8. △ABC中，∠BAC＝90° AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝2∠C，∠DAE的度数是( )A.45°B.20°C.、30°D.15°二.填空题9. 已知'''ABC A B C △≌△，若△ABC 的面积为10 2cm ，则'''A B C △的面积为________2cm ，若'''A B C △的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．10. △ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB ＝AD ；②∠BAC ＝∠DAC ；③BC ＝DC ．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则的面积为____．12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.13. 如右图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ．若AB ＝a ，CD ＝b ，则△ADB 的面积为______________ ．14．如图，已知AB⊥BD, AB∥ED，AB ＝ED ，要说明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；若添加条件AC ＝EC ，则可以用_______公理（或定理）判定全等.15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.三.解答题17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．18．已知：△ABC中，AC⊥BC，C E⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB 于D．求证： AC＝AD19. 如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）20. 已知如图所示，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】根据全等三角形对应边相等，EC ＝AC －AE ＝5－2＝3；2. 【答案】A ；【解析】如果选B 或者C 的话，三角形内角和就会超过180°.3. 【答案】C ；【解析】∠EAF ＝∠BAC ，∠EAC ＝∠EAF －∠CAF ＝∠BAC －∠CAF ＝∠BAF.4. 【答案】D ；【解析】A 项应为全等三角形对应边上的高相等；B 项如果腰不相等不能证明全等；C 项直角三角形至少要有一边相等.5. 【答案】D ；【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等.6. 【答案】C ；【解析】（1）（2）（3）能使两个三角形全等.7. 【答案】A ；【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL 定理判定全等.8. 【答案】D ；【解析】由题意可得∠B ＝∠DAC ＝60°，∠C ＝30°，所以∠DAE ＝60°－45°＝15°.二.填空题9. 【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等.10．【答案】①②③；11.【答案】8；【解析】1162BD h =g ，h ＝4，1482AE ⨯=. 12.【答案】①③【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况.13.【答案】ab 21； 【解析】由角平分线的性质，D 点到AB 的距离等于CD ＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21. 14.【答案】BC ＝DC ，HL ；15.【答案】45°；【解析】Rt △BDH ≌Rt △ADC ，BD ＝AD.16.【答案】20cm ；【解析】BC ＝AC ＝AE ，△DBE 的周长等于AB.三.解答题17．【解析】证明：∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE -∠CAE ＝∠CAD -∠CAE ，即∠BAC ＝∠EAD ．在△ABC 和△AED 中，BAC EAD B E BC ED ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABC ≌△AED ． （AAS ）∴AC ＝AD ．∴∠ACD ＝∠ADC ．18.【解析】证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB∴∠CAB ＋∠1＝∠CAB ＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∵FD∥BC∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2在△CAF 与△DAF 中CAF=DAF 1=2AF=AF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△CAF 与△DAF （AAS ）∴AC ＝AD.19.【解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．20.【解析】证明：如图所示，过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E、F．∵∠2＋∠1＝180°，又∵∠2＋∠PBO＝180°，∴∠1＝∠PBO．在△AEP和△BFP中，∴△AEP≌△BFP（AAS）．∴PE＝PF（全等三角形对应边相等）．∴OP平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）．。
人教新版 八年级上册数学 第12章 全等三角形 专项练习
立，则这个条件是 ．
