2021年中考数学 尖子生专项复习：相似三角形及其应用(含答案)
2021年中考数学尖子生专项复习：相似三角形及其应用（含答案）一、选择题（本大题共10道小题）1.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是()
A.2B.3C.4D.52.(2019•雅安)若34ab∶∶，且14ab，则2ab的值是
A．4B．2C．20D．14
3.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为()
A.B.C.D.4.（2020·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图
形△OCD，则点C坐标为（）
A．（﹣1，﹣1）B．（4,13）C．（41,
3）D．（﹣
2，﹣1）
5.(2019•巴中)如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使13DEAD∶∶
，
连接EF交DC于点G，则:DEGCFGSS
△△=A．2∶3B．3∶2C．9∶4D．4∶9
6.(2019•重庆)下列命题是真命题的是A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
7.（2020·河北）在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR
8.（2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若
GO＝GP，则ABCD
EFGH
S
S正方形
正方形的值是（）
A．12B．22C．52D．
15
49.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为()A.1B.2C.3D.4
10.（2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为························································（）
A．25B．5C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11.（2020·盐城）如图，//,BCDE且,4,10BCDEADBCABDE，则
AEAC的值为
．
12.（2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1
，△DEF的周长为
C2，则
1
2
C
C的值等于▲．
ABC
DEF
13.(2019•大庆)如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=__________．14.（2020·临沂）如图，在ABC中，D，E为边AB的三等分点，////EFDGAC，H为AF与DG的交点.若6AC，则DH_________.
15.(2019•台州)如图，直线123lll∥∥，A，B，C分别为直线1l，2l，3l
上的动点，
连接AB，BC，AC，线段AC交直线2l于点D．设直线1l，2l之间的距离为m，
直线2l，3l之间的距离为n，若90ABC，4BD，且32mn，则mn的最大值为__________．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．
17.（2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE△沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，2AE，则DF______，BE______．18.(2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BOCO，分别在x轴，
y轴上，A点的坐标为(86)，，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满
足PBE△∽CBO△，当APC△是等腰三角形时，P点坐标为__________．
三、解答题（本大题共5道小题）19.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．
20.（2020·泰州）如图，在ABC中，90C，3AC，4BC，P为BC边上的动点（与B、C不重合），//PDAB，交AC于点D，连接AP，设CPx，ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．21.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;
(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.
22.已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点.
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，求HF
AC
的值.(2)如图②，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E
的运动速度之比是：1，求HFAC的值；(3)如图③，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记ACBC=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示
HF
AC
的值.
图①图②图③23.在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.(1)如图①，求证：△AEM≌△DFM；
(2)如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是
等腰直角三角形；(3)如图③，若AB＝23，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，若MG=nME，求n的值.
2021中考数学尖子生专项复习：相似三角形及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题）1.【答案】C
2.【答案】A【解析】由a∶b=3∶4知34ba，所以43a
b．
所以由14ab得到：414
3
aa，
解得6a．所以8b．所以22684ab．故选A．
3.【答案】A[解析]如图所示.设DM=x，则CM=8-x，
根据题意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.
