上海市青浦区2021届高三一模数学试卷含答案
上海市2020-2021学年青浦区高三数学一模试卷-无答案
青浦区2020学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数 学 试 卷-无答案一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有10题，1-6每题5分，7-10每题6分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}0,2,4,6,8B =，则AB = ．2．函数2x y =的反函数是 ． 3．行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 ．4．已知复数z 满足40z z +=，则||z = . 5．圆锥底面半径为cm 1，母线长为cm 2，则其侧面展开图扇形的圆心角=θ ．6．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()lim n n na S →∞= ． 7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c(),,,a b c d ∈*N ，则b d a c ++是x 的更为精确的近似值．己知15722π507<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次．．“调日法”后可得π的近似分数为____________． 8．在二项式()521)0a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是__ __． 9．点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点12,F F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF ⋅的值为 ．10．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．已知,a b ∈R ，则“a b =”是“2a b += ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件12．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是……………………………………………………………………………（ ）．（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）③④13．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1(,)3P y -，则s in α的值为………………………………………………………………………………………（ ）．（A）6 （B）6 （C）16 （D）1614．设函数,()1,x x P f x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()AP A M =∅；（2）若P M ≠R ，则()()A P A M ≠R ； （3）一定有P M =∅；（4）若P M =R ，则()()A P A M =R ．其中正确的个数是………………………………………………………………………（ ）．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.15.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点． （1）求证：直线1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．16．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数．（1）若)(x f 为偶函数，求a 的值；（2）设0>a ，x x f x g )()(=，],0(a x ∈为减函数，求实数a 的取值范围．17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（2）求S 的最小值．18.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1．（1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．19.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的n ∈*N ，均有n n a b A -≤，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且2n a n =，()2n b n n =+∈*N ，问：数列{}n a与{}n b 是否具有关系()1P ？说明理由；（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，并求A 的最小值；（3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()R d d ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为()q q ∈*N的等比数列，试求数列{}n a 与{}nb 具有关系()P A 的充要条件．。
2023届上海市青浦区高三一模数学试题
高三年级数学练习卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 集合，则___________.{}()()1,2,3,4,{150}A B x x x ==--<∣A B = 2. 若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数________．ii a +i =a 3. 从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值．4. 不等式的解集为______．23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭5. 在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差59,10,9,7,10是_______.6. 已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.3()2f x x x =-()f x (1,(1))f 7. 若的展开式的常数项是，则常数的值为__________．6x ⎛+ ⎝45a 8. 若函数的定义域和值域分别为和，则满足的()y f x ={}1,2,3A ={}1,2B =(1)(3)f f ≠函数概率是______．9. 已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四(1,3,1)A -(2,4,0)B (0,2,4)C AB AC边形的面积大小为______．10. 在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别(0,0)A (1,2)B P θ到，两点位置，则的值为______．(4,4)'A (5,2)'B cos θ11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上底面圆的圆心，AB 为下底面圆的直径，P 为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为______．C -P ABC 12. 已知数列中，，记的前项和为，且满足{}n a 213a a ={}n a n n S ．若对任意，都有，则首项的()2*11322,N n n n S S S n n n +-++=+≥∈*N n ∈1nn aa +<1a 取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 已知为非零实数，则“”是“”的（ ）,a b a b >11a b <A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ m n αβ）．A. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线αβαβB 若，平行于同一平面，则与可能异面m n m n C 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面m n m n D. 若，垂直于同一平面，则与可能相交αβαβ15. 已知函数定义域为，下列论断：()y f x =R ①若对任意实数，存在实数，使得，且，则是偶函数．a b ()()f a f b ==-b a ()f x ②若对任意实数，存在实数，使得，且，则是增函数．a b ()()f a f b <a b <()f x ③常数，若对任意实数，存在实数，使得，且，则0T >a b ()()f a f b =a b T -=是周期函数．()f x 其中正确的论断的个数是（ ）．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个16. 在直角坐标平面xOy 中，已知两定点与，，到直线的距离之1(2,0)F -2(2,0)F 1F 2F l差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是（ ）．l A. 16B. C. 8D. 4π2π三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤．17. 已知函数，．2()cos cos f x x x x =-x ∈R （1）求的单调递增区间；()f x （2）求在区间上的最大值和最小值．()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18. 如图，在正三棱柱中，分别为中点．111ABC A B C -,E F 1,BB AC（1）求证：平面；//BF 1A EC （2）求证：平面平面．1A EC ⊥11ACC A 19. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.()*1929,k k k +≤≤∈N （1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；9k =（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦22:12x y Γ+=F AB ，CD ，设AB ，CD 中点分别为，．M N（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；F （2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦AB ，CD 的斜率均存在，求面积的最大值．FMN 21. 设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记21()e xf x x a =+a e 1()()nn f x f x -'=．()*2,n n ≥∈N （1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值；x 1()()nn f x f x -=n ()*2,n n ≥∈N （2）设函数，若对任意，，都23()()()()n n g x f x f x f x =+++ 3n ≥*N n ∈()n y g x =存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线nx t =()()()*,3,n n n n A t g t n n ≥∈N 方程；（3）是否存在正整数和实数，使且对于任意，()2k k ≥0x ()()0100k k f x f x -==*n ∈N 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．()n f x k 0x高三年级数学练习卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1 【答案】{}2,3,42.【答案】1-3.【答案】234.【答案】(3,2)-5.【答案】656.【答案】4π7.【答案】38.【答案】239.【答案】10.【答案】##35-0.6-11【答案】##12548π12548π12.【答案】137,156⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.【答案】D 14.【答案】A 15.【答案】B 16.【答案】D三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤．17. 已知函数，．2()cos cos f x x x x =-x ∈R （1）求的单调递增区间；()f x （2）求在区间上的最大值和最小值．