16．三条公路将 、 、 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建 一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是 ．
17．如图，在 交于点 ，若
中， 为 的面积比
的中点， 平分 的面积大 1，则
， 的面积是
，与相
18．如图，两棵大树间相距 ，小华从点 沿 走向点 ，行走一段时间后他到达点 ，
参考答案 一．选择题（共 10 小题） 1．下列说法不正确的是
A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形对应边上的中线相等 C．全等三角形的对应角的角平分线相等 D．全等三角形的对应边上的高相等 解： 、不正确．面积相等的两个三角形不一定全等，符合题意； 、正确．全等三角形对应边上的中线相等，不符合题意； 、正确．全等三角形的对应角的角平分线相等，不符合题意； 、正确．全等三角形的对应边上的高相等，不符合题意． 故选： ． 2．如图，某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，若想到玻璃店配一块与原来一样大 小的五边形玻璃，那么最省事的方法应该带玻璃碎片
所以最省事的方法是带①去．
故选： ．
3．如图，
的 3 个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三
7 / 20
角形，选取图中三个格点组成三角形，能与
全等（重合的除外）的三角形个数为
A．1 个
B．2 个
解：如图所示可作 3 个全等的三角形．
故选： ．
C．3 个
D．4 个
4．如图，
且点 在 上，若
A．①
B．①②
C．①③
D．①③④
解：带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的
八年级数学十一章全等三角形
全等三角形（1）一．知识点：1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 含义：形状相同，大小相等. 2．符号：“≌”3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点 4．全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等. ⑵全等三角形的对应角相等. ⑶全等三角形的周长、面积相等.二．例题：如图，ABC ∆≌ADE ∆，︒=∠30EAC ，求BAD ∠的度数.三．练习：1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，并且AD BC =，则下列结论错误的是（ ） A ．21∠=∠ B ．CD AB = C ．D B ∠=∠ D ．DC AC =第1题 第2题 第3题2．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若6=AB ，4=AC ，5=BC ，则AD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．以上都不对3．如图，ABC Rt ∆沿直角边BC 所在直线向右平移得到DEF ∆，下列结论错误的事（ ） A ．ABC ∆≌DEF ∆ B ．︒=∠90DEF C ．DF AC = D ．CF EC =4．在ABC ∆中，C B ∠=∠，与ABC ∆全等的三角形有一个角为︒100，则ABC ∆中与这个︒100角对应相等的角是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．B ∠或C ∠5．如图，ABC ∆沿边BC 所在直线向右平移线段BC 的长后与ECD ∆重合，则ABC ∆≌ ；相等的边有 ，相等的角有 .第5题 第6题6．如图，若OAD ∆≌OBC ∆，且︒=∠65O ，︒=∠20C ，则OAD ∠= .7．ABC ∆≌C B A '''∆，且6=AB ，7=BC ，8=CA ，则C B A '''∆的周长为 . 8．已知ABC ∆≌DEF ∆，3=AB ，6=AC ，若DEF ∆的周长为偶数，则EF = .9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，且A 、D 、B 、E 在同一条直线上，试找出图中互相平行的线段，并说明理由.10．如图，已知ABC ∆≌EBD ∆，求证：21∠=∠四．强化练习：1.如图，ABC ∆≌ADE ∆，BC 与DE ，AC 与AE 是对应边，则E ∠等于（ ） A ．CAE ∠ B ．B ∠ C ．C ∠ D ．D ∠2.如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B ，C 和D 分别为对应顶点，若6=AB cm ，7=BD cm ，cm AD 4=，则BC 的长为（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．不确定第1题 第2题 第3题 第4题3.如图，ABC ∆≌ADC ∆，则与ACB ∠相等的角是（ ） A ．ACD ∠ B ．D ∠ C ．BAC ∠ D ．CAD ∠4.如图，D 是BC 上的点，ABD ∆≌ACD ∆，则ADB ∠的度数为（ ） A ．︒80 B ． ︒90 C ．︒100 D ．︒1105.如图，ABE ∆≌ACD ∆，21∠=∠，C B ∠=∠.求证：CAE BAD ∠=∠6.如图，ABC ∆≌EFC ∆，B 、C 、E 在同一条直线上，且cm BC 3=，cm CE 4=，︒=∠52EFC . 求AF 的长和A ∠的度数.7.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 边上的点F 处，且︒=∠50BAF .求DAE ∠的度数.8.如图，点A、E、B、F在同一条直线上，ABC∆≌FED∆.⑴判断AC与DF的位置关系，并说明理由；⑵判断AE与BF的数量关系，并说明理由.9. 如图，ABC∠110=B，试判断ACE∆的形状，并说明理由.=BAC，︒∆，︒∆≌EDC∠25全等三角形（2）一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DE AB ∴ABC ∆≌DEF ∆（SSS ）二．