∵∠D=90°.∴由勾股定理得:BM===5.过点B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，∴∠HBA=∠DBM，∵∠AHB=∠D=90°，
∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.4.【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，
–ky）.由A（4,3），位似比k＝13，可得C（41
3,
）因此本题选B．
5.【答案】D【解析】设DEx，∵13DEAD∶∶，∴3ADx，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC∥，3BCADx，
∵点F是BC的中点，∴1322CFBCx，
∵ADBC∥，∴DEGCFG△∽△，∴224()()392DEGCFGSDExSCFx△△，故选D．
6.【答案】B【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，
是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，
是假命题；D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，
是假命题，故选B．
初三数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，若是2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 以下命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，而且点D 、点E 和ABC ∆的一个极点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出知足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地址，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，假设5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为，请你帮忙小明计算一下楼房的高度（精准到）．例8 格点图中的两个三角形是不是是相似三角形，说明理由．例9 依照以下各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是不是相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，以下每一个图形中，存不存在相似的三角形，若是存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的依照．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长别离为五、1二、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，教师让同窗们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方式．小芳的测量方式是：拿一根高米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为米，如此即可明白旗杆的高．你以为这种测量方式是不是可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，咱们能够在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确信BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）若是有一个正方形的边在AB 上，另外两个极点别离在AC ，BC 上，求那个正方形的面积．。
2021中考数学 尖子生专项复习：全等三角形(含答案)
2021中考数学尖子生专项复习：全等三角形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知AB=AE，AC=AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是()A.∠B=∠EB.∠BAD=∠EACC.∠BAC=∠EADD.BC=ED2. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.23. 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店()A.①B.②C.③D.④4. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD5. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A ．HLB ．ASAC ．SSSD ．SAS6. (2019•临沂)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．27. 如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD.若CE＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c8. 图中的小正方形的边长都相等，若△MNP ≌△MEQ ，则点Q 可能是图中的( )A .点AB .点BC .点CD .点D9. 如图，△ACB ≌△A'CB'，∠ACA'=30°，则∠BCB'的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.40°10. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：______________，使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.13. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．14. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．15. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．17. 要测量河岸相对两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF 上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是________米．18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．三、解答题（本大题共5道小题）19. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°.(1)求∠B的度数;(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.20. (2019•苏州)如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ． (1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．21. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下．如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC 、BD 相交于O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝20米，请根据上述信息求标语CD 的长度．22. 在四边形ABCD 中，AB ＝AD .(1)如图①，若∠B ＝∠D ＝90°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD .请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：____________．(2)如图②，若∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)如图③，若∠B ＋∠ADC ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，请直接写出EF ，BE ，FD 三者的数量关系．23. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD ＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．2021中考数学尖子生专项复习：全等三角形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析]∵AB=AE，AC=AD，∴当∠BAD=∠EAC或∠BAC=∠EAD 时，依据SAS即可得到△ABC≌△AED;当BC=ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED;当∠B=∠E时，不能判定△ABC≌△AED.2. 【答案】B[解析]∵CF∥AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF=3.∵AB=4，∴DB=AB -AD=4-3=1，故选B .3. 【答案】D[解析] 第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块玻璃碎片不能配一块与原来完全一样的玻璃;第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块玻璃碎片中的任一块均不能配一块与原来完全一样的玻璃;第④块玻璃碎片不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一条完整的边，则可以根据“ASA”来配一块完全一样的玻璃.最省事的方法是带④去.4. 【答案】C[解析] A .添加BC=FD ，AC=ED ，可利用“SAS”判定△ABC ≌△EFD ;B .添加∠A=∠DEF ，AC=ED ，可利用“ASA”判定△ABC ≌△EFD ; C .添加AC=ED ，AB=EF ，不能判定△ABC ≌△EFD ;D .添加∠A=∠DEF ，BC=FD ，可利用“AAS”判定△ABC ≌△EFD.5. 【答案】A6. 【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ．7. 【答案】D[解析] ∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠AFB ＝90°，∠A ＝∠C.又∵AB ＝CD ，∴△CED ≌△AFB.∴AF ＝CE ＝a ，DE ＝BF ＝b ，DF ＝DE －EF ＝b －c.∴AD ＝AF ＋DF ＝a ＋b －c.故选D.8. 【答案】D9. 【答案】B[解析] 由△ACB ≌△A'CB'，得∠ACB=∠A'CB'.由等式的基本性质，得∠ACB-∠A'CB=∠A'CB'-∠A'CB.所以∠BCB'=∠ACA'=30°.10. 【答案】B[解析] 如图，过点F 分别作FZ ⊥AE 于点Z ，FY ⊥CB 于点Y ，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】答案不唯一，如AB＝CD[解析] 由已知AB∥CD可以得到一对角相等，还有BD＝DB，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．12. 【答案】AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．13. 【答案】2.5[解析] 设点O到AB，BC，AC的距离均为h，∴S△ABC＝12×8·h＝10，解得h＝2.5，即点O到AB的距离为2.5.14. 【答案】②[解析] ∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB，∴若添加①∠A＝∠D，则可由“AAS”判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于“SSA”，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则可由“SAS”判定△ABC≌△DCB.15. 【答案】答案不唯一，如AB＝DE[解析] ∵BF＝CE，∴BC＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS)．16. 【答案】(4，0)或(4，4)或(0，4)17. 【答案】2018. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD ＝DE.易证Rt △ACD ≌Rt △AED ，则AC ＝AE ，DE ＋DB ＝CD ＋DB ＝BC ＝AC ＝AE ，故DE ＋DB ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB.三、解答题（本大题共5道小题）19. 【答案】解:(1)∵△ABD ≌△ACD ，∴∠B=∠C. 又∵∠BAC=90°，∴∠B=45°. (2)AD ⊥BC.理由:∵△ABD ≌△ACD ，∴∠BDA=∠CDA. ∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠BDA=∠CDA=90°，即AD ⊥BC.20. 【答案】(1)∵CAF BAE ∠=∠， ∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．(2)∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒，∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．21. 【答案】解：∵AB ∥CD ，OD ⊥CD ， ∴OB ⊥AB ，∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OB ＝OD.(3分)在△ABO 与△CDO 中，⎩⎨⎧∠ABO ＝∠CDOOB ＝OD∠AOB ＝∠COD， ∴△ABO ≌△CDO(ASA )，(6分) ∴CD ＝AB ＝20(米)．(7分)22. 【答案】解：(1)EF ＝BE ＋FD(2)(1)中的结论EF ＝BE ＋FD 仍然成立．证明：如图，延长EB 到点G ，使BG ＝DF ，连接AG .∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABG ＋∠ABC ＝180°，∴∠ABG ＝∠D.在△ABG 与△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABG ＝∠D ，BG ＝DF ，∴△ABG ≌△ADF(SAS)． ∴AG ＝AF ，∠1＝∠2.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD －∠EAF. 又∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠1＋∠3＝12∠BAD ＝∠EAF ， 即∠EAG ＝∠EAF.在△AEG 和△AEF 中，⎩⎨⎧AG ＝AF ，∠EAG ＝∠EAF ，AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF.∴EG ＝EF.∵EG ＝BE ＋BG ，∴EF ＝BE ＋FD.(3)EF ＝BE －FD.23. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ，∴BP EK ＝GB GE ， ∴BP ＝261315.。
(2021年整理)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)(2)