()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）， ,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z（232-【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函()f x 数单调性求解作答.（2）求出（1）中函数的相位范围，再利用正弦函数性质求解作答.()f x 【小问1详解】，2111()cos cos 2cos 2sin 22262f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭令，，解得，，222262k x k πππππ-≤-≤+Z k ∈63k x k ππππ-££+Z k ∈所以的单调递增区间为.()f x ,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈【小问2详解】由（1）知，，当时，则，()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当，即时，取最大值，为，263x ππ-=π4x =()f x ()4f π=当，即时，取最小值，为．262x ππ-=-π6x =-()f x 3()62f π-=-18. 如图，在正三棱柱中，分别为中点．111ABC A B C -,E F 1,BB AC（1）求证：平面；//BF 1A EC （2）求证：平面平面．1A EC ⊥11ACC A 【答案】（1）平面；（2）平面平面．//BF 1A EC 1A EC ⊥11ACC A 【解析】【详解】试题分析：(1)运用线面平行的判定定理推证；(2)先证线面垂直,再运用面面垂直的判定定理推证.试题解析：（1）连交于点，∵为中点，1AC 1A C O F AC ∴且，1//OF CC 112OF CC =∵为中点，∴且，E 1BB 1//BE CC 112BE CC =∴且，∴四边形是平行四边形，//BE OF BE OF =BEOF ∴，又平面，//BF OE BF ⊄1A EC 平面，∴平面.OE ⊂1A EC //BF 1A EC （2）由（1）知，∵，//BF OE AB CB =为中点，所以，所以，F AC BF AC ⊥OE AC ⊥又因为底面，而底面，所以，1AA ⊥ABC BF ⊂ABC 1AA BC ⊥则由，得，//BF OE 1OE AA ⊥而，平面，且，1AA AC ⊂11ACC A 1AA AC A = 所以面，又平面，OE ⊥11ACC A OE ⊂1A EC 所以平面平面.1A EC ⊥11ACC A考点：线面平行和垂直及面面垂直的判定等知识的综合运用．19. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.()*1929,k k k +≤≤∈N （1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；9k =（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.2480【解析】【分析】（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又{}(19)n a n ≤≤120a=50，进而根据等差数列前项和公式求解即可；10410a =n （2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当k 1n k ≤≤5020n a n =-时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.130k n +≤≤207020n a n k =-+-【详解】解：（1）记11月日新感染者人数为，n (130)n n a ≤≤则数列是等差数列，，公差为，{}(19)n a n ≤≤130a =50又，103050820410a =+⨯-=则11月1日至11月10日新感染者总人数为：人；()12910989305041024802a a a a ⨯⎛⎫++⋅⋅⋅++=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭（2）记11月日新感染者人数为，n (130)n n a ≤≤11月日新感染者人数最多，当时，.k 1n k ≤≤5020n a n =-当时，，130k n +≤≤(5020)20()207020na k n k n k =---=-+-因为这30天内的新感染者总人数为11940人，所以，(305020)[5040(70620)](30)1194022k k k k k +--+--+=得，即2352135990011940k k -+-=2616240k k -+=解得或(舍)，13k =48k =此时135********a =⨯-=所以11月13日新感染者人数最多为630人.【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当1n k ≤≤5020n a n =-时，，进而求和解方程.130k n +≤≤207020n a n k =-+-20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦22:12x y Γ+=F AB ，CD ，设AB ，CD 中点分别为，．MN （1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；F （2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦AB ，CD 的斜率均存在，求面积的最大值．FMN 【答案】（1），离心率(1,0)F e =（2）证明见解析，定点坐标为 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）19【解析】【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及离心率；F （2）分斜率均存在和一条直线斜率不存在一条斜率为0两种情况讨论，,AB CD 斜率均存在，设，直线AB 方程为，联,AB CD ()()1122,,,A x y B x y ()(1)0y k x k =-≠立方程利用韦达定理求得，从而可求得点的坐标，再将换为，可得1212,x x x x +M k 1k -点的坐标，从而可求得直线的方程，即可得证；N MN （3）由（2）可知直线MN 过定点，则，化简整理结合函2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭FMNFPM FPN S S S =+ 数的单调性即可得出答案.【小问1详解】解：由椭圆方程可知：，所以22:12x y Γ+=a =1b =1c =右焦点坐标，该椭圆的离心率(1,0)F e =【小问2详解】证明：斜率均存在，,AB CD 设，直线AB 方程为，()()1122,,,A x y B x y ()(1)0y k x k =-≠则，1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立，()222222(1)124220220y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩则有，221222221224212,12122212k x x k k k M k k k x x k ⎧+=⎪⎛⎫-⎪+⇒⎨ ⎪++-⎝⎭⎪=⎪+⎩将上式中换为，可得，k 1k -222,22k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭若，则直线MN 斜率不存在，此时直线MN 过点，222221122k k k k =⇒=±++2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭下证动直线MN 过定点，2,03⎛⎫⎪⎝⎭若直线MN 斜率存在，则，()22224222333122222221122MNk k k k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---++直线MN 方程为，222322212k k y x k k k -⎛⎫-=⨯- ⎪+-+⎝⎭令得，所以此时直线MN 也过定点，0y =23x =2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，,AB CD 不妨设斜率不存在，斜率为0，AB CD 此时，()()0,0,1,0M N 则直线的方程为，过点，MN 0y =2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，动直线MN 过定点；2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问3详解】解：由（2）可知直线MN 过定点，2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2211112322312FMN FPMFPNk kS SSk k -=+=⨯+⨯++△△△，()()()()224222221331111262252221225k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭=⨯=⨯=++++++令，1[2,)t k k=+∈+∞，()221111()1222122252FMN t t S f t t t t t ==⨯=⨯=⨯+-++△因为，所以在上递减，()222112()0221t f t t -'=⨯<+()f t [2,)t ∈+∞所以时，取得最大值，此时.2t =FMN S 191k =±【点睛】本题考查了椭圆中直线过定点及椭圆中三角形的面积问题，计算量较大，考查了了分类讨论思想及数据分析和计算能力，属于难题.21. 设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记21()e x f x x a =+a e 1()()nn f x f x -'=．()*2,n n ≥∈N （1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值；x 1()()nn f x f x -=n ()*2,n n ≥∈N （2）设函数，若对任意，，都23()()()()n n g x f x f x f x =+++ 3n ≥*N n ∈()n y g x =存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线nx t =()()()*,3,n n n n A t g t n n ≥∈N 方程；（3）是否存在正整数和实数，使且对于任意，()2k k ≥0x ()()0100k k f x f x -==*n ∈N 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．()n f x k 0x 【答案】（1）； 5（2）证明见解析，；2y x =（3）存在，满足条件.3k =2a e =-【解析】【分析】（1）按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答.（2）由（1）求出函数，求出的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作()n g x ()n g x 答.（3）由（1）结合已知，确定或，再分类讨论极值点的情况作答.3k =2k =【小问1详解】依题意，，，，21()e x f x x a =+21()()2e x f x f x x a '==+32()()2e x f x f x a '==+，43()()e x f x f x a '==，因此，，即，54()()e xf x f x a '==1()()e xn n f x f x a -==5n ≥min 5n =所以对任意实数，都有成立的最小整数的值是5.x 1()()nn f x f x -=n 【小问2详解】由（1）知，，，3n ≥*N n ∈23()()()()n n g x f x f x f x =++⋅⋅⋅+()()2e 2e e e e x x x x xx a a a a a =+++++++ ，求导得，显然函数单调，当时，(22)(1)e xx n a =++-()2(1)e x n g x n a '=+-()ng x '0a <有唯一零点，()n g x '2ln((1)n x a n =--当时，，当时，，因此当时，函数都存n x x <()0n g x '>n x x >()0n g x '<0a <()n y g x =在唯一极值点，依题意，n n x t =即，方程两边同时加上得，即()2(1)e 0n t n g t n a '=+-=2n t 22(1)e 2n t n n t n a t ++-=，()2n n n g t t =所以点在一定直线上，该直线方程为.()(),n n n n A t g t 2y x =【小问3详解】当，时，方程无解，因此要使，必有*N n ∈4n ≥()e 0x n f x a ==()()0100k k f x f x -==,23,N k k *≤≤∈①当时，，即，解得，3k =()()03200f x f x ==0002e 02e 0x x x a a ⎧+=⎨+=⎩012e x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩而当时，时，，函数单调递减，无极值点，2e a =-4n ≥()e 0n x f x a =<()n f x严格递减，无极值点，且，当时，，当时，3()2e x f x a =+3(1)0f =1x <3()0f x >1x >，3()0f x <在上严格递增，在上严格递减，有一个极值点，2()2e xf x x a =+(,1)-∞(1,)+∞又，则恒成立，有单调递减，无极值点，2(1)0f =2()0f x ≤1()y f x =综上得存在，满足条件，3k =2e a =-②当时，，即，解得或2k =()()20100f x f x ==002002e e 0x x x a x a +=+=00x =，02x =当时，，不符合题意，00x =2(0)0f a ==当时，，解得，有，02x =22(2)4e 0f a =+=24e a =-2424()e 4e 0e x x f x -=-=-<单调递减，当时，，当，，23()24e x f x -=-3()0f x =2ln 2x =-2ln 2x <-3()0f x >当时，，2ln 2x >-3()0f x <在上严格递增，在上严格递减，而22()=24e x f x x --(,2ln 2)-∞-(2ln 2,)-+∞，，2(2)0f =(0)0f <则存在，使得，在上，，在上(0,2ln 2)m ∈-2()0f m =(,)m -∞2()0f x <(,2)m ，在上，，2()0f x >(2,)+∞2()0f x <则在上严格递减，在上严格递增，在上严格递减，有两1()f x (,)m -∞(,2)m (2,)+∞1()f x 个极值点，不符合题意，因此，2k ≠所以存在，满足条件．3k =2a e =-【点睛】结论点睛：可导函数y =f (x )在点处取得极值的充要条件是，且在0x 0()0f x '=左侧与右侧值的符号不同．0x ()f x '。
