第1讲 函数的概念、基本初等函数
初等代数研究( 第3章 函数 )2011.9
2014-7-3
初等代数研究
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
最早提出函数（function）概念的是 17 世纪德国数学家莱布尼茨． 1718 年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家约翰· 贝努利把函数定义为：“由 某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．” 1755 年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，我 们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用 公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线 也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”当时有些数学家对于不用 公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公 式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
19 世纪末，自从德国数学家康托创立了集合论，人们把函数的概念提升到了 更抽象的层次，这个抽象的定义，提炼出了函数概念的精髓，使它去除了各种形 式的束缚，从而有了更广泛的应用． 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。 我国清代数学家李善兰在翻译 《代 数学》 （1895 年）一书时，把“funcion”译成“函数”，中国古代“函”字与“含”字通用， 都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国 古代用天、地、人、物 4 个字来表示 4 个不同的未知数或变量。这个定义的含义 是：“凡是公式中含有变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数。”所以“函数”是指公式里 含有变量的意思。
3.伸缩变换
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y f ( x) y f (kx) y f ( x) y kf ( x)
函数的概念与基本初等函数Ⅰ复习
函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示突破点(一) 函数的定义域1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．求给定解析式的函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2) D ．[－2,0]∪[1,2] [答案] C求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[答案] [0,1)已知函数定义域求参数[例3] (2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][答案] D1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1] D ．[0,2] 解析：选B2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点求函数的解析式求函数解析式的四种方法[典例](1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(2)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．(2) f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.32(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14B.⎝⎛⎭⎫12 21log 5＋C.12D.120 [答案] (1)C (2)D求参数或自变量的值或范围[例2] (1)(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．2C ．－1D ．－2(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．[答案] (1)A (2)(－∞，8]1．[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ≤0，x 2，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．1 C.14 D.12解析：选C2．[考点一]已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( ) A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 解析：选B3．[考点一]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 解析：选B4．[考点二]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 解析：选C5．[考点二]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为________．答案：－1或16．[考点二]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．答案：[－4,2][全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C2．若函数f (x ＋1)的定义域为[0,1]，则f (2x －2)的定义域为( ) A ．[0,1] B ．[log 23,2] C ．[1，log 23] D ．[1,2] 解析：选B3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 解析：选B 4．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝________.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10] 解析：选D2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－2 解析：选C3．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1解析：选A4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：选D5．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x 解析：选D6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B二、填空题7．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，f (x ＋1 001)＝2f (x )＋1，已知f (15)＝1，则f (2 017)＝________.答案：18．(2017· 绵阳诊断)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：答案：－349．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________.解析：答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)f (x )>2的解集是________．答案：{x |x <－3或x >1} 三、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1) f (－1)＝0，f (1.5)＝－18.(2) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1) y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)－72≤x ≤70.0≤x ≤70.行驶的最大速度是70千米/时．第二节 函数的单调性与最值突破点(一) 函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．判断函数的单调性1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝1f(x)单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝f(x)单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1](1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为() A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) [答案](1)C(2)B函数单调性的应用应用(一) [例2] 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c[答案] D应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[答案] B用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－14，0D.⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞) [答案] (1)D (2)D1．[考点一]函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞)解析：选A2．[考点二·应用(一)]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a ) 解析：选C3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．<x <3.答案：⎝⎛⎭⎫0，13∪(1,3) 4．[考点二·应用(三)]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫32，25．[考点一]用定义法讨论函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的单调性．突破点(二) 函数的最值1.函数的最值 前提设函数f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．求函数的最值(值域)1．(1)判断或证明函数的单调性；(2)计算端点处的函数值；(3)确定最大值和最小值． 2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[典例] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎤2，103 (3)21．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1 (x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034 解析：选D2．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 解析：选C3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案：34．(2017·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．答案：⎣⎡⎦⎤79，785．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案：1[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：选A2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为________．