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经典练习题相似三角形（附答案)一．解答题（共30小题)1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图,梯形ABCD中，AB∥CD,点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证:△CDF∽△BGF；（2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm,EF=4cm，求CD的长．3．如图,点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明:△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中,AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A,D在一条直线上,连接BE,CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1)求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；(2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;（3)在(2）的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问:（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中,若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形,并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对;若没有,请说明理由；（3)求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．(1）求四边形AQMP的周长;(2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）;（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC,M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C 出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由;②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A 出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图,在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似?若能，请给出证明,若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°,BC=8cm，AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2,BC=3，试在腰AB上确定点P 的位置，使得以P,A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N,于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图,在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，顶部不易到达）,他们带了以下测量工具:皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．(1）所需的测量工具是: _________ ;（2)请在下图中画出测量示意图；（3)设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组:如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：(1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602)25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2。
2021年中考数学 一轮分类训练：相似三角形(含答案)
2021中考数学一轮分类训练：相似三角形一、选择题1. 下列命题是真命题的是()A.如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B.如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C.如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D.如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶92. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()3. （2020·永州）如图，在ABC中，2//,3AEEF BCEB，四边形BCFE的面积为21，则ABC的面积是（）A.913B. 25C. 35D. 634. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E 是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（）A ．B ．C ．D ．5. (2019•贵港)如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为A ．23B ．32C ．26D ．56. (2019•巴中)如图ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使13DE AD =∶∶，连接EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△=A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4D ．4∶97. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A．15 B．20 C．25 D．308. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则ABCDEFGHSS正方形正方形的值是（）A．12+B．22+C．52-D．154二、填空题9. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲ ．ABCD EF10. （2020·吉林）如图，////AB CD EF．若12=ACCE，5BD=，则DF=______．11.（2020·临沂）如图，在ABC∆中，D，E为边AB的三等分点，////EF DG AC，H为AF与DG的交点.若6AC=，则DH=_________.12. （2020·深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB ＝12，BO OD ＝43，则S △ABD S △CBD＝________．ODCBA13. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．三、解答题15. 如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于点P ，Q. (1)求证:△ABP ∽△DQR ; (2)求的值.16. （2020·通辽）如图，⊙O的直径AB 交弦（不是直径）CD 于点P ，且PC 2＝PB •P A ， 求证：AB ⊥CD ．PDCBO A17. （2020·苏州）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DFAE ⊥，垂足为F .（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长.18. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点.51-. （1）在图①中，若AC =20cm ，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 的对应点H ，得折痕CG .试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE >DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P .他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.A CB HGCDPE FDA图① 图 ② 图③2021中考数学 一轮分类训练：相似三角形-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．3. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4 ∴=25ABCS故选：B ．4. 【答案】B ．【解析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为△DBC 的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE ∥BC ，OE ＝BC ，进而可得出△DOE ∽△DBC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO 与△BCD 的面积的比为1：4．5. 