上海市青浦区2021届新高考数学最后模拟卷含解析
上海市青浦区2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2 B ．4 C ．12D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q ==.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.2．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()xg x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>， 又()()()()x x g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.3．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】【分析】由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．【详解】解：，即，，时，，，两式相除可得，则，，由，，，，，可得，且，正整数时，要使得成立，则，则，故选：． 【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.4．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A 22B ．5C ．1316D 11 【答案】D 【解析】 【分析】可过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，并连接CF ，从而可得出∠CSF （或补角）为异面直线SC 与OE 所成的角，根据条件即可求出3210SC SF CF ===，tan ∠CSF 的值. 【详解】如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ， 则∠CSF （或补角）即为异面直线SC 与OE 所成的角，∵14SE SB =，∴13SE BE =， 又OB ＝3，∴113OF OB ==，SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴32SC = SO ⊥OF ，SO ＝3，OF ＝1，∴10SF =OC ⊥OF ，OC ＝3，OF ＝1，∴10CF=，∴等腰△SCF 中，2232(10)()11232tan CSF ∠-==. 故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.5．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】C 【解析】 【分析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【详解】（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象；（2）当00，x y ≥<时，221-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分；（3）当00，x y <≥时，221x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；（4）当00，x y <<时，221x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分； 画出()y f x =的图象，由图象可得：对于①，()f x 在()+-∞∞，上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.6．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程. 【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =，又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A 【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.8．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111xh xx x-'=-=，∴()h x在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14maxh x h==，而000024222424x x x xa a a a--⋅+⋅≥⋅⋅=，当且仅当00242x x-=⋅，即当01x=时，等号成立，∴44a≤，∴01a<≤.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.9．若实数x，y满足条件2502401x yx yxy+-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y=-，则z 的最大值为()A．52B．1 C．2 D．0【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数x，y满足条件2502401x yx yxy+-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y=-如图：当3,12x y==时函数取最大值为2故答案选C求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.10．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ）A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．28358【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可. 【详解】二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22rr rr r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.12．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．1310【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解. 【详解】22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，当1,6m n ==时，1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，141912m n +=，当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，14256m n +=，14m n +最小值为1310. 故选:D. 【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海2021届高三数学·一模试卷 分类汇编(函数)
2021届上海高三数学·一模分类汇编（函数）一、填空题：1、已知函数f (x )的周期为2，且当0＜x ≤1时，f (x )＝log 4x ，那么f (92)＝ ．2、若定义在N 上的函数f (x )、g (x )满足：存在x 0∈N ，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，则称f (x )与g (x )在N 上具有性质P (f ，g)．3、函数f (x )＝a x －12与g (x )＝x 3，其中a ＞0，已知f (x )与g (x )在N 上不具有性质P (f ，g)，将a 的最小值记为a 0．设有穷数列{b n }满足b 1＝1，b n +1＝1+b n （n ∈N *，n ≤504×[a 0]），这里[a 0]表示不超过a 0的最大整数．若去掉{b n }中的一项b t 后，剩下的所有项之和恰可表为m 2（m ∈N *），则b t ＋m 的值为 ． 4、设函数1()1f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f -= 5、已知函数()=y f x ，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x k +⋅=(k 为常数)，且当[0,2]x ∈时，2()1f x x =+，则(2021)f = ．6、函数()2()log 24f x x =+的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -= ．7、已知数列{}n a 满足21-=a ，且n a S n n +=23（其中n S 为数列{}n a 前n 项和），)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，则=)(2021a f . 8、设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f _________9、已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________．10、若函数2log ()1y x m =-+的反函数的图像经过点(1,3)，则实数m = ．11、已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 12、若()|1||2||2020||1||2||2020|f x x x x x x x =+++++++-+-++-，x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ． 13、函数2()1log f x x =+(4)x ≥的反函数的定义域为___________ 14、设函数()2f x x a a x=--+，若关于x 的方程()1=x f 有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成 的集合为________．15、函数2x y =（0≥x ）的反函数为 . 1117、设b 、c 均为实数，若函数c xbx x f ++=)(在区间),1[+∞上有零点，则22c b +的取值范围是 . 18、已知函数()f x 图像与函数()2xg x =的图像关于y x =对称，则(3)f = ． 19、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3220cos 1b c aB+=，则角A = ． 20、从以下七个函数:y x =,1y x=,2y x =,2xy =,2log y x =,sin y x =,cos y x =中选取两个函数记为()f x 和 ()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x = ．21、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3220cos 1b c aB+=，则角A = ． 