9-1 多元函数的基本概念
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
第1节多元函数的基本概念
的示 . 意图
y
解 要使函数有意义须满足
1x2y20, 即 x2y21,
所以函数的定义域为
x
D {(x,y) x2y21}.有界闭区域
2.二元函数的定义域
例2 求 函 z数 lny(x) xy 的 定D 义 . 域 x2y21
解 要使函数有意义须满足
y
y x0
二. 多元函数的概念
注意 (1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
x2y2z2a2
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论.
(2) 多元函数也有分段函数，如
xy f(x,y)x2y2
0
x2y20 x2y20
(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.
(4) 函数有加减乘除数乘及复合运算(略)
确定空间一点 M(x,y,z),当(x, y) 取遍
D上的一切点时, 得到空间点集
z
M(x, y,z)
{x ,(y ,z)zf(x ,y )(x ,,y ) D }
这个点集称为二元函数的图形.
该几何图形通常是一张曲面.
而定义域 D 正是这曲面在Oxy 平面上的投影.
D (x, y) y
x
3.二元函数的几何图形
xy
0
x
2
y2
1
0
函数的定义域为
D {(x ,y )y x 0 ,x 0 y ,x 2 y 2 1 }
yx
x
无界开区域
2.二元函数的定义域 例3 求 zarcxs2 in y2 x2y21的 定. 义
4
解 要使函数有意义,必须
x2 4
第一节多元函数的基本概念
(2)找 两 种 不 同 趋 使l向 imf(方 x,y)式 存， 在 ， 但 xx0 yy0 两 者 不 相 等 ， lim 则 f(x,可 y)不 断存 言 .在 xx0 yy0
定义 2 设n元函数 z f(P)的定义域为D点 ， P0集
函数z f (x, y)当x x0, y y0 时的极限， 记作 lim f (x, y) A.
xx0 y y0
或记为 ( f (x, y) A,( 0),这里 PP0 ) .
说明：
义P中 P0的方式是
(2) 二元函数的极 二限 重也 极 lim 叫 限 f(x,做 y); xx0 yy0
U(P,)P|P|P
0
0
• P0
( x , y ) |( x x ) 2 ( y y ) 2 .
0
0
2. 区域
设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 蘿E ， 则称 P 为 E 的内点 . E 的内点属于E .
如果点集E的点都是内点，
x2y2
例 3求 极li限 m sinx(2y).
x y x 0
2
2
y 0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
limsin(x2 y) x 2 y ,
x0 y0
x2 y
x2 y2
其中
limsin(x2 y)
x0 y0
x2 y
ux2y
lim
u0
sin u u
1,
x2y x2 y2
第 一 节 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用一、学时分配讲课学时：16学时 习题课学时：2学时 共18学时二、基本内容1．多元函数的概念、极限、连续性2．偏导数、全微分、复合函数与隐隐约约函数的求导3．多元函数微分学的几何应用4．方向导数与梯度5．多元函数的极值与最值。
三、教学要求1．理解多元函数的基本概念；2．理解多元函数偏导数的概念，熟练掌握多元函数偏导数、全微分的求法；3．掌握多元复合函数、隐函数的求导法则；4．理解多元函数微分学的几何应用，了解方向导数与梯度；5．掌握多元函数极值的求法，并会应用其解决实际问题。
四、重点难点1．重点：多元函数的偏导数的概念与求法，条件极值2．难点：多元复合函数的求导第 一 节 多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限．教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理．教学难点：计算多元函数的极限．教学内容：一、 平面点集1． 邻域设000(,)P x y 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数．与点000(,)P x y 距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即00(,){}U P P PP δδ=<，也就是0(,){(,}U P x y δδ=<．在几何上，),(0δP U 就是xoy 平面上以点000(,)P x y 为中心、0>δ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体．00(,){0}U P P PP δδ=<<称为点0P 的去心δ邻域．2． 区域设E 是平面上的一个点集，是平面上的一个点．如果存在点的某一邻域，则称为的内点．显然，的内点属于．如果的点都是内点，则称为开集．例如，集合中每个点都是的内点，因此为开集．如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点．的边界点的全体称为的边界．例如上例中，的边界是圆周和 ．如果对于任意给定的，的去心邻域内总有的点，则称是的聚点．设是点集．如果对于D 内任何两点都可用完全包含在D 中的折线连结起来，则称点集D 是连通的． 连通的开集称为区域或开区域．例如，}0),{(>+y x y x 及}41),{(22<+<y x y x 都是区域．开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如{(,)1}x y x y +≤及22{(,)14}x y x y ≤+≤都是闭区域．对于平面点集E ,如果存在某一正数r ，使得(,)E U O r ⊂，其中O 是原点坐标，则称E 为有界点集，否则称为无界点集．例如，22{(,)14}x y x y ≤+≤是有界闭区域，{(,)1}x y x y +<是无界开区域．3．n 维空间n 元有序实数组12(,,,)n x x x 的全体构成集合 12{(,,,),1,2,,}n n i x x x x R i n =∈=R 。
第一节 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用大纲要求1．理解多元函数的概念2．了解二元函数的极限和连续的概念3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用4．理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法5．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法；会求隐函数的偏导数6．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程7．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值并会解决一些简单的应用问题第一节 多元函数的基本概念㈠本课的基本要求理解多元函数的概念，了解二元函数的极限和连续的概念㈡本课的重点、难点多元函数的有关概念为重点、难点是二元函数的极限和连续性的概念㈢教学内容前面我们研究了一元函数（一个自变量的函数）及其微积分。
