高考数学(四海八荒易错集)专题01 集合与常用逻辑用语 文

专题01 集合与常用逻辑用语

1.【2016高考新课标1理数】设集合{

}2

430A x x x =-+< ,{

}

230x x ->,则A

B = （ ）

（A ）33,2??-- ??? （B ）33,2??- ??? （C ）31,2?? ???

（D ）3,32??

???

【答案】D

【解析】因为2

3

{|430}={|13},={|},2

A x x x x x

B x x =+<<<>

-所以33

={|13}{|}={|3},22

A B x x x x x x <<><<故选D.

2.【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞） (C) [3,+ ∞） (D)（0，2]

[3,+∞）

【答案】D

3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A

Z =--，故其中的元素个数为5，选C.

4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-

（A ）(1,1)-

（B ）(0,1)

（C ）(1,)-+∞

（D ）(0,)+∞

【答案】C

【解析】}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A

B =∞（-1，+），选C.

5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =

（ ）（A ）{1} （B ）{1

2}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C

【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而{1,2,3}A =，所以{0,1,2,3}A B =，故选C.

6.【2016年高考北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）

A.{0,1}

B.{0,1,2}

C.{1,0,1}-

D.{1,0,1,2}- 【答案】C

【解析】由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.

7.【2016高考浙江理数】已知集合{}

{}

2

13,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ?=R （ ）

A ．[2,3]

B ．( -2,3 ]

C ．[1,2)

D ．(,2][1,)-∞-?+∞ 【答案】B

【解析】根据补集的运算得

．故选B ．

8. 【2016高考浙江理数】命题“*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < 【答案】D

【解析】?的否定是?，?的否定是?，2

n x ≥的否定是2

n x <．故选D ．

9.【2016高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A. 10.【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数

n ，a 2n ?1+a 2n <0”的（ ）

（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】由题意得，22

212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q

q q q q ----+

是必要不充分条件，故选C.

易错起源1、集合的关系及运算 例1、(1)已知集合A ＝{x |x －1x ＋2<0}，B ＝{y |y ＝sin n π

2

，n ∈Z }，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1

D ．{0,1}

(2)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集?属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：

①τ＝{?，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{?，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{?，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；

④τ＝{?，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．

其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________． 答案 (1)C (2)②④

【变式探究】(1)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(?R A )∩B 为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －1

3≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b

－a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )

A.1

3 B.23 C.112

D.512

答案 (1)C (2)C

解析 (1)因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]，

B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)．

所以(?R A )∩B ＝(1，＋∞)． 故答案为C.

(2)由已知，可得????

?

m ≥0，m ＋3

4

≤1，即0≤m ≤1

4

，

?????

n －13≥0，

n ≤1，

即1

3

≤n ≤1，

取m 的最小值0，n 的最大值1，

可得M ＝??????0，34，N ＝??????23，1. 所以M ∩N ＝??????0，34∩??????23，1＝????

??23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝1

12.

故选C. 【名师点睛】

(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．

(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪?＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(?U A )＝?，A ∪(?U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ?A ?B ，A ∪B ＝A ?B ?A . 2．集合运算中的常用方法

(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 易错起源2、四种命题与充要条件

例2 (1)下列命题：

①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ?β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x

，则a

其中正确的命题序号是________．

(2)已知ξ服从正态分布N (1，σ2

)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式? ??

??ax ＋1x

23的展开

式的常数项为3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件 答案 (1)① (2)A

【变式探究】(1)下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x 2

＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；

②命题：“?x ∈R，sin x ≤1”的否定是“?x 0∈R，sin x 0>1”； ③“若x ＝π

4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；

④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)已知“x >k ”是“

3

x ＋1

<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )

A ．[2，＋∞)

B ．[1，＋∞)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－1]

答案 (1)A (2)A

解析 (1)对于①，x 2

＋x －2>0?x >1或x <－2，故“x 2

＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π

4

”，∵tan x ＝1推出的是

x ＝π4

＋k π，k ∈Z.所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．②正确．故选A.