22、从以下七个函数:y x =,1y x=,2y x =,2xy =,2log y x =,sin y x =,cos y x =中选取两个函数记为()f x 和 ()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x = ．23、若函数()21xf x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(9)g =24、已知函数()1f x x x=+，给出下列命题： ①存在实数a ，使得函数()()y f x f x a =+-为奇函数；②对任意实数a ，均存在实数m ，使得函数()()y f x f x a =+-关于x m =对称； ③若对任意非零实数a ， ()()f x f x a k +-≥都成立，则实数k 的取值范围为(],4-∞； ④存在实数k ，使得函数()()y f x f x a k =+--对任意非零实数a 均存在6个零点. 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号）25、对于定义域为D 的函数()f x ，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得221212()()2()f x f x f x x ==+，则称函数()f x具有性质M ．若函数2()log 1g x x =- (0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为 ． 26、若函数()y f x =的反函数()()1log 0,1a fx x a a -=>≠图像经过点3(8,)2，则1()2f -的值为 . 27、已知函数f(x)＝322{102x xx x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．28、已知()x f y =是奇函数，定义域为[]1,1-，当0>x 时，121)(12--⎪⎭⎫⎝⎛=-αx x f x （Q ∈>αα,0），当函数29、函数2xy =的反函数是30、()f x 是偶函数, 当0x ≥时, ()21xf x =-, 则不等式()1f x >的解集为_________31、已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数, 值域为(,0)-∞, 满足1(1)3f -=-, 且对于任意,x y ∈R , 都有()()()f x y f x f y +=-. ()y f x =的反函数为1()y f x -=, 若将()y kf x =(其中常数0k >)的反函数的图像向上平移1个单位, 将得到函数1()y f x -=的图像, 则实数k 的值为________.二、选择题：1、黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数()R x 为：当q x p =（,p q 为正整数，q p 是既约真分数）时1()R x p=，当0=x 或1=x 或x 为[0,1]上的无理数时()0R x =．已知a 、b 、b a +都是区间[0,1]内的实数，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．()()()R a b R a R b +≥+ B ．()()()R a b R a R b ⋅≥⋅ C ．()()()R a b R a R b +≤+ D ．()()()R a b R a R b ⋅≤⋅2、设函数,()1,x x Pf x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若P M ≠R ，则()()A P A M ≠R ；（3）一定有PM =∅；（4）若PM =R ，则()()A P A M =R ．其中正确的个数是（ ）． （A ） 1（B ） 2（C ） 3（D ） 43、已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足)()3(x f x f =+，(1)3f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+(其中n S 为{}n a 的前n 项和)，则56()()f a f a +=( )．(A) 3- (B) 2- (C) 3 (D) 24、已知函数2,()(),()为无理数为有理数x x f x x x ⎧=⎨⎩，则以下4个命题：①()f x 是偶函数； ②()f x 在[)0,+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ； ④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ）5、设()1232f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，123,,b b b ∈R .若函数()y f x =的图像如图所示，则 数组()123,,b b b 的一组值可以是（ ）.A. ()3,1,1-；B. ()1,2,1--；C. ()1,2,2-；D. ()1,3,1-.6、设函数()y f x =的定义域是R ，对于下列四个命题： （1）若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y f f x =是奇函数； （2）若函数()y f x =是周期函数，则函数()()y f f x =是周期函数； （3）若函数()y f x =是单调减函数，则函数()()y f f x =是单调减函数；（4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点； 其中正确的命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭三、解答题：1、已知函数1()()ln f x x x x =-，()k g x x x=-. （1）证明：函数()f x 的极小值点为1；（2）若函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，证明：1718k <≤.2、设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若)(x f 为偶函数，求a 的值； （2）设0>a ，xx f x g )()(=，],0(a x ∈为减函数，求实数a 的取值范围．3、设)(x μ表示不小于x 的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-. (1)解方程(1)3x μ-=；(2)设))(()(x x x f μμ⋅=，*N n ∈，试分别求出)(x f 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域； 若)(x f 在区间],0(n 上的值域为n M ，求集合n M 中的元素的个数； (3)设实数0>a ，2)()(-⋅+=xx a x x g μ，752sin )(2+-+=x x x x h π，若对于任意]4,2(,21∈x x 都有)()(21x h x g >，求实数a 的取值范围.4、大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式．比如()(1 2 3 ) i i i A a b i n =，，，，，是平面直角坐标系上的一系列点，其中n 是不小于2的正整数，用函数()y f x =来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列) (i i i A a b ，比较接近．其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数()y f x =的拟合误差为：22211221(())[(())(())(()])n n f x f a b f a b f a b n∆=-+-++-．（1）若用函数214()5f x x x -+=来拟合上述表格中的数据，求1(())f x ∆； （2）若用函数|2|2()2x f x m -=+来拟合上述表格中的数据．①求该函数的拟合误差2(())f x ∆的最小值，并求出此时的函数解析式2()y f x =； ②指出用12(),()f x f x 中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？5、在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v （单位：s m /）和燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量0m （单位：kg ）满足20001⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m M e v（e 为自然对数的底）．（1）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的两倍时，求火箭的最大速度（单位：s m /）结果精确到0.1）； （2）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8000s m /（结果精确到0.1）．6、某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)．经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31kx t -=+（其中k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品． （1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件), 促销费t 至少为多少 (万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件), 另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为332+x（元）.若将商品 售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元) 时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?7、设()()322f x x ax x x =+-∈R ，其中常数a ∈R .（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式()332f x x >在区间1[,1]2上有解，求实数a 的取值范围；（3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()()22h x h m x n +-=，则函数()y h x =的图像有对称中心(),m n .利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用a 表示)；若不是，证明你的结论.8、已知函数f (x )＝x ＋mx －1（m ∈R ）．（1）当m ＝1时，解不等式f (x )＋1＞f (x ＋1)；（2）设x ∈[3，4]，且函数y ＝f (x )＋3存在零点，求实数m 的取值范围．9、研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.8log ()80y x a =++图像的一部分．当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）10、已知函数)1()1()1()(22-+-++=a x a x a x f ，其中R a ∈．（1）当)(x f 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数)(x f 在),2[+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围．yx12 164080 84 O· ··· · ·· ·11、提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）． 研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时． （1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．12、已知函数)(x f ⎩⎨⎧>≤=0,log 0,22x x x x（1）解不等式0)(≤⋅x f x ；（2）设k 、m 均为实数，当],(m x -∞∈时，)(x f 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式103)2()(2-+--≤k m k m x f 恒成立，求k 的取值范围；（3）设t 为实数，若关于x 的方程[]0)(log )(2=--x t x f f 恰有两个不相等的实数根1x 、2x 且21x x <，试将|1||1|21log 221221-+--++x x x x 表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域.13、已知定义域为R 的函数12()12xx f x -=+. (1) 试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2) 若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．14、已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数。