答案：161．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x 解析：选A2．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2 D ．a ≥2 解析：选C3．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B 4．函数f (x )＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________． 答案：－27 －235．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫－1，12 [练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选B2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3) 解析：选A3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析：选B4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1 解析：选C5．(2017·九江模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B6．(2017·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 解析：选D 二、填空题7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．答案：22－310．(2017·豫南名校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2) 三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 答案：a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解： g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a ＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1. 第三节 函数的奇偶性及周期性突破点(一) 函数的奇偶性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y 轴对称2.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．函数奇偶性的判断[例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x lg(x ＋x 2＋1)；(2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1 (x >0)，x 2＋2x －1 (x <0)；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.[解] (1)偶函数．(2)非奇非偶函数．(3)奇函数．(4)函数f (x )是奇函数．函数奇偶性的应用[例2] (1)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.[答案] (1)B (2)131．[考点一]下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝x2＋cos x 答案：D2．[考点一]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．f(x)＝1＋x2B．f(x)＝x＋1x C．f(x)＝2x＋12x D．f(x)＝x＋ex解析：选D3．[考点二]设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝()A．－12 B.12C．2 D．－2解析：选B4．[考点二]设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.答案：－15．[考点二]已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________.答案：x2＋x－1突破点(二)函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．利用函数的周期性求值或范围周期函数y(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是4|b －a |； (8)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； (9)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a .[典例] (1)(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 016(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.(2) f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝1 009.1．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：选D2．(2017·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14 D ．－12解析：选A3．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 解析：a ＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值．f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝336＋3＝339.突破点(三) 函数性质的综合问题1．函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值．2．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．奇偶性与单调性的综合问题偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．[例1] 已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．实数m 的取值范围是[－1,1)．奇偶性与周期性的综合问题[例2] 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1[答案] D奇偶性、周期性、单调性的综合问题[例3] 则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)[答案] D1．[考点一](2017·太原模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x 2 C ．y ＝cos xx D ．y ＝－x 2 解析：选D2．[考点二](2017·广州联考)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98 解析：选B3．[考点一]已知定义在R 上的奇函数f (x )在x >0时满足f (x )＝x 4，且f (x ＋t )≤4f (x )在x∈[1,16]时恒成立，则实数t的最大值是()A.2－1 B．16(2－1) C.2＋1 D．16(2＋1)解析：选A4．[考点三]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝1f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数解析：选A5．[考点二]已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3 a＋1，则实数a的取值范围为________．答案：(－1,4)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.答案：13．(2014·新课标全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.答案：34．(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案：(－1,3)5．(2012·新课标全国卷)设函数f(x)＝(x＋1)2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.答案：21．(2016·肇庆三模)在函数y＝x cos x，y＝e x＋x2，y＝lg x2－2，y＝x sin x中，偶函数的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0解析：选B2．下列函数为奇函数的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝e x －e －x 解析：选D3．(2017·江南十校联考)设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为R D ．f (x )是周期函数 解析：选D4．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．答案：－15．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案：－－x －1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1 C ．y ＝lg x D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12ln |x | 解析：选B2．(2017·泰安模拟)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 解析：选A3．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12 解析：选A4．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C5．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 解析：选D6．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16 解析：选B 二、填空题7．(2017·揭阳模拟)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R)可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 答案：19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：答案：(－2,1)10．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案： 2 三、解答题11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1) m ＝2.(2)实数a 的取值范围是(1,3]．12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1) f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数． (3) x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)． 第四节 二次函数与幂函数突破点(一) 幂函数1.幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质 函数性质y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性 增 x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减幂函数的图象[例1] 幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )[答案] C幂函数的性质(1)幂函数在(0；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；(5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．[例2] (1)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． (2)若(a ＋1)13－<(3－2a )13－，则实数a 的取值范围是________．[答案] (1)a >c >b (2)(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，321．[考点二]已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x23＋－m m 是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( )A ．－1 B ．2 C ．－1或2 D ．3解析：选B2．[考点一]图中C 1，C 2，C 3为三个幂函数y ＝x k 在第一象限内的图象，则解析式中指数k 的值依次可以是( )A ．－1，12，3B ．－1,3，12 C.12，－1,3 D.12，3，－1解析：选A3．[考点一、二](2017·昆明模拟)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 4．[考点二]若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c解析：选D 5．[考点二]若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 突破点(二) 二次函数1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，图象的对称轴是x ＝－b2a，顶点坐标是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ；(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，图象的对称轴是x ＝m ，顶点坐标是(m ，n )；(3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，图象的对称轴是x ＝x 1＋x 22. 2．二次函数的图象和性质 f (x )＝ax 2＋bx ＋ca >0a <0图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递减最值 当x ＝－b2a 时，y min ＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y max ＝4ac －b 24a求二次函数的解析式[例1] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象确定二次函数的图象，主要有以下三个要点：从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．二次函数的图象与性质的应用考法(一) 二次函数的单调性[例2] 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[解] (1)实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2) f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6，0]．考法(二)二次函数的最值二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”．解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系m<n<－b2a，即－b2a∈(n，＋∞)m<－b2a<n，即－b2a∈(m，n)－b2a<m<n，即－b2a∈(－∞，m)图象最值f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f⎝⎛⎭⎫－b2af(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)[例3]已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．[a＝－1或a＝2.考法(三)二次函数中的恒成立问题[例4]已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．实数a的取值范围是[2,3]．1．[考点二]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()解析：选D2．[考点三·考法(一)]函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A．－3 B．13 C．7 D．5解析：选B3．[考点一]二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．答案：f (x )＝12x 2－2x ＋14．[考点三·考法(二)]设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.5．[考点三·考法(三)]已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 近五年全国卷对本节内容未直接考查1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选A2．设a ＝⎝⎛⎭⎫2313，b ＝⎝⎛⎭⎫1323，c ＝⎝⎛⎭⎫1313，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a解析：选A3．已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选D4．二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．答案：y ＝13x 2－2x ＋35．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为________． 答案：(－∞，－3][练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1解析：选B2．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是( ) A ．－4 B ．4 C ．4或－4 D ．不存在解析：选B 3．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )A ．f (m )<f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )>f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：选A4．已知函数f (x )＝x 2＋2|x |，若f (－a )＋f (a )≤2f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－2,2]C ．[－4,2]D ．[－4,4]解析：选A 5．设函数f (x )＝x 2－23x ＋60，g (x )＝f (x )＋|f (x )|，则g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝( )A ．56B ．112C ．0D ．38 解析：选B6．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) 解析：选C 二、填空题7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案：(3,5)8．已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2，2 018)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．答案：99．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎣⎡⎦⎤－235，1 10．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 三、解答题11．(2017·杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12的值域． 解：(1) m ＝0.(2)值域为⎣⎡⎦⎤12，1. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知，f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．第五节 指数与指数函数突破点(一) 指数幂的运算1.根式(1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂。
函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用
(1)y＝11＋-xx22；
(2)y＝2x＋ 1-x；
(3)y＝2x＋ 1-x2；
(4)y＝x2-x2-x1＋5；
(5)若 x，y 满足 3x2＋2y2＝6x，求函数 z＝x2＋y2 的值域；
(6)f(x)＝|2x＋1|-|x-4|.
解：(1)解法一：(反解) 由 y＝11＋-xx22，解得 x2＝11＋-yy， 因为 x2≥0，所以11＋-yy≥0，解得-1＜y≤1，
(2015·福建)若函数 f(x)＝-3x＋＋lo6g，axx，≤x2＞，2 (a＞0，且 a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数 a 的取值范围是________．
解：函数 f(x)的大致图象如图所示． 因为当 x≤2 时，f(x)∈[4，＋∞)， 所以要使 f(x)在 R 上的值域是[4，＋∞)， 只需当 x>2 时，f(x)∈[4，＋∞)， 所以a>1，
则 f(-2)＋f(log212)＝( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解：由条件得 f(-2)＝1＋log24＝3，因为 log212>1，所以 f(log212)＝2(log212)-1＝2log26＝6，故 f(-2)＋f(log212)＝9.故选 C.
(2015·浙江)已知函数 f(x)＝x＋2x-3，x≥1， lg（x2＋1），x＜1，
，
，
.
(2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两
个函数相等．
4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数
叫做分段函数，它是一类重要的函数．
5．映射的概念
一般地，设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定
的对应关系 f，使对于集合 A 中的
第2章 第1节 函数的概念及表示-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
►考向二 求函数的解析式[师生共研]
[例 2] (1)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，则 f(x) 的解析式为_f(_x_)＝__－__2_x_－__3__或__f_(_x)_＝__2_x_＋；1.
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)的解析式为_f(_x_)_＝__x_2－__1_(；x≥1)
►规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)换元法：已知复合函数 f[g(x)]的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法.
(3)配凑法：由已知条件 f[g(x)]＝F(x)，可将 F(x)改写成关 于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式.