【答案】C【解析】设2AD x =，BD x =，∴3AB x =， ∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴DE AD AE BC AB AC ==，∴263DE xx=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠， ∵A A ∠=∠，∴ADE ACD △∽△， ∴AD AE DEAC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =，∴23AD yy AD=， ∴6AD =46CDy =，∴26CD = 故选C ．6. 【答案】D【解析】设DE x =，∵13DE AD =∶∶，∴3AD x =， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3BC AD x ==， ∵点F 是BC 的中点，∴1322CF BC x ==， ∵AD BC ∥，∴DEG CFG △∽△， ∴224()()392DEG CFG S DE x S CF x ===△△，故选D ．7. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．8. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG 2=.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ， ∴BG ＝x 2+，∴BC2＝BG2+CG2(2222(21)422x x x =+=+，∴(22422222ABCD EFGHx S S x +==正方形正方形，因此本题选D ．二、填空题9. 【答案】22【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:21:2．10. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．11. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.12. 【答案】332【解析】法1：过B 点作BE //AD 交AC 于点E ，则△ADO ∽△EBO ，由∠DAC ＝90°，得到BE ⊥AD ，∴AO OE ＝OD OB ＝34，由tan ∠ACB ＝12，可得CE ＝2BE ＝4AE ， ∴S △ABD S △CBD ＝AO OC ＝34＋(3＋4)×4＝332． 法2：如图，过点D 作DM ∥BC ，交CA 的延长线于点M ，延长BA 交DM 于点N ，得到△ABC ∽△ANM ，△OBC ∽△ODM ，进而得出对应边成比例，AB BC ＝ANNM＝tan ∠ACB ＝12，BC DM ＝OB OD ＝43；又∵∠ABC ＝∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＋∠NAD ＝90°，∵∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠NAD ＝∠BCA ，∴△ABC ∽△DAN ，得出对应边之间关系，AB BC ＝DN NA ＝12，设AB ＝a ，DN ＝b ，则BC ＝2a ，NA ＝2b ，MN＝4b ，得DM ＝32a ，∴4b ＋b ＝32a ，即b ＝310a ，进而表示三角形的面积，得到S △ABD S △CBDODCBAE＝12AB⋅DN12BC⋅NB＝ab2a⋅(a＋2b)＝310a22a⋅1610a＝332．13. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵2BCA CAO∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴DCAO=DEEO,即34=x4-2x,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.14. 【答案】78【解析】如解图，过A作AH⊥BC，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC ＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12. 法一：BC·AH＝AB·AC，AH＝AB·ACBC＝15×2025＝12，S△ABE＝12×12×13＝78.法二：DE＝152－122＝9，由△CDE∽△CAH可得，CDCA＝EDHA，∴AH＝9×2015＝12，S△ABE＝12×12×13＝78.三、解答题15. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AB∥CD，AC∥DE，∴∠BAC=∠ACD，∠ACD=∠CDE，∴∠BAC=∠QDR.∵AB ∥CD ，∴∠ABP=∠DQR ，∴△ABP ∽△DQR.(2)∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，∴AD=BC ，AD=CE ，∴BC=CE.∵CP ∥RE ，∴BP=PR ，∴CP=RE.∵点R 为DE 的中点，∴DR=RE ，∴=.∵CP ∥DR ，∴△CPQ ∽△DRQ ， ∴==， ∴=，由(1)得:△ABP ∽△DQR ， ∴===.16. 【答案】 解：如图，连结AC ，BD ．∵∠A =∠D ，∠C =∠B ，∴△ACP ∽△DBP ，∴AP DP =CP BP，∴PC •PD ＝PB •P A ，∵PC 2＝PB •P A ，∴PC =PD ，即AB 平分CD ，∵CD 是弦（不是直径），AB 是直径，∴AB ⊥CD ． P DCB O A17. 【答案】解： 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，ADBC .∴AEB DAF ∠=∠， ∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒.∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽.解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AE DF AD =. ∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=.∴在Rt ABE ∆中，222262210AE AB BE =+=+=.又∵4AD BC ==，∴6210DF=，∴105DF =.18. 【答案】解： （1）10.解：∵AB AC =，AC=20，∴AB=10. （2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：==∴EJ=AJ=JE-AE=，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ===,∴G 是AB 的黄金分割点.J（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴ a. ∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴a.∴AF BF BF AB =,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.。
2021年中考数学总复习课时训练：相似三角形 附答案
课时训练(二十二)相似三角形夯实基础1.[2019·陇南]如图K22-1,将图形用放大镜放大,应该属于()图K22-1A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换2.[2020春·鼓楼区校级月考]如图K22-2,在△ABC中,已知EF∥BC,AEEB =12,△AFE的面积为1,则△ABC的面积等于()图K22-2A.4B.6C.9D.123.如图K22-3,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是()图K22-3A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=AD·ACD.ADAB =AB BC4.[2019·杭州]如图K22-4,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则()图K22-4A .AD AN =ANAEB .BD MN =MNCEC .DN BM =NEMCD .DN MC =NEBM5.[2020·闽侯县模拟]如图K22-5,在△ABC 中,AC=3,BC=6,D 为BC 边上的一点,且∠BAC=∠ADC.若△ADC 的面积为a ,则△ABC 的面积为( )图K22-5A .4aB .72a C .52a D .2a6.