2021学年青浦一模(文理)
青浦区高三数学试卷 2014.01.101．在直角坐标系中，到点)0,1(和直线1-=x 距离相等的点的轨迹方程是 ； 2．已知全集U R =，集合{|}A x x a =<,{|12}B x x =-<<，且U A C B R =，则实数a 的取值范围是 ；3．各项为实数的等比数列中71a =-，198a =-,则=13a ；4．已知点(11)(12)(21)(34)A B C D --，、，、，、，，则向量AB 在向量上的投影为 ； 5．已知51cos()123πα+=，且-2ππα<<-，则cos()12πα-= ； 6．已知圆锥底面圆的周长为π4，侧棱与底面所成角的大小为2arctan ，则该圆锥的体积是 ； 7．要使函数23y x ax =-+在区间[2,3]上存在反函数，则实数a 的取值范围为 ； 8．已知lim(1)1n n q →∞-=，则实数q 的取值范围是 ；9．已知定义域为R 的偶函数)(x f 在(,0]-∞上是减函数，且1()22f =，则不等式(2)2xf >的解集 为 ；10．已知集合{1,2,3,4,5}A =，从A 的非空子集中任取一个，该集合中所有元素之和为奇数的概率 为 ；11．点P 在22125144x y -=上，若1||16PF =，则2||PF = ； 12．已知扇形的周长为定值l ，写出扇形的面积y 关于其半径x 的函数解析式 ； 13．已知直角坐标平面上任意两点),(),(2211y x Q y x P 、，定义 121212121212||||||(,)||||||x x x x y y d P Q y y x x y y --≥-⎧=⎨--<-⎩，，为Q P 、两点的“非常距离”．当平面上动点),(y x M到定点(,)A a b 的距离满足||3MA =时，则(,)d M A 的取值范围是 ；14．若不等式1(1)(1)31n na n +--<++对任意自然数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .15．指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在R 上是减函数，则函数2)2()(x a xg -=在R 上的 单调性为（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增D. 在)0,(-∞上递增，在),0(+∞上递减 16．直线2(1)210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是（ ） A. ]4,0[πB. ]2,4[ππ C. ]43,4[ππD. ),43[]4,0[πππ17．设等差数列}{n a 的前n 项和n S ，且满足151600S S ><，,则1515332211a S a S a S a S ，，，， 中 最大的项为（ ）A.66a S B.77a S C.88a S D.99a S 18．对于函数)(x f ，若在定义域内存在．．实数x ,满足)()(x f x f -=-，称)(x f 为“局部奇函数”， 若12()423xx f x m m +=-+-为定义R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1313m ≤≤+B. 1322m -≤C. 2222m -≤≤D. 2213m -≤≤三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）19．（本大题共12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，向量)1,2(cos C=，(1,sin())n A B =-+,且⊥． （1）求角C 的大小； （2）若32CA CB ⋅=，且4=+b a ，求c 边的长．20．（本大题14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，1AB AC AA ==． （1）求证：111BC A AB 平面⊥；（2）若D 为11C B 的中点，求异面直线AD 与B A 1所成的角的大小．21．（本大题14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第三小题6分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n S S a a +=22对一切正整数n 都成立． （1）求12a a ，的值； （2）设10a >，数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时n T 最大？并求出n T 的最大值．22．（本大题16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第三小题4分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴是短轴的两倍，点1)2P 在椭圆上，不过原点的直线l与椭圆相交于B A 、两点，设直线OB l OA 、、的斜率分别为21k k k 、、，且21k k k 、、恰好构成 等比数列，记ABO △的面积为S ．（1）求椭圆的方程；（2）试判断22||||OB OA +是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S 的最大值．23．（本大题18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第三小题8分）设集合1{()|(0,),()()}M f x x f x f x=∈+∞=. （1）已知函数2()(0)1xf x x x=>+，求证：()f x M ∈； （2）对于（1）中的函数)(x f ，求证：存在定义域为),2[+∞的函数)(x g ，使得1()()g x f x x+= 对任意0>x 成立；（3）对于任意()f x M ∈，求证：存在定义域为),2[+∞的函数)(x g ，使得等式1()()g x f x x+= 对任意0>x 成立．青浦区高三数学(理科)第一学期期末质量抽查试卷参考答案一．填空题（本大题满分56分）1. x y 42= 2. 2≥a3. 2213-=a4.343413 5. 322-6.316π7. 4≤a 或6≥a 8. 11-<<q9. 1->x10.311611. 262=PF 12.()⎪⎭⎫⎝⎛+∈-=2,22,221l lx x x l y π 13. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3223，14. [)2,3-二、选择题（本大题满分20分）15. D 16.C 17. B 18. B三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）19．[解] ⑴ ⊥, ∴ 0=⋅,∴ ()0sin 2cos =++-B A C2分∴ 0sin 2cos =+-C C , ∴ 02cos 2sin 22cos =+-CC C 4分且π<<C 0 ∴ 220π<<C∴02cos ≠C , ∴ 212sin =C , ∴ 62π=C , ∴ 3π=C 6分⑵ ⋅2321cos ===ab C ab ∴ 3=ab 8分又 4=+b a∴ ()79162cos 22222=-=--+=-+=ab ab b a C ab b a c 11分∴ 7=c 12分20．[解] ⑴ 由题意知四边形B B AA 11是正方形，故11BA AB ⊥. 2分 由⊥1AA 平面111C B A , 得111C A AA ⊥. 又1111B A C A ⊥,所以⊥11C A 平面B B AA 11, 故11AB AA ⊥ 4分 从而得 ⊥1AB 平面11BC A 6分 ⑵ 解法一：在线段1BD 上取中点M ，连结OM AD OM //直线OM 与B A 1所成角等于直线AD 与B A 1所成的角. 8分 设a AA AC AB ===1，在1OMA ∆中，a AD OM 4621==，a OA 221= a M A 4101=11分632-cos 1212121=⋅+=∠OA OM M A OA OM OM A 13分 63arccos1=∠∴OM A 即直线AD 与B A 1所成的角的大小为63arccos 14分解法二： 设a AA AC AB ===1，以1A 为坐标原点建立空间直角坐标系， 可得 ()()()a a B A a a D a A ,0,,0,0,0,0,2,2,,0,01⎪⎭⎫⎝⎛，()a a A ,0,1=∴⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a ,2,2 10分直线AD 与B A 1所成的角为θ，向量AD 与A 1的夹角为ϕ6323221cos 2-=⋅-==aa a ϕ 即直线AD 与B A 1所成的角的大小为63arccos 14分 21．[解] ⑴ 由已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S S a a +=22对一切正整数n 都成立⎩⎨⎧+=+=∴22221212S S a a S S a a 即⎩⎨⎧+=+=21222112222a a a a a a a a解方程组得⎩⎨⎧==0021a a 或⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121a a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=222121a a 各2分⑵ 01>a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121a a 7分又 n n S S a a +=22，当2≥n 时，1212--+=n n S S a a ，作差得 ()112---=-n n n n S S a a a()()n n n a a a =-+-122 12-=∴n n a a ()()1221-+=⇒n n a 10分令n n a a b 110lg=，则()()()()2lg 112212110lg 10lg 11--=++==-n a a b n n n 可知{}n b 是首项为1，公差为2lg -的等差数列 11分解法一：n n b b b T +++= 21()()2lg 21-⋅-+=n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n 2lg 412lg 412 13分 有计算器可得14.722lg 41≈+，所以7=n 时n T 的值最大为2lg 22177-=T 14分 解法二： ()764.62lg 264.72lg 2102lg 102lg 11001=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≈≥≈+≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥--⇒⎩⎨⎧≤≥+n n n n n b b n n 14分解法三：也可以用两边夹的方法得到⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n T T T T 763.62lg 263.72lg 21001=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≈≥≈+≤⇒⎩⎨⎧≤≥⇒+n n n b b n n 14分 22．[解] ⑴ 由题意可知b a 2= 且11413222=⇒=+b ba 2分 所以椭圆方程为1422=+y x 4分 ⑵ 设直线的方程为()()()2221,,,0y x B y x A m m kx y 、≠+=，由⇒⎩⎨⎧=++=4422y x m kx y ()044841222=-+++m kmx x k 5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22212214144418k m x x k km x x 且 ()0411622>-+=∆m k 6分 321k k k 、、 恰好构成等比数列()()21212121212y y x x m kx m kx x x k k k ++===∴ 即 ()()()4441418222222221212-+++-+=++=m k m k m k k x x m kx m kx k 化简得 04222=+-m m k ，所以21412±=⇒=k k 8分 此时 ()02162>-=∆m即 ()02,2≠-∈m m 且 9分⎩⎨⎧-=±=+∴22222121m x x mx x ()()222122212222212122||||m kx m kx x x y x y x OB OA +++++=+++=+()()22122212243m x x km x x ++++=()()[]524343212212221=-+=+=x x x x x x 11分所以22||||OB OA +是定值5 12分⑶ 2122112121km x x k d AB S +⋅-+=⋅= 13分 ()mx x x x ⋅-+=21221421()m m m ⋅--=22442122 14分()12222222=+-≤-=m m m m 15分当且仅当222m m =-，即1±=m 时，S 的最大值为1 16分23．