►规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解 析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等 式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1) 若 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 复 合 函 数 f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义 域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
命题点 2 求抽象函数的解析式
[例 1－2] 已知函数 f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则 f(2x
－1)的定义域为( C )
A.(－1，0)
B.(－2，0)
C.(0，1)
－1，0 D. 2
[自主解答] ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)， 即－2＜x＜0，∴－1＜x＋1＜1， 则f(x)的定义域为(－1，1)， 由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1， ∴f(2x－1)的定义域为(0，1).故选C.
第1节 函数概念与基本初等函数
返回
(3)设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.
把 f(x)的表达式代入 f(x＋1)－f(x)＝2x，有 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.
1 (4)在 f(x)＝2fx
1 C.1－x
D．1x－1
解析： 由 f1x＝1－x x，知 x≠0 且 x≠1，令1x＝t，得 x＝1t (t≠0 且 t≠1)，
1 ∴f(t)＝1－t 1t ＝t－1 1(t≠0 且 t≠1)，∴f(x)＝x－1 1(x≠0 且 x≠1)．
答案： B 返回
x，x≥0，
4．设函数 f(x)＝
返回
2．如果函数 f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数 a 的
值为( )
对数式有意 义的条件？
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析： 因为－2x＋a>0，所以 x<2a，所以2a＝1，所以 a＝2. 答案： D
返回
3．已知函数 f(x)的定义域为[3,6]，则函数 y＝
义域为( )
() A．2
B．4
C．6
D．8
应根据定义域 的分段情况对a 进行分类讨论
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解析： 当 0<a<1 时，a＋1>1，∴f(a)＝ a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 由 f(a)＝f(a＋1)得 a＝2a，∴a＝14.此时 f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 当 a≥1 时，a＋1>1，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 由 f(a)＝f(a＋1)得 2(a－1)＝2a，无解．综上，f1a＝6. 答案： C
高一数学必修1第一章第二节基本初等函数
精心整理第二章：函数及其表示第一讲：函数的概念：知识点一：函数的概念：典型例题：判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数：A=z,B=Z,A=Z,B=Z,A={-1,1},B={0},f:）））巩固练习：已知函数f(-3),的值时，求知识点三：函数相等：如果两个函数的定义域相等，并且对应关系完全一致，那么我们称这两个函数一致。
典型例题3：下列函数中，f(x)与g(x)相等的是（）A、B、C、D、巩固练习：）(2)）(4)知识点四：区间的表示：零售量是否为月份的函数？为什么？知识点二：分段函数：典型例题1：作出下列函数的图像：（1）f(x)=2x,x∈Z，且|x|≤2（2）y=|x|典型例题2：某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加一元（不足5公里按5f:（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f:数轴上的点所代表的实数对应。
（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={（x,y）|x ∈R，y∈R}，对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A={x|x是三角形}；集合B={x|x是圆}；对应关系f:每个三角形都有对应它的内切圆。
课堂练习：1、如图，把截面半径为25cm的圆形木头据成矩形木料，如果中元素作业布置：1、求下列函数的定义域：（1）2、下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？3、画出下列函数的图像，并说明函数的定义域和值域（1）y=3x(2)(3)y=-4x+5(4)x2-6x+74、已知函数f(x)=3x2-5x+2,求的值。
第二章 函数概念与基本初等函数(文数) 第1讲
答案 (1)x2－1(x≥1) (2)x2＋2x＋1
基础诊断 考点突破 课堂总结
ex－1，x＜1， 1 【例 3】(1)(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)＝ x3，x≥1， 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________.
x－1 2 －2，x≤1， (2)(2015· 全国Ⅰ卷改编)已知函数 f(x)＝ －log2（x＋1），x＞1，
基础诊断
考点突破
课堂总结
[易错防范]
1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法， 同 时要注意函数的定义域，如已知 f( x)＝x＋1，求函数 f(x)的解 析式时，通过换元的方法可得 f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域 是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞). 2.求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值 f(x0)时，首先要 判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.
(5)分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不 同的 对应法则 ，这种函数称为分段函数.
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域 的 并集 ，值域是各段值域的 并集 .
基础诊断 考点突破 课堂总结
2.函数定义域的求法
类型 2n f（x），n∈N* x 满足的条件 f ( x) ≥0
函数，记作y＝f(x)，x∈A.
基础诊断
考点突破
课堂总结
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数
的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 . (3)函数的三要素是：定义域 、 值域 和对应关系. (4)表示函数的常用方法有：列表法 、图象法 和解析法.