例题：如图，小龙用四根木条钉了一个四边形ABDC ，其中木条AC AB =，CD BD =.小龙发现拉动A 、D 两点，B ∠和C ∠的大小发生变化，但B ∠和C ∠一直相等.你认为小龙的发现正确吗？说明理由.三．练习：1．下列说法正确的是（ ）A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形的周长和面积分别相等C ．全等三角形是指面积相等的两个三角形D ．所有等边三角形都全等. 2．如图，在ABC ∆中，AC AB =，D 为BC 的中点，则下列结论中：①ABD ∆≌ACD ∆；②C B ∠=∠；③AD 平分BAC ∠；④BC AD ⊥，其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图，若AC AB =，DC DB =，根据 可得ABD ∆≌ACD ∆. 4．请你以下面提供的a 、b 、c 三条线段画一个三角形.5．如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，CF BE =，DE AB =，DF AC =.求证：D EGC ∠=∠6．在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BD AD =，BC AE =，DC DE =. 求证：AB DE ⊥7．如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，DC AF =，DE AB =，EF BC = 求证：DE AB //四．强化练习：1．如图，AD AB =，CD CB =，︒=∠30B ，︒=∠46BAD ，则ACD ∠的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．127° D ．104°2．如图，线段AD 与BC 交于点O ，且BD AC =，BC AD =，则下面的结论中不正确的是（ ） A ．ABC ∆≌BAD ∆ B ．DBA CAB ∠=∠ C ．OC OB = D ．D C ∠=∠第1题 第2题 第4题3．在ABC ∆和111C B A ∆中，已知11B A AB =，11C B BC =，则补充条件____________，可得到ABC ∆≌111C B A ∆．4．如图，CD AB =，DE BF =，E 、F 是AC 上两点，且CF AE =．欲证D B ∠=∠，可先运用等式的性质证明AF =________，再用“SSS ”证明________≌_________•得到结论． 5．如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，BC AD =.求证：①CD AB //；②BC AD //．6．如图，已知CD AB =，BD AC =，求证：D A ∠=∠．7．如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点，且CF AE =，BF DE =． 求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE //8.如图，已知DC AB =，DB AC =．求证：12∠=∠．全等三角形（3）一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS ” 几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴ABC ∆≌DEF ∆（SAS ）二．例题：如图，D 是ABC ∆中边BC 的中点，ACD ABD ∠=∠，且AC AB =.求证：⑴ABD ∆≌ACD ∆ ⑵EC EB =三．练习：1．如图，下列条件中能使ABD ∆≌ACD ∆的是（ ）A ．AC AB =，C B ∠=∠ B ．AC AB =，ADC ADB ∠=∠ C ．AC AB =，CAD BAD ∠=∠ D ．CD BD =，CAD BAD ∠=∠ 2．如图，线段AB 、CD 互相平分交于点O ，则下列结论错误的是（ ） A ．BC AD = B ．D C ∠=∠ C ．BC AD // D ．OB OC = 3．如图，已知BC AD //，BC AD =. 求证：ADC ∆≌CBA ∆4．点A 、D 、F 、B 在同一直线上，BF AD =，且BC AE //.求证：⑴AEF ∆≌BCD ∆ ⑵CD EF //5．如图，DE CD ⊥于D ，DB AB ⊥于B ，BE CD =，DE AB =. 求证：AE CE ⊥6．如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，连接BE 、AD 交于O .求证：⑴BE AD = ⑵︒=∠60AOB四．强化练习：1.如图，BC DE ⊥于点E ，且CE BE =，15=+AC AB ，则ABD ∆的周长为（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．302.已知两边及其中一边的对角，作三角形，下列说法中正确的是（ ） A ．能作唯一的一个三角形 B ．最多能作两个三角形 C ．不能作出确定的三角形 D ．以上说法都不对3.如图，已知1∠=∠B ，CF BE =，要使ABC ∆≌DEF ∆，下面所添的条件正确的是（ ） A ．DF AC = B ．EF BC = C ．EF AC = D ．DE AB =第1题 第3题 第4题4.如图，在ABC ∆中，AC AB =，点E 、F 是中线AD 上的两点，则图中可证明为全等的三角形有（ ） A ． 3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对5.如图，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，DE AB =，DF AC =，DF AC //. ⑴求证：ABC ∆≌DEF ∆⑵你还可以得到的结论是 （写出一个即可）6.如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OC OA =，OD OB =. 