[解] ⑴ 证明：由()21x x x f +=可得2211111x x x xx f +=+=⎪⎭⎫⎝⎛， 3分 因此()⎪⎭⎫⎝⎛=x f x f 1，又0>x ，所以()M x f ∈ 4分 ⑵ 证明：由()xx x x x f 1112+=+=，设()()21≥=x x x g ，当0>x 时2121=⋅≥+xx x x 8分且()x f xx x x g =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111 10分 即存在定义域为),2[+∞的函数)(x g ，使得1()()g x f x x+=对任意0>x 成立⑶ 证明：当0>x 时，设x x t 1+=，则2≥t 可得012=+-tx x ，解得242-±=t t x 12分设函数()()2242≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x f x g 当0>x 时2121=⋅≥+x x x x 13分 则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+211241112x x x x f x x x x f x x g 14分 当10≤<x 时 x x 1≤，()x f x f x x x x f x x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+12111 16分当1>x 时 x x 1>，()x f x x x x f x x g =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2111 18分 综上，即存在定义域为),2[+∞的函数)(x g ，使得等式1()()g x f x x+=对任意0>x 成立．。
2020届青浦区高三一模数学Word版(附解析)
上海市青浦区2020届高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{1,3,5,9}U =，{1,3,9}A =，{1,9}B =，则()U A B =U ð2. 若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z 的模为3. 直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是4. 我国古代庄周所著的《庄子⋅天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭.”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去. 若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度 为n a ，则n a =5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐 标是34(,)55-，则sin2α=6. 已知正四棱柱底面边长为32，则此四棱柱的表面积为7. 设,x y +∈R ，若141x y +=，则x y的最大值为 8. 已知数列{}n a 中，11a =，1112n n n a a -+-=（*n ∈N ），则lim n n a →∞= 9. 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡 镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师， 则不同的分配方案共有 种10. 已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+⋅的图像都关于直线x m =成轴 对称图形，则m =11. 如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数2()1x f x x=+，0x >的图像上，则此矩 形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是12. 已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)PA t OP =-uu r uu u r （t ∈R ），且60OA OP ⋅=uu r uu u r ， (0,1)OB =uu u r ，则||OB OA ⋅uu u r uu r 的最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 使得(3n x（*n ∈N ）的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 714. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ）A. 若m α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥βC. 若m α，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥nD. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线 15. 过抛物线22y px =（0p >）的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11||||AB CD + 的值为（ ） A. 2p B. 2p C. 2p D. 12p 16. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >， 20192020101a a -<-，给出下列结论：① 01q <<；② 2019202110a a ->；③ 2019T 是数列{}n T 中 的最大项；④ 使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.18.已知向量,sin )a x x ωω=r ，(cos ,cos )b x x ωω=r ，其中0ω>，记()f x a b =⋅r r .（1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若()2A f =4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.19. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是**10110,()1160,n n f n n n n ⎧≤≤∈=⎨≤≤∈⎩N N（单位：万元）， 记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和， 例(3)(3)50((1)(2))10%f g f f =++⨯. （1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.20. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求△OMN 面积的最小值；（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直 平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标.21. 已知函数()f x 的定义域为[0,2]，且()f x 的图像连续不间断，若函数()f x 满足：对于 给定的实数m 且02m <<，存在0[0,2]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有 性质()P m .（1）已知函数()f x =()f x 是否具有性质1()2P ，并说明理由；（2）求证：任取(0,2)m ∈，函数2()(1)f x x =-，[0,2]x ∈具有性质()P m ；（3）已知函数()sin f x x π=，[0,2]x ∈，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {5}2.3. 6π4. 1()2n5. 2425-6. 16+7. 1168. 549. 81 10.21log 2k 11. 4π 12. 8二. 选择题 13. B 14. C 15. D 16. B三. 解答题17.（1）（2）4π. 18.（1）1ω=；（2. 19.（1）21011049()2011601090n n g n n n n n ⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪≤≤⎪-+⎩； （2）第33个月的当月利润率最大，其当月利润率为3301073. 20.（1）2212516x y +=；（2）9；（3）(3,0)M ±. 21.（1）()f x 具有性质1()2P ；（2）证明略；（3）(0,1]m ∈.。
2022届上海市青浦一中高三第一次调研测试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．2± 2．若复数12bi z i -=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3B ．3±C ．3-D ．3± 3．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．332B ．3C ．33D ．234．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5,5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．210 B ．1010 C ．7210 D ．310106．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知向量0,2a，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ） A ．-2 B ．2C ．1D ．-1 8．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =--C ．22y x =+或22y x =-- D ．22y x =-+ 9．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ） A ．32 B ．1 C ．-1 D ．010．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++ B ．()85824π++ C ．()854216π++ D ．()858216π++ 11．已知复数z 满足i z 11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市青浦高级中学2021届高三上学期9月开学考试数学试卷及答案
绝密★启用前上海市青浦高级中学2021届高三上学期9月开学考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、填空题1．已知()1i 1i z -=+，则复数z 的模为________.2．已知向量(1,0)a =-，(4,3)b =，则a 在b 方向上的投影是________.3．若线性方程组的增广矩阵为123112⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该线性方程组的解为_______ 4．已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取__________名学生．5．若圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则圆锥的母线与底面所成角的大小为_____.6．已知1(3)n x x-展开式各项系数之和为64，则展开式中第5项的二项式系数是________. 7．设集合{}|2x A y y ==，{}2|B y y x ==，则A B =___________.8．轨交新线路试运行，小陈通过APP 抢票，抢到三张体验票，准备从小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为________.9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数且()()11f x f x +=-，若()19f =，则()2019f =______.10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__．11．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △和ACD △的面积分别是2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF →→⋅=________.12．