大学高数第一章函数和极限ppt课件
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
数学版课件第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1讲
对应关系 f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于 如果按某一个确定的对应关系f，使对于
集合A中的__任___意___一个数x，在集合B中 集合A中的__任__意___一个元素x，在集合B 都有__唯___一__确__定____的数f(x)和它对应 中都有__唯___一__确__定____的元素y与之对应
(4)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x， 整理得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，
由恒等式原理知2aa＋－b2＝＝00，⇒ab＝ ＝1－，1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
答案 (1)－34 (2)[e＋4，＋∞)
角度3 分段函数与不等式结合
【例 3－3】 (1)已知函数 f(x)＝x12，＋x1<，0，x≥0，则满足不等式 f(1－x2)>f(2x)的 x 的取值 范围是________. (2)设函数 f(x)＝x2＋x，1x，>0x，≤0，则满足 f(x)＋f x－12>1 的 x 的取值范围是________.
解 (1)法一 设 t＝ x＋2，则 x＝t－2，
即x＝(t－2)2(t≥2)，∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4， ∴f(x)＝x2－4(x≥2).
法二 ∵f( x＋2)＝( x＋2)2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2).
(2)设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1(t>1)，∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－2 1(x>1). (3)由 2f(x)＋f 1x＝2x ①， 将 x 换成1x，则1x换成 x，得 2f 1x＋f(x)＝2x ②， ①×2－②，得 3f(x)＝4x－2x，得 f(x)＝43x－32x.
专题二：函数与基本初等函数(知识点梳理)
f x f x，那么就称函数 f (x) 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
（3） 奇、偶函数的性质： ① 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称. ② 如果 f (x) 为奇函数，且在原点有定义，则 f (0) 0. ③ 如果 f (x) 为偶函数，则 f (x) f (x) f ( x ). ④奇函数的图像关于原点对称，图像关于原点对称的函数是奇函数；偶函数
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设 x1, x2 a,b 且 x1 x2 ，则： f x1 f x2 =…
2、奇偶性
（1）奇函数： 一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有
f x f x，那么就称函数 f (x) 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.
高考数学必记知识点归纳总结 第三章 函数
一、函数的概念： 1、函数的定义：在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y，设变量 x 的取值 范围为数集 D，如果对于 D 内的每一个 x 值，按照某个对应法则 f，y 都有 唯一确定的值与之对应，那么，把 x 叫做自变量，把 y 叫做 x 的函数．记为：
y f(x)
的图像关于 y 轴对称，图像关于 y 轴对称的函数是偶函数.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性相反． ⑥在公共定义域内：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和与积都是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
注意：判断函数的奇偶性时，首先判断定义域是否关于原点对称，若定义域
⑴当 a 1时,
f (x) 0 loga f (x) loga g(x) g(x) 0
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第1讲：函数的概念、基本初等函数
例1、（2009年江西高考）设函
数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,()),(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）
A 、2-
B 、4-
C 、8-
D 、不能确定
例2、（2008年全国联赛）设函数(),f x ax b =+ 其中,a b 为实数，1()(),f x f x =1()(()),n n f x f f x +=1,2,3,...,n =若7()128381,f x x =+则a b += .
例3、（2011年广东省预赛）已知定义在正整数集上的函数()f n 满足一下条件：
（1）()()(),f m n f m f n mn +=++ 其中,m n 为正整数；
（2）(3)6f =； 则(2011)f = .
例4、（2012年福建省高考）对于实数a 和b ，定义运算“*”：{
22,*,a a b a b a b b ab a b -≤=->. 设()(21)*(1),f x x x =--且关于x 的方程(),()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根
123,,,x x x 则123x x x 的取值范围是 .
例5、（2010年全国高考Ⅰ卷）已知函数()|lg |,f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）
A
、)+∞ B
、)+∞ C 、(3,)+∞ D 、[3,)+∞
例6、（2012年河南省预赛）已知函数22|log |,04270(),8,43
3x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,,a b c d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 .
例7、（2012年湖北省预赛）设函数()log (2)log (3),a a f x x a x a =-+-其中0a >且1a ≠.若在区间[3,4]a a ++上()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
例8、设22
2()1,(),ax x a f x x ax g x x ++=--+= （1）若()0f x b +=在[1,2]上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；
（2）若存在1[1,2]x ∈，使得对任意的21[,1]2
x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.
（2008年全国联赛）解不等式：121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++>++.。