[2019·巴中]如图K22-6,平行四边形ABCD 中,F 为BC 中点,延长AD 至E ,使DE ∶AD=1∶3,连接EF 交DC 于点G ,则S △DEG ∶S △CFG = ( )图K22-6A .2∶3B .3∶2C .9∶4D .4∶97.[2020·临沂]如图K22-7,在△ABC 中,D ,E 为边AB 的三等分点,EF ∥DG ∥AC ,H 为AF 与DG 的交点.若AC=6,则DH= .图K22-78.[2018·南充] 如图K22-8,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=.图K22-89.[2020·南通]如图K22-9,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交的值等于.点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则C1C2图K22-910.如图K22-10,已知:在正方形ABCD中,M是BC边的中点,连接AM.(1)请用尺规作图法,在AM上求作一点P,使得△DP A∽△ABM;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若AB=4,求DP的长.图K22-1011.[2020·恩施州校级模拟]求证:相似三角形对应的角平分线之比等于相似比.要求:①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线,不写作法,保留作图痕迹;②在完成作图的基础上,写出已知、求证,并加以证明.图K22-11拓展提升12.[2020·杭州]如图K22-12,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.(1)求证:△BDE∽△EFC.(2)设AFFC =1 2 ,①若BC=12,求线段BE的长;②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.图K22-1213.如图K22-13,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC,CD于点P,Q.(1)求证:△ABP∽△DQR;(2)求BPQR的值.图K22-13【参考答案】1.B2.C3.D[解析]在△ADB和△ABC中,∠A是它们的公共角,那么当ADAB =ABAC时,才能使△ADB∽△ABC,不是ADAB=ABBC.故选D.4.C[解析]根据DE∥BC,可得△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC,再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,∴DNBM =ANAM,∵NE∥MC,∴△ANE∽△AMC,∴NEMC=ANAM,∴DNBM=NEMC.故选C.5.A6.D[解析]因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC.因为DE∶AD=1∶3,F为BC中点,所以DE∶CF=2∶3,因为DE∥CF,所以△DEG∽△CFG,相似比为2∶3,所以S△DEG∶S△CFG=4∶9.故选D.7.1[解析]∵D,E为边AB的三等分点,∴BE=ED=AD=13AB.∵EF∥DG∥AC,∴EF=13AC=2,∴DH=12EF=1.8.2 3[解析]∵DE∥BC,AD=1,BD=2,BC=4,∴ADAB=DEBC,即13=DE4,解得:DE=43.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠FBC=∠F,∴∠ABF=∠F,∴BD=DF=2,∵DF=DE+EF , ∴EF=2-43=23.故答案为:23.9.√22[解析]∵DEAB=22=√2,EF BC =√22+222=√2,DF AC =√42+2222=√2,∴DE AB =EF BC =DFAC=√2,∴△ABC ∽△DEF ,∴C1C 2=AB DE =√22.10.解:(1)如图,△APD 即为所求.(2)∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠B=90°,AB=BC=AD=4, ∵BM=MC=2,∴AM=√AB 2+BM 2=√42+22=2√5, 易得△DP A ∽△ABM , ∴PDAB =ADAM , ∴PD4=2√5,∴PD=8√55. 11.解:①如图所示,AG ,DH 分别是∠BAC 与∠EDF 的平分线.②已知:如图,△ABC ∽△DEF ,AB DE =BC EF =ACDF=k ,AG ,DH 分别是∠BAC 与∠EDF 的平分线.求证:AGDH =k.证明:∵AG ,DH 分别是△ABC 与△DEF 的角平分线, ∴∠BAG=12∠BAC ,∠EDH=12∠EDF , ∵△ABC ∽△DEF ,∴∠BAC=∠EDF ,∠B=∠E , ∴∠BAG=∠EDH , ∴△ABG ∽△DEH ,∴AGDH =ABDE=k.12.解:(1)证明:∵DE ∥AC , ∴∠DEB=∠FCE. ∵EF ∥AB , ∴∠DBE=∠FEC , ∴△BDE ∽△EFC. (2)①∵EF ∥AB , ∴BE EC =AF FC =12.∵EC=BC -BE=12-BE , ∴BE12-BE =12,解得:BE=4. ②∵AF FC =12, ∴FCAC =23.∵EF ∥AB , ∴△EFC ∽△BAC ,∴S△EFC S △ABC=FC AC 2=232=49, ∴S △ABC =94S △EFC =94×20=45.13.解:(1)证明:∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AC ∥DE ,∴∠BAC=∠ACD ,∠ACD=∠CDE , ∴∠BAC=∠QDR. ∵AB ∥CD , ∴∠ABP=∠DQR , ∴△ABP ∽△DQR.(2)∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形, ∴AD=BC ,AD=CE , ∴BC=CE. ∵CP ∥RE , ∴BP=PR , ∴CP=12RE.∵点R 为DE 的中点, ∴DR=RE , ∴PCDR =12.∵CP ∥DR ,∴△CPQ ∽△DRQ ,∴CQDQ =CP DR=12,∴DQDC =2 3 ,由(1)得:△ABP∽△DQR,∴BPQR =ABDQ=CDDQ=32.。
2021年九年级中考数学 专题冲刺训练：相似三角形及其应用(含答案)
2021中考数学 专题冲刺训练：相似三角形及其应用 一、选择题 1. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，
AB=3，DE=4，则BC等于 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8 2. (2019•雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部
分)与111ABC△相似的是
A． B． C． D．
3. （2020·永州）如图，在ABC中，2//,3AEEFBCEB，四边形BCFE的面积为21，则ABC的面积是（ ）
A. 913 B. 25 C. 35 D. 63 4. (2019•重庆)下列命题是真命题的是 A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3 B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9 C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3 D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
5. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ） A．3 B．2 C．4 D．5
6. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. (2019•巴中)如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使13DEAD∶∶，
连接EF交DC于点G，则:DEGCFGSS△△=
A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9
8. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 ABC 二、填空题 9. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为 .