如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n （n∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是__________．二、单选题13．若,,,a b x y R ∈，则 x y a b,(x-a)(y-b)0+>+⎧⎨>⎩ 是 x a,y b >⎧⎨>⎩成立的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 相交或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．有4张软盘与5张光盘的价格之和不小于20元，6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要（ ）A ．15元B ．22元C ．36元D ．72元16．空间中不共面的4点A ，B ，C ，D ，若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平面α的12倍，这样的平面α的个数为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．48三、解答题17．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD 与平面CBD 所成二面角为直角，AE ⊥平面ABD ，且AE（1）求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；（2）求点C 到平面BED 的距离.18．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ，当()0,1∈x 时，()241xx f x =+. （1）当()0,1∈x 时，解方程()25f x =； （2）求()f x 在区间1,0上的解析式.19．已知函数()sin()sin()sin()4242x x f x x πππ=+--+，若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若存在[0,]2x π∈，使等式2()()0g x g x m -+=成立，求实数m 的取值范围. 20．如图，把半椭圆：22122:1x y a bΓ+=（0x ≥）与圆弧2222:(1)x y a Γ-+=（0x <）合成的曲线称作“曲圆”，其中(1,0)F 为1Γ的右焦点，如图所示，1A 、2A 、1B 、2B 分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点，已知1223B FB π∠=，过点F 且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P 、Q 两点（P 在x 轴上方）.（1）求椭圆1Γ和圆弧2Γ的方程；（2）当点P 、Q 分别在第一、第三象限时，求△1A PQ 的周长的取值范围；（3）若射线FP 绕点F 顺时针旋转2π交“曲圆”于点R ，当2(0,)3πθ∈时，请用θ表示P 、R 点的坐标，并求FPR ∆的面积的最小值. 21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112()2n na n N a *+≤≤∈，则称{}n a 是“G 数列”. （1）若{}n a 是“G 数列”，且11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“G 数列”；（3）设数列{}n a是等比数列，公比为q，若数列{}n a与{}n S都是“G数列”，求q的取值范围.参考答案1．1思路： 由已知得1i 1iz +=-,将其整理成i z =,即可求出模． 由题意知()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====--+所以1z ==故答案为：12．45- 思路：由向量的夹角公式，求得4cos 5θ=-，再由向量的投影的计算公式，即可求解. 由题意，向量(1,0)a =-，(4,3)b =，则14034a b ⋅=-⨯+⨯=-，1a =，5b =，所以a 与b 的夹角为θ，则44cos 155a ba b θ⋅-===-⨯⋅， 则a 在b 方向上的投影是4cos 5a θ=-. 故答案为：45-. 【点评】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．11x y =⎧⎨=⎩思路：根据线性方程组的增广矩阵的含义，写出二元线性方程组，即可求解方程组的解，得到答案.由题意，根据二元线性方程组的增广矩阵为123112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 可得二元线性方程组的表达式为232x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩.故答案为11x y =⎧⎨=⎩. 【点评】本题主要考查了二元线性方程组的的增广矩阵的含义及其应用，着重考查了推理与计算能力，属于容易题..4．50思路：由题意，利用分层抽样的定义先求出高一年级学生所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 解：高一年级学生所占的比例为10005100080060012=++， ∴高一年级需抽取51205012⨯=人， 故答案为：50．【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于简单题．5．3π 思路：设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，求得2R r =，再由线面角的定义，求得母线与底面所成角的余弦值，即可求解.设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，则2R r ππ=，即2R r =设圆锥的母线与底面所成的角为θ，则母线与底面所成角的余弦值为1cos 2r R θ==， 又由(0,)2πθ∈，所以3πθ=. 故答案为3π. 【点评】本题主要考查了圆锥的侧面展开图的应用，以及圆锥的结构特征的应用，其中解答中合理应用圆锥的几何结构特征，求得母线与底面所成角的余弦值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．15思路：取1x =代入二项式得各项系数之和，即可解n ，从而求得第5项的二项式系数．取1x =代入二项式得()1(3)31264n n n x x-=-==，解得6n = 第5项的二项式系数为466543154321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯． 故答案为：157．(0,)+∞思路： 先求出集合A ，B ，再进行交集运算即可.由基本初等函数的值域可知，集合{}()|20x A y y ===+∞，，{}[)2|0B y y x ==∈+∞，， 所以()0A B =+∞，. 故答案为：(0,)+∞.8．56思路：先求所有选择情况，再减去小王和小李都选的情况，结合古典概率公式即可求解．从4人中任选两人共有246C =种，如果小王和小李都选则有221C =种， 所以小王和小李至多一人被选中的概率为61566P -== 故答案为：56． 9．9-思路：首先变形求得函数的周期，再根据周期和奇偶性求值.()()()111f x f x f x +=-=--，则()()()()()244f x f x f x f x =--=---=-∴()f x 同期为4()()()()()2019504433119f f f f f =⨯+==-=-=-.故答案为：9-.【点评】本题考查性质的综合应用，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.10．8思路：根据三视图还原几何体，再由棱锥的体积公式可得答案.解：根据几何体的三视图，得；该几何体是侧面PAB ⊥底面ABC 的三棱锥，如图所示；过点P 作PO AB ⊥，垂足为O ，则4PO ＝，三棱锥PABC ﹣的体积为11624832⨯⨯⨯⨯＝； 故答案为：8.11．1615- 思路：由题意画出图形，结合面积求出cos A =，8||||15DE DF →→=，然后代入数量积公式得答案． 解：如图，ABD 与ACD △的面积分别为2和4，∴1||||22AB DE →→=，1||||42AC DF →→=， 可得4||||DE AB →→=，8||||DF AC →→=，∴32||||||||DE DF AB AC →→→→=．又1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立22sin cos 1A A +=，得sin A =cos A =． 由1||||sin 62AB AC A →→=，得||||AB AC →→=． 则8||||15DE DF →→=∴16||||cos ,(15DE DF DE DF DE DF →→→→→→=<=-．故答案为：1615-． 12． 试题分析：观察可知,第n ()n N *∈行中有n 个数,从左向右依次是二次项系数,01211111,,,n n n n n C C C C -----,故当3n ≥时,除了1外, ,第n 行各数的和为 122111122n n n n n n a C C C -----=+++=-,又前n 行非1的数字之和为2344(12)2(2)2212n n n a a a n n --+++=--=--． 考点：1、数列的应用;2．数列的求和;3、二项式定理．【方法点晴】本题主要考查的是数列的求和与二项式定理．，属于中档题．观察可知, 第n ()n N *∈行中有n 个数, 从左向右依次是二次项系数, 01211111,,,n n n n n C C C C -----,故当3n ≥时, 第n 行各数的和为122111122n n n n n n a C C C -----=+++=-由此可知前n 行非1的数字之和为2344(12)2(2)2212n n n a a a n n --+++=--=-- 13．C思路： 根据不等式的性质可得,(-)(-)0x y a b x a y b +>+⎧⎨>⎩，等价于0,0x a y b ->->，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.,(-)(-)0x y a b x a y b +>+⎧⎨>⎩①若 ，②， 由②知,x a -与y b -同号，又由①,得()()0x a y b -+->，故0,0x a y b ->->,即x a >且y b >，故充分性成立；若 x a y b >⎧⎨>⎩，则-0-0x a y b >⎧⎨>⎩， 故 (-)(-)0x y a b x a y b +>+⎧⎨>⎩ ，故必要性也成立，故选C. 【点评】本题通过充分条件与必要条件主要考查不等式的性质，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14．D思路：根据直线的位置关系对选项一一判断即可．选项①中，投影垂直时，原来的直线不一定垂直，错误；选项②中，原来的直线垂直时，投影不一定垂直，错误；选项③中，投影相交则原来直线不可能重合，错误；选项④中，投影平行，则原来直线不可能相交，错误．故选：D15．B思路：设软盘的价格为x 元/张，光盘为y 元/张，可得不等式组45206324x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，令39x y t +=，画出可行域，即可求解. 设软盘的价格为x 元/张，光盘为y 元/张，可得不等式组45206324x y x y +≥⎧⎨+≤⎩， 令39x y t +=，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由45206324x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得104(,)33C ， 可知，取104,33x y ==时，目标函数39x y t +=取得最小值， 此时最小值为104392233t =⨯+⨯=元. 故选B.【点评】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．16．C思路：由题意分类讨论各种情况，然后利用加法原理确定满足题意的平面的个数即可.第一种情况，A，B，C，D点在平面α的同侧.当平面α∥平面BCD时，A与平面α的距离是α与平面BCD的距离的2倍.这种情况下有4个平面.第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面α的一侧，第4个点在平面α的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平面α与平面BCD平行，且A与平面α的距离是平面α与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面α）的距离是D到平面EFK距离的一半.∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，∴这种情形下的平面α有3×4=12（个）.第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面α两侧各种有两点.