但在自然科学与工程技术的实际问题中，往往涉及到多个因素之间的关系，这在数学上就表示为一个变量依赖于多个变量的情形，这种关系就相应地导出多元函数的概念。
本章的目的是在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。
我们以二元函数为主，但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数。
同时，我们还须注意与一元函数微分学中有区别的地方，不要把概念、方法与记号弄混淆。
一．平面点集、n 维空间在讨论一元函数时，一些概念、理论和方法，都是基于1R 中的点集、两点间的距离、区间和邻域等概念。
为了将一元函数微积分推广到多元的情形，首先需要将上述一些概念加以推广，同时还需涉及一些其他概念。
为此我们先引入n 维空间，以便推广到一般的n R 中。
1．平面点集我们知道二元有序实数组),(y x 的全体，即},|),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=就表示坐标平面。
（请思考：n 维空间？）坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，称为平面点集，记作),(|),{(y x y x E =具有性质P}。
高等数学多元函数的概念
点 P0 x0 , y0 时，函数 f (x, y) 无限趋于一个常数
A，则称A为函数 f (x, y) 当 P P0 时的极限.
记为 lim f (x, y) A或 lim f (x, y) A
( x, y)( x0 , y0 )
如果点集E中的每一点都是内点，且E中任何两点
可用全在E内的折线连结起来，则称E为开区域(简
称区域).
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
y
若区域E包含在某个圆内，则称E为有 界区域；否则，称为无界区域.
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2பைடு நூலகம்lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点． 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
的二元函数,记为
z f x ，y
例 1 设圆柱体的底面半径为 r , 高为 h ,则圆柱体体
第一节 多元函数的基本概念
f ( x , y );
E 的内点属于 E .
P
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属 E 的点， 于 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为E 的边界．
P
E
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.
说明： (1) 内点一定是聚点； (2) 边界点可能是聚点；
2 2 例 {( x , y ) | 0 x y 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
(3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, {( x , y ) | 0 x y 1}
2 2
(0,0) 是聚点但不属于集合．
o
y
单值分支: z a 2 x 2 y 2
z a2 x2 y2 .
x
二元函数也有复合函数
f ( xy, x y ) x 2 y 2 , 求 f ( x , y ) . 例5、已知
y f ( , x y ) x 2 y 2 , 求 f ( x , y ). 例6、已知 x
多元函数也有单值性与多值性的概念.
例如：
x 2 y 2 z 2 R2
2 2 2
当 P ( x , y ) D {( x , y ) x y R }
2 2 2 单值分支 z R x y
z R2 x 2 y 2
一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质
即为 x 与 y 的线性运算 . 2) n维空间中两点间距离公式 设两点为 x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn ),
第九章 多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()2[,,]f g x y y = 。
（2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。
（3）设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 。
（4）若22),(y x x y y x f -=+，则(,)_________f x y =。
（5）下列极限中存在的是（ ）A . y x y x y x +-→→)1(lim 00；B . 24200lim y x y x y x +→→； C .22200lim y x y x y x +→→； D . 2200lim y x xy y x +→→. 2.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y→+++； （2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y xy →+； （4）()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→；（5）1(,)(0,1)lim (1)x x y xy →+； （6）22(,)(,)lim ()x y x y x y e --→+∞+∞+。
3.证明极限(,)(0,0)lim x y x yx y →+-不存在。
4. 指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）x y x y z 2222-+=。
§9.2偏导数1.填空选择（1）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,0 。
（2）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f 。
（3）已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂yz x z 。
《多元函数的微积分》课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。