(2)由

3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2

x ＋1

<0， 所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3

x ＋1

<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 【名师点睛】

充分条件与必要条件的三种判定方法

(1)定义法：正、反方向推理，若p ?q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ?q ，且q ?

p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．

(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ?B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．

(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 【锦囊妙计，战胜自我】

1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．

2．若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ?q ，则p ，q 互为充要条件． 易错起源3、逻辑联结词、量词

例3、(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2

>bc 2

”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假

D ．“p ∧q ”为真

(2)已知命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2

－a ≥0”，命题q ：“?x 0∈R，x 2

0＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈

p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≤－2或a ＝1

B ．a ≤－2或1≤a ≤2

C ．a >1

D ．－2≤a ≤1

答案 (1)C (2)C

解析 (1)△ABC 中，C >B ?c >b ?2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ?sin C >sin B . 故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．

若c ＝0，当a >b 时，则ac 2

＝0＝bc 2

，故a >b ?ac 2

>bc 2

，若ac 2

>bc 2

，则必有c ≠0，则c 2

>0，则有a >b ，所以ac 2

>bc 2

?a >b ，故“a >b ”是“ac 2

>bc 2

”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题，故选C.

(2)命题p 为真时a ≤1；“?x 0∈R，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2

＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故

Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1.

【变式探究】(1)已知命题p ：?x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：?x ∈?

????0，π2，x >sin x ，则下列判断正

确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为真

D ．p ∨q 为假

(2)若“?x ∈????

??－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．

答案 (1)B (2)0

【名师点睛】

(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立； (2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 【锦囊妙计，战胜自我】

1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．

2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．

3．“?x ∈M ，p (x )”的否定为“?x 0∈M ，綈p (x 0)”；“?x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“?x ∈M ，綈p (x )”．

1．已知集合A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(?R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1}

答案 A

解析 A ＝{x |x >－1}，所以?R A ＝{x |x ≤－1}， 所以有(?R A )∩B ＝{－2，－1}，故选A.

2．已知集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7} 答案 D

解析 由M 中不等式变形得：log 2x <3＝log 28， 即0

3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( )

A ．5

B ．6

C ．12

D ．13 答案 D

4．已知集合M ＝{x |y ＝lg 1－x x

}，N ＝{y |y ＝x 2

＋2x ＋3}，则(?R M )∩N 等于( )

A ．{x |0

B ．{x |x >1}

C ．{x |x ≥2}

D ．{x |1

答案 C

解析 由1－x

x

>0得0

?R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2

＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(?R M )∩N ＝{x |x ≥2}．

5．设命题甲：ax 2

＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0

C ．必要不充分条件

D ．既非充分又非必要条件 答案 C

解析 由命题甲ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，可知a ＝0时，原式＝1>0恒成立，

当a ≠0时，???

??

a >0，Δ＝2a

2

－4a <0，

解得0

所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C. 6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π

2对称．则

下列判断正确的是( )

A ．p 为真

B ．綈q 为假

C ．p ∧q 为假

D ．p ∨q 为真

答案 C

解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 7．已知命题p ：2x

x －1

<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－3，－1]

B ．[－3，－1]

C ．(－∞，－1]

D ．(－∞，－3] 答案 C 解析 由p ：

2x x －1<1，得x ＋1

x －1

<0，－1

8．①命题“若x 2

－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2

－3x ＋2≠0”； ②“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充要条件； ③若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题；

④对于命题p：?x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则綈p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.

上面四个命题中正确的是( )

A．①②B．②③

C．①④D．③④

答案C

9．下列说法中，不正确的是( )

A．已知a，b，m∈R，命题“若am2

B．命题“?x0∈R，x20＋x0－2>0”的否定是：“?x∈R，x2＋x－2≤0”

C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题

D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件

答案C

解析A正确，因为此时m2>0；B正确，特称命题的否定就是全称命题；C不正确，因为命题“p或q”为真命题，那么p，q有一个真，p或q就是真命题；D项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C.

10．已知p：?x0∈R，mx20＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )

A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]

C．(－∞，－2] D．[－1,1]

答案A

解析∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．

由p：?x0∈R，mx20＋2≤0为假命题，

得綈p：?x∈R，mx2＋2>0为真命题，

∴m≥0.①

由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，

得綈q：?x0∈R，x20－2mx0＋1≤0为真命题，

∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②

由①和②得m≥1.故选A.