求证：CD AB =7.如图，已知E 、F 是线段AB 上的两点，且BF AE =，BC AD =，B A ∠=∠. 求证：CE DF =8.如图1，DEF ∆的顶点D 在ABC ∆的边BC 上（不与B 、C 重合），且︒=∠+∠180EDF BAC ，DF AB =，DE AC =，点Q 为EF 的中点，直线DQ 交直线AB 于点P .⑴猜想BPD ∠与FDB ∠的关系，并加以证明；⑵当DEF ∆绕点D 旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）全等三角形（4）一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA ”全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS ”几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中 或：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A ∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A∴ABC ∆≌DEF ∆（ASA ） ∴ABC ∆≌DEF ∆（AAS ）二．例题：如图，CE AE =，CE AE ⊥，︒=∠=∠90B D 求证：DB AB CD =+三．练习：1．如图，ABC ∆和DEF ∆中，下列能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ）A ．DF AC =，EF BC =，D A ∠=∠B ．E B ∠=∠，FC ∠=∠，DF AC =C ．D A ∠=∠，E B ∠=∠，F C ∠=∠ D ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DE AC =2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去第1题 第2题 第3题 第4题3．如图，BC AD =，BD AC =，则图中全等三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．如图，AB CD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，AO 平分BAC ∠，则图中全等三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．如图，21∠=∠，AD AB =，若想使ABC ∆≌ADE ∆，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.6．如图，已知21∠=∠，43∠=∠ 求证：BE BD =四．强化练习：1．已知B A AB ''=，A A '∠=∠，B B '∠=∠，则ABC ∆≌C B A '''∆的根据是（ ）A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．AAS2．ABC ∆和DEF ∆中，DE AB =，E B ∠=∠，要使ABC ∆≌DEF ∆ ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．DF AC =B ．EF BC = C ．D A ∠=∠ D ．F C ∠=∠3．如图，AD 平分BAC ∠，AC AB =，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4．如图，已知CD AB //，欲证明AOB ∆≌COD ∆，可补充条件_______．（填写一个适合的条件即可）第3题 第4题 第5题 第6题5．如图，AC AB ⊥，CD BD ⊥，21∠=∠，欲得到CE BE =，•可先利用_______，证明ABC ∆≌DCB ∆，得到______=______，再根据___________•证明________•≌________，即可得到CE BE =．6．如图，AC 平分DAB ∠和DCB ∠，欲证明AED AEB ∠=∠，•可先利用___________，证明ABC ∆≌ADC ∆，得到______=_______，再根据________，证明______≌________，即可得到AED AEB ∠=∠. 7．如图，AE AC =，E C ∠=∠，21∠=∠. 求证：ABC ∆≌ADE ∆．8．已知ABC ∆≌C B A '''∆，AD 和D A ''分别是BC 和C B ''边上的高，AD •和D A ''相等吗？为什么？9．如图，已知CE BD =，21∠=∠，那么AC AB =，你知道这是为什么吗？10．已知如图，AB CE ⊥于点E ，AC BD ⊥于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分BAC ∠. ⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）⑵小明说：欲证CD BE =，可先证明AOE ∆≌AOD ∆得到AD AE =，再证明ADB ∆≌AEC ∆得到AC AB =，然后利用等式的性质即可得到CD BE =，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．⑶要得到CD BE =，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．全等三角形（5）一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“HL ”几何符号语言：∵︒=∠=∠90F C∴在ABC Rt ∆和DEF Rt ∆中∵⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴ABC ∆≌DEF ∆ 二．例题：如图，OA PC ⊥于C ，OB PD ⊥于D ，且PD PC = 求证：DPO CPO ∠=∠三．练习：1．