容易看出：点A到平面EFMN（平面α）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．就A，C与B，D分别位于平面α两侧的情形来看，就有A离平面α远，B离平面α远，C离平面α远，D离平面α远这四种情况.又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，∴平面α有4×3=12（个）.综上分析，平面α有4+4+12+12=32（个）.【点评】本题主要考查分类讨论的数学思想，计数原理的应用，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．（1）证明见解析；（2）1d =.思路：(1)取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，证明//EC 平面ABD 即可得解；(2)在三棱锥C BED -中，利用等体积法即可求出点C 到平面BED 的距离.(1)取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD 与平面CBD 所成二面角为直角，即平面ABD ⊥平面CBD ，又平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD，且CF = 因AE ⊥平面ABD，且AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，又AF ⊂平面ABD ，EC ⊄平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)由(1)可得AF ⊥平面CBD ，//EC AF,EC AF ==EC ⊥平面CBD ，EB ED ==，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= 而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC⋅=⋅，即2=1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1.18．（1）∅；（2）0,0()2,1041x x x f x x =⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩.（1）由题意有22415x x =+，解方程即可求得解集，且保证()0,1∈x 即可；（2）利用奇函数的性质：()()f x f x -=-且在0x =处有定义时()00=f ，即可求()f x 在区间1,0上的解析式；（1）222122522024152x x x x x =⇒⋅-⋅+=⇒=+或221x x =⇒=-（舍）或1x =（舍）； 故当()0,1∈x 时，方程()25f x =无解，即解集为∅. （2）由题意知： ()00=f ；当()1,0x ∈-时，()()224141x xx x f x f x ---=--=-=++ 综上所述，0,0()2,1041x x x f x x =⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩. 【点评】本题考查了含指数元方程的解法：换元法转化为一元二次方程求解，利用函数的奇偶性求函数解析式，属于简单题；19．（1）()2sin()3g x x π=--；（2）1[2,]4-. 思路：（1）化简得()2sin()3f x x π=+，再利用对称性求出函数()g x 的解析式； （2）先求出()[g x ∈-，再换元，令()t g x =，[t ∈-，等价为2m t t =-+在[t ∈-上成立，求出二次函数的最值即得解. （1）()sin()cos()sin sin()sin sin 42422x x f x x x x x x πππ=+++=++= 2sin()3x π=+ 由于函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，设()g x 上任一点(,)P x y 关于y 轴对称的点(,)P x y '-在()y f x =的图像上， 即()2sin()3g x x π=-+，故()2sin()3g x x π=--； （2）因为[0,]2x π∈，所以1,sin(),12sin()336323x x x πππππ-≤-≤≤-≤∴-≤--≤所以()[g x ∈-，令()t g x =，[t ∈-则等式2()()0g x g x m -+=成立等价为2m t t =-+在[t ∈-上成立，2211()24m t t t =-+=--+， 当1t =-时，m 取得最小值2-；当12t =时，m 取得最大值14， 故m 得取值范围是1[2,]4- 20．（1）221:1(0)43x y x Γ+=≥，222:(1)4(0)x y x Γ-+=<；（2）(6,8)；（3）11(1cos ,sin )P r r θθ+，22(1sin ,cos )R r r θθ+- 思路：（1）易得2a =，1c =则23b =，即可得到结果；（2）得到周长为6sin 2θ+，根据θ范围解得即可；（3）设1FP r =,2FR r =,可知，()11221cos ,sin ,1cos ,sin 22P r r R r r ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入椭圆方程解出1r ,2r 再根据公式求面积即可．（1）易得2a =，1c =，则b =221:1(0)43x y x Γ+=≥， 222:(1)4(0)x y x Γ-+=<；（2）由题意得：14sin 2AQ θ=， 所以1122sin 64sin (6,8)22C AQ FQ PF A P a a a θθ=+++=++=+∈；（3）1FR r =，2FR r =，则有11(1cos ,sin )P r r θθ+，22(1cos(),sin())22R r r ππθθ+--，即22(1sin ,cos )R r r θθ+-，其中132cos r θ=+，232sin r θ=+，2(0,]3πθ∈， 2211(4cos )6cos 90r r θθ-+-=， 所以()1211922sin cos 2sin cos 4PEF S r r θθθθ==⋅+++，令sin cos )4t πθθθ=+=+，所以2947PEF S t t =++， 当2(0,]43ππθ=∈，()min PEF S =． 21．（1）[]2,3； （2）见解析； （3）1[,1]2. 思路：（1）根据数列的新定义，列出不等式组12322x ≤≤且1422x ≤≤，，即可求解； （2）由等差数列{}n a ，得到1(1)n a a n d =+-，进而得出1111121n n a a a n d+=+≥+-，再由1n n a a +的单调性，得到12n na a +≤，即可得到结论； （3）设等比数列{}n a 的公比为q ，分1q ≠和1q =时，结合数列的新定义，即可作差判定.（1）由题意，数列{}n a 满足112()2n na n N a *+≤≤∈，称{}n a 是“G 数列”， 又由11a =，232a =，3a x =，44a =，可得12322x ≤≤且1422x ≤≤， 解得23x ≤≤，即x 的取值范围是[]2,3.（2）由题意，数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-， 则11111111(1)21n n a a nd a a a n d n d++==+>≥+-+-， 又由10d a <≤，可得数列1n n a a +随着n 的增大而减小， 所以当1n =时，1n na a +取得最大值，所以12n n a a +≤， 所以数列{}n a 是“G 数列”.（3）由题意得，等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}n a 是“G 的数列”，可得1122n n a a +≤≤，即122q ≤≤， ①当1q =时，所以11,n n a a S na ==，则111(1)131(1,]2n n S n a S na n ++==+∈，符合题意， ②当1q ≠时，则1(1)1-=-n n a q S q ，则1111n n nn S q S q ++-=-， 因为数列{}n S 是“G 的数列”，所以111221n n q q+-≤≤-对n N +∈恒成立， （i ）当112q ≤<时，11(1)12(1)2n n n q q q +-≤-≤-， 即(21)1(2)1n n q q q q ⎧-≤⎨-≥-⎩对n N +∈恒成立， 因为301,0211,212n q q q q <≤<<-<-≤-<-，所以133(21)1,(2)(2)()1224n n q q q q q q q -<<-≥-≥⨯-=->-， 所以当112q ≤<时，(21)1(2)1n n q q q q ⎧-≤⎨-≥-⎩对n N +∈恒成立； （ii ）当12q <≤时，11(1)12(1)2n n n q q q +-≤-≤-， 即(21)1(2)1n n q q q q ⎧-≥⎨-≤-⎩对n N +∈恒成立， 因为1,211,120n q q q q ≥>->-<-≤，所以(21)1(2)1n n q q q q ⎧-≥⎨-≤-⎩，解得1q =， 又12q <≤，所以不存在q 满足题意，综上可得，数列{}n a 的公比q 的取值范围是1[,1]2. 【点评】本题主要考查了数列的新定义，数列的n a 和n S 的关系式，以及等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式的综合应用，其中解答中正确理解数列的新定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。
2020-2021学年上海市浦东新区高三年级一模考试数学试卷含答案解析
一．填空题（本题有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，满分 54 分）
1、
_____________.
【答案】
【解析】
2、半径为 2 的球的表面积为____________. 【答案】 【解析】
3、抛物线
的准线方程为____________.
【答案】
【解析】
准线
4、已知集合 【答案】 【解析】 5、已知复数 满足
，则
=___________.
（ 为虚数单位），则
.
【答案】 【解析】
1
6、在
中，若
，
，
，则
__________.
【答案】 【解析】由正弦定理可知 7、函数 【答案】
的反函数的定义域为___________.
【解析】反函数为 的值域
定义域即为原函数值域；也可理解为求
8、在 数字作答）
的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用
16、已知函数
，则以下 4 个命题：
（1） 是偶函数；
4
（2） 在
上是增函数；
（3） 的值域为 ；
（4）对于任意的正有理数 ，
其中正确命题的个数为（ ）
A. 0
B. 1
【答案】
存在奇数个零点；
C. 2
D. 3
【解析】（1）
显然不是偶函数；
（2）当 时，有
，则有理数 后的无理数 小于 ，则不是单调递增；
（1）判断
，则称函数 在 上为非减函数.
（
）与
9
，当
时，都有
（
）是否是
非减函数？ （2）已知函数
【2023年上海高三数学一模】2023届青浦区高三一模数学试卷及答案
高三年级数学练习卷 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 集合1,2,3,4,{150}ABxxx∣，则AB___________.
2. 若复数iia（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a________．
3. 从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值． 4. 不等式23(1)23122xxx
的解集为______．
5. 在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差
是_______. 6. 已知函数3()2fxxx
，则()fx在点(1,(1))f处的切线的倾斜角为___________.
7. 若62a
x
x
展开式的常数项是45，则常数a的值为__________．
8. 若函数()yfx的定义域和值域分别为1,2,3A和1,2B，则满足(1)(3)ff的函数概率是______． 9. 已知空间三点(1,3,1)A，(2,4,0)B，(0,2,4)C，则以AB、AC为一组邻边的平行
四边形的面积大小为______． 10. 在平面直角坐标系中，(0,0)A，(1,2)B两点绕定点P按顺时针方向旋转角后，分别
到(4,4)A，(5,2)B两点位置，则cos的值为______． 11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，则三棱锥PABC外接球的体积为______．
12. 已知数列na中，213aa，记na的前n项和为nS，且满足2*
11322,NnnnSSSnnn
．若对任意*Nn，都有1nnaa，则首项
1
a的
取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．