2021 初三数学中考复习 图形的相似及位似 专题复习训练题 含答案
2021 初三数学中考复习 图形的相似及位似 专题复习训练题1. △DEF ∽△ABC ，且∠A ＝50°，∠B ＝40°，那么∠F 的度数是( )A ．50B ．20°C ．70°D ．90°2. 在△ABC 中，BC ＝13，AC ＝11，AB ＝15，另一个与它相似的三角形的最大边长为10，那么它的最小边长为( )A.223B.203C.172D.1523. 如图，△ABC 中，E 是BC 中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF ∥AD 交AC 于F.假设AB ＝11，AC ＝15，那么FC 的长为( )A ．11B ．12C ．13D ．144. 如图，小正方形的边长均为1，那么以下图中的三角形(阴影局部)与△ABC 相似的是( )5. 2x ＝3y(y≠0)，那么下面结论成立的是( )A.x y ＝32B.x 3＝2yC.x y ＝23D.x 2＝y 36. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EC ＝2∶3，DE ＝4，那么BC 等于( )A ．10B ．8C ．9D ．67. 矩形的两边长分别为a ，b ，以下数据能构成黄金矩形的是( )A ．a ＝4，b ＝5＋2B ．a ＝4，b ＝5－2C ．a ＝2，b ＝5＋1D ．a ＝2，b ＝5－18. 如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，假设OA∶OA′＝2∶3，那么四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为( )A ．4∶9B ．2∶5C ．2∶3 D.2∶ 39. 如图，△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )10. 以下图形中，是相似形的是( )A ．所有平行四边形B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形11. 如图，△ADE ∽△ABC ，假设AD ＝1，AB ＝3，那么△ADE 与△ABC 的相似比是_________．12. 矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′中，AB ＝40，BC ＝20，A ′B ′＝20，B ′C ′＝10，那么矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′_______相似．(填“一定〞或“不一定〞)13. 在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB.假设点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，那么点C 的对应点A 的坐标为 ．14. 如图，直线a ∥b ∥c ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.假设AB ∶BC ＝1∶2，DE ＝3，那么EF 的长为____．15. 如图，△AOB ∽△DOC ，OA ＝2，AD ＝9，OB ＝5，DC ＝12，∠A ＝58°，∠AOB ＝72°，求AB ，OC 的长和∠C 的度数．参考答案：1---10 DACBA ADACD11. 1:312. 一定13. (4，6)或(－4，－6)14. 615. 解：根据题意有：OD ＝AD －OA ＝7，OA OD ＝OB OC ＝AB CD ，∴OB OC ＝AB CD ＝27，∴5OC ＝AB 12＝27，∴OC ＝17.5，AB ＝247，∠C ＝∠B＝180°－∠A－∠AOB ＝50°。
2021年人教版数学九年级下册《相似三角形的应用》同步精选卷(含答案)
2021年人教版数学九年级下册《相似三角形的应用》同步精选卷一、选择题1.下列各组图形可能不相似的是( )A.两个等边三角形B.各有一个角是45°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形2.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形( )A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断3.小刚身高为1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )A.0.5 mB.0.55 mC.0.6 mD.2.2 m4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )A.①和②相似B.①和③相似C.①和④相似D.③和④相似5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )A.1B.2C.3D.47.一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种或四种以上8.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于( )A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m9.如图，小明(身高忽略不计)站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E.C，E，A三点在同一条直线上，点B，D分别在点E，A的正下方且D，B，C三点在同一条直线上.B，C两点相距20 m，D，C两点相距40 m，乙楼高BE为15 m，甲楼高AD为( )A.40 mB.20 mC.15 mD.30 m10.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高EF=1.6米，则凉亭的高度AB约为( )A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米二、填空题11.若△ABC∽△A′B′C′，BC=18 cm，CA=15 cm，AB=21 cm，△A′B′C′的最短边长为5 cm，则△A′B′C′的周长为________.12.如图，已知零件的外径为25 mm ，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD)测量零件的内孔直径AB.若OC ∶OA=1∶2，量得CD=10 mm ，则零件的厚度x=_____mm. 13.如图所示，D 是∠ABC 平分线上的一点，AB=15 cm ，BD=12 cm ，要使△ABD ∽△DBC ， 则BC 的长为________cm.14.如图，D 是等边三角形ABC 的边AB 上一点，AD=2，BD=4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=________.15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40 cm ，EF=20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5 m ，CD=8 m ，则树高AB=______m.16.如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第________个.三、解答题17.如图，在△ABC中，已知AB=AC，点D，E，B，C在同一条直线上，且AB2=BD·CE.求证：△ABD∽△ECA.18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC=2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F.