下列命题中正确的有（ ）①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等.A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个2．如图，ABC ∆和EDF ∆中，︒=∠=∠90D B ，E A ∠=∠，点B 、F 、C 、D 在同一条直线上，在增加一个条件，不能判定ABC ∆≌EDF ∆的是（ ）A ．ED AB = B ．EF AC = C ．EF AC //D ．DC BF =3．如图，AC AB =，AC BD ⊥于D ，AB CE ⊥于E ，图中全等三角形的组数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，BD AE ⊥于E ，BD CF ⊥于F ，CD AB =，CF AE =. 求证：CD AB //5．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，CD AB =，AD EB ⊥，AD FC ⊥，且DF AE = 求证：DE AF =6．在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AC AB =，AE 是过点A 的一条直线，且AE BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E .⑴当直线AE 处于如图1的位置时，猜想BD 、DE 、CE 之间的数量关系，并证明.⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达BD 、DE 、CE 之间的数量关系.四．强化练习：1．在下列所给的四组条件中，不能判定ABC Rt ∆≌C B A Rt '''∆ (其中︒='∠=∠90C C )的是( )A ．C A AC ''=，A A '∠=∠B ．C A AC ''=，C B BC ''=C. A A '∠=∠，B B '∠=∠D. C A AC ''=，B A AB ''=2.使两个直角三角形全等的条件是（ ）A ．一组锐角对应相等B ．两组锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条边对应相等3.如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ，AB CE ⊥于点E ，AD 、CE 交于点H ，已知3==EB EH ，4=AE ，则CH 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第3题 第4题 第5题4.如图，已知︒=∠=∠90ADB ACB ，欲说明BD BC =，可补充条件 .（填写一个即可）5.如图，A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AD EA ⊥，AD FD ⊥，且CD AB =，BF CE =，则CE 与BF 的位置关系为 .6.如图，AC AB =，BC AD ⊥于D . 求证：AD 平分BAC ∠，CD BD =7.如图，AC AB =，AF AE =，EC AE ⊥于E ，FB AF ⊥于F . 求证：21∠=∠8.如图，在ABC ∆和C B A '''∆中，CD 、D C ''分别是高，并且C A AC ''=，D C CD ''=，B C A ACB '''∠=∠. 求证：ABC ∆≌C B A '''∆9.如图，A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CE AC ⊥于C ，DF BD ⊥于D ，BF AE =，BD AC =. 探究CF 与DE 的关系，并说明理由.全等三角形（6）一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .二．全等三角形的判定：1.判定两个三角形全等的方法有：⑴________________________________________的两个三角形全等(SSS )．⑵________________________________________的两个三角形全等(SAS )．⑶________________________________________的两个三角形全等(ASA )．⑷________________________________________的两个三角形全等(AAS AAS)．2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等(HL )．三．例题：1.如图已知ABC ∆的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC ∆全等的图形是( )．A.甲和乙 B ．乙和丙 C.只有乙 D.只有丙2.如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确．．的命题，并加以证明． ①DE AB =，②DF AC =，③DEF ABC ∠=∠，④CF BE =．3.如图，OB OA =，OD OC =，︒=∠=∠90COD AOB . 猜想线段AC 、BD 的关系，并说明理由.4. 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形.仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积长方形；⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积长方形．四．练习：1．下列给出的四组条件中，能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ）A ．DE AB =，EF BC =,D A ∠=∠ B ．D A ∠=∠,F C ∠=∠,EF AC =C ．D A ∠=∠,E B ∠=∠,F C ∠=∠ D ．DE AB =, EF BC =, ABC ∆周长＝DEF ∆周长2．若ABC ∆≌DEF ∆，且ABC ∆的周长为20，5=AB ，8=BC ，则DF 长为（ ）A ．５B ．８C ．７D ．５或８3．如图,D 在AB 上，E 在AC 上，且C B ∠=∠，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABE ∆≌ACD ∆的是( )A ．AE AD =B ．ADC AEB ∠=∠ C ．CD BE = D ．AC AB =4．如图，将两根钢条A A '、B B '的中点O 连在一起，使A A '、B B '可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则B A ''的长等于内槽宽AB ，那么判定AOB ∆≌B O A ''∆的理由是( )A ．边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边第3题 第4题 第6题5．在ABC ∆和C B A '''∆中，︒=∠44A ，︒=∠67B ，︒='∠69C ，︒='∠44B ，且C A AC ''=，那么这两个三角形（ ）A ．一定不全等 B.一定全等 C.不一定全等 D.以上都不对6.如图，若ABC ∆≌DEF ∆，则E ∠等于（ ）A.30°B.50°C.60°D.100°7. 已知DE AB //，DE AB =，DC AF =，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.8.如图，给出五个等量关系：①BC∠⑤CBADAB∠==∠．请AD=②BDD∠AC=③DECE=④C你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．9.如图，以ABC∆的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断∆面积之间的关系，并说明理由．∆与AEGABC全等三角形（7）一．角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法） 几何符号语言：∵21∠=∠ OA PD ⊥ OB PE ⊥∴PE PD =二．例题：如图，OP 平分AOB ∠，OA PD ⊥于D ，OB PE ⊥于E ，F 为OP 上一点，连接DF 、EF . 求证：⑴EPO DPO ∠=∠ ⑵DF =EF三．练习：1．如图，AD AB ⊥于A ，DC BC ⊥于C ，BD 平分ABC ∠，则下列结论中正确的有（ ） ①CB AB =；②CD AD =；③BDC BDA ∠=∠A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分BAC ∠，AC AE =，连接DE ，则下列结论错误的是（ ） A ．ADE ∆≌ADC ∆ B ．DC DE = C ．ADC ADE ∠=∠ D ．DE AC =第1题 第2题 第3题3．如上图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥于E ，且cm AB 6=，则DEB ∆的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．如图，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥交AB 延长线于E ，AC DF ⊥于F ，且DC DB =. 求证：CF BE =5．如图，OC 平分AOB ∠，OA CA ⊥于A ，OB CB ⊥于B ，连接AB 交OC 于D . 求证：AB OD ⊥6．如图，CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E . ⑴求证：D 在BAC ∠的平分线上；⑵若将⑴的条件“CD BD =”和结论“D 在BAC ∠的平分线上”互换，成立吗？说明理由.四．强化练习：1．如图所示，21∠=∠，OA PD ⊥，OB PE ⊥，垂足分别为D ，E ，则下列结论中错误的是（ ）A ．PE PD =B ．OE OD =C ．EPO DPO ∠=∠D ．OD PD = 2．如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，AD 是ABC ∆的角平分线，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E ，F ，则下列四个结论：①AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③CD BD =，BC AD ⊥；④CDF BDE ∠=∠.其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，1==BC AC ，2=AB ，AD 为BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于点E ，则DBE ∆的周长为（ ）A ．2B ．21+C ．2D ．无法计算4．ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分BAC ∠，已知cm BC 8=，cm BD 5=，则点D •到AB 的距离为_______． 5．如图，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于点F ，若想得到DF DE =，只需添加一个条件，•这个条件是__________．第3题 第5题 第6题6．如图，︒=∠40AOB ，OP 平分AOB ∠，OA PA ⊥于A ，OB PB ⊥于B ，•则PAB ∠的度数为________． 7．如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且CD BD =，那么BE 与CF 相等吗？为什么？8.如图所示，︒=∠=∠90C B ，P 是BC 中点，DP 平分ADC ∠，判断AP 是否平分DAB ∠，说明理由．9．如图所示，已知AB PB ⊥，AC PC ⊥，且PC PB =，D 是AP 上一点，由以上条件可以得到CDP BDP ∠=∠吗？为什么？全等三角形（8）一． 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法）几何符号语言：∵ OA PD ⊥ OB PE ⊥ PE PD =∴点P 在POB ∠的平分线上.注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等.二．例题：如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且BE AE =，求证：DE 平分CDA ∠三．练习：1．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）A ．三条角平分线的交点B ．三条角中线的交点C ．三条角高线的交点D ．三条中垂线的交点2．如图，ABC ∆的两个外角平分线相交于点P ，则下面结论正确的是（ ） A ．BP 不平分ABC ∠ B ．BP 平分ABC ∠ C ．BP 平分APC ∠ D ．PC PA =3．如图，ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为O ，则=∆∆∆CAO BCO ABO S S S :: .4．如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且DE 平分CDA ∠ BE AE =，求证：BE AE =5．如图，在直线CD 上求一点P ，使得点P 到射线OA 和OB 的距离相等.6．如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，点O 为三条角平分线的交点，BC OD ⊥于D ，AC OE ⊥于E ，AB OF ⊥于F ，且cm AB 10=，cm CB 8=，cm CA 6=，求OD 的长.四．强化练习：1.在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AD 是BAC ∠的角平分线，若cm BC 5=，cm BD 3=，则点D 到AB 的距离为 .2.AOB ∠的平分线上一点P ，P 到OA 的距离为cm 5.1，则P 到OB 的距离为 cm .3.如图，︒=∠90A ，BD 是ABC ∆的角平分线，cm AC 8=，DA DC 3=，则点D 到BC 的距离为 .4.如图，21∠=∠， OA PD ⊥于D ，OB PE ⊥于E ，下列结论错误的是（ ） A.PE PD = B.OE OD = C.EPO DPO ∠=∠ D.OD PD =第3题 第4题 第6题 第7题5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点6.如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，且cm AB 6=，则DEB ∆的周长为（ ）A.4cmB.6cmC.10cmD.不能确定7.如图，AB AC ⊥，PB 为CAB ∆的角平分线，BA BD =，连接PD ，则下列结论中不正确的是（ ） A.PA PD = B.BPA BPD ∠=∠ C.︒=∠90PDB D.BPD CPD ∠=∠8.如图，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且DC DB =. 求证：CF BE =9.已知，如图BD 为ABC ∠的平分线，BC AB =，点P 在BD 上，AD PE ⊥于E ，CD PF ⊥于F . 求证：PF PE =10.如图，B 是CAF ∠内一点，D 在AC 上，E 在AF 上，且EF DC =，BCD ∆与BEF ∆的面积相等. 求证：AB 平分CAF ∠《全等三角形》单元检测一．选择题（本题8小题，每题3分，计24分）1．①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两个三角形全等；④有两边对应相等的两个三角形全等．上述命题中正确的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个2．在ABC ∆和C B A '''∆中，B A AB ''=，B B '∠=∠，补充条件后仍不一定能保证ABC ∆≌C B A '''∆，则补充的条件是（ ）A ．CB BC ''= B ．A A '∠=∠ C ．C A AC ''=D ．C C '∠=∠3．如图，CD AB //，AD BC //，DF BE =，图中全等三角形的对数是（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对4．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去第3题 第4题 第5题 第6题5．如图，BC AB ⊥于B ，CD AD ⊥于D ，若CD CB =，且︒=∠30BAC ，则BAD ∠的度数是（ ） A ．15oB ．30oC ．60oD ．90o6．如图，ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 平分CAB ∠，交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，且cm AB 6=， 则DEB ∆的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．10cmD ．以上都不对 7．ABC ∆≌BAD ∆，若BC AB CA >>，则下列结论中正确的是（ ）A ．AD BD AB >> B ．BD AD AB >>C ．AD AB BD >> D ．以上答案都不对 8．根据下列已知条件，能惟一画出ABC ∆的是（ ）A ．3=AB ，4=BC ，8=AC B ．4=AB ，4=BC ，︒=∠30A C ．︒=∠60A ，︒=∠45B ，4=ABD ．︒=∠90C ，6=AB二．填空题（本题8小题，每题3分，计24分）9．已知ABC ∆≌DEF ∆，若DE AB =，︒=∠50B ，︒=∠70C ，︒=∠50E ，则D ∠的度数为 ． 10．已知ABC ∆≌DEF ∆，cm EF BC 6==，ABC ∆的面积为218cm ，则EF 边上的高的长是cm ．11．如图，DFE ACB ∠=∠，EF BC =, 那么需要补充一个直接条件 （写出一个即可），才能使ABC ∆≌DEF ∆．12．