求AG与GF的比.19.如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.求证：(1)△DAE≌△DCF；(2)△ABG∽△CFG.20.如图，一条东西走向的笔直公路，点A，B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧所在直线PQ上行走，当他到达点P的位置时，观察到树A恰好挡住电视塔，即点P，A，C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，观察到树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离.21.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.22.一天晚上,身高1.6米的小明站在路灯下,发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时,发现自己的影子恰好是5块地砖的长,根据这个发现,他就算出了路灯的高度,你知道他是怎么算的吗？参考答案1.答案为：B.2.答案为：A.3.答案为：A.4.答案为：B.5.答案为：C.6.答案为：C.7.答案为：B.8.答案为：B.9.答案为：D.10.答案为：A.11.答案为：18 cm.12.答案为：2.5.13.答案为：485. 14.答案为：54. 15.答案为：5.5.16.答案为：517.证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABD=∠ACE.∵AB 2=BD ·CE ，∴AB CE =BD AB ，即AB EC =BD CA， ∴△ABD ∽△ECA.18.解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADG=∠C.∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠DAG=∠FAC ，∴△ADG ∽△ACF ，∴AD AC =AG AF. ∵AD AC =23，∴AG AF =23，∴AG ∶GF=2∶1.19.证明：(1)∵△DEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴DE=DF ，DA=DC ，∠B=∠EDF=∠ADC=90°，∠EFD=∠DEF=45°，∴∠CDF ＋∠ADF=∠ADE ＋∠ADF=90°，∴∠CDF=∠ADE.在△DAE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DC ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△DAE ≌△DCF.(2)由(1)知∠DFC=∠DEF=45°.∵∠EFD=45°，∠DFC=45°，∴∠CFG=∠DFC ＋∠EFD=90°，∴∠CFG=∠B.又∵∠CGF=∠AGB ，∴△ABG ∽△CFG.20.解：如图所示，过点C 作CE ⊥PQ 于点E ，交AB 于点D.设CD 的长为x ，则CE 的长为x ＋60.∵AB ∥PQ ，∴△ABC ∽△PQC ，∴CD CE =AB PQ ，∴CD AB =CE PQ ，即x 150=x ＋60180， 解得x=300，∴x ＋60=360.答：电视塔C 到公路南侧所在直线PQ 的距离是360米.21.解：∵CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，∴BC ∥DE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴BC DE =AB AD ，即11.5=AB AB ＋8.5， 解得AB=17(m).经检验，AB=17是原分式方程的解.答：河宽AB 的长为17 m.22.解：如图，AC=4×0.5m=2m，CE=5×0.5m=2.5m，AB=CD=1.6m，∵AB∥OP，∴△CAB∽△COP，∴=，即=①，∵CD∥OP，∴△ECD∽△EOP，∴=，即=②，由①②得=，解得AO=8，∴=，解得OP=8．答：路灯的高度为8m．。
2021届新中考数学必考精点考点专题 专题20 相似三角形问题 解析版
2021届新中考数学必考精点考点专题专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2．黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。
2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。
（3）两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
4．直角三角形相似判定定理:①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
2021中考数学真题8 相似三角形
专题八相似三角形1.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H。
给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②FP:PH=3:5 ；③DP2=PH·PB；④2.设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2，……，依此类推，则Sn可表示为_____ 。
3.已知正方形ABC1D1的边长为，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推若A1C1=2，且点A，D2，D3，，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_____ 。
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____ 。
5.如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为_____ 。
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC。
当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为_____ 。
7.如图的△ABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC于M、N两点.若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为____________8.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相9. 如图①，△ ABC 中，∠ ABC ＝45°， AH ⊥ BC 于 H ，点 D 在 AH 上，且 DH ＝ CH ，连结 BD.将△ BHD 绕点 H 旋转，得到△ EHF(点 B ， D 分别与点 E ， F 对应)，连接 AE.如图②，当点 F 落在 AC 上时( F 不与 C 重合)，若 BC ＝4，tan ∠ ACH ＝3，则 AE ＝_____.10. 如图，在反比例函数xy 2-=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数xk y =的图象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为________边形的变形度。