如图，在ABC ∆中，AE AD =，EC BD =，︒=∠=∠105AEC ADB ，︒=∠40B ，则CAE ∠的度数为 ．第11题 第12题 第13题 第14题13．如图，DC AB =，BC AD =，DF BE =，︒=∠100AEB ，︒=∠30ADB ，则BC F ∠的度数为 ． 14．如图所示的长方体中，ABC ∆和DEF ∆的关系是________．（填“全等”或“不全等”） 15．已知ABC ∆≌DEF ∆，点A 、B 、C 的坐标分别为A （2-，1-），B （1-，2），C （1，0），若点D 的坐标为D （1，1），请你写出一组符合要求的点E 、F 的坐标_____________．16. 如图，有两个长度相同的滑梯（即EF BC =），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则DFE ABC ∠+∠＝___________度．三．解答题 （本题有6小题，每题9分，计54分）17．如图，DC AB //，CB DC AD ==，AD 、BC 的延长线相交于点G ，AG CE ⊥于点E ，AB CF ⊥于点F ．⑴请你写出图中4组相等线段（已知的相等线段除外）； ⑵选择⑴中你写出的一组相等线段，说明它们相等的理由．18．如图，已知21∠=∠，43∠=∠，AD EC =. 求证：BE AB =19．如图，线段AD 、BC 、EF 相交于点O ，FO EO =，CD AB //. 求证：OC OB =20．如图，ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形，求证：BE DC =21．如图，已知：BE AD ⊥，垂足C 是BE 的中点，DE AB =. 求证：DE AB //22．右图的花环状图案中,ABCDEF 和111111F E D C B A 都是正六边形. ⑴求证:21∠=∠；⑵ 找出一对全等的三角形并给予证明.四．解答题（本题有4小题，每题12分，计48分）23．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，AOB∠是一个任意角，在C边OA，OB 上分别取OQOP=，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与P，Q重合，过角尺顶点C的射线OC 便是AOB∠的平分线．请同学用数学知识对这一做法的道理加以说明．24．如图，A、B两点是湖两岸上的两点，为测A、B两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出A、B两点的距离，并说明你的方案的可行性．25．如图，图1等腰ABC ∆与等腰DEC ∆共点于C ，且E C D B C A ∠=∠，连结BE 、AD ，若AC BC =、DC EC =．⑴求证：AD BE =；⑵若将等腰DEC ∆绕点C 旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么? （请你用图2加以证明）26．如图1，四边形ABCD 中，BC AD //，DCB ABC ∠=∠，DC AB =，DF AE =． ⑴求证：CE BF =；⑵当E 、F 相向运动，形成图2时，BF 和CE 还相等吗？请证明你的结论．《全等三角形》第一轮能力训练卷1．如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AC AB =，直线l 经过A 点，l BE ⊥，l CF ⊥.求证：EF CF BE =+2．如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AC AB =，直线l 经过A 点，且经过ABC ∆内部，l BE ⊥，l CF ⊥.试判断BE 、CF 、EF 三者的数量关系.3．如图，在平面直角坐标系中，ABC Rt ∆，︒=∠90BAC ，AC AB =，A （3，0），B （0，4）. 求C 点的坐标.4．如图，等腰直角ABC ∆的直角边2==BC BA ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，以相同的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ，设AP 的长为x ，PCQ ∆的面积为y .⑴求y 与x 的函数关系式（写出自变量的取值范围）⑵作AC PE ⊥于E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？说明理由.5．在上题中，连接DB ，求证：DP DB =6．如图1，在等腰直角ABC ∆中，︒=∠90ACB ，O 为AB 的中点，P 为AB 上一动点，D 在BC 上，且满足PD PC =，AB DE ⊥于E . ⑴求证：DE PO =⑵如图2，点D 在BC 的延长线上，其他条件不变，⑴中的结论是否成立？ ⑶在图3中画出当点P 在BA 延长线上的情况，并给出相应的证明； ⑷还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.7．如图1，ABC Rt ∆中，AC AB =，点D 、E 是线段AC 上两动点，且EC AD =，BD AP ⊥于P ，交BC 于点Q ，直线BD 交直线QE 于F .⑴判断DEF ∆的形状，并说明理由.⑵如图2，若点D 、E 是直线AC 上两动点，其他条件不变，判断DEF ∆的形状，并说明理由.8．如左图，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，一个直角三角板的直角顶点放在AB 的中点O 处，绕O 点旋转，两直角边分别交AC 于E ，交BC 于F . ⑴求证： OF OE =，BF CE =⑵如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交AC 延长线于E ，交BC 延长线于F .⑴中的结论是否正确？说明理由.9．如图，线段AB ，点P 在AB 的下方，⑴若PB PA =，在的AB 上方作AP A A ⊥'，且AP A A ='，作PB B B ⊥'，且PB B B ='，连接B A ''，取B A ''的中点O ，连接AOB ∆